¿Sabías que la suma y resta de monomios están presentes en problemas reales de ingeniería, economía e incluso tecnología?
Aprender a sumar y restar monomios no solo te ayudará a simplificar expresiones algebraicas, sino también a desarrollar el razonamiento lógico que usan los profesionales para modelar y resolver situaciones cotidianas.
Para dominar este tema, primero debes reconocer los monomios semejantes —aquellos que tienen las mismas variables y exponentes— y luego aplicar correctamente las propiedades de la potenciación.
Prepárate para descubrir lo fácil que puede ser manejar el álgebra cuando entiendes su lógica paso a paso.
Suma y resta de monomios
Los monomios deben ser semejantes para poder sumarlos o restarlos, escribiendo siempre la misma parte literal. Todo este procedimiento es llamado reducción de términos semejantes.
Ejemplo
Determinar el perímetro del siguiente romboide.
Para calcular el perímetro (P) de este cuadrilátero debes sumar todas las medidas de sus lados. Según la propiedad del romboide, sus lados opuestos son congruentes, es decir, poseen las mismas dimensiones.
P = 15x2y3 + 27x2y3 + 15x2y3 + 27x2y3
Se aplica factor común:
P = (15 + 27 + 15 + 27)x2y3
Finalmente se suma todos los términos
P = 84x2y3
El perímetro del romboide es 84x2y3 unidades.
Ejemplo
Determinar el área de la región coloreada, sabiendo que el área del trapecio rectangular es AT = 10,5 d4e6 y el área del círculo AC = 3,14 d4e6.
La figura está compuesta por un trapecio rectangular y un círculo, para hallar el área coloreada se requiere restar los sectores de ambas figuras.
AS = AT– AC
Se sustituye los valores del área del trapecio rectangular y el área del círculo.
AS = 10,5 d4e6– 3,14 d4e6
Se aplica factor común:
AS = (10,5 – 3,14)d4e6
Se resta para obtener el área coloreada.
AS = 7,36 d4e6
El área coloreada es de 7,36 d4e6unidades cuadradas.
Ejemplo#3
Calcula la suma y la resta de los siguientes monomios y
Al sumar:
Al restar:
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Calcula el área total de cada imagen teniendo en consideración el valor de las distintas zonas.
Haz uso de una expresión algebraica para que representes el perímetro de la figura.
Determina el área de la parte coloreada
Parte III
Diga qué opciones son verdaderas o falsas, en caso de ser incorrecta, justifica.
Para sumar se requiere que los monomios sean semejantes, en la resta no es necesario que se cumpla esa condición.
La reducción de términos semejantes significa sumar o restar los coeficientes de cada monomio, y también los exponentes de cada parte literal.
Al sumar o restar monomios no semejantes se deja indicada la operación.
Problemas:
El perímetro de un triángulo escaleno es 18.18ab, uno de sus lados mide 8.06ab y el otro 6ab. Determina la longitud del tercero.
El área total de la siguiente imagen es de 27m2y2. Calcula la región desconocida y selecciona la opción correcta.
Opciones:
AT = 27m2y2 + 18m2y2 – 3m2y2
AT = 27m2y2 – 18m2y2 + 3m2y2
AT = 27m2y2 + (18m2y2 + 3m2y2)
AT = 27m2y2 – (18m2y2 + 3m2y2)
Ahora que conoces un poco más acerca de la suma y resta de monomios es hora de poner en práctica lo aprendido. No olvides calificar, comentar y compartir esta información que será de gran ayuda para otros. Te invitamos a ver el artículo introducción a los polinomios. 😉
¿No entiendes bien los polinomios? Si es así, quédate en este sitio, aquí verás una introducción completa acerca de este tema, desde función polinómica hasta orden de polinomios. Imagina que vas de compra a un supermercado, seguramente ni pensarás que harás uso de ellos, pero sigue leyendo, verás que tiene mucha relación.
Por ejemplo, si vas a comprar 2 manzanas más 3 fresas, y desconoces el valor de cada manzana y de cada fresa, allí precisamente se forma un polinomio, ¿y cómo? como no conoces el valor de la manzana le asignas la letra “x” y a la fresa la letra “y”. Observa como queda la expresión en la siguiente imagen:
Función polinómica
La palabrafunción expresa la dependencia de una variable con respecto a la otra, por consiguiente, al tener el valor de la variable independiente puedes calcular el valor de la otra variable.
Por ejemplo, si conoces los valores de los lados de un rectángulo, entonces puedes determinar su perímetro, ya que el valor del perímetro está en función a sus lados.
