Teorema de Thales en triángulos: teoría y práctica

¿Sabías que el Teorema de Thales está presente en muchas situaciones de nuestra vida cotidiana? Desde medir la altura de una torre sin necesidad de subir a ella, hasta diseñar planos arquitectónicos con precisión, esta herramienta permite determinar distancias y proporciones de manera sencilla. Así que, si tienes la curiosidad de calcular dimensiones muy elevadas te invito a que leas este contenido.

Antes de empezar, repasa la clasificación de los triángulos

¿Qué debes conocer antes de continuar?

¿Quién fue Thales de Mileto?

Fue un filósofo, astrónomo y matemático griego, nacido en Mileto en la antigua Jonia (actualmente Turquía). Sus investigaciones fundamentaron las bases de la geometría euclidiana, atribuyéndosele el célebre Teorema de Thales.

¿Por qué es importante su teorema?

Es una herramienta muy importante en la geometría ya que permite:

• Calcular las longitudes no conocidas en triángulos con una línea paralela.

• Es aprovechado en la trigonometría.

• Su aplicación facilita elaborar construcciones geométricas.

• Demostrar propiedades de semejanzas de triángulos.

¿El teorema de Thales es aplicado solo a un tipo de triángulo?

No, es aplicable a todo tipo de triángulo siempre y cuando exista una paralela.

¿Es aplicable el teorema de Thales en la vida cotidiana?

Sí, claro es usado en muchísimas áreas como:

• Construcción, usado para calcular alturas inaccesibles.

• Topografía, para determinar distancias lejanas.

• Óptica, para proyectar imágenes proporcionadas.

• Diseño gráfico, para ampliar o reducir imágenes manteniendo sus proporciones.

• Astronomía, ayudó en el cálculo de las alturas de las pirámides y la distancia de astros y constelaciones en la antigüedad.

Para plantear las proporciones, repasa la razón y proporción

Primer Teorema de Thales: Aplicado a triángulos

Su enunciado dice lo siguiente:

Si la longitud del lado DE es paralelo con respecto a la longitud AB, entonces: Δ ABC ∼ Δ DEC

Donde el símbolo ∼ su significado es semejante.

Otra forma de obtener figuras semejantes es la homotecia

El triángulo de color rojo es semejante con el de color azul, debido a que son de la misma forma y de distintos tamaños, por lo tanto, sus ángulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes son proporcionales.

La semejanza se aplica en la escala

Al trasladar el triángulo azul para que coincida con en el rojo se observa que ambos poseen:

• Un ángulo en común.
• Dos lados coincidentes con el otro triángulo.
• Dos lados no coincidentes con el otro triángulo.

Los lados no coincidentes son los lados paralelos.

Después de la semejanza, estudia las funciones trigonométricas

Tipos de proporcionalidades

Cuando existe algún lado desconocido debes saber identificar la situación para poder establecer de forma correcta el tipo de proporcionalidad.

Existen tres tipos de proporcionalidades, ellas son:

1. Proporcionalidad de segmentos entre paralelas y lados completo.

2. Proporcionalidad de segmentos, lados completos y paralelas.

3. Proporcionalidad entre segmentos correspondientes.

Proporcionalidad de segmentos entre paralelas y lados completo

Al trazar una paralela en el triángulo, esta interseca dos lados produciéndose segmentos. El significado de segmentos entre paralelas se refiere a segmentos correspondientes entre los lados paralelos.

Los segmentos correspondientes entre paralelas son:

Los lados completos son:

Al establecer las proporcionalidades queda así:

Despeja la incógnita con la resolución de ecuaciones lineales

Ejercicio # 1: Determinar el valor de “x”, si el segmento DE es paralelo con el lado BC.

Como se necesita conocer el segmento “x” entre las paralelas se aplica la proporcionalidad de segmentos entre paralelas y lado completo.

Para hallar el valor de x, usa la regla de tres simple

Proporcionalidad de segmentos, lados completos y paralelas

La relación es entre segmento y el lado completo o también entre segmento con su paralela correspondiente.

Ejercicio # 2: Calcula el valor de “x”, si el segmento RT es paralelo con el lado QS.

Se tiene los segmentos y lados paralelos, entonces las razones quedan así:

Ejercicio # 3: Calcula el valor de “x”, si el segmento PT es paralelo con el lado SR.

