Cálculo

Si buscas profundizar en la interpretación geométrica de la derivada, aquí tienes una explicación fácil, te encantará este contenido. Comencemos con el siguiente ejemplo: un chico sale todos los días por la mañana a manejar bicicleta y en su recorrido se encuentra una colina casi siempre fangosa llena de subidas y bajadas. En esta y en muchas otras situaciones de la vida diaria es donde es aplicable la derivada, debido a la presencia de variadas pendientes. Aplicar la derivada en un punto específico permite precisar qué subidas o bajadas son más empinadas que otras.

Origen histórico

El surgimiento de la súper idea fantástica de la derivada y su interpretación se debe a las investigaciones que realizó Isaac Newton y Gottfried Leibniz por allá en el siglo XVII. Ambos matemáticos desarrollaron de manera independiente el cálculo diferencial, sentando las bases de esta rama fundamental de las matemáticas.

Terminologías que facilita la comprensión geométrica de la derivada

El fin de la derivada es conocer que tan la inclinado está un segmento o una recta en un punto específico de la curva de una función.

Si un tramo la curva sube, es porque en un punto en ella la pendiente del segmento  es positiva, pero si en un intervalo la curva baja, la pendiente es negativa. A continuación, la terminología que facilita la interpretación geométricamente la derivada.

I. Línea secante: La palabra secante es proveniente del latín “secare”, su significado es “cortar”. Puede trazarse como un segmento o una recta, y es una línea secante siempre y cuando sea:

• Una línea cortando a una curva: Para este caso la línea secante corta en al menos dos puntos sobre una curva.
• Una línea corta a otra línea: Es llamada línea secante cuando corta a otra línea en un punto específico.

Observa la imagen donde la función es una parábola y su curva es de color negro:

II. Línea tangente: Es una línea que toca a una curva en un punto, este punto recibe el nombre de “punto tangencia” y la línea es llamada tangente. Esta línea al igual que la línea secante puede trazarse como un segmento o como una recta.

La imagen a continuación, muestra la misma función anterior, la recta tangente y el punto tangencia denominado con la letra “A”.

Transformación de recta secante a tangente

Para lograr la transformación de un tipo de recta a otra debes cumplir con los siguientes pasos:

I. Seleccionar un punto de la recta secante.

II. Mover ese punto hasta que llegue al otro.

III. Trazar la recta tangente debido al surgimiento del punto tangencia.

Observa la imagen, la función es la misma parábola con una recta secante, un punto “B” desplazándose hasta convertirse en un punto tangencia.

Explicación paso a paso

Cada paso te ayudará a comprender más a fondo la definición de la derivada, léelo con mucha atención y luego lo pones en práctica.

I. Graficar la función. En este caso se utiliza la función:

$$ f(x)=x^{2}$$

II. Trazar una recta secante que intercepte en dos puntos (A y B) a la curva de la función.

III. Coordenadas del punto A y B:

$$A\left ( x, f(x) \right )$$

$$B\left ( \left ( x+\Delta x \right ),f\left ( x+\Delta x \right ) \right )$$

IV. Fórmula de la pendiente:

$$m=\frac{\Delta y}{\Delta x}$$

$$m=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$$

V. Pendiente de la recta secante. Sustituir las coordenadas de ambos puntos en la fórmula de la pendiente:

Donde:

$$y_{2}=f(x+\Delta x)$$

$$y_{1}=f(x)$$

$$x_{2}=x+\Delta x$$

$$x_{1}=x$$

Reemplazando, en la fórmula pendiente de la secante queda así:

$$m=\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{x+\Delta x-x}$$

$$m=\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$$

VI. Transformación: Para este paso, verás cuatro imágenes donde puedes apreciar la evolución de la transformación de un tipo de recta a otra.

Observa en cada una de ellas como el punto B se acerca al punto A. La distancia tanto en ∆y como en ∆x muestra progresivamente una disminución. Finalmente, el punto se convierte en un punto tangencia y la distancia en ∆y y  ∆x tiende a cero.

VII. Definición de la derivada: Cuando la pendiente de la recta es tangente la expresión en ese punto es el límite que:

$$\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0}\frac{f\left ( x+\Delta x \right )-f\left ( x \right )}{\Delta x}$$

Por lo tanto:

La derivada de la función es igual a la evaluación del límite cuando Δx tiende a cero de la diferencia de f ( x + ∆x ) y f ( x ) dividido por ∆x .

Tutorial para que refuerces el contenido

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Actividades

I. Trabaja con el software GeoGebra y construye una curva con varias rectas tangentes.

a. Ingresa la función:

$$f(x)=x^{3}-3x^{2}+1$$

b. Selecciona el botón de herramienta “Punto” y ubícalo donde desees en la curva.

c. Selecciona el botón de herramienta “Tangentes”.

d. Selecciona el botón de herramienta “Pendiente”.

e. Tocar cada recta tangente.

Te invito a comparar y a emitir una conclusión en cada punto. No olvides comentar y compartir este contenido, de esta forma nos ayudas a seguir creciendo.

Javier Guzmán

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