Matrices

El determinante de una matriz es uno de los conceptos más importantes del álgebra lineal, ya que permite determinar si un sistema de ecuaciones tiene una solución única, establecer si una matriz es invertible y calcular áreas volúmenes y otras propiedades geométricas.

Aunque se trata de un único número obtenido a partir de una matriz cuadrada, el determinante contiene información fundamental sobre el comportamiento de sus filas y columnas.. En este post podrás descubrir cómo se calcula el determinante paso a paso, desde una matriz de 2×2 hasta una de 4×4, y practicar con ejemplos y ejercicios resueltos.

1. ¿Qué es un determinante?

Un determinante es un número que se calcula a partir de las entradas de una matriz cuadrada. Tiene múltiples propiedades e interpretaciones dentro del álgebra lineal, pero aquí el enfoque estará en el procedimiento para calcularlo.

Una vez que domines el cálculo del determinante de una matriz 2×2, podrás calcular el de una matriz 3×3, y una vez que domines esta última, podrás calcular el de una matriz 4×4, y así sucesivamente.

¿Cómo se representa y cómo se calcula la matriz 2×2?

El determinante de una matriz A se representa como |A|. Para una matriz 2×2, el valor se calcula así:

$$A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \quad \det A = |A| = ad – bc$$

Fíjate cómo se multiplican las diagonales y luego se restan.

¿Cuáles son los pasos para el cálculo de la matriz 3×3?

El determinante de una matriz 3×3 es un poco más complejo:

$$B = \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix}$$

Por lo general, se comienza observando la fila superior, aunque cualquier fila o columna funcionaría igual de bien.

Luego se aplica un patrón de signos en forma de tablero de ajedrez, y se construyen matrices 2×2 más pequeñas:

$$\begin{bmatrix} + & – & + \\ – & + & – \\ + & – & + \end{bmatrix}$$

Estas matrices 2×2 más pequeñas están formadas por las entradas que quedan al ignorar la fila y la columna del coeficiente con el que se está trabajando.

$$\det B = |B| = +a\begin{vmatrix} e & f \\ h & i \end{vmatrix} – b\begin{vmatrix} d & f \\ g & i \end{vmatrix} + c\begin{vmatrix} d & e \\ g & h \end{vmatrix}$$

Luego se calcula el determinante de cada una de esas matrices 2×2 más pequeñas, lo que da como resultado una serie más larga de cálculos:

$$= a(ei-fh) – b(di-fg) + c(dh-eg) \\ = aei – afh – bdi + bfg + cdh – ceg \\ = aei + bfg + cdh – ceg – afh – bdi$$

La mayoría de las personas no recuerda esta secuencia de memoria.

Regla de Sarrus

Un matemático francés llamado Sarrus ideó un método muy práctico para memorizar el cálculo del determinante de una matriz 3×3. El primer paso consiste simplemente en copiar las dos primeras columnas a la derecha de la matriz. Luego se trazan tres diagonales que van hacia abajo y hacia la derecha.

$$\begin{matrix} a & b & c & a & b \\ d & e & f & d & e \\ g & h & i & g & h \end{matrix}$$

Observa que estas diagonales corresponden exactamente a los tres términos positivos del determinante calculado anteriormente. Después, se trazan tres diagonales que van hacia arriba y hacia la derecha; estas corresponden exactamente a los tres términos negativos.

$$\det B = aei + bfg + cdh – ceg – afh – bdi$$

La regla de Sarrus no funciona para determinantes de matrices que no sean de orden 3×3.

2. Ejemplo # 1

Encuentra det A para:

$$A = \begin{bmatrix} 6 & 4 \\ 3 & 7 \end{bmatrix}$$

Solución:

$$\begin{vmatrix} 6 & 4 \\ 3 & 7 \end{vmatrix} = 6\cdot7 – 4\cdot3 = 42-12 = 30$$

3. Ejemplo # 2

Encuentra det B para:

$$B = \begin{bmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 4 & 0 & 5 \\ 1 & 2 & 3 \end{bmatrix}$$

Solución:

$$\begin{vmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 4 & 0 & 5 \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} = 2\begin{vmatrix} 0 & 5 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} – 3\begin{vmatrix} 4 & 5 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} + 1\begin{vmatrix} 4 & 0 \\ 1 & 2 \end{vmatrix}$$

$$= 2(0\cdot3-5\cdot2) – 3(4\cdot3-5\cdot1) + 1(4\cdot2-0\cdot1) \\ = 2(-10) – 3(7) + 1(8) \\ = -20-21+8 = -33$$

4. Ejemplo # 3

Encuentra el determinante de B del Ejemplo B utilizando la regla de Sarrus.

Solución:

$$\begin{matrix} 2 & 3 & 1 & 2 & 3 \\ 4 & 0 & 5 & 4 & 0 \\ 1 & 2 & 3 & 1 & 2 \end{matrix}$$

$$\det B = (0+15+8) – (0+20+36) = 23-56 = -33$$

Como se puede ver, la regla de Sarrus es eficiente y gran parte del cálculo puede hacerse mentalmente. Además, los valores en cero facilitan buena parte de la multiplicación.

5. Problema concepto

Los determinantes de matrices 2×2 también se definen a partir de un sistema de 2 ecuaciones con 2 variables:

$$ax+by=e \\ cx+dy=f$$

Para eliminar x, se multiplica la primera ecuación por c y la segunda ecuación por a:

$$acx+bcy=ec \\ acx+ady=af$$

Se resta la segunda ecuación de la primera y se despeja y:

$$ady-bcy = af-ec \\ y(ad-bc) = af-ec \\ y = \frac{af-ec}{ad-bc}$$

Al despejar x también se obtiene ad − bc en el denominador de la solución general. Este resultado llevó a que se empezara a utilizar esta estrategia para resolver sistemas de ecuaciones. El determinante se define precisamente de esta forma porque siempre será el denominador de la solución general de cualquiera de las dos variables.

6. Ejercicios resueltos paso a paso de determinante de una matriz

$$F = \begin{bmatrix} 6 & -8 \\ 3 & -4 \end{bmatrix}$$

$$G = \begin{bmatrix} 5 & 7 & 2 \\ 0 & 3 & 4 \\ 10 & 6 & 9 \end{bmatrix}$$

$$H = \begin{bmatrix} 3 & 4 & 0 & 1 \\ -2 & -5 & 0 & 2 \\ 3 & 7 & 1 & 4 \\ -4 & 3 & 0 & 6 \end{bmatrix}$$

Respuestas

7. Preguntas frecuentes de determinantes de una matriz

8. Actividades de determinantes de una matriz

Encuentra los determinantes de cada una de las siguientes matrices.