Ecuación de Bernoulli: qué es, fórmula y problemas resueltos

Sostén dos hojas de papel colgando una junto a la otra, separadas unos tres centímetros, y sopla por el espacio que queda entre ellas. La intuición dice que el aire las separará; sin embargo, las hojas se acercan. Ese resultado, que sorprende a casi todo el mundo, lo describe la ecuación de Bernoulli, una de las herramientas centrales de la dinámica de fluidos.

En esencia, la ecuación de Bernoulli es la conservación de la energía escrita para un fluido en movimiento. Afirma que, a lo largo de una línea de corriente, la suma de la presión, la energía cinética por unidad de volumen y la energía potencial gravitacional por unidad de volumen permanece constante. Una consecuencia inmediata es que, si la altura no cambia, allí donde el fluido circula más rápido su presión es menor. Daniel Bernoulli (1700–1782) planteó esta relación entre velocidad y presión en su obra Hydrodynamica (1738), y la expresión que se usa hoy en día se consolidó durante el siglo XVIII, en gran parte gracias a los trabajos de Leonhard Euler.

Su alcance práctico es enorme: permite dimensionar tuberías y sistemas de riego, calcular la velocidad con la que sale un líquido por un orificio, medir caudales con tubos de Venturi, determinar la velocidad de una aeronave con un tubo de Pitot y comprender por qué un vendaval puede arrancar un techo. Eso sí, se trata de un modelo con condiciones de validez precisas, y aprender a reconocerlas es parte de dominar el tema.

En este artículo avanzarás paso a paso: repasarás el modelo de fluido ideal y la ecuación de continuidad, deducirás la ecuación de Bernoulli, la aplicarás a situaciones reales, la pondrás a prueba con un simulador y con un experimento casero, y la practicarás con 4 ejemplos, 16 problemas resueltos, 10 actividades y un mini-proyecto.

Antes de empezar: predice y comprueba

Las ideas se fijan mejor cuando primero las pones en juego. Dedica cinco minutos a este experimento antes de seguir leyendo.

Experimento 1: las dos hojas que se atraen

Materiales: dos hojas de papel tamaño carta y tus manos.

1. Predice. En tu cuaderno, dibuja qué crees que les ocurrirá a las hojas cuando soples entre ellas y escribe en dos líneas por qué.
2. Observa. Sujeta cada hoja por su borde superior, dejándolas colgar en paralelo a unos tres centímetros una de otra. Sopla con fuerza por el espacio central. Repite soplando suave y luego fuerte.
3. Explica. ¿En qué zona el aire se mueve más rápido y en cuál está prácticamente en reposo? ¿Cómo se relaciona esto con la presión a cada lado de una hoja?
4. Contrasta. Guarda tu explicación y revísala al llegar a la sección de interpretación física. ¿Qué cambiarías?

Terminología clave

Estos son los conceptos que usarás a lo largo del artículo. Cada uno se retomará con más detalle cuando aparezca por primera vez en el desarrollo.

1. Conceptos básicos de los fluidos

• Fluido: sustancia, líquida o gaseosa, que se deforma de manera continua cuando se le aplica un esfuerzo cortante (tangencial), por pequeño que sea, y que adopta la forma del recipiente que la contiene.

• Fluido ideal: modelo en el que el fluido es incompresible (su densidad no cambia), no viscoso (sin fricción interna) y circula en régimen estacionario.

• Régimen estacionario: situación en la que la velocidad del fluido en cada punto del espacio no cambia con el tiempo.

• Flujo laminar y turbulento: en el laminar, el fluido se mueve en capas paralelas que no se mezclan; en el turbulento aparecen remolinos y mezcla intensa.

• Línea de corriente: curva imaginaria cuya tangente, en cada punto, indica la dirección de la velocidad del fluido. En régimen estacionario coincide con la trayectoria que sigue una partícula del fluido.

2. Magnitudes del movimiento de un fluido

• Velocidad (v): en este recurso, v representa el módulo de la velocidad del fluido (su rapidez), medido en m/s.

• Caudal (Q): volumen de fluido que atraviesa una sección de la tubería por unidad de tiempo. Se mide en m³/s.

• Densidad (ρ): masa por unidad de volumen, en kg/m³. Para el agua es cercana a 1000 kg/m³ y para el aire, a nivel del mar, cercana a 1,2 kg/m³.

3. La presión en los fluídos

• Presión (P): magnitud escalar que mide la fuerza perpendicular que ejerce un fluido por unidad de área sobre una superficie. Su unidad en el Sistema Internacional es el pascal (Pa), equivalente a 1 N/m².

• Presión absoluta y presión manométrica: la presión absoluta se mide respecto al vacío; la manométrica, respecto a la presión atmosférica P₀ (unos 101 300 Pa al nivel del mar). La absoluta es la suma de la manométrica y la atmosférica.

• Presión estática: presión propia del fluido, la que registraría un instrumento que se moviera junto con él sin perturbar el flujo.

• Presión dinámica: término ½ρv², asociado a la energía cinética por unidad de volumen del fluido en movimiento.

• Presión hidrostática: presión debida al peso de una columna de fluido en reposo, igual a ρgh, donde h es la profundidad.

• Presión de estancamiento: presión en un punto donde el fluido se detiene por completo; equivale a la presión estática más la dinámica.

4. Principios y fenómenos relacionados

• Ecuación de continuidad: expresión de la conservación de la masa de un fluido incompresible que circula por una tubería de sección variable.

