¿Cómo se representan matemáticamente las ondas del sonido o el vaivén de un péndulo? Con las funciones trigonométricas. En este post aprenderás el seno, el coseno y la tangente: cómo graficarlas paso a paso, cuál es su dominio, su rango y su periodo, y cómo se comportan. Explora el simulador y refuerza lo aprendido con las actividades del final.
Funciones trigonométricas
Las funciones trigonométricas son parte de las funciones trascendentes y son basadas en la circunferencia unitaria o trigonométrica.
Cuando la circunferencia trigonométrica se relaciona con las funciones trigonométricas (seno, coseno y tangente), el radio de la circunferencia actúa como la hipotenusa de un triángulo rectángulo, y las líneas trigonométricas son los catetos de ese triángulo.
Para el seno es la línea vertical que representa el cateto opuesto del triángulo, su valor corresponde a la coordenada “y” del punto en la circunferencia.
Para el coseno es la línea horizontal representante del cateto adyacente, su valor es la coordenada “x”.
La tangente se representa como una línea vertical que es tangente a la circunferencia en el punto (1,0).
La circunferencia trigonométrica es la herramienta idónea para comprender cómo se construyen las gráficas de las funciones trigonométricas.
Si necesitas repasar cómo determinar el rango de una función
Función seno
La función seno es de la forma f(x) = sen x y es una función real de variable real. Esto se debe a que toma cada ángulo expresado en radianes (números reales) y se le asigna un único número real como resultado.
Gráfica de la función seno
En la circunferencia trigonométrica, el valor del seno de un ángulo corresponde a la coordenada “y”, es decir, a la línea vertical (altura o cateto opuesto).
Para graficarla, sigue este procedimiento:
Primero. Dibuja una circunferencia y marca cada amplitud obtenida al girar el radio (0, π/6, π/3, π/2, 2π/3, 5π/6, π, 7π/6, 4π/3, 3π/2, 5π/3, 11π/6, 2π) con puntos.
Segundo. Dibujar el plano cartesiano a la derecha de la circunferencia y gradúa en el eje «x» en radianes.
Tercero. Cada ángulo determina un valor de “y”, es decir, un segmento vertical (altura) que es la línea trigonométrica del seno. Al girar el radio por los cuatro cuadrantes se obtienen 10 líneas trigonométricas, representadas con los colores rojo, azul oscuro, amarillo, verde y azul claro.
Cuarto. Traslada cada altura al plano cartesiano: desde cada punto de la circunferencia traza una línea punteada horizontal hasta el mismo ángulo en el eje “x” y dibuja allí el segmento vertical con esa altura. Por ejemplo, la línea parte del punto π/6 de la circunferencia unitaria (a la izquierda) y llega a π/6 en el eje “x” del plano cartesiano (a la derecha). Repite el proceso con los demás ángulos.
Observa:
Haciéndole un acercamiento a la función:
Características de la función seno
Las características de la función seno son las siguientes:
Para profundizar en el dominio, el rango y el período, consulta: Características de las funciones trigonométricas
Dominio: R.
Rango: [-1, 1].
Periodo: 2π.
Continuidad: Continua ∀ x ∈ R (para todo “x” que pertenece a los reales).
Creciente: …∪ (-π/2, π/2), ∪ (3π/2, 5π/2) ∪ …
Decreciente: …∪ (π/2, 3π/2), ∪ (5π/2, 7π/2) ∪ …
Máximos: (π/2 + 2π.k, 1 ) k ∈ Z.
Mínimos: (3π/2 + 2π.k, -1 ) k ∈ Z.
Impar: sen(-x) = -sen x.
Intersección con el eje x : x = { 0 + π.k}.
Intersección con el eje y : ( 0, 0 )
Función coseno
La función coseno se escribe f(x) = cos x y es una función real de variable real: a cada ángulo x, expresado en radianes (un número real), le asigna un único número real como resultado.
Gráfica de la función coseno
En la circunferencia trigonométrica, el valor del coseno de un ángulo corresponde a la coordenada “x”, es decir, a la línea horizontal (cateto adyacente).
Para graficarla, sigue este procedimiento:
Primero. Dibuja una circunferencia y marca con puntos los ángulos que se obtienen al girar el radio: 0, π/6, π/3, π/2, 2π/3, 5π/6, π, 7π/6, 4π/3, 3π/2, 5π/3, 11π/6 y 2π.
