¿Sabías que los ángulos formados entre dos rectas paralelas y una secante pueden ayudarte a comprender y diseñar espacios de manera armoniosa? 📐✨
El señor Enrique, un jardinero, ha sido contratado para diseñar un hermoso jardín entre dos caminos paralelos, atravesados por un sendero diagonal. Antes de plantar las flores, observa el plano y analiza los ángulos que se forman entre las caminerías.
🌷 ¿Podrá Enrique identificar correctamente estos ángulos y aprovechar sus relaciones para crear un jardín equilibrado y atractivo?
Descubre junto a Enrique la respuesta en este artículo, donde aprenderás a identificar los diferentes ángulos que se forman entre dos rectas paralelas y una secante y a reconocer las relaciones que existen entre ellos. ¡Acompaña a Enrique en su reto y comprueba cómo la geometría le ayudará a transformar su diseño en un hermoso jardín!
Términos fundamentales para una mejor comprensión del tema
Lo primero, antes de entrar con el tema es muy importante que conozcas ciertas terminologías básicas que te ayudan a conducirte a una mejor comprensión. Estos términos son:
| Término | Imagen | Definición |
|---|---|---|
| Rectas paralelas |  | Las rectas paralelas son líneas separadas por cierta distancia que tienen la misma dirección pero no se intersecan. |
| Rectas perpendiculares |  | Se forman la perpendicularidad cuando dos rectas se intersecan formando 4 ángulos de 90° (rectos). |
| Recta secante |  | La recta secante es una recta que interseca a otra en un punto. Observa la imagen: la recta de color rojo es la secante porque atraviesa e interseca cada una de las dos rectas paralelas en un punto diferente, formando diversos ángulos. |
| Ángulos congruentes |  | Dos o más ángulos son congruentes cuando tienen la misma medida o amplitud, aunque su posición o sentido puedan ser diferentes. En la imagen, los ángulos de color rojo y los de color verde son congruentes porque tienen la misma amplitud. Por lo tanto: α ≅ γ λ ≅ β |
| Ángulos suplementarios o ángulos adyacentes |  | Dos o más ángulos son suplementarios sólo si la suma de sus amplitudes es igual a 180°. La imagen muestra dos ángulos, súmalos y si el resultado es 180°, entonces son suplementarios. |
| Ángulos opuestos al vértice |  | Se forman cuando dos rectas o segmentos se intersecan en un punto, ese punto es el vértice de los ángulos formados y el ángulo opuesto es aquel que está al frente del otro. Todo ángulo opuesto es congruente. Cuando la transversal interseca con el segmento horizontal, se presenta cuatro ángulos. En la imagen puedes ver claramente que los ángulos rojos son opuestos por el vértice, y lo mismo ocurre con los ángulos verdes. |
| Ángulos consecutivos o ángulos contiguos |  | Dos o más ángulos son consecutivos siempre y cuando tengan el mismo vértice y un lado en común. El ángulo de 36° es consecutivo con el ángulo de 16°. 16° consecutivo con 23°. 23° es contiguo con el ángulo 33° 33° contiguo con 49° Ángulo de 49° consecutivo con 23° |
Ángulos formados por dos rectas y una secante
Cuando trazas dos rectas paralelas y una secante que las intersecta se forman un total de ocho ángulos. Cuatro de ellos están ubicados en el interior de las rectas paralelas, y el restante, en el exterior a estas rectas.
Tipos de los ángulos
Esos ocho ángulos llegan a recibir distintos nombres según la posición que ocupan. Algunos de ellos son congruentes, y otros son suplementarios.
Ángulos alternos internos
En primer lugar, son ángulos internos ubicados en lados opuestos de la transversal, este grupo de ángulos internos son congruentes.
- Son alternos internos los ángulos:
$$ \measuredangle3\cong \measuredangle 6$$ $$ \measuredangle4\cong \measuredangle 5$$
Ángulos alternos externos
Estos ángulos están ubicados en lados opuestos de la transversal, este tipo de ángulos son congruentes.