Se tiene los segmentos y sus lados completos, entonces las razones quedan así:

$$\begin{aligned} \frac{\overline{QT}}{\overline{QR}} &= \frac{\overline{QP}}{\overline{QS}}[cite: 10] \\ \frac{30}{90} &= \frac{3x}{(50 + 3x)}[cite: 10] \\ 3(50 + 3x) &= 27x[cite: 10] \\ 150 + 9x &= 27x[cite: 10] \\ -27x + 9x &= -150[cite: 10] \\ -18x &= -150[cite: 10] \\ x &= \frac{25}{3}[cite: 10] \end{aligned}$$

Proporcionalidad entre segmentos correspondientes

La proporcionalidad se realiza con sus segmentos correspondientes, el ejercicio # 3 es un ejemplo ya que este posee segmentos correspondientes. Observa el procedimiento:

Laboratorio Virtual: Fortalece tus conocimientos

Juega con el paralelismo

¡Llego la hora de jugar! Mueve el botón hacia la izquierda o la derecha y observa cómo el segmento paralelo a uno de los lados del triángulo se desplaza. ¡Descubre lo que sucede en esta actividad interactiva!.

1.)¿Qué sucede con los segmentos de los lados del triángulo cuando el lado paralelo se desplaza?

Resp.____________________________________________________________________________________________

2.)¿Cómo cambia la proporción entre los segmentos de los lados a medida que el segmento paralelo sube o baja?

Resp.___________________________________________________________________________________________

3.)¿El triángulo formado por el segmento paralelo es semejante al triángulo original? ¿Por qué?

Resp.__________________________________________________________________________________________

4.)¿Se mantiene la relación de proporcionalidad entre los segmentos?

Resp.__________________________________________________________________________________________

5.)¿En qué situaciones del mundo real se podría aplicar este principio de proporcionalidad de segmentos en triángulos?

Resp.__________________________________________________________________________________________

Nota: Intenta responderlas; encontrarás las respuestas en la sección de Actividades, parte II.

Dale forma al triángulo y analiza sus cambios

Ahora que ya conoces el teorema de Thales, te invito usar este tablero inteligente, el cual consiste en desplazar los vértices para que adecúes el tipo de triángulo, las dimensiones de los segmentos y los lados encontrados en los cálculos que realizaste.

¿Cómo usar la simulación?

A continuación, lee con mucha atención para que realices una buena practica.

1. Antes de usar el tablero inteligente:

• Observa la imagen y analiza que segmentos y lados necesitas calcular.
• Escribe en tu cuaderno los valores que ya están dados y piensa cómo encontrar los que faltan.
• Recuerda que el Teorema de Thales, las razones entre segmentos deben ser iguales.

2. Interactuando con la simulación:

• Arrastra los vértices del triángulo y observa cómo cambian las longitudes.
• Ajusta los valores según tus cálculos y verifica si la figura se mantiene.
• Si los lados no coinciden, revisa tus cuentas y corrige donde sean necesario.
• Usa el zoom para ver mejor los valores si hay decimales.

3. Después de la simulación:

• Reflexiona: ¿Coincidieron tus cálculos con los valores de la simulación?
• ¿Cómo podrías corregir un error si la figura no coincide con tus cálculos?
• ¿Qué ocurre cuando modificas los vértices?¿Siguen cumpliéndose los proporciones?
• ¿Qué aprendiste sobre el teorema de Thales con esta simulación?
• ¿En qué situaciones de la vida cotidiana crees que este tema es útil?

Mini-quiz

Preguntas frecuentes

Actividades

Parte I

1.Determina el valor de “x”

Respuesta: x=6

2.Determina el valor de “x”

Respuesta: x=16

3.Hallar “x”

Respuesta: x=4

4.Calcula “x”

Respuesta: x=30

5.Determine “x”

Respuesta: x=10

6.Un árbol de 14m de altura próximo a un edificio, proyecta una sombra de 24m a la misma hora. Hallar:

• La altura del edificio, si su sombra es de 48m.
• La sombra que refleja el edificio, si su altura es de 70m.

Respuesta:

• 28m
• 120m

Parte II

Respuestas de Juega con el Paralelismo
1.La razón de semejanza se mantiene constante.

2.Cuando:
El segmento paralelo sube, la proporción disminuye.
El segmento paralelo baja, la proporción aumenta.
Siempre se mantiene la semejanza entre los triángulos generados.

3.Sí, el triángulo formado por el segmento paralelo es semejante al triángulo original porque tienen los mismos ángulos, garantizando semejanza por el criterio AA.

4.Sí, la relación de proporcionalidad entre los segmentos se mantiene, ya que los triángulos siguen siendo semejantes en cualquier posición del segmento paralelo, lo que cambia son los valores absolutos de los segmentos, pero no la proporción entre ellos.

5.Las aplicaciones son innumerables. Por ejemplo, se puede determinar la altura de la Torre Phelps, medir la altura de un árbol o calcular la distancia a un punto inaccesible utilizando la proporcionalidad de los triángulos.