Criterios de divisibilidad y descomposición en factores primos

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Caramelos¿Cómo aplicas los criterios de divisibilidad en la vida diaria? Si aún no los sabes te invito a leer este artículo, te aclarará muchas dudas.  ¿A ti no te ha pasado alguna vez que necesitas dividir o partir algo en partes iguales y luego repartirlo para que todos queden contentos?.

Aquí verás un ejemplo, imagínate que compraste una bolsa de 27 caramelos y piensas en ese momento compartirla con tu mamá y tu papá en casa para ver una película, pero te surge la siguiente pregunta ¿Esta cantidad de caramelos dividida entre los 3 dará en cantidad exacta para cada uno? Entonces para resolver esta situación necesariamente debes tener conocimientos de los criterios de divisibilidad.

Criterios de divisibilidad 

Son métodos que nos ayudan a calcular un resultado numérico exacto es decir que los resultados sean siempre números enteros y nunca sean números decimales. Cuando se dice divisibilidad debes relacionarlo con la operación básica de la división el cual consiste simplemente en una división exacta.

Hay muchos criterios de divisibilidad, los que se mencionarán en este post son 7, ellos son: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 11

Del número 2

Criterios de divisibilidad

tabla 2
Figura # 1

Los números que son divisible entre 2 son aquellas cifras que terminan en 0, 2, 4, 6 y 8 es decir los números pares.

En la figura # 1 te muestro algunos múltiplos del número 2. ¿Observaste que los múltiplos de 2 siempre terminan en 0, 2, 4, 6 y 8?

Figura # 2

Ejemplo # 1: Diga si los números de la figura # 2 (conjunto B) son divisibles entre 2.

Respuesta: Sí, todos son divisibles entre 2 porque terminan en 0,2,4,6 y 8 es decir todos son números pares.

Figura # 3

Ejemplo # 2: Diga si los números de la figura # 3 (conjunto A) son divisibles entre 2.

Respuesta:

El único número que es divisible entre 2 es el 540 ya que es un número par.

Los demás números no son divisibles entre 2 por que son números impares.

Del número 3

tabla 3
Figura # 4

Los números divisibles entre 3, son aquellos que son múltiplos de 3. Observa la figura # 4 allí conocerás algunos de ellos.
Entonces, ya sabes que el número 21 es divisible entre 3 porque lo viste en la imagen, pero que pasa si tienes un número muy grande que no esté en la lista ¿Qué puedes hacer?.
Primero. Sumar los dígitos de la cantidad. Segundo. Si la suma es múltiplo de 3, entonces ese número es divisible entre 3.

Ejemplo # 1: Determine si el número 1050 es divisible entre 3.

Primero. Sumar cada dígito de la cantidad →  1 + 0 + 5 + 0 = 6

Segundo. Como la suma de los dígitos es 6 y 6 es multiplo de 3. Se concluye que el número 1050 es divisible entre 3.

Ejemplo # 2: Determine si el número 297.125.082 es divisible entre 3.

Primero. Sumar cada dígito de la cantidad → 2 + 9 + 7 + 1 + 2 + 5 + 0 +8 + 2 = 36

Segundo. Como la suma de los dígitos es 36 y 36 es multiplo de 3. Se concluye que el número 297.125.082 es divisible entre 3.

Del número 4

4

tabla 4
Figura # 5

Los números que son divisibles entre 4 son aquellos números que son múltiplos de 4, mira la figura # 5 allí verás algunos múltiplos.
Para saber si un número es divisible entre 4 debes siempre trabajar con los dos últimos dígitos de la cifra. El procedimiento es el siguiente:

  1. Si los dos últimos dígitos de la cifra termina con doble ceros (00) estos números son divisible entre 4. Ejemplo:
    500
    1.800
    43.600
    5.674.600
  2. Si los dos últimos dígitos de la cifra son distintos a ceros, entonces esos dos últimos dígitos se dividen entre 4, si la división es exacta el número es divisible entre 4, ejemplo: determine si 60 y 3468 son divisibles entre 4.

El número 60 es divisible entre 4.divisible por 4 (1)

Ya que la división es exacta.

divisible por 4 (3)El número 3468 es divisible entre 4.

Porque al dividir sus últimos dos dígitos, la divión es exacta.

Ejemplo: Diga si los siguientes números son divisibles entre 4.
800

3.192
45.670

Solución:

800El número 800 es divisible entre 4.

Porque los dos últimos dígitos son doble ceros.

divisible por 4(5)El número 3.192 es divisible entre 4.

Porque al dividir sus últimos dos dígitos la división es exacta.

divisible por 4(6)El número 45.670 no es divisible entre 4.

Porque al dividir sus últimos dos dígitos la división es inexacta.

Del número 5

tabla 5
Figura # 6

Mucho más fácil es reconocer si un número es divisible entre 5, si ese número termina en 0 o en 5 es divisible entre 5. Observa la figura # 6.
Te fijaste que todos terminan en 0 y 5.

Ejemplo: Diga si los números 1.055 , 7.010.000 y 53 es divisible entre 5.

El número 1.055 es divisible entre 5 porque termina en 5.

El número 7.010.000 también es divisible entre 5 porque termina en 0.

Pero el número 53 no es divisible entre 5 por no termina ni en 0 ni en 5.

Del número 6

tabla 6
Figura # 7

Para saber si un número es divisible entre 6 se debe cumplir con dos condiciones:

Primero. Debe ser divisibles entre 2.
Segundo. Debe ser divisible entre 3.
Cuando la cifra es divisible entre 2 y 3, entonces es divisible entre 6.
Ejemplo: Diga si los siguientes números son divisibles entre 6.

  • 744
  • 809
  • 506

Número 744. Es divisible entre 2 y 3. Por lo tanto es divisible entre 6.

Número 809. No es divisible entre 2 y 3. Entonces no es divisible entre 6.

Número 506. Es divisible entre 2 pero no es divisible entre 3. Si no es divible por 3 entonces el número 506 no es divisible entre 6.

Del número 7

tabla 7
Figura # 8

Para que un número sea divisible entre 7 obviamente debe ser múltiplo de 7, mira la figura # 8 allí te muestro algunos multiplos de 7.
Pero surge una pregunta ¿Cómo puedes saber si una cifra fuera de la tabla es divisible entre 7?.
Muy fácil, sólo tienes cumplir los siguientes pasos:

  1. Separar la cifra del último dígito.
  2. Siempre debes multiplicar el último dígito por dos.
  3. Restar los primeros dígitos menos el producto del resultado anterior.
  4. Si el resultado es divisible entre “7” o da como resultado cero (0) o siete (7) la cifra es divisible entre 7.

Ejemplo # 1: Determine si 420 es divisible entre 7

La cifra es: 420.

  • Separar la cifra del último dígito. Separados queda así: 42  y  0.
  • Multiplicar el último dígito por dos. 0 x 2 = 0.
  • Restar los primeros dígitos menos el producto anterior. 42 – 0 = 42.
  • El resultado (42) es divisible entre 7. Por lo tanto el número 420 es divisible entre 7.

Ejemplo # 2: Determine si 7.574 es divisible entre 7

La cifra es: 7574.

  • Separar la cifra del último dígito. Separados queda así: 757  y  4.
  • Multiplicar el último dígito por dos. 4 x 2 = 8.
  • Restar los primeros dígitos menos el producto anterior. 757 – 8 = 749. “El número es muy grande, continuar el mismo procedimiento”.
  • Separar la cifra (749) del último dígito. Separados queda así: 74  y  9.
  • Multiplicar el último dígito por dos. 9 x 2 = 18.
  • Restar los primeros dígitos menos el producto anterior. 74 – 18 = 56.
  • El resultado (56) es divisible entre 7. Por lo tanto el número 7574 es divisible entre 7.

Del número 8

tabla 8
Figura # 9

Para conocer los números divisibles entre 8 sólo debes dividir la cantidad entre 8, si la división es exacta es divisible entre 8. A continuación te muestro en la figura # 9 algunos múltiplos de 8.
Pero, ¿Cómo puedes saber si una cifra fuera de la tabla es divisible entre 8?.
Es fácil, sólo tienes cumplir los siguientes pasos:

  1. Si es un número de dos o tres dígitos se dividen entre 8, si la división es exacta ese número es divisible por 8.
  2. Si es un número de 4 dígitos en adelante, se selecciona los últimos tres dígitos y se divide entre 8, la división debe ser exacta.
  3. Si es un número que termina con tres ceros (000) es un número divisible entre 8

Ejemplo: Verifica si los números a continuación son divisibles entre 8

  • 96
  • 880
  • 2.032
  • 562.000

Número 96.

Como es un número de dos dígitos se divide entre 8.

Como la división es exacta, entonces el número 96 es divisible entre 8.

Número 880.

Como es un número de tres dígitos se divide entre 8.

880 es divisible entre 8 porque la división es exacta.

Número 2032.

Este número posee cuatro dígitos se selecciona los últimos tres dígitos y se divide entre 8.

2.032 es divisible entre 8 porque la división es exacta.

Número 562000.

Este número termina con tres ceros.

562000 es divisible entre 8 porque sus últimos tres dígitos termina con tres ceros (000).

Criterios de divisibilidad del número 11

tabla 11Para conocer si un número es divisible por 11 el número debe ser múltiplo de 11. A la derecha te muestro algunos múltiplos de 11.

Para saber que un número es divisible entre 11 debes cumplir los siguientes requisitos:

Primero. Separar los dígitos de la cifra.

Segundo. Según el orden posicional, la unidad es el puesto # 1 es decir impar, la decena es la posición # 2 perteneciente a par, la centena ocupa el tercer lugar que es impar y así sucesivamente.

Tercero. Sumar los dígitos de lugares pares e impares por separado.

Cuarto. Restar la suma de los dígitos pares e impares.

Quinto. Si el resultado es cero (0) o once (11) entonces la cifra es divisible entre 11.

Observa la siguiente cifra, allí verás los lugares pares e impares que te mencioné anteriormente, los rojos son impares y los azules los pares

Ejemplos de criterios de divisibilidad

#1. Determine si el número 385 es divisible entre 11

Primero. Separar los dígitos y según su orden posicional clasificarlos en pares e impares.

  • Posición # 1 (impar) = 5
  • Posición # 2 (par) = 8
  • Posición # 3 (impar) =3

Segundo. Sumar los dígitos de lugares pares e impares por separado.

Impares: 5 + 3 = 8

Pares: 8

  • Tercero. Restar la suma de los dígitos pares e impares.

8 – 8 = 0

  • Cuarto. Si el resultado es cero (0) o once (11) entonces la cifra es divisible entre 11.

Como el resultado es cero (0), la cifra 385 es divisible entre 11.

# 2: Determine si el número 11.638 es divisible entre 11.

Primero. Separar los dígitos y según su orden posicional clasificarlos en pares e impares.

  • Posición # 1 (impar) = 1
  • Posición  # 2 (par) = 1
  • Posición  # 3 (impar) =6
  • Posición  # 4 (par) = 3
  • Posición # 5 (impar) = 8

Segundo. Sumar los dígitos de lugares pares e impares por separado.

Impares: 1 + 6 + 8 = 15

Pares: 1 + 3 = 4

  • Tercero. Restar la suma de los dígitos pares e impares.

15 − 4 = 11

  • Cuarto. Si el resultado es cero (0) o once (11) entonces la cifra es divisible entre 11.

Como el resultado es cero (11), el número 11638 es divisible entre 11.

Números primos en los criterios de divisibilidad 

Los números primos son aquellos que tienen únicamente 2 divisores que es el 1 y el mismo número.

La siguiente tabla muestra algunos números primos

23571113
171923293137

Procedimiento para determinar números primos

Para saber si un número es primo debes dividirlo por los siguientes números primos : 2,3,5,7,11,13,… hasta lograr que el cociente sea menor que el divisor.

A continuación te muestro las partes de la división:

Ejemplo: Determina si el número 101 es primo.

Criterios de divisibilidad Se evidencia que el residuo es uno(1) por lo tanto no es divisible entre dos.

Criterios de divisibilidad Se observa que al dividir en 3 el resto es 2, por lo tanto no es divisible.

Criterios de divisibilidad Al dividir entre 5 el resto es 1, esto significa que no es divisible entre 5

Criterios de divisibilidad

No es divisible entre siete, ya que el resto es 3

Observa que el cociente es menor que el divisor, por lo tanto se finaliza el procedimiento de las divisiones hasta el número 11.

Conclusión: El número 101 es primo, es decir que 101 solamente es divisible entre 1 y 101.

Descomposición en sus factores primos en los criterios de divisibilidad

En los criterios de divisibilidad la descomposición de un número se trata en reducir ese número en sus factores primos, para poder realizar esto es necesario aplicarlos y siempre empezar con los números primos de menor a mayor.

Observa el siguiente procedimiento de descomposición en sus factores primos del número 2520.

Criterios de divisibilidad 2520 es par, entonces es divisible entre 2.

Criterios de divisibilidad 1260 es par, por lo tanto es divisible entre 2.

Criterios de divisibilidad 630 es par divisible entre 2.

Criterios de divisibilidad

315 no es par por lo tanto el número primo 2 no califica, entonces verificamos que esa cifra sea divisible entre 3.

 

 

Se suma los dígitos de 315 y queda así 3 + 1 + 5 = 9.

9 es múltiplo de 3, esto quiere decir que la cifra 315 es divisible entre 3.

Se efectúa la división 315 entre 3.

Criterios de divisibilidad 105 es divisible entre 3.

Criterios de divisibilidad 35 no es divisible entre 3, pero si es divisible entre 5.

Criterios de divisibilidad El número 7 no es divisible entre 5, es un número primo, por lo tanto se divide entre el mismo.

La descomposición del número 2520 es:


 

 

 

 

Actividades de criterios de divisibilidad y descomposición en factores primos

  1. Según la cifra indica con una «X» sus números divisibles

Cifras234567811
946
112.838
35.434
390.236
3.084
2.290
26.225
210
119
91
121
253
203

  1. Calcule y marque con una «X» los números primos. Ten en cuenta que debes utilizar los criterios de divisibilidad. Justifique su respuesta.

CifraPrimoNo primo
7
71
89
149
24
68
102
37
409
997
1005
995
1005
937
940

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