• Efecto Venturi: disminución de la presión de un fluido cuando su velocidad aumenta al atravesar un estrechamiento de la tubería.

• Ecuación de Bernoulli: relación que expresa la conservación de la energía mecánica de un fluido ideal en régimen estacionario a lo largo de una línea de corriente. Relaciona la presión, la velocidad y la altura del fluido: $$P+\frac{1}{2}\rho v^{2}+\rho gh=constante$$

5. Instrumento de medición

• Tubo de Pitot: instrumento que determina la velocidad de un fluido comparando la presión de estancamiento con la presión estática.

Fundamentos: el modelo de fluido ideal

Un modelo es una simplificación deliberada de la realidad que conserva lo esencial de un fenómeno. La ecuación de Bernoulli se dedujo para un fluido ideal, que cumple las siguientes condiciones:

1. Flujo estacionario: la velocidad en cada punto no cambia con el tiempo.

2. Fluido incompresible: la densidad ρ permanece constante.

3. Fluido no viscoso: no hay fricción interna entre las capas del fluido ni con las paredes del conducto.

4. Sin aporte ni extracción de energía: entre los puntos que se comparan no hay bombas, turbinas ni intercambios de calor apreciables.

Además, la ecuación relaciona dos puntos de una misma línea de corriente. Si el flujo es también irrotacional, es decir, sin torbellinos, la constante de Bernoulli es la misma en todo el fluido y se pueden comparar puntos de líneas de corriente distintas.

Ningún fluido real cumple estas condiciones al cien por ciento, pero varias situaciones se aproximan bien al modelo: el agua que circula por tuberías cortas y anchas, o el aire cuya velocidad es menor que aproximadamente 0,3 veces la velocidad del sonido (unos 100 m/s), rango en el que su densidad varía menos de un 5 %. En esos casos, la ecuación de Bernoulli ofrece predicciones muy útiles (Çengel y Cimbala, 2018).

La ecuación de continuidad: el punto de partida

Antes de aplicar la ecuación de Bernoulli necesitas la ecuación de continuidad, que expresa la conservación de la masa. Si un fluido incompresible circula por una tubería, el volumen que entra por un extremo en un intervalo de tiempo es igual al que sale por el otro, sin importar cómo cambie la sección.

Llamemos A₁ y v₁ al área y a la velocidad media del fluido en el punto 1, y A₂ y v₂ a las del punto 2. Entonces se cumple:

Si el área de la tubería disminuye, la velocidad aumenta en la misma proporción. El producto del área por la velocidad es el caudal volumétrico Q, que se mantiene constante a lo largo de la tubería:

Un caso cotidiano. Cuando riegas el jardín y tapas parcialmente la boquilla de la manguera con el dedo, reduces el área de salida y el agua sale con mayor velocidad. Este efecto lo explica la continuidad. La ecuación de Bernoulli interviene después, para saber qué ocurre con la presión, y ese análisis lo haremos más adelante.

Deducción y enunciado de la ecuación de Bernoulli

Idea física: conservación de la energía

La ecuación de Bernoulli se obtiene al aplicar la conservación de la energía mecánica a un fluido ideal en movimiento. A lo largo de una línea de corriente, la suma de tres formas de energía por unidad de volumen permanece constante:

• la energía asociada a la presión del fluido (P);

• la energía cinética por unidad de volumen (½ρv²);

• la energía potencial gravitacional por unidad de volumen (ρgh).

Si no hay pérdidas por fricción, como ocurre en un fluido ideal, esa suma es la misma en cualquier punto de la línea de corriente.

Deducción paso a paso

Considera un fluido ideal que circula por una tubería que cambia de sección y de altura, como la de la Figura 1. Durante un intervalo de tiempo muy corto, una porción de fluido de longitud Δx₁ atraviesa la sección A₁ en la entrada y, al mismo tiempo, una porción de longitud Δx₂ atraviesa la sección A₂ en la salida. Por continuidad, ambas porciones tienen el mismo volumen ΔV = A₁Δx₁ = A₂Δx₂ y, por tanto, la misma masa Δm = ρΔV (Young y Freedman, 2020).

Paso 1. Trabajo de las fuerzas de presión.

El fluido que va detrás empuja con una fuerza P₁A₁ a lo largo de Δx₁ (trabajo positivo), mientras que el fluido de adelante se opone con una fuerza P₂A₂ a lo largo de Δx₂ (trabajo negativo). Las paredes ejercen fuerzas perpendiculares al movimiento y, al no haber viscosidad, no realizan trabajo.

Paso 2. Variación de la energía.

Como el régimen es estacionario, el efecto neto equivale a trasladar la masa Δm desde la entrada hasta la salida. Por eso, el cambio de energía cinética y de energía potencial es:

Paso 3. Teorema del trabajo y la energía.

El trabajo realizado sobre la porción de fluido es igual al cambio de su energía mecánica, W = ΔK + ΔU:

Al dividir entre ΔV y agrupar los términos del punto 1 a un lado y los del punto 2 al otro, se obtiene la ecuación de Bernoulli:

Enunciado y significado de cada término

Como los puntos 1 y 2 son arbitrarios dentro de la misma línea de corriente, el resultado se puede escribir en forma general:

Donde cada símbolo representa:

• P: presión estática del fluido, en pascales (Pa).

• ρ: densidad del fluido, en kg/m³.

