Si estás buscando una explicación fácil de derivadas por definición has llegado al lugar correcto. Comencemos con el siguiente ejemplo de la vida diaria: David tiene una lancha, y un compañero de clase desarrolló una función matemática que describe la posición de su nave en función al tiempo.
La expresión conseguida es: f(t) = 4t 2 + 3t +1, donde “f” es la posición en unidades de metros y “t” es el tiempo en unidades de segundos. Esta función permite modelar con una alta precisión el movimiento de su máquina.
Posteriormente derivó la función con la finalidad de obtener la velocidad para cualquier instante de tiempo, obteniendo :
f´(t) = 8t + 3. Con esta invención David está feliz ya que puede conocer la velocidad de su lancha para cualquier instante de tiempo.
Definición
| La derivada f´( x ), es el límite de la razón del incremento de la función “ ∆y ” es al incremento de la variable independiente “ ∆x ”, cuando éste tiende a cero. |
$$
f'(x)=\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta _{y}}{\Delta {x}}
$$
$$
f'(x)=\displaystyle \lim_{ \Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}
$$
Aspectos fundamentales que deben ser considerados
Los aspectos fundamentales que debes tener presente es una serie de características que ayudan a la interpretación geométrica de la derivada, partiendo desde aquí vas a tener una idea más clara para el desarrollo de las derivadas por definición.
Primero te muestro una imagen con estas características y segundo te doy un breve resumen de cada una de ellas.
Resumen:
| I. | A(x, f(x)) es el punto amarillo |
| II. | B((x + ∆x), f (x + ∆x)) es el punto azul. |
| III. | B se desplaza hasta el punto A. |
| IV. | El incremento de la variable independiente tiende a cero ∆x → 0. |
| V. | El incremento de la función tiende a cero ∆y → 0. |
| VI. | El incremento de la función es la diferencia de ambos puntos (coordenadas “ y “). |
$$\Delta y=y_{2}-y_{1}=f(x+\Delta x)-f(x)$$
Pasos para derivar
Al derivar por definición es recomendable considerar cinco pasos, léelo con mucha atención para que lo apliques sin dificultad.
I. Escribir la fórmula de la derivada por definición.
$$
f'(x) = \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0}
\frac{f({\color{red}{x+\Delta x}}) – f(x)}{\Delta x}
$$
II. Identificar cada punto del incremento de la función, comenzando con el siguiente ejemplo:
$$f(x)=2x^{3}+x+3$$
Donde cada punto sustituido en la función queda así:
f\bigl(\color{red}{x+\Delta x}\bigr)
= 2\bigl(\color{red}{x+\Delta x}\bigr)^{3}
+ \bigl(\color{red}{x+\Delta x}\bigr) + 3
$$
$$f(x)=2x^{3}+x+3$$
III. Sustitución y operación en la fórmula de la derivada por definición.
$$f({\color{Red}{x+\Delta x}})$$
$$f(x)$$
Continuación del ejemplo.
f'(x) = \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0}
\frac{2(\color{red}{x+\Delta x})^{3} + (\color{red}{x+\Delta x}) + 3 – (2x^{3} + x + 3)}{\Delta x}
$$
IV. Evaluación del límite.
V. Valor de la derivada
$$f{‘}(x)=6x^{2}+1$$
Ejercicios resueltos aplicando derivadas por definición
Aquí tienes seis funciones, cada una de ellas son derivadas cumpliendo los cuatros visto anteriormente.
