¿Sabes cómo se aplican los vectores en la vida cotidiana? El juego de la cuerda establece que deben existir dos equipos con el mismo número de personas y una cuerda, ambos deben halar la cuerda en la misma dirección pero en sentidos contrarios y gana aquel que logre desplazar al otro equipo en su sentido de fuerza a una distancia definida.

Vectores
Figura # 1

¿Tienes algún conocimiento básico de vectores? ¿Será que existe la posibilidad de representar esa imagen por medio de vectores?

Estos son segmentos orientados que tienen forma de flecha caracterizados por tener un sólo módulo, una sola dirección y un único sentido.

Los vectores son utilizados para representar magnitudes vectoriales, como la fuerza, la velocidad, la presión, el desplazamiento, el campo eléctrico, el campo magnético.

Figura # 2

Existen muchísimas situaciones en la vida diaria las cuales se pueden representar con vectores, por ejemplo observa la figura # 2, un personaje va subiendo una pendiente en un vehículo a una velocidad de 80 km/k, con dirección noreste y con sentido hacia la ciudad B.

¿Cómo se pueden representar?

Un vector puede representarse con cualquier letra minúscula ya sea “en negrita”, “no negrita” o simplemente por dos letras, veamos:

  • Cuando se representa un vector con una letra minúscula “en negrita” solo se escribe la letra en negrita, por ejemplo:  a   se lee así: vector a.
  • Cuando se escribe una letra minúscula “no negrita” para representar a un vector a esta se le coloca una flecha por encima de la misma, por ejemplo:   se lee así:  vector a
  • La otra forma de representar a un vector es usando dos letras mayúsculas y una flecha, la primera letra indica el origen, la segunda letra el extremo del mismo y la flecha se escribe arriba, ejemplo:  se lee así:  vector de origen A y extremo B

Componentes de un vector

Todo vector en el plano cartesiano está determinado por sus puntos de origen y extremos, por ejemplo el tipo vector   es conocido por las coordenadas del origen y las coordenadas del extremo, su punto de origen es   y su punto de extremo es , el origen de este tipo de vector no coincide con el origen del plano cartesiano. Observa en la imagen el vector

Representación gráfica del vector 

Figura # 3

Este otro tipo de vector    está determinado por sus componentes y y su origen coincide con el origen del plano cartesiano. Observa en la imagen al vector

Representación del vector

Figura # 4

Para determinar las componentes del vector se procede aplicar la siguiente relación:

El tipo de vector   puede ser expresado como el vector , para expresarlo se aplica la siguiente relación:

Ejemplo # 1

El vector posee un punto extremo (7,7) y un punto origen (3,2), exprese este vector como es decir, que posea el origen en el origen del plano cartesiano. Calcule las componentes y graficar.

Cálculo de componentes
Vector :

Punto extremo = (7,7)

Punto origen = (3,2)

Cálculo de sus componentes:

Gráfica

Figura # 5

Ejemplo # 2

El vector posee un punto de extremo M (6,8)  y punto de origen L (4,2). Determine sus componentes.

Entonces la componente del vector

Características 

La representación vectorial de la figura # 2 es la siguiente:

Figura # 6

Observa que el vector está representado por letras mayúsculas A y B por lo tanto su representación es , el punto A es el origen y el punto B es el extremo encargado de indicar el sentido.

Todo vector posee tres características y son llamados: módulo, dirección y sentido.

  • El módulo es la distancia del vector y se mide desde el punto de origen hasta el punto extremo del vector, se calcula por medio de la siguiente fórmula:
  • La dirección es el ángulo que forma el vector con respecto al eje “x” del plano cartesiano y
  • El sentido es la orientación por donde se dirige.