• v: velocidad del fluido, en m/s.

• g: aceleración de la gravedad, 9,8 m/s².

• h: altura del punto respecto a un nivel de referencia, en metros, positiva hacia arriba.

Los tres sumandos tienen unidades de presión; por eso también pueden interpretarse como energía por unidad de volumen: 1 Pa = 1 N/m² = 1 J/m³. En los problemas se comparan casi siempre dos puntos, y la ecuación adopta la forma que aparece en el Paso 3 de la deducción, con los subíndices 1 y 2.

Método de resolución en seis pasos

1. Dibuja la situación y elige dos puntos, 1 y 2, sobre una misma línea de corriente.

2. Fija un nivel de referencia para las alturas (h = 0) y decide el signo: positiva hacia arriba.

3. Usa la continuidad para relacionar las velocidades a partir de las áreas.

4. Escribe la ecuación de Bernoulli entre los puntos 1 y 2 e identifica qué términos se cancelan (misma altura, presión atmosférica en ambos, velocidad despreciable, etc.).

5. Despeja la incógnita y reemplaza valores en unidades del Sistema Internacional.

6. Verifica las unidades y la coherencia física: ¿la presión disminuyó donde la velocidad aumentó?

Forma en alturas

Al dividir cada término entre ρg, se obtiene una versión muy usada en ingeniería en la que todos los sumandos tienen unidades de longitud:

Los tres sumandos se llaman altura de presión, altura cinética y altura geométrica. Su suma es la altura total, también conocida como carga total del fluido.

Casos particulares útiles

Fluido en reposo (hidrostática). Si v₁ = v₂ = 0, la ecuación se reduce a la ecuación fundamental de la hidrostática, de la que se deduce que la presión aumenta con la profundidad:

Tubería horizontal. Si h₁ = h₂, el término de altura se cancela y queda una relación directa entre presión y velocidad:

Ley de Torricelli. Un tanque abierto tiene un orificio pequeño a una profundidad h bajo la superficie libre. Toma como punto 1 la superficie y como punto 2 el orificio. Ambos están en contacto con la atmósfera, así que P₁ = P₂ = P₀. Como el área del tanque es mucho mayor que la del orificio, la continuidad indica que la superficie desciende muy despacio y v₁ ≈ 0. Con una diferencia de alturas h₁ − h₂ = h:

Es la misma velocidad que adquiere un cuerpo en caída libre desde una altura h. En la práctica, el chorro real es algo más lento por efectos de la viscosidad y por la contracción del chorro; para un orificio de borde agudo, el caudal real ronda el 60 % del teórico.

Interpretación física: la relación entre presión y velocidad

La idea central de la ecuación de Bernoulli es esta: en un fluido ideal que circula a una misma altura, donde la velocidad es mayor la presión es menor, y donde la velocidad es menor la presión es mayor. La afirmación vale para puntos de una misma línea de corriente, o de un flujo irrotacional, y sin cambios de altura importantes.

Esto no significa que la presión «desaparezca». Lo que ocurre es que la energía por unidad de volumen del fluido se conserva: cuando una parte mayor de esa energía se destina al movimiento, queda menos disponible en forma de presión. Es la misma lógica de una montaña rusa, donde el carrito gana rapidez a medida que pierde altura; en el fluido, el intercambio se produce entre presión y velocidad.

De vuelta al experimento. Entre las dos hojas el aire circula rápido y su presión es menor que la del aire en reposo que las rodea por fuera. La presión atmosférica exterior, mayor, empuja cada hoja hacia el chorro y las acerca. ¿Coincidía tu explicación? Si no, ahora es el momento de corregirla.

Aplicaciones cotidianas y tecnológicas

Sustentación de un ala

Un ala genera sustentación porque desvía el aire hacia abajo; por la tercera ley de Newton, el aire empuja el ala hacia arriba. Al mismo tiempo, alrededor del ala hay una distribución de presiones, menor sobre la cara superior y mayor bajo la inferior, y la ecuación de Bernoulli conecta esas diferencias de presión con las diferencias de velocidad del aire. Ambas descripciones son coherentes entre sí: son dos maneras de contar la misma fuerza.

Aclaración científica. Una explicación muy repetida afirma que el aire de arriba «debe recorrer más camino» para reencontrarse con el de abajo en el borde de salida. Es incorrecta: no existe ninguna razón física para que ambas porciones lleguen a la vez, y de hecho el aire de arriba llega antes. El aumento de velocidad sobre el ala depende de la forma del perfil y del ángulo de ataque (NASA Glenn Research Center, s. f.).

Atomizadores y pistolas de pintura

Al soplar aire rápido sobre el extremo superior de un tubo vertical cuyo otro extremo está sumergido en un líquido, la presión en ese extremo baja por debajo de la atmosférica. La presión atmosférica que actúa sobre el líquido del depósito lo empuja hacia arriba por el tubo, y la corriente de aire lo arrastra y lo fragmenta en gotas. Es el principio de los atomizadores de perfume y de las pistolas de pintura.

Tubo de Venturi y medidores de caudal

Un tubo de Venturi es un conducto con un estrechamiento suave, llamado garganta. Allí el área disminuye, la velocidad aumenta y la presión baja (efecto Venturi). Al medir la diferencia de presión entre la zona ancha y la garganta, se calcula el caudal (Figura 3). Este dispositivo se emplea en medidores de caudal, en sistemas de ventilación y, históricamente, en los carburadores de los motores, hoy reemplazados en su mayoría por la inyección electrónica.

