En este post vas a aprender sobre los límites definiciones ejemplos y asíntotas, conceptos fundamentales que te ayudarán a comprender cómo se comportan las funciones en puntos específicos.
Cuando analizas una gráfica, notarás que al acercarse los valores de x a cierto punto, la función tiende a aproximarse a un valor determinado. Esa “tendencia de acercamiento”, incluso si la función no llega exactamente a ese valor, es lo que llamamos límite.
Comprender esta idea no solo te permitirá interpretar mejor las gráficas, sino que también te abrirá la puerta al estudio del Cálculo, ya que los límites son la base para entender conceptos más avanzados como la derivada y la continuidad.
¿Qué es un límite?
Imagina que vas conduciendo y ves una señal de límite de velocidad. Ese número es una frontera. En matemáticas, el concepto es similar: un límite es el valor al que se «aproxima» una función f(x) a medida que la variable x se acerca a un punto determinado.
¿Cómo se escriben y cómo se leen los límites?
En lenguaje matemático, un límite se expresa así:$$\displaystyle \lim_{x \to a}f(x)=L$$
Se lee:
El límite de la función f(x), cuando x se acerca a a,es L
¿Qué significa realmente?
Significa que cuando tomas valores de x muy cercanos a a (por la izquierda y por la derecha), los valores de la función f (x) se aproximan cada vez más al número L.
Observa este detalle:
x se acerca a a, pero no necesariamente es igual a a.
Idea clave que debes recordar
Decir que:
$$\displaystyle \lim_{x \to a}f(x)=L$$
Significa que:
Cuando x está muy cerca de a, aunque sea diferente de a, los valores de f (x) están muy cerca de L.
El límite estudia el comportamiento de la función alrededor del punto, no exactamente en el punto.
Ejemplo (Introducción al concepto de límite)
Considera la función:
$$f(x)=\frac{x^{2}-1}{x-1}$$
Solución
1. Evaluación de la función:$$x=1$$
$$f(1)=\frac{1^{2}-1}{1-1}=\frac{1-1}{0}=\frac{0}{0}$$
Se obtiene una indeterminación.
La función no está definida en$$x=1$$
¿A qué valor se acercan los resultados de la función cuando x se aproxima a 1?
2. Construcción de la tabla de valores cerca de $$x=1$$
Se toman valores por la izquierda y por la derecha de 1.
Observación: cuando x se acerca a 1, los valores de f(x) se acercan a 2.
3. Simplificación de la función
Para simplificar lo primero es factorizar y luego cancelar factores iguales.
$$f(x)=\frac{x^{2}-1}{x-1}=\frac{(x+1)\cdot (x-1)}{x-1}=x+1$$
$$f(x)=x+1$$
4. Análisis de la nueva función
La función es realmente la recta$$f(x)=x+1$$
Pero con una condición:
Tiene un hueco en $$x=1$$ ya que allí la función original no existe.
5. Análisis de la gráfica
Al graficar $$f(x)=x+1$$
- Es una recta.
- En el punto (1,2) hay un punto abierto (hueco).
Observa la gráfica:
Aunque la función no existe en ese punto, la gráfica se aproxima a él.
6. Conclusión.
Como los valores de la función se aproximan a 2 cuando x se aproxima a 1, se concluye que:
$$\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 1}\frac{x^{2}-1}{x-1}=2}$$
El límite estudia el valor al que se acercan los resultados de la función, aunque la función no esté definida en ese punto.
Límites Laterales: acercándose por la Izquierda y la Derecha
No siempre se llega a un punto desde la misma dirección. Para que un límite sea sólido, debes analizar qué pasa cuando vienes desde los números menores (izquierda) y desde los mayores (derecha).
- Límite por la izquierda: Se denota como $$\lim_{x \to b^{-}} f(x)=L$$ Se utiliza el signo (-) como referencia del lado izquierdo. Entonces el límite cuando x tiende a b por la izquierda es L
- Límite por la derecha: Se denota como $$\lim_{x \to b^{+}} f(x)=M$$ Se usa el signo (+) como referencia del lado derecho. Por lo tanto el límite cuando x tiende a b por la derecha es M
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La Regla de Existencia
La existencia o la no existencia del límite de una función depende de los límites laterales. Si se generan los mismos límites laterales (por la izquierda y por la derecha) entonces existe un límite de la función$$\lim_{x \to b^{-}} f(x)=\lim_{x \to b^{+}} f(x)=L$$Pero si se generan distintos límites laterales (por la izquierda y por la derecha) el límite de la función no existe.
Ejemplo
Crear la gráfica de f (x) y determinar los límites laterales cuando x tiende a 2.
Paso 1: Gráfica
Paso 2: Límite lateral izquierdo:
En la gráfica puedes observar que cuando x tiende a 2– la función f ( x ) = 2
Paso 3: Límite lateral derecho:
En la gráfica puedes observar que cuando x tiende a 2+ la función f ( x ) = 1
El resultado de los límites laterales no coinciden, esto quiere decir que el límite de la función f ( x ) NO EXISTE
Cómo calcular límites
Existen dos maneras principales para resolver un límite. La primera es la sustitución directa y la segunda es el uso de propiedades algebraicas.
A. Principio de sustitución directa
Es el primer paso obligado. Consiste en reemplazar el valor de x por el número al que tiende (b).
Si al evaluar f (b) obtienes un número real, ¡felicidades!, ese es el resultado del límite.
Ejemplo 1
Resuelve el siguiente límite$$\displaystyle \lim_{x \to 2^{+}}\sqrt{3x^{2}-8}=$$
Solución:
Reemplazar
Resultado
$$\displaystyle \lim_{x \to 2^{+}}\sqrt{3x^{2}-8}=2$$
Ejemplo 2
Calcular
$$\displaystyle \lim_{x \to 3}-2x^{3}+5x-2=$$
¿Te atreves?
Muéstrame la solución
Sustitución
$$\displaystyle \lim_{x \to 3}(-2x^{3}+5x-2)=-2(3)^{3}+5(3)-2=-54+15-2=-41$$
Resultado
$$\displaystyle \lim_{x \to 3}(-2x^{3}+5x-2)=-41$$
¡Muy bien! Lo lograste.
B. Propiedades fundamentales de los límites
Para funciones más complejas, se aplican reglas que permitan «separar» el problema en partes más pequeñas.