Figura # 7

Para determinar la dirección, módulo y componentes es posible aplicar las siguientes razones trigonométricas:

Ejemplo 

Determinar las componentes del vector  cuyo módulo es =  y el ángulo que forma con el eje horizontal es de 30°

Para determinar la componente en “y” se aplica la razón del seno

Para determinar la componente en “x” se aplica la razón del seno

Tipos de vectores

Entre algunos tipos de vectores cabe mencionar:

  • Vectores equipolentes
  • Vectores libres
  • Vectores opuestos
  • Vectores paralelos
  • Vectores ortogonales
  • Vectores unitarios y
  • Vectores nulos

Vectores equipolentes

Observa la siguiente imagen y calcula las componentes de los vectores   y 

Figura # 8

Calculo de las componentes 

Calculo de las componentes 

Como las componentes de ambos vectores son iguales, quiere decir que tienen el mismo módulo, dirección y sentido, como las tres características de los vectores son iguales entonces reciben el nombre de vectores equipolentes.

¿Cómo reconocer analíticamente los vectores equipolentes?

Al dar dos vectores  y , son equipolentes al verificar las siguientes igualdades:

¿Cómo reconocer geométricamente los vectores equipolentes?

Dos vectores   y son equipolentes si al unir origen con origen y extremos con extremos forma un paralelogramo ABCD.

Figura # 9

Clasificación de los vectores

Libres

Observa la figura # 10 los  vectores poseen las mismas características, sus módulos direcciones  y sentidos son las mismos, por lo tanto esos vectores son equipolentes, esto quiere decir que el conjunto de vectores equipolentes son llamados vectores libres.

Figura # 10

Opuestos

Son vectores que poseen 2 características idénticas, ellas son los módulos y la dirección pero con sentidos opuestos. Vea la figura a continuación:

Figura # 11

Paralelos

Dos o más vectores son paralelos si sus direcciones son las mismas. Vea la figura # 12

Figura # 12

Ortogonales

Dos vectores son ortogonales cuando forman entre sí un ángulo recto. Observa la figura # 13

Figura # 13

Unitarios

Un vector unitario es cuando su módulo o longitud es igual a 1, es decir que el vector  = 1

Los vectores unitarios también son llamados canónicos y se caracterizan porque poseen una componente igual a cero y la otra distinta a cero, están simbolizado por la letra i y j y quedan expresados de la siguiente manera: y , estos vectores apuntan en las direcciones de los ejes “x” y “y”. Obsérvalos gráficamente

Figura # 14

Gracias a los vectores unitarios estos permiten representar a otros vectores en el plano, como este vector = (x,y)  este puede ser representado usando los vectores unitarios, observe:

Quiere decir que tanto el  = (x,y) como son formas correctas para su representación.

Ejemplo # 1

Determine si el siguiente vector es unitario

Se aplica la fórmula para el cálculo del módulo

Entonces el vector  es unitario ya que su módulo es igual a uno

Ejemplo # 2

Determine    , el módulo, la dirección y grafique

Cálculo de la suma 

Cálculo del módulo del vector suma
Cálculo de la dirección del vector
Por estar ubicado en el II cuadrante

Gráfica

Figura # 15

Nulo

Si las dos componentes de un vector tienen un valor igual a cero su módulo del también es cero, entonces este tipo de vector es llamado nulo.

Proyección perpendicular de vectores

Observa la imagen, Dado el punto A y la recta L

El punto A se proyecta sobre recta  L. Para proyectarla se traza unos segmentos desde  el punto A hasta que intercepte a la recta L

Aquel segmento que forme un ángulo recto es decir un ángulo de 90° con la recta L, es denominada Proyección perpendicular o ortogonal. En la figura # 16  el punto A” es la proyección ortogonal del punto A sobre la recta L

Figura # 16

 

La proyección ortogonal de un vector sobre la recta viene siendo la proyección ortogonal de cada uno de sus puntos sobre dicha recta.

Observa la imagen de la derecha, el vector es la proyección ortogonal del vector sobre el eje vertical y el vector es la proyección ortogonal del vector sobre el eje horizontal.

 

Figura # 17

Suma 

Dos o más vectores pueden ser sumados para dar un vector suma o un vector resultante. Esta operación se puede realizar de forma geométrica y analítica.