Tubo de Pitot

El tubo de Pitot mide la velocidad de un fluido. Su abertura frontal detiene el fluido en un punto de estancamiento, donde v = 0, y allí la presión aumenta hasta la presión de estancamiento. Un orificio lateral mide la presión estática P del flujo. Aplicando Bernoulli entre un punto lejano al tubo y el punto de estancamiento a igual altura:

La diferencia entre ambas presiones es la presión dinámica, de la cual se despeja v. Es el fundamento de los velocímetros de las aeronaves.

Techos que «vuelan» en un vendaval

Durante un vendaval, el aire se mueve muy rápido sobre el techo y su presión disminuye, mientras que dentro de la vivienda el aire en reposo mantiene una presión mayor. La diferencia neta empuja el techo hacia arriba. En la práctica también influye el viento que entra por puertas y ventanas y presuriza la casa, de modo que anclar bien las cubiertas y mantener cerradas las aberturas reduce el riesgo.

Chimeneas

El viento que sopla sobre la boca de una chimenea reduce la presión en ese punto. La mayor presión en el hogar ayuda a expulsar el humo, y el tiro de la chimenea mejora.

Errores comunes y límites del modelo

• Ignorar las condiciones de validez. La ecuación exige flujo estacionario, incompresible y sin viscosidad. Con aceites espesos, flujos turbulentos o tuberías largas hay pérdidas por fricción que el modelo no contempla.

• Comparar puntos que no están en la misma línea de corriente. Solo es correcto si el flujo es, además, irrotacional.

• Olvidar las bombas y las turbinas. Si el fluido recibe o cede energía entre los puntos 1 y 2, la ecuación simple no basta y hay que añadir un término de energía aportada o extraída.

• Mezclar presión absoluta y presión manométrica. Usa el mismo tipo en ambos puntos. Si los dos están abiertos a la atmósfera, P₀ se cancela.

• Confundir Bernoulli con continuidad. La primera expresa la conservación de la energía; la segunda, la de la masa (el caudal). En la mayoría de los problemas se necesitan ambas: primero continuidad, para hallar velocidades, y luego Bernoulli, para hallar presiones.

• Descuidar las unidades y la referencia de alturas. Convierte cm² a m² y litros a m³, y mide todas las alturas desde el mismo nivel de referencia.

• Invertir la relación entre presión y velocidad. A igual altura, más velocidad implica menos presión, nunca al revés.

• Aplicarla a gases muy rápidos. Con velocidades cercanas o superiores a 0,3 veces la del sonido, la compresibilidad del aire deja de ser despreciable.

• Explicar la sustentación con «tiempos de tránsito iguales». Es una idea popular, pero falsa, como se aclaró en la sección de aplicaciones.

Simulador interactivo y guía de indagación

Para nuestro tema, te presento la simulación Presión del fluido y flujo, de PhET Interactive Simulations. Esta simulación está organizada en tres pestañas.

• Presión, puedes medir cómo cambia la presión en función de la profundidad y de la densidad del fluido.

• Flujo, puedes modificar la forma de una tubería y observar cómo varían la velocidad y la presión del fluido.

• Torre de agua, puedes abrir una fuga a diferentes alturas y comparar la trayectoria del chorro de agua con lo que predice la ley de Torricelli.

Guía de indagación: predice, observa, explica

Parte A. Pestaña Flujo (continuidad y Bernoulli).

1. Abre la pestaña Flujo. Con la tubería en su forma inicial, activa los medidores de presión y de velocidad en dos puntos de la zona ancha y anota lo que marcan. ¿Qué esperas si ambos puntos tienen la misma anchura?
2. Predice: si estrechas la tubería en el punto 2, ¿la velocidad aumentará o disminuirá? ¿Y la presión? Escribe tu predicción antes de probar.
3. Arrastra los puntos de control para estrechar la tubería y registra el área (o el ancho), la velocidad y la presión en tres configuraciones diferentes (Tabla 1).
4. Explica: calcula el producto A·v y la suma P + ½ρv² en cada punto. ¿Se mantienen constantes, dentro de la incertidumbre de lectura?

Parte B. Pestaña Torre de agua (ley de Torricelli).

1. Abre la pestaña Torre de agua. Con la regla, mide la profundidad h del orificio y calcula la velocidad teórica de salida con v = √(2gh).
2. Compara el valor calculado con el que indica el medidor de velocidad de la simulación. Repite con al menos cuatro profundidades y completa la Tabla 2.
3. Predice antes de probar: si cambias el fluido por otro de mayor densidad, ¿cambia la velocidad de salida? Comprueba tu predicción y discútela con la fórmula.

Preguntas de análisis

1. ¿Qué relación observaste entre el área de la sección y la velocidad? ¿Con qué ecuación la puedes justificar?
2. ¿Qué ocurre con la presión en la parte estrecha? ¿Coincide con lo que predice la ecuación de Bernoulli?
3. ¿Qué diferencias hay entre la simulación y un fluido real? Piensa en viscosidad, turbulencia y compresibilidad.
4. Redacta una conclusión de cuatro líneas que incluya, al menos, dos evidencias numéricas de tu tabla.

Ejemplos resueltos

Estos cuatro ejemplos muestran el método completo. Antes de leer la solución, intenta plantear tú mismo los pasos y compara.

