En este post vas a aprender sobre los límites definiciones ejemplos y asíntotas, conceptos fundamentales que te ayudarán a comprender cómo se comportan las funciones en puntos específicos.
Cuando analizas una gráfica, notarás que al acercarse los valores de x a cierto punto, la función tiende a aproximarse a un valor determinado. Esa “tendencia de acercamiento”, incluso si la función no llega exactamente a ese valor, es lo que llamamos límite.
Comprender esta idea no solo te permitirá interpretar mejor las gráficas, sino que también te abrirá la puerta al estudio del Cálculo, ya que los límites son la base para entender conceptos más avanzados como la derivada y la continuidad.
¿Qué es un límite? Una aproximación intuitiva
Imagina que vas conduciendo y ves una señal de límite de velocidad. Ese número es una frontera. En matemáticas, el concepto es similar: un límite es el valor al que se «aproxima» una función f(x) a medida que la variable x se acerca a un punto determinado.
Ejemplo visual: La asíntota
Considera la función $$f(x)=\frac{1}{x}+1$$ cuya curva se acerca constantemente a una línea (como la recta y=1), pero por más que aumentes el valor de x, la función jamás toca esa línea.
En la tabla de valores: Verás que para x = 41, 46, 50, los resultados son 1.024, 1.022, 1.02.
Gráfica: Observa la función graficada.
👉 Grafica esta función en Desmos con solo dos pasos (escribe la función en una línea y en la otra la asíntota y=1)
Conclusión: El límite de esa función cuando x crece es 1.
Definición y notación de límites
Para escribir correctamente un límite en lenguaje matemático Los límites son expresados así:
$$\lim_{x \to a} f(x) = L$$
¿Cómo se lee esto?
«El límite de la función f(x), cuando x tiende al valor a, es igual a L».
Esto significa que si eliges valores de x muy cercanos a a, los valores de la función estarán tan cerca de L.
Límites Laterales: Acercándose por la Izquierda y la Derecha
No siempre se llega a un punto desde la misma dirección. Para que un límite sea sólido, debes analizar qué pasa cuando vienes desde los números menores (izquierda) y desde los mayores (derecha).
- Límite por la izquierda: Se denota como $$\lim_{x \to b^{-}} f(x)=L$$ Se utiliza el signo (-) como referencia del lado izquierdo. Entonces el límite cuando x tiende a b por la izquierda es L
- Límite por la derecha: Se denota como $$\lim_{x \to b^{+}} f(x)=M$$ Se usa el signo (+) como referencia del lado derecho. Por lo tanto el límite cuando x tiende a b por la derecha es M
Ejemplo
Elabora la tabla de valores con números decimales expresados en centésimas y realizar la gráfica de la siguiente función:$$f(x)=2x^{2}$$
Solución
Tabla de valores:
Gráfica:
Cuando el valor de la variable x tiende a 1
Los valores de la variable 0,97 ; 0,98 ; 0,99 ; son acercamientos a 1 por la izquierda; y los valores 1,03 ; 1,02; 1,01 son acercamientos a 1 por la derecha.
Luego, si x se aproxima a 1 por la izquierda y por la derecha, la función f (x) se aproxima a 2
Simbólicamente esta situación se expresa:
La Regla de Existencia
La existencia o la no existencia del límite de una función depende de los límites laterales. Si se generan los mismos límites laterales (por la izquierda y por la derecha) entonces existe un límite de la función$$\lim_{x \to b^{-}} f(x)=\lim_{x \to b^{+}} f(x)=L$$Pero si se generan distintos límites laterales (por la izquierda y por la derecha) el límite de la función no existe.
Ejemplo
Crear la gráfica de f (x) y determinar los límites laterales cuando x tiende a 2.
Paso 1: Gráfica
Paso 2: Límite lateral izquierdo:
En la gráfica puedes observar que cuando x tiende a 2– la función f ( x ) = 2
Paso 3: Límite lateral derecho:
En la gráfica puedes observar que cuando x tiende a 2+ la función f ( x ) = 1
El resultado de los límites laterales no coinciden, esto quiere decir que el límite de la función f ( x ) NO EXISTE
Cómo calcular límites
Existen dos maneras principales para resolver un límite. La primera es la sustitución directa y la segunda es el uso de propiedades algebraicas.
