sección transversal

Ecuación de Continuidad: Qué es, fórmula y 30 problemas resueltos de la vida diaria

por
Ecuación de continuidad

¿Por qué el agua sale con más fuerza cuando tapas parte de la salida de una manguera con el dedo? La respuesta no tiene nada de magia: es pura física, y se explica con una de las leyes más útiles de la mecánica de fluidos, la ecuación de continuidad.

Comparación del flujo de agua en una manguera: con un área grande la velocidad es baja y al reducir el área de salida aumenta la velocidad del agua
Figura 1. Área grande → velocidad baja; área pequeña → velocidad alta. Al reducir el área de salida de la manguera, el agua sale formando un chorro más estrecho y rápido.

Imagina que riegas el jardín con una manguera. Mientras el agua sale libremente, el chorro es ancho y lento. Pero en el momento en que cierras parcialmente la salida con el dedo, el chorro se vuelve delgado y sale disparado con mucha más velocidad. Ese mismo fenómeno ocurre en una jeringa, en los ríos que se angostan entre montañas, en los oleoductos e incluso dentro de tu propio sistema circulatorio.

Objetivo de aprendizaje: al terminar este artículo podrás explicar el origen físico de la ecuación de continuidad, aplicar su fórmula para calcular velocidades, áreas y caudales en distintos tipos de tuberías y conductos, y reconocer esta ley en situaciones de la vida cotidiana, la tecnología y la biología.

A lo largo del artículo encontrarás la teoría explicada paso a paso, un simulador interactivo para comprobar tus hipótesis, 30 ejercicios resueltos y propuestos, preguntas frecuentes y actividades para poner a prueba lo aprendido.

2. Terminología clave

Antes de profundizar en el tema, es muy importante que conozcas los términos clave. De esta forma, será más fácil comprender las explicaciones, interpretar correctamente los conceptos y relacionarlos con los diferentes ejemplos y situaciones que encontrarás a lo largo del contenido.

TérminoDefinición cortaEjemplo
FluidoSustancia que se deforma continuamente al aplicarle una fuerza (líquidos y gases).El agua, el aire, la gasolina.
Caudal (Q)Volumen de fluido que atraviesa una sección en una unidad de tiempo.Litros por segundo que salen de un grifo.
Sección transversal (A)Área de corte perpendicular a la dirección del flujo.El área circular interior de una tubería.
Velocidad de flujo (v)Rapidez con la que se desplaza el fluido a través de una sección.La velocidad del agua dentro de una manguera.
Fluido incompresibleFluido cuya densidad no cambia de forma apreciable al fluir.El agua líquida en condiciones normales.
Flujo laminarMovimiento ordenado del fluido en capas paralelas, sin remolinos.El agua que fluye suavemente por un tubo recto y delgado.
Línea de corrienteTrayectoria imaginaria que sigue una partícula de fluido en su movimiento.Las líneas que dibuja el humo al salir de una chimenea.
Conservación de la masaPrincipio físico según el cual la masa no se crea ni se destruye en el flujo.La misma cantidad de agua que entra a un tubo debe salir por el otro extremo.

2.1 Mapa conceptual: cómo se relacionan los términos

El mapa parte de la Conservación de la masa como principio general. De ahí se desprende el Caudal (Q), que se define como el producto entre el Área transversal (A) y la Velocidad de flujo (v). Cuando el área disminuye en un fluido incompresible, la velocidad debe aumentar para que el caudal se mantenga constante, y viceversa. Esta relación inversa entre área y velocidad es, en esencia, la ecuación de continuidad.

Mapa conceptual que muestra cómo la conservación de la masa conduce a la ecuación de continuidad, relacionando caudal, área transversal y velocidad del fluido
Figura 2. Relación entre los conceptos clave que explican la ecuación de continuidad.

3. Ecuación de continuidad

3.1 El principio de conservación de la masa en un fluido

Antes de llegar a la fórmula, piensa en un tubo por el que fluye agua sin fugas ni entradas adicionales. Toda la masa de agua que entra por un extremo, en un intervalo de tiempo determinado, debe salir por el otro extremo en ese mismo intervalo. No puede desaparecer ni acumularse mágicamente en el camino.

Ese enunciado, tan simple, es el principio de conservación de la masa aplicado a un fluido en movimiento. Cuando lo traducimos a lenguaje matemático para un flujo estacionario (uno cuyas propiedades no cambian con el tiempo en cada punto), obtenemos la ecuación de continuidad.

