11ºGrado

¿Sabes cómo las Matrices transforman tus fotos y videojuegos? No son solo tablas de números; las Matrices son el lenguaje secreto de la tecnología digital. Cada vez que aplicas un filtro en Instagram o TikTok, estás usando Matrices sin darte cuenta. Una imagen es, en esencia, una gran Matriz de píxeles, y los filtros son pequeñas Matrices de convolución que aplican cálculos para cambiar el color o el brillo.

En los videojuegos, las Matrices de transformación son la clave: ellas calculan cómo rotar y mover los objetos 3D en la pantalla. Al aprender Matrices, no solo entiendes un concepto matemático; ¡estás descubriendo cómo se programan los efectos visuales, los tipos de datos y las operaciones que dan vida a tu mundo digital!

Matrices

Características de la matriz

Una matriz está conformada por las siguientes características:

• Se denotan con una letra mayúscula como:

A, B, C, D, …, etc.

• Utilizan paréntesis ( ) o corchetes [  ] para encerrar a los elementos de la matriz.

• Dimensión u orden es el tamaño de la matriz. Ejemplo: 3 x 2 el 3 significa la cantidad de filas y el 2 la cantidad de columnas.

• Cada uno de los números o funciones que componen a la matriz se llama elemento.
• Los elementos se denotan con una letra minúscula y con un subíndice, el primero indica la fila y el segundo la columna. Como:

a_ij , b_ij ,…, etc.

a_ij se lee “a sub ij”

Observa los elementos de la matriz A_2×3 relacionándola con una matriz genérica.

• Cuando una matriz posee la misma cantidad de filas y columnas, es decir, si m = n se le da el nombre de matriz cuadrada.

• Si m es distinto a n se dice que es una matriz rectangular.

• Una matriz que posee una sola fila o una sola columna se les llama vector fila o vector columna, respectivamente.

Particularidades de las matrices cuadradas

Las matrices cuadradas son aquellas que tienen igual número de filas que de columnas, es decir, en las que m = n.

Una matriz con n filas y n columnas es una matriz cuadrada.

• Elementos principales. En una matriz cuadrada los elementos principales son aquellos que poseen los dos subíndices iguales, ejemplo: a₁₁, a₂₂, a₃₃, a_{44, …,} a_nn.

• Diagonal principal o mayor. Está formado por los elementos principales.

• Traza. Es la suma de los elementos de la diagonal principal. Denotado como tr( ).

$$tr(F)=2+3+9+2$$
$$tr(F)=15$$

• Diagonal secundaria. Es la otra diagonal formada por los elementos que poseen subíndices que suman n + 1.

• Elementos conjugados. Son aquellos elementos que poseen el mismo subíndice pero de forma inversa. Ejemplo: a₃₁ y a₁₃.
  Los elementos conjugados son simétricos con respecto a la diagonal principal.

• Matriz diagonal. Es una matriz cuadrada donde los elementos de la diagonal principal son distintos de cero.

• Matriz escalar. Es una matriz diagonal donde sus elementos principales son iguales.

• Matriz unidad o identidad. Es una matriz escalar donde sus elementos principales son iguales a uno.

• Matriz nula. Es una matriz que tiene todos sus elementos son iguales a cero.

• Matriz triangular superior. Es una matriz cuadrada donde todos sus elementos que se encuentren en la parte inferior de la diagonal principal son iguales a cero.

• Matriz triangular inferior. Todos los elementos ubicados en la parte superior de la diagonal principal son iguales a cero.

Tipos de matrices

Las matrices se clasifican según:

1. Dimensiones.

• Filas ( 1 x n ).
• Columna ( m x 1).
• Rectangular ( m x n, con m distinto n ).
• Cuadrada ( n x n ).

2. Valores de sus elementos.

• Nula (todos ceros).
• Diagonal.
• Escalar.
• Identidad.

Aplicación: La matriz nula puede presentarse en cualquier dimensión, mientras que la diagonal, la escalar y la identidad corresponden únicamente a matrices cuadradas.

3. Posición de ceros.

• Triangular superior.
• Triangular inferior

Aplicable únicamente en el caso de matrices cuadradas.

4. Transformaciones y propiedades.

• Traspuesta ( A^T )
• Simétrica ( A = A^T )
• Antisimétrica ( A = -A^T )
• Inversa ( A^-1 )
• Ortogonal ( A^T = A^-1 )
• Semejante ( B = P^-1AP )

Aplicación: La traspuesta puede definirse para cualquier matriz, mientras que las demás corresponden únicamente a matrices cuadradas.

Matriz traspuesta: Se obtiene al intercambiar las filas por las columnas de una matriz. La traspuesta de una matriz A se denota como A^T. Si la matriz original tiene orden 𝑚 × 𝑛, entonces su traspuesta tendrá orden 𝑛 × 𝑚.

Matriz simétrica: Es una matriz cuadrada que coincide con su traspuesta, es decir, 𝐴 = 𝑇.

Matriz antisimétrica: Es una matriz cuadrada en la que los elementos equidistantes respecto a la diagonal principal son opuestos entre sí, y todos los elementos de la diagonal principal son nulos.

Operaciones elementales con matrices

Las operaciones con matrices que se tratará en este post son: suma de matrices, multiplicación de un escalar por una matriz, diferencia y multiplicación de matrices.

Suma de matrices

Para sumar dos o más matrices deben poseer el mismo orden, es decir, la misma cantidad de filas y columnas.

Para realizar esta operación se deben sumar los elementos que ocupan la misma posición en las matrices.

Diferencia de matrices

La resta de dos matrices se define como: A – B = A + (-B), donde -B es la matriz opuesta de B. Es decir, restar matrices es sumar la primera con la segunda cambiada de signo.

Ejemplo. Dada las matrices A, D, K. Determine las siguientes operaciones.

1. A + D + K
2. A + K – D
3. A – D – K
4. D – K + A
5. D + D + K
6. K + D – K
7. –K – D + A
8. –K + D – A

Multiplicación de un escalar por una matriz

El producto de un escalar por una matriz es la matriz que se obtiene al multiplicar cada elemento de la matriz por el escalar.

Ejemplo. Determinar 2A + 3B

Producto de matrices

Antes de multiplicar dos matrices es necesario verificar que:

• El número de columnas de la primera coincida con el número de filas de la segunda.

¿Cómo puedo comprobar, de manera sencilla, si dos matrices son multiplicables?

Para saber si dos matrices pueden multiplicarse, debes comparar su orden: si el número de columnas de la primera matriz (𝑆) coincide con el número de filas de la segunda (𝐼), entonces la multiplicación está definida.

Esto quiere decir que la matriz S puede multiplicarse con la matriz I.

¿Cuántas filas y columnas tendrá el producto de dos matrices?

Para determinar el número de filas y columnas del producto de dos matrices, se toma el número de filas de la primera matriz y el número de columnas de la segunda. Esa será la dimensión de la matriz resultante. Observa el siguiente ejemplo:

Entonces, la dimensión de la matriz resultante es ( 2 × 3 ).

La escritura del ejemplo es la siguiente:

$$S_{2\times 4}\cdot I_{4\times 3}=M_{2\times 3}$$

Donde:

S tiene m filas y n columnas.

I tiene n filas y p columnas.

El producto M existe y tendrá orden m × p.

¿Cómo puedo multiplicar dos matrices?

Para calcular cada elemento de la matriz producto, debes:

1. Seleccionar una fila de la primera matriz 𝐴.
2. Elegir una columna de la segunda matriz 𝐵.
3. Multiplicar elemento por elemento. Elemento 1 de la fila 𝐴 con el elemento 1 de la columna 𝐵, elemento 2 de la fila 𝐴 con el elemento 2 de la columna 𝐵 y así sucesivamente.
4. Sumar todos esos productos.
5. Identificar el elemento (ejemplo:  a₁₁ = 5) con su valor respectivo y ubicarlo en la posición correspondiente de la matriz.
6. Repite el procedimiento con cada fila de 𝐴 y cada columna de 𝐵 hasta completar todos los elementos de la matriz producto.

Ejemplo # 1. Dada las matrices H y G. Determinar H • G.

Solución

$$H_{1\times 3}\cdot G_{3\times 1}=O_{1\times 1}$$
$$C_{1\times 1}=-8+15-3=4$$
$$\boxed{C_{1\times 1}=[4]}$$

Ejemplo # 2. Determinar A • B.

Solución

$$A_{1\times 3}\cdot B_{3\times 2}=C_{1\times 2}$$
$$C_{1\times 2}=\left [ C_{11}\,\, \, C_{12} \right ]$$

Multiplicar la fila (A) con la primera columna (B), para obtener el elemento C₁₁.

$$C_{11}=-8\,\,+6\,\,-5$$
$$C_{11}=-7$$

Multiplicar la fila (A) con la segunda columna (B), para obtener el elemento C₁₂.

$$C_{12}=4\,+2\,\,-2$$
$$C_{12}=4$$

Matriz producto

$$\boxed{C_{1\times 2}=\left [ -7\,\,\,\,\,4 \right ]}$$

Ejemplo # 3. Determinar el producto de las matrices A y B.

Solución

$$A_{1\times 3}\cdot B_{3\times 3}=C_{1\times 3}$$
$$C_{1\times 3}=\left [ C_{11}\,\, \, C_{12}\,\,\,C_{13} \right ]$$

Resultado:
$$C_{1\times 3}=\left [ -7\,\,\,4\,\,\,10 \right ]$$

Ejemplo # 4. Calcular A • B

Solución

$$A_{2\times 3}\cdot B_{3\times 3}=C_{2\times 3}$$

Cálculo de todos los elementos de la matriz C

Al distribuir cada elemento el producto de la matriz es:

Ejemplo # 5. Multiplicar las matrices A y B

Solución

$$A_{3\times 2}\cdot B_{2\times 5}=C_{3\times 5}$$

Valores de los elementos de la matriz C

Respuesta

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Actividades

I.Escribe el valor de cada elemento de acuerdo con la siguiente matriz

II.Escribe el orden de las siguientes matrices

III.Construye una matriz de acuerdo con las características indicadas

1. Matriz simétrica de orden 3×3.
2. Matriz antisimétrica de orden 4×4.
3. Matriz Triangular superior de orden 3×3.
4. Matriz Triangular inferior de orden 4×4 y que tenga a₁₁=a₂₂₌a₃₃=a₄₄=5

IV.Hallar el valor de las incógnitas que satisfacen cada igualdad.

V.Determina la matriz asociada a cada uno de los siguientes de ecuaciones.

VI.Resuelve las operaciones indicadas

VII.Un empresario estudia el reporte de dos años consecutivos de producción, en miles de toneladas que se muestra a continuación:

1. ¿Cómo se puede representar esa información por medio de dos matrices?
2. ¿Cuál matriz representa la producción total de ambos años y la diferencia entre el 1° año y 2° año, según zona y producto?

Resultados

I

II

1. (1×2)
2. (2×3)
3. (1×3)
4. (2×2)
5. (3×1)
6. (4×3)
7. (3×2)
8. (4×2)

III

IV

x=-7, y=12.

x=-4.5, y=-7.5.

x=8, y=2.

x=4, y=-1/6, z=1/2.

x=7, y=10.

x=3, y=7, z=6.

V.

¿Quieres saber más de dominio, asíntotas y gráficas? Si es así, has llegado al sitio indicado. La siguiente colección de 10 ejercicios te invita a dominar el análisis de funciones racionales, una habilidad clave que va mucho más allá del aula. Al resolverlos, no solo adquirirás la destreza para identificar dominios y asíntotas, sino que también desarrollarás una capacidad de pensamiento crítico aplicable en diversas áreas.

Entender estas funciones te permitirá interpretar datos en la economía para predecir tendencias de mercado, en la ingeniería para diseñar sistemas eficientes, e incluso en la ciencia para modelar fenómenos biológicos. Esta práctica te equipará con las herramientas necesarias para descifrar la complejidad de nuestro entorno, transformando un concepto matemático abstracto en una poderosa herramienta para la toma de decisiones y la solución de problemas en la vida real.

Funciones racionales

Las funciones racionales están compuesta por la división de dos polinomios. Su forma general es:

$$f(x)=\frac{R(x)}{S(x)}$$

Donde R(x) y S(x) son polinomios, y S(x) ≠ 0.

