¿Sabes cómo se aplica la función en la vida diaria? En una frutería promocionan 1 paquete de 4 manzanas a $5000. Sabemos que mientras más cantidades de paquetes vendan mayor es el beneficio económico para el negocio. Entonces, una buena venta de manzanas está en función a vender muchas cantidades de paquetes.
Definición de función
Es una relación que debe cumplir las siguientes condiciones:
I- Todos los elementos del conjunto de partida deben poseer imágenes en el conjunto de llegada.
II- Cada elemento del conjunto de partida sólo debe tener una imagen en el conjunto de llegada.
Ejemplo # 1 de función
Tomando en cuenta la figura # 1, determinar si las relaciones mostradas son funciones. Justifica tu respuesta.
a. En la relación f no es función porque el elemento 2 del conjunto de partida posee dos imágenes, 4 y 2, en el conjunto de llegada. Los pares ordenados formados son: f {(1,4),(2,4),(2,2),(3,7),(4,3)}
b. En la relación g a pesar que el elemento c del conjunto de llegada no esté relacionado si es función porque todos los elementos del conjunto de partida tienen una sola imagen. Los pares ordenados son: g {(1,a),(2,b),(3,d)}
c. En la relación h si es función porque todos los elementos del conjunto de partida tienen una sola imagen. Los pares ordenados son: h {(1,2),(2,2),(3,2)}
d. En la relación i es función porque todos los elementos del conjunto de partida tienen una sola imagen, a pesar que el elemento n del conjunto de llegada no esté relacionado. Los pares ordenados son: i {(1,l),(2,m),(3,m)}
e. En la relación j no es función porque el elemento 3 del conjunto de partida no está relacionado. Los pares ordenados son: j {(1,-2),(2,-1),(4,-4)}
f. En la relación k si es función porque todos los elementos del conjunto de partida tienen una sola imagen. Los pares ordenados son: j {(1,R),(2,J),(3,Q)}
Función: Variable independiente y dependiente
Cuando se menciona la palabra variable se refiere a una variación o cambio que sufre algo, recuerda el ejemplo al principio del post donde una frutería coloca en promoción 1 paquete de manzanas por sólo $5000 pesos. Aquí hay variables, y es que a mayor venta de paquetes de manzanas mayor es el beneficio en dinero para la frutería. Fíjate que aquí existe una relación (función) que depende de las cantidades de paquetes que los clientes compren. Por lo tanto, la variable independiente es el paquete de manzanas y la variable dependiente va en función a la cantidad de paquetes que compraron los clientes.
Se le asigna unas letras a cada variable:
x = variable independiente
f ( x ) = y = variable dependiente
En la frutería mencionada al principio colocan una promoción de la siguiente manera:
1 paquete de 4 manzanas por el precio de $5000
Y matemáticamente esa expresión quedaría así:
f ( x ) = 5000x o también puede quedar expresarse así: y = 5000x
Donde:
“ x ” es el paquete de 4 manzanas, es decir, es la variable independiente.
“ y ” es el dinero por la venta que depende de las cantidades de paquetes de manzanas vendidas, entonces a esta letra se le llama variable dependiente.
“ f ( x ) ” esta expresión significa que la variable dependiente está en función a la variable independiente.
Para resumir todo:
La variable independiente la llamamos “variable” y a
La variable dependiente “ función ”
Función: Dominio y rango
El dominio de una función es el conjunto de las primeras componentes de un par ordenado y el rango de la función es el conjunto de las segundas componentes de un par ordenado, esto se ve de la siguiente manera:
Un Par ordenado = ( dominio , rango )
Par ordenado = ( x , y )
Par ordenado = ( x , f ( x ) )
A ( x , y )
¿Sabes qué es la función real? Es variable real, como ya sabes cuando se dice función se refiere a la variable dependiente y cuando se menciona variable es la variable independiente, por otro lado la palabra real se refiere al conjunto de los números reales, por lo tanto el significado de Función real de variable real es que el dominio (variable) y el rango (función) pertenecen al conjunto de los números reales ℜ.