Deducción a partir del volumen desplazado

Considera un fluido que se mueve por una tubería con dos secciones transversales distintas: una de área A₁ donde la velocidad es v₁, y otra de área A₂ donde la velocidad es v₂. En un intervalo de tiempo Δt, el fluido que atraviesa la primera sección recorre una distancia v₁·Δt, por lo que el volumen que pasa es:

$$V_1 = A_1 v_1 \Delta t$$

De forma análoga, el volumen que atraviesa la segunda sección en el mismo intervalo es:

$$V_2 = A_2 v_2 \Delta t$$

Si el fluido es incompresible (su densidad no cambia), el volumen que entra debe ser igual al volumen que sale en ese mismo tiempo, así que V1 = V2. Esto conduce directamente a la ecuación de continuidad para fluidos incompresibles:

$$A_1 v_1 = A_2 v_2$$

Esta igualdad significa que, en cualquier punto del conducto, el producto entre el área transversal y la velocidad del fluido —llamado caudal— permanece constante.

3.2 Fórmula general de la ecuación de continuidad

La forma más usada en un curso introductorio de física es:

$$A_1 v_1 = A_2 v_2 = Q = \text{constante}$$

donde cada símbolo representa:

  • A₁ y A₂: área de la sección transversal en los puntos 1 y 2, medida en metros cuadrados.
  • v₁ y v₂: rapidez media del fluido en cada sección, medida en metros por segundo.
  • Q: caudal o flujo volumétrico, medido en metros cúbicos por segundo.

Forma general para fluidos compresibles

Cuando el fluido puede comprimirse (como ocurre con los gases a alta velocidad), la conservación de la masa se expresa incluyendo la densidad ρ:

$$\rho_1 A_1 v_1 = \rho_2 A_2 v_2$$

En este curso trabajaremos principalmente con la versión para fluidos incompresibles, que es la más aplicable a líquidos como el agua, el aceite o la sangre en condiciones normales.

El caudal como magnitud clave

El caudal Q representa cuánto volumen de fluido atraviesa una sección cada segundo. Sus unidades en el Sistema Internacional son metros cúbicos por segundo (m³/s), aunque en la práctica también es común usar litros por segundo (L/s) o litros por minuto (L/min).

$$Q = A \cdot v$$

🧠 Mini quiz:

Si el área de una tubería se reduce a la mitad y el fluido es incompresible, ¿qué ocurre con su velocidad?

a) Se reduce a la mitad.

b) Se duplica.

c) No cambia.

d) Se cuadruplica.
Muéstrame la respuesta
Repuesta: b) Se duplica, porque A y v son inversamente proporcionales cuando el caudal se mantiene constante.

3.3 Interpretación física: por qué el área y la velocidad son inversamente proporcionales

La ecuación A₁v₁ = A₂v₂ puede reescribirse como:

$$v_2 = v_1 \cdot \frac{A_1}{A_2}$$

Esta expresión muestra con claridad que si el área A₂ es menor que A₁, el cociente A₁/A₂ es mayor que 1, y por lo tanto v₂ debe ser mayor que v₁. En otras palabras: donde el conducto se angosta, el fluido se acelera; donde se ensancha, el fluido se frena.

Este comportamiento explica, entre muchas otras cosas, por qué el agua de un río fluye lentamente en los tramos anchos y se acelera al pasar por una garganta estrecha entre rocas.

3.4 Aplicaciones reales de la ecuación de continuidad

Hogar y la vida cotidiana

  • Mangueras de jardín: al tapar parcialmente la salida con el dedo, reduces el área y el chorro sale con mayor velocidad.
  • Grifos y llaves de paso: regular la abertura cambia el área efectiva y, con ello, la velocidad de salida del agua.
  • Jeringas: al presionar el émbolo, el líquido pasa de un área grande (el cuerpo de la jeringa) a un área pequeña (la aguja), saliendo a gran velocidad.

Ingeniería y tecnología

  • Diseño de tuberías industriales y oleoductos, donde se calculan diámetros para lograr velocidades de flujo seguras y eficientes.
  • Sistemas de ventilación y aire acondicionado, donde los conductos cambian de sección para regular la velocidad del aire.
  • Turbinas hidráulicas y toberas de cohetes, donde estrechar el conducto aumenta la velocidad de salida del fluido o los gases de escape.