Consideraciones para el análisis

Para analizar una función racional, es fundamental centrarse en dos aspectos: su dominio y el comportamiento de sus asíntotas. Estos elementos son esenciales para comprender tanto los puntos de discontinuidad de la función como su comportamiento a largo plazo.

Dominio

El dominio de una función racional son todos los números reales, a excepción de valores que convierten al denominador S(x) a cero.

Asíntotas

Según los grados de los polinomios R(x) y S(x), una función racional puede poseer asíntotas las cuales son rectas imaginarias que actúan como guías o límites en el comportamiento de la función.

Existen tres tipos de asíntotas: verticales, horizontales y oblicuas.

Una función racional puede poseer:

• Varias asíntotas verticales de acuerdo con las raíces reales del denominador.
• Una asíntota horizontal y varias verticales, cuando el grado del numerador es menor o igual al del denominador.
• Una asíntota oblicua y varias verticales, cuando el grado del numerador es exactamente uno más que el del denominador.

Asíntotas verticales

Las asíntotas verticales son rectas que actúan como barreras o límites indicando los valores de x para los cuales la función no está definida, es decir, los valores que no pertenecen a su dominio. Esto ocurre cuando el denominador de una función racional se anula. Su forma es x = a .

Asíntotas horizontales

Una asíntota horizontal es una recta imaginaria de la forma y = b que describe el comportamiento a largo plazo de una función. La curva de la función se aproxima a esta recta a medida que los valores de x se hacen extremadamente grandes o pequeños ( x → ∞ o x → -∞ ).

A diferencia de las asíntotas verticales que son barreras estrictas, la asíntota horizontal no es una limitación para toda la función. La curva puede cruzarla en algún punto, pero a medida que se aleja del origen, la distancia entre la función y la asíntota tiende a cero.

Este tipo de asíntota es esencialmente el límite de la función en el infinito, lo cual expresa hacia qué valor constante se dirige la función en sus extremos.

Por ejemplo, si una función tiene una asíntota horizontal en  y = 4, significa que a medida que x se mueve hacia ∞ o –∞, la curva se acerca más a la recta y = 4.

Una función racional tendrá asíntota horizontal cuando cumpla con alguno de los siguientes casos:

$$f(x)=\frac{R(x)}{S(x)}=\frac{a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+…+a_{1}x+a_{0}}{b_{m}x^{m}+b_{m-1}x^{m-1}+…+b_{1}x+b_{0}}$$

Caso # 1: Cuando el grado del numerador < grado del denominador.

En este caso, cuando 𝑥 → ± ∞,  𝑓 ( 𝑥 ) → 0

Así que la asíntota es horizontal es la recta:

$$y=0$$

Caso # 2: Cuando el grado del numerador = grado del denominador.

La asíntota horizontal es la razón entre los coeficientes principales.

$$y=\frac{a_{n}}{b_{n}}$$

Asíntotas oblicuas

Es una recta imaginaria de la forma y = mx + b ( m ≠ 0 ) donde la curva de la función se aproxima a medida que los valores de x se hacen muy grandes o muy pequeños ( x ±∞ ).

A diferencia de las asíntotas horizontales, que indica que la función se estabiliza en un valor constante, la asíntota oblicua describe el comportamiento a largo plazo en el que la función crece o decrece indefinidamente, llevando una trayectoria diagonal o inclinada.

Como ocurre con las asíntotas horizontales la curva de la función puede cruzar su asíntota oblicua en algún punto.

Identificar la asíntota oblicua en una función racional es muy fácil sólo debe cumplir que:

$$f(x)=\frac{R(x)}{S(x)}=\frac{ax^{n+1}}{bx}$$

Para obtener la asíntota debes dividir el polinomio del numerador entre el polinomio del denominador siendo el cociente la asíntota oblicua.

Intersecciones con los ejes

Los puntos donde la función cruza el eje x (raíces) y el eje y.

Comportamiento cerca de la asíntota vertical

Para conocer el comportamiento de la función a medida que se acerca a sus asíntotas verticales.

Comportamiento a largo plazo

Es el estudio de los límites de la función, lo cual permite conocer hacia dónde tiende la gráfica cuando 𝑥 crece sin límite o disminuye indefinidamente.

Rango

El rango es el conjunto de todos los valores de “y” que la función puede tomar.

Tabla de valores

Con algunos puntos estratégicos permite graficar la función, ayudando a verificar el comportamiento que se ha analizado teóricamente.

Ejercicios racionales resueltos 

A continuación, te presento 10 ejercicios de funciones racionales resueltos paso a paso. En cada uno, podrás ver la aplicación de los conceptos anteriores, como el cálculo del dominio, la identificación de asíntotas, el análisis de su comportamiento para comprender la forma de la gráfica, entre otros.

Ejercicio 1

$$f(x)=\frac{1}{x-3}$$

Solución

1. Dominio

El denominador es x, y debe ser distinto a cero:

$$x-3≠0 ⇒ x≠3$$

Como el denominador es diferente a 3, el dominio es:

$$\boxed{D_{f}=(-\infty,3 )\cup (3,\infty )}$$

2. Intersecciones

• Eje «x» y = 0

$$0=\frac{1}{x-3}\Rightarrow 0\neq 1$$

No tiene solución.

No hay intersección con el eje X

• Eje «y» x = 0

$$y=\frac{1}{0-3}$$

$$y=-\frac{1}{3}$$

$$\boxed{A\left ( 0,-\frac{1}{3} \right )}$$

3. Cálculo de las asíntotas

Esta función posee dos asíntotas ellas son:

Vertical

$$x-3=0$$

$$\boxed{x=3}$$

Horizontal

Se cumple que: n < m

Posee una asíntota horizontal en el eje “x”

$$\boxed{y=0}$$

Oblicua

No existe asíntota oblicua.

4. Comportamiento cerca de la asíntota vertical

$$\boxed{x=3}$$

Valores por la izquierda

$$x=2,9 \Rightarrow f(2,9)=\frac{1}{2,9-3}=-10$$

$$x=2,99 \Rightarrow f(2,99)=\frac{1}{2,99-3}=-100$$

Entonces,

$$x\to 3^{-} f(x)\to-\infty$$

Conclusión: Al acercarse por la izquierda a 3, la función crece negativamente.

Valores por la derecha

$$x=3,01 \Rightarrow f(3,01)=\frac{1}{3,01-3}=100$$

$$x=3,001 \Rightarrow f(3,001)=\frac{1}{3,001-3}=1000$$

Entonces,

$$x\to 3^{+} f(x)\to+\infty$$

Conclusión: Al acercarse por la derecha a 3, la función crece positivamente.

5. Comportamiento a largo plazo

Valores por la izquierda

$$f(-100)=\frac{1}{-100-3}\approx-0,0097$$

$$f(-1000)=\frac{1}{-1000-3}\approx-0,00099$$

Conclusión: Al reemplazar valores negativos cada vez más pequeños, la función se acerca a 0

$$f(x)\to  0 $$

Valores por la derecha

$$f(-100)=\frac{1}{-100-3}\approx-0,010$$

$$f(-1000)=\frac{1}{-1000-3}\approx-0,001$$

Conclusión: Al sustituir valores positivos cada vez mucho mayor, la función se acerca a 0

$$f(x)\to 0 $$

6. Cálculo del rango

$$y=\frac{1}{x-3}\Rightarrow y(x-3)=1$$

$$yx-3y=1$$

$$x=\frac{1+3y}{y}$$

$$\boxed{\mathbb{R}_{f}=\left ( -\infty,0  \right )\cup \left ( 0,\infty  \right )}$$

Gráfica

Ejercicio 2

$$f(x)=\frac{x}{x+2}$$

1. Dominio

El denominador debe ser diferente de cero.

$$x+2≠0 ⇒ x≠-2$$

Se realiza un estudio del signo de la función:

Numerador:

$$x=0$$

Denominador:

$$x=-2$$

Entonces, el dominio es:

$$\boxed{\mathbb{D}_{f}=\left ( -\infty,-2  \right )\cup \left ( -2,\infty  \right )}$$

2. Intersecciones

• Eje «x» y = 0

$$0=\frac{x}{x+2}\Rightarrow x=0$$

$$\boxed{A(0,0)}$$

• Eje «y» x = 0

$$y=\frac{0}{0+2}$$

$$y=0$$

$$\boxed{B(0,0)}$$

3. Cálculo de las asíntotas

Esta función posee dos asíntotas ellas son:

Vertical

$$x+2=0$$

$$\boxed{x=-2}$$

Horizontal

Se cumple que:

n = m, la función f posee una asíntota horizontal y es la recta horizontal

$$\boxed{y=1}$$

Oblicua

No existe asíntota oblicua.

4. Comportamiento cerca de la asíntota vertical

$$\boxed{x=-2}$$

Valores por la izquierda

$$x=-2,1 \Rightarrow f(-2,1)=\frac{-2,1}{-2,1+2}=21$$

$$x=-2,01 \Rightarrow f(-2,01)=\frac{-2,01}{-2,01+2}=201$$

Entonces,

$$x\to -2^{-} f(x)\to\infty$$

Conclusión: Al aproximarse por la izquierda a -2, la función crece positivamente.

Valores por la derecha

$$x=-1,9 \Rightarrow f(-1,9)=\frac{-1,9}{-1,09+2}=-19$$

$$x=-1,99 \Rightarrow f(-1,99)=\frac{-1,99}{-1,99+2}=-199$$

Entonces,

$$x\to -2^{+} f(x)\to-\infty$$

Conclusión: Al aproximarse por la derecha a -2, la función disminuye negativamente.

5. Comportamiento a largo plazo

Valores por la izquierda

$$f(-100)=\frac{-100}{-100+2}\approx1,0204$$

$$f(-1000)=\frac{-1000}{-1000+2}\approx1,002$$

Conclusión: Al reemplazar valores negativos cada vez más pequeños, la función se acerca a 1

$$f(x)\to  1 $$

Valores por la derecha

$$f(100)=\frac{100}{100+2}\approx0,980$$

$$f(1000)=\frac{1000}{1000+2}\approx0,998$$

Conclusión: Al dar valores positivos cada vez mucho mayor, la función se acerca a 1

$$f(x)\to 1 $$

6. Cálculo del rango

$$y=\frac{x}{x+2}\Rightarrow y(x+2)=x$$

$$yx+2y=x$$

$$yx-x=-2y$$

$$x(y-1)=-2y$$

$$x=\frac{-2y}{y-1}$$

$$y≠1$$

$$\boxed{\mathbb{R}_{f}=\left ( -\infty,1  \right )\cup \left ( 1,\infty  \right )}$$

Gráfica

Ejercicio 3

$$\text{Sea } f(x) = \frac{2x + 1}{x – 4}$$

Solución:

El denominador debe ser diferente de cero

$$x-4\neq 0\Rightarrow x\neq 4$$

Estudio del signo de la función

Numerador:

$$2x+1=0\Rightarrow -\frac{1}{2}$$

Denominador:

$$x=4$$

Dominio

$$D_{f}=(-\infty ,4)\cup (4,\infty )$$

Intersecciones

Con el eje “x”  y = 0

$$0=\frac{2x+1}{x-4}\Rightarrow x=-\frac{1}{2}$$

$$A\left ( -\frac{1}{2},0 \right )$$

Con el eje “y”  x = 0

$$y=\frac{2\cdot 0+1}{0-4}\Rightarrow y=-\frac{1}{4}$$

$$y=-\frac{1}{4}$$

$$B\left ( 0,-\frac{1}{4} \right )$$

Asíntotas

Vertical: 

$$x-4=0$$
$$x=4$$

Horizontal:

Posee una asíntota horizontal y es la recta:

$$y=2$$

Oblicua:

No existe.

Comportamiento cerca de la asíntota vertical

$$x=4$$

Comportamiento a largo plazo

Rango

$$y=\frac{2x+1}{x-4}\Rightarrow y(x-4)=2x+1$$

$$yx-4y-2x=1$$

$$x(y-2)=1+4y$$

$$x=\frac{1+4y}{y-2}$$

$$y\neq 2$$

$$R_{f}=(-\infty,2)\cup(2,\infty)$$

Gráfica

Ejercicio 4

$$\text{Sea } f(x) = \frac{x^2}{x – 1}$$

Solución:

El denominador debe ser diferente de cero

$$x-1\neq 0\Rightarrow x\neq 1$$

Estudio del signo de la función

Numerador:

$$x^{2}=0\Rightarrow x=0$$

Denominador:

$$x=1$$

Dominio

$$D_{f}=\left ( -\infty ,1 \right )\cup \left ( 1,\infty \right )$$

Intersecciones

En el eje “x” ( y = 0)

$$y=\frac{x^{2}}{x-1}\Rightarrow x=0$$

$$A(0,0)$$

Eje “y”  ( x = 0)

$$y=\frac{0^{2}}{0-1}\Rightarrow y=0$$

$$B(0,0)$$

Asíntotas

Vertical: 

$$x-1=0$$

$$x=1$$

Horizontal:

No posee asíntota horizontal.