Donde:
c = constante
$$\lim_{x \to b}f(x)=L$$
$$\lim_{x \to b}g(x)=M$$
| 1. | Constante |
 | |
| 2. | De una variable |
 | |
| 3. | Suma de funciones |
 | |
| 4. | Resta de funciones |
| $$\displaystyle \lim_{x \to b}\left [ f(x)-g(x) \right ]=\displaystyle \lim_{x \to b}f(x)-\displaystyle \lim_{x \to b}g(x)=L-M$$ | |
| 5. | Múltiplo constante |
| $$\displaystyle \lim_{x \to b} [c\cdot f(x)]=c\cdot \displaystyle \lim_{x \to b}f(x)=L$$ | |
| 6. | Producto de funciones |
 | |
| 7. | Cociente de funciones |
 | |
| 8. | Potencia |
| $$\lim_{x \to b}\left [ f(x) \right ]^{g(x)}=\left [\lim_{ x\to b} f(x)\right ]^{\lim_{ x\to b}g(x)}=L$$ | |
| 9. | Función exponencial |
| $$ \lim_{x \to b}a^{f(x)} = a^{\lim_{x \to b}f(x)} = L $$$$ a > 0 $$ | |
| 10. | Límite de una raíz |
 | |
| 11. | Límite de una raíz enésima de una función |
| $$\lim_{x \to b}\sqrt[n]{f(x)}=\sqrt[n]{\displaystyle \lim_{x \to b}f(x)}=\sqrt[n]{L}$$ |
Ejemplo 1
Determinar el límite de la función a continuación aplicando propiedades.$$\displaystyle \lim_{x \to 2^{+}}\sqrt{3x^{2}-8}=$$
Solución
1. Propiedad de la raíz.
$$\displaystyle \lim_{x \to 2^{+}}\sqrt{3x^{2}-8}=\sqrt{\displaystyle \lim_{x \to 2^{+}}\left ( 3x^{2}-8 \right )}$$
2. Propiedad de la resta de los límites y límite de una constante.
3. Propiedad del múltiplo constante.
4. Evaluación del límite.
$$\displaystyle \lim_{x \to 2^{+}}\sqrt{3x^{2}-8}=\sqrt{3\cdot(2)^{2}-8}$$
$$\displaystyle \lim_{x \to 2^{+}}\sqrt{3x^{2}-8}=\sqrt{12-8}$$
$$\displaystyle \lim_{x \to 2^{+}}\sqrt{3x^{2}-8}=2$$
Ejemplo 2
Calcular el límite aplicando propiedades.$$\displaystyle \lim_{x \to 3}-2x^{3}+5x-2=$$
¿Te atreves nuevamente?
Muéstrame la solución
Procedimiento
1. Propiedad de la suma y resta de límites
$$\displaystyle \lim_{x \to 3}\big(-2x^{3}+5x-2\big)$$
$$=\displaystyle \lim_{x \to 3}(-2x^{3})+\displaystyle \lim_{x \to 3}(5x)-\displaystyle \lim_{x \to 3}(2)$$
2. Propiedad del múltiplo constante
$$=-2\cdot \displaystyle \lim_{x \to 3}x^{3}+5\cdot \displaystyle \lim_{x \to 3}x-2$$
3. Evaluación del límite
$$=-2\cdot (3)^{3}+5\cdot (3)-2$$
$$=-54+15-2$$
$$=-41$$
¡Muy bien! Lograste evaluar correctamente el límite.
Indeterminación 0/0
Al aplicar la sustitución directa, te puedes conseguir con un muro: la forma 0/0. Esto no significa que el límite no exista, sino que está «escondido».
Para encontrarlo, debes eliminar la indeterminación.
Estrategia 1: Factorización (Para funciones racionales)
Si te encuentras polinomios, lo más probable es que puedas simplificar la fracción factorizando el numerador o el denominador.
Ejemplo paso a paso
Calcula$$\displaystyle \lim_{x \to -5}\frac{x^{2}+2x-15}{x+5}$$
Solución
1. Sustitución directa.
2. Factorización.
3. Sustitución directa.
$$\displaystyle \lim_{x \to 5}x-3=-5-3=-8$$
Estrategia 2: Racionalización (Para funciones con raíces)
Cuando aparecen raíces cuadradas, debes multiplicarla por el conjugado y así eliminar la raíz que genera el cero.
Ejemplo paso a paso
Determinar el límite.$$\displaystyle \lim_{x \to a}\frac{\sqrt{x}-\sqrt{a}}{x-a}$$
Solución:
1. Sustitución directa.
$$\displaystyle \lim_{x \to a}\frac{\sqrt{x}-\sqrt{a}}{x-a}=\frac{\sqrt{a}-\sqrt{a}}{a-a}=\frac{0}{0}$$
2. Racionalización.
Límites de funciones trigonométricas indeterminadas
Los límites de las funciones trigonométricas se pueden determinar por el método de sustitución directa.
Sí el límite trigonométricos resulta 0/0, te apoyas en las identidades trigonométricas o puedes aplicar las siguientes propiedades:
$$\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{senx}{x}=1$$
$$\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{1-cosx}{x}=0$$
Nota técnica: Recuerda que en cálculo, siempre se trabaja con radianes. Si tu ejercicio está en grados, conviértelos primero para evitar errores en los resultados.
Ejemplo paso a paso
Determine.$$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{\cot x}=$$
Solución
1. Sustitución directa.
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{\cot x} = \frac{0}{0}$$
2. Aplicación de identidades trigonométricas.
\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{\cot x}
=
\frac{\frac{\cos x}{1}}{\frac{\cos x}{\sin x}}
=
\frac{\cos x \cdot \sin x}{\cos x}
=
\sin x
$$
3. Evaluación del límite.
$$\displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi }{2}}senx=1$$
4. Resultado.
$$\displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi }{2}}\frac{cosx}{cotx}=1$$
Indeterminación ∞/∞ (La regla de los grados)
Al calcular límites en el infinito de funciones racionales, es frecuente encontrar el resultado ∞/∞.
Para «romper» esta indeterminación de forma profesional, se divide cada término por la x de mayor grado.
Igualdades simbólicas que debes memorizar
Las igualdades simbólicas son fundamentales en el estudio de los límites, ya que permiten interpretar el comportamiento de las funciones cuando las variables se acercan a valores críticos como 0 o ∞.
Estas expresiones no deben entenderse como operaciones aritméticas comunes, sino como reglas que describen tendencias (por ejemplo, crecimiento sin cota o aproximación a cero).