Biología y la medicina

  • El sistema circulatorio humano: la sangre sale del corazón por la aorta (área pequeña, velocidad alta) y se distribuye en millones de capilares (área total mucho mayor, velocidad menor), lo que favorece el intercambio de nutrientes y oxígeno.
  • El diagnóstico de estenosis arterial (estrechamiento de una arteria) se apoya en el aumento anormal de velocidad que predice la ecuación de continuidad, detectable mediante ecografía Doppler.

Referencias a estudios e investigaciones

Investigaciones en didáctica de la física, como la desarrollada por Herrera Castrillo (2023) en la Revista Chilena de Educación Científica, han empleado simuladores interactivos tipo PhET para demostrar de forma visual y cuantitativa cómo se cumple la ecuación de continuidad en tuberías de sección variable, mostrando mejoras en la comprensión conceptual de los estudiantes frente a la enseñanza puramente teórica.

🧠 Mini quiz:

¿Por qué la sangre circula mucho más despacio en los capilares que en la aorta, aunque el corazón bombee con la misma fuerza?

a) Porque los capilares están más lejos del corazón.

b) Porque el área transversaltotal de todos los capilares juntos es mucho mayor que la de la aorta.

c) Porque la sangre se enfría.

d) Porque los capilares tienen válvulas.
Muéstrame la respuesta
Repuesta: b), en coherencia con A₁v₁ = A₂v₂: a mayor área total, menor velocidad.

3.5 Errores comunes al aplicar la ecuación de continuidad

  • Confundir caudal (Q) con velocidad (v): el caudal depende tanto del área como de la velocidad, no es lo mismo aumentar la velocidad que aumentar el caudal.
  • Olvidar convertir las unidades de área y velocidad a un mismo sistema antes de multiplicar (por ejemplo, mezclar centímetros con metros).
  • Aplicar la fórmula A₁v₁ = A₂v₂ a fluidos claramente compresibles (como aire a alta velocidad) sin considerar los cambios de densidad.
  • Suponer que el área de una tubería circular es el diámetro cuando en realidad se calcula con πr² usando el radio.
  • Pensar que si el área aumenta, el caudal también aumenta; en un fluido incompresible el caudal permanece constante, solo cambia la distribución entre área y velocidad.

4. Diagramas e ilustraciones

Diagrama 1 — Tubería de sección variable

Tubería con una zona ancha de área A₁ y velocidad v₁, y una zona estrecha de área A₂ y velocidad v₂ mayor, ilustrando la ecuación de continuidad
Figura 3. Al reducirse el área transversal de A₁ a A₂, la velocidad del fluido aumenta de v₁ a v₂, cumpliendo A₁v₁ = A₂v₂.

Diagrama 2 — Volumen desplazado en un intervalo de tiempo

Cilindro de fluido de longitud v·Δt que se desplaza a través de una sección transversal de área A durante un intervalo de tiempo Δt
Figura 4. El volumen que atraviesa una sección en un tiempo Δt es A·v·Δt, base de la deducción de la ecuación de continuidad.

Diagrama 3 — Aplicación en el sistema circulatorio

Comparación entre la aorta, de área pequeña y sangre a alta velocidad, y el conjunto de capilares, de área total grande y sangre a baja velocidad
Figura 5. La ecuación de continuidad explica por qué la sangre circula más lento en los capilares que en la aorta.

5. Simulador interactivo

Simulador recomendado para la ecuación de continuidad es Fluid Pressure and Flow (PhET Interactive Simulations.

Este simulador permite construir una tubería con secciones de distinto ancho, activar medidores de velocidad y de flujo, y observar en tiempo real cómo cambia la rapidez del fluido al variar el área del conducto.

Cómo explorar el simulador (predice antes de ver)

  • Antes de tocar nada: observa la tubería con área uniforme e imagina qué pasará con la velocidad si angostas el tramo central. Escribe tu hipótesis.
  • Paso 1: entra a la pestaña de «Flujo» y activa la casilla de puntos (Dots) para visualizar el movimiento del fluido.
  • Paso 2: reduce el área de la sección central de la tubería usando los controles laterales.
  • Paso 3: coloca el medidor de velocidad antes y dentro de la zona angosta, y compara los valores obtenidos.
  • Paso 4: calcula A₁v₁ y A₂v₂ con los datos del simulador y verifica si se cumple la ecuación de continuidad.
  • Paso 5: contrasta el resultado con tu hipótesis inicial: ¿acertaste en la predicción?

