¿Quieres saber más acerca de las razones trigonométricas?, ¿Conoces su origen?, en este artículo conocerás mucho sobre ellas y comprenderás que son muy fáciles de aplicar.
Las razones trigonométricas son fórmulas originadas en la circunferencia trigonométrica, en donde forma un triángulo rectángulo.
Razones trigonométricas en función a los lados del triángulo rectángulo
Los ángulos en posición normal son aquellos que son utilizados en las razones trigonométricas.
Se tiene un ángulo α en posición normal, el punto de coordenada B(x,y) ubicado en el lado final del ángulo (I Cuadrante) , el punto de coordenada A(0,x) ubicado en el lado inicial del ángulo, entonces el segmento es perpendicular al eje “x”, obteniéndose un triángulo rectángulo. Donde el segmento es la hipotenusa = r , el segmento es el cateto adyacente al ángulo α y el segmento es el cateto opuesto al ángulo α, la medida del cateto adyacente = x y la medida del cateto opuesto = y .
Para darle el nombre a los catetos se debe tomar en cuenta su posición con respecto al ángulo α, el cateto adyacente es el lado del triángulo que está mas cerca al ángulo α y el cateto opuesto es el lado del triángulo que está al frente del ángulo α. Mira las imágenes de abajo el ángulo α se posiciona en dos vértices del triángulo por lo tanto los catetos opuesto y adyacente cambian de posición.
Razones trigonométricas en el triángulo rectángulo
A continuación, en el triángulo rectángulo se definen las 6 razones trigonométricas, tenga en cuenta que:
Cateto opuesto = y Cateto adyacente = x Hipotenusa = r
Ejemplo: Determinar los valores de las razones trigonométricas sen α, cos α y tan α en el triángulo
Solución:
Datos:
Se aplica Pitágoras para determinar el valor de la hipotenusa
Se cálcula las razones trigonométricas del ángulo α
Razones trigonométricas para ángulos complemetarios
Los ángulos α y β son complementarios, ya que . Esto quiere decir que α es el complemento de β y β es el complemento de α.
En el triángulo BAC, los ángulos α y β son complementarios y se cumple que:
sen α = cos β tan α = cot β sec α = csc β
sen β = cos α tan β = cot α sec β = csc α
Las relaciones entre este tipo de razones trigonométricas se conocen como cofuncionalidad.
El valor de la función trigonométrica de un ángulo, es igual al valor de la cofunción que le corresoponde de su ángulo complementario. Como la relación de ángulos complementarios es: el valor de β queda de la siguiente forma:
|
Obseva:
co = cateto opuesto ca = cateto adyacente h = hipotenusa | Rt = razón trigonométrica Rto = razón trigonométrica opuesta |
El cateto adyacente del ángulo α es el cateto opuesto del ángulo β y el cateto opuesto del ángulo α es el cateto adyacente del ángulo β.
Esto quiere decir que el valor de una razón trigonométrica de un ángulo en un triángulo rectángulo es lo mismo que la razón trigonométrica opuesta del ángulo complementario.
Ejemplo # 1: Mira las siguientes relaciones.
1. | 3. | ||
2. | 4. |
Ejemplo # 2: Dados dos ángulos complementarios, hallar las razones trigonométricas cuyo valores sean los mismos.
- El ángulo de α = 60° y el ángulo de β = 30° son complementarios, el valor de
- También los ángulos de β = 45° y α = 45° son complementarios, esto quiere decir que
Ejemplo # 3: Determina, las razones trigonométricas del seno α, coseno δ del siguiente triángulo rectángulo.
Como los ángulos δ y α son complementarios, el sen α = cos δ . Se tiene lo siguiente:
Sumando ambos ángulos para comprobar:
Se puede observar claramente que la sumatoria de los ángulos α y ð son complementarios.
Casos para resolver triángulos rectángulos
Resolver un triángulo significa buscar todas sus dimensiones, es decir conocer las medidas de los tres lados y los tres ángulos.
Triángulos con dos lados conocidos
Existen dos formas para resolver este tipo de casos: aplicando el teorema de Pitágoras o las razones trigonométricas.
Teorema de Pitágoras
Para determinar el lado faltante debes aplicar el teorema de Pitágoras.
Ejemplo
Resolver el triángulo cuyos valores de los catetos se muestran en la imagen.