Oblicua:

Cumple con la condición, por tanto posee asíntota oblicua.

Dividir el polinomio del numerador entre el denominador:

$$x^{2}\div x-1=x+1$$

La asíntota oblicua es:

$$y=x+1$$

Comportamiento cerca de la asíntota vertical

Comportamiento a largo plazo

Rango

$$y=\frac{x^{2}}{x-1}\Rightarrow y(x-1)=x^{2}$$

$$yx-y=x^{2}$$

$$x^{2}-yx+y=0$$

$$\Delta =b^{2}-4ac\geq 0$$

Donde:

a = 1 ; b = -y ; c = y

$$\Delta =(-y)^{2}-4(1)(y)=y^{2}-4y$$

$$y^{2}-4y\geq 0$$

$$y(y-4)\geq 0$$

Entonces:

y = 0 

y = 4

$$R_{f}=(-\infty ,0]\cup [4,\infty )$$

Gráfica

Ejercicio 5

$$f(x) = \frac{x-5}{x^{2} – 25}$$

Solución

Factorización y simplificación 

$$f(x)=\frac{x-5}{x^{2}-25}=\frac{x-5}{(x-5)(x+5)}=\frac{1}{x+5}$$

$$f(x)=\frac{1}{x+5}$$

Posee una discontinuidad removible en: x = 5

Coordenadas del hueco

$$f(5)=\frac{1}{5+5}=\frac{1}{10}$$

$$H\left ( 5,\frac{1}{10} \right )$$

Dominio

El denominador debe ser diferente de cero

$$x+5\neq 0\Rightarrow x\neq -5$$

$$D_{f}=(-\infty ,-5)\cup (-5,\infty )$$

Intersecciones

Eje “x”   ( y = 0 )

$$0=\frac{1}{x+5}\Rightarrow 0\neq 1$$

No existe intersecciones con el eje “x”

Eje “y”   ( x = 0 )

$$y=\frac{1}{0+5}$$

$$y=\frac{1}{5}$$

$$A\left ( 0,\frac{1}{5} \right )$$

Asíntotas

Vertical:

$$x+5=0$$

$$x=-5$$

Horizontal:

$$y=0$$

Oblicua:

No existe, no cumple con la condición.

Comportamiento cerca de la asíntota vertical

Comportamiento a largo plazo

$$f(x)\to 0$$

Rango

$$y=\frac{1}{x+5}\Rightarrow y(x+5)=1$$
$$yx+5y=1$$
$$x=\frac{1-5y}{y}$$
$$y\neq 0$$
$$R_{f}=(-\infty ,0)\cup (0,\infty )$$

Gráfica

Ejercicio 6

$$f(x) = \frac{x+1}{x^{2} -3x+2}$$

Solución:

Factorización y simplificación

$$f(x)=\frac{x+1}{x^{2}+3x+2}$$

$$f(x)=\frac{x+1}{(x+1)(x+2)}$$

$$f(x)=\frac{1}{x+2}$$

Posee una discontinuidad removible en: x = -1

Coordenadas del hueco

$$f(-1)=\frac{1}{-1+2}=1$$

$$H\left ( -1,1 \right )$$

Dominio

El denominador debe ser ≠ de cero.

$$x+2\neq 0\Rightarrow x\neq -2$$

$$D_{f}=(-\infty ,-2)\cup (-2,\infty )$$

Intersecciones

Eje “x”   ( y = 0 )

$$0=\frac{1}{x+2}\Rightarrow 0\neq 1$$

No existe intersecciones con el eje “x”

Eje “y”   ( x = 0 )

$$y=\frac{1}{0+2}$$

$$y=\frac{1}{2}$$

$$A\left ( 0,\frac{1}{2} \right )$$

Asíntotas

Vertical:

$$x+2=0$$

$$x=-2$$

Horizontal:

$$y=0$$

Oblicua:

No existe, no cumple con la condición.

Comportamiento cerca de la asíntota vertical

Asíntota vertical:

$$x=2$$

Comportamiento a largo plazo

$$f(x)\to0$$

Rango

$$f(x)=\frac{1}{x+2}\Rightarrow y(x+2)=1$$
$$yx+2y=1$$
$$x=\frac{1-2y}{y}$$
$$y\neq 0$$
$$R_{f}=(-\infty ,0)\cup (0,\infty )$$

Gráfica

Ejercicio 7

$$f(x) = \frac{x^{2}-4}{x+2}$$

Solución:

Paso 1: Identificar posibles restricciones

El denominador no puede ser cero.

$$x+2=0\Rightarrow x=-2$$

Paso 2: Factorizar y simplificar

El numerador es una diferencia de cuadrados:

$$f(x)=\frac{x^{2}-4}{x+2}=\frac{(x-2)(x+2)}{(x+2)}$$

$$f(x)=x-2$$

Solo cuando $$x \neq -2$$

Entonces la función:

$$f(x)=x-2$$

Es una función lineal, pero con un hueco (discontinuidad removible) en x = -2

Paso 3: Coordenadas del hueco:

$$f(-2)=-2-2=-4$$

$$H\left ( -2,-4 \right )$$

Paso 4: Dominio

$$D_{f}=R-{-2}$$

Porque en x = -2 el denominador se anula y la función no está definida.

Paso 5: Intersecciones

Eje “x”   ( y = 0 )

$$0=x-2\Rightarrow x=2$$

$$A( 2,0 )$$

Eje “y”   ( x = 0 )

$$f(x)=0-2$$

$$y=-2$$

$$B(0,-2)$$

Paso 6: Asíntotas

Vertical:

No hay asíntota vertical, sino un hueco (discontinuidad removible) en x = -2

Horizontal:

Cuando el grado del numerador es mayor que el denominador, no hay asíntota horizontal.

Oblicua:

Si el grado del numerador es exactamente uno más que el denominador, existe una asíntota oblicua, esto quiere decir que sí existe una asíntota oblicua.

La función se comporta como una recta: $$y=x-2$$

Entonces, la función obtenida coincide con su asíntota oblicua en: $$y=x-2$$

Paso 7: Comportamiento cerca de la asíntota vertical

Como no existe asíntota vertical sino un hueco (discontinuidad removible) en x = -2, el comportamiento cerca de x = -2 no es de crecer a ±∞ sino que la recta se aproxima al punto (-2,-4) sin llegar a alcanzarlo.

Paso 8: Comportamiento a largo plazo

A largo plazo ( x → ±∞ ), la función tiende a su asíntota oblicua porque la diferencia entre ambas desaparece cuando x crece o decrece; en consecuencia, f(x) se comporta igual que la recta y = x -2.

Paso 9: Rango

Se realiza el despeje en la función dada:

$$y = \frac{x^2 – 4}{x+2}\Rightarrow$$
$$yx + 2y = x^2 – 4$$
$$x^2 – yx – (2y+4) = 0$$

Esta es una ecuación cuadrática en x, cuyo discriminante es:

$$\Delta = (-y)^2 – 4(1)(-(2y+4))$$
$$\Delta =y^2 + 8y + 16$$
$$\Delta = (y+4)^2$$

Observación:

Si el discriminante es:

Como el Δ calculado es:

$$\Delta =(y+4)^2$$

Y una expresión al cuadrado nunca es negativo, se concluye que:

$$(y+4)^2 \geq 0$$

Para todo y, por lo que siempre hay raíces reales o una doble raíz. Pero en este caso y = -4 donde el Δ = 0 y la única raíz es x = -2, que está excluida del dominio.

Por lo tanto el rango es:

Gráfica

Ejercicio 8

$$f(x) = \frac{3x^{2} + 2x-1}{x^{2} – 1}$$

Solución:

Paso 1: Factorizar simplificar y coordenadas del hueco

El numerador es una diferencia de cuadrados:

$$f(x) = \frac{3x^{2} + 2x-1}{x^{2} – 1}$$

$$f(x)=\frac{(3x-1)(x+1)}{(x+1)(x-1)}$$

$$f(x)=\frac{3x-1}{x-1}$$

Posee una discontinuidad removible en x = -1

Se reemplaza en valor de x = -1 determinar las coordenadas del hueco.

$$f(x)=\frac{3\cdot (-1)-1}{(-1)-1}=2$$

Coordenadas del hueco: $$H(-1,2)$$

Paso 2: Identificar posibles restricciones

El denominador debe ser distinto a cero.

$$x-1\neq 0\Rightarrow x\neq 1$$

Paso 3: Estudio del signo de la función:

Numerador:

$$3x-1=0\Rightarrow x=\frac{1}{3}$$

Denominador:

$$x=1$$

Dominio

$$D_{f}=(-\infty ,1)\cup (1,\infty )$$

Intersecciones

Con el eje “x”  y = 0

$$0=\frac{3x-1}{x-1}\Rightarrow x=\frac{1}{3}$$
$$A\left ( \frac{1}{3},0 \right )$$

Con el eje “y”  x = 0

$$y=\frac{3\cdot 0-1}{0-1}\Rightarrow y=1$$
$$B(0,1)$$

Asíntotas

Vertical: 

$$x-1=0$$
$$x=1$$

Horizontal:

Posee una asíntota horizontal y es la recta:

$$y=3$$

Oblicua:

No existe.

Comportamiento cerca de la asíntota vertical

Comportamiento a largo plazo

Rango

$$y= \frac{3x^{2} + 2x-1}{x^{2} – 1}$$
$$y(x^{2}-1)=3x^{2}+2x-1$$
$$yx^{2}-y=3x^{2}+2x-1$$
$$yx^{2}-3x^{2}-2x-y+1=0$$
$$(y-3)x^{2}-2x-(y-1)=0$$

Discriminante (Δ)

a = y – 3;  b = -2;  c = -( y – 1 )

$$\Delta =b^{2}-4ac$$
$$\Delta =(-2)^{2}-4(y-3)(-(y-1))$$
$$\Delta =4+4(y-3)(y-1)$$
$$\Delta =4+4(y^{2}-4y+3)$$
$$\Delta =4y^{2}-16y+16$$
$$\Delta =4(y^{2}-4y+4)$$
$$\Delta =4(y-2)^{2}$$

En la ecuación cuadrática

$$(y-3)x^{2}-2x-(y-1)=0$$

$$ax^{2}+bx+c=0$$

El coeficiente de x² es  a= y – 3

Si y = 3, a = 0. Esto quiere decir que ya no es una cuadrática, sino una ecuación lineal en x:

$$-2x-(3-1)=-2x-2=0$$

$$x=-1$$

Pero x = -1 está prohibido en el dominio porque x² – 1 = 0. Por lo tanto y = 3 no pertenece al rango.

Gráfica

Ejercicio 9

$$\text{Sea } f(x) = \frac{4}{x^{2} + 1}$$

Solución

Dominio

$$D_{f}=\mathbb{R}$$

Intersecciones

Con el eje “x”  y = 0

$$0=\frac{4}{x^{2}+1}\Rightarrow 0\neq 4$$

No hay intersección con el eje “x”

Con el eje “y”  x = 0

$$y=\frac{4}{0^{2}+1}\Rightarrow y=4$$

$$A(0,4)$$

Asíntotas

Vertical: 

No existe, ya que el denominador no se hace cero.

Horizontal:

$$y=0$$

Oblicua:

No existe.

Comportamiento cerca de una asíntota vertical

No existe asíntotas verticales ni huecos, la función está definida y es continua en todo R.

Comportamiento a largo plazo ( x → ±∞ )

$$f(x)\rightarrow 0$$

Rango

$$y=\frac{4}{x^{2}+1}$$
$$y(x^{2}+1)=4$$
$$x^{2}=\frac{4-y}{y}$$

Como x² ≥0, se cumple que:
$$\frac{4-y}{y}\geq 0$$

Numerador: 4 – y ≥ 0    ⇒    y ≤ 4.

