¿Conoces a los triángulos oblicuángulos? un radar puede mostrar las posiciones de los barcos con respecto a una torre de control formando diferentes tipos de triángulos, la resolución de triángulos permite determinar distancias y ángulos favoreciendo las indicaciones emitidas por parte de la torre de control garantizando desplazamientos seguros.
Triángulos oblicuángulos
Los triángulos según sus ángulos internos se clasifican en tres tipos y son:
- Rectángulos
- Acutángulos
- Obtusángulos
El triangulo rectángulo posee un ángulo recto (ángulo igual a 90°) y dos ángulos agudos.
El triángulo acutángulo todos sus ángulos son agudos (ángulo menores de 90°)
El triángulo obtusángulo posee un ángulo obtuso (ángulo mayor de 90°) y dos ángulos agudos.
Los dos últimos triángulos mencionados es decir el acutángulo y el obtusángulo pertenecen a los triángulos oblicuángulos.
Resolución de triángulos oblicuángulos
Para la resolución de triángulos oblicuángulos se considera las medidas conocidas, por esta razón se hace posible identificar la resolución de este tipo de triángulos en los siguientes cuatro casos:
Caso # 1: Se conoce un lado y dos ángulos (A-L-A)
Caso # 2: Se conoce un lado y dos ángulos (A-L-A).
Caso # 3: Se conoce dos lados y un ángulo (L-L-A).
Caso # 4: Se conoce dos lados y el ángulo comprendido entre ellos (L-A-L).
Caso # 5: Se conoce los tres lados del triángulo. (L-L-L).
Para resolver estos cuatro casos de triángulos oblicuángulos es necesario aplicar dos leyes, conocidas como la ley del seno y la ley del coseno.
Ley del seno
La ley del seno permite determinar triángulos oblicuángulos, usando los casos # 1, # 2 y #3. Es decir (A-L-A) (L-A-A) y (L-L-A)
Definición
La razón existente entre un lado del triángulo oblicuángulo y el seno de su ángulo opuesto a ese lado es proporcional a la misma razón con los otros lados y ángulos faltantes.
|
Ejemplo: Resuelva el siguiente triángulo.
Datos del triángulo
Tipo de triángulo: Acutángulo.
Caso # 2: (L-L-A)
Tipo de ley: Ley del seno.
Nombre y valores de cada lado y ángulo opuesto.
Lado a = ? → Ángulo opuesto α = ?
Lado b = 8cm. → Ángulo opuesto β = ?
Lado c = 6cm. → Ángulo opuesto δ = 45°
Procedimiento:
Determinar el valor del ángulo β.
Con los ángulos 
y , se determina el valor del ángulo α.
Se calcula el lado a
Problema:
Un estudiante diseñó un sistema biela-manivela para accionar un pistón. El largo de la manivela es de 2,2 in y 4,4 la longitud de la biela. Determine la distancia desde el centro (O) hasta el pistón (P). Ver la figura.
Solución:
Según la figura el triángulo formado es del tipo obtusángulo, los valores emitidos por el problema se ajusta a un tipo (L-A-L). Por lo tanto se aplica la ley del Seno.