- Son alternos externos los ángulos:
$$ \measuredangle1\cong \measuredangle 8$$ $$ \measuredangle2\cong \measuredangle 7$$
Ángulos correspondientes
Son correspondientes cuando se selecciona un ángulo interno y otro externo del mismo lado de la transversal, estos tipos de ángulos son congruentes.
- Son correspondientes los ángulos:
Lado izquierdo de la transversal:
$$ \measuredangle1\cong \measuredangle 5$$ $$ \measuredangle3\cong \measuredangle 7$$
Lado derecho de la transversal:
$$ \measuredangle2\cong \measuredangle 6$$ $$ \measuredangle4\cong \measuredangle 8$$
Ángulos conjugados internos
Son ángulos internos ubicados en el mismo lado de la transversal. Estos tipos de ángulos son suplementarios, compuesto de un ángulo agudo y otro obtuso.
Lado izquierdo de la transversal:
$$ \measuredangle3+ \measuredangle 5=180^{\circ }$$
Lado derecho de la transversal:
$$ \measuredangle4+ \measuredangle 6=180^{\circ }$$
Ángulos conjugados externos
Son ángulos externos que están en el mismo lado de la transversal, y son suplementarios.
- Son conjugados externos los ángulos:
$$ \measuredangle1+ \measuredangle 7=180^{\circ }$$ $$ \measuredangle2+ \measuredangle 8=180^{\circ }$$
Ejemplo 1. Ángulos entre dos rectas paralelas y una secante
Si m∠1 = 120°, ¿cuál es el valor de todos los demás ángulos?
Repuestas:
- m∠8 = 120° ya que son ángulos alternos externos.
- La medida del ángulo m∠2 = 60° ya que es suplementario con m∠1 =120°.
- m∠6 = 60° por ser correspondiente con m∠2 = 60°.
- m∠7 = 60°, ya que es un ángulo opuesto al vértice, entonces: m∠7 ≅ m∠6.
- m∠5 = 120°, ya que su ángulo conjugado interno es m∠3 = 60°.
Ejemplo 2
A continuación, te presento un ejmplo resuelto paso a paso de dos rectas paralelas y dos transversales. El enunciado es el siguiente:Consejo: antes de realizar cualquier cálculo, observa cuidadosamente la posición de los ángulos y determina qué relación existe entre ellos. Esto te permitirá resolver el problema de forma rápida y segura.
Calcular las medidas de los ángulos indicados en la imagen.
Solución:
En la recta transversal “l” lado izquierdo.
El ángulo de 38° y λ son conjugados internos, por lo tanto son suplementarios.
180° = 38° + λ
λ = 180° – 38° = 142°
λ = 142°
Los ángulos 38° y ω son alternos internos, por tanto son congruentes. ω = 38°
El ángulo opuesto al vértice de λ es Φ. por ende son congruentes.
λ ≅ Φ
Φ = 142°
Recta transversal “l” lado derecho.
Ambos ángulos ω y β son correspondientes, entonces, son congruentes.
ω ≅ β
ω = 38° β = 38°
Analizando las dos rectas transversales.
Las rectas “l”, ”m«, “q” forman un triángulo con ángulos conocidos ω = 38° y 40°, y ángulo desconocido θ.
Se aplica la propiedad # 1 suma de los ángulos internos del triángulo «suma de los ángulos internos de un triángulo».
180° = ω + 40° + θ
180° = 38° + 40° + θ
θ = 102°
Los ángulos θ y α, son opuestos al vértice.
α = 102°
En la recta transversal “m” lado derecho.
Al sumar los ángulos α + β se hace correspondiente con σ
α + β = 102° + 38° = 140°
Entonces,
σ = 140°
Los ángulos σ y ψ son opuestos al ángulo, por lo tanto:
ψ = 140°
σ y γ son conjugados internos.
180° = 140° + γ
γ = 180° – 140°
γ = 40°
Comprobación
En los tres puntos donde intersecan las rectas secantes se comprueba el resultado aplicando el ángulo completo.
- 360° = 40° + 102° + 38° + 40° +102° + 38°
360°= 360°
- 360° = 142° + 38° + 142° + 38°
360° =360°
- 360° = 40° + 140° + 40° + 140°
360° = 360°
Preguntas frecuentes: Ángulos entre dos rectas paralelas y una secante
1. ¿Qué son dos rectas paralelas?