6. Ejemplos resueltos

A continuación, 10 ejemplos resueltos paso a paso, de menor a mayor complejidad, aplicados a contextos tecnológicos, cotidianos y de estudio de caso.

Ejemplo 1. Manguera de jardín

Una manguera de jardín tiene un área transversal de 4 cm² y el agua fluye a 2 m/s. Si en la punta se coloca una boquilla que reduce el área a 1 cm², ¿cuál es la nueva velocidad del agua?

Datos: A₁ = 4 cm², v₁ = 2 m/s, A₂ = 1 cm².

Aplicamos la ecuación de continuidad:

$$A_1 v_1 = A_2 v_2$$

Despejamos v₂:

$$v_2 = \frac{A_1 v_1}{A_2} = \frac{4 \times 2}{1}$$

Resultado: v₂ = 8 m/s. El agua sale 4 veces más rápido al reducirse el área a la cuarta parte.

Ejemplo 2. Jeringa médica

El cuerpo de una jeringa tiene un radio de 1 cm y la aguja un radio de 0,05 cm. Si el émbolo se empuja de modo que el líquido dentro del cuerpo avanza a 0,5 cm/s, ¿con qué velocidad sale el líquido por la aguja?

Calculamos las áreas con A = πr²:

$$A_1 = \pi (1)^2 = \pi\ \text{cm}^2 \qquad A_2 = \pi (0{,}05)^2 = 0{,}0025\pi\ \text{cm}^2$$

Aplicamos continuidad:

$$v_2 = v_1 \cdot \frac{A_1}{A_2} = 0{,}5 \cdot \frac{\pi}{0{,}0025\pi}$$

Resultado: v₂ = 200 cm/s = 2 m/s. Una pequeña presión en el émbolo produce una gran velocidad de salida.

Ejemplo 3. Oleoducto con reducción de diámetro

Por un oleoducto de diámetro 60 cm el petróleo fluye a 1,2 m/s. El oleoducto se conecta a un tramo de 40 cm de diámetro. Calcula la velocidad del petróleo en el tramo angosto.

Las áreas de tuberías circulares son proporcionales al cuadrado del diámetro, por lo que:

$$v_2 = v_1 \cdot \left(\frac{d_1}{d_2}\right)^2 = 1{,}2 \cdot \left(\frac{60}{40}\right)^2$$

Resultado: v₂ = 2,7 m/s aproximadamente. Reducir el diámetro en un tercio casi triplica la velocidad, porque el área depende del cuadrado del diámetro.

Ejemplo 4. Caudal en un grifo doméstico

Un grifo con área de salida de 2 cm² entrega agua a 3 m/s. ¿Cuál es el caudal en litros por minuto?

Convertimos el área a metros cuadrados: A = 2 cm² = 0,0002 m².

$$Q = A \cdot v = 0{,}0002 \times 3$$

Q = 0,0006 m³/s. Convertimos a litros por minuto (1 m³ = 1000 L; 1 min = 60 s):

$$Q = 0{,}0006\ \text{m}^3/\text{s} \times 1000 \times 60$$

Resultado: Q = 36 litros por minuto.

Ejemplo 5. Río que se angosta entre montañas

Un río tiene 8 m de ancho y 2 m de profundidad promedio en un tramo amplio, con una corriente de 0,5 m/s. Más adelante se angosta a 3 m de ancho manteniendo la misma profundidad. Calcula la nueva velocidad de la corriente.

Calculamos las áreas transversales:

$$A_1 = 8 \times 2 = 16\ \text{m}^2 \qquad A_2 = 3 \times 2 = 6\ \text{m}^2$$

Aplicamos continuidad:

$$v_2 = v_1 \cdot \frac{A_1}{A_2} = 0{,}5 \cdot \frac{16}{6}$$

Resultado: v₂ ≈ 1,33 m/s. Por eso los rápidos de los ríos aparecen justo donde el cauce se estrecha.

Ejemplo 6. Sistema de aire acondicionado

Un ducto de ventilación de 0,3 m² transporta aire a 4 m/s hacia una habitación. El ducto se ramifica en tres salidas iguales de 0,05 m² cada una. Si el flujo se reparte de forma equitativa, ¿a qué velocidad sale el aire por cada salida?