Denominador: y > 0  (porque está en el denominador original y además  y = 0 no es posible, pues sería:

$$x^{2}+1=\infty $$

Entonces:

$$0< y\leq 4$$

$$R_{f}=(0,4]$$

Gráfica

Ejercicio 10

$$f(x) = \frac{x^{2}+x-6}{x + 3}$$

Solución

Paso 1: Factorizar y simplificar

$$f(x) = \frac{x^{2}+x-6}{x + 3}=\frac{(x-2)(x+3)}{x+3}$$

$$f(x)=x-2$$

Solo cuando $$x \neq -3$$

Entonces la función:

$$f(x)=x-2$$

Es una función lineal, pero con un hueco (discontinuidad removible) en x = -3

Paso 2: Coordenadas del hueco

$$f(-3)=-3-2=-5$$

$$H=\left ( -3,-5 \right )$$

Paso 3: Dominio

Paso 4: Intersecciones

Eje “x”   ( y = 0 )

$$0=x-2\Rightarrow x=2$$

$$A( 2,0 )$$

Eje “y”   ( x = 0 )

$$f(x)=0-2$$

$$y=-2$$

$$B(0,-2)$$

Paso 5: Asíntotas

Vertical:

No existe asíntota vertical, sino un hueco (discontinuidad removible) en x = -2

Horizontal:

No cumple con la condición, por tanto no existe asíntota horizontal.

Oblicua:

El grado del numerador es uno más que el denominador, entonces existe una asíntota oblicua que también coincide con la función.

Paso 6: Rango

$$y=\frac{x^{2}+x-6}{x+3}$$
$$y(x+3)=x^{2}+x-6$$
$$yx+3y=x^{2}+x-6$$
$$x^{2}+(1-y)x-(6+3y)=0$$

Discriminante

$$\Delta =(1-y)^{2}-4\cdot 1\cdot (-(6+3y))$$
$$\Delta =(1-y)^{2}+4(6+3y)$$
$$\Delta =y^{2}+10y$$
$$\Delta =(y+5)^{2}$$

Hay soluciones para todo y

$$(y+5)^{2}\geq 0$$

Única exclusión cuando Δ=0

$$y=-5$$

Al reemplazar este valor en la ecuación cuadrática

$$x^{2}+(1-y)x-(6+3y)=0$$

$$x^{2}+(1-(-5))x-(6+3(-5))=0$$

$$x^{2}+6x+9=0$$

Al resolver:

x = -3, pero este valor no pertenece al dominio, porque anula el denominador original.

Entonces el rango es:

Gráfica

¿Conoces los límites en matemáticas? Seguramente has escuchado o has visto, que alguna vía de comunicación tiene algunos límites de velocidad. Por ejemplo, observa la siguiente imagen:

Entonces ¿Qué es para ti un límite? Un límite es una referencia lo cual muestra una separación con algo.

Límites

El límite es un valor donde se aproxima una función f ( x ). Observa la siguiente función:

A continuación, está la gráfica de la función y su curva tiende aproximarse a la asíntota de recta $$y=1$$ pero nunca llega a tocarla, ahora al lado derecho está su tabla de valores, fíjate que en x existen valores desde 1 hasta 50 y los valores de f ( x ) tienden acercarse a 1

Gráfica	Tabla de valores

Los límites son expresados así:

La forma correcta de leer estas expresiones es de la forma siguiente

“límite cuando x tiende a b de f ( x ) es L”

Cuando x tiende a b  quiere decir que los valores de la función f ( x ) se aproximan  a L .

Ahora relaciona esto con la función anteriormente graficada:

Entonces tomando los datos de la tabla de valores, observa que la variable “x” crece hasta llegar a cincuenta ( x → 50 ) es decir que los valores de x tiende a cincuenta, y la función  f ( x ) se aproxima a 1   ( f ( x ) → 1 ).

Su expresión queda finalmente de la forma siguiente:

Ejemplo: Elabora la tabla de valores con números decimales expresados en centésimas y realizar la gráfica de la siguiente función:

$$f(x)=2x^{2}$$

Cuando el valor de la variable x tiende a 1

Los valores de la variable 0,97 ; 0,98 ;  0,99 ; son acercamientos a 1 por la izquierda; y los valores 1,03 ; 1,02; 1,01 son acercamientos a 1 por la derecha.

Luego,  si x se aproxima a 1 por la izquierda y por la derecha, la función f ( x ) se aproxima a 2 

Simbólicamente esta situación se expresa:

Límites laterales

Las aproximaciones realizadas para determinar el límite de una función está relacionada con el concepto de límite lateral, observa la imagen:

Se expresa:

Por la izquierda:

Por la derecha:

El signo negativo ( – ) es una referencia del lado izquierdo

El signo positivo ( + ) es la referencia del lado derecho

La lectura que se le da a ambas expresiones simbólicas es:

• límite cuando x tiende a b por la izquierda es L
• límite cuando x tiende a b por la derecha es M

Existencia de límites

La existencia o la no existencia del límite de una función depende de los límites laterales. Si se generan los mismos límites laterales (por la izquierda y por la derecha) entonces existe un límite de la función, pero si se generan distintos límites laterales (por la izquierda y por la derecha) el límite de la función no existe.

Ejemplo: Realizar la gráfica de f ( x ) y determinar los límites laterales cuando x tiende a 2.

Gráfica:

• Límite lateral izquierdo:

En la gráfica puedes observar que cuando x tiende a 2^–  la función  f ( x ) = 2

• Límite lateral derecho:

En la gráfica puedes observar que cuando x tiende a 2⁺  la función  f ( x ) = 1

El resultado de los límites laterales no coinciden, esto quiere decir que el límite de la función f ( x ) NO EXISTE

Cálculo de límites

Los límites se pueden resolver ya sea aplicando propiedades o por el principio de sustitución.

Aplicando propiedades

Donde: c = constante

1.	Límite de una constante
2.	Límite de una variable
3.	Límite de una suma de funciones
4.	Límite de una resta de funciones
5.	Límite de una constante multiplicada por una función
6.	Límite de una función multiplicada por otra función
7.	Límite de una función dividida por otra función
8.	Límite de una potencia
9.	Límite de la potencia de una función
10.	Límite de una raíz
11.	Límite de una raíz enésima de una función

Principio de sustitución directa

Este principio consiste en sustituir  x = a directamente en la función f ( x ) y así obtener el valor del límite.

Ejemplo: Calcula los siguientes límites aplicando las propiedades y el método de sustitución directa

Solución (aplicando propiedades)

Solución (aplicando el método de sustitución directa)

Igualdades simbólicas que se deben considerar en el cálculo de límites

Donde k es una constante

Límites de funciones indeterminadas

Indeterminada 0/0

Cuando se calcula el límite de alguna función y presenta resultado como el siguiente:

$$\frac{0}{0}$$

Es una indeterminación que se debe eliminar aplicando ya sea factorización o racionalización para así obtener una expresión equivalente.

Pasos para eliminar la indeterminación

1. Efectúe la sustitución directa.
2. Hallar la expresión equivalente a través de la factorización o racionalización.
3. Determinar los límites laterales.

Nota: Si son límites de funciones racionales y radicales solo debes aplicar los pasos # 1 y # 2.

Límites de funciones racionales con indeterminación 0/0

Los límites de funciones racionales indeterminados son polinomios ubicados en el numerador y en el denominador, su forma es la siguiente:

Para la eliminación de la indeterminación se debe aplicar la factorización.

Ejemplo: Determinar el siguiente límite

1.	Efectúa la sustitución directa
2.	Factorización
3.	Sustitución
4.	Resultado

Límites de funciones radicales con indeterminación 0/0

Estos tipos de límites indeterminados están compuestos por funciones radicales f ( x ) y g ( x ) y su forma es la siguiente:

Para eliminar la indeterminación se debe racionalizar ya sea en el numerador o en el denominador o muchas veces también se debe racionalizar ambos.

Ejemplo: Calcular el siguiente límite

1.	Efectúa la sustitución directa
2.	Racionalización
3.	Sustitución
4.	Resultado

Límites de funciones trigonométricas indeterminadas 0/0

Se calcula por sustitución directa, si el resultado es indeterminado 0/0 se elimina aplicando identidades trigonométricas.

Ejemplo: Calcular el siguiente límite trigonométrico

1.	Por efecto de gusto se transforma a grados sexagesimales
2.	Sustitución
3.	Se aplica identidades para eliminar la indeterminada
4.	Se aplica la sustitución
5.	Resultado

Límites infinitos y límites en el infinito

Límites infinitos

Cuando una función f ( x ) está en crecimiento o en decrecimiento sin cota cuando x tiende a un valor «b«, el límite no existe.

La cota es un número ubicado en el eje “y” y representa un valor máximo o mínimo de una función. Por ejemplo observe la cota de la siguiente función:

f ( x ) = x² + 2

El dominio es ℜ

El rango es [ 2 , ∞ )

Cota: 2 es su cota inferior para todos los elementos del rango de la función

Forma de escribir un límite sin cota en crecimiento y en decrecimiento

En crecimiento la forma es:

En decrecimiento la forma es:

Ejemplo: Crear la tabla de valores, gráfica y determinar el límite de la función

Tabla de valores	Gráfica
No existe límite ya que: Por la izquierda Por la derecha

Límites en el infinito

Los límites en el infinito es cuando la variable ( x ) está en crecimiento o en decrecimiento sin cota y la función f ( x ) se acerca a valores específicos L y M. Estos límites se expresan de la siguiente manera:

Y se lee así:

• “El límite de la función es M cuando x tiende a menos infinito»
• “El límite de la función es L cuando x tiende al infinito»

Se presentan dos casos para calcular estos tipos de límites:

1. Caso # 1. Cuando posee la siguiente forma:
   
   Esto quiere decir cuando existe una expresión racional y el numerador es una constante el resultado del límite cuando x tiende al infinito es cero
2. Caso # 2. Cuando su forma es:En este caso se presenta una nueva indeterminación y es$$\frac{\infty }{\infty}$$

Indeterminada ∞/∞

Para poder eliminar la indeterminación ∞/∞ se debe dividir el numerador y el denominador de la función entre la potencia de mayor grado, donde también debe considerarse tres criterios:

A. Si el grado del polinomio P( x ) > Q( x ) el límite de la función racional es
B. Si el grado del polinomio P( x ) < Q( x ) el límite de la función racional esC. Si el grado del polinomio P( x ) = Q( x ) el límite de la función racional es
Donde m y n son los coeficientes de los términos de mayor grado de los polinomios P( x ) y  Q( x ) respectivamente.

Ejemplos para determinar límites en el infinito ∞/∞

Según el criterio (A) el resultado es: ∞

Observa el desarrollo:

• Se divide cada término entre la variable de mayor grado de toda la expresión
  

  ---

Observa la función del otro límite y según el criterio (B) el resultado es: 0

Desarrollo:

• Dividir cada término entre la variable de mayor grado de toda la expresión
  

  ---

Según el criterio (C) el resultado es: 5/2

Para probarlo debes aplicar lo mismo a los otros ejemplos anteriores, es decir dividir el numerador y el denominador de la función racional entre x² 

Cálculo de asíntotas de una función

Asíntotas horizontales

Cuando la recta y = b es una asíntota horizontal de la función f ( x ), si el límite es así:

Ejemplo: Determinar la asíntota horizontal de la siguiente función

• Se aplica el límite en el infinito y se calcula
  
• Se aplica el criterio (C) y el resultado es: $$\frac{4}{3}$$
• Esto quiere decir que cuando x → ± ∞ , f ( x ) → 4/3
• Por lo tanto f ( x ) = 4/3 es una recta llamada asíntota horizontal de la función f ( x )
• Vea la gráfica
  

Asíntotas verticales

Cuando la recta x = a es una asíntota vertical de la función f ( x ), si el límite es así:

Ejemplo: Determinar la asíntota vertical de la siguiente función:

• Se factoriza el denominador para saber donde la función se hace indeterminada
  Entonces la función no está definida para los valores de x = 2 ∧ x = -1, por lo tanto esas son las asíntotas de la función
• Se aplica el límite de los valores encontrados y se determina sus límites laterales
  
  
  
  
• Vea la gráfica
  

Asíntotas oblicuas

Cuando una función posee asíntota oblicua si

donde:  m ∈ ℜ – {0}

m = pendiente de la recta

Entonces y = mx + b     es la ecuación de la asíntota de la función f ( x ) si:

Pasos para determinar las asíntotas oblicuas

• Se calcula el límite cuando x → ±∞, dividiendo la función f ( x ) entre x, si da una constante quiere decir que posee una asíntota oblicua y esta constante es la pendiente ( m ) de la asíntota.

