¿Sabes cómo se aplican los vectores en la vida cotidiana? El juego de la cuerda establece que deben existir dos equipos con el mismo número de personas y una cuerda, ambos deben halar la cuerda en la misma dirección pero en sentidos contrarios y gana aquel que logre desplazar al otro equipo en su sentido de fuerza a una distancia definida.

¿Tienes algún conocimiento básico de vectores? ¿Será que existe la posibilidad de representar esa imagen por medio de vectores?

Existen dos magnitudes, una llamada magnitudes escalares, determinadas mediante un número, por ejemplo la edad, la altura de un edificio, etc., y la otra es conocida como magnitudes vectoriales, este tipo de magnitud requieren una medida llamada norma y una dirección que indica una orientación y se representan por medio de vectores.

Existen muchas situaciones en la vida diaria que pueden representarse con vectores, como por ejemplo la figura llamada vectores, allí se aprecia un personaje subiendo una pendiente a una velocidad de 80 km/k, con dirección inclinada y sentido noreste.

Definición de vectores

¿Cómo se representan?

Un vector puede representarse con cualquier letra minúscula ya sea “en negrita”, “no negrita” o simplemente con dos letras, veamos:

• Cuando se representa un vector con una letra minúscula “en negrita” solo se escribe la letra en negrita, por ejemplo:  a   se lee así: vector a.
• Cuando se escribe una letra minúscula “no negrita” para representar a un vector a esta se le coloca una flecha por encima de la misma, por ejemplo: , su norma se presenta entre dos barras .
• La otra forma de representar a un vector es usando dos letras mayúsculas y una flecha, la primera letra indica el origen, la segunda letra el extremo del mismo y la flecha se escribe arriba, ejemplo:   se lee así:  vector de origen A y extremo B

Características 

Observa la figura # 2, el vector está representado por letras mayúsculas A y B, el punto A es el origen y el punto B es el extremo encargado de indicar el sentido y se representa

Los vectores poseen 3 características llamados: módulo, dirección y sentido.

• 

  El módulo o magnitud del vector es la distancia del vector o norma que se mide desde el punto de origen hasta el punto extremo del vector, aplicando el teorema de Pitágoras se puede obtener su valor:

• La dirección es el ángulo que forma el vector con respecto al eje “x” del plano cartesiano.
• El sentido es la orientación por donde se dirige el vector mediante la punta de la flecha ubicado en el extremo del mismo.

Componentes

El ángulo α permite descomponer el vector  en dos elementos llamados componentes rectangulares. Entonces el vector  se representa como: 

Sus componentes se definen de la siguiente forma:

Un vector está determinado por la magnitud y la dirección.

Para calcular el ángulo de dirección α del vector , se logra a través de sus componentes rectangulares, la fórmula es la siguiente:

Ejemplo: Determinar las componentes rectangulares representado en la figura cuya norma es   

Solución:

Componente “y” se aplica la razón del seno.

Componente “x” se aplica la razón del coseno .

Suma y resta de vectores

Los vectores se pueden trabajar de 3 formas:

1. Geométricamente (flechas).
2. Teniendo las coordenadas del punto del origen y de su extremo.
3. Conociendo sus componentes.

Forma geométrica

En forma geométrica existen dos métodos para la suma de vectores, ellos son llamados:

• Método del polígono.
• Método del triángulo.
• Método del paralelogramo.

El método del polígono se utiliza cuando se suman más de dos vectores y el método del triángulo y del paralelogramo cuando solo hay dos.

En necesario que tengas a la mano una regla y un cartabón para poner en practica ambos métodos.

Método del polígono: Consiste en dibujar uno a continuación del otro, nunca variando su dirección y sentido. Uniendo el origen del primero con el extremo del útimo para obtener el vector suma.

Método del triángulo: Se trata de trasladar un vector de tal forma que su origen coincida el con el extremo del otro vector, luego se traza un segmento cuyo origen sea el origen de un vector hasta el extremo del otro creándose el vector suma. La forma geométrica que se forma es la de un triángulo por eso es llamado método del triángulo.

Procedimiento del método del triángulo

Sume los vectores y

Alinear el cartabón con el vector a trasladar apoyado con la regla, en este ejemplo con el vector

Medir la longitud del vector que será trasladado, en este ejemplo se mide la longitud del vector .

