vectores

Los vectores y sus componentes están presentes en momentos tan cotidianos como lanzarle una pelota a un amigo, trazar la ruta de un viaje en el mapa del celular o calcular hacia dónde sopla el viento antes de salir en bicicleta. Cualquier situación en la que importe no solo «cuánto» sino también «hacia dónde» involucra, en el fondo, un vector. En esta guía podrás descubrir qué es un vector, cómo se descompone en sus componentes horizontal y vertical, y practicar con ejemplos y ejercicios resueltos paso a paso.

¿Qué es un vector y por qué necesita más que un número para describirlo?

El primer concepto que conviene tener claro es el de vector: una magnitud que tiene, además de un tamaño, una dirección. En cierto sentido, el ser humano ya es bastante hábil manejando vectores de forma intuitiva, casi tanto como sumando números. Piensa, por ejemplo, en lanzarle una pelota a un amigo que está de pie a cierta distancia: para que el lanzamiento sea preciso, hace falta calcular tanto hacia dónde lanzar como qué tan fuerte hacerlo. Este concepto puede representarse gráficamente con una flecha, que tiene una dirección evidente y cuya longitud puede representar la distancia que recorrerá la pelota en un instante dado. A ese tipo de vector, una flecha entre la posición inicial y la posición final de un objeto, se le llama un desplazamiento.

Los componentes del vector

Como se ha visto, la suma de dos vectores da como resultado un nuevo vector. Sin embargo, en muchas situaciones conviene realizar el proceso contrario: expresar un vector como la suma de otros dos. Este procedimiento se conoce como descomposición de un vector en sus componentes. Cuando los vectores tienen la misma dirección, pueden sumarse como si fueran magnitudes escalares. Por ello, al descomponerlos en componentes sobre ejes comunes, basta con sumar cada componente por separado para obtener el vector resultante..

Las líneas que se eligen para descomponer los vectores en sus componentes suelen llamarse una base. Cualquier base funciona de la manera descrita, pero normalmente se descomponen los vectores en componentes perpendiculares, ya que esto permite aprovechar el teorema de Pitágoras y ahorrar tiempo de cálculo. En concreto, se suelen usar los ejes x e y como base, y de ahí que se hable de las componentes x e y de un vector.

Una razón adicional para descomponer los vectores en componentes perpendiculares es que estas son, en cierto sentido, independientes entre sí: sumar vectores a lo largo de una componente perpendicular a otra nunca cambiará esta última, del mismo modo que cambiar la coordenada y de un punto nunca altera su coordenada x.

Dirección

Además de expresarse mediante sus componentes, un vector también puede describirse por su magnitud y el ángulo que forma con un eje de referencia, generalmente el eje horizontal positivo. La magnitud indica la longitud del vector, mientras que el ángulo determina su dirección. Ambas formas de representación son equivalentes, por lo que es posible convertir una en la otra mediante las razones trigonométricas.

Descomponer una velocidad inicial en sus componentes

Cuando un objeto se lanza con una magnitud v y un ángulo θ respecto a la horizontal, sus componentes horizontal y vertical se obtienen así:

$$v_x = v\cos\theta \qquad v_y = v\sin\theta$$

Ejemplo

Una pelota de tenis se lanza a 40° por encima de la horizontal con una velocidad de 9m/s. ¿Cuáles son las componentes horizontal y vertical de la velocidad?

Datos:

$$v = 9\ \text{m/s} \qquad \theta = 40^\circ$$

Ecuación:

$$v_x = v\cos\theta \qquad v_y = v\sin\theta$$

Reemplazando valores:

$$v_x = (9{,}0\ \text{m/s})\cos(40^\circ) = 6{,}9\ \text{m/s}$$

$$v_y = (9{,}0\ \text{m/s})\sin(40^\circ) = 5{,}8\ \text{m/s}$$

Respuesta:

$$\mathbf{v_x = 6{,}9\ m/s,\ v_y = 5{,}8\ m/s}$$

Ejercicios resueltos paso a paso de vectores y sus componentes

Un vector AB tiene componentes (4, −3). Halla las coordenadas de A si se conoce el extremo B(9, −5).