• Se determina b ( intercepto con el eje y ), aplicando el límite

• Se escribe la ecuación explícita de la recta

f ( x )=mx + b

Ejemplo: Determinar si la función f ( x ) posee asíntota oblicua y si es así escriba su ecuación realice la tabla de valores y su gráfica

• Se determina si posee asíntota oblicua

Si posee asíntota oblicua y la pendiente de la misma es m = 1/3

• Se determina b

• La ecuación de la asíntota es  f ( x ) = x/3
• También posee una asíntota vertical x = 0
• Los interceptos en el eje “x” es igualar el numerador a cero. x = ± 3
• No existe intercepto en el eje “y”

Tabla de valores	Gráfica

Actividades

I. La función f (x) definida como:

a. Grafica la función

b. Determine:

c. ¿Existe el límite ? Justifica tu respuesta.

¿Sabes cómo las funciones se aplica en la vida diaria? Un ejemplo sencillo lo vemos en una frutería:

Imagina que cada paquete de 4 manzanas se vende por un precio fijo. En este caso, el beneficio económico del negocio es una función de la cantidad de paquetes vendidos. Esto significa que la ganancia que se obtiene (y) depende directamente del número de paquetes que se vendan (x).

Función

Ejemplo.

Observa la figura y determina si las relaciones mostradas son funciones. justifica tu respuesta.

Respuesta:

a. En la relación f  no es función porque el elemento 2 del conjunto de partida posee dos imágenes, 4 y 2, en el conjunto de llegada. Los pares ordenados formados son: f {(1,4),(2,4),(2,2),(3,7),(4,3)}

b. En la relación g  a pesar que el elemento c del conjunto de llegada no esté relacionado si es función porque todos los elementos del conjunto de partida tienen una sola imagen. Los pares ordenados son:  g {(1,a),(2,b),(3,d)}

c. En la relación h  si es función porque todos los elementos del conjunto de partida tienen una sola imagen. Los pares ordenados son:  h {(1,2),(2,2),(3,2)}

d. En la relación i  es función porque todos los elementos del conjunto de partida tienen una sola imagen, a pesar que el elemento n del conjunto de llegada no esté relacionado. Los pares ordenados son:  i {(1,l),(2,m),(3,m)}

e. En la relación j  no es función porque el elemento 3 del conjunto de partida no está relacionado. Los pares ordenados son:  j {(1,-2),(2,-1),(4,-4)}

f. En la relación k  si es función porque todos los elementos del conjunto de partida tienen una sola imagen. Los pares ordenados son:  j {(1,R),(2,J),(3,Q)}

Variable independiente y dependiente

En este caso, una variable es la cantidad o valor que puede cambiar. En el ejemplo de la frutería, tenemos dos variables en juego: la variable independiente y la variable dependiente.

La variable independiente (x) es la cantidad de paquetes de manzanas que los clientes compran, ya que su valor puede ser cualquier número. La variable dependiente (y) es el beneficio económico, porque su valor depende directamente de la cantidad de paquetes vendidos. Así, la ganancia es una función del número de paquetes que se venden.

Entonces:

x = variable independiente

f ( x ) = y = variable dependiente

Supongamos que en la frutería mencionada anteriormente colocan una promoción de la siguiente manera:

1 paquete de 4 manzanas por el precio de $5000

La expresión matemática:

f ( x ) = 5000x        o              y = 5000x

Donde:

“ x ”   es el paquete de 4 manzanas, es decir, es la variable independiente.

“ y ”  es el dinero por la venta que depende de las cantidades de paquetes de manzanas vendidas, entonces a esta letra se le llama variable dependiente.

“ f ( x ) ”  esta expresión significa que la variable dependiente está en función a la variable independiente.

Para resumir todo:

La variable independiente la llamamos  “variable”  y

La variable dependiente “ función ”

Dominio y rango 

El dominio de una función es el conjunto de todas las primeras componentes (x) de los pares ordenados, mientras que el rango es el conjunto de todas las segundas componentes (y).

Observa la siguiente imagen. Allí se ilustra cómo la función, representada como un conducto, toma un valor del dominio (el conjunto de entrada) y lo transforma en un valor del rango (el conjunto de salida). El resultado de esta transformación es un par ordenado.

Función real de variable real

Es una relación matemática en la que tanto la variable independiente (x) como la variable dependiente (y) solo pueden tomar valores que pertenecen al conjunto de los números reales (R). En otras palabras, el dominio y el rango de la función son subconjuntos de los números reales.

Cuando se evalúa una función y el resultado no es un número real, entonces es indeterminada o indefinida en un punto específico. Esto ocurre en casos como la división por cero o la raíz cuadrada de un número negativo, que no tienen una solución dentro del conjunto de los números reales (R). Por ejemplo:$$f(x)=\sqrt{-3}$$

Laboratorio de las funciones

¡Llegó el momento de poner toda la teoría en práctica! Prepárate para experimentar con las funciones como si estuvieras en un laboratorio. A continuación, encontrarás una simulación interactiva de PhET, el Generador de Funciones, que te permitirá aprender jugando. Podrás manipular variables, observar cómo cambia la gráfica en tiempo real y entender la relación entre una fórmula y su representación visual. ¡Es la herramienta perfecta para dominar las funciones de una forma divertida y totalmente visual!

Restricciones del dominio

El dominio de una función se restringe cuando existen valores de la variable independiente (x) que, al ser evaluados, producen un resultado indeterminado o que no pertenece al conjunto de los números reales (R). En otras palabras, estos valores no son parte del dominio porque la función no está definida para ellos

Existen 3 tipos de restricciones en el dominio, ellos son:

I. Raíces de índices par

Para que la función$$f(x)=\sqrt{x+2}$$

Sea un número real, la expresión dentro de la raíz cuadrada no puede ser negativa.

Una raíz con índice par solo está definida para valores mayores o iguales a cero. Por lo tanto, para que el resultado no sea indeterminado, la cantidad subradical debe cumplir con la siguiente condición:
$$x+2\geq 0$$
$$x\geq -2$$

Dominio de la función$$D_{f}=[-2,\infty ]$$

II. Fracciones donde se anula el denominador

En la función$$f(x)=\frac{5}{x+1}$$

Existe una restricción en el denominador, ya que este debe ser diferente a cero. $$x+1\neq 0$$
$$x\neq -1$$

El dominio de la función es:

III. Fracciones donde se anula el denominador con raíces de índices par

Para estos de expresiones$$f(x)=\frac{\sqrt{x+1}}{x}$$

Debes considerar dos reglas tipos de restricciones:

1. La raíz cuadrada con índice par.
2. Fracciones que anulan el denominador.

Restricción del numerador:$$x+1\geq 0$$
$$x\geq -1$$

Restricción del denominador:$$x\neq 0$$

La solución es combinar las restricciones.

El dominio de la función es$$D_{f}=[-1,\infty )$$

Ejemplo. 

Graficar las siguientes relaciones teniendo en cuenta el intervalo especificado para “x” y determinar el dominio, rango e indicar cuáles de ellas son funciones

a.  F = {(x,y) / y = x² ∧ 0 ≤ x < 3}

b. G = {(x,y) / y² – x =2}

Solución

Tabla de valores

Para graficarla, primero traza cada par ordenado en el plano cartesiano y luego une los puntos para formar una curva suave. Para que la curva quede correctamente puedes utilizar la plantilla de Burmester.

Una vez que tengas la gráfica, aplica la prueba de la línea vertical para verificar si la expresión es una función. Si cualquier línea vertical que traces sobre la curva la toca en un solo punto, entonces la expresión dada es una función.

El dominio de la función es:$$D_{f} =[0,3)$$

Rango:$$R_{f} =[0,9)$$

Solución

$$y=\pm \sqrt{x+2}$$

Tabla de valores

Se grafica cada punto y luego se aplica la prueba de la línea vertical para saber si es función.

No es función porque la línea vertical toca dos puntos de la curva.

Dominio$$D_{f} =[-2,\infty )$$

Rango$$R_{f} =\mathbb{R}$$

Clasificación de las funciones

Las funciones se pueden clasificar según cómo se relacionan los elementos de su dominio con los de su rango. Esta clasificación permite conocer el comportamiento de una función y se clasifican en 3:

I. Inyectivas

Llamadas también uno a uno. Este tipo de función los elementos de partida deben ser distintos y también sus imágenes.

Ejemplo, observa el siguientes conjunto de pares ordenados:  F{ ( 8 , 9 ) , ( 6 , 10 ) }.

Respuesta: Es una función inyectiva ya que los elementos del conjunto de partida comparten distintas imágenes.

Otro ejemplo de inyectiva es la expresada en la siguiente imagen

II. Sobreyectivas

Si el rango de la función es el mismo que el codominio es sobreyectiva.

Ejemplo:

III. Biyectivas

Si es inyectiva y sobreyectiva a la vez.

Ejemplo.

Indica el tipo de función, dominio y rango

f :  [ 2 , ∞ ) → [ -1 , ∞ )

f ( x ) = x² – 4x + 3

Solución:

$$f(x)=ax^{2}+bx+c$$

Donde:

a = 1    b = -4    c = 3

Cálculo del vértice

$$V(x,f(x))$$
$$V\left ( -\frac{b}{2a},f(x) \right )$$
$$x=-\frac{-4}{2\cdot 1}=2$$
$$f(2)=2^{2}-4\cdot 2+3=-1$$
$$f(2)=-1$$
$$V(2-1)$$

Cálculo de las intersecciones respecto al eje “x”$$y=0$$

$$f(x)=y$$
$$0=x^{2}-4x+3$$

Se factoriza y se iguala a cero los factores, finalmente se obtiene los valores de:
$$x_{1}=1$$
$$x_{2}=3$$

Gráfica

Se grafican los puntos y se aplica el criterio de la línea vertical y horizontal.

Cómo la línea vertical toca un punto de la curva, la expresión dada es función.

La línea horizontal toca un solo punto, entonces es inyectiva.

Dominio 

$$D_{f}=[2,\infty )$$

Rango

$$R_{f}=[-1,\infty )$$

Codominio

$$C_{f}=R_{f}$$

Tipo de función

Biyectiva.

Características de las funciones

Más allá de su clasificación, las funciones poseen características que dan a conocer su comportamiento y su forma gráfica.

Entre las más importantes se encuentran la simetría, su crecimiento y el decrecimiento, lo cual indica si sus valores aumentan o disminuyen a medida que se mueve de izquierda a derecha en el eje horizontal.

Simetría

La simetría es una de las características más interesantes de las funciones ya que revela si la curva posee una simetría axial (respecto a un eje) o central (respecto a un punto). Existe dos tipos de simetría y son llamadas:

I. Función par

Una función es par cuando la curva es simétrica respecto al eje y. Esta simetría es comprobable cuando se sustituye la variable x por -x en la función dada, generando la misma función original. Esto se expresa como:$$f(x)=f(-x)$$

Ejemplo. Determine si es par la siguiente función

$$f(x)=x^{2}+1$$

Solución:

Sustituir ( -x ) en la función:

f ( –x ) = ( -x )² +1

f ( –x ) = x² +1

Compara el resultado x² +1  y la función dada. Ambas expresiones son iguales.$$x^{2}+1=x^{2}+1$$

Por lo tanto la función f ( x ) = x² +1 es Par.

II. Función impar

Es una simetría central ya que es con respecto al origen del plano cartesiano. Analíticamente al sustituir “ -x ” la función debe dar negativa, satisfaciendo la relación:$$f(-x)=-f(x)$$

Ejemplo. Dada la función f ( x ) = x³, determine si es una función impar.

Solución:

Sustituir ( -x ) en la función, quedando:

f ( –x ) = ( -x )³ 

f ( –x ) = –x³

Es es una función Impar, ya que cumple la relación:$$f(-x)=-f(x)$$

Crecientes

 Es creciente en un intervalo, si:

               x₁ < x₂ por lo tanto f (x₁) < f (x₂)

Entonces, si en un intervalo aumenta el dominio y el rango o disminuyen ambos, la función es creciente específicamente en ese intervalo.