Forma geométrica:

En forma geométrica existen dos métodos para la suma de vectores, ellos son llamados:

  • Método del triángulo y
  • Método del paralelogramo

En necesario que tengas a la mano una regla y una escuadra para poder aplicar ambos métodos.

Método del triángulo: Se trata de trasladar un vector de tal forma que su origen coincida el con el extremo del otro vector, luego se traza un segmento cuyo origen sea el origen de un vector hasta el extremo del otro creándose el vector suma. La forma geométrica que se forma es la de un triángulo por eso es llamado método del triángulo.

Ejemplo

Dado dos vectores y sume geométricamente aplicando el método del triángulo
Se mide la longitud del vector que será trasladado, en este ejemplo se mide la longitud

Luego, se alinea la escuadra con el vector a trasladar, en este ejemplo la escuadra se alinea con el vector

Se desplaza la escuadra hasta el extremo del otro vector y se traza la longitud del vector
Por último se traza un segmento desde el origen del vector con el extremo del vector , para  obtener finalmente el vector suma .

Al final debe crearse un triángulo

Método del paralelogramo: La suma geométrica de dos vectores es posible realizarlo por medio un método llamado paralelogramo, el procedimiento consiste en trasladar un vector y coincidir su origen con el origen del otro, luego se tiene que trazar una línea paralela a cada vector, esta línea debe ser segmentada y ubicada en los extremos de cada uno de ellos, obteniéndose un paralelogramo. El vector resultante o el vector suma tiene su origen en el origen común de los dos vectores y su extremo es el punto de intersección de las líneas paralelas.

Ejemplo

Dado dos vectores y sume geométricamente aplicando el método del paralelogramo
Se mide la longitud del vector que será trasladado, en este ejemplo el vector

Se alinea la escuadra con el vector

Se desplaza la escuadra hasta el origen del otro vector y se traza la longitud del vector
Manteniendo alineada la escuadra con el vector desplazado , se desplaza la escuadra hasta el extremo del vector

Luego se traza una línea segmentada

Se alinea la escuadra con el vector .
Manteniendo alineada la escuadra con el vector desplazado , desplazar la escuadra hasta el extremo del vector

Luego, trace una línea segmentada.

Marca un punto en la intersección de ambas líneas segmentadas

Finalmente, trace el vector suma desde los orígenes comunes de los vectores y hasta el punto de intersección

Forma analítica:

El vector suma está definido como un vector cuyas componentes es la suma de las componente de y del

 

 

Ejemplo # 8Dados los vectores y , calcula analíticamente y geométricamente

ANALÍTICAMENTE
1.Se aplica la relación de suma de vectores

2.Se sustituye los valores para obtener el vector suma

 

GEOMÉTRICAMENTE
1.Se grafica ambos vectores en el plano cartesiano
2.Se aplica el método del triángulo
3.Vector suma

Resta 

Para restar dos vectores se le suma al primer vector el opuesto del segundo vector, quedando definido de la siguiente forma:

La resta de vectores puede realizarse también geométricamente aplicando cualquiera de los dos métodos

Ejemplo

Calcula   donde     y  . Realizarlo analíticamente y geométricamente

ANALÍTICAMENTE
1.Se aplica la definición

2.Se sustituye los valores

 

GEOMÉTRICAMENTE
1.Graficar ambos vectores y  

 

2.Se aplica el método del triángulo 

 

3.Vector resta  

 

Multiplicación de un escalar o un número real por un vector

El producto de un número real por un vector es otro vector cuyas componentes es la multiplicación del número real por cada una de las componentes del vector dado.

Tres casos que puede presentarse cuando se multiplica un número real k por el vector

  • Cuando = 0 ⇒ k . = 0
  • Cuando k > 0 ⇒ k .   es un vector de la misma dirección y sentido que  y con un módulo veces el módulo de 
  • Cuando k < 0 ⇒ k .   es un vector de la misma dirección que , con sentido opuesto y con un módulo veces el módulo de 

Ejemplo

Dados los vectores y el número real k = -2 . Calcular   analíticamente y geométricamente

ANALÍTICAMENTE
1.Se aplica la definición

2.Se sustituye los valores

 

GEOMÉTRICAMENTE
1.Se grafica el vector

Y el vector

 

 

Producto escalar de dos vectores

Es una operación entre dos vectores en el mismo espacio vectorial y el resultado es un escalar o un número real.