Solución: Observa que en el triángulo se desconoce el valor de la hipotenusa y de los ángulos α y β
Se aplica el teorema de Pitágoras para determinar la hipotenusa
Se aplica las razones trigonométricas para hallar los ángulos α y β.
Como α y β son complementarios se aplica:
Por razones trigonométricas
Ejemplo: Resolver el triángulo usando solo las razones trigonométricas
Observa que en el triángulo se desconoce los valores de la hipotenusa y los ángulos del vértice A y C
Se posee dos catetos del triángulo, entonces la razón trigonométrica que se va aplicar es la tangente, haciendo uso del ángulo
Se aplica la inversa para obtener el valor del ángulo:
Como la sumatoria de los ángulos , por ser complementarios
Se calcula la hipotenusa aplicando la razón trigonométrica del del seno
Triángulos compuestos
Los triángulos compuestos son triángulos rectángulos compuestos por dos o más triángulos.
Ejemplo: Resolver el triángulo usando solo las razones trigonométricas.
Observa existen tres triángulos, en el triángulo se desconoce el valor del cateto adyacente del ángulo de 70°, entonces se aplica la razón trigonométrica de la tangente
En el triángulo su cateto adyacente al ángulo de 40° es el lado , entonces se aplica la razón de la tangente y así se relacionan el cateto del triángulo y el cateto del triángulo
Entonces se iguala los dos valores del lado obtenidos en ambos triángulos con el fin de determinar el valor de cateto adyacente del triángulo
y
El valor del cateto adyacente del triángulo es
Se calcula el cateto opuesto del triángulo , aplicando la razón trigonométrica de la tangente
Se calcula la hipotenusa del triángulo , se puede aplicar la razón trigonométrica del seno o coseno, en este caso se aplica la del seno
Calcular el ángulo del vértice B es decir
La sumatoria interna de los ángulos de un triángulo es igual 180°
Cálculo del área de un triángulo
Para calcular el área de un triángulo es muy fácil, pero las situaciones para determinarlo puede darse de 3 maneras, mira la imagen a continuación:
Cuando se conoce el valor de la base y la altura del triángulo
Para determinar el área es muy sencillo sólo debes aplicar la fórmula y listo.
Ejemplo: Determina el área del siguiente triángulo
Datos del triángulo:
= altura = h = 4 cm
= base = b =
Cuando se conoce los tres lados del triángulo
Cuando el triángulo posee los valores de las longitudes de los tres lados se aplica la fórmula de Herón.
Donde s = semiperímetro del triángulo
El perímetro del triángulo es:
Ejemplo: Determina el área y perímetro del siguiente triángulo.
Datos del triángulo
= altura = a = 4 cm
= base = b = ≈ 5,7 cm
= hipotenusa = c = 7 cm
Se calcula el semiperímetro
Por lo tanto el perímetro es:
Se aplica la fórmula de Herón para determinar el área:
Cuando se conoce dos lados y su ángulo intermedio
Si se conoce las medidas de dos lados y su ángulo comprendido entre ellos, se aplica las siguientes fórmulas. Observa la figura.
Ejemplo: Determina el área del siguiente triángulo.
Datos del triángulo:
= a = 5 cm
= b = 5 cm
δ = 69°
La fórmula para calcular el área:
Actividades
Determina en los 6 triángulos los valores de las 6 razones trigonométricas
Construir un triángulo rectángulo, que cumpla con la condición dada para el ángulo β
Hallar el valor de las siguientes expresiones
Calcula las otras razones trigonométricas del ángulo θ, dado el valor de una razón en un triángulo rectángulo
Escribe la razón trigonométrica cuyo valor sea el mismo a la razón trigonométrica dado el ángulo complementario en cada caso.
Calcula las siguientes razones trigonométricas del triángulo
Determine aplicando el teorema de Pitágoras
Dibuja cada triángulo rectángulo y resuelve aplicando las razones trigonométricas considerando que a y b son las medidas de los catetos y c la medida de la hipotenusa
a = 6,4 cm y c = 11,7 cm
a = 4,5 cm y b = 4,5 cm
b = 7,3 cm y c = 13,6 cm
a = 12 cm y b = 10 cm
a = 2,5 cm y c = 5 cm
b = 9,6 cm y c = 14,5 cm
Determina los triángulos rectángulos
Calcula el área de los siguientes triángulos, las longitudes de los lados cada uno de ellos deben expresarse en centímetros