Segundo. Dibuja el plano cartesiano a la derecha de la circunferencia y gradúa el eje “x” en radianes.
Tercero. Cada ángulo determina un valor de “x”, es decir, un segmento horizontal (cateto adyacente) que es la línea trigonométrica del coseno. Al girar el radio por los cuatro cuadrantes, el segmento queda a la derecha del centro (positivo) en los cuadrantes I y IV, y a la izquierda (negativo) en los cuadrantes II y III.
Cuarto. Traslada cada segmento al plano cartesiano: copia su longitud y dibújalo verticalmente sobre el mismo ángulo del eje “x”, hacia arriba si el coseno es positivo y hacia abajo si es negativo. Por ejemplo, en 0 el segmento mide 1 (el radio) y se dibuja hacia arriba; en π/3 mide 1/2 y también va hacia arriba; en 2π/3 mide 1/2 pero va hacia abajo; y en π/2 el segmento es cero. Repite el proceso con los demás ángulos.
Observa la gráfica:
Función coseno
Características de la función coseno
La función coseno es muy utilizada para modelar fenómenos cíclicos ya que es una función periódica, como ondas de sonido, movimiento de péndulo y oscilaciones. A continuación sus características:
Dominio: R.
Rango: [-1, 1].
Periodo: 2π.
Continuidad: Continua ∀ x ∈ R (para todo “x” que pertenece a los reales).
Creciente: …∪ (-π, 0), ∪ (π, 2π) ∪ …
Decreciente: …∪ (0, π), ∪ (2π, 3π) ∪ …
Máximos: (2π.k, 1 ) k ∈ Z.
Mínimos: (k.(2k + 1 ), -1 k ∈ Z.
Par: cos(-x) = cos x.
Intersección con el eje x : x = { π/2 + k}.
Intersección con el eje y : ( 0, 1 )
Función tangente
La función tangente se escribe f(x) = tan x y es una función real de variable real definida como el cociente entre el seno y el coseno: tan x = sen x / cos x. Como el denominador no puede ser cero, no está definida cuando cos x = 0, es decir, en x = π/2 + kπ, con k ∈ Z.
Recuerda ¿cómo se determina el dominio de una función?
Gráfica de la función tangente
En la circunferencia trigonométrica, el valor de la tangente de un ángulo corresponde a la altura del punto donde el radio, prolongado, corta la recta tangente a la circunferencia en el punto (1, 0).
Para graficarla, sigue este procedimiento:
Primero. Dibuja una circunferencia, marca con puntos los ángulos que se obtienen al girar el radio (0, π/6, π/3, π/2, 2π/3, 5π/6, π, 7π/6, 4π/3, 3π/2, 5π/3, 11π/6 y 2π) y traza la recta vertical tangente a la circunferencia en el punto (1, 0).
Segundo. Dibuja el plano cartesiano a la derecha de la circunferencia, gradúa el eje “x” en radianes y traza líneas punteadas verticales en π/2 y 3π/2. Son las asíntotas de la función.
Tercero. Para cada ángulo, prolonga el radio hasta que corte la recta tangente y marca ese punto. Su altura, positiva si queda por encima del eje horizontal y negativa si queda por debajo, es la línea trigonométrica de la tangente. En los cuadrantes II y III hay que prolongar el radio hacia el lado contrario, pasando por el centro, hasta alcanzar la recta tangente. En π/2 y 3π/2 el radio es paralelo a la recta tangente y nunca la corta, por eso la tangente no está definida.
Cuarto. Traslada cada altura al plano cartesiano: dibújala sobre el mismo ángulo del eje “x”, hacia arriba si es positiva y hacia abajo si es negativa. Por ejemplo, en π/6 la altura es aproximadamente 0,58; en π/3 es aproximadamente 1,73; en 2π/3 es aproximadamente −1,73, así que se dibuja hacia abajo; y en 0, π y 2π la altura es cero. Repite el proceso con los demás ángulos.
Quinto. Une los puntos con una curva suave en cada tramo entre asíntotas. La curva se acerca a las rectas punteadas, pero nunca las toca.
Gráfica de la tangente:
Acercamiento de la función tangente:
Características de la función tangente
Las características de la función tangente son las siguientes:
Dominio: R-{(2k + 1). π/2, k ∈ Z} = R-{ …, -π/2, π/2, 3π/2, … }.
Rango: R.
Periodo: π rad.
Continuidad: Continua ∀ x ∈ R – { (π/2 + π.k) }.