Producto de dos vectores en forma binomial o cartesiana

Dado los vectores    y    su producto escalar se expresa como y queda:

Ejemplo 

Determina el producto escalar de los vectores    y 

Forma trigonométrica del producto escalar 

El producto escalar de dos vectores y representados como es el producto de sus módulos por el coseno del ángulo que los forman, su expresión matemática es la siguiente:

Ejemplo

Determina el producto escalar entre los vectores y   sabiendo que , y  el ángulo comprendido entre los vectores es de 22°

Solución
1.Se determina el módulo del vector u

2.Se aplica la fórmula para determinar el producto escalar

Casos de ángulos formados por los vectores  y

CasosFiguras
1.Cuando y forman entre ellos un ángulo de 90°, el producto escalar es cero, debido que el cos 90° = 0

 

 

2.Cuando y poseen la misma dirección y sentido forman un ángulo = 0° , entonces el cos 0° = 1

 

 

3.Cuando y poseen la misma dirección pero sentidos opuestos el ángulo formado entre ellos es de 180°, por lo tanto el cos 180° = -1

 

 

Cálculo del ángulo 

Si se conocen las componentes de dos vectores se puede determinar el ángulo comprendido entre ellos y su relación es la siguiente:

Ejemplo

Determina el ángulo θ comprendido entre los vectores y representados en el plano, observa la imagen

Solución
1.Según la gráfica la componentes de son:   y 
2.Calculo de los módulos de ambos vectores

3.Cálculo del producto escalar de ambos vectores

4.Cálculo del ángulo entre ambos vectores

Ejercicios

  1.  Representa gráficamente en el plano cartesiano los siguientes vectores
    1.2.3.
    4.5.6.
  2. Dados los puntos ; ;   y  . Hallar el módulo de los siguientes vectores:
    1.2.3.
    4.5.6.
  3. Determina si es cierto cada condición de los vectores
    1. ; 2.  ; 3.  ;
  4. Menciona si cada par de vectores son opuestos, paralelos, ortogonales o ninguno de los anteriores
    1.

    2.

    3.

    4.

  5. Determina la componente que falta, según la ubicación del cuadrante
    1.2.3.
    4.5.6.
  6. Determina las componentes en cada vector
    1. 

     

    2. 

     

    3. 

     

    4. 

     

    5.
    6. 

     

  7. Dados los vectores   ,    ,  . Resuelva las siguientes operaciones:
    1.2.
    3.4.
    5.6.
    7.8.
    9.10.
    11.12.
  8. Dados los puntos A(3,2) ; B(0,4) ; C(-3,3) y D(5,4) , representa geométricamente y analíticamente las siguientes operaciones con vectores
    1.2.3.4.
    5.6.7.8.
    9.10.11.12.
    13.14.15.16.
  9. Dados los vectores, realiza la representación gráfica de las operaciones indicadas
    1.Vectores
    2.
    3.
    4.
  10. Calcula el producto escalar de los siguientes vectores
    1.2.3.
    4.5.6.
  11. Efectúa las siguientes operaciones con los vectores: ; . Donde m = -4  y  n = 1/3
    1.2.3.
    4.5.6.
  12. Hallar el ángulo comprendido entre los siguientes vectores
    1.= (2,-4) ; v = (4,0)2.= (0,3) ; v = (1,-6)
    3.= (3,5) ; v = (-7,-2)4.= (3,5) ; v = (5,-3)
    5.= (1,-8) ; v = (-3,5)6.= (5,-6) ; v = (0,2)
    7.= (1,-6) ; v = (2,7)8.= (3,-2) ; v = (-5,-7)

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