Cuando se menciona que una función es indeterminada quiere decir que algunas veces el resultado es expresado en un conjunto de números distinto al conjunto de los números reales ℜ, por ejemplo:
Restricciones del dominio
El dominio se ve restringido cuando la variable dependiente “ y ” o f ( x ) toma valores de la variable independiente “ x ” y el resultado no está dentro del conjunto de los números reales ℜ, es decir, el resultado es indeterminado.
Existen 3 tipos de restricciones en el dominio, ellos son:
I. Cuando existen raíces de índices pares de un número negativo, por ejemplo:
La expresión es una raíz de índice par y no está definida para valores negativos como . . . , -6, -5, -4, -3 ya que el resultado es indeterminado.
II. Fracciones donde se anula el denominador, por ejemplo:
En el denominador de la expresión existe una restricción cuando x = -1 , ya que el resultado es indeterminado.
III. Fracciones donde se anula el denominador con raíces de índices par, por ejemplo:
Ejemplo # 2
Graficar las siguientes relaciones teniendo en cuenta el intervalo especificado para “x” y determinar el dominio, rango e indicar cuáles de ellas son funciones
a. F = {(x,y) / y = x2 ∧ 0 ≤ x < 3}
b. G = {(x,y) / y2 – x =2}
| Función y = x2 | Tabla de valores
|
| Se grafica los puntos y se unen cada uno utilizando una plantilla de Burmester grande. Trazar una línea vertical. |  |
| ¿Es función? | La línea vertical es llamada prueba de la línea vertical y es usada para saber si es función, como toca un punto es función. |
| Cálculo del dominio y rango | El dominio es: Dom [ 0 , 3 ) El rango es: Rgo [ 0 , 9 ) |
| Función y2 – x =2 y = ± | Tabla de valores
|
| Graficar los puntos y unirlos utilizando una plantilla de Burmester grande. Trazar una línea vertical. |  |
| ¿Es función? | Gracias a la prueba de la línea vertical es notorio que no es función ya que toca dos puntos de la curva. |
| Cálculo del dominio y rango | El dominio es: Dom [ -2 , ∞ ) El rango es: Rgo ( ∞ , – ∞ ) |
Clasificación de las funciones
Las funciones se clasifican en 3 tipos:
I. Inyectivas:
Llamadas también uno a uno. Este tipo de función los elementos de partida deben ser distintos y también sus imágenes.
Ejemplo, observa el siguientes conjunto de pares ordenados: F{ ( 8 , 9 ) , ( 6 , 10 ) }.
Respuesta: Es una función inyectiva ya que los elementos del conjunto de partida comparten distintas imágenes.
II. Sobreyectivas:
Si el rango de la función es el mismo que el codominio es sobreyectiva.
III. Biyectivas:
Si es inyectiva y sobreyectiva a la vez.
Ejemplo # 3: Indica el tipo de función, dominio y rango
f : [ 2 , ∞ ) → [ -1 , ∞ )
f ( x ) = x2 – 4x + 3
Donde:
| Como la función es cuadrática, se debe calcular el vértice y puntos de cortes | a = 1 b = -4 c = 3 |
| Cálculo del vértice | 
|
| Cálculo de los puntos de cortes con respecto al eje “ x ” y = 0 |  x = 1 ∧ x = 3 |
| Gráfica La condición dada f : [ 2 , ∞ ) → [ -1 , ∞ ) coincide con el valor de la primera coordenada del vértice v = ( 2 , -1 ), es decir se grafica desde el vértice Se traza una línea horizontal y vertical |  |
| Línea vertical | La Prueba de la línea vertical nos indica que es función |
| Línea horizontal | El Criterio de la recta horizontal como toca un punto de la curva es inyectiva |
| Cálculo del dominio y rango | El dominio es: Dom [ 2 , ∞ ) El rango es: Rgo [ -1 , ∞ ) |
| Codominio | cod f = Rgo f |
| Tipo de función | Es inyectiva por que el Criterio de la recta horizontal toca un punto. Es sobreyectiva por el codominio de la función es igual al rango de la función. Entonces como es inyectiva y sobreyectiva, esta función es Biyectiva. |
Características de las funciones
Algunas de las características de las funciones que se mencionarán a continuación son las siguientes:
I. Pares:
Geométricamente su eje de simetría es el eje “ y ” y analíticamente se debe sustituir “ -x ” en la función y si da como resultado la misma función es una función par.