El caudal total que entra debe repartirse entre las tres salidas:

$$Q_{total} = A_1 v_1 = 0{,}3 \times 4 = 1{,}2\ \text{m}^3/\text{s}$$

Cada salida recibe un tercio del caudal total:

$$Q_{salida} = \frac{1{,}2}{3} = 0{,}4\ \text{m}^3/\text{s}$$

Despejamos la velocidad en cada salida:

$$v_{salida} = \frac{Q_{salida}}{A_{salida}} = \frac{0{,}4}{0{,}05}$$

Resultado: v = 8 m/s en cada salida. Ramificar el conducto en áreas más pequeñas aumenta la velocidad de salida del aire.

Ejemplo 7. Estrechamiento arterial (estenosis)

En una arteria sana el área transversal es de 0,5 cm² y la sangre circula a 20 cm/s. En una zona con placa de colesterol el área se reduce a 0,2 cm². ¿Cuál sería la velocidad de la sangre en esa zona, según la ecuación de continuidad?

Aplicamos continuidad:

$$v_2 = v_1 \cdot \frac{A_1}{A_2} = 20 \cdot \frac{0{,}5}{0{,}2}$$

Resultado: v₂ = 50 cm/s. Este aumento de velocidad es, precisamente, lo que detectan los equipos de ecografía Doppler para diagnosticar estenosis arteriales.

Ejemplo 8. Tobera de una manguera contra incendios

Una manguera contra incendios tiene un diámetro interno de 10 cm y transporta agua a 2 m/s. La boquilla final reduce el diámetro a 2,5 cm. Calcula la velocidad de salida del agua.

$$v_2 = v_1 \cdot \left(\frac{d_1}{d_2}\right)^2 = 2 \cdot \left(\frac{10}{2{,}5}\right)^2$$

Resultado: v₂ = 32 m/s. La gran diferencia de área entre la manguera y la boquilla explica la fuerza del chorro contra incendios.

Ejemplo 9. Comparación de caudales en dos tuberías paralelas

Dos tuberías alimentan un mismo tanque: la tubería A tiene área 0,02 m² y velocidad 1,5 m/s; la tubería B tiene área 0,01 m² y velocidad 2 m/s. ¿Cuál tubería aporta mayor caudal al tanque?

$$Q_A = A_A v_A = 0{,}02 \times 1{,}5 = 0{,}03\ \text{m}^3/\text{s}$$
$$Q_B = A_B v_B = 0{,}01 \times 2 = 0{,}02\ \text{m}^3/\text{s}$$

Resultado: La tubería A aporta mayor caudal (0,03 m³/s frente a 0,02 m³/s), aunque su velocidad sea menor: el caudal depende del producto de área y velocidad, no solo de la velocidad.

Ejemplo 10. Estudio de caso: diseño de una represa hidroeléctrica

En el conducto forzado de una represa, el agua entra con área de 12 m² a 3 m/s y debe llegar a las turbinas por un conducto de 2 m² de área. Calcula la velocidad del agua al llegar a las turbinas y explica por qué este diseño es eficiente.

$$v_2 = v_1 \cdot \frac{A_1}{A_2} = 3 \cdot \frac{12}{2}$$

Resultado: v₂ = 18 m/s. Al reducir progresivamente el área del conducto, la energía potencial del agua embalsada se convierte en una gran velocidad de entrada a las turbinas, maximizando la energía cinética disponible para generar electricidad.

7. Problemas resueltos

10 problemas con nivel de dificultad incremental, desarrollados paso a paso.

Problema 1. Velocidad en un tramo ancho

Por una tubería de 5 cm² de área fluye agua a 6 m/s. La tubería se ensancha a 15 cm². Calcula la velocidad en el tramo ancho.

$$v_2 = v_1 \cdot \frac{A_1}{A_2} = 6 \cdot \frac{5}{15}$$

Resultado: v₂ = 2 m/s.

Problema 2. Cálculo del área desconocida

En un punto de una tubería el área es 8 cm² y la velocidad es 4 m/s. En otro punto la velocidad es 32 m/s. Calcula el área en ese segundo punto.

$$A_1 v_1 = A_2 v_2$$
$$A_2 = \frac{A_1 v_1}{v_2} = \frac{8 \times 4}{32}$$

Resultado: A₂ = 1 cm².

Problema 3. Caudal constante con tres secciones

Una tubería tiene tres secciones: A₁ = 10 cm² con v₁ = 5 m/s; A₂ = 5 cm²; A₃ = 20 cm². Calcula v₂ y v₃.