Creciente: R – { …, -9π/2, -π/2, π/2, 9π/2,…}.
Decreciente: …∪ (0, π), ∪ (2π, 3π) ∪ …
Máximos: No posee.
Mínimos: No posee.
Impar: tan(-x) = -tan x.
Intersección con el eje x : x = { 0 + πk} k ∈ Z.
Intersección con el eje y : ( 0, 0 ).
El periodo se relaciona con los Ángulos coterminales
Simulador de las funciones trigonométricas
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1. ¿Cuál es el periodo de las funciones seno y coseno?
2. ¿Cuál es el rango de y = sen x?
3. ¿Cuál de estas funciones es par?
4. ¿En qué punto corta el eje y la función coseno?
5. ¿Qué ocurre con la tangente en x = π/2?
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Ahora que conoces las funciones trigonométricas, da el siguiente paso y aprende sobre la amplitud, el periodo y el desfase, los ángulos coterminales y las funciones trigonométricas inversas. Descubre cómo se transforman sus gráficas y practica con ejemplos y ejercicios resueltos paso a paso, como los problemas de ángulos de elevación y depresión. ¡Continúa fortaleciendo tus habilidades!
Actividades de funciones trigonométricas
I.Representa gráficamente la función y = sen x en el intervalo [-π, π]. Construye la tabla de valores
II.Representa gráficamente las siguientes funciones:
$$f(x)=sen3x$$
$$f(x)=-senx$$
$$f(x)=sen4x$$
$$f(x)=sen(x-2)$$
III.Graficar la función y = cos x en el intervalo [-2π, 2π]. Construye la tabla de valores
Para graficar funciones transformadas, estudia la Amplitud, periodo y desfase
IV.Representar gráficamente las siguientes funciones:
$$f(x)=cos(x)+1$$
$$f(x)=cos\left ( x-\frac{\pi }{4} \right )$$
$$f(x)=cos(x-2)$$
$$f(x)=cos\left ( x+\frac{\pi }{3} \right )$$
V.Representar gráficamente las siguientes funciones:
$$f(x)=-cosx$$
$$f(x)=cos6x$$
$$f(x)=cos2x$$
VI.Mencionar 3 intervalos decreciente de la función coseno.
VII.Mencionar 2 intervalos crecientes de la función tangente.
Respuestas
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I. y = sen x en [−π, π]: x = −π, −3π/4, −π/2, −π/4, 0, π/4, π/2, 3π/4, π → y = 0, −0,71, −1, −0,71, 0, 0,71, 1, 0,71, 0. La curva pasa por el origen, sube hasta 1 en π/2 y baja hasta −1 en −π/2.
II.
- sen 3x: amplitud 1, periodo 2π/3 (la onda se comprime y se repite 3 veces en 2π).
- −sen x: es el seno reflejado respecto al eje x; amplitud 1 y periodo 2π.
- sen 4x: amplitud 1, periodo π/2.
- sen(x − 2): el seno desplazado 2 unidades a la derecha; periodo 2π.
III. y = cos x en [−2π, 2π]: x = −2π, −3π/2, −π, −π/2, 0, π/2, π, 3π/2, 2π → y = 1, 0, −1, 0, 1, 0, −1, 0, 1. La curva corta el eje y en (0, 1).
IV.
- cos x + 1: el coseno subido 1 unidad; rango [0, 2].
- cos(x − π/4): desplazado π/4 a la derecha.
- cos(x − 2): desplazado 2 unidades a la derecha.
- cos(x + π/3): desplazado π/3 a la izquierda.
V.
- −cos x: reflejado respecto al eje x; empieza en −1.
- cos 6x: periodo π/3.
- cos 2x: periodo π.
VI. El coseno decrece en (0, π), (2π, 3π) y (−2π, −π). La forma general es (2πk, π + 2πk).
VII. La tangente crece en (−π/2, π/2) y (π/2, 3π/2). La forma general es (−π/2 + kπ, π/2 + kπ), con k ∈ ℤ.
Preguntas frecuentes de funciones trigonométricas
En la circunferencia unitaria, el seno es la coordenada y, el coseno es la coordenada x y la tangente es el cociente sen x / cos x.
Porque cos(π/2) = 0 y no se puede dividir entre cero. Allí la gráfica tiene una asíntota vertical.
El seno y el coseno tienen periodo 2π, y la tangente tiene periodo π.
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