Ejemplo 1: ecuación de continuidad en una manguera de jardín

Por una manguera de jardín de 2 cm de diámetro fluye agua a 1,5 m/s. Si la boquilla reduce el diámetro de salida a 0,5 cm, ¿con qué velocidad sale el agua?

Datos. d₁ = 2 cm, v₁ = 1,5 m/s, d₂ = 0,5 cm.

Paso 1. Calcula las áreas a partir de los radios (1 cm = 0,01 m y 0,25 cm = 0,0025 m):

Paso 2. Aplica la ecuación de continuidad y despeja v₂:

Respuesta. El agua sale a unos 24 m/s.

Interpretación. El área de salida es 16 veces menor, y la velocidad aumenta también 16 veces. Por eso el chorro sale con tanta fuerza al tapar parte de la boquilla.

Ejemplo 2: Bernoulli en una tubería horizontal

Por una tubería horizontal fluye agua (ρ = 1000 kg/m³). En el punto 1, P₁ = 200 000 Pa y v₁ = 3 m/s. En el punto 2, la sección se estrecha y la velocidad aumenta a v₂ = 6 m/s. Calcula la presión P₂.

Paso 1. La tubería es horizontal, así que h₁ = h₂ y los términos de altura se cancelan:

Paso 2. Despeja P₂ y reemplaza los valores:

Respuesta. P₂ = 186 500 Pa.

Interpretación. Al aumentar la velocidad, la presión disminuyó 13 500 Pa. Es la relación inversa entre presión y velocidad.

Ejemplo 3: ley de Torricelli

Un tanque abierto tiene un pequeño orificio a 2 m por debajo de la superficie libre del agua. Calcula la velocidad con la que sale el agua (g = 9,8 m/s²).

Paso 1. La superficie del tanque y el orificio están en contacto con la atmósfera (P₁ = P₂) y la velocidad en la superficie es despreciable, así que se puede usar la ley de Torricelli.

Respuesta. El agua sale a unos 6,26 m/s.

Interpretación. Es la misma velocidad que tendría un objeto en caída libre desde 2 m de altura, lo cual tiene sentido porque ambos fenómenos provienen de la conservación de la energía.

Ejemplo 4: efecto Venturi

En un tubo de Venturi horizontal por el que circula agua (ρ = 1000 kg/m³), el área se reduce de A₁ = 10 cm² a A₂ = 4 cm². Si v₁ = 2 m/s, calcula v₂ y la diferencia de presión P₁ − P₂.

Paso 1. Ecuación de continuidad (las áreas se pueden dejar en cm² porque solo importa su cociente):

Paso 2. Bernoulli en tubería horizontal:

Respuesta. v₂ = 5 m/s y P₁ − P₂ = 10 500 Pa. El caudal, constante en todo el tubo, es de 2×10⁻³ m³/s (2 L/s).

Interpretación. La presión en la garganta es 10 500 Pa menor que en la zona ancha. Esta diferencia, medida con un manómetro, permite calcular el caudal.

Problemas resueltos

Los problemas están ordenados por dificultad creciente y marcados con su nivel. Toma g = 9,8 m/s² y ρ = 1000 kg/m³ para el agua, salvo que se indique otro valor.

Problema 1: reducción de área en una tubería horizontal (nivel básico)

Por una tubería horizontal circula agua con A₁ = 0,02 m², P₁ = 150 000 Pa y v₁ = 1 m/s. La tubería se reduce a A₂ = 0,01 m². Calcula v₂ y P₂.

Solución. Continuidad:

Bernoulli en tubería horizontal:

Respuesta. v₂ = 2 m/s y P₂ = 148 500 Pa (la presión baja 1500 Pa).

Problema 2: profundidad y velocidad de salida (nivel básico)

Un tanque abierto tiene un orificio a 1,25 m de profundidad. Calcula la velocidad de salida del agua.

Respuesta. La velocidad de salida es de unos 4,95 m/s.

Problema 3: tubo de Venturi como medidor de caudal (nivel intermedio)

Un tubo de Venturi horizontal tiene A₁ = 8 cm² y A₂ = 2 cm². Un manómetro conectado a ambos puntos mide una diferencia de presión de 5000 Pa. Calcula v₁, v₂ y el caudal Q.

Solución. Como A₁/A₂ = 4, la continuidad da v₂ = 4v₁. Al reemplazar en Bernoulli horizontal:

El caudal se calcula con el área 1 expresada en m² (8 cm² = 8×10⁻⁴ m²):

Respuesta. v₁ ≈ 0,82 m/s, v₂ ≈ 3,27 m/s y Q ≈ 6,5×10⁻⁴ m³/s (0,65 L/s).

Problema 4: suministro de agua a un segundo piso (nivel intermedio)

El agua entra a una casa al nivel del suelo con P₁ = 300 000 Pa (presión manométrica) y v₁ = 1,5 m/s, por una tubería cuyo diámetro se reduce a la mitad al subir h = 6 m hasta el segundo piso. Calcula la presión P₂ en el segundo piso.

Solución. Si el diámetro se reduce a la mitad, el área se reduce a la cuarta parte y, por continuidad, v₂ = 4v₁ = 6 m/s. Con h₁ = 0 y h₂ = 6 m:

Respuesta. P₂ ≈ 224 325 Pa (presión manométrica), es decir, unos 2,2×10⁵ Pa.