Decrecientes

Una función es decreciente en un intervalo si, a medida que los valores de x aumentan, los valores de y (o f(x)) disminuyen.

 x₁ < x₂ por lo tanto f (x₁) > f (x₂)

Funciones elementales

Las funciones elementales son las herramientas básicas de la matemática. A partir de ellas, se construyen funciones más complejas a través de operaciones como la suma, resta, multiplicación, división, potencias y raíces. Por esta razón, son esenciales para modelar una gran variedad de fenómenos en campos como la ciencia, la ingeniería y la economía. Ellas son:

1. Funciones polinómicas
2. Funciones racionales
3. Funciones radicales
4. Funciones trascendentes.
5. Funciones especiales

Funciones racionales

Cuando se presenta de la siguiente manera  f ( x ) = P ( x ) / Q ( x )  es una función racional, donde P ( x ) y Q ( x ) son polinomios.

Pasos para graficarla

1. Factorizar si se puede.
2. Determinar las raíces ( o cero) del numerador y del denominador los valores para lo cual la función no está definida.
3. Hallar las asíntotas verticales, si existen.
4. Hallar el intercepto con el eje “ y ”, es decir x = 0
5. Determinar la asíntota horizontal, si existe.
6. Crear la tabla de valores para obtener los puntos suficientes y así dibujar una buena curva.

Ejemplo. 

Grafica y determina el dominio y rango de la función racional$$f(x)=\frac{x^{2}+x-2}{x^{2}+3x+2}$$

Solución

Factorización

$$f(x)=\frac{(x-1)\cdot (x+2)}{(x+1)\cdot (x+2)}$$

$$f(x)=\frac{x-1}{x+1}$$

La función posee un hueco (discontinuidad removible o evitable) en x = -2

El punto del hueco es P(-2,3)

Raíces (numerador y denominador)

x – 1 = 0 ⇒ x = 1

x + 1 = 0 ⇒ x = -1

Asíntotas verticales

x = -1

Intercepto con el eje “y”

x = 0

$$f(x)=y$$

$$y=\frac{0-1}{0+1}=-1$$
$$y=-1$$

Asíntota horizontal

Como el grado del polinomio del numerador y del denominador son iguales a 1, entonces la función f tiene una asíntota horizontal.

y = 1

Tabla de valores

Partiendo del dato de la asíntota vertical  x = -1 se crea la tabla de valores

Gráfica

Dominio

Dom f  = ℜ – { -2, -1 }

Rango

Rgo f  = ℜ – { 1, 3 }

Funciones radicales

Son funciones que están expresadas por medio de una raíz. El dominio de este tipo de funciones depende directamente del índice de la raíz, lo que las clasifica en dos tipos principales:

Sí el índice es un número par, la función no está definida en los valores de x para los cuales el radicando es negativo. Para que la esté definida es necesario que la cantidad subradical sea mayor o igual a cero es decir aplicar una restricción del dominio.

Sí el índice es un número impar, el radicando puede ser cualquier número real (positivo, negativo o cero). La función está definida para todo el conjunto de los números reales. Sin embargo, se deben considerar las restricciones que existan dentro del radicando (por ejemplo, si este contiene un polinomio en el denominador).

Pasos para graficar una función radical

I. Se evalúa si posee índice par o impar.

Si la expresión viene dada en forma racional se determina en el numerador las raíces o los intercepto con el eje “ x ” y en el denominador los valores para los cuales la función no está definida.

Si es un radical con índice par y con una cantidad subradical en forma racional polinómica, se tiene que determinar el intervalo donde la función no está definida, para esto la expresión subradical debe ser mayor o igual que cero, luego el siguiente paso es resolver la inecuación racional.

II. Determina las asíntotas verticales, si existe.

III. Hallar el intercepto con el eje “ y ”.

IV. Determinar las asíntotas horizontales, si existe.

V. Crear la tabla de valores para obtener los puntos suficientes y así dibujar una buena curva.

Ejemplo 1.

Graficar y determinar dominio y rango de la función radical$$f(x)=\sqrt{\frac{2x+1}{3}}$$

Solución

Se aplica restricción para determinar el dominio.
$$\frac{2x+1}{3}\geq 0$$
$$2x+1\geq 0$$
$$2x\geq -1$$
$$x\geq -\frac{1}{2}$$

Dominio

Dom f  =  [ -1/2, ∞ )

Intercepto con el eje y

x = 0

$$y=\sqrt{\frac{2.0+1}{3}}$$
$$y=\sqrt{\frac{1}{3}}$$
$$y=\frac{1}{\sqrt{3}\cdot}\cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=$$
$$y=\frac{\sqrt{3}}{3}$$

Tabla de valores

Gráfica

Rango

Rgo f  = [ 0, ∞ )

Ejemplo 2.

Graficar y determinar el dominio y rango de la función radical$$f(x)=\frac{2}{\sqrt[4]{x+3}}$$

Es una función racional, con una raíz en el denominador de índice par.
Por estar en el denominador debe ser mayor que cero.
Y se evalúa los valores para los cuales la función no está definida

$$x+3> 0$$
$$x> -3$$

Es una función racional, pero el denominador es un radical por lo tanto no posee asíntotas verticales.

Intercepto con el eje y

x = 0

$$f(x)=y$$
$$y=\frac{2}{\sqrt[4]{0+3}}$$
$$y=\frac{2}{\sqrt[4]{3}}\cdot \frac{\sqrt[4]{3^{3}}}{\sqrt[4]{3^{3}}}$$
$$y=\frac{2\cdot \sqrt[4]{3^{3}}}{3}$$
$$y=\frac{2\cdot \sqrt[4]{27}}{3}$$
$$y\approx 1,52$$

Asíntota horizontal

Posee una asíntota horizontal ya que el grado del polinomio de la cantidad subradical es mayor que la del numerador.

Tabla de valores

Gráfica

Dominio

Dom f  =  ( -3, ∞ )

Rango

Rgo f  = ( 0, ∞ )

Ejemplo 3.

Graficar y determinar el dominio y rango de la función radical$$f(x)=\frac{\sqrt[3]{3x-1}}{x^{2}-1}$$

Solución

• Es una función racional, con una raíz en el numerador de índice impar.
• Se evalúa los valores para los cuales la función no está definida

$$x^{2}-1\neq 0$$
$$x^{2}\neq 1$$
$$x\neq \sqrt{1}$$
$$x\neq \pm 1$$

No esta definida para valores$$x\neq \pm 1$$

Intercepto con el eje “ x ”  y = 0

$$f(x)=y=0$$
$$0=\frac{\sqrt[3]{3x-1}}{x^{2}-1}$$
$$0=\sqrt[3]{3x-1}$$
$$0=3x-1$$
$$x=\frac{1}{3}$$

Intercepto con el eje “ y ”  x = 0

$$f(x)=y$$
$$y=\frac{\sqrt[3]{3\cdot 0-1}}{0^{2}-1}$$
$$y=1$$

Asíntotas verticales

$$x = 1$$
$$x = -1$$

Asíntota horizontal

Posee una asíntota horizontal en el eje “ x ” ya que el grado del polinomio de la cantidad subradical del numerador es menor que el grado del polinomio del denominador.$$y=0$$

Dominio

Dom f  =  ℜ – { – 1, 1 }

Rango

Rgo f  =  ℜ

Tabla de valores

Gráfica

Ejemplo 4.

Grafique y determina el dominio y rango$$f(x)=\sqrt{\frac{x+3}{3x-2}}$$

Solución:

Se evalúa los valores para los cuales la función no está definida

$$\frac{x+3}{3x-2}\geq 0$$
$$3x-2\neq 0$$

Igualar el numerador y el denominador a cero para encontrar los puntos críticos que dividen la recta real en intervalos

$$x+3=0$$
$$x=-3$$

$$3x-2=0$$
$$x=\frac{2}{3}$$

Estudio del signo

Asíntota vertical 

$$x=\frac{2}{3}$$

Asíntota horizontal

Posee asíntota horizontal (Cuando el grado del numerador = grado del denominador)

$$y=\frac{\sqrt{3}}{3}$$

Intercepto con el eje y

$$f(x)=y$$
$$y=\sqrt{\frac{0+3}{3\cdot 0-2}}$$
$$y=\infty $$

La curva no toca el eje y

Intercepto con el eje x

$$f(x)=y=0$$
$$0=\sqrt{\frac{x+3}{3x-2}}$$
$$x+3=0$$
$$x=-3$$

La curva toca el eje x por el punto (-3,0)

Dominio

$$D_{f}=( -\infty , -3]\cup ( 2/3 , \infty )$$

Rango

$$R_{f}=\left [ 0,\frac{\sqrt{3}}{3} \right )\cup \left ( \frac{\sqrt{3}}{3},\infty \right )$$

Tabla de valores

Gráfica

Operaciones con funciones

Las funciones pueden combinarse una con otras a través de las operaciones de la aritmética como la adición, sustracción, multiplicación y división y producir nuevas funciones.

Suma: ( f  + g )( x ) = f ( x ) + g ( x )

Su dominio es:

Dom ( f  + g ) = ( Dom f  ∩ Dom g )

Resta: ( f  –  g )( x ) = f ( x ) – g ( x )

Su dominio es:

Dom ( f  –  g ) = ( Dom f  ∩ Dom g )

Multiplicación: ( f  .  g )( x ) = f ( x )  .  g ( x )

Su dominio es:

Dom ( f  .  g ) = ( Dom f  ∩ Dom g )

División: ( f  / g )( x ) = f ( x )  /  g ( x )

Su dominio es:

Dom ( f  / g ) = { x ∈ ( Dom f  ∩  Dom g) / g ( x ) ≠ 0 }

Ejemplo.

Calcule la suma, diferencia, producto y el cociente de f  y  g  y el dominio de cada función resultante.

Dominios resultante de cada operación:

Suma: Dom ( f  + g ) = [ -3/2 , ∞ )

Resta: Dom ( f  –  g ) = [ -3/2 , ∞ )

Multiplicación: Dom ( f  .  g ) = [ -3/2 , ∞ )

División: Dom ( f  / g ) = [ -3/2 , ∞ )

Actividades

Parte I

I. Determine si en cada planteamiento es una función. En caso de no serlo, proponer un ejemplo que muestre la situación.

a. El comportamiento de una bacteria está determinado por la expresión:

$$y=5e^{x}$$

b. Las muestras de sangre de un cultivo se describen por las parejas:

( 2 , 4), ( 4 , 8 ), ( 5 , 10), ( 6 , 12), ( 7 , 14 )

c. El valor de la producción cierta cantidad de cuadernos está dado por las parejas:

( 1 , 500 ),  (2,600), ( 3 , 700 ), ( 4 , 800).

d. El movimiento de un cuerpo está dado por la expresión:

$$f=\frac{-47t^{2}}{2}$$

e. La cantidad de hombres que realizan un trabajo en cierto número de días es determinado por la expresión:

$$y=\frac{45}{x}$$

II. Construir una tabla de valores para cada función y su gráfica.

III. Diga cuáles de las siguientes curvas representan una función.

Gráfica # 1

Gráfica # 2

IV. Calcula el valor de la función$$f(x)=\frac{3}{2}x^{2}-6$$
Para cada valor x dado

Parte II

I. Determine el dominio, rango, vértice, puntos de cortes, tabla de valores y gráfica de las siguientes funciones:

$$f(x)=6x^{2}-7x-3$$
$$f(x)=2x^{2}+3x-2$$
$$f(x)=x^{2}-9x+8$$
$$f(x)=-x^{2}-x+3$

II. Hallar el dominio, rango, interceptos, asíntotas, tabla de valores y gráfica de las siguiente funciones

$$f(x)=\frac{1}{x^{2}+1}$$
$$f(x)=\frac{x+4}{x+3}$$

III. Hallar el dominio y el rango de las funciones cuyas gráficas se muestran a continuación. Determinar la ecuación que corresponda con cada gráfica.

Gráfica # 1

Gráfica # 2

Parte III

I. El valor de cada lápiz en un establecimiento es de $1500.

a. ¿La situación planteada describe una función?
b. Escribe la expresión algebraica que representa la función
c. Hallar el dominio y el rango de la función y explicar si los valores hallados tienen sentido.

