¿Conoces la potenciación de números reales (ℜ)? En forma general podrás ver la expresión de una potencia de números ℜ. Para ello, es importante conocer el conjunto de estos números que comprenden los racionales, irracionales, naturales, enteros y naturales. También es importante que conozcas el uso de los números en la vida cotidiana.
Potenciación de los números reales
A continuación, veamos la expresión de las potencias de los números enteros. Sea un número real a que multiplicado n veces por sí mismo se representa de la siguiente manera:
| 2 veces a | $$a\cdot a=a^{2}$$ |
| 3 veces a | $$a\cdot a\cdot a=a^{3}$$ |
| 4 veces a | $$a\cdot a\cdot a\cdot a=a^{4}$$ |
| 5 veces a | $$a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a=a^{5}$$ |
| 6 veces a | $$a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a=a^{6}$$ |
Entonces:
| $$a^{n}=a.a.a.a …a$$ |
| Donde: |
| $$a\in\mathbb{R}$$ |
| $$n\in\mathbb{\mathbb{N}}> 0$$ |
| $$n\in\mathbb{\mathbb{N^{+}}}$$ |
| Es decir n veces a |
Ejemplo 1
Determinar la siguiente expresión:$$\left (\sqrt{2.\pi } \right )^{4}$$
Solución
Para poder efectuar el cálculo lo primero es usar 3 decimales con aproximación por defecto y se efectúa de la siguiente manera:
$$\left (2,506 \right )^{4}=$$
$$\left ( 2,506 \right )^{4}=39,438$$
Atención
Cuando la base es negativa con exponente par el resultado de la base es positivo.
$$\left ( -a \right )^{n}=a^{n}$$
Donde n = par
$$a\in\mathbb{R},n\in\mathbb{N^{+}}$$
Atención
Cuando la base es negativa con exponente impar el resultado de la base es negativo.
$$\left ( -a \right )^{m}=-a^{n}$$
Donde m = impar
$$a\in\mathbb{R},m\in\mathbb{N^{+}}$$
Ejemplo 2
Calcular las siguientes expresiones
Solución:
$$\left( -6 \right)^2 = \left( -6 \right) \cdot \left( -6 \right) = 6^2 = 36$$
$$\left( -6 \right)^3 = \left( -6 \right) \cdot \left( -6 \right) \cdot \left( -6 \right)$$
$$\left ( -6 \right )^{3}=-216$$
Ejemplo 3
Resuelva:$$\left( \sqrt{3} \right)^3 – \frac{1}{e} =$$
Solución:
Solucionar cada término y luego restar.
$$\left( \sqrt{3} \right)^3 – \frac{1}{e} =$$
$$\frac{1}{e} = 0.367$$
Resultado
$$\left( \sqrt{3} \right)^3 – \frac{1}{e} = 5.195 – 0.367 = 4.828$$
Ejemplo 4
Determine:$$\left ( -\sqrt{6} \right )^{3}+\left ( \sqrt{5-2} \right ) =$$
Solución:
Resolver cada término y posteriormente sumar.
$$\left ( -\sqrt{6} \right )^{3}+\left ( \sqrt{5-2} \right ) =$$
$$\left( -\sqrt{6} \right)^{3} =$$
$$= \left( -2.449 \right) \cdot \left( -2.449 \right) \cdot \left( -2.449 \right)$$
$$=-14.688$$
$$\sqrt{5-2} = 1.732$$
Resultado
$$\left( -\sqrt{6} \right)^{3} + \left( \sqrt{5-2} \right) =$$
$$= -14.688 + 1.732 = -12.956$$
Ejercicios para practicar la potenciación con números reales
En esta sección se presentan 12 ejercicios diseñados para que practiques la potenciación con números reales y fortalezcas tu comprensión de este importante concepto matemático.
Cada ejercicio te permitirá aplicar las propiedades de las potencias y ganar mayor seguridad en los cálculos. Además, todos incluyen su respectivo resultado, lo que te facilita comprobar tus respuestas, identificar posibles errores y mejorar progresivamente tu dominio de este tema.
Debes trabajar con tres decimales aproximado por defecto.
| Expresión | Respuestas | |
| 1 | $$13^3 =$$ | 2 197 |
| 2 | $$\left( \sqrt{7} \right)^{4} – \pi^{3} =$$ | 17,956 |
| 3 | $$(-4)^{5} =$$ | -1024 |
| 4 | $$\left( -\sqrt{8} \right)^{3} \cdot \left( 3-\sqrt{6} \right) =$$ | -12,444 |
| 5 | $$e^{4} =$$ | 54,575 |
| 6 | $$\left( \sqrt[3]{5} \right)^{3} + \left( 2\pi – 3 \right) =$$ | 8,282 |
| 7 | $$\left( \sqrt{11} \right)^{3} =$$ | 36,462 |
| 8 | $$\left( 1-\sqrt{3} \right)^{3} \cdot \frac{1}{2} =$$ | -0,196 |
| 9 | $$(-5)^{6} =$$ | 15 625 |
| 10 | $$\left( -0.25 \right)^{2} + \frac{1}{2\pi} =$$ | 0,221 |
| 11 | $$\frac{3}{(\sqrt{e})^{2}} + 0.25 =$$ | 1,353 |
| 12 | $$(- \sqrt{5})^{3} – \pi^{4} =$$ | -108,514 |
Potenciación de números reales con exponente entero negativo
Antes de estudiar la potenciación de números reales con exponente entero negativo, es importante comprender que un exponente negativo indica el inverso multiplicativo de la potencia correspondiente con exponente positivo.