Son dos rectas que se encuentran en un mismo plano y nunca se cortan, aunque se prolonguen indefinidamente. Mantienen siempre la misma distancia entre sí.
2. ¿Qué es una recta secante?
Una recta secante es aquella que corta a otra recta en un punto. Cuando una secante atraviesa dos rectas paralelas, se forman varios ángulos que permiten establecer relaciones entre ellos
3. ¿Qué son dos rectas perpendiculares?
Dos rectas son perpendiculares cuando se cortan formando cuatro ángulos rectos. Cada uno de estos ángulos mide 90°.
4. ¿Qué significa que dos ángulos sean congruentes?
Dos ángulos son congruentes cuando tienen la misma medida. Por ejemplo, si un ángulo mide 65° y otro también mide 65°, entonces son congruentes.
5. ¿Qué son los ángulos consecutivos?
Son dos ángulos que tienen el mismo vértice y un lado común, aunque sus otros lados sean diferentes. En una figura formada por dos paralelas y una secante, podemos encontrar varios pares de ángulos consecutivos.
6. ¿Qué son los ángulos suplementarios?
Son dos ángulos cuyas medidas suman 180°. Por ejemplo, si un ángulo mide 120°, su suplemento mide:
$$180°-120°=60°$$
Por lo tanto, los dos ángulos son suplementarios.
7. ¿Qué son los ángulos opuestos por el vértice?
Son los ángulos que se forman cuando dos rectas se intersectan y quedan enfrentados. Los ángulos opuestos por el vértice siempre son congruentes, es decir, tienen la misma medida.
8. ¿Qué son los ángulos adyacentes?
Son dos ángulos que tienen el mismo vértice, un lado común y los otros dos lados forman una línea recta. Por esta razón, los ángulos adyacentes son suplementarios y sus medidas suman 180°.
9. ¿Qué relación existe entre los ángulos formados por dos rectas paralelas y una secante?
Cuando una secante corta dos rectas paralelas se forman diferentes pares de ángulos, como correspondientes, alternos internos, alternos externos y colaterales internos. Algunos pares son congruentes y otros son suplementarios.
Estas relaciones permiten encontrar la medida de un ángulo desconocido a partir de la medida de otro.
10. ¿Cómo puedo encontrar un ángulo desconocido?
Primero identifica la relación entre el ángulo conocido y el desconocido. Por ejemplo:
- Si son opuestos por el vértice, son congruentes.
- Si son correspondientes, son congruentes cuando las rectas son paralelas.
- Si son alternos internos, son congruentes cuando las rectas son paralelas.
- Si son alternos externos, son congruentes cuando las rectas son paralelas.
- Si son adyacentes o suplementarios, sus medidas suman 180°.
Actividades
Analiza cada enunciado y responde.
Considera que los ángulos son formados por dos rectas paralelas y una transversal.
I. Si el ∠A y el ∠B son alternos externos, y la m∠A = 24°. ¿Cuál es el valor de la abertura del ∠B?.
II. El ∠P y el ∠Q son ángulos conjugados internos, y la m∠Q = 41°. Determina la m∠P.
III. Los ángulos ∠F y el ∠G son alternos internos, y la m∠F = 122°. ¿Cuánto mide el ∠G?.
IV. Los ángulos ∠R y el ∠S son alternos internos, y el valor de un ángulo suplementario a uno de ellos mide 135°. ¿Cuánto miden el ángulo ∠R y el ∠S respectivamente?.
Justifica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.
I. Los ángulos correspondientes siempre son congruentes.
II. Los ángulos conjugados externos son complementarios.
III. Los ángulos alternos internos son suplementarios.
IV. Los ángulos alternos externos siempre son agudos.
Determina la medida de los ángulos indicados.
m∠EBH
m∠BED
m∠EBD
m∠DBG
m∠ABC
m∠IEB
m∠GDF
m∠KGL
Finalmente, ahora que ya sabes más acerca de los ángulos entre dos rectas paralelas y una secante es momento que pongas manos a la obra y practiques cada lo aprendido. No olvides comentar y compartir.
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