El caudal es el mismo en las tres secciones:

$$Q = A_1 v_1 = 10 \times 5 = 50\ \text{cm}^2\cdot\text{m/s}$$
$$v_2 = \frac{Q}{A_2} = \frac{50}{5} = 10\ \text{m/s}$$
$$v_3 = \frac{Q}{A_3} = \frac{50}{20} = 2{,}5\ \text{m/s}$$

Resultado: v₂ = 10 m/s y v₃ = 2,5 m/s.

Problema 4. Diámetro de una tubería a partir del caudal

Se necesita transportar un caudal de 0,0785 m³/s con una velocidad máxima de 1 m/s. Calcula el diámetro mínimo de la tubería.

$$A = \frac{Q}{v} = \frac{0{,}0785}{1} = 0{,}0785\ \text{m}^2$$

Como A = πr², despejamos el radio:

$$r = \sqrt{\frac{A}{\pi}} = \sqrt{\frac{0{,}0785}{\pi}}$$

Resultado: r ≈ 0,158 m, por lo que el diámetro mínimo es de aproximadamente 0,316 m (31,6 cm).

Problema 5. Comparación de dos jeringas de distinto calibre

Dos jeringas se usan para vaciar el mismo volumen de suero en 10 segundos: la jeringa A tiene aguja de área 0,008 cm² y la jeringa B de 0,02 cm². Si ambas entregan un caudal de 0,5 cm³/s, ¿cuál aguja expulsa el líquido a mayor velocidad y cuánto vale esa velocidad?

$$v_A = \frac{Q}{A_A} = \frac{0{,}5}{0{,}008} = 62{,}5\ \text{cm/s}$$
$$v_B = \frac{Q}{A_B} = \frac{0{,}5}{0{,}02} = 25\ \text{cm/s}$$

Resultado: La jeringa A (aguja más delgada) expulsa el líquido a mayor velocidad: 62,5 cm/s frente a 25 cm/s.

Problema 6. Velocidad del viento en un embudo de montaña

El viento sopla a 10 km/h en un valle de sección transversal estimada en 4 000 m². Al entrar en un cañón de 800 m² de sección, ¿a qué velocidad soplará el viento, suponiendo aire incompresible en este rango de velocidades?

$$v_2 = v_1 \cdot \frac{A_1}{A_2} = 10 \cdot \frac{4000}{800}$$

Resultado: v₂ = 50 km/h. Esto explica por qué el viento se siente mucho más fuerte al atravesar cañones y desfiladeros.

Problema 7. Bomba de agua con dos salidas de distinto diámetro

Una bomba impulsa agua a 3 m/s por una tubería de 8 cm de diámetro. El sistema se bifurca en dos tuberías iguales de 4 cm de diámetro cada una. Calcula la velocidad del agua en cada una de las tuberías bifurcadas, suponiendo que el caudal se reparte por igual.

$$A_1 = \pi (0{,}04)^2 \approx 0{,}005027\ \text{m}^2$$
$$Q_{total} = A_1 v_1 \approx 0{,}005027 \times 3 \approx 0{,}01508\ \text{m}^3/\text{s}$$
$$Q_{cada\ tuberia} = \frac{0{,}01508}{2} \approx 0{,}00754\ \text{m}^3/\text{s}$$
$$A_2 = \pi (0{,}02)^2 \approx 0{,}001257\ \text{m}^2$$
$$v_2 = \frac{0{,}00754}{0{,}001257}$$

Resultado: v₂ ≈ 6 m/s en cada tubería bifurcada.

Problema 8. Vaciado de un tanque a través de un orificio

Un tanque cilíndrico de 2 m de diámetro se vacía por un orificio en el fondo de 4 cm de diámetro, por donde el agua sale a 5 m/s. ¿A qué velocidad desciende el nivel del agua dentro del tanque?

El área del tanque y la del orificio actúan como A₁ y A₂ de la ecuación de continuidad, donde v₁ es la velocidad de descenso del nivel:

$$A_{tanque} v_{descenso} = A_{orificio} v_{salida}$$
$$v_{descenso} = v_{salida} \cdot \frac{A_{orificio}}{A_{tanque}} = 5 \cdot \left(\frac{0{,}04}{2}\right)^2$$

Resultado: la velocidad de descenso del nivel es ≈0,002 m/s, es decir, 2 mm/s. Por eso un tanque grande tarda mucho en vaciarse por un orificio pequeño, aunque el agua salga rápido.