Por ejemplo: Dada la función f ( x ) = x2 +1
Determine si es una función par
Solución:
Sustituir ( -x ) en la función:
f ( –x ) = ( -x )2 +1
f ( –x ) = x2 +1
Compara el resultado x2 +1 y la función dada. Ambas expresiones son iguales.
x2 +1 = x2 +1
Por lo tanto la función f ( x ) = x2 +1 es Par.
II. Impares:
Geométricamente su simetría es el origen del plano cartesiano y analíticamente al sustituir “ -x ” la función debe dar negativa.
Por ejemplo: Dada la función f ( x ) = x3 .
Determine si es una función impar
Solución:
Se sustituye ( -x ) en la función, quedando:
f ( –x ) = ( -x )3
f ( –x ) = –x3
Ahora compara, el resultado es –x3 y observa que la expresión dada es positiva x3
Por lo tanto la función f ( x ) = x3 es Impar.
III. Crecientes:
Es creciente en un intervalo, si:
x1 < x2 por lo tanto f (x1) < f (x2)
Entonces, si en un intervalo aumenta el dominio y el rango de la función, la función es creciente específicamente en ese intervalo.
IV. Decrecientes:
Una función es decreciente en un intervalo si:
x1 < x2 por lo tanto f (x1) > f (x2)
Funciones elementales
A continuación, un resumen de algunas funciones elementales.
Funciones Polinómicas | ||||
Función lineal crecientef ( x ) = ax + b donde a > 0 | ||||
| Dom f | Rgo f | Corte con eje x | Corte con eje y | Crece |
| ℜ | ℜ |  | y = b | En todo ℜ |
 | ||||
Función lineal decrecientef ( x ) = ax + b donde a < 0 | ||||
| Domf | Rgo f | Corte en el eje x | Corte en el eje y | Decrece |
| ℜ | ℜ | | y = b | En todo ℜ |
 | ||||
Función cuadrática cóncava hacia arribaf ( x ) = ax2 + bx + c donde a > 0 | ||||
| Dom f | Rgo f | Corte en el eje x | Corte en el eje y | Crece |
| ℜ |  |  | y = c |  |
 | ||||
Función cuadrática cóncava hacia abajof ( x ) = ax2 + bx + c donde a < 0 | ||||
| Dom f | Rgo f | Corte en el eje x | Corte en el eje y | Crece |
| ℜ |  | | y = c |  |
 | ||||
Funciones trascendentes
A continuación, un resumen de las funciones elementales.
Función exponencial crecientef ( x ) = ax donde a > 1 | ||||
| Dom f | Rgo f | Corte con eje x | Corte con eje y | Crece |
| ℜ | ℜ+ | No hay punto de corte | y = 1 | En todo ℜ |
 | ||||
Función exponencial decrecientef ( x ) = ax donde 0 < a < 1 | ||||
| Domf | Rgo f | Corte en el eje x | Corte en el eje y | Decrece |
| ℜ | ℜ+ | No hay punto de corte | y = 1 | En todo ℜ |
 | ||||
Función logarítmica crecientef ( x ) = logax donde a > 1 | ||||
| Dom f | Rgo f | Corte con eje x | Corte con eje y | Crece |
| ℜ+ | ℜ | x = 1 | No hay punto de corte | ℜ+ |
 | ||||
Función logarítmica decrecientef ( x ) = logax donde 0 < a < 1 | ||||
| Domf | Rgo f | Corte en el eje x | Corte en el eje y | Decrece |
| ℜ+ | ℜ | x = 1 | No hay punto de corte | ℜ+ |
 | ||||
Funciones racionales
Cuando se presenta de la siguiente manera f ( x ) = P ( x ) / Q ( x ) es una función racional, donde P ( x ) y Q ( x ) son polinomios.
Pasos para graficarla
- Factorizar si se puede.
- Determinar las raíces ( o cero) del numerador y del denominador los valores para lo cual la función no está definida.
- Hallar las asíntotas verticales, si existen.
- Hallar el intercepto con el eje “ y ”, es decir x = 0
- Determinar la asíntota horizontal, si existe.