Desplazar el cartabón hasta el extremo del otro vector y trazar la longitud del vector

Finalmente, se traza un segmento desde el origen del vector con el extremo del vector , para  obtener el vector suma .

Observa que al final se crea un triángulo.

Método del paralelogramo: Este método es usado cuando los vectores tiene el mismo punto de aplicación, el procedimiento consiste en trasladar un vector y coincidir su origen con el origen del otro, luego trazar una línea paralela a cada vector, esta línea debe ser segmentada y ubicada en los extremos de cada uno de ellos, obteniéndose un paralelogramo. El vector resultante o el vector suma tiene su origen en el origen común de los dos vectores y su extremo es el punto de intersección de las líneas paralelas.

Procedimiento del método del paralelogramo

Sume los vectores y

Medir la longitud del vector que será trasladado, en este ejemplo el vector

Se alinea el cartabón con el vector

Desplazar el cartabón hasta el origen del otro vector y trazar la longitud del vector

Manteniendo alineado el cartabón con el vector desplazado , se desplaza la escuadra hasta el extremo del vector

Luego se traza una línea segmentada.

Alinear el cartabón con el vector

Manteniendo alineado el cartabón con el vector desplazado , desplazar la escuadra hasta el extremo del vector

Luego, trazar una línea segmentada.

Marcar un punto en la intersección de ambas líneas segmentadas.

Finalmente, trazar el vector suma desde los orígenes comunes de los vectores y hasta el punto de intersección.

Ejemplo de suma y resta de vectores

Ejemplo # 1: Dado los vectores y , calcula la norma, dirección y representarlo gráficamente.

Solución:

Sustitur los valores para obtener el vector suma

La norma del vector es:

La dirección se calcula de la siguiente manera:

Ejemplo # 2: Restar los vectores   y , calcula , la norma, dirección y representarlo gráficamente.

Solución

La norma del vector es:

El calculo de la dirección se realiza de la siguiente forma:

Ejemplo # 3: Hallar la norma de la suma de los vectores y cuyas medidas son 5 y 6 respectivamente.

Realizando la suma geométrica, el paralelogramo queda de la siguiente manera:

Donde el ángulo agudo del cuadrilátero se determinó aplicando la propiedad de los paralelogramos, al sumar dos ángulos consecutivos su resultado es un ángulo suplementario, es decir 180°.

Entonces:

180° = 142 + x

x = 180° – 142°

x = 38°

Para hallar la norma del vector se aplica la ley del coseno

Multiplicación de un escalar por un vector

Tres casos que puede presentarse cuando se multiplica un número real k por el vector

• Cuando k = 0 ⇒ k . = 0
• Cuando k > 0 ⇒ k .   es un vector de la misma dirección y sentido que  y con un módulo k veces el módulo de 
• Cuando k < 0 ⇒ k .   es un vector de la misma dirección que , con sentido opuesto y con un módulo k veces el módulo de 

Ejemplo: Dados los vectores y el número real k = -2 . Calcular  .

Solución

Sustituir valores:

Producto punto entre vectores

El producto punto o producto escalar de dos vectores   y , lo cual se expresa como: está definido como .

El producto escalar es un resultado numérico que nos informa hacia donde apunta dos vectores, el resultado puede ser positivo, negativo o cero.

Producto escalar positivo, si el resultado es positivo es porque el ángulo entre los dos vectores está comprendido entre 0° y 90°.

Producto escalar negativo, si el resultado es negativo es porque el ángulo está comprendido entre 90° y 180°.

Producto escalar cero, es porque el ángulo entre los dos vectores es de 90°

Ángulos entre vectores

Si α es el ángulo formado entre dos vectores y no nulos, entonces:

Ejemplo: Determina el producto escalar y el ángulo formado entre los vectores    y 

Solución

Primero, calcular el producto escalar entre los vectores.

Segundo, calcular la norma de cada vector.

Tercero, se determina el ángulo entre los dos vectores.

Actividades

Dados los puntos A(3,2) ; B(0,4) ; C(-3,3) y D(5,4) , representa geométricamente y analíticamente las siguientes operaciones con vectores

Calcula el producto escalar de los siguientes vectores

Hallar el ángulo comprendido entre los siguientes vectores