Interpretación. La presión cae por dos razones: casi 59 kPa por subir 6 m y casi 17 kPa por el aumento de velocidad.

Problema 5: sustentación de una avioneta (nivel intermedio)

El aire (ρ = 1,2 kg/m³) fluye a 60 m/s por debajo del ala de una avioneta y a 70 m/s por encima. Si el área del ala es de 16 m², estima la diferencia de presión entre las dos caras, la fuerza neta vertical que produce y la masa que podría sostener.

Solución. Como el ala es delgada, se desprecia la diferencia de altura entre ambas caras. Con v₁ = 60 m/s (abajo) y v₂ = 70 m/s (arriba):

Respuesta. ΔP = 780 Pa, F = 12 480 N y m ≈ 1270 kg.

Nota. Este resultado es una estimación con un modelo simplificado: la diferencia de presión real varía a lo largo del ala. Aun así, el orden de magnitud coincide con el de una avioneta ligera de algo más de una tonelada. Las velocidades están por debajo de 0,3 veces la del sonido, por lo que la hipótesis de aire incompresible es razonable.

Problema 6: manguera de bomberos (nivel intermedio)

Una manguera de bomberos de radio 5 cm transporta agua a 2 m/s. En la boquilla, el radio se reduce a 1,5 cm. Calcula la velocidad de salida y la presión manométrica necesaria en la manguera (la salida está a presión atmosférica y a la misma altura).

Solución. Continuidad, con las áreas en función de los radios:

Bernoulli horizontal, con P₂ = 0 en presión manométrica (usamos el valor exacto v₂² ≈ 493,8 m²/s² para no arrastrar errores de redondeo):

Respuesta. v₂ ≈ 22,2 m/s y P₁ ≈ 244 900 Pa (unos 2,45×10⁵ Pa).

Problema 7: caudal y tiempo de llenado (nivel básico)

Por una tubería de 4,0 cm de diámetro circula agua a 2,5 m/s. a) Calcula el caudal en litros por segundo. b) ¿En cuánto tiempo se llena un tanque de 500 L?

Solución.

a) El radio es 2,0 cm = 0,020 m. El área y el caudal son:

Como 1 m³ = 1000 L, el caudal es de unos 3,14 L/s.

b) El tiempo de llenado es el volumen dividido entre el caudal:

Respuesta. Q ≈ 3,14 L/s y el tanque se llena en unos 159 s, es decir, cerca de 2 min 39 s.

Problema 8: tanque cerrado con aire comprimido (nivel intermedio)

Un tanque cerrado contiene agua y, sobre ella, aire comprimido a una presión manométrica de 40 kPa. Un orificio pequeño se encuentra 1,5 m por debajo de la superficie del agua. Calcula la velocidad de salida del chorro y compárala con la de un tanque abierto.

Solución. Punto 1: superficie libre (P₁ = 40 000 Pa manométrica, v₁ ≈ 0, a 1,5 m sobre el orificio). Punto 2: orificio (P₂ = 0 manométrica, altura de referencia h = 0):

Respuesta. v₂ ≈ 10,5 m/s. En un tanque abierto sería √(2gh) ≈ 5,4 m/s, es decir, el aire comprimido casi duplica la velocidad de salida.

Problema 9: alcance máximo de un chorro (nivel intermedio)

Un tanque abierto, apoyado en el piso, contiene agua hasta una altura H = 0,80 m. Se abre un orificio lateral a una profundidad h bajo la superficie. a) Deduce el alcance horizontal x del chorro sobre el piso. b) Calcula x para h = 0,20 m, 0,40 m y 0,60 m. c) ¿A qué profundidad el alcance es máximo?

Solución.

a) El agua sale horizontalmente con v = √(2gh) desde una altura H − h sobre el piso. El tiempo de caída t se obtiene de la caída libre vertical, y el alcance es x = v·t:

b) Al aplicar la fórmula se obtiene la Tabla 3.

c) El alcance depende del producto h(H − h). Como la suma de h y H − h es constante e igual a H, el producto es máximo cuando ambos factores son iguales: h = H/2. Así, el alcance máximo es x = H.

Respuesta. Los alcances son 0,69 m, 0,80 m y 0,69 m. El máximo, de 0,80 m, se logra con el orificio a media altura, a 0,40 m de profundidad. Fíjate en la simetría: las profundidades 0,20 m y 0,60 m dan el mismo alcance.

Problema 10: Venturi con manómetro diferencial de mercurio (nivel intermedio)

A un tubo de Venturi horizontal por el que circula agua (A₁ = 12 cm² y A₂ = 3 cm²) se conecta un manómetro diferencial de mercurio (densidad del mercurio: 13 600 kg/m³). El desnivel del mercurio es Δh = 10 cm. Calcula la diferencia de presión, las velocidades v₁ y v₂ y el caudal.

Solución. Con la hidrostática aplicada al manómetro diferencial, la diferencia de presión entre las tomas es:

Como A₁/A₂ = 4, la continuidad da v₂ = 4v₁. En Bernoulli horizontal:

Respuesta. P₁ − P₂ = 12 348 Pa, v₁ ≈ 1,28 m/s, v₂ ≈ 5,13 m/s y Q ≈ 1,54×10⁻³ m³/s (1,54 L/s).

Problema 11: velocidad de una avioneta con un tubo de Pitot (nivel intermedio)

El tubo de Pitot de una avioneta mide una diferencia de 1800 Pa entre la presión de estancamiento y la presión estática. Si la densidad del aire es 1,2 kg/m³, calcula la velocidad del aire respecto de la avioneta en m/s y en km/h.

Solución. En el punto de estancamiento el aire se detiene, así que la diferencia de presiones es la presión dinámica:

Respuesta. v ≈ 54,8 m/s, que equivale a unos 197 km/h (se multiplica por 3,6).

Problema 12: sifón (nivel intermedio)

Un sifón de sección constante extrae agua de un tanque abierto. La salida del sifón está 1,2 m por debajo de la superficie del agua, y el punto más alto del tubo está 0,5 m por encima de esa superficie. Calcula la velocidad de salida y la presión absoluta en el punto más alto (P₀ = 101 300 Pa).

Solución. Entre la superficie (P₀, v ≈ 0) y la salida (P₀, a 1,2 m por debajo), resulta una situación equivalente a Torricelli con h = 1,2 m. Como la sección es constante, la velocidad es la misma en todo el tubo:

Entre la superficie y el punto más alto (0,5 m sobre la superficie), Bernoulli da:

Respuesta. v ≈ 4,85 m/s y la presión en el punto más alto es de 84 640 Pa.

Condición de funcionamiento. Para que el sifón funcione, la presión en el punto alto debe ser mayor que la presión de vapor del agua (unos 2300 Pa a 20 °C). Aquí se cumple con holgura; si el tubo se elevara demasiado, el agua herviría y el sifón se «cortaría».

Problema 13: altura del chorro de un hidrante (nivel intermedio)

Un hidrante conectado a una tubería principal, con presión manométrica de 300 kPa, lanza un chorro vertical. Suponiendo fluido ideal y que el agua en la tubería principal se mueve con velocidad despreciable, calcula la velocidad de salida y la altura máxima que alcanzaría el chorro.

Solución. Entre la tubería principal (P = 300 000 Pa manométrica, v ≈ 0) y la boquilla (presión atmosférica, misma altura):

En el punto más alto del chorro, la velocidad es cero y la presión vuelve a ser atmosférica, así que toda la energía cinética se convierte en energía potencial:

Respuesta. v ≈ 24,5 m/s y H ≈ 30,6 m. En la realidad el chorro llega bastante menos alto por la resistencia del aire, la fricción y la fragmentación del chorro en gotas.

Problema 14: chorro de una jeringa (nivel avanzado)

El émbolo de una jeringa horizontal tiene un área A₁ = 2,0 cm² y se empuja con una fuerza de 10 N. La aguja tiene una salida de área A₂ = 2,0 mm². Suponiendo que el líquido es agua, que se comporta como un fluido ideal y que la salida está a presión atmosférica, calcula la velocidad de salida y el caudal.

Solución. La presión manométrica en el émbolo es la fuerza dividida entre el área (2,0 cm² = 2,0×10⁻⁴ m²). Por continuidad, el émbolo avanza mucho más despacio que el chorro:

Como v₁ es cien veces menor que v₂, el término v₁² pesa apenas un 0,01 % y se puede despreciar:

Respuesta. v₂ ≈ 10,0 m/s y Q ≈ 2,0×10⁻⁵ m³/s, es decir, 20 mL/s.

Límite del modelo. En una aguja real, la viscosidad del líquido en un conducto tan estrecho reduce mucho el caudal. Por eso el resultado ideal debe interpretarse como un límite superior.

Problema 15: ¿se levanta el techo? (nivel intermedio)

Sobre un techo plano de 80 m² sopla un viento horizontal de 30 m/s (unos 108 km/h); dentro de la casa, el aire está en reposo. El techo tiene una masa de 3000 kg y suponemos que no está anclado. Con ρ = 1,2 kg/m³ para el aire, ¿se levantará?

Solución. Se desprecia la diferencia de altura entre las caras del techo. La diferencia de presión entre el interior (aire en reposo) y el exterior sobre el techo es la presión dinámica del viento:

Se compara con el peso del techo:

Respuesta. Sí: la fuerza hacia arriba (43 200 N) supera al peso (29 400 N), con un exceso de 13 800 N. Sin anclajes, el techo se levantaría.

Problema 16: tiempo de vaciado de un tanque (nivel avanzado, requiere cálculo)

Un tanque cilíndrico abierto, de sección A = 0,50 m², contiene agua hasta una altura H = 1,0 m. Un orificio en el fondo tiene un área a = 2,0 cm². Deduce el tiempo T que tarda en vaciarse y calcúlalo.

Solución. Como a/A = 4×10⁻⁴, el nivel baja tan despacio que en cada instante se cumple Torricelli con la altura h(t) del agua. El volumen que pierde el tanque es igual al que sale por el orificio:

Se separan las variables y se integra desde h = H hasta h = 0 en un tiempo T:

Respuesta. T ≈ 1130 s, es decir, cerca de 19 minutos. Observa que el vaciado es más lento que el de una caída libre porque el chorro pierde velocidad a medida que baja el nivel.

Conclusión

La ecuación de Bernoulli te permite predecir cómo cambian la presión, la velocidad y la altura de un fluido ideal a lo largo de una línea de corriente, aplicando el mismo principio de conservación de la energía que ya conoces de la mecánica. Junto con la ecuación de continuidad, forma una pareja de herramientas indispensables para entender el funcionamiento de una manguera, el diseño de una red de agua, un medidor de caudal o un tubo de Pitot, y para interpretar con criterio fenómenos como la sustentación de un ala.