Su aplicación es clave para identificar límites infinitos, resolver indeterminaciones y simplificar expresiones, facilitando el análisis de funciones en situaciones donde la sustitución directa no es posible.
A continuación, la tabla de igualdades simbólicas, donde k es una constante:
| $$k.0=0$$ | $$\frac{k}{0}=\infty $$ |
| $$\frac{0}{k}=0$$ | $$k.\infty=\infty$$ |
| $$\frac{k}{\infty}=0$$ | $$\frac{\infty}{k}=\infty$$ |
| $$k\pm \infty=\pm \infty$$ | $$(\pm \infty)+(\pm \infty)=\pm \infty$$ |
El truco de los grados (criterios rápidos de resolución)
Para optimizar el cálculo de límites de funciones racionales cuando x →∞, no siempre es necesario recurrir a la división por la mayor potencia. Puedes determinarlo comparando el grado del polinomio superior (P) con el grado del polinomio inferior (Q).
Esta relación de potencias define tres escenarios fundamentales:
1. Numerador de mayor grado P (x) >Q (x)
Si el grado del numerador es mayor, este crece a un ritmo que el denominador no puede compensar. Al no encontrar un equilibrio, la función no se estabiliza en un valor real específico, sino que diverge.
Esto significa que, a medida que x aumenta, el valor de y crece (o decrece) sin control, proyectándose hacia el infinito.
Entonces, el límite tiende a ±∞.
2. Denominador de mayor grado Q (x) > P (x)
Cuando el grado del denominador es mayor, el valor de Q (x) crece a una tasa significativamente superior a la de P (x). En términos de análisis, la fracción tiende a “desvanecerse” a medida que x aumenta.
Ejemplo: Imagínate repartir dos panes entre toda la población del mundo, al final a cada uno no le toca prácticamente nada.
Por lo tanto el límite tiende a cero.
3. Equivalencia de grados P (x) = Q (x)
En este escenario, ambos polinomios crecen a tasas proporcionales. Las potencias de mayor orden se equilibran, por lo que el comportamiento final de la función queda definido exclusivamente por sus coeficientes principales.
Es como cuando dos equipos de fútbol terminan la liga empatados en puntos; para definir quién gana, deben mirar el “desempate” por diferencias de goles.
En matemáticas, ese desempate lo dictan los coeficientes principales.
Si m es el coeficiente principal de P (x) y n el del Q (x), el límite es el cociente m/n.
Este caso la función converge hacia una asíntota horizontal en y=a/b.
Ejemplo 1. Comparación de grados
Determine$$\lim_{ x\to \infty }\frac{2x^{2}+3x-1}{x-1}$$
Solución:
Según el criterio (A) el resultado es: ∞
Observa el procedimiento:
Paso 1: Dividir cada término entre la variable de mayor grado de toda la expresión.
Ejemplo 2. Comparación de grados
Calcular$$\lim_{ x\to \infty }\frac{2x^{2}+3x-5}{-3x^{2}+4x^{3}-3x+1}=$$
Solución
Según el criterio (B) el resultado es: 0
Desarrollo:
Paso 1: Dividir cada término entre la variable de mayor grado de toda la expresión
Paso 2: Sustituir ∞.
Resultado:
$$\lim_{ x\to \infty }\frac{2x^{2}+3x-5}{-3x^{2}+4x^{3}-3x+1}=0$$
Ejemplo 3. Comparación de grados
Hallar$$\lim_{ x\to \infty }\frac{5x^{2}+4}{2x^{2}+8}$$
Solución
Según el criterio (C) el resultado es:
$$\lim_{ x\to \infty }\frac{5x^{2}+4}{2x^{2}+8}=\frac{5}{2}$$
Para comprobarlo debes dividir cada término por la x de mayor grado.
Indeterminación ∞-∞
Cuando al evaluar límites obtienes la forma indeterminada ∞−∞, debes aplicar estrategias algebraicas para resolverla. Generalmente, esto implica simplificar la expresión mediante operaciones comunes o recurrir al producto por el conjugado (numerador y denominador) para poder efectuar la sustitución de valores de manera efectiva.
Ejemplo 1
Calcular el límite
$$\lim_{x\to\infty}\left[\frac{2x^{2}-7}{x+1}-\frac{6x^{2}+4}{3x-5}\right]$$
Solución
$$\text{Cuando } x\to\infty,\ \text{cada fracción tiende a infinito, generando una indeterminación } \infty-\infty.$$
Se efectúa la operación de resta de fracciones
$$
\lim_{x\to\infty}
\left[
\frac{2x^{2}-7}{x+1}-\frac{6x^{2}+4}{3x-5}
\right]
=
\lim_{x\to\infty}
\frac{(2x^{2}-7)(3x-5)-(6x^{2}+4)(x+1)}
{(x+1)(3x-5)}
$$
Desarrollar el numerador para encontrar términos semejantes
$$
\lim_{x\to\infty}
\frac{
6x^{3}-10x^{2}-21x+35
–
\left(6x^{3}+6x^{2}+4x+4\right)
}
{(x+1)(3x-5)}
$$
$$
\lim_{x\to\infty}
\frac{-16x^{2}-25x+31}{(x+1)(3x-5)}
$$
Desarrollar el denominador.
$$
\lim_{x\to\infty}
\frac{-16x^{2}-25x+31}{3x^{2}-2x-5}
$$
Evaluar el límite.
$$
\lim_{x\to\infty}
\frac{-16x^{2}-25x+31}{3x^{2}-2x-5}
=
\frac{-16}{3}
$$
$$
\boxed{
\lim_{x\to\infty}\left[\frac{2x^{2}-7}{x+1}-\frac{6x^{2}+4}{3x-5}\right]
=
-\frac{16}{3}
}
$$
Ejercicio 2
Determinar el límite
$$\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{4x^{2}+3x-1}-2x\right)$$
Solución
$$
\text{Cuando } x\to\infty:\qquad
\sqrt{4x^{2}+3x-1}-2x
=
\infty-\infty
$$
Para eliminar esta indeterminación se multiplica y se divide por el conjugado.