II. El cargo básico del agua es de $60 y por cada m³ utilizados se cobran $2.

a. Escribe la expresión algebraica que describe el costo que se debe pagar en función a los m³ utilizados.
b. Hallar el dominio y el rango de la función

III. A continuación, se presentan diferentes formas de representación de funciones presentadas en tabla de valores, gráfica, pares ordenados. Determinar si es inyectiva, sobreyectiva o biyectiva

$$ \left{ (0,1),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6)\right}$$

$$y=-x^{2}$$

Parte IV

I. Determinar cuáles de las siguientes funciones son inyectivas.

$$f(x)=3x-4$$
$$f(x)=x^{2}+2$$
$$f(x)=\frac{1}{x}$$

II. Problema. 

Una fábrica de gaseosas define su producción a partir de la función f (x) = 5x, donde x representa los litros de gaseosas y f (x) es la cantidad de unidades por litro.

a. ¿La función de producción es biyectiva?

III. El costo que establece una fábrica de zapatos está determinado mediante la función:

 $$f(x)=200x^{2}+150$$

donde x es la cantidad de zapatos fabricados y  f (x) es el costo en pesos de la producción.
a. Determinar si f (x) es una función inyectiva.
b. Determinar si la función es biyectiva.
c. Graficar la función.

IV. Problema.

La distancia recorrida por una moto viene dada por la función f (t) = 10 + 3t², donde t es el tiempo en segundos.
a. Determinar si la función es inyectiva
b. Determinar si es sobreyectiva

Parte V

I. Completa la siguiente tabla

II. Analiza  y elabora la gráfica, especificando dominio, rango, puntos de cortes y asíntotas

III. Analiza y elabora la gráfica, especificando dominio, rango, puntos de cortes

Parte VI

I. Para cada caso, determinar el dominio de todas las funciones

II. Dadas las funciones:  f ( x ) = 4x + 3  ∧   g ( x ) = 4x²

Graficar:

•   ( f  + g )( x )

•  ( f  . g )( x )

•  ( g  / f )( x )

• ( g  –  f )( x )

• ( f  –  g )( x )

• ( f  / g )( x )

¿Te has preguntado qué utilidad tienen las inecuaciones y desigualdades en nuestra vida diaria? Están presentes en situaciones cotidianas, como la clasificación de edad de una película: si la restricción es «Para mayores de 16 años,» esta se traduce en la desigualdad Edad ≥ 16. Pero, ¿sabes cómo resolver problemas más complejos que involucran la misma lógica de restricción? En este post, te mostraré de ese simple ejemplo hasta el dominio total de las inecuaciones lineales, racionales y con valor absoluto, enseñándote el método paso a paso para que puedas solucionar cualquier desigualdad matemática que se te presente.

Inecuaciones

Desigualdades

Las desigualdades son relaciones que permite comparar dos cantidades y determinar si una es mayor, menor, mayor o igual, o menor o igual que la otra.
A diferencia de una igualdad, donde las dos expresiones son equivalentes, en una desigualdad las expresiones no son necesariamente iguales, sino que establece una relación de orden entre ellas.

Sus símbolos son:

$$>\; \left ( mayor\;que \right )$$
$$\leq \left ( menor\;que \right )$$
$$\geq \left ( mayor\;o\;igual\;que \right )$$
$$\leq \left ( menor\;o\;igual\;que \right )$$

Ejemplo:

$$15+3>16$$

Las desigualdades se clasifican en:

• Desigualdades estrictas.
• Desigualdades no estrictas.

Principales propiedades de las desigualdades

Las propiedades de las desigualdades ayudan a trabajar con las inecuaciones e aquí algunas de ellas:

• Propiedad #1: Si ambas partes de una desigualdad se multiplican (o dividen) por una misma cantidad negativa, la desigualdad cambia de sentido. Ejemplo:

• Propiedad #2: Si ambas partes de una desigualdad se multiplican (o dividen) por una misma cantidad positiva, la desigualdad No cambia de sentido. Ejemplo:$$10>8$$

• Propiedad #3: Si ambas miembros de la desigualdad son positivos y se eleva a un exponente impar  positivo  No cambia el sentido de la desigualdad. Ejemplo:

$$-3<1$$
$$(-3)^{3}<(1)^{3}$$
$$-27<1$$

• Propiedad #4: Si ambos miembros de la desigualdad son de distintos signos y al elevarse a un exponente par  positivo, cambia el sentido de la desigualdad o también puede convertirse en una igualdad. Ejemplo:

$$-4<3$$
$$(-4)^{2}>(3)^{2}$$
$$16>9$$

Otro ejemplo:

$$4>-4$$
$$(4)^{2}=(-4)^{2}$$
$$16=16$$

• Propiedad #5: Si ambos lados de la desigualdad son del mismo signo, los inversos producen una desigualdad de sentido opuesto. Ejemplo:

$$9< 10$$
$$\frac{1}{9}> \frac{1}{10}$$

Soluciones de una inecuación

Los valores que satisfacen una ecuación es llamado soluciones, raíces o ceros. En una inecuación los valores de la variable que satisface a dicha relación es llamado soluciones.

Existe tres formas para expresar las soluciones de una inecuación y se da de forma:

• Analítica.
• Gráfica.
• Intervalos.

Analítica:$$x<2$$

Gráfica:

Intervalos:$$(k, \infty)\;;\;[k, \infty)\;;\;[k, l]$$

¿Cómo expresar las soluciones de las inecuaciones con desigualdades estrictas y no estrictas?

Las soluciones de una inecuación pueden expresarse mediante desigualdades estrictas ( < , > ), cuando el valor límite no se incluye en la solución, o mediante desigualdades no estrictas ( ≤ , ≥ ) cuando el valor límite sí forma parte de la solución.

Estas expresiones permiten indicar de forma precisa el conjunto de valores que cumplen la condición dada.

Desigualdades Estrictas

Cuando la solución analítica utiliza los signos menor que ( < ) o mayor que ( > ), el valor del extremo no está incluido.

En la solución gráfica se dibuja un círculo abierto (O) sobre el punto.

Para la solución de Intervalos se utilizan paréntesis (  ,  ) en los extremos.

Desigualdades No Estrictas

Cuando la solución analítica utiliza los signos menor o igual que (≤) o mayor o igual que (≥), el valor del extremo sí está incluido.

Para la gráfica se dibuja un círculo cerrado (o punto sólido) sobre el punto.

En el intervalo se utilizan corchetes [  ,  ] en los extremos incluidos.

Nota: El corchete y el paréntesis se combinan para intervalos mixtos, como [a, b), (a, b], o se usan solo corchetes para intervalos cerrados, [a, b].

Ejemplos de soluciones de inecuaciones según las desigualdades

Son cuatro situaciones que te ayudarán a comprender mejor la representación de las soluciones de las inecuaciones según los tipos de desigualdades (estrictas y no estrictas).

Situación#1

Analítica

$$x>k$$

La solución de la inecuación está formada por todos los números reales mayores que k.

Gráfica

Para representar gráficamente la solución que incluye todos los valores mayores que k ( x > k ), se utiliza un círculo abierto (O) sobre el punto k (para indicar que k no está incluido) y se extiende con una flecha o sombreado hacia la derecha.

Intervalo

$$( k , \infty )$$

Se utilizan paréntesis ( a, b ) en ambos extremos para definir un intervalo abierto, lo cual indica que los valores de los extremos no están incluidos en la solución.

Situación#2

Analítica

$$x<k$$

La solución de la inecuación está formada por todos los números reales menores que k.

Gráfica

Para representar en la gráfica los valores menores que k (o x < k), se dibuja un círculo abierto (O) sobre el punto k y se traza una flecha o sombreado dirigido hacia la izquierda.

Intervalos

$$( – \infty, k )$$

Se utilizan paréntesis ( a, b ) en ambos extremos para definir un intervalo abierto. Esto significa que la solución está formada por todos los números reales menores que k:

• El símbolo −∞  indica que el intervalo se extiende indefinidamente hacia la izquierda.
• El paréntesis en k muestra que el valor k no está incluido en la solución.

Situación#3

Analítica

$$x \geq k$$

La desigualdad x ≥ k  indica que el conjunto solución está formado por todos los números reales mayores o iguales a k.

Gráfica

Para representar la solución gráfica de x ≥ k, se dibuja un círculo cerrado (o punto sólido) sobre el valor k (para indicar que k está incluido) y se extiende el sombreado o una flecha hacia la derecha.

Intervalos

$$[k,  \infty )$$

Se expresa mediante:

• El corchete en k significa que el valor k está incluido.
• El paréntesis en ∞ indica que el intervalo se extiende indefinidamente y no incluye al infinito.

Situación#4

Analítica

$$x \leq k$$

La desigualdad x ≤ k indica que el conjunto solución está formado por todos los números reales menores o iguales a k.

Gráfica

Se dibuja un círculo cerrado (o punto sólido) sobre el valor k (ya que está incluido) y se traza un sombreado o flecha que se dirige hacia la izquierda.

Intervalos

$$( -\infty , k ]$$

Significado:

• El paréntesis en −∞ indica que el intervalo se extiende indefinidamente hacia la izquierda.
• El corchete en k significa que el valor k está incluido en la solución.

Intervalos

Un intervalo es un subconjunto del conjunto de los números reales (ℜ) que incluye todos los valores comprendidos entre dos extremos. Gráficamente, se representan sobre la recta numérica como un segmento o una semirrecta.

Existen dos tipos principales de intervalos:

Intervalos Acotados: Son aquellos que tienen dos extremos definidos por números reales y, por lo tanto, tienen un principio y un fin. Gráficamente, se representan como un segmento.

Intervalos No Acotados: Son aquellos que se extienden indefinidamente hacia el infinito positivo (+∞) o el infinito negativo (−∞). Gráficamente, se representan como una semirrecta o la recta real completa.

Notación y clasificación de intervalos en la recta real

La representación de un conjunto de números reales en la recta numérica se realiza a través de los intervalos.

Aquí aprenderás su notación (paréntesis o corchetes), su clasificación (acotados o no acotados) y su traducción gráfica, elementos esenciales para resolver cualquier tipo de inecuación.

Intervalos No Acotados

[ k , +∞ )

Intervalo infinito a la derecha.

( k , +∞ )

Intervalo infinito a la derecha sin incluir el extremo.

( -∞ , k ]

Intervalo infinito por la izquierda.

( -∞ , k )

Intervalo infinito por la izquierda sin incluir el extremo.

( -∞ , ∞ )

Intervalos infinitos por la izquierda y derecha.

Llamado también:

Para todo valor real ℜ.

Intervalos Acotados

( k , l )

Intervalo abierto.

[ k , l )

Intervalo semiabierto por la derecha.

( k, l ]

Intervalo semiabierto por la izquierda.

[ k , l ]

Intervalo cerrado

Inecuaciones lineales

Las inecuaciones lineales son el tipo más sencillo de desigualdades. Se caracterizan por tener un grado de exponente uno x¹ en sus variables y se resuelven de manera muy similar a las ecuaciones de primer grado, usando las operaciones básicas (suma, resta, multiplicación y división).

El objetivo es despejar la incógnita para encontrar el conjunto de valores que satisfacen la desigualdad, en lugar de un único punto de solución.

Ejemplo # 1: Determinar la inecuación lineal

$$4x-\frac{1}{3}\leq 3x+\frac{1}{6}$$

Solución

$$4x-\frac{1}{3}\leq 3x+\frac{1}{6}$$
$$4x-3x\leq \frac{1}{6}+\frac{1}{3}$$
$$x\leq \frac{1}{2}$$

$$\left ( -\infty ,\frac{1}{2} \right )$$

Ejemplo # 2: Calcular la inecuación lineal

$$\frac{9x-5}{4}+3< \frac{7x+1}{3}+1$$

Solución

$$\frac{9x-5}{4}+3< \frac{7x+1}{3}+1$$
$$\frac{9x-5}{4}-\frac{7x+1}{3}< -3+1$$
$$\frac{3(9x-5)-4(7x+1)}{12}< -2$$
$$27x-15-28x-4< -24$$
$$-x-19< -24$$
$$-x< -5$$
$$x> 5$$

$$\left ( 5,\infty \right )$$

Sistema de inecuaciones lineales

Un sistema de inecuaciones está formado por dos o más desigualdades que deben resolverse de manera simultánea. El objetivo es encontrar el valor o el conjunto de valores de «x» que satisfacen a cada una de las inecuaciones. Para hallar la solución final, se resuelve cada inecuación por separado y, posteriormente, se analiza la intersección de los intervalos obtenidos (generalmente mediante una gráfica). Esta intersección representa las soluciones comunes a todas las desigualdades del sistema.