Más allá del aula, este principio es la base de disciplinas como la aeronáutica, la hidráulica y el diseño de instrumentos de medición. Y algo igual de valioso: conocer sus límites te enseña a preguntarte siempre cuándo un modelo es aplicable. Esa es la actitud de un científico.

Ideas clave

• La continuidad conserva la masa: A₁v₁ = A₂v₂. Bernoulli conserva la energía por unidad de volumen.

• En un fluido ideal, a igual altura, mayor velocidad significa menor presión.

• La ecuación solo aplica bajo sus condiciones: flujo estacionario, incompresible, sin viscosidad, sin bombas ni turbinas y a lo largo de una línea de corriente.

• La ley de Torricelli, v = √(2gh), es un caso particular de Bernoulli.

• La sustentación de un ala no se explica con «tiempos de tránsito iguales».

Actividades de práctica

Parte I

Resuelve los ejercicios en tu cuaderno, con el procedimiento completo, y compara tus resultados con la lista de respuestas que aparece al final. Toma g = 9,8 m/s².

1. Un fluido ideal fluye por una tubería horizontal cuya sección se reduce a la mitad. Si v₁ = 2 m/s, calcula v₂.
2. Calcula la presión dinámica (½ρv²) de un fluido de densidad 1000 kg/m³ que se mueve a 3 m/s.
3. Un tanque abierto tiene un orificio a 3,2 m de profundidad. Calcula la velocidad de salida del agua.
4. En una tubería, A₁ = 0,05 m² y v₁ = 2 m/s. Si A₂ = 0,02 m², calcula v₂.
5. Calcula el caudal de un fluido que pasa por una tubería de área 0,01 m² a una velocidad de 4 m/s.
6. Por una tubería horizontal circula agua (ρ = 1000 kg/m³). En el punto 1, P₁ = 100 000 Pa y v₁ = 1 m/s; en el punto 2, la velocidad es v₂ = 3 m/s. Calcula P₂.
7. Dos puntos de un fluido en reposo (ρ = 1000 kg/m³) están a alturas h₁ = 0 y h₂ = 5 m. Calcula la diferencia de presión entre ellos.
8. En un ala, el aire (ρ = 1,2 kg/m³) circula a 95 m/s por encima y a 80 m/s por debajo. Calcula la diferencia de presión entre las dos caras.
9. Si el área de una tubería se reduce a la tercera parte, ¿cuántas veces aumenta la velocidad del fluido?
10. Calcula la presión hidrostática manométrica a 10 m de profundidad en agua de mar (ρ = 1025 kg/m³).

Respuestas para verificar tu procedimiento

1) v₂ = 4 m/s. 2) 4500 Pa. 3) v ≈ 7,92 m/s. 4) v₂ = 5 m/s. 5) Q = 0,04 m³/s. 6) P₂ = 96 000 Pa. 7) 49 000 Pa (mayor en el punto más bajo). 8) 1575 Pa. 9) Se triplica: v₂ = 3v₁. 10) 100 450 Pa, que equivale a casi una atmósfera adicional.

Preguntas de reflexión

1. Explica con tus propias palabras por qué las dos hojas de papel se acercan cuando soplas entre ellas.
2. ¿Por qué no es adecuado usar la ecuación de Bernoulli para calcular la presión en una tubería muy larga por la que fluye aceite espeso?
3. Un compañero afirma que «a mayor velocidad, mayor presión». Redacta una respuesta que lo corrija, con un ejemplo numérico de este artículo.

Parte II

Proyecto ABP: el chorro de máximo alcance

Pregunta motriz. ¿A qué altura de una botella hay que perforar un orificio para que el chorro de agua llegue lo más lejos posible, y cuánto se parece tu resultado al que predice la teoría?

Formato: equipos de tres o cuatro estudiantes. Duración sugerida: dos sesiones de 45 minutos. Conexión STEAM: Ciencia (dinámica de fluidos), Tecnología (análisis de video), Ingeniería (diseño y prueba), Arte (infografía final) y Matemáticas (modelo x = 2√(h(H − h)) y gráficas).

Materiales: botella PET transparente de 2 L, clavo o chinche (la perforación la hace un adulto), cinta métrica, cinta adhesiva, regla, teléfono celular con cámara para grabar en cámara lenta y una bandeja o un espacio que pueda mojarse.

Fases del proyecto

1. Investiga y predice. Revisa el Problema 9 y formula una hipótesis sobre la profundidad que da el mayor alcance.
2. Diseña. Perfora tres orificios pequeños a distintas alturas, tápalos con cinta y marca en la botella el nivel inicial del agua (H). Define cómo mantendrás el nivel constante o cómo medirás justo al abrir cada orificio.
3. Mide. Abre un orificio a la vez, graba el chorro y mide el punto donde toca el suelo. Registra H, h y el alcance x, con tres repeticiones por orificio.
4. Analiza. Compara tus alcances con x = 2√(h(H − h)) y calcula el error porcentual. Discute las causas de la diferencia: descenso del nivel, viscosidad, forma del orificio y precisión de la medición.
5. Comunica. Presenta una infografía o un informe de una página con tu gráfica de x en función de h, la conclusión y las mejoras que harías.

Seguridad. Un adulto debe realizar o supervisar la perforación de la botella. Trabaja sobre una superficie que pueda mojarse y limpia el agua derramada para evitar caídas.

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