$$
\lim_{x\to\infty}
\left(\sqrt{4x^{2}+3x-1}-2x\right)
=
\lim_{x\to\infty}
\frac{\left(\sqrt{4x^{2}+3x-1}-2x\right)\left(\sqrt{4x^{2}+3x-1}+2x\right)}
{\sqrt{4x^{2}+3x-1}+2x}
$$
Aplicando producto notable en el numerador:
$$
\lim_{x\to\infty}
\frac{(4x^{2}+3x-1)-(2x)^{2}}
{\sqrt{4x^{2}+3x-1}+2x}
$$
Buscar términos semejantes
$$
\lim_{x\to\infty}
\frac{4x^{2}+3x-1-4x^{2}}
{\sqrt{4x^{2}+3x-1}+2x}
$$
Se genera:
$$
\lim_{x\to\infty}
\frac{3x-1}
{\sqrt{4x^{2}+3x-1}+2x}
$$
Para eliminar la nueva indeterminación debes dividir el numerador y denominador por la mayor potencia de \(x\), en este caso \(x\).
$$
\lim_{x\to\infty}
\frac{\dfrac{3x-1}{x}}
{\dfrac{\sqrt{4x^{2}+3x-1}}{x}+2}
$$
Se ingresa la «x» dentro del radical
$$
\lim_{x\to\infty}
\frac{3-\dfrac{1}{x}}
{\sqrt{\dfrac{4x^{2}+3x-1}{x^{2}}}+2}
$$
$$
\lim_{x\to\infty}
\frac{3-\dfrac{1}{x}}
{\sqrt{4+\dfrac{3}{x}-\dfrac{1}{x^{2}}}+2}
$$
Evaluando el límite:
$$
\frac{3}{\sqrt{4}+2}
=
\frac{3}{4}
$$
$$
\boxed{
\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{4x^{2}+3x-1}-2x\right)
=
\frac{3}{4}
}
$$
Cálculo de límites por sustitución de variables equivalentes
Dos funciones f(x) y g(x) son equivalentes cuando:$$\displaystyle \lim_{x \to a}\frac{f(x)}{g(x)}=1$$
Esto significa que, cuando x se acerca a, ambas funciones se comportan prácticamente igual, donde a puede ser cualquier número real o ±∞.
Es decir:
- Crecen igual.
- Se hacen pequeñas al mismo ritmo.
- Se hacen grandes al mismo ritmo.
Ejemplo
$$\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{5x^{2}+3x^{4}}{5x^{2}}$$
Solución
$$\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{5x^{2}+3x^{4}}{5x^{2}}=\frac{0}{0}$$
Factorizando y simplificando la expresión queda así:
Ambas funciones, la del numerador y la del denominador se hacen pequeñas y son equivalentes en x→0.
Método de funciones equivalentes
El método de funciones equivalentes se aplica cuando una expresión presenta una indeterminación como $$\frac{0}{0}\, \, o\,\, \frac{\infty }{\infty }$$ Y contiene expresiones (funciones) que tienden a 0 o a infinito.
Este método permite sustituir ciertas funciones por otras equivalentes más simples, que tengan el mismo comportamiento cuando la variable se aproxima al punto del límite, sin alterar el valor final del límite.
Es aplicado cuando:
- Las funciones que tienden a 0 → (Llamadas infinitésimos equivalentes)
- Las funciones que tienden a ∞ → (Denominadas infinitos equivalentes)
Este método funciona porque cerca de cero, algunas funciones se comportan como su aproximación lineal (o cuadrática), es decir con un mismo comportamiento.
Por ejemplo:
- La gráfica de sen x cerca de 0 es casi una recta.
- Esa recta es precisamente y = x.
Es por esta razón que se puede reemplazar una por la otra sin cambiar el valor del límite. Observa que cuando x→0 la función del sen es casi una recta, esto es lo que conoce como funciones equivalentes.
Infinitésimos
Una función f (x) es un infinitésimo cuando:$$\displaystyle \lim_{x \to a}f(x)=0$$
Es decir, cuando la variable se aproxima a a, los valores de la función se acercan a cero (0). Por lo tanto, el ejemplo de la imagen es infinitésimo.
Tabla de infinitésimos equivalentes cuando u→0
Esta tabla reúne funciones que, al tender u a cero, se comportan de manera equivalente, es decir, tienden a cero al mismo ritmo. Dos expresiones son infinitésimos equivalentes cuando el cociente entre ellas tiende a 1. Estas equivalencias permiten sustituir funciones más complejas por otras más simples sin alterar el valor del límite, facilitando así el cálculo de indeterminaciones.
| $$senu\sim u$$ | $$e^{u}-1\sim u$$ |
| $$tanu\sim u$$ | $$a^{u}-1\sim u\cdot La$$ |
| $$sen^{-1}u\sim u$$ | $$\left ( 1+u \right )^{m}\sim m\cdot u$$ |
| $$tan^{-1}u\sim u$$ | $$\left ( 1+u \right )^{m}-1\sim u$$ |
| $$1-cosu\sim \frac{u^{2}}{2}$$ | $$u-senu\sim \frac{u^{3}}{6}$$ |
| $$L(1+u)\sim u$$ | $$tanu-u\sim \frac{u^{3}}{3}$$ |
El símbolo ∼ significa “es equivalente a cuando x → 0”
Ejemplo 1
Calcular:$$\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{sen2x}{x}$$
Solución
$$
\lim_{x \to 0}\frac{\sin(2x)}{x}
=\frac{\sin(0)}{0}
=\frac{0}{0}
$$
Para eliminar esta indeterminación se aplica sustitución de variables equivalentes.
Cuando$$x\to 0$$
$$senu\sim u$$
Entonces se aplica la equivalencia considerando que: $$sen2u\sim 2x$$
$$\frac{sen2x}{x}\sim \frac{2x}{x}$$
Simplificación:
$$\frac{2x}{x}=2$$
$$\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{sen2x}{x}=2$$
Ejemplo 2
Calcular límite
$$
\lim_{x\to 0}
\left[
\frac{sin^{2}x\;\sqrt{csc\,x-cot\,x}}
{3x\cdot tan\,x\;\sqrt{sin\,x}}
\right]
$$
Solución
$$
\lim_{ x\to 0}\frac{sin^{2}x\;\sqrt{csc\,x-cot\,x}}{3x\cdot tan\,x\;\sqrt{sin\,x}}=\frac{0}{0}
$$
Porque \(sin\,0=0\) y \(tan\,0=0\).
Efectuando operaciones y simplificando.