A. Principio de sustitución directa
Es el primer paso obligado. Consiste en reemplazar el valor de x por el número al que tiende (b).
Si al evaluar f (b) obtienes un número real, ¡felicidades!, ese es el resultado del límite.
Ejemplo 1
Resuelve el siguiente límite$$\displaystyle \lim_{x \to 2^{+}}\sqrt{3x^{2}-8}=$$
Solución:
Reemplazar
Resultado
$$\displaystyle \lim_{x \to 2^{+}}\sqrt{3x^{2}-8}=2$$
Ejemplo 2
Calcular$$\displaystyle \lim_{x \to 3}-2x^{3}+5x-2=$$
Solución
Sustitución
Resultado
$$\displaystyle \lim_{x \to 3}-2x^{3}+5x-2=-41$$
B. Propiedades fundamentales de los límites
Para funciones más complejas, se aplican reglas que permitan «separar» el problema en partes más pequeñas.
Donde:
c = constante
$$\lim_{x \to b}f(x)=L$$
$$\lim_{x \to b}g(x)=M$$
| 1. | Límite de una constante |
 | |
| 2. | Límite de una variable |
 | |
| 3. | Límite de una suma de funciones |
 | |
| 4. | Límite de una resta de funciones |
| $$\displaystyle \lim_{x \to b}\left [ f(x)-g(x) \right ]=\displaystyle \lim_{x \to b}f(x)-\displaystyle \lim_{x \to b}g(x)=L-M$$ | |
| 5. | Límite del múltiplo constante |
| $$\displaystyle \lim_{x \to b} [c\cdot f(x)]=c\cdot \displaystyle \lim_{x \to b}f(x)=L$$ | |
| 6. | Límite de una función multiplicada por otra función |
 | |
| 7. | Límite de una función dividida por otra función |
 | |
| 8. | Límite de una potencia |
 | |
| 9. | Límite de la potencia de una función |
 | |
| 10. | Límite de una raíz |
 | |
| 11. | Límite de una raíz enésima de una función |
| $$\lim_{x \to b}\sqrt[n]{f(x)}=\sqrt[n]{\displaystyle \lim_{x \to b}f(x)}=\sqrt[n]{L}$$ |
Ejemplo 1
Determinar el límite de la función a continuación aplicando propiedades.$$\displaystyle \lim_{x \to 2^{+}}\sqrt{3x^{2}-8}=$$
Solución
1. Propiedad de la raíz.
$$\displaystyle \lim_{x \to 2^{+}}\sqrt{3x^{2}-8}=\sqrt{\displaystyle \lim_{x \to 2^{+}}\left ( 3x^{2}-8 \right )}$$
2. Propiedad de la resta de los límites y límite de una constante.
3. Propiedad del múltiplo constante.
4. Evaluación del límite.
$$\displaystyle \lim_{x \to 2^{+}}\sqrt{3x^{2}-8}=\sqrt{3\cdot(2)^{2}-8}$$
$$\displaystyle \lim_{x \to 2^{+}}\sqrt{3x^{2}-8}=\sqrt{12-8}$$
$$\displaystyle \lim_{x \to 2^{+}}\sqrt{3x^{2}-8}=2$$
Ejemplo 2
Calcular el límite aplicando propiedades.$$\displaystyle \lim_{x \to 3}-2x^{3}+5x-2=$$
Solución
1. Propiedad de la suma/resta de límites.
2. Propiedad del múltiplo constante.
3. Evaluación del límite.
$$\displaystyle \lim_{x \to 3}-2x^{3}+5x-2=-54+15-2$$
$$\displaystyle \lim_{x \to 3}-2x^{3}+5x-2=-41$$
Indeterminación 0/0
Al aplicar la sustitución directa, te puedes conseguir con un muro: la forma 0/0. Esto no significa que el límite no exista, sino que está «escondido».
