Ecuación de la recta: guía práctica con ejemplos y ejercicios

La ecuación de la recta aparece con más frecuencia de la que imaginas: en el costo de un viaje en taxi, en el plan de datos del celular, en la inclinación de una rampa de acceso o en el ritmo con el que crecen tus ahorros mes a mes. Detrás de cada una de esas situaciones hay una relación lineal, y entender cómo se escribe su ecuación te permite predecir valores, comparar opciones y tomar mejores decisiones sin necesidad de hacer una tabla interminable de datos.

A continuación encontrarás las dos formas más usadas para expresar la ecuación de una recta, ejemplos resueltos paso a paso, una gráfica de referencia y una serie de ejercicios para que practiques por tu cuenta.

¿Qué información necesitas para describir cualquier recta?

Basta con dos datos: la pendiente y el punto donde la recta cruza el eje vertical. Con ellos puedes escribir la forma pendiente-intersección:

$$y = mx + b$$

Solo tienes que reemplazar m (la pendiente) y b (la ordenada al origen) en esa expresión. Por ejemplo, si una recta tiene pendiente 6 y corta al eje vertical en -5, su ecuación es:

$$y = 6x – 5$$

Cuando lo único que tienes es la gráfica de una recta, puedes leer directamente la pendiente y la ordenada al origen sin necesidad de ninguna fórmula adicional. Observa el siguiente ejemplo: la recta sube 3 unidades por cada 4 unidades que avanza hacia la derecha, así que su pendiente es 3/4. Además, corta el eje vertical en -3.

$$y = \frac{3}{4}x – 3$$

¿Cómo escribes la ecuación si conoces la pendiente y un punto?

Cuando no conoces la ordenada al origen, pero sí un punto cualquiera de la recta y su pendiente, conviene usar la forma punto-pendiente:

$$y – y_0 = m(x – x_0)$$

Aquí m es la pendiente y (x0, y0) es el punto conocido de la recta.

Ejemplo

Solución. Sustituyes los valores en la fórmula:

$$y – 5 = \frac{2}{3}(x – 4)$$

Si despejas y para llevarla a la forma pendiente-intersección, distribuyes 2/3 y sumas 5 en ambos lados:

$$y = \frac{2}{3}x + \frac{7}{3}$$

¿Qué haces cuando solo tienes dos puntos de la recta?

La forma punto-pendiente también resulta muy útil cuando conoces dos puntos de una recta, pero no su pendiente. El primer paso siempre es calcularla:

$$m = \frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1}$$

Supón que la recta pasa por los puntos (-3, 4) y (6, 1). Sustituyendo las coordenadas obtienes:

$$m = \frac{1 – 4}{6 – (-3)} = -\frac{1}{3}$$

Con ese valor puedes usar cualquiera de los dos puntos en la fórmula punto-pendiente. Si eliges (6, 1):

$$y – 1 = -\frac{1}{3}(x – 6)$$

Y si en cambio usas (-3, 4):

$$y – 4 = -\frac{1}{3}(x + 3)$$

Aunque las dos expresiones se ven distintas, ambas representan la misma recta: al despejar y en cada una llegas al mismo resultado en forma pendiente-intersección:

$$y = -\frac{1}{3}x + 3$$

Esto confirma que, sin importar qué punto elijas para construir la ecuación, el resultado final siempre describe la misma recta.

Ejemplo

Solución. Primero calculas la pendiente:

$$m = \frac{1 – 5}{7 – 2} = -\frac{4}{5}$$

Usando el punto (2, 5), la ecuación en forma punto-pendiente queda así:

$$y – 5 = -\frac{4}{5}(x – 2)$$

Al distribuir y despejar y obtienes la forma pendiente-intersección:

$$y = -\frac{4}{5}x + \frac{33}{5}$$

¿Cómo se dibuja una recta a partir de su forma punto-pendiente?

Una de las grandes ventajas de la forma punto-pendiente es que puedes graficar la recta directamente, sin convertirla antes a la forma pendiente-intersección: solo necesitas ubicar el punto conocido y usar la pendiente para encontrar un segundo punto.

La forma punto-pendiente es la manera de escribir la ecuación de una recta cuando conoces su pendiente y un punto por el que pasa, sin necesidad de conocer la ordenada al origen. Se expresa como

$$y – y_0 = m(x – x_0)$$

donde m es la pendiente y (x0, y0) es el punto conocido de la recta.

Ejemplo 1

Para identificar el punto con claridad, conviene reescribir el término de la izquierda como una resta:

$$y – (-4) = \frac{3}{5}(x – 3)$$

Ahora es evidente que la recta pasa por el punto (3, -4) y que su pendiente es 3/5. Para dibujarla, ubicas ese punto en el plano y, a partir de él, avanzas 5 unidades a la derecha y subes 3 unidades para marcar un segundo punto; luego trazas la recta que une ambos y la extiendes en las dos direcciones.

Ejemplo 2

Solución. Calculas la pendiente:

$$m = \frac{-3 – 0}{1 – 0} = -3$$

Sustituyendo la pendiente y el punto (0, 0):

$$y – 0 = -3(x – 0)$$

Como ya está resuelta para y, la forma pendiente-intersección es directa:

$$y = -3x$$

Preguntas frecuentes

Actividades

I. Encuentra la ecuación de cada recta en forma pendiente-intersección.

1. La recta tiene pendiente 8 y ordenada al origen -4.
2. La recta tiene pendiente -3 y ordenada al origen 9.
3. La recta tiene pendiente -1/6 y contiene el punto (6, -2).
4. La recta contiene los puntos (4, 6) y (-2, 1).
5. La recta contiene los puntos (8,12) y (10, 18).

II. Escribe la ecuación de cada recta en forma pendiente-intersección a partir de su gráfica.

1. Observa la siguiente gráfica:

2. Observa la siguiente gráfica:

III. Encuentra la ecuación de cada función lineal en forma pendiente-intersección.

1. m = 8, f(0) = -6
2. m = -9, f(3) = -2
3. m = 2/5, f(-1) = 3/5
4. m = 3.5, f(-2) = 6.4
5. f(1/2) = 5/6, f(0) = 7/6
6. f(2.5) = -4, f(-2) = 3

IV. Escribe la ecuación de cada recta en forma punto-pendiente.

1. La recta tiene pendiente -1/8 y pasa por el punto (8, 3).
2. La recta tiene pendiente -60 y pasa por el punto (0, 150).
3. La recta tiene pendiente 12 y pasa por el punto (6, -3).
4. La recta pasa por los puntos (-3, 4) y (-2, -1).
5. La recta contiene los puntos (12, 14) y (6, 28).
6. La recta pasa por los puntos (4, 5) y (0, 5).
7. La recta tiene pendiente 4/7 y ordenada al origen -5.
8. La recta tiene pendiente -8 y ordenada al origen 0,25.

V. Escribe la ecuación de cada función lineal en forma punto-pendiente.

1. m = -2/7 y f(0) = 9
2. m = -15 y f(-3) = 6
3. f(-6) = 7 y f(4) = -3
4. f(8) = 0 y f(0) = 8
5. m = 5 y f(3) = -11
6. m = -7/4 y f(0) = 28