Sabemos que:
$$
csc\,x=\frac{1}{sin\,x}
\qquad\text{y}\qquad
cot\,x=\frac{cos\,x}{sin\,x}
$$
Sustituyendo en la expresión:
$$
\lim_{x\to 0}
\frac{sin^{2}x\;
\sqrt{\dfrac{1}{sin\,x}-\dfrac{cos\,x}{sin\,x}}}
{3x\cdot tan\,x\;\sqrt{sin\,x}}
$$
Se restó las fracciones en el radicando
$$
\lim_{x\to 0}
\frac{sin^{2}x\;
\sqrt{\dfrac{1-cos\,x}{sin\,x}}}
{3x\cdot tan\,x\;\sqrt{sin\,x}}
$$
Se extrae sinx
$$
\lim_{x\to 0}
\frac{sin^{2}x\;\sqrt{1-cos\,x}}
{3x\cdot tan\,x\;( \sqrt{sin\,x})^{2}}
$$
$$
\lim_{x\to 0}
\frac{sin^{2}x\;\sqrt{1-cos\,x}}
{3x\cdot tan\,x\;sin\,x}
$$
Aplicando equivalencias notables cuando \(x\to 0\):
$$
sin\,x \sim x,
\qquad
tan\,x \sim x,
\qquad
1-cos\,x \sim \frac{x^{2}}{2}
$$
Sustituyendo equivalencias:
$$
\lim_{x\to 0}
\frac{(x)^{2}\;\sqrt{\dfrac{x^{2}}{2}}}
{3x\cdot x\cdot x}
$$
Se aplica la propiedad de la radicación (raíz de un cociente)
$$
\lim_{x\to 0}
\frac{x^{2}\;\dfrac{x}{\sqrt{2}}}
{3x^{3}}
$$
Se multiplica y se divide
$$
\lim_{x\to 0}
\frac{x^{3}}{3\sqrt{2}\,x^{3}}
=
\frac{1}{3\sqrt{2}}
$$
$$
\boxed{
\lim_{x\to 0}
\left[
\frac{sin^{2}x\;\sqrt{csc\,x-cot\,x}}
{3x\cdot tan\,x\;\sqrt{sin\,x}}
\right]
=
\frac{1}{3\sqrt{2}}\cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{6}
}
$$
Ejemplo 3
Determina el límite
$$
\lim_{x\to a}
\left[
\frac{sin^{2}x-sin^{2}a}{x^{2}-a^{2}}
\right]
$$
Solución
$$
\lim_{x\to a}\left(\frac{sin^{2}a-sin^{2}a}{a^{2}-a^{2}}\right)=\frac{0}{0}
$$
Se factoriza el numerador y el denominador.
$$
sin^{2}x-sin^{2}a=(sin\,x+sin\,a)(sin\,x-sin\,a)
$$
$$
x^{2}-a^{2}=(x+a)(x-a)
$$
Aplicación de las identidades trigonométricas en la diferencia de senos:
$$
sin\,x-sin\,a=
2\;cos\!\left(\frac{x+a}{2}\right)
\;sin\!\left(\frac{x-a}{2}\right)
$$
Sustituyendo en el límite:
$$
\lim_{x\to a}
\frac{
(sin\,x+sin\,a)\;
2\,cos\!\left(\frac{x+a}{2}\right)
sin\!\left(\frac{x-a}{2}\right)
}
{(x+a)(x-a)}
$$
Aplicando equivalencia notable cuando \(x\to a\):
$$
sin\!\left(\frac{x-a}{2}\right)\sim \frac{x-a}{2}
$$
Entonces:
$$
\lim_{x\to a}
\frac{
(sin\,x+sin\,a)\;
2\,cos\!\left(\frac{x+a}{2}\right)
\;\dfrac{x-a}{2}
}
{(x+a)(x-a)}
$$
Simplificando:
$$
\lim_{x\to a}
\frac{
(sin\,x+sin\,a)\;
cos\!\left(\frac{x+a}{2}\right)
}
{x+a}
$$
Ahora se evalúa el límite:
$$
=
\frac{
( sin\,a+sin\,a )\;
cos\!\left(\frac{a+a}{2}\right)
}
{a+a}
$$
$$
=
\frac{2\,sin\,a\;cos\,a}{2a}
$$
Recordando que:
$$
2\,sin\,a\;cos\,a=sin\,2a
$$
$$
\boxed{
\lim_{x\to a}
\left[
\frac{sin^{2}x-sin^{2}a}{x^{2}-a^{2}}
\right]
=
\frac{sin\,2a}{2a}
}
$$
Límites exponenciales con indeterminación $$1^{\infty}$$
En los límites exponenciales con indeterminación $$1^{\infty}$$ Aparece una forma que a simple vista parece sencilla, pero que en realidad esconde un comportamiento muy interesante.
Expresiones como $$\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$$ no tienden a 1, sino al número e, dando origen a un tipo especial de indeterminación que requiere transformar la expresión para poder evaluarla correctamente. Este tipo de límites es fundamental para comprender el origen del número e y su relación con procesos de crecimiento continuo en matemáticas y física.
Equivalencias que generan el número e
| $$ \lim_{n \to \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n = e$$ |
| $$ \lim_{n \to \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+k} = e$$ |
| $$\lim_{\varepsilon \to 0}(1+\varepsilon)^{\frac{1}{\varepsilon}} = e$$ |
| $$ \lim_{a_n \to \infty}\left(1+\frac{1}{a_n}\right)^{a_n} = e$$ |
| $$ \lim_{a_n \to \infty}\left(1+\frac{1}{a_n}\right)^{a_n+k} = e$$ |
| $$ \lim_{a_n \to \infty}\left(1+\frac{1}{a_n}\right)^{a_n k} = e^{k}$$ |
| $$\lim_{\substack{a_n \to \infty \\ b_n \to B}}\left(1+\frac{b_n}{a_n}\right)^{a_n}=e^{\lim b_n}=e^{B}$$ |
| $$\lim_{\substack{a_n \to 1 \ b_n \to \infty}}(a_n)^{b_n}=e^{\lim \left[b_n(a_n-1)\right]}$$ |
Ejercicio 1.