Para encontrarlo, debes eliminar la indeterminación.
Estrategia 1: Factorización (Para funciones racionales)
Si te encuentras polinomios, lo más probable es que puedas simplificar la fracción factorizando el numerador o el denominador.
Ejemplo paso a paso
Calcula$$\displaystyle \lim_{x \to -5}\frac{x^{2}+2x-15}{x+5}$$
Solución
1. Sustitución directa.
2. Factorización.
3. Sustitución directa.
$$\displaystyle \lim_{x \to 5}x-3=-5-3=-8$$
Estrategia 2: Racionalización (Para funciones con raíces)
Cuando aparecen raíces cuadradas, debes multiplicarla por el conjugado y así eliminar la raíz que genera el cero.
Ejemplo paso a paso
Determinar el límite.$$\displaystyle \lim_{x \to a}\frac{\sqrt{x}-\sqrt{a}}{x-a}$$
Solución:
1. Sustitución directa.
$$\displaystyle \lim_{x \to a}\frac{\sqrt{x}-\sqrt{a}}{x-a}=\frac{\sqrt{a}-\sqrt{a}}{a-a}=\frac{0}{0}$$
2. Racionalización.
Límites de funciones trigonométricas indeterminadas
Los límites de las funciones trigonométricas se pueden determinar por el método de sustitución directa.
Sí el límite trigonométricos resulta 0/0, te apoyas en las identidades trigonométricas o puedes aplicar las siguientes propiedades:
$$\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{senx}{x}=1$$
$$\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{1-cosx}{x}=0$$
Nota técnica: Recuerda que en cálculo, siempre se trabaja con radianes. Si tu ejercicio está en grados, conviértelos primero para evitar errores en los resultados.
Ejemplo paso a paso
Determine.$$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{\cot x}=$$
Solución
1. Sustitución directa.
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{\cot x} = \frac{0}{0}$$
2. Aplicación de identidades trigonométricas.
\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{\cot x}
=
\frac{\frac{\cos x}{1}}{\frac{\cos x}{\sin x}}
=
\frac{\cos x \cdot \sin x}{\cos x}
=
\sin x
$$
3. Evaluación del límite.
$$\displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi }{2}}senx=1$$
4. Resultado.
$$\displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi }{2}}\frac{cosx}{cotx}=1$$
Límites infinitos vs. Límites en el infinito
Es común confundir estos términos, pero representan comportamientos muy distintos en una gráfica.
A. Límites infinitos (Crecimientos sin cota)
Se dice de un límite infinito cuando, al acercarse a un valor x → b, la función f (x) crece o decrece sin detenerse. En estos casos, se dice que el límite no existe como un número real, y simbólicamente es expresado así:
- Crecimiento: $$\displaystyle \lim_{x \to b}f(x)=+\infty $$
- Decrecimiento: $$\displaystyle \lim_{x \to b}f(x)=-\infty $$
- Significado geométrico: Aquí es donde aparecen las asíntotas verticales.
Diferencia entre funciones con cota y sin cota
En el estudio de límites infinitos, el concepto de cota es fundamental para entender el comportamiento de la función en el eje y (rango).
Una cota es, en términos sencillos, una «barrera» o un valor máximo/mínimo que la función no puede sobrepasar. En otras palabras, la cota es un número ubicado en el eje “y” y representa un valor máximo o mínimo de una función.
1. Funciones con Cota (Acotadas)
Una función tiene una cota inferior o cota superior si existe un número real que limita sus valores.
Ejemplo con cota
Diga si la función dada posee cota:$$f(x)=x^{2}+2$$
Solución:
Paso 1.
Paso 2.
Análisis: No importa qué valor de x elijas, el resultado nunca será menor a 2.
Cota: El número 2 es su cota inferior.
Rango: [ 2 , ∞ ).
Comportamiento del límite: Aunque la función crece hacia el infinito, se conoce con exactitud dónde parte.
