Criterios de divisibilidad y descomposición en factores

¿Cómo aplicas los criterios de divisibilidad en la vida diaria? Si aún no los sabes te invito a leer este artículo, te aclarará muchas dudas.  ¿A ti no te ha pasado alguna vez que necesitas dividir o partir algo en partes iguales y luego repartirlo para que todos queden contentos?

Te voy a dar un ejemplo, imagínate que compraste una bolsa de 27 caramelos y piensas en ese momento compartirla con tu mamá y tu papá en casa para ver una película, pero te surge la siguiente pregunta ¿Esta cantidad de caramelos dividida entre los 3 dará en cantidad exacta para cada uno? Entonces para resolver esta situación necesariamente debes tener conocimientos de los criterios de divisibilidad.

Criterios de divisibilidad 

Los criterios de divisibilidad son métodos que nos ayudan a calcular un resultado numérico exacto es decir que los resultados sean siempre números enteros y nunca sean números decimales. Cuando se dice divisibilidad debes relacionarlo con la operación básica de la división el cual consiste simplemente en una división exacta.

Existen muchos criterios de divisibilidad, los que se mencionarán en este post son 7 ellos son:

• Criterio de divisibilidad del 2
• Criterio de divisibilidad del 3
• Criterio de divisibilidad del 4
• Criterio de divisibilidad del 5
• Criterio de divisibilidad del 6
• Criterio de divisibilidad del 7
• Criterio de divisibilidad del 8
• Criterio de divisibilidad del 11

Criterio de divisibilidad del 2

Los números que son divisible entre 2 sencillamente son los números múltiplos de 2, o aquellos números que terminan en 0, 2, 4, 6 y 8 es decir los números pares.

Debes saber que: todos los números múltiplos son infinitos.

A continuación te voy a mostrar algunos múltiplos del número 2:

2 × 1 = 2	2 × 2 = 4	2 × 3 = 6	2 × 4 = 8	2 × 5 = 10
2 × 6 = 12	2 × 7 = 14	2 × 8 = 16	2 × 9 = 18	2 × 10 = 20
2 × 11 = 22	2 × 12 = 24	2 × 13 = 26	2 × 14 = 28	2 × 15 = 30
2 × 16 = 32	2 × 17 = 34	2 × 18 = 36	2 × 19 = 38	2 × 20 = 40

Observaste que los múltiplos de 2 siempre terminan en 0, 2, 4, 6 y 8

Ejemplo # 1

Diga si los números del conjunto B son divisibles entre 2

Respuesta:

Si, todos son divisibles entre 2 porque terminan en 0,2,4,6 y 8 es decir todos son números pares.

Ejemplo # 2

Diga si los números del conjunto A son divisibles entre 2

Respuesta:

El único número que es divisible entre 2 es el 540 ya que es un número par

Los demás números no son divisibles entre 2 por que son números impares

Criterio de divisibilidad del 3

Los números divisibles entre 3, son aquellos que son múltiplos de 3. Te voy a mostrar algunos múltiplos de 3, observa la tabla:

3 × 1 = 3	3 × 2 = 6	3 × 3 = 9	3 × 4 = 12	3 × 5 = 15
3 × 6 = 18	3 × 7 = 21	3 × 8 = 24	3 × 9 = 27	3 × 10 = 30
3 × 11 = 33	3 × 12 = 36	3 × 13 = 39	3 × 14 = 42	3 × 15 = 45
3 × 16 = 48	3 × 17 = 51	3 × 18 = 54	3 × 19 = 57	3 × 20 = 60

Entonces ya sabes que el número 21 es divisible entre 3 porque está en la tabla, pero que pasa si tienes un número muy grande que no esté en la lista ¿Qué puedes hacer?

Procedimiento para aplicar el criterio de  divisibilidad

El procedimiento es muy sencillo, sólo debes sumar los dígitos de la cantidad y si la suma es múltiplo de 3, entonces ese número es divisible entre 3.