Observa: a=4 cm y b=8 cm. Calcule el perímetro.
La función polinómica se escribe de la forma:
Donde:
Coeficientes:
Términos:
Exponentes de las variables (N):
¿Cómo se representa una función polinómica?
Una función polinómica siempre se representa con una letra mayúscula acompañado de la variable independiente “x”.
Ejemplo: Represente las siguientes expresiones algebraicas en funciones polinómicas.
En este caso se utilizaran las letras mayúsculas O y P para crear las funciones polinómicas, quedando de la siguiente forma:
Lo anterior eran funciones polinómicas, pero quiero que veas que las siguientes, no son funciones polinómicas.
La razón es que existe variables (x, y) con exponentes negativos.
Valor numérico de una función polinómica
Para determinarlo, debes tener el valor la variable independiente “x”, luego sustituye ese valor en la función polinómica y finalmente efectúa las operaciones para obtener el valor numérico de la función polinómica.
Ejemplo. Calcula los valores numéricos de las siguientes funciones polinómicas dadas para los valores que se indican.
Solución:
Explicación con video
¿Qué son los polinomios?
Es una expresión algebraica conformada por términos de la forma:
anxn + an-1xn-1 + … + a2x2 + a1x + a0 y an≠0
¿Elementos de un polinomio?
Los polinomios están formados por una combinación de términos llamados monomios, unidos mediante signos de suma o resta. Cada término tiene tres elementos fundamentales: el coeficiente, que indica la cantidad numérica; la parte literal, compuesta por una o varias letras (variables); y el grado, que señala la potencia más alta de la variable. A continuación, te menciono con detalles cada uno de ellos:
1.Coeficiente numérico.
2.Coeficiente literal.
3.Términos del polinomio.
4.Término independiente.
5.Grado del polinomio
Polinomio:
anxn + an-1xn-1 + … + a2x2 + a1x + a0 y an≠0
Coeficiente numérico: an, an-1, … , a2, a1, a0 estos números pertenecen al conjunto de los números racionales.
Coeficiente literal: x
Términos del polinomio: anxn , an-1xn-1 , … , a2x2 , a1x y a0
Término independiente: El término a0 es llamado término independiente ya que multiplica a x0que es igual a 1.
Grado del polinomio: Es el mayor exponente del coeficiente literal. “n” es un número entero.
Grado de un polinomio
Existen dos grados que se considera en un polinomio y se le denominan grado relativo y grado absoluto.
Grado relativo
El grado relativo va dirigida específicamente a una variable, el grado es el mayor exponente que tiene esa variable.
Ejemplo, observa la siguiente expresión:
Es un trinomio porque posee tres términos o tres monomios.
El grado relativo respecto a la variable x es 5.
El grado relativo respecto a la variable y es 8.
El grado relativo respecto a la variable zes 4.
Grado absoluto
El grado absoluto de un polinomio es el exponente más grande que posee un término, si existen varias variables se suman todos sus exponentes y si posee sólo una se considera el término que posea el exponente mayor.
Ejemplo, observa la siguiente expresión:
Es un polinomio porque posee más de tres términos.
El grado absoluto es 5, ya que el primer término es el mayor de todos
Es un polinomio ya que posee más de tres términos.
El grado absoluto es 12, ya que el cuarto término al sumar todos sus exponentes es mayor a todos los otros términos.
Ejemplo. Clasifique los siguientes polinomios según el número de términos. Determina el grado absoluto y relativo respecto a cada variable.
a.
b.
c.
d.
Solución
Cantidad de términos
Clasificación
Grados relativos
Grado absoluto
a
2
Binomio
Para x = 5
Para y = 2
7
b
3
Trinomio
Para a = 3
Para b = 3
4
c
3
Trinomio
Para a = 3
Para b = 1
4
d
5
Polinomio
Para a = 4
Para b = 3
Para c = 2
Para d = 1
4
Ejemplo. Identifique los elementos del siguiente polinomio.
Coeficientes numéricos 4, -3, 2, -1 y 6
Coeficiente literal: x
Términos del polinomio: Posee cinco términos: 4x4; -3x3; 2x2; –x; 6
Término independiente: 6
Grado del polinomio: 4
Explicación con video
Términos semejantes de un polinomio
Dos o más términos de un polinomio son semejantes si tienen los mismos coeficientes literales y el mismo grado.
