La suma de polinomios permite combinar de forma ordenada dos o más expresiones algebraicas en una sola, algo que ocurre, por ejemplo, al sumar los costos variables de dos proveedores distintos para calcular el gasto total de un proyecto, o al combinar las áreas de dos terrenos cuyas dimensiones dependen de una misma variable.
En este artículo podrás repasar qué es la suma de polinomios, aprender el método paso a paso y practicar con ejemplos y ejercicios resueltos.
¿Cómo se suman dos polinomios sin perder ningún término?
Sumar dos polinomios es una operación que consiste en combinar sus términos semejantes, es decir, aquellos que tienen exactamente la misma variable elevada al mismo exponente. Solo se pueden sumar los coeficientes de términos semejantes; términos con distinto grado permanecen separados en el resultado.
El procedimiento tiene tres pasos: primero, se ordenan ambos polinomios de mayor a menor grado; segundo, se agrupan los términos semejantes; tercero, se suman los coeficientes de cada grupo. Si algún término no tiene pareja en el otro polinomio, simplemente se copia tal cual en el resultado.
El grado del polinomio resultante normalmente coincide con el mayor de los grados de los polinomios originales, aunque puede ser menor si los coeficientes de mayor grado llegan a cancelarse entre sí.
Ejemplo # 1
Suma los siguientes polinomios:
$$P(x) = 4x^3-2x+5 \qquad Q(x) = 3x^3+5x^2-7$$
Solución: Se agrupan los términos semejantes y se suman sus coeficientes.
$$P(x)+Q(x) = (4x^3+3x^3) + 5x^2 – 2x + (5-7)$$
$$P(x)+Q(x) = 7x^3+5x^2-2x-2$$
Ejemplo # 2
Suma los siguientes polinomios, en los que algunos términos se cancelan:
$$P(x) = 6x^4-3x+8 \qquad Q(x) = -2x^4+5x^2+3x-1$$
Solución:
$$P(x)+Q(x) = (6-2)x^4+5x^2+(-3+3)x+(8-1)$$
$$P(x)+Q(x) = 4x^4+5x^2+7$$
Nota cómo el término en x desaparece por completo, ya que sus coeficientes (−3 y 3) se cancelan entre sí.
Ejemplo # 3
También se pueden sumar tres o más polinomios a la vez. Suma:
$$P(x)=2x^2+3x-1 \quad Q(x)=-x^2+4x+6 \quad R(x)=3x^2-5x+2$$
Solución:
$$P(x)+Q(x)+R(x) = (2-1+3)x^2+(3+4-5)x+(-1+6+2) = 4x^2+2x+7$$
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Términos claves
Suma de polinomios: operación que combina los términos semejantes de dos o más polinomios para obtener un único polinomio resultante.
Términos semejantes: términos que tienen exactamente la misma variable elevada al mismo exponente, y que por lo tanto pueden sumarse entre sí.
Ejercicios resueltos paso a paso de suma de polinomios
1. Suma: P(x) = 5x³ + 2x − 4 y Q(x) = −3x³ + 6x² − 1.
$$P(x)+Q(x) = 2x^3+6x^2+2x-5$$
2. Suma los polinomios P(x) = 7x⁴ − 3x² + 5 y Q(x) = 2x⁴ + 3x² − 9x + 1.
$$P(x)+Q(x) = 9x^4-9x+6$$
3. Suma: P(x) = 4x² + 7 y Q(x) = 3x³ − 2x² + 5x.
$$P(x)+Q(x) = 3x^3+2x^2+5x+7$$
4. Suma los polinomios A(x) = 3x² + 2x − 5, B(x) = −2x² + 4x + 1 y C(x) = x² − 6x + 3.
$$A(x)+B(x)+C(x) = 2x^2-1$$
5. Suma los polinomios S(x) = (1/2)x² + 3 y T(x) = (1/4)x² − 5.
$$S(x)+T(x) = \tfrac{3}{4}x^2-2$$
6. Un proveedor A cobra (2x² + 50) dólares por fabricar x unidades, y un proveedor B cobra (3x + 120) dólares por un servicio adicional. Encuentra el polinomio que representa el costo total combinado.
$$\text{Costo total} = (2x^2+50)+(3x+120) = 2x^2+3x+170$$
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Preguntas frecuentes de suma de polinomios
1. ¿Qué es la suma de polinomios?