Problema 9. Red de tuberías con pérdida de caudal

Por una tubería principal de 0,06 m² circula agua a 2 m/s. En un punto se deriva una tubería secundaria que extrae un caudal de 0,02 m³/s. Calcula la velocidad del agua que continúa en la tubería principal después de la derivación, si el área no cambia.

$$Q_{inicial} = A v_1 = 0{,}06 \times 2 = 0{,}12\ \text{m}^3/\text{s}$$
$$Q_{final} = Q_{inicial} – Q_{derivado} = 0{,}12 – 0{,}02 = 0{,}10\ \text{m}^3/\text{s}$$
$$v_{final} = \frac{Q_{final}}{A} = \frac{0{,}10}{0{,}06}$$

Resultado: la velocidad final en la tubería principal es ≈1,67 m/s.

Problema 10. Diseño de una tobera para triplicar la velocidad

Se quiere diseñar una tobera que triplique la velocidad de salida del agua respecto a la velocidad de entrada, sin cambiar el caudal. Si la tubería de entrada tiene un diámetro de 12 cm, calcula el diámetro que debe tener la salida de la tobera.

Para triplicar la velocidad, el área debe reducirse a un tercio: A₂ = A₁/3. Como el área es proporcional al cuadrado del diámetro:

$$d_2 = d_1 \cdot \sqrt{\frac{A_2}{A_1}} = 12 \cdot \sqrt{\frac{1}{3}}$$

Resultado: d₂ ≈ 6,93 cm. Con ese diámetro de salida, la tobera triplicará la velocidad del agua manteniendo el mismo caudal.

8. Resumen

La ecuación de continuidad es, en el fondo, una forma elegante de decir que la masa no se pierde en el camino. Dominar esta idea te prepara para el siguiente gran tema del curso: el principio de Bernoulli, que añade al análisis la presión y la energía del fluido en movimiento, permitiendo entender fenómenos como la sustentación de un avión o el funcionamiento de un carburador. A continuación el breve resumen:

1. Un fluido en movimiento conserva su masa: lo que entra debe salir.

2. Esa conservación, aplicada a un flujo incompresible, da la fórmula A₁v₁ = A₂v₂.

3. Área y velocidad son inversamente proporcionales: menor área, mayor velocidad.

4. Esta relación explica fenómenos en mangueras, ríos, tuberías, sistemas de ventilación y el sistema circulatorio.

5. Junto al principio de Bernoulli, forma la base del análisis de fluidos en movimiento.

9. Actividades prácticas propuestas

PARTE I

Resuelve los siguientes ejercicios por tu cuenta.

1. Una manguera de área 6 cm² lleva agua a 1,5 m/s. Si el área se reduce a 2 cm², calcula la nueva velocidad.

v₂ = 4,5 m/s

2. Calcula el caudal de una tubería de 0,01 m² de área por la que el agua fluye a 2,5 m/s.

Q = 0,025 m³/s

3. Un río de 10 m de ancho y 1,5 m de profundidad fluye a 0,8 m/s. Se angosta a 4 m de ancho con la misma profundidad. Calcula la nueva velocidad.

v₂ = 2 m/s

4. En una tubería, A₁ = 12 cm² y v₁ = 3 m/s. Calcula A₂ si v₂ = 9 m/s.

A₂ = 4 cm²

5. Una jeringa con área de 3 cm² se vacía en 4 segundos, desplazando 12 cm³ de líquido. Calcula la velocidad del émbolo.

v = 1 cm/s

6. Un ducto de aire de 0,4 m² transporta aire a 5 m/s hacia dos salidas iguales de 0,1 m² cada una. Calcula la velocidad en cada salida.

v = 10 m/s

7. Calcula el diámetro de una tubería que debe transportar un caudal de 0,157 m³/s a una velocidad máxima de 2 m/s.

d ≈ 0,316 m

8. En una arteria, A₁ = 0,4 cm² y v₁ = 25 cm/s. En una zona estrechada A₂ = 0,1 cm². Calcula v₂.

v₂ = 100 cm/s

9. Una tobera reduce el diámetro de 20 cm a 5 cm. Si la velocidad de entrada es 1 m/s, calcula la velocidad de salida.

v₂ = 16 m/s

10. Un tanque de 3 m² de área se vacía por un orificio de 0,01 m² con velocidad de salida de 4 m/s. Calcula la velocidad de descenso del nivel del agua.