2. Funciones sin Cota (No acotadas)
Una función no tiene cota cuando sus valores crecen o decrecen de forma ilimitada a medida que x se aproxima a un valor «b» o al infinito. Aquí es donde nacen los límites infinitos
Ejemplo sin cota
Dada la función:$$\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{1}{x}$$
Solución:
1. Tabla de valores.
2. Gráfica.
3. Comportamiento
Izquierda:$$\lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{x} = -\infty$$
Al acercarse a 0 por la izquierda la función baja sin detenerse, el límite es -∞.
Derecha:$$\lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x} = +\infty$$
Al acercarse a 0 por la derecha la función sube de forma indefinida, por lo tanto el límite es +∞.
4. Análisis
A medida que “x” se hace más pequeño (0.03, 0.02, 0.01 tabla de valores), el valor de f (x) aumenta (33.53, 50, 100).
5. Conclusión
La función no está acotada en un entorno de x = 0, ya que crece si límite hacia +∞ por la derecha y hacia -∞ por la izquierda. Por esta razón el $$\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{1}{x}$$
No existe como número real.
B. Límites en el infinito (Comportamiento final de la función)
Los límites en el infinito describen el comportamiento de una función cuando la variable x crece o decrece sin límite, es decir, cuando x →∞ o x → -∞.
Si la función f (x) se aproxima a un valor constante, se dice que tiene un límite en el infinito:
Esto significa que cuando x toma valores muy grandes o muy pequeños, la función se aproxima a esos valores.
Significado geométrico:
Si el límite es un número real L, entonces la recta y = L es una asíntota horizontal de la función.
Al calcular límites en el infinito se tienen en cuenta dos casos:
Caso 1. Si k ∈ ℜ y n ∈ Ν
$$\lim_{ x\to \infty }\frac{k}{x^{n}}=0$$
$$\lim_{ x\to -\infty }\frac{k}{x}=0$$
Esto quiere decir cuando existe una expresión racional y el numerador es una constante el resultado del límite cuando x tiende al infinito es cero.
Caso 2. Límites en el infinito de una función racional
Los límites de funciones racionales para los cuales se presentan la indeterminación ∞/∞ reciben el nombre de límites en el infinito.
Indeterminación ∞/∞ (La regla de los grados)
Al calcular límites en el infinito de funciones racionales, es frecuente encontrar el resultado ∞/∞.
Para «romper» esta indeterminación de forma profesional, se divide cada término por la x de mayor grado.
El truco de los grados (criterios rápidos de resolución)
Para ahorrar tiempo, compara el grado del polinomio arriba (P) con el de abajo (Q):
A. Si el grado del polinomio P(x)>Q(x): Cuando el grado del polinomio del numerador es mayor que el denominador.
B. Si el grado del polinomio P(x)<Q(x): Si el grado del polinomio del numerador es menor que el grado del polinomio del denominador
C. Si el grado del polinomio P(x)=Q(x): Cuando los grados de ambos polinomios son iguales.
Donde m y n son los coeficientes de los términos de mayor grado de los polinomios P(x) y Q(x) respectivamente.
Igualdades simbólicas que debes memorizar
Las igualdades simbólicas son fundamentales en el estudio de los límites, ya que permiten interpretar el comportamiento de las funciones cuando las variables se acercan a valores críticos como 0 o ∞.
Estas expresiones no deben entenderse como operaciones aritméticas comunes, sino como reglas que describen tendencias (por ejemplo, crecimiento sin cota o aproximación a cero).
Su aplicación es clave para identificar límites infinitos, resolver indeterminaciones y simplificar expresiones, facilitando el análisis de funciones en situaciones donde la sustitución directa no es posible.
A continuación, la tabla de igualdades simbólicas, donde k es una constante:
| $$k.0=0$$ | $$\frac{k}{0}=\infty $$ |
| $$\frac{0}{k}=0$$ | $$k.\infty=\infty$$ |
| $$\frac{k}{\infty}=0$$ | $$\frac{\infty}{k}=\infty$$ |
| $$k\pm \infty=\pm \infty$$ | $$(\pm \infty)+(\pm \infty)=\pm \infty$$ |
Ejemplo 1. Comparación de grados
Determine$$\lim_{ x\to \infty }\frac{2x^{2}+3x-1}{x-1}$$
Solución:
Según el criterio (A) el resultado es: ∞
Observa el procedimiento:
Paso 1: Dividir cada término entre la variable de mayor grado de toda la expresión.