Calcula el límite
$$\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{\frac{2n+3}{2}}$$
Solución
Al evaluar el límite:
$$\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{\frac{2n+3}{2}}=1^{\infty }$$
Se aplica:
$$\frac{2n+3}{2}=\frac{2n}{2}+\frac{3}{2}=n+\frac{3}{2}$$
Entonces el límite queda así:
Se busca en la tabla su equivalencia y su resultado es:
$$\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+\frac{3}{2}}=e$$
Ejercicio 2
Calcular
$$\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{2n+3}\right)^{2n+3}$$
Solución
Al evaluar se observa
$$\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{2n+3}\right)^{2n+3}=1^{\infty }$$
Se hace un cambio de variable y la expresión 2n+3 se denomina an:
$$a_n=2n+3$$
Se escribe así:
$$\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{2n+3}\right)^{2n+3}=\lim_{a_n\to\infty}\left(1+\frac{1}{a_n}\right)^{a_n}$$
Por lo tanto:
$$\lim_{a_n\to\infty}\left(1+\frac{1}{a_n}\right)^{a_n}=e$$
Ejercicio 3
Determinar
$$\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{3n+2}\right)^{3n+3}$$
Solución
Al sustituir queda como:
$$\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{3n+2}\right)^{3n+3}=1^{\infty }$$
Se realiza un cambio de variable y 3n+2 se llama an:
$$a_n=3n+2$$
Se aplica un artificio en el exponente para que su expresión sea igual a an:
$$3n+2=3n+2+1$$
Se procede a escribir el cambio de variable en límite:
$$\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{3n+2}\right)^{3n+3}=\lim_{a_n\to\infty}\left(1+\frac{1}{a_n}\right)^{a_n+1}$$
El resultado es:
$$lim_{a_n\to\infty}\left(1+\frac{1}{a_n}\right)^{a_n+1}=e$$
Límites infinitos vs. Límites en el infinito
Es común confundir estos términos, pero representan comportamientos muy distintos en una gráfica.
A. Límites infinitos (Crecimientos sin cota)
Se dice de un límite infinito cuando, al acercarse a un valor x → b, la función f (x) crece o decrece sin detenerse. En estos casos, se dice que el límite no existe como un número real, y simbólicamente es expresado así:
- Crecimiento: $$\displaystyle \lim_{x \to b}f(x)=+\infty $$
- Decrecimiento: $$\displaystyle \lim_{x \to b}f(x)=-\infty $$
- Significado geométrico: Aquí es donde aparecen las asíntotas verticales.
Diferencia entre funciones con cota y sin cota
En el estudio de límites infinitos, el concepto de cota es fundamental para entender el comportamiento de la función en el eje y (rango).
Una cota es, en términos sencillos, una «barrera» o un valor máximo/mínimo que la función no puede sobrepasar. En otras palabras, la cota es un número ubicado en el eje “y” y representa un valor máximo o mínimo de una función.
1. Funciones con Cota (Acotadas)
Una función tiene una cota inferior o cota superior si existe un número real que limita sus valores.
Ejemplo con cota
Diga si la función dada posee cota:$$f(x)=x^{2}+2$$
Solución:
Paso 1.
Paso 2.
Análisis: No importa qué valor de x elijas, el resultado nunca será menor a 2.
Cota: El número 2 es su cota inferior.
Rango: [ 2 , ∞ ).
Comportamiento del límite: Aunque la función crece hacia el infinito, se conoce con exactitud dónde parte.
2. Funciones sin Cota (No acotadas)
Una función no tiene cota cuando sus valores crecen o decrecen de forma ilimitada a medida que x se aproxima a un valor «b» o al infinito. Aquí es donde nacen los límites infinitos
Ejemplo sin cota
Dada la función:$$\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{1}{x}$$
Solución:
1. Tabla de valores.
2. Gráfica.
3. Comportamiento
Izquierda:$$\lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{x} = -\infty$$
Al acercarse a 0 por la izquierda la función baja sin detenerse, el límite es -∞.
Derecha:$$\lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x} = +\infty$$
Al acercarse a 0 por la derecha la función sube de forma indefinida, por lo tanto el límite es +∞.
4. Análisis
A medida que “x” se hace más pequeño (0.03, 0.02, 0.01 tabla de valores), el valor de f (x) aumenta (33.53, 50, 100).
5. Conclusión
La función no está acotada en un entorno de x = 0, ya que crece si límite hacia +∞ por la derecha y hacia -∞ por la izquierda. Por esta razón el $$\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{1}{x}$$
No existe como número real.
B. Límites en el infinito (Comportamiento final de la función)
Los límites en el infinito describen el comportamiento de una función cuando la variable x crece o decrece sin límite, es decir, cuando x →∞ o x → -∞.
Si la función f (x) se aproxima a un valor constante, se dice que tiene un límite en el infinito:
Esto significa que cuando x toma valores muy grandes o muy pequeños, la función se aproxima a esos valores.
Significado geométrico:
Si el límite es un número real L, entonces la recta y = L es una asíntota horizontal de la función.
Al calcular límites en el infinito se tienen en cuenta dos casos:
Caso 1. Si k ∈ ℜ y n ∈ Ν
$$\lim_{ x\to \infty }\frac{k}{x^{n}}=0$$
$$\lim_{ x\to -\infty }\frac{k}{x}=0$$
Esto quiere decir cuando existe una expresión racional y el numerador es una constante el resultado del límite cuando x tiende al infinito es cero.
Caso 2. Límites en el infinito de una función racional
Los límites de funciones racionales para los cuales se presentan la indeterminación ∞/∞ reciben el nombre de límites en el infinito.
Cálculo de asíntotas de una función
Las asíntotas son rectas a las que la gráfica de la función se acerca indefinidamente sin llegar nunca a tocarlas (en el infinito). Son las «guías» que definen la forma de la curva.
A. Cómo hallar asíntotas horizontales (y=b)
Indican el valor al que se estabiliza la función cuando x se hace muy grande o muy pequeña.
- Cómo hallarlas: Se calcula el límite de la función cuando x→∞.
- Regla de oro: Si existe asíntota horizontal, no hay asíntota oblicua (en funciones racionales simples)
Ejemplo paso a paso.
Determinar la asíntota horizontal de$$f(x)=\frac{4x^{2}+1}{3x^{2}}$$
Solución:
1. Calcular.
$$\lim_{ x\to \pm \infty }\frac{4x^{2}+1}{3x^{2}}=$$
Según el criterio C el resultado es:
$$\lim_{ x\to \pm \infty }\frac{4x^{2}+1}{3x^{2}}=\frac{4}{3}$$
2. Significado.
Cuando x → ± ∞ , f ( x ) = 4/3
3. Respuesta.
La asíntota horizontal es:
$$y=\frac{4}{3}$$
4. Gráfica.
B. Cómo hallar las asíntotas verticales (x=a)
Aparecen en los valores de x donde la función se dirige hacia el infinito.