- Crear la tabla de valores para obtener los puntos suficientes y así dibujar una buena curva.
Ejemplo # 4:
Grafica y determina el dominio y rango de la función racional.
| Factorizar. | 
Entonces en el punto de la abscisa x = -2 existe una discontinuidad evitable. Las coordenadas de la discontinuidad es ( -2 , 3 ) |
| Determinar las raíces del numerador Y las raíces del denominador. | x – 1 = 0 ⇒ x = 1 x + 1 = 0 ⇒ x = -1 |
| Asíntotas verticales. | x = -1 |
| Intercepto con el eje “y ”x = 0 |  y = -1 |
| Asíntota horizontal. | Como el grado del polinomio del numerador y del denominador son iguales a 1, entonces la función f tiene una asíntota horizontal. y = 1 |
| Tabla de valores. | Partiendo del dato de la asíntota vertical x = -1 se crea la tabla de valores
|
| Gráfica. |  |
| Dominio y rango de la función. | El dominio es: Dom f = ℜ – { -2, -1 } El rango es: Rgo f = ℜ – { 1, 3 } |
Funciones radicales
Son funciones que están expresadas por medio de una raíz.
El dominio de este tipo de funciones depende del índice de la raíz.
Sí el índice es un número par, la función no está definida en los valores de x para los cuales el radicando es negativo, es decir es una restricción del dominio.
Sí el índice es un número impar, la función está definida para todos los valores de x a excepción de las restricciones del radicando.
Si la función posee un polinomio en el denominador se tiene que considerar los pasos para graficar funciones racionales.
Pasos para graficar una función radical
I. Se evalúa si posee índice par o impar. Si la expresión viene dada en forma racional se determina en el numerador las raíces o los intercepto con el eje “ x ” y en el denominador los valores para los cuales la función no está definida. Si es un radical con índice par y con una cantidad subradical en forma racional polinómica, se tiene que determinar el intervalo donde la función no está definida, para esto la expresión subradical debe ser mayor o igual que cero, luego el siguiente paso es resolver la inecuación racional.
II. Determina las asíntotas verticales, si existe.
III. Hallar el intercepto con el eje “ y ”.
IV. Determinar las asíntotas horizontales, si existe.
V. Crear la tabla de valores para obtener los puntos suficientes y así dibujar una buena curva.
Ejemplo # 5: Grafique y determine dominio y rango de la función radical
| Posee índice par. Está definida para valores mayores de x ≥ – 1/2 | 
|
| Como no es una función racional no posee asíntotas. | |
| Intercepto con el eje “ y ” | 
|
| Como no es una función racional no posee asíntotas horizontales | |
Partiendo de los valores de: x ≥ -1/2
| Tabla de valores
|
| Gráfica |  |
| Dominio y rango de la función | El dominio es: Dom f = [ -1/2, ∞ ) El rango es: Rgo f = [ 0, ∞ ) |
Ejemplo # 6: Grafique y determine el dominio y rango de la función radical
| Es una función racional, con una raíz en el denominador de índice par. Por estar en el denominador debe ser mayor que cero Y se evalúa los valores para los cuales la función no está definida | 
La función está definida para valores de x > -3 |
| Es una función racional, pero el denominador es un radical por lo tanto no posee asíntotas verticales. | |
| Intercepto con el eje “ y ” | 
|
| Es una función racional y posee una asíntota horizontal en el eje “ x ” ya que el grado del polinomio de la cantidad subradical es mayor que la del numerador. | |
| Partiendo de los valores de: x > -3 | Tabla de valores
|
| Gráfica |  |
| Dominio y rango de la función | El dominio es: Dom f = ( -3, ∞ ) El rango es: Rgo f = ( 0, ∞ ) |
Ejemplo # 7: Grafique y determine el dominio y rango de la función radical
| Es una función racional, con una raíz en el numerador de índice impar. Se evalúa los valores para los cuales la función no está definida Se calcula el intercepto con el eje “ x ” y = 0 | 
La función no está definida para valores: Calculo del intercepto
| ||||
| Es una función racional, y con dos asíntotas verticales. | x = 1 ∧ x = -1 | ||||
| Intercepto con el eje “ y ” | 
| ||||
| Es una función racional y posee una asíntota horizontal en el eje “ x ” ya que el grado del polinomio de la cantidad subradical del numerador es menor que el grado del polinomio del denominador. | |||||
| Tabla de valores Como posee a asíntotas verticales se crea tres tabla de valores | Valores < -1 | ||||
| x | -4 | -3 | -2 | -6/5 | |
| f ( x ) |  |  |  |  | |
| -1 < Valores < 1 | |||||
| x | -4/5 | 0 | 4/5 | ||
| f ( x ) |  | 1 |  | ||
| Valores > 1 | |||||
| x | 6/5 | 2 | 3 | ||
| f ( x ) |  |  |  | ||
| Gráfica |  | ||||
| Dominio y rango de la función | El dominio es: Dom f = ℜ – { – 1, 1 } El rango es: Rgo f = ℜ | ||||
Ejemplo # 8: Grafique y determina el dominio y rango.