Ejemplo 2. Comparación de grados
Calcular$$\lim_{ x\to \infty }\frac{2x^{2}+3x-5}{-3x^{2}+4x^{3}-3x+1}=$$
Solución
Según el criterio (B) el resultado es: 0
Desarrollo:
Paso 1: Dividir cada término entre la variable de mayor grado de toda la expresión
Paso 2: Sustituir ∞.
Resultado:
$$\lim_{ x\to \infty }\frac{2x^{2}+3x-5}{-3x^{2}+4x^{3}-3x+1}=0$$
Ejemplo 3. Comparación de grados
Hallar$$\lim_{ x\to \infty }\frac{5x^{2}+4}{2x^{2}+8}$$
Solución
Según el criterio (C) el resultado es:
$$\lim_{ x\to \infty }\frac{5x^{2}+4}{2x^{2}+8}=\frac{5}{2}$$
Para comprobarlo debes dividir cada término por la x de mayor grado.
Cálculo de asíntotas de una función
Las asíntotas son rectas a las que la gráfica de la función se acerca indefinidamente sin llegar nunca a tocarlas (en el infinito). Son las «guías» que definen la forma de la curva.
A. Cómo hallar asíntotas horizontales (y=b)
Indican el valor al que se estabiliza la función cuando x se hace muy grande o muy pequeña.
- Cómo hallarlas: Se calcula el límite de la función cuando x→∞.
- Regla de oro: Si existe asíntota horizontal, no hay asíntota oblicua (en funciones racionales simples)
Ejemplo paso a paso.
Determinar la asíntota horizontal de$$f(x)=\frac{4x^{2}+1}{3x^{2}}$$
Solución:
1. Calcular.
$$\lim_{ x\to \pm \infty }\frac{4x^{2}+1}{3x^{2}}=$$
Según el criterio C el resultado es:
$$\lim_{ x\to \pm \infty }\frac{4x^{2}+1}{3x^{2}}=\frac{4}{3}$$
2. Significado.
Cuando x → ± ∞ , f ( x ) = 4/3
3. Respuesta.
La asíntota horizontal es:
$$y=\frac{4}{3}$$
4. Gráfica.
B. Cómo hallar las asíntotas verticales (x=a)
Aparecen en los valores de x donde la función se dirige hacia el infinito.
- Cómo hallarlas: En funciones racionales, son los valores que hacen que el denominador sea cero (siempre que el numerador no sea cero en ese mismo punto).
Ejemplo paso a paso.
Calcular la asíntota vertical de la función$$f(x)=\frac{2x+1}{x^{2}-x-2}$$
Solución
1. Factorizar el denominador.
$$f(x)=\frac{2x+1}{x^{2}-x-2}=\frac{2x+1}{(x-2)(x+1)}$$
La función no está definida en x = 2 y x = -1. Como estos valores anulan el denominador pero no el numerador, se concluye que existen asíntotas verticales en:
$$x=2$$
$$x=-1$$
2. Signo de los límites laterales (Confirmar el comportamiento infinito de la función en los puntos x=-1 y x=2)
$$f(x)\frac{2x+1}{(x-2)(x+1)}$$
Cerca de x =-1
- 2x+1≈-1 (negativo)
- x-2≈-3 (negativo)
- x+1→0
Lado izquierdo:
- x+1<0
- Denominador: (negativo)(negativo)=positivo pequeño.
- Resultado: negativo / positivo → -∞
$$\lim_{ x\to -1^{-}}\frac{2x+1}{x^{2}-x-2}=-\infty $$
Lado derecho:
- x+1>0
- Denominador: (negativo)(positivo)=negativo pequeño
- Resultado: negativo / negativo →+∞
$$\lim_{ x\to -1^{+}}\frac{2x+1}{x^{2}-x-2}=\infty $$
Cerca de x = 2
- 2x+1≈5 (positivo)
- x+1≈3 (positivo)
- x-2→0
Lado izquierdo:
- x-2<0
- Denominador: (negativo)(positivo)=negativo pequeño.