Ejemplo # 1

Determine si la siguiente cantidad es divisible entre 3

• 1.050

Pasos		Operación
1.	Sumar cada dígito de la cantidad	1 + 0 + 5 + 0 = 6
2.	Verifique que es múltiplo de 3	6 es múltiplo de 3
3.	Es o no divisible entre 3	El número 1.050 es divisible entre 3

Ejemplo # 2

Determine si el siguiente número es divisible entre 3

• 297.125.082

Pasos		Operación
1.	Sumar cada dígito de la cantidad 297.125.082	2 + 9 + 7 + 1 + 2 + 5 + 0 +8 + 2 = 36
2.	Verifique que es múltiplo de 3	36 si te parece que el número es grande, no te preocupes continúa sumando los dígitos hasta obtener un número pequeño
3.	Sumar cada dígito de la cantidad 36	3 + 6 = 9
4.	Verifique que es múltiplo de 3	9 sí es múltiplo de 3
5.	Es o no divisible entre 3	El número 297.125.082 es divisible entre 3

Criterio de divisibilidad del 4

Lógicamente los números que son divisibles entre 4 son aquellos números que son múltiplos de 4, mira la siguiente tabla de algunos múltiplos de 4

4 × 1 = 4	4 × 2 = 8	4 × 3 = 12	4 × 4 = 16	4 × 5 = 20
4 × 6 = 24	4 × 7 = 28	4 × 8 = 32	4 × 9 = 36	4 × 10 = 40

Procedimiento para aplicar el criterio de divisibilidad 

Para saber si un número es divisible entre 4 debes siempre trabajar con los dos últimos dígitos de la cifra. El procedimiento es el siguiente:

1. Si los dos últimos dígitos de la cifra termina con doble ceros (00) estos números son divisible entre 4. Ejemplo: Diga si los siguientes números son divisibles ente 4:
   500
   1.800
   43.600
   5.674.600
   

2. Si los dos últimos dígitos de la cifra son distintos a ceros, entonces esos dos últimos dígitos se dividen entre 4, si la división es exacta el número es divisible entre 4, ejemplo: determine si 60 y 3468 son divisibles entre 4

El número 60 y 3.468 son divisibles entre 4 Porque al dividir los dos últimos dígitos entre 4 la división es exacta

Ejemplo

• Diga si los siguientes números son divisibles entre 4
  800
  3.192
  45.670

800 es divisible entre 4, porque los dos últimos dígitos son doble ceros	3.192 es divisible entre 4, porque la división es exacta	45.670 no es divisible entre 4, porque la división es inexacta

Criterio de divisibilidad del 5

Mucho más fácil es reconocer si un número es divisible entre 5, si ese número termina en 0 o en 5 es divisible entre 5. Observa la siguiente tabla de algunos números múltiplos de 5

5 × 1 = 5	5 × 2 = 10	5 × 3 = 15	5 × 4 = 20	5 × 5 = 25
5 × 6 = 30	5 × 7 = 35	5 × 8 = 40	5 × 9 = 45	5 × 10 =50
5× 11 =  55	5 × 12 = 60	5 × 13 = 65	5 × 14 = 70	5 × 15 = 75
5 × 16 = 80	5 × 17 = 85	5 × 18 = 90	5 × 19 = 95	5 × 20 = 100

Te fijaste que todos terminan en 0 y 5

Ejemplo

Diga si los números 1.055 , 7.010.000 y 53 es divisible entre 5

El número 1.055 es divisible entre 5 porque termina en 5

El número 7.010.000 también es divisible entre 5 porque termina en 0

Pero el número 53 no es divisible entre 5 por no termina ni en 0 ni en 5

Criterio de divisibilidad del 6

Procedimiento para aplicar el criterio de divisibilidad 

Para saber si un número es divisible entre 6 se debe cumplir con dos condiciones:

1. Primero debe ser divisibles entre 2 y
2. Segundo debe ser divisible entre 3

Cuando la cifra es divisible entre 2 y 3, esto quiere decir que es divisible entre 6

Ejemplo

Diga si los siguientes números son divisibles entre 6

• 744
• 809
• 506

Cifra	Divisible entre 2	Divisible entre 3	Divisible entre 6
744	Si es divisible entre 2 porque es un número par	7 + 4 + 4 = 15 Si es divisible entre 3 ya que la sumatoria de sus dígitos es múltiplo de 3	Como es divisible entre 2 y 3 es divisible entre 6
809	No es divisible entre 2	8 + 0 + 9 = 17 17 no es múltiplo de 3. entonces la cifra 809 No es divisible entre 3	Como no es divisible entre 2 y 3 No es divisible entre 6
506	Si es divisible entre 2 porque es un número par	5 + 0 + 6 = 11 11 no es múltiplo de 3 por lo tanto la cifra 506 No es divisible entre 3	No es divisible entre 6, ya que la cifra 506 no es divisible entre 3