Ejemplo # 1: Derivar la función
$$f(x)=x^{2}$$
Paso #1. Fórmula.
$$
f'(x) = \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0}
\frac{f({\color{red}{x+\Delta x}}) – f(x)}{\Delta x}
$$
Paso #2. Identificar.
$$
f\bigl(\color{red}{x+\Delta x}\bigr)
= \bigl(\color{red}{x+\Delta x}\bigr)^{2}$$
$$f(x)=x^{2}$$
Paso #3. Sustitución y operación.
f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0}
\frac{({\color{red}{x+\Delta x}})^2 – x^2}{\Delta x}
= \frac{\not{x^2} + 2x\Delta x + (\Delta x)^2 – \not{x^2}}{\Delta x}
= \frac{2x\Delta x + (\Delta x)^2}{\Delta x}
= \frac{\not{\Delta x}(2x + \Delta x)}{\not{\Delta x}} = 2x + \Delta x
$$
Paso #4. Evaluación del límite.
f'(x)=\lim_{\Delta x \to 0}(2x+\Delta x)=2x+0=2x
$$
Paso #5. Valor de la derivada.
$$
\begin{aligned}
f'(x)&=
2x
\end{aligned}
$$
Ejemplo # 2: Derivar la siguiente función
$$
f(x)=3-6x
$$
Paso #1. Fórmula.
$$
f'(x) = \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0}
\frac{f({\color{red}{x+\Delta x}}) – f(x)}{\Delta x}
$$
Paso #2. Identificar.
$$
f\bigl(\color{red}{x+\Delta x}\bigr)
= 3-6\bigl(\color{red}{x+\Delta x}\bigr)$$
$$
f(x)=3-6x
$$
Paso #3. Sustitución y operación.
f'(x)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{3-6{\color{red}{(x+\Delta x)}}-(3-6x)}{\Delta x}
=\frac{\not{3}-6x-6\Delta x-\not{3}+6x}{\Delta x}
=\frac{-6\not\Delta x}{\not{\Delta x}}=-6
$$
Paso #4. Evaluación del límite.
$$
f'(x)=\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0}-6=-6
$$
Paso #5. Valor de la derivada.
$$
f'(x)=-6
$$
III. Ejemplo # 3: Encontrar la derivada de la función
$$
f(x)=4-6x^{2}
$$
Paso #1. Fórmula.
$$
f'(x) = \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0}
\frac{f({\color{red}{x+\Delta x}}) – f(x)}{\Delta x}
$$
Paso #2. Identificar.
$$
f({\color{red}{x+\Delta x}}) = 4 – 6({\color{red}{x+\Delta x}})^2
$$
$$
f(x)=4-6x^{2}
$$
Paso #3. Sustitución y operación.
f'(x)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{4-6{\color{red}{(x+\Delta x)}}^{2}-(4-6x^{2})}{\Delta x}
=\frac{4-6(x^{2}+2x\Delta x+(\Delta x)^{2})-(4-6x^{2})}{\Delta x}
=\frac{\not{4}-\not6x^{2}-12x\Delta x-6(\Delta x)^{2}-\not{4}+\not6x^{2}}{\Delta x}
=\frac{-12x\Delta x-6(\Delta x)^{2}}{\not{\Delta x}}
=\frac{-6\not{\Delta x}(2x+\Delta x)}{\not{\Delta x}}
=-6(2x+\Delta x)=-12x-6\Delta x
$$
Paso #4. Evaluación del límite.
f'(x) = \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \bigl(-12x – 6\Delta x\bigr) = -12x – 6\cdot 0 = -12x
$$
Paso #5. Valor de la derivada.
$$
f'(x)=-12x
$$
IV. Ejemplo # 4: Calcule la derivada por definición de la siguiente función
$$
f(x) = \frac{3x+1}{2}
$$
Paso #1. Fórmula.
$$
f'(x) = \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0}
\frac{f({\color{red}{x+\Delta x}}) – f(x)}{\Delta x}
$$
Paso #2. Identificar.
$$
f(\color{red}{x+\Delta x}) = \frac{3(\color{red}{x+\Delta x})+1}{2}
$$
$$
f(x) = \frac{3x+1}{2}
$$
Paso #3. Sustitución y operación.
f'(x)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\frac{3(\color{red}{x+\Delta x})+1}{2}-\frac{3x+1}{2}}{\Delta x}
=\frac{\frac{3x+3\Delta x+1-\not{3x}-\not{1}}{2}}{\Delta x}
=\frac{\frac{3\Delta x}{2}}{\Delta x}
=\frac{3\not{\Delta x}}{2\not{\Delta x}}=\frac{3}{2}
$$
Paso #4. Evaluación del límite.