Ejemplo # 1: Resolver el sistema de inecuación lineal

Solución

1° Inecuación

$$3x-6> 12$$
$$3x> 12+6$$
$$3x> 18$$
$$x> \frac{18}{3}$$
$$x> 6$$

Intervalo abierto: ( 6 , ∞ )

2° Inecuación

$$2x-7> 5$$
$$2x> 5-7$$
$$2x> -2$$
$$x> -\frac{2}{2}$$
$$x\leq -1 6$$

Intervalo infinito a la izquierda: ( -∞ , -1 ]

Solución común no existe, por lo tanto es:

S = Ø

Ejemplo # 2: Determinar el siguiente sistema de inecuación lineal

Solución

1° Inecuación

$$\frac{x-4}{5}-\frac{x-2}{2}\leq 5-\frac{x-3}{4}$$
$$\frac{x-4}{5}-\frac{x-2}{2}+\frac{x-3}{4}\leq 5$$
$$\frac{4(x-4)-10(x-2)+5(x-3)}{20}\leq 5$$
$$4x-16-10x+20+5x-15\leq 100$$
$$-x-11\leq 100$$
$$x\geq -111$$

Intervalo infinito a la derecha: [ -111 , ∞ )

2° Inecuación

$$\frac{2x-3}{7}+3x> 14-\frac{2x+3}{5}$$
$$\frac{2x-3}{7}+3x+\frac{2x+3}{5}> 14$$
$$\frac{5(2x-3)+35(3x)+7(2x+3)}{35}> 14$$
$$10x-30+105x+14x+21>490$$
$$129x-9>490$$
$$129x> 499$$
$$x> \frac{499}{129}$$
$$\frac{499}{129}\approx 3,86$$

Intervalo infinito a la derecha sin incluir el extremo: $$\left ( \frac{499}{129},\infty \right )$$

Si existe intersección es decir solución común:$$ S=\left ( \frac{499}{129},\infty \right )$$

Ejemplo # 3: Solucionar el sistema de inecuación lineal

Solución

1° Inecuación

$$\frac{3x-3}{2}-\frac{2-6x}{3}> x$$
$$\frac{3x-3}{2}-\frac{2-6x}{3}-x> 0$$
$$\frac{3(3x-3)-2(2-6x)-6x}{6}> 0$$
$$9x-9-4+12x-6x> 0$$
$$15x-13> 0$$
$$15x> 13$$
$$x> \frac{13}{15}$$
$$\frac{13}{15}\approx 0,87$$
$$x>0,87$$

Intervalo infinito a la derecha: ( 13/15 , ∞ )

2° Inecuación

$$\frac{x+1}{4}+\frac{x-4}{3}\leq \frac{x+5}{2}$$
$$\frac{x+1}{4}+\frac{x-4}{3}-\left ( \frac{x+5}{2} \right )\leq 0$$
$$\frac{3(x+1)+4(x-4)-6(x+5)}{12}\leq 0$$
$$3x+3+4x-16-6x-30\leq 0$$
$$x-43\leq 0$$
$$x\leq43 $$

Intervalo infinito a la izquierda: ( -∞ , 43 ]

3° Inecuación

$$\frac{2-2x}{3}-\frac{5x-15}{2}\geq 1$$
$$\frac{2(2-2x)-3(5x-15)}{6}\geq 1$$
$$4-4x-15x+45\geq 6$$
$$-19x+49\geq 6$$
$$-19x\geq 6-49$$
$$-19x\geq -43$$
$$19x\leq 43$$
$$x\leq \frac{43}{19}$$
$$\frac{43}{19}\approx 2,26$$
$$x\leq 2,26$$

Intervalo infinito a la izquierda: ( -∞ , 43/19 ]

Gráfica

Existe intersección: ( -∞ , 13/15 )

Inecuaciones con valor absoluto

Las inecuaciones con valor absoluto representan un caso especial de las desigualdades, ya que exigen que la distancia de una expresión a cero cumpla con ciertas restricciones. Resolver estas inecuaciones requiere transformar la expresión inicial en dos o más desigualdades simples, eliminando el valor absoluto y analizando tanto el caso positivo como el caso negativo, para finalmente encontrar el conjunto de valores que satisfacen la condición.

“ k ” es un número real, el valor absoluto de “ k ” es el valor positivo del mismo, se escribe | k |  y se lee: valor absoluto de “ k ”.

La distancia    y    poseen la misma distancia que es igual a k, por lo tanto el valor absoluto puede definirse como la distancia    = 

El valor absoluto de una cantidad es calculado como se muestra:

| k | = k     k > 0

| k | = –k     k < 0

Ejemplo:

Los valores que satisfacen la ecuación elemental  | x | = k   es

x = k     y    x = –k

Es lo mismo decir:  x = ± k

Mira el siguiente ejemplo: Resolver la siguiente ecuación  | x | = 10

El resultado es:   x = ± 10

La ecuación elemental | x | = k  también es aplicable a expresiones polinómicas, como por ejemplo la siguiente:

_{Forma de presentación de las inecuaciones con valor absoluto} 

Las inecuaciones con valor absoluto puede presentarse de dos formas.

• Forma # 1: Es cuando | Q_(x) | < k . Este tipo de forma su desigualdad es el signo <  o  ≤ , y representa un sistema. Por ser un sistema su solución pertenece a una intersección  de los conjuntos solución. Su expresión sería:

• Forma # 2: Es cuando . Este tipo de forma su desigualdad es el signo >  o  ≥ , y no representa un sistema es una agrupación. Por ser un agrupación su solución pertenece a una unión  de los conjuntos solución. Su expresión sería:

Ejemplo # 1: Resolver la inecuación con valor absoluto

$$|6 – x| < 13$$

Solución

Observa que pertenece a la forma # 1 y por lo tanto la solución será una intersección.

$$|6 – x| < 13$$
$$-6 – 13 < -x < 13 – 6$$
$$-19 < -x < 7$$
$$19 > x > -7$$

Gráfica

Intervalo

$$\left ( -7,19 \right )$$

Ejemplo # 2: Determinar la inecuación con valor absoluto

$$\left|\frac{6 – 4x}{5}\right| > 15$$

Solución

Pertenece a la forma # 2 y por lo tanto la solución será una unión.

$$\left|\frac{6 – 4x}{5}\right| > 15$$
$$-15 > \frac{6 – 4x}{5} > 15$$
$$-75 > 6 – 4x > 75$$
$$-6 – 75 > -4x > 75 – 6$$
$$-81 > -4x > 69$$
$$81 < 4x < -69$$
$$\frac{81}{4} < x < \frac{-69}{4}$$
$$\frac{81}{4} = 20,25$$
$$\frac{-69}{4} = -17,25$$
$$20,25 < x < -17,25$$

Intervalo

$$(-\infty, -\tfrac{69}{4}) \cup \left(\tfrac{81}{4}, \infty\right)$$

Gráfica

Inecuaciones racionales

Las inecuaciones raciones son desigualdades que poseen un polinomio en el numerador y otro en el denominador. La forma es la siguiente:$$\frac{P(x)}{Q(x)} > 0 \quad \land \quad \frac{P(x)}{Q(x)} < 0$$

Ambos polinomios son de exponentes enteros y positivos

La solución pertenece a una intersección  de los conjuntos solución o parte en común entre ellos.

Ejemplo # 1: Solucionar la inecuación racional

$$\frac{4}{3x – 8} > 0$$

Solución

Según la expresión, la fracción tiene que ser positiva el numerador también lo es, esto quiere decir que el denominador debe ser positivo para que la fracción lo sea.

$$3x – 8 > 0$$
$$3x > 8$$
$$x > \frac{8}{3}$$

Intervalo

$$\left(\tfrac{8}{3}, \infty\right)$$

Gráfica

Ejemplo # 2: Resolver la inecuación racional 

$$\frac{4x – 7}{x – 2} > 0$$

Solución

Según la expresión, la fracción debe ser positiva, por lo tanto es necesario que el numerador y el denominador tengan el mismo signo, observa:

Numerador y denominador > 0

$$4x – 7 > 0$$
$$4x > 7$$
$$x > \tfrac{7}{4}$$
$$x – 2 > 0$$
$$x > 2$$

Intervalo

$$(2, \infty)$$

Gráfica

Numerador y denominador < 0

$$4x – 7 < 0$$
$$4x < 7$$
$$x < \tfrac{7}{4}$$
$$x – 2 < 0$$
$$x < 2$$

Intervalo

$$(-\infty, \tfrac{7}{4})$$

Gráfica

Solución

$$(2, \infty) \cup (-\infty, \tfrac{7}{4})$$

Ejemplo # 3: Calcular la inecuación racional

Determine la solución de la siguiente inecuación.

$$\frac{5x – 3}{3x + 2} < 0$$

Solución

La fracción debe ser negativa; por lo tanto, es indispensable que el numerador y el denominador tengan signos diferentes. En otras palabras, uno debe ser positivo y el otro negativo. Observa el siguiente caso:

Numerador > 0 y Denominador < 0

$$5x – 3 > 0$$
$$5x > 3$$
$$x > \frac{3}{5}$$
$$3x + 2 < 0$$
$$3x < -2$$
$$x < \frac{-2}{3}$$

Intervalo

No existe parte común

S = Ø

Gráfica

Numerador < 0  y denominador > 0

$$5x – 3 < 0$$
$$5x < 3$$
$$x < \frac{3}{5}$$
$$3x + 2 > 0$$
$$3x > -2$$
$$x > \frac{-2}{3}$$

Intervalo

$$\left( -\tfrac{2}{3}, \tfrac{3}{5} \right)$$

Gráfica

Solución

$$\left( -\frac{2}{3}, \frac{3}{5} \right)$$

Actividades

Resolver:

$$x + 11 < 23$$

$$5x – 3 \leq 6$$

$$7x + 5 \geq 8$$

$$9x + 11 > -2$$

$$5x + 4 < 4x + 9$$

$$10x + 13 \geq 8x – 5$$

$$\frac{3x – 6}{9} \leq 5$$

$$\frac{x}{2} + \frac{1}{4} < -5$$

$$\frac{2x + 1}{5} + 4 > \frac{x – 7}{9} – 11$$

$$5x + \frac{1}{7} \geq \frac{4x – 15}{8}$$

$$2x – 9 < 9x + 8$$

$$(x – 3)^2 + 7 \leq (x + 1)^2 – 5$$

$$3(x – 4) + 9 – 2x \geq 4(3x – 1) + 6(x + 3)$$

$$(x – 2)^3 < x^3 – 2(3x + 1)(x – 5)$$

$$x – 6 \geq 22$$

$$\frac{x}{2} + \frac{x}{3} – \frac{x}{4} < 7$$

$$\frac{x+4}{3} – \frac{x-4}{5} \leq 2 + \frac{3x-1}{15}$$

$$\tfrac{1}{2} \left[ x – \left( 1 + \tfrac{25}{26} \right) \right] – \tfrac{2}{13}(1 – 3x) > x$$

$$(x+1)^2 > [6 – (1-x)]x – 2$$

$$\tfrac{1}{4}\left(x – \tfrac{1}{5}\right) + \tfrac{1}{2}\left(x – \tfrac{1}{3}\right) \geq \tfrac{1}{3}\left(x – \tfrac{1}{4}\right)$$

$$\tfrac{x}{2} + \tfrac{x}{3} – \tfrac{x}{4} < 7$$

$$\tfrac{x+4}{3} – \tfrac{x-4}{5} \leq 2 + \tfrac{3x-1}{15}$$

$$\tfrac{1}{2} \left[ x – \left( 1 + \tfrac{25}{26} \right) \right] – \tfrac{2}{13}(1 – 3x) > x$$

$$(x+1)^2 > [6 – (1-x)]x – 2$$

$$(5x – 2)^2 – (3x + 1)^2 \geq (4x + 5)^2$$

$$x + 5 > 3$$

Resuelva los siguientes sistemas de inecuaciones:

Resuelva:

Determinar: