Las operaciones con polinomios están presentes en situaciones tan comunes como calcular el interés de una cuenta de ahorros, estimar el costo total de una compra con descuentos escalonados o programar el movimiento de un objeto en un videojuego.
Dominar la suma, la resta, la multiplicación y la división de polinomios permite resolver estos problemas de forma ordenada y sin perderse en el camino. En este artículo podrás repasar la definición de un polinomio, aprender cada una de las cuatro operaciones básicas paso a paso, y practicar con ejemplos y ejercicios resueltos.
¿Qué es un polinomio y por qué aparece en tantos cálculos cotidianos?
Un polinomio es una expresión algebraica que se construye a partir de una o más variables, combinadas únicamente mediante sumas, restas, multiplicaciones y exponentes enteros no negativos. Aunque parezca un concepto puramente abstracto, los polinomios aparecen todo el tiempo en la vida cotidiana, por ejemplo en la planificación financiera.
Situación cotidiana
Una ecuación polinómica puede utilizarse para calcular el interés que generará un depósito inicial en una cuenta de ahorros a una tasa dada. Si una cuenta con un depósito inicial de Bs 5.000 gana un interés simple del 4 % anual, la siguiente expresión permite calcular el interés acumulado en tres años:
$$\text{Interés} = (5000)(0{,}04)(3) = 600$$
Es decir, la cuenta acumularía Bs 600 de intereses durante los tres años.
De manera formal, se llama polinomio, en la variable x, a cualquier expresión algebraica de la forma:
$$P(x) = a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_2x^2 + a_1x + a_0$$
donde:
- n es un número natural o cero, llamado grado del polinomio. Es el mayor exponente de la variable que aparece en los términos no nulos del polinomio.
- an, a(n-1), …, a1, a0 son números reales, con an ≠ 0 si n ≠ 0, llamados coeficientes del polinomio.
- an·x^n, a(n-1)·x^(n-1), …, a0 son los términos del polinomio.
- a0 es el coeficiente de grado cero, o término independiente.
Por ejemplo, el polinomio siguiente es de grado 4, tiene cinco términos, y sus coeficientes son 5, −3, 2, −1 y 7:
$$P(x) = 5x^4 – 3x^3 + 2x^2 – x + 7$$
En cambio, la siguiente expresión no es un polinomio, porque el exponente de la variable x es negativo, y los polinomios solo admiten exponentes enteros no negativos: $$3x^{-1} + 2x^2 – 4$$
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Términos relevantes
Polinomio: expresión algebraica formada por la suma de varios términos, cada uno con un coeficiente real y una variable elevada a un exponente entero no negativo.
Grado de un polinomio: el mayor exponente de la variable que aparece en los términos no nulos del polinomio.
Coeficiente: número real que multiplica a la variable en cada término del polinomio.
Término independiente: el coeficiente de grado cero, es decir, el término del polinomio que no tiene variable.
Cociente y resto: resultados de dividir un polinomio entre otro; el resto siempre tiene un grado menor que el divisor.
Igualdad de polinomios
Dos polinomios P(x) y Q(x) son iguales si tienen los mismos coeficientes en cada grado, sin importar el orden en que estén escritos sus términos.
Los siguientes polinomios son iguales, ya que tienen exactamente los mismos términos, solo que en distinto orden:
$$P(x) = 5x^3-2x^2+4x-1 \qquad Q(x) = 4x-2x^2+5x^3-1$$
En cambio, los siguientes polinomios no son iguales, porque su término independiente no coincide:
$$P(x) = 5x^3-2x^2+4x-1 \qquad R(x) = 5x^3-2x^2+4x-3$$
Suma de polinomios
Para sumar dos polinomios, se suman los coeficientes de los términos del mismo grado. Suma los siguientes polinomios:
$$P(x) = 3x^3+4x-5 \qquad Q(x) = 5x-2x^2+3x^3$$
1. Se ordenan los polinomios, si no lo están:
$$Q(x) = 3x^3-2x^2+5x$$
$$P(x)+Q(x) = (3x^3+4x-5) + (3x^3-2x^2+5x)$$
2. Se agrupan los monomios del mismo grado:
$$P(x)+Q(x) = 3x^3+3x^3-2x^2+4x+5x-5$$
3. Se suman los monomios semejantes:
$$P(x)+Q(x) = 6x^3-2x^2+9x-5$$
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Resta de polinomios
La resta de polinomios consiste en sumar al minuendo el opuesto del sustraendo. Usando los mismos polinomios P(x) y Q(x) del ejemplo anterior:
$$P(x)-Q(x) = (3x^3+4x-5) – (3x^3-2x^2+5x)$$
$$P(x)-Q(x) = 3x^3+4x-5-3x^3+2x^2-5x$$
$$P(x)-Q(x) = 3x^3-3x^3+2x^2+4x-5x-5$$
$$P(x)-Q(x) = 2x^2-x-5$$
Multiplicación de polinomios
En esta sección encontrarás, cómo se realiza la multiplicación de una constante por un polinomio, la multiplicación de un monomio por un polinomio y, finalmente, la multiplicación de dos polinomios.
1. Multiplicación de una constante por un polinomio
El resultado es otro polinomio del mismo grado, cuyos coeficientes son el producto de los coeficientes originales por esa constante.
$$4\cdot(3x^3-2x^2+5x-3) = 12x^3-8x^2+20x-12$$
2. Multiplicación de un monomio por un polinomio
Se multiplica el monomio por cada uno de los monomios que forman el polinomio.
$$4x^2\cdot(3x^3-2x^2+5x-3) = 12x^5-8x^4+20x^3-12x^2$$
3. Multiplicación de dos polinomios
Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los términos del segundo, y luego sumar los monomios del mismo grado.
El polinomio resultante tiene como grado la suma de los grados de los polinomios que se multiplican (2 + 3 = 5, en este caso).
División de polinomios
Observa los siguientes polinomios:
$$P(x) = x^5+x^4+x^3+7x^2+5x+9 \qquad Q(x) = x^2-2x+3$$
1. A la izquierda se coloca el dividendo; si el polinomio no está completo, se dejan huecos (coeficiente cero) en los lugares que correspondan. A la derecha se coloca el divisor.
2. Se divide el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor:
$$x^5 \div x^2 = x^3$$
3. Se multiplica cada término del divisor por ese resultado y se resta del dividendo. Se repite el proceso con el nuevo resto obtenido:
$$x^4 \div x^2 = x^2$$
$$x^3 \div x^2 = x$$
$$7x^2 \div x^2 = 7\ \text{(ajustado en cada resta sucesiva)}$$
4. Al repetir el proceso, se obtiene un cociente de x³ + 3x² + 4x + 6, con un resto de 5x − 9, ya que este último tiene un grado menor que el divisor y, por lo tanto, no se puede seguir dividiendo:
$$C(x) = x^3+3x^2+4x+6 \qquad R(x) = 5x-9$$
Se puede comprobar el resultado verificando que Q(x)·C(x) + R(x) sea igual al dividendo original P(x).
Ejercicios resueltos paso a paso
1. Dados los polinomios P(x) = 5x² + 3 y Q(x) = x³ − 4x² + 7x − 5, calcula P(x) + Q(x).
Solución:
$$P(x)+Q(x) = (5x^2+3)+(x^3-4x^2+7x-5) = x^3+x^2+7x-2$$
2. Dados los polinomios P(x) = 5x² + 3 y V(x) = 2x² − 4, calcula P(x) − V(x).
Solución:
$$P(x)-V(x) = (5x^2+3)-(2x^2-4) = 3x^2+7$$
3. Dados los polinomios P(x) = 5x² + 3 y W(x) = 7x² + 2x − 4, calcula P(x) + W(x).
Solución:
$$P(x)+W(x) = (5x^2+3)+(7x^2+2x-4) = 12x^2+2x-1$$
4. Con los mismos polinomios P(x) y W(x) del ejercicio anterior, calcula 3P(x) − W(x).
Solución:
$$3P(x)-W(x) = 3(5x^2+3)-(7x^2+2x-4) = 15x^2+9-7x^2-2x+4 = 8x^2-2x+13$$
5. Dados los polinomios S(x) = (1/3)x² + 6, T(x) = (2/3)x² + 4 y U(x) = x² + 5, calcula S(x) + T(x) + U(x).
Solución:
$$S(x)+T(x)+U(x) = \left(\tfrac{1}{3}+\tfrac{2}{3}+1\right)x^2 + (6+4+5) = 2x^2+15$$
6. Con los mismos polinomios S(x), T(x) y U(x), calcula S(x) − T(x) + U(x).
Solución:
$$S(x)-T(x)+U(x) = \left(\tfrac{1}{3}-\tfrac{2}{3}+1\right)x^2 + (6-4+5) = \tfrac{2}{3}x^2+7$$
7. Dados los polinomios P(x) = x⁴ − 3x² + 4 y Q(x) = x² − 3x + 2, calcula P(x)·Q(x).
Solución:
$$(x^4-3x^2+4)(x^2-3x+2) = x^6-3x^5+2x^4-3x^4+9x^3-6x^2+4x^2-12x+8$$
$$= x^6-3x^5-x^4+9x^3-2x^2-12x+8$$
8. Dados los polinomios P(x) = 2x² − 3x y Q(x) = 3x³ + 2x² − x + 4, calcula P(x)·Q(x).
Solución:
$$(2x^2-3x)(3x^3+2x^2-x+4) = 6x^5+4x^4-2x^3+8x^2-9x^4-6x^3+3x^2-12x$$
$$= 6x^5-5x^4-8x^3+11x^2-12x$$
9. Determina el cociente y el resto de:
$$(x^4-2x^3-6x^2+25x-22) \div (x^2+2x-3)$$
Solución:
$$C(x) = x^2-4x+5 \qquad R(x) = 3x-7$$
10. Determina el cociente y el resto de:
$$(x^6-4x^4+2x^2-5x) \div (x^2-x+2)$$
Solución:
$$C(x) = x^4+x^3-5x^2-7x+5 \qquad R(x) = 14x-10$$
Conclusión
Las operaciones con polinomios (sumar, restar, multiplicar y dividir) siguen reglas ordenadas que, una vez interiorizadas, se vuelven mecánicas: agrupar términos semejantes para sumar y restar, distribuir cuidadosamente para multiplicar, y repetir un proceso de división y resta para dividir.
Dominar estas cuatro operaciones no solo es la base para temas más avanzados del álgebra, como la factorización o la resolución de ecuaciones polinómicas, sino que también resulta útil en situaciones cotidianas que van desde las finanzas personales hasta la programación y la ingeniería.
La mejor forma de afianzar estas destrezas es practicando con ejercicios variados, como los que se presentaron en este post.
Preguntas frecuentes
1. ¿Qué es un polinomio?
Es una expresión algebraica formada por la suma de términos, cada uno compuesto por un coeficiente real y una variable elevada a un exponente entero no negativo.
2. ¿Cómo se suman dos polinomios?
Se ordenan los polinomios, se agrupan los términos del mismo grado y se suman sus coeficientes.
3. ¿Cómo se restan dos polinomios?
Se suma al primer polinomio el opuesto de cada término del segundo, es decir, se cambia el signo de todos los términos del sustraendo y luego se suman los términos semejantes.
4. ¿Cómo se multiplica un polinomio por un monomio?
Se multiplica el monomio por cada uno de los términos del polinomio, aplicando la propiedad distributiva.
5. ¿Cómo se multiplican dos polinomios entre sí?
Se multiplica cada término del primer polinomio por todos los términos del segundo y luego se suman los términos semejantes del resultado.
6. ¿Qué grado tiene el polinomio resultante de una multiplicación?
Su grado es igual a la suma de los grados de los dos polinomios que se multiplican.
7. ¿Cómo se dividen dos polinomios?
Se divide el término de mayor grado del dividendo entre el término de mayor grado del divisor, se multiplica ese resultado por todo el divisor, se resta del dividendo y se repite el proceso hasta que el resto tenga un grado menor que el divisor.
8. ¿Qué es el resto de una división de polinomios?
Es el polinomio que queda al final de la división, cuyo grado es siempre menor que el grado del divisor.
9. ¿Cuándo son iguales dos polinomios?
Cuando tienen exactamente los mismos coeficientes en cada grado, sin importar el orden en que estén escritos sus términos.
10. ¿Por qué una expresión con exponentes negativos o fraccionarios no es un polinomio?
Porque, por definición, los polinomios solo permiten exponentes enteros no negativos en sus variables.
Actividades
- Dados los polinomios:
$$
P(x)=4x^2-3x+5
$$
y
$$
Q(x)=2x^3-x^2+6x-4
$$
calcula:
$$
P(x)+Q(x)
$$
Respuesta:
$$
2x^3+3x^2+3x+1
$$
- Sean los polinomios:
$$
P(x)=6x^2+x-7
$$
y
$$
R(x)=3x^2-5x+2
$$
determina:
$$
P(x)-R(x)
$$
Respuesta:
$$
3x^2+6x-9
$$
- Dados los polinomios:
$$
A(x)=7x^2-2x+1
$$
y
$$
B(x)=5x^2+4x-6
$$
calcula:
$$
A(x)+B(x)
$$
Respuesta:
$$
12x^2+2x-5
$$
- Utilizando los mismos polinomios del ejercicio anterior, calcula:
$$
2A(x)-B(x)
$$
Respuesta:
$$
9x^2-8x+8
$$
- Dados los polinomios:
$$
S(x)=\frac12x^2+3
$$
$$
T(x)=\frac32x^2+5
$$
$$
U(x)=2x^2-4
$$
calcula:
$$
S(x)+T(x)+U(x)
$$
Respuesta:
$$
4x^2+4
$$
- Con los mismos polinomios del ejercicio anterior, determina:
$$
S(x)-T(x)+U(x)
$$
Respuesta:$$x^2-6$$
- Multiplicar los siguientes polinomios:
$$P(x)=x^3-2x+1$$y$$Q(x)=x^2+x-3$$
Solución: $$x^5+x^4-5x^3-x^2+7x-3$$
- Dados los polinomios:
$$
P(x)=3x^2-x
$$
y
$$
Q(x)=2x^3+x^2-4
$$
determina:
$$
P(x)\cdot Q(x)
$$
Respuesta:
$$
6x^5+x^4-2x^3-12x^2+4x
$$
- Determina el cociente y el resto de:
$$
(x^4-3x^3+5x^2-7x+6)\div(x^2-x+2)
$$
Respuesta:
$$
\text{Cociente}=x^2-2x+1
$$
$$
\text{Resto}=-8x+4
$$
- Determina el cociente y el resto de:
$$
(x^5+2x^4-3x^3+x^2-5)\div(x^2+2)
$$
Respuesta:
$$
\text{Cociente}=x^3+2x^2-5x-3
$$
$$
\text{Resto}=10x+1
$$
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