- Cómo hallarlas: En funciones racionales, son los valores que hacen que el denominador sea cero (siempre que el numerador no sea cero en ese mismo punto).
Ejemplo paso a paso.
Calcular la asíntota vertical de la función$$f(x)=\frac{2x+1}{x^{2}-x-2}$$
Solución
1. Factorizar el denominador.
$$f(x)=\frac{2x+1}{x^{2}-x-2}=\frac{2x+1}{(x-2)(x+1)}$$
La función no está definida en x = 2 y x = -1. Como estos valores anulan el denominador pero no el numerador, se concluye que existen asíntotas verticales en:
$$x=2$$
$$x=-1$$
2. Signo de los límites laterales (Confirmar el comportamiento infinito de la función en los puntos x=-1 y x=2)
$$f(x)\frac{2x+1}{(x-2)(x+1)}$$
Cerca de x =-1
- 2x+1≈-1 (negativo)
- x-2≈-3 (negativo)
- x+1→0
Lado izquierdo:
- x+1<0
- Denominador: (negativo)(negativo)=positivo pequeño.
- Resultado: negativo / positivo → -∞
$$\lim_{ x\to -1^{-}}\frac{2x+1}{x^{2}-x-2}=-\infty $$
Lado derecho:
- x+1>0
- Denominador: (negativo)(positivo)=negativo pequeño
- Resultado: negativo / negativo →+∞
$$\lim_{ x\to -1^{+}}\frac{2x+1}{x^{2}-x-2}=\infty $$
Cerca de x = 2
- 2x+1≈5 (positivo)
- x+1≈3 (positivo)
- x-2→0
Lado izquierdo:
- x-2<0
- Denominador: (negativo)(positivo)=negativo pequeño.
- Resultado: positivo / negativo → -∞
$$\lim_{ x\to 2^{-}}\frac{2x+1}{x^{2}-x-2}=-\infty $$
Lado derecho:
- x-2>0
- Denominador: (positivo)(positivo)=positivo pequeño
- Resultado: positivo / positivo →+∞
$$\lim_{ x\to 2^{+}}\frac{2x+1}{x^{2}-x-2}=\infty $$
3. Gráfica.
Asíntotas oblicuas (y=mx + b)
Cuando trabajas con asíntotas oblicuas, lo que estás intentando descubrir es cómo se comporta una función cuando los valores de 𝑥 x se hacen muy grandes, es decir, cuando x→∞ o x→−∞. En ese recorrido, muchas funciones comienzan a parecerse cada vez más a una recta inclinada.
Estas asíntotas son justamente eso: rectas inclinadas (ni horizontales ni verticales) a las que la función se va acercando poco a poco, sin llegar a tocarlas completamente.
Esa recta tiene la forma:$$y=mx+b$$ Ahora bien, algo muy importante que debes tener en cuenta es esto:
Una función racional solo tiene asíntota oblicua cuando el grado del numerador es exactamente uno mayor que el grado del denominador.
Pasos para determinar las asíntotas oblicuas
Para encontrar esa recta, debes seguir tres pasos fundamentales: primero calcular la pendiente, luego el intercepto y, finalmente, construir la ecuación de la asíntota.
1. Cálculo de la pendiente (m): Se calcula el límite cuando x → ±∞, dividiendo la función f (x) entre x, si el resultado es una constante, la función posee una asíntota oblicua y esta constante representa su pendiente (m).
Si m es 0 o ∞, no existe asíntota oblicua.
m ∈ ℜ – {0}
$$m=\lim_{ x\to \infty }\frac{f(x)}{x}$$
2. Determinación del intercepto (b): Se determina el intercepto con el eje y aplicando el límite de la diferencia entre la función y el producto de la pendiente por la variable:
$$b=\lim_{x \to \infty} [f(x) – mx]$$
3. Construcción de la ecuación: Finalmente, se escribe la ecuación explícita de la recta combinando ambos valores en la forma:$$f(x) = mx + b$$.
También puedes hallarla realizando la división polinómica de la función; el cociente de la división es la ecuación de la asíntota oblicua.
Ejemplo paso a paso.
Determinar si la función posee asíntota oblicua.$$f(x)=\frac{x^{2}-9}{3x}$$
Solución:
Paso 1. Reemplazar la función.
$$m=\lim_{ x\to \infty }\frac{f(x)}{x}=\frac{\frac{x^{2}-9}{3x}}{x}=\frac{x^{2}-9}{3x^{2}}$$
La pendiente es:
$$m=\lim_{ x\to \infty }\frac{x^{2}-9}{3x^{2}}=\frac{1}{3}$$
Posee asíntota oblicua de pendiente (m) =1/3
Paso 2. Intercepto (b)
$$b=\lim_{ x\to \infty }f(x)-mx$$
$$b=\lim_{ x\to \infty }\frac{x^{2}-9}{3x^{2}}-\frac{1}{3}x$$
$$b=\lim_{ x\to \infty }\frac{3x^{2}-27-3x^{2}}{9x^{2}}$$
$$b=\lim_{ x\to \infty }\frac{-3}{x}$$
$$b=0$$
Ecuación de la asíntota oblicua:
$$f(x)=\frac{x}{3}+0$$
$$f(x)=\frac{x}{3}$$
Asíntota vertical:
$$x=0$$
Interceptos con el eje “x”
Igualar el numerador a cero.
$$x=\pm 3$$
Interceptos con el eje “y”
No existe.