Ejemplo los siguientes términos son semejantes:
Los términos semejantes se pueden sumar o restar modificándose los coeficientes numéricos quedando intacto el coeficiente literal y su grado. Los términos que no son semejantes no se pueden operar quedan iguales. Ejemplo:
Clasificación de los polinomios según la cantidad de términos
Los polinomios se clasifican de acuerdo con la cantidad de términos que los componen. Cuando tienen un solo término se denominan monomios, si tienen dos se llaman binomios, y si poseen tres se conocen como trinomios. En caso de tener más de tres términos, se les llama simplemente polinomios. A continuación, podrás observar esta clasificación representada de forma visual en la siguiente imagen:
Monomio
Es un polinomio de un sólo termino. Por ejemplo:
Binomio
Es un polinomio formado por dos términos. Ejemplo:
Trinomio
Es un polinomio formado por tres términos. Ejemplo:
Polinomio nulo
Llamado también polinomio cero y se da cuando su coeficiente es igual a cero. Ejemplo:
Polinomio constante
Es aquél polinomio que posee sólo un término constante. Ejemplo:
Polinomio de identidad
Es un polinomio donde cada valor de la variable “x” se obtiene la misma cantidad. Ejemplo:
Clasificación de los polinomios según sus grados
Según el grado del polinomio se puede clasificar como:
Primer grado.
Segundo grado.
Tercer grado y así sucesivamente.
La escritura de estos polinomios es de la siguiente forma:
Primer grado
P(x)=ax + b, donde a y b son constante.
Segundo grado
Se escribe: Q(x)=ax2+ bx + c
Tercer grado
R(s)=ax3+ bx2+ cx+d
Polinomios completos e incompletos
Un polinomio P(x)=anxn + an-1xn-1 + … + a2x2 + a1x + a0 es completo si todos sus bases o coeficientes son distintos a cero.
Es incompleto cuando unos de los coeficientes es igual a cero, en este caso una de las potencias no está en la expresión.
Completar polinomios
Un polinomio incompleto es cuando falta un término del polinomio, para identificarlo debes observar primero el grado del polinomio, luego contar regresivamente hasta llegar al término independiente que es un número que visiblemente no posee variable y si la posee su exponente es igual a cero.
Luego se vuelve escribir los términos que se tiene y el término que no se encuentre se completa con cero (0) con su variable y su exponente respectivo, este cero es el coeficiente de ese término.
Ejemplo # 1: Completa el siguiente polinomio.
El grado del polinomio es 4, contando regresivamente se observa que faltaría dos términos, el término de exponente 3 y el de exponente 2. A estos términos se completan con cero (0). Observa como queda el polinomio:
Ejemplo # 2: Indique el polinomio incompleto y complete.
El polinomio incompleto es P(x), entonces queda así:
Orden de los polinomios
Los términos de un polinomios pueden ser ordenados de forma:
Decreciente o
Creciente.
En la forma decreciente se escribe primero el término de mayor grado, luego se escriben los demás términos de mayor a menor.
Ejemplo. Ordene el siguiente polinomio de forma decreciente:
⇒ Queda:
En la forma creciente se escribe primero el término independiente, luego se escriben los demás términos de menor a mayor hasta el término de mayor grado.
Ejemplo. Ordene el siguiente polinomio de forma creciente:
⇒ Queda:
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Identifica si los siguientes planteamientos son verdaderos o falsos.
El grado absoluto de un polinomio es la sumatoria de todos los exponentes seleccionando el término con mayor exponente.
Entre los términos de un binomio no existe signo de suma o de resta.
El grado relativo de un polinomio respecto a una variable es la sumatoria de dicha variable.
Un trinomio está formado por tres términos.
Identifica el grado del polinomio y los grados relativos de las variables a y b.
Crea un polinomio con las siguientes condiciones.
Binomio con dos variables y grado absoluto 10.
Trinomio con tres variables y grado absoluto 6.
Identifica cuáles de las siguientes funciones son polinómicas.
Calcula los valores numéricos de las funciones polinómicas dadas para los valores que se indican.
Identifica en cada uno de los polinomios dados, la cantidad de términos, términos del polinomio, coeficientes numéricos, coeficiente literal, término independiente y grado del polinomio.
Observa cada polinomio y si existe términos semejantes reduzca a un solo término.
Clasifica los siguientes polinomios según el número de términos
Reduzca aplicando términos semejantes, complete y ordene de forma decreciente los siguientes polinomios.
Ahora que ya conoces un poco más acerca de la introducción a los polinomios refuerza el tema resolviendo las actividades propuestas. Además, si te gustó este contenido no olvides compartir, seguramente será muy útil a tus compañeros de clases. Déjanos tu comentario y si necesitas algún contenido en especial háznoslo saber, estamos para ayudarte.
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