Es decir, cuando un número real distinto de cero se eleva a un exponente entero negativo, el resultado es el recíproco de la misma potencia con exponente positivo. En otras palabras, la base pasa al denominador y el exponente se escribe con signo positivo.
Dado un número real a, con a ∈ ℜ* , y un exponente entero positivo n ∈ N+, la potenciación con exponente negativo se define así:$$a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}\; \; con \; a\neq 0$$
Esto significa que la potencia con exponente negativo equivale al inverso de la potencia con exponente positivo.
Observaciones importantes:
El exponente cambia de negativo a positivo al pasar al denominador.
La base nunca cambia de signo ni de valor, solo cambia su posición.
$$\mathbb{R^{*}}:Reales\: sin\: el \: cero.$$
Ejemplos:
| $$5^{-2} = \frac{1}{5^{2}}$$ |
| $$\left( \pi \right)^{-1} = \frac{1}{\pi}$$ |
| $$\left( \sqrt{3} \right)^{-4} = \frac{1}{\left( \sqrt{3} \right)^{4}}$$ |
| $$e^{-7} = \frac{1}{e^{7}}$$ |
Ejercicios:
Determina el resultado de las siguientes expresiones, la respuestas debe ser dadas con 5 cifras decimales.
| $$\left( \frac{3}{4} \right)^{-2}$$ | $$\left( \sqrt{6} \right)^{-1}$$ | $$\left( \sqrt{e} – \sqrt{2} \right)^{-3}$$ |
Propiedades de la potenciación de números reales (R)
Las propiedades de la potenciación son leyes utilizadas para simplificar expresiones numéricas y algebraicas.
Si:
$$a,b\: \in \mathbb{R}\; \; y \; \; m,n\: \in\mathbb{Z}$$
Se cumplen las siguientes propiedades, para:$$a\neq 0\; \; y\; \; b\neq 0$$
| Propiedad | Definición | Expresión general | |
| 1 | Producto de potencias de igual base | Se deja la misma base y se suman los exponentes. | $$a^{n}\cdot a^{m}=a^{n+m}$$ |
| 2 | Cociente de potencias de igual base | Dejar la misma base y restar los exponentes. | $$\frac{a^{n}}{a^{m}}=a^{n-m}$$ |
| 3 | Potencia de una potencia | Escribir la base y multiplicar los exponentes. | $$(a^{n})^{m}=a^{n\cdot m} $$ |
| 4 | Potencia de un producto | Dejar los mismos factores elevados a ese exponente. | $$(a\cdot b)^{n}=a^{n}\cdot b^{n}$$ |
| 5 | Potencia de un cociente | Es igual al cociente de las potencias del numerador y denominador | $$\left ( \frac{a}{b} \right )^{n}=\frac{a^{n}}{b^{n}}$$ |
| 6 | Potencia con exponente uno | Todo número real elevado a la uno, su resultado es el mismo número real. | $$a^{1}=a$$ |
| 7 | Potencias con exponente negativo | Toda potencia con exponente negativo es igual al inverso multiplicativo de la base, elevada al exponente positivo. | $$\left ( \frac{a}{b} \right )^{-n}=\left ( \frac{b}{a} \right )^{n}$$ |
Potenciación con exponente cero
Dado un número real a y a ∈ ℜ, diferente de cero, su escritura es:
$$a^{0} = 1$$ y $$a \neq 0$$
Ejemplo:
| $$\left( \sqrt{3} \right)^{0} = 1$$ |
| $$\left( -\frac{2}{\sqrt{3}} \right)^{0} = 1$$ |
| $$\left( -\frac{1}{2000} \right)^{0} = 1$$ |
Multiplicación de potencias de igual base
Dado los exponentes m, n ∈ Z y la base a ∈ ℜ, entonces se escribe de la siguiente manera:
$$a^{m} \cdot a^{n} = a^{m+n}$$
Para llevar a cabo la multiplicación de bases iguales debes escribir la misma base a y sumar los exponentes m y n.
Ejemplo:
| $$5^{4} \cdot 5^{2} = 5^{4+2} = 5^{6}$$ |
| $$\left( \frac{1}{2} \right)^{-2} \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^{5} = \left( \frac{1}{2} \right)^{-2+5} = \left( \frac{1}{2} \right)^{3}$$ |
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Actividades
Efectúe las siguientes operaciones, trabaje con tres decimales aplicando aproximación por defecto.
| $$ \left( \sqrt{13} \right)^{0} – \frac{1}{3}=$$ |
| $$e^{2} \cdot e^{3}=$$ |
| $$\left( \pi – \sqrt{3} \right)^{3} \cdot \left( \pi – \sqrt{3} \right)^{-5}=$$ |
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JIJIJIJA Primer comentario
Gracias por el aporte me ayudo mucho con mi tarea de mates
Hola Asriel_D gracias por tu comentario. Nos alegra que te ayudó el contenido para tus clases de matemáticas. Saludos
Gracias por la ayuda 💪
Buen día! Necesito ayuda para hacer un juego didactico con este tema.
Hola Zuleidy, gusto en saludarte, gracias por tu comentario. Para el juego que quieres hacer acerca de este tema, te recomiendo hacer una memoria con ejercicios planteados y resueltos.También puedes hacer un bingo, ayudará a los estudiantes a comprender mejor el tema.