$$\frac{a}{sen\alpha }=\frac{b}{sen\beta }=\frac{c}{sen\delta }$$
Donde:
$$a=2,2in$$
$$b=4,4in$$
$$\alpha = 24^{\circ }$$
I. Se determina el ángulo del centro (O) 
$$\frac{a}{sen\alpha }=\frac{b}{sen\beta }$$
$$sen\beta=\frac{b\cdot sen\alpha}{a}=\frac{4,4in\cdot sen24^{\circ }}{2,2in}=0,813$$
$$\beta =sen^{-1}\, 0,813\approx 54,39^{\circ }$$
Según la figura el ángulo opuesto del lado 4,4 in es del tipo obtuso, y el resultado obtenido es un ángulo agudo. Para este tipo de situaciones se determina su suplementario, quedando de la siguiente manera:
$$180^{\circ }=\beta+x\Rightarrow x=180^{\circ }-\beta$$
$$x=180^{\circ }-54,39^{\circ }=125,61^{\circ }$$
Por lo tanto el ángulo en el centro (O) es de 
II. Calculo de la distacia 
Aplicar la propiedad # 1 (suma de los ángulos internos) del triángulo para obtener el ángulo 
$$180^{\circ }=\alpha +\beta +\delta \Rightarrow \delta=180^{\circ }-\alpha -\beta$$
$$ \delta=180^{\circ }-24^{\circ } -125,61^{\circ }= 30,39^{\circ }$$
$$\frac{c}{sen\delta }=\frac{a}{sen\alpha }\Rightarrow c=\frac{a\cdot sen\delta }{sen\alpha }=\frac{2,2in\cdot sen30,39^{\circ }}{sen24^{\circ }}\approx 2,7in$$
La distancia del centro (O) hasta el pistón (P) es de 2,7 in
Ley del coseno
La ley del coseno permite determinar triángulos oblicuángulos, usando únicamente los casos # 4 y # 5. Es decir (L-A-L) y (L-L-L).
Definición
| El cuadrado de la longitud de uno de sus lados es igual a la suma de los cuadrados de sus longitudes de los otros dos lados menos el doble producto de esas longitudes por el coseno del ángulo comprendido entre ellos. |
A continuación, las fórmulas para determinar los lados y ángulos:
| Lados | Ángulos |
| $$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2\cdot b\cdot c\cdot cos\delta$$ | $$\alpha = cos^{-1}\cdot \left ( \frac{b^2 + c^2 – a^2}{2bc} \right )$$ |
| $$b^{2}=a^{2}+c^{2}-2\cdot a\cdot c\cdot cos\beta $$ | $$\beta = cos^{-1}\cdot \left ( \frac{a^2 + c^2 – b^2}{2ac} \right )$$ |
| $$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2\cdot a\cdot b\cdot cos\delta $$ | $$\delta = cos^{-1}\cdot \left ( \frac{a^2 + b^2 – c^2}{2ab} \right )$$ |
Ejemplo: Resuelva el siguiente triángulo.
Datos del triángulo
Tipo: Obtusángulo.
Caso # 3: (L-A-L).
Tipo de ley: Ley del coseno.
Nombre y valores de cada lado y ángulo opuesto.
Lado a = 5cm → Ángulo opuesto α = ?
Lado b = ? → Ángulo opuesto β = 120°
Lado c = 10cm. → Ángulo opuesto δ = ?
Procedimiento:
Determinar el valor del lado b
Sustituir todos los valores de los lados en la fórmula y luego se determina el ángulo α.
Determinar el ángulo δ
Actividades
Determine
Determine los lados y ángulos faltantes
Calcule el valor del lado y los dos ángulos
¿Qué ley debes aplicar para solucionar el triángulo a continuación?
¿Cuál es el valor del ángulo opuesto del lado de 8 unidades?
Determine la longitud del lado opuesto al ángulo de 23°
¿Qué valor tiene la altura del siguiente triángulo?
Según el triángulo que se muestra a continuación, diga el número del caso para conocer qué ley debe ser aplicada.
El triángulo a continuación, es:
- Acutángulo.
- Rectángulo.
- Oblicuángulo.
- Obtusángulo.
Justifica tu respuesta.
¿Cual es el valor del ángulo opuesto al lado de 3 unidades?
Un avión partió de la ciudad «X» con destino a la ciudad «Z», que se encuentra a una distancia de 150 millas, y luego se dirige hacia la ciudad «Y», que está a 100 millas de distancia. Consulte la imagen adjunta.
- ¿Cuál es la distancia entre la ciudad «X» y la ciudad «Y»?
- ¿Qué dirección debe seguir el piloto del avión para volar de la ciudad «X» a la ciudad «Y»?
Respuestas:
235,5 millas.
15,8°.
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