| Es una función radical, con índice par Se evalúa los valores para los cuales la función no está definida Se calcula el intercepto con el eje “ x ” y = 0 |  La función no está definida en el intervalo: ( 3 , 2/3 ] Calculo del intercepto
| ||||
Como la cantidad subradical es una expresión racional posee asíntota vertical. Nota: Al realizar el estudio de los intervalos donde la función está definida que es: ( -∞ , -3] ∪ ( 2/3 , ∞ ) Se puede notar fácilmente que existe una asíntota vertical en x = 2/3 | |||||
Intercepto con el eje “ y ” x = 0 |  | ||||
| La cantidad subradical es una expresión racional y el grado del polinomio del numerador es el mismo al denominador, por lo tanto existe una asíntota horizontal. La recta de la asíntota es: | 
| ||||
| Tabla de valores La función está definida en el intervalo: ( -∞ , -3] ∪ ( 2/3 , ∞ ) En ese intervalo se realiza la tabla de valores | Valores ≤ -3 | ||||
| x | -3 | -4 | -5 | ||
| f ( x ) | 0 |  |  | ||
| Valores > 2/3 | |||||
| x | 4/5 | 1 | 2 | 3 | |
| f ( x ) |  | 2 |  |  | |
| Gráfica |  | ||||
| Dominio y rango de la función | El dominio es: Dom f = ℜ – (-3, -2/3] también ( -∞ , -3] ∪ ( 2/3 , ∞ ) El rango es:
| ||||
Operaciones con funciones
Las funciones pueden combinarse una con otras a través de las operaciones de la aritmética como la adición, sustracción, multiplicación y división y producir nuevas funciones.
Suma: ( f + g )( x ) = f ( x ) + g ( x )
Su dominio es:
Dom ( f + g ) = ( Dom f ∩ Dom g )
Resta: ( f – g )( x ) = f ( x ) – g ( x )
Su dominio es:
Dom ( f – g ) = ( Dom f ∩ Dom g )
Multiplicación: ( f . g )( x ) = f ( x ) . g ( x )
Su dominio es:
Dom ( f . g ) = ( Dom f ∩ Dom g )
División: ( f / g )( x ) = f ( x ) / g ( x )
Su dominio es:
Dom ( f / g ) = { x ∈ ( Dom f ∩ Dom g) / g ( x ) ≠ 0 }
Ejemplo # 9:
Calcule la suma, diferencia, producto y el cociente de f y g y el dominio de cada función resultante.
Dominios resultante de cada operación:
Dom ( f + g ) = [ -3/2 , ∞ )
Dom ( f – g ) = [ -3/2 , ∞ )
Dom ( f . g ) = [ -3/2 , ∞ )
Dom ( f / g ) = [ -3/2 , ∞ )
Actividades
I. Determine si en cada planteamiento es una función. En caso de no serlo, proponer un ejemplo que muestre la situación.
a. El comportamiento de una bacteria está determinado por la expresión:
$$y=5e^{x}$$
b. Las muestras de sangre de un cultivo se describen por las parejas:
( 2 , 4), ( 4 , 8 ), ( 5 , 10), ( 6 , 12), ( 7 , 14 )
c. El valor de la producción cierta cantidad de cuadernos está dado por las parejas:
( 1 , 500 ), (2,600), ( 3 , 700 ), ( 4 , 800).
