El factorial de un número es una herramienta clave cuando se quiere saber de cuántas formas distintas puedes ordenar un conjunto de elementos. En este post verás su definición, solución de ejemplos paso a paso y practicarás con una serie de ejercicios para afianzar el concepto.
1. ¿En qué consiste el factorial de un número?
El factorial de un número entero positivo consiste en multiplicarlo por todos los enteros positivos menores que él. La notación $6!$ se lee «seis factorial» y representa el producto:
$$6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1$$
Un caso especial que conviene recordar es que:
$$0! = 1! = 1$$
Para que lo comprendas mejor, piensa ¿cuántas formas existen de acomodar un conjunto vacío de objetos?, o bien un único objeto: en ambos casos solo hay una manera posible de ordenarlos, por eso ambos factoriales equivalen a 1.
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2. Ejemplos resueltos paso a paso
Situación # 1
Evaluar:
$$\frac{9!}{5!}$$
Solución: Expandir el numerador y el denominador para identificar los factores comunes y simplificar la expresión.
$$\frac{9\times8\times7\times6\times5!}{5!}=9\times8\times7\times6=3024$$
Situación # 2
En un estante hay 5 libros de matemáticas diferentes, 3 libros de ciencias y 6 novelas. ¿De cuántas maneras se pueden organizar los libros si cada categoría permanece unida (es decir, todos los libros de matemáticas juntos, todos los de ciencias juntos y todas las novelas juntas)?
Solución: Como hay 5 libros de matemáticas, podemos pensar en llenar 5 espacios: el primero con cualquiera de los 5 libros, el segundo con cualquiera de los 4 restantes, y así sucesivamente:
$$5\times4\times3\times2\times1=120 \text{ formas}$$
Los 3 libros de ciencias se pueden ordenar de:
$$3\times2\times1=6 \text{ formas}$$
Las 6 novelas se pueden ordenar de:
$$6\times5\times4\times3\times2\times1=720 \text{ formas}$$
Además, como hay tres categorías de libros que también pueden intercambiar su posición entre sí:
$$3\times2\times1=6 \text{ formas}$$
Por lo tanto, el total de maneras de organizar todos los libros es:
$$120\times6\times720\times6=3,110,400$$
3. Ejercicios resueltos
Evalúa las siguientes expresiones con factoriales.
$$\frac{11!}{8!}$$
$$\frac{5\times9!}{4!\times 6!}$$
¿De cuántas maneras se pueden ordenar 8 niños en una fila?
¿De cuántas maneras existen para organizar 2 libros de cocina, 4 libros de texto, 6 novelas y 3 libros de arte en un estante si cada grupo permanece junto?
Respuestas
- $$\frac{11\times10\times9\times8!}{8!}=11\times10\times9=990$$
- $$\frac{5\times9\times8\times7\times6!}{4\times3\times2\times1\times6!}=\frac{2520}{24}=105$$
- $$8! = 40.320$$
- $$2!\times4!\times6!\times3!\times4!=2\times24\times720\times6\times24=4.976.640$$
4. Preguntas frecuentes
1. ¿Qué es el factorial de un número?
2. ¿Cómo se representa el factorial?
3. ¿Cuánto vale 0!?
4. ¿Cuánto vale 1!?
5. ¿Para qué se utiliza el factorial en matemáticas?
6. ¿Cómo se simplifica una división de factoriales, como 9!/5!?
7. ¿El factorial se puede calcular con números negativos?
8. ¿Qué diferencia hay entre ordenar elementos en fila y en círculo?
9. ¿Cómo se calcula el factorial cuando hay grupos que deben permanecer juntos?
10. ¿Existe una fórmula general para el factorial de cualquier número n?
5. Actividades
Evalúa las siguientes expresiones factoriales.
1.
$$\frac{6!}{2!\times 4!}=$$
2.
$$\frac{9!}{3!\times 6!}=$$
3.
$$\frac{5!\times 7!}{9!}=$$
4.
$$\frac{6!\times 9!}{13!}=$$
5.
¿De cuántas maneras puede un entrenador de béisbol formar la alineación de sus diez jugadores titulares?
6.
¿De cuántas maneras se pueden ordenar las letras de la palabra NÚMERO?
7.
¿De cuántas formas se pueden alinear 10 autobuses escolares?
8.
¿De cuántas maneras se pueden sentar siete niñas juntas en una misma fila?
9.
Si dos de las siete niñas del ejercicio anterior deben sentarse una junto a la otra, ¿de cuántas formas pueden acomodarse las 7 niñas en la fila de modo que esas dos siempre queden juntas?
10.
¿De cuántas maneras pueden sentarse seis comensales alrededor de una mesa circular? (Pista: la respuesta no es 6!; recuerda que un arreglo circular se cuenta de forma distinta a uno lineal).
11.
¿De cuántas maneras se pueden organizar 2 libros de cocina, 5 novelas y 3 libros de no ficción en un estante si cada categoría permanece unida?
12.
¿De cuántas maneras pueden acomodarse tres profesores, tres estudiantes varones, cuatro estudiantes mujeres y un administrador, si los profesores deben sentarse juntos, los varones deben sentarse juntos y las mujeres deben sentarse juntas?
Respuestas
1.
15
2.
84
3.
5/3
4.
6/143
5.
3 628 800
6.
720
7.
3 628 800
8.
5 040
9.
1 440
10.
120
11.
8 640
12.
20 736
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