2. ¿Cómo se identifican los términos semejantes en una suma de polinomios?
3. ¿Es necesario ordenar los polinomios antes de sumarlos?
4. ¿Qué pasa si dos polinomios no tienen los mismos grados?
5. ¿El grado del polinomio resultante puede ser menor que el de los originales?
6. ¿Se pueden sumar más de dos polinomios a la vez?
7. ¿Cómo se suman polinomios con coeficientes fraccionarios?
8. ¿La suma de polinomios es conmutativa?
9. ¿La suma de polinomios es asociativa?
10. ¿En qué situaciones reales se aplica la suma de polinomios?
Conclusión
Sumar polinomios se reduce, en el fondo, a una tarea de organización: ordenar los términos, identificar cuáles son semejantes y sumar sus coeficientes con cuidado.
Este procedimiento sencillo es la base de operaciones más avanzadas, como la resta y la resolución de ecuaciones polinómicas, y aparece constantemente en situaciones donde hace falta combinar cantidades que dependen de una misma variable, como costos, áreas o cantidades de materiales.
Actividades
1. Suma: $$ P(x)=4x^3-5x+6 $$ $$ Q(x)=2x^3+3x^2-4 $$ Respuesta: $$ 6x^3+3x^2-5x+2 $$ 2. Calcula la suma de: $$ P(x)=5x^4-2x^2+8 $$ $$ Q(x)=3x^4+6x-7 $$ Respuesta: $$ 8x^4-2x^2+6x+1 $$ 3. Encuentra la suma de: $$ P(x)=6x^2-3 $$ $$ Q(x)=2x^3-4x^2+7x+5 $$ Respuesta: $$ 2x^3+2x^2+7x+2 $$ 4. Suma: $$ A(x)=5x^2-3x+4 $$ $$ B(x)=-x^2+6x-2 $$ $$ C(x)=2x^2-5x+7 $$ Respuesta: $$ 6x^2-2x+9 $$ 5. Calcula: $$ S(x)=\frac{3}{4}x^2+8 $$ $$ T(x)=\frac{1}{4}x^2-6 $$ Respuesta: $$ x^2+2 $$ 6. Una empresa A cobra:$$4x^2+80$$ Dólares por fabricar un lote de productos, mientras que una empresa B cobra:$$5x+140$$ Dólares por el transporte. Determina el costo total. Respuesta: $$ 4x^2+5x+220 $$ 7. Suma los polinomios: $$ M(x)=2x^5-3x^3+x-8 $$ $$ N(x)=x^5+4x^3-5x+9 $$ Respuesta: $$ 3x^5+x^3-4x+1 $$ 8. Determina la suma de: $$ P(x)=7x^4-2x^2+3x-1 $$ $$ Q(x)=x^4+5x^2-8x+6 $$ Respuesta: $$ 8x^4+3x^2-5x+5 $$ 9. Calcula: $$ A(x)=3x^3+2x^2-6 $$ $$ B(x)=-5x^3+x-4 $$ $$ C(x)=4x^3-2x^2+5 $$ Respuesta: $$ 2x^3+x-5 $$ 10. Una fábrica tiene un costo de producción dado por:$$6x^2+45x+300$$ Y un costo de mantenimiento de:$$2x^2-15x+90$$ Determina el costo total. Respuesta:$$8x^2+30x+390$$Descubre más desde LaProfematematiK "Dios es Bueno"
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