$$
f'(x)=\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0}\frac{3}{2}=\frac{3}{2}
$$
Paso #5. Valor de la derivada.
$$
f'(x)=\frac{3}{2}
$$
V. Ejemplo # 5: Calcular la derivada de la función
$$
f(x) = x^{3}+1
$$
Paso #1. Fórmula.
$$
f'(x) = \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0}
\frac{f({\color{red}{x+\Delta x}}) – f(x)}{\Delta x}
$$
Paso #2. Identificar.
$$
f({\color{red}{x+\Delta x}}) = ({\color{red}{x+\Delta x}})^3+1
$$
$$
f(x) = x^{3}+1
$$
Paso #3. Sustitución y operación.
f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{({\color{red}{x+\Delta x}})^3 + 1 – (x^3 + 1)}{\Delta x}
= \frac{x^3 + 3x^2\Delta x + 3x(\Delta x)^2 + (\Delta x)^3 + 1 – x^3 – 1}{\Delta x}
= \frac{\not x^3 + 3x^2\Delta x + 3x(\Delta x)^2 + (\Delta x)^3 + \not 1 – \not x^3 – \not 1}{\Delta x}
$$
f'(x) = \frac{3x^2\Delta x + 3x(\Delta x)^2 + (\Delta x)^3}{\Delta x}
= \frac{\not\Delta x(3x^2 + 3x\Delta x + (\Delta x)^2)}{\not\Delta x}
$$
Paso #4. Evaluación del límite.
f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} (3x^2 + 3x\Delta x + (\Delta x)^2) = 3x^2 + 0 + 0 = 3x^2
$$
Paso #5. Valor de la derivada.
$$
f'(x) = 3x^2
$$
VI. Ejemplo # 6: Derivar por definición
$$
f(x) = \frac{x^{4}}{2}
$$
Paso #1. Fórmula.
$$
f'(x) = \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0}
\frac{f({\color{red}{x+\Delta x}}) – f(x)}{\Delta x}
$$
Paso #2. Identificar.
$$
f(\color{red}{x+\Delta x}) = \frac{(\color{red}{x+\Delta x})^{4}}{2}
$$
$$
f(x) = \frac{x^{4}}{2}
$$
Paso #3. Sustitución y operación.
f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\frac{({\color{red}{x+\Delta x}})^4}{2} – \frac{x^4}{2}}{\Delta x}
= \frac{\frac{({\color{red}{x+\Delta x}})^4 – x^4}{2}}{\Delta x}
$$
Se resuelve el binomio de cuarto grado (Puedes aplicar el Método del triángulo de Pascal)
f'(x) = \frac{\not x^4 + 4x^3\Delta x + 6x^2(\Delta x)^2 + 4x(\Delta x)^3 + (\Delta x)^4 – \not x^4}{2\Delta x}
$$
Sacar factor común de Δx
f'(x) = \frac{\not\Delta x(4x^3 + 6x^2\Delta x + 4x(\Delta x)^2 + (\Delta x)^3)}{2\not\Delta x}
$$
f'(x) = \frac{4x^3 + 6x^2\Delta x + 4x(\Delta x)^2 + (\Delta x)^3}{2}
$$
Paso #4. Evaluación del límite.
f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0}
\frac{4x^3 + 6x^2\Delta x + 4x\Delta x^2 + \Delta x^3}{2}
= \frac{4x^3 + 6x^2 \cdot 0 + 4x \cdot 0^2 + 0^3}{2}
= 2x^3
$$
Paso #5. Valor de la derivada.
$$
f'(x) = 2x^3
$$
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Actividades
Determine las derivadas de cada función utilizando la definición formal de la derivada.
| I. | $$ f(x) = x^{5} $$ |
| II. | $$ f(x) = 3x+5 $$ |
| III. | $$ f(x) = \sqrt{x} $$ |
| IV. | $$ f(x) = \frac{1}{x} $$ |
| V. | $$ f(x) = x^{3}-4x $$ |
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