Criterio de divisibilidad del 7

Para que un número sea divisible entre 7 obviamente debe ser múltiplo de 7, mira algunos múltiplos de 7

7 × 1 = 7	7 × 2 = 14	7 × 3 = 21	7 × 4 = 28	7 × 5 = 35
7 × 6 = 42	7 × 7 = 49	7 × 8 = 56	7 × 9 = 63	7 × 10 = 70
7 × 11 = 77	7 × 12 = 84	7 × 13 = 91	7 × 14 = 98	7 × 15 = 105
7 × 16 = 112	7 × 17 = 119	7 × 18 = 126	7 × 19 = 133	7 × 20 = 140

Pero surge una pregunta ¿Cómo puedes apreciar una cifra divisible entre 7?

Procedimiento para aplicar el criterio de divisibilidad 

Muy fácil, sólo tienes cumplir los siguientes pasos:

1. Separar la cifra del último dígito
2. Siempre debes multiplicar el último dígito por dos
3. Restar la cifra menos el producto del resultado anterior
4. Si el resultado es cero (0) o siete (7) la cifra es divisible entre 7

Ejemplo # 1

Determine si 420 es divisible entre 7

La cifra es: 420

El último dígito es: 0

La cifra separada del último dígito es: 42

	Pasos	Operación
1.	Separar la cifra del último dígito	42      y       0
2.	Multiplicar el último dígito por 2	2 × 0 = 0
3.	Restar la cifra menos el producto del resultado anterior	42 – 0 = 42
4.	Verifique si es múltiplo de 7	42 es múltiplo de 7
5.	Es o no divisible entre 7	El número 420 es divisible entre 7

Ejemplo # 2

Determine si 7.574 es divisible entre 7

La cifra es: 7.574

El último dígito es: 4

La cifra separada del último dígito es: 757

	Pasos	Operación
1.	Separar la cifra del último dígito	757      y       4
2.	Multiplicar el último dígito por 2	4 × 2 = 8
3.	Restar la cifra menos el producto del resultado anterior	757 – 8 = 749
4.	Verifique si es múltiplo de 7	749 aún es un número muy grande
5.	Separar la cifra del último dígito	74      y       9
5.	Multiplicar el último dígito por 2	9 × 2 = 18
6.	Restar la cifra menos el producto del resultado anterior	74 – 18 = 56
7.	Verifique si es múltiplo de 7	56 es múltiplo de 7
8.	Es o no divisible entre 7	El número 7.574 es divisible entre 7

Criterio de divisibilidad del 8

Para conocer los números divisibles entre 8 sólo debes dividir la cantidad entre 8, si la división es exacta es divisible entre 8. A continuación te muestro algunos múltiplos de 8

8 × 1 =8	8 × 2 = 16	8 × 3 = 24	8 × 4 = 32	8 × 5 = 40
8 × 6 = 48	8 × 7 = 56	8 × 8 = 64	8 × 9 = 72	8 × 10 = 80

Procedimiento para aplicar el criterio de divisibilidad

1. Si es un número de dos o tres dígitos se dividen entre 8, si la división es exacta ese número es divisible por 8.
2. Si es un número de 4 dígitos en adelante, se selecciona los últimos tres dígitos y se divide entre 8, la división debe ser exacta.
3. Si es un número que termina con tres ceros (000) es un número divisible entre 8

Ejemplo

Verifica si los números a continuación son divisibles entre 8

• 96
• 880
• 2.032
• 562.000

96
Pasos		Operación
1.	Como es un número de dos dígitos se divide entre 8
96 es divisible entre 8 porque la división es exacta

880
Pasos		Operación
1.	Como es un número de tres dígitos se divide entre 8
880 es divisible entre 8 porque la división es exacta

2.032
Pasos		Operación
1.	Este número posee cuatro dígitos se selecciona los últimos tres dígitos y se divide entre 8
2.032 es divisible entre 8 porque la división es exacta

562.000
Operación
1.	Este número termina con tres ceros
562.000 es divisible entre 8 porque sus últimos tres dígitos termina con tres ceros (000)

Criterio de divisibilidad del 11

Para conocer si un número es divisible por 11 el número debe ser múltiplo de 11. A continuación te muestro algunos números múltiplos 11

11 × 1 =11	11 × 2 = 22	11 × 3 = 33	11 × 4 = 44	11 × 5 = 55
11 × 6 = 66	11 × 7 = 77	11 × 8 = 88	11 × 9 = 99	11 × 10 = 110

Procedimiento para aplicar el criterio de divisibilidad 

Para saber que un número es divisible entre 11 debes cumplir los siguientes requisitos:

1. Seleccionar los dígitos de lugares pares e impares de la cifra
2. Sumar los dígitos de lugares pares e impares por separado
3. Restar la suma de los dígitos pares e impares
4. Si el resultado es cero (0) o once (11) entonces la cifra es divisible entre 11

Observa la siguiente cifra, allí verás los lugares pares e impares que te mencioné anteriormente, los rojos son impares y los azules los pares

Ejemplo # 1

Determine si 385 es divisible entre 11

	Pasos	Operación
1.	Seleccionar los dígitos de los lugares pares e impares de la cifra	385 Lugar # 1 (impar) = 3 Lugar # 2 (par) = 8 Lugar # 3 (impar) =5
2.	Suma de los dígitos impares	3 + 5 = 8
3.	Suma de los dígitos pares	8
4.	Restar la suma de los dígitos pares e impares	8 − 8 = 0
5.	Como el resultado = 0	La cifra 385 es divisible entre 11

Ejemplo # 2

Determine si el número 11.638 es divisible entre 11

	Pasos	Operación
1.	Seleccionar los dígitos de los lugares pares e impares de la cifra	11.638 Lugar # 1 (impar) = 1 Lugar # 2 (par) = 1 Lugar # 3 (impar) =6 Lugar # 4 (par) = 3 Lugar # 5 (impar) = 8
2.	Suma de dígitos pares	1 + 3 = 4
3.	Suma de los dígitos impares	1 + 6 + 8 = 15
4.	Restar la suma de los dígitos pares e impares	15 − 4 = 11
5.	Como el resultado es 11	La cifra 11.638 es divisible entre 11

Números primos en los criterios de divisibilidad 

Los números primos son aquellos que tienen únicamente 2 divisores que es el 1 y el mismo número.

La siguiente tabla muestra algunos números primos

2	3	5	7	11	13
17	19	23	29	31	37

Procedimiento para determinar números primos

Para saber si un número es primo debes dividirlo por los siguientes números primos : 2,3,5,7,11,13,… hasta lograr que el cociente sea menor que el divisor.

A continuación te muestro las partes de la división:

Ejemplo

Determina si el número 101 es primo

No es divisible entre 2 Por ser una división inexacta
No es divisible entre 3
No es divisible entre 5
No es divisible entre 7
No es divisible entre 11 Observa que el cociente es menor que el divisor, por lo tanto se finaliza el procedimiento de las divisiones hasta el 11
Conclusión	101 es un número primo, es decir que 101 solamente es divisible entre 1 y 101

Descomposición en sus factores primos en los criterios de divisibilidad

En los criterios de divisibilidad la descomposición de un número se trata en reducir ese número en sus factores primos, para poder realizar esto es necesario aplicarlos y siempre empezar con los números primos de menor a mayor.

Observa el siguiente procedimiento de descomposición en sus factores primos del número 2520

1.	2520 es par, entonces es divisible entre 2. Se efectúa la división
2.	1260 es par, por lo tanto es divisible entre 2 Se efectúa la división
3.	630 es par divisible entre 2 Se efectúa la división
4.	315 no es par por lo tanto el número primo 2 no califica, entonces verificamos que esa cifra sea divisible entre 3 Se suma los dígitos de 315 y queda así 3 + 1 + 5 = 9 9 es múltiplo de 3, esto quiere decir que la cifra 315 es divisible entre 3 Se efectúa la división 315 entre 3
5.	105 es divisible entre 3 Se efectúa la división
6.	35 no es divisible entre 3, pero si es divisible entre 5 Se efectúa la división
7.	7 no es divisible entre 5, pero si es divisible entre 7 Se efectúa la división
8.	La descomposición de 2520 es

Ejercicios de Criterios de divisibilidad

1. Según la cifra indica con una «X» sus números divisibles

Cifras		Números
		2	3	4	5	6	7	8	11
1.	946
2.	112.838
3.	35.434
4.	390.236
5.	3.084
6.	2.290
7.	26.225
8.	210
9.	119
10	91
11.	121
12.	253
13.	203

 

1. Calcule y marque con una «X» los números primos. Ten en cuenta que debes utilizar los criterios de divisibilidad. Justifique su respuesta.

Cifras
47	71	89	149	24	68	102	37	409	997	1005	937	940	647	53	56	59	88	89	90