Solución: Las componentes de un vector se obtienen restando las coordenadas del punto de origen a las del punto extremo. Por lo tanto, si se conocen las componentes del vector y el punto extremo, las coordenadas del punto de origen se obtienen restando las componentes del vector a las coordenadas del extremo.

$$A = B – (4,-3) = (9-4,\ -5-(-3)) = (5,-2)$$

Dado el vector u = (3, −2), determina dos vectores equipolentes a él: vector AB, sabiendo que A(2, −4), y vector CD, sabiendo que D(1, 3).

Solución: Dos vectores son equipolentes cuando tienen las mismas componentes. Para AB se suma u al origen A; para CD se resta u al extremo D para hallar el origen C.

$$B = A+u = (2+3,\ -4-2) = (5,-6)$$

$$C = D-u = (1-3,\ 3+2) = (-2,5)$$

Por lo tanto, el vector AB va de (2, −4) a (5, −6), y el vector CD va de (−2, 5) a (1, 3).

Calcula la distancia entre los puntos A(3, 2) y B(−2, 5).

Solución:

$$d(A,B) = \sqrt{(-2-3)^2+(5-2)^2} = \sqrt{25+9} = \sqrt{34}$$

Si v es un vector de componentes (5, 12), halla un vector unitario de su misma dirección y sentido.

Solución: Primero se calcula la magnitud de v, y luego se divide cada componente entre esa magnitud.

$$|v| = \sqrt{5^2+12^2} = \sqrt{169} = 13$$

$$\hat{v} = \left(\frac{5}{13},\ \frac{12}{13}\right)$$

Halla un vector unitario de la misma dirección que el vector v = (7, −24).

Solución:

$$|v| = \sqrt{7^2+(-24)^2} = \sqrt{625} = 25$$

$$\hat{v} = \left(\frac{7}{25},\ \frac{-24}{25}\right)$$

Calcula las coordenadas de D para que el cuadrilátero de vértices A(−2, −3), B(3, −1), C(4, 3) y D sea un paralelogramo.

Solución: En un paralelogramo ABCD, las diagonales AC y BD se cortan en el mismo punto medio, por lo que D = A + C − B.

$$D = A+C-B = (-2+4-3,\ -3+3-(-1)) = (-1,1)$$

Halla las coordenadas del punto medio del segmento AB, de extremos A(6, 8) y B(−2, −4).

Solución:

$$M = \left(\frac{6+(-2)}{2},\ \frac{8+(-4)}{2}\right) = (2,2)$$

Halla las coordenadas del punto C, sabiendo que B(3, −1) es el punto medio de AC, y A(−4, 2).

Solución: Si B es el punto medio de AC, entonces C = 2B − A.

$$C = 2B-A = (6-(-4),\ -2-2) = (10,-4)$$

Determina si están alineados los puntos A(1, 2), B(3, 6) y C(5, 10).

Solución: Tres puntos están alineados si los vectores que forman son proporcionales.

$$\overrightarrow{AB} = (2,4) \qquad \overrightarrow{AC} = (4,8)$$

Como AC = 2·AB, las componentes son proporcionales, por lo que los puntos A, B y C sí están alineados.

Calcula el valor de a para que los puntos A(1, 3), B(3, 5) y C(7, a) estén alineados.

Solución: Para que los puntos estén alineados, los vectores AB y AC deben ser proporcionales.

$$\overrightarrow{AB} = (2,2) \qquad \overrightarrow{AC} = (6,\ a-3)$$

$$\frac{2}{6} = \frac{2}{a-3} \;\Rightarrow\; 2(a-3)=12 \;\Rightarrow\; a=9$$

Preguntas frecuentes de vectores y sus componentes

Actividades de vectores y sus componentes