- Resultado: positivo / negativo → -∞
$$\lim_{ x\to 2^{-}}\frac{2x+1}{x^{2}-x-2}=-\infty $$
Lado derecho:
- x-2>0
- Denominador: (positivo)(positivo)=positivo pequeño
- Resultado: positivo / positivo →+∞
$$\lim_{ x\to 2^{+}}\frac{2x+1}{x^{2}-x-2}=\infty $$
3. Gráfica.
Asíntotas oblicuas (y=mx + b)
Cuando trabajas con asíntotas oblicuas, lo que estás intentando descubrir es cómo se comporta una función cuando los valores de 𝑥 x se hacen muy grandes, es decir, cuando x→∞ o x→−∞. En ese recorrido, muchas funciones comienzan a parecerse cada vez más a una recta inclinada.
Estas asíntotas son justamente eso: rectas inclinadas (ni horizontales ni verticales) a las que la función se va acercando poco a poco, sin llegar a tocarlas completamente.
Esa recta tiene la forma:$$y=mx+b$$ Ahora bien, algo muy importante que debes tener en cuenta es esto:
Una función racional solo tiene asíntota oblicua cuando el grado del numerador es exactamente uno mayor que el grado del denominador.
Pasos para determinar las asíntotas oblicuas
Para encontrar esa recta, debes seguir tres pasos fundamentales: primero calcular la pendiente, luego el intercepto y, finalmente, construir la ecuación de la asíntota.
1. Cálculo de la pendiente (m): Se calcula el límite cuando x → ±∞, dividiendo la función f (x) entre x, si el resultado es una constante, la función posee una asíntota oblicua y esta constante representa su pendiente (m).
Si m es 0 o ∞, no existe asíntota oblicua.
m ∈ ℜ – {0}
$$m=\lim_{ x\to \infty }\frac{f(x)}{x}$$
2. Determinación del intercepto (b): Se determina el intercepto con el eje y aplicando el límite de la diferencia entre la función y el producto de la pendiente por la variable:
$$b=\lim_{x \to \infty} [f(x) – mx]$$
3. Construcción de la ecuación: Finalmente, se escribe la ecuación explícita de la recta combinando ambos valores en la forma:$$f(x) = mx + b$$.
También puedes hallarla realizando la división polinómica de la función; el cociente de la división es la ecuación de la asíntota oblicua.
Ejemplo paso a paso.
Determinar si la función posee asíntota oblicua.$$f(x)=\frac{x^{2}-9}{3x}$$
Solución:
Paso 1. Reemplazar la función.
$$m=\lim_{ x\to \infty }\frac{f(x)}{x}=\frac{\frac{x^{2}-9}{3x}}{x}=\frac{x^{2}-9}{3x^{2}}$$
La pendiente es:
$$m=\lim_{ x\to \infty }\frac{x^{2}-9}{3x^{2}}=\frac{1}{3}$$
Posee asíntota oblicua de pendiente (m) =1/3
Paso 2. Intercepto (b)
$$b=\lim_{ x\to \infty }f(x)-mx$$
$$b=\lim_{ x\to \infty }\frac{x^{2}-9}{3x^{2}}-\frac{1}{3}x$$
$$b=\lim_{ x\to \infty }\frac{3x^{2}-27-3x^{2}}{9x^{2}}$$
$$b=\lim_{ x\to \infty }\frac{-3}{x}$$
$$b=0$$
Ecuación de la asíntota oblicua:
$$f(x)=\frac{x}{3}+0$$
$$f(x)=\frac{x}{3}$$
Asíntota vertical:
$$x=0$$
Interceptos con el eje “x”
Igualar el numerador a cero.
$$x=\pm 3$$
Interceptos con el eje “y”
No existe.
Tabla de valores 
Gráfica
Actividades
I. La función f (x) definida como:
a. Grafica la función
b. Determine:
c. ¿Existe el límite 
? Justifica tu respuesta.