Si estás buscando el caso V de factorización trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción de términos has llegado al sitio indicado. En los casos donde el trinomio posee la raíz cuadrada del primer término y raíz cuadrada del tercer término, pero su segundo término no es el doble producto de sus raíces cuadradas.
¿Qué debe hacerse para que un trinomio se convierta en cuadrado perfecto?
Para que un trinomio se convierta en trinomio cuadrado perfecto se debe sumar y restar un número semejante al segundo término, esto para lograr que el segundo sea el doble de producto de las raíces cuadradas del primer y último término. Este proceso se llama completar cuadrados.
Ejercicio #1:
Paso # 1 Sumar y restar x2y2 a la expresión dada.
x4+ x2y2+ y4
+ x2y2 -x2y2
x4 + 2 x2y2+ y4– x2y2
Paso # 2 Luego, agrupar los tres primeros términos de la expresión resultante:
(x4 + 2 x2y2+ y4)- x2y2
Factorizamos el trinomio cuadrado perfecto = (x2 + y2)2 – x2y2
Aplicamos diferencia de cuadrados = (x2 + y2 + xy) (x2 + y2 – xy)
Ordenando = (x2 + xy + y2) (x2 – xy + y2)
Ejercicio #2: Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción de términos
4m4+ 8m2n2+ 9n4
Observa que la raíz cuadrada de 4m4 es 2m2, la raíz cuadrada de 9n4 es 3n2 y el doble de las raíces es 2 x 2m2 x 3n2= 12 m2n2. Como puedes ver, el segundo término es: 8m2n2, para que sea cuadrado perfecto debe ser 12 m2n2.
Lo que debes hacer para 8m2n2 se transforme 12 m2n2, para ello le sumamos 4 m2n2 para que no varíe el trinomio también le restamos 4 m2n2 y tendremos:
4 m4+ 8m2n2+ 9n4
+ 4m2n2 -4m2n2
4m4 + 12 m2n2+ 9n4 – 4m2n2= (4m4 + 12 m2n2+ 9n4)– 4m2n2
Factorizamos el trinomio cuadrado perfecto = (2m2 + 3n2)2 – 4m2n2
Aplicamos diferencia de cuadrados = (2m2 + 3n2 + 2mn) (2m2 + 3n2 – 2mn)
Ordenamos = (2m2+ 2mn + 3n2) (2m2– 2mn + 3n2)
Ejercicio # 3
49x4-151x2y4+ 81y8
Solución:
La raíz cuadrada de 49x4 es 7x2 y la raíz cuadrada de 81y8 es 9y4. El segundo término debía ser -2 x 7x2 x 9y4= -126 x2y4 y es: -151 x2y4, en este caso -151 x2y4 se convierte en -126 x2y4; de tal manera que no varíe restamos 25 x2y4 tendremos como resultado:
Paso # 1 Sumar y restar 25x2y4 a la expresión dada.
- 49x4-151x2y4+ 81y8
+ 25 x2y4 – 25x2y4
49x4-126x2y4+ 81y8 – 25 x2y4
Paso # 2 Agrupar los tres primeros términos de la expresión resultante:
49x4-126x2y4+ 81y8 – 25 x2y4
= (49x4-126x2y4+ 81y8) – 25 x2y4
Factorizamos el trinomio cuadrado perfecto = (7x2 -9y4)2 – 25x2y4
Aplicamos diferencia de cuadrados = (7x2 – 9y2 + 5xy2) (7x2 -9y2 – 5xy2)
Ordenando = (7x2 + 5xy2 – 9y2) (7x2 – 5xy2 – 9y2)
CASO ESPECIAL: Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción de términos
Generalmente, una suma de dos cuadrados no tiene descomposición en factores racionales, esto significa que factores que no haya raíz, pero sí hay sumas de cuadrados que, al sumarse y restarse una misma cantidad puede llevarse al caso anterior y descomponerse.
Factorar m4 + 4n4
La raíz cuadrada de m4 es m2, y la raíz cuadrada 4n4 es 2n2. Para lograr que esta expresión sea un trinomio cuadrado perfecto es necesario que el segundo término sea 2 x m2 x 2n2= 4m2n2, de esta manera se obtendrá:
m4 + + 4n4
+4m2n2 – 4m2n2
m4 + 4m2n2 + 4n4 – 4m2n2 = (m4 + 4m2n2 + 4n4) – 4m2n2 Agrupamos los tres primeros términos.
= (m2 + 2n2)2 – 4m2 n2 Factorizamos el trinomio cuadrado perfecto
= (m2 +2n2 + 2mn) (m2 +2n2 – 2mn) Aplicamos diferencia de cuadrados
Finalmente ordenamos: (m2 + 2mn +2n2) (m2 – 2mn +2n2)
Ejercicios propuestos: Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción de términos
Factorizar o descomponer en dos factores:
- a4+ a2+ 1
- m4+ m2n2+ n4
- 4a4+3a2b2+ b4
- x4-6x2+ 1
- 4a4+3a2b2+ 9b4
- 16m4-25m2n2+ 9n4
- 25a4+54xa2b2+ 49b4
Finalmente, ya sabes lo fácil que es el caso V de factorización, trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción de término no dejes de practicar los ejercicios que aquí te dejo, serán de gran ayuda. Recuerda que también puedes comentar, compartir y suscribirte a nuestro sitio web, así nos ayudarás a crecer.