La velocidad de descenso es ≈0,0133 m/s

PARTE II

Actividad individual

Mide (o estima) el diámetro de la manguera de tu casa y el de la boquilla de la ducha o el grifo. Calcula cuántas veces aumenta la velocidad del agua al pasar de la manguera a la boquilla, aplicando la ecuación de continuidad. Presenta tus cálculos en una hoja con el procedimiento completo.

Actividad colaborativa (trabajo en equipo)

En grupos de tres o cuatro estudiantes, diseñen en papel un sistema de tuberías con al menos tres secciones de área diferente para abastecer de agua tres puntos distintos de una casa (cocina, baño y jardín). Calculen la velocidad esperada en cada tramo suponiendo un caudal de entrada fijo, y expliquen por qué eligieron esas áreas.

Actividad de aplicación real (proyecto corto)

Construyan un modelo sencillo con una botella plástica perforada con orificios de distinto tamaño a diferentes alturas, o usando mangueras de distinto diámetro conectadas. Midan con un cronómetro y un recipiente graduado el caudal que sale por cada orificio o manguera, calculen la velocidad de salida usando la ecuación de continuidad y comparen sus resultados experimentales con los valores teóricos esperados.

Preguntas frecuentes (FAQs)

¿La ecuación de continuidad significa que la velocidad siempre aumenta si el área disminuye?

Sí, pero solo para un fluido incompresible en flujo estacionario. Antes de responder rápido: ¿qué pasaría si el fluido fuera un gas a muy alta velocidad? En ese caso la densidad también cambia y hay que usar la forma general ρ1A₁v₁ = ρ2A₂v₂.

¿Por qué muchos estudiantes confunden caudal con velocidad?

Porque ambos describen «qué tan rápido» se mueve el fluido, pero el caudal (Q = A·v) depende también del área. Piensa: dos tuberías con la misma velocidad pero distinto diámetro, ¿tienen el mismo caudal? No, la de mayor área transporta más caudal.

¿Se puede aplicar la ecuación de continuidad a gases como el aire?

Sí, siempre que la velocidad del gas sea baja comparada con la velocidad del sonido, de modo que los cambios de densidad sean despreciables. A velocidades muy altas (como en aviones supersónicos) hay que usar la ecuación de continuidad para fluidos compresibles.

¿Es lo mismo la ecuación de continuidad que el principio de Bernoulli?

No. La ecuación de continuidad viene de la conservación de la masa y relaciona áreas con velocidades. El principio de Bernoulli viene de la conservación de la energía y relaciona presión, velocidad y altura. Ambas se usan juntas para analizar flujos completos.

¿Qué pasa si la tubería tiene fugas? ¿Sigue cumpliéndose A₁v₁ = A₂v₂?

No exactamente. La ecuación de continuidad supone que toda la masa que entra sale por el otro extremo. Si hay una fuga entre los dos puntos, hay que restar el caudal perdido, como viste en uno de los problemas resueltos.

¿El área siempre debe calcularse con πr² en estos ejercicios?

Solo cuando la tubería o el conducto es circular. Si la sección transversal es rectangular (como en un río o un canal), el área se calcula multiplicando el ancho por la profundidad, tal como viste en varios ejemplos.

¿Por qué la sangre no se mueve a la misma velocidad en todo el cuerpo?

Porque el área transversal total de los vasos sanguíneos cambia mucho: es pequeña en la aorta y enorme en el conjunto de todos los capilares. Según la ecuación de continuidad, a mayor área total, menor velocidad, lo que favorece el intercambio de oxígeno y nutrientes en los capilares.

¿La ecuación de continuidad funciona igual en flujo turbulento que en flujo laminar?

El principio de conservación de la masa se cumple en ambos casos, pero la ecuación A₁v₁ = A₂v₂ usa velocidades promedio. En flujo turbulento la velocidad varía mucho punto a punto, así que el resultado es una aproximación menos precisa que en flujo laminar.

Si tapo por completo la salida de una manguera, ¿la velocidad se vuelve infinita?

En teoría, si A₂ tiende a cero, v₂ tendría que tender a infinito para mantener el caudal, pero en la práctica ocurre otra cosa: al bloquear completamente la salida, el caudal deja de ser constante (se vuelve cero) y en su lugar aumenta la presión dentro de la manguera.

¿Qué error es más común al resolver ejercicios de ecuación de continuidad en un examen?

Olvidar unificar las unidades antes de multiplicar áreas por velocidades, por ejemplo mezclar centímetros cuadrados con metros por segundo sin convertir. Revisa siempre las unidades antes de reemplazar los valores en la fórmula.

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