Tabla de valores 
Gráfica
Actividades
Parte 1
I. Hallar los límites de cada función, aplicando los 2 métodos (sustitución y propiedades).
$$\displaystyle \lim_{x \to 1}x^{2}+2x-3$$
$$\displaystyle \lim_{ x\to 2}\frac{4x^{2}-3x}{x+2}$$
$$\displaystyle \lim_{x \to 1}\frac{x^{2}+\sqrt{x+3}}{\sqrt{x+8}}$$
$$\displaystyle \lim_{ x\to 2}\frac{3x+1}{2x}\cdot \sqrt{\frac{x+2}{9}}$$
$$\displaystyle \lim_{x \to 2}\frac{1}{2+\frac{x+1}{2-\frac{x+2}{2}}}$$
$$\displaystyle \lim_{ x\to 2}log\left ( \frac{2x+3}{x-1} \right )$$
$$\displaystyle \lim_{x \to 1}\left ( \frac{x}{2x+3} \right )^{3}$$
$$\displaystyle \lim_{ x\to 2}\left ( \sqrt[3]{\frac{x+2}{x-1}} \right )^{\frac{x+1}{2x}}$$
$$\displaystyle \lim_{x \to 1}10^{\left ( \frac{3x+2}{x} \right )}$$
Respuestas: 0; 5/2; 1; 7/6; 0; log7; 1/5³; √2; 10^5
Parte 2
II. Determinar el límite de la forma 0/0
$$\displaystyle \lim_{x \to 3}\left ( \frac{\sqrt{x}-\sqrt{3}}{x-3} \right )$$
$$\displaystyle \lim_{ x\to 4}\left ( \frac{3-\sqrt{x+5}}{x^{2}-16} \right )$$
$$\displaystyle \lim_{x \to 2}\frac{x^{2}-\sqrt{8x}}{\sqrt{2x}-2}$$
$$\displaystyle \lim_{ x\to 2}\frac{\sqrt{x+2}-\sqrt{2x}}{\sqrt{x-2}}$$
$$\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{(a-x)^{3}-a^{3}}{x}$$
$$\displaystyle \lim_{ x\to 2}\frac{x-\sqrt{x+2}}{\sqrt{4x+1}-3}$$
$$\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{a-\sqrt{a^{2}-x^{2}}}{x}$$
$$\displaystyle \lim_{ x\to 0}\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x^{2}+x+1}}{x}$$
$$\displaystyle \lim_{x \to a}\frac{x\sqrt{x}-a\sqrt{a}}{\sqrt{x}-\sqrt{a}}$$
Respuestas: √3/6; -1/48; 6; 0; -3a²; 9/8; 0; 0; 3a
III. Calcular el límite de la forma ∞/∞
$$\displaystyle \lim_{x \to \infty }\frac{4x^{3}-3x^{2}+1}{x^{2}+x-2}$$
$$\displaystyle \lim_{ x\to \infty }\frac{4x^{3}+2x-1}{2x^{3}+3}$$
$$\displaystyle \lim_{x \to \infty }\frac{x+2}{x^{2}+3}$$
$$\displaystyle \lim_{ x\to \infty }\left ( \frac{2+\frac{x-3}{x+1}}{3-\frac{2x+1}{x+1}} \right )$$
Respuestas: ∞; 2; 0; 3
IV. Determinar el límite de la forma ∞-∞
Uno (1)
$$\lim_{x\to\infty}\left(\frac{2x^{2}-1}{2x+1}-\frac{x^{2}}{x-1}\right)
\quad\Rightarrow\quad
-\frac{3}{2}$$
Dos (2)
$$
\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{x^{2}-1}-\sqrt{x^{2}-3x+2}\right)
\quad\Rightarrow\quad
\frac{3}{2}
$$
Tres (3)
$$
\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{x^{2}+ax}-x\right)
\quad\Rightarrow\quad
\frac{a}{2}
$$
Cuatro (4)
$$
\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{(x+a)(x+b)}-x\right)
\quad\Rightarrow\quad
\frac{a+b}{2}
$$
Cinco (5)
$$
\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{x+\sqrt{x}}-\sqrt{x-\sqrt{x}}\right)
\quad\Rightarrow\quad
1
$$
Parte 3
V. Determinar cada límite aplicando equivalencias.
Uno (1)
$$
\lim_{x\to 0}\left(\frac{sin(3x)}{x}\right)
\quad\Rightarrow\quad 3
$$
Dos (2)
$$
\lim_{x\to 0}\left(\frac{sin(2x)}{tan(4x)}\right)
\quad\Rightarrow\quad \frac{1}{2}
$$
Tres (3)
$$
\lim_{x\to 0}\left(\frac{arcsin(x)\,tan^{2}x}{x\,sin^{2}x}\right)
\quad\Rightarrow\quad 1
$$
Cuatro (4)
$$
\lim_{x\to 0}\left(\frac{1-cos x}{sin^{2}x}\right)
\quad\Rightarrow\quad \frac{1}{2}
$$
Cinco (5)
$$
\lim_{x\to 0}\left(\frac{x^{2}\,tan x+2x^{3}}{x-x\,cos x}\right)
\quad\Rightarrow\quad 6
$$
Seis (6)
$$
\lim_{x\to 0}\left(\frac{1-cos(3x)}{tan x\,sin x}\right)
\quad\Rightarrow\quad \frac{9}{2}
$$
Siete (7)
$$
\lim_{x\to 0}\left(\frac{sin^{2}x+tan^{2}x}{1-cos x}\right)
\quad\Rightarrow\quad 4
$$
Ocho (8)
$$
\lim_{x\to 0}\left(\frac{2x^{2}\,tan^{2}x}{3\,(sin(2x))^{4}}\right)
\quad\Rightarrow\quad \frac{1}{24}
$$
Nueve (9)
$$
\lim_{x\to 0}\left(\frac{sin(tan(3x))}{tan(sin(2x))}\right)
\quad\Rightarrow\quad \frac{3}{2}
$$
Diez (10)
$$
\lim_{x\to 0}\left(\frac{tan^{2}x\,\sqrt{x\,sin x}}{x\,\sqrt{\dfrac{1-cos x}{2}}}\right)
\quad\Rightarrow\quad 2
$$
Once (11)
$$
\lim_{x\to 0}\left(\frac{arcsin x\,tan(2x)}{2x\,tan x\,\sqrt{1-cos x}}\right)
\quad\Rightarrow\quad 2\sqrt{2}
$$
Doce (12)
$$
\lim_{x\to 0}\left(\frac{arcsin(2x)\,\sqrt{tan x}}{2x\,\sqrt{csc x-cot x}}\right)
\quad\Rightarrow\quad \sqrt{2}
$$
Trece (13)
$$
\lim_{x\to 0}\left(\frac{\arctan x}{2x}+\frac{4x}{sin(3x)}\right)
\quad\Rightarrow\quad \frac{11}{6}
$$
Catorce (14)
$$
\lim_{x\to 0}\left(\frac{sin x\,\sqrt{csc x-cot x}-x\,\sqrt{x}}{x\,\sqrt{tan x}}\right)
\quad\Rightarrow\quad \frac{1-\sqrt{2}}{\sqrt{2}}
$$
Parte 4
VI. La función f (x) definida como:
a. Grafica la función
b. Determinar los límites laterales:
c. ¿Existe el límite 
? Justifica tu respuesta.