d. El movimiento de un cuerpo está dado por la expresión:
$$f=\frac{-47t^{2}}{2}$$
e. La cantidad de hombres que realizan un trabajo en cierto número de días es determinado por la expresión:
$$y=\frac{45}{x}$$
II. Construir una tabla de valores para cada función y su gráfica.
| a. |  | b. |  |
| c. |  | d. |  |
| e. |  | f. |  |
| g. |  | h. |  |
| i. |  | j. |  |
III. Diga cuáles de las siguientes curvas representan una función.
| a. |  |
| b. |  |
IV. Calcula el valor de la función
Para cada valor x dado
 |  |  | |||
 |  | |
V. Determine el dominio, rango, vértice, puntos de cortes, tabla de valores y gráfica de las siguientes funciones:
a. 
b. 
c. 
d. 
VI. Hallar el dominio, rango, interceptos, asíntotas, tabla de valores y gráfica de las siguiente funciones:
a. 
b. 
VII. Hallar el dominio y el rango de las funciones cuyas gráficas se muestran a continuación. Determinar la ecuación que corresponda con cada gráfica.
| a. |  |
| b. |  |
VIII. El valor de cada lápiz en un establecimiento es de $1500
a. ¿La situación planteada describe una función?
b. Escribe la expresión algebraica que representa la función
c. Hallar el dominio y el rango de la función y explicar si los valores hallados tienen sentido.
IX. El cargo básico del agua es de $60 y por cada m3 utilizados se cobran $2.
a. Escribe la expresión algebraica que describe el costo que se debe pagar en función a los m3 utilizados.
b. Hallar el dominio y el rango de la función
X. A continuación, se presentan diferentes funciones presentadas en tabla de valores, gráfica, pares ordenados. Determinar si es inyectiva, sobreyectiva o biyectiva
| a. |  |
| b. |  |
| c. |  |
| d. | {(0,1),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6)} |
| e. | y = –x2 |
XI. Determinar cuáles de las siguientes funciones son inyectivas.
a. f (x) = 3x – 4
b. f (x) = x2 + 2
c. f (x) = 1 / x
XII. Problema
Una fábrica de gaseosas define su producción a partir de la función f (x) = 5x, donde x representa los litros de gaseosas y f (x) es la cantidad de unidades por litro.
a. ¿La función de producción es biyectiva?
XIII. El costo que establece una fábrica de zapatos está determinado mediante la función:
f (x) = 200x2 + 150
donde x es la cantidad de zapatos fabricados y f (x) es el costo en pesos de la producción.
a. Determinar si f (x) es una función inyectiva.
b. Determinar si la función es biyectiva.
c. Graficar la función.
XIV. Problema
La distancia recorrida por una moto viene dada por la función f (t) = 10 + 3t2, donde t es el tiempo en segundos.
a. Determinar si la función es inyectiva
b. Determinar si es sobreyectiva
XV. Completa la siguiente tabla
 |  |  |  |  |  | |
| Par | ||||||
| Impar | ||||||
| Otra |
XVI. Analiza y elabora la gráfica, especificando dominio, rango, puntos de cortes y asíntotas
 |  | ||
 |  | ||
 |  | ||
 |  |
XVII. Analiza y elabora la gráfica, especificando dominio, rango, puntos de cortes
 |  | ||
 |  | ||
 |  | ||
 |  |
XVIII. Para cada caso, determinar el dominio de todas las funciones
 | ||
| ( f + g )( x ) | ( f / g )( x ) | |
 | ||
| ( f – g )( x ) | ( f / g )( x ) | |
 | ||
| ( g + f )( x ) | ( g / f )( x ) | |
 | ||
| ( f . g )( x ) | ( f / g )( x ) | |
 | ||
| ( g – f )( x ) | ( g / f )( x ) | |
XIX. Dadas las funciones: f ( x ) = 4x + 3 ∧ g ( x ) = 4x2
Graficar:
- ( f + g )( x )
- ( f . g )( x )
- ( g / f )( x )
- ( g – f )( x )
- ( f – g )( x )
- ( f / g )( x )
