Regla graduada con un intervalo resaltado alrededor de una lectura y la expresión x más menos delta x en grande

Incertidumbre de medición: absoluta, relativa y estándar

por

Dos personas miden la misma mesa con la misma regla: una obtiene 120,4 cm y la otra, 120,6 cm. ¿Cuál tiene razón? La respuesta está en la incertidumbre de medición: ninguna medida es exacta, y por eso todo resultado debe incluir un intervalo que indique cuánto puedes confiar en él.

Dos estudiantes midiendo la misma mesa con una cinta métrica y apuntando lecturas distintas de 120,4 cm y 120,6 cm
Dos mediciones de la misma mesa pueden diferir: la incertidumbre indica cuánto.

Esa duda no es un fallo del experimento, sino parte natural de medir. Saber calcularla marca la diferencia entre “aquí hay un número” y “aquí hay una medida con sentido científico”.

En esta guía aprenderás qué es la incertidumbre absoluta, relativa y estándar, cómo calcularla paso a paso y cómo usarla en tus cálculos.

Conocimientos previos

Objetivo de aprendizaje

Al terminar podrás:

  • Explicar la diferencia entre error e incertidumbre.
  • Calcular la incertidumbre absoluta, relativa y porcentual.
  • Calcular la incertidumbre estándar de una serie de medidas.
  • Propagar incertidumbres en sumas, productos y potencias.
  • Escribir correctamente un resultado y compararlo con otro.

¿Qué es la incertidumbre de medición?

Por qué ninguna medida es exacta

Todo instrumento tiene una resolución limitada, el entorno cambia y tú no repites un gesto exactamente igual. Por eso, una medición no entrega un valor, sino un intervalo donde razonablemente está el valor de la magnitud.

La incertidumbre de medición es una estimación de la amplitud de ese intervalo. El resultado se escribe así:

$$x \pm \Delta x$$

Por ejemplo, 120,5 ± 0,5 cm significa que el valor probablemente está entre 120,0 y 121,0 cm.

Error frente a incertidumbre

ConceptoQué es¿Se conoce?
ErrorDiferencia entre el valor medido y el valor verdadero.No exactamente, porque el valor verdadero no se conoce.
IncertidumbreEstimación del intervalo donde está el valor.Sí: se calcula a partir de los datos y del instrumento.

Tipos de error: sistemático y aleatorio

  • Error sistemático: desvía todas las medidas en el mismo sentido (balanza mal puesta a cero, regla dilatada). Se corrige calibrando.
  • Error aleatorio: cambia de una medida a otra (pulso al cronometrar, lecturas variables). Se reduce repitiendo y promediando.

Exactitud y precisión

La exactitud indica qué tan cerca está la medida del valor verdadero. La precisión indica qué tan cerca están entre sí varias medidas de lo mismo. Puedes ser muy preciso y poco exacto, por ejemplo con un error sistemático.

Cuatro dianas con puntos: agrupados en el centro, agrupados fuera del centro, dispersos alrededor del centro y dispersos fuera del centro
Exactitud y precisión no son lo mismo: una diana puede tener puntos agrupados y lejos del centro.

Incertidumbre absoluta, relativa y porcentual

La incertidumbre absoluta (Δx) tiene las mismas unidades que la magnitud y dice cuánto puede variar la medida. La incertidumbre relativa la compara con el valor medido, y la porcentual la expresa en %:

$$\text{Relativa} = \frac{\Delta x}{x}$$
$$\text{Porcentual} = \frac{\Delta x}{x} \times 100$$

Interpretación: la relativa y la porcentual no tienen unidades y te permiten comparar la calidad de dos medidas. Medir 1,0 ± 0,1 m (10 %) es peor que medir 100 ± 1 m (1 %), aunque la absoluta sea menor en el primer caso.

Cómo escribir bien un resultado

  • La incertidumbre se escribe con una cifra significativa (dos si empieza por 1).
  • El valor se redondea al mismo decimal que la incertidumbre.
  • Incluye siempre la unidad.

Por ejemplo, 12,352 ± 0,018 cm se escribe 12,35 ± 0,02 cm.

Recta numérica con un punto en 12,35, una barra horizontal de 12,33 a 12,37 y la etiqueta delta x igual a 0,02
El resultado x ± Δx representa un intervalo en la recta numérica.

Incertidumbre de lectura de los instrumentos

Antes de repetir medidas, el propio instrumento te da una incertidumbre mínima. Los criterios más usados son:

InstrumentoCriterio habitualEjemplo
Analógico (regla, probeta)± la mitad de la menor divisiónRegla en mm: ± 0,5 mm
Digital± una unidad del último dígitoBalanza de 0,01 g: ± 0,01 g
Con nonio (calibrador)± la resolución del nonioNonio de 0,02 mm: ± 0,02 mm

Estos criterios son convenciones: algunos manuales, laboratorios o fabricantes aplican reglas diferentes. Sigue siempre la indicada por tu profesor o por la ficha técnica del instrumento.

Cálculo de incertidumbre con medidas repetidas

Si repites una medición n veces, los valores varían un poco. Con ellos calculas la media, la desviación estándar y la incertidumbre estándar de la media:

$$\bar{x} = \frac{x_{1} + x_{2} + \cdots + x_{n}}{n}$$
$$s = \sqrt{\frac{\sum (x_{i} – \bar{x})^{2}}{n – 1}}$$
$$u_{A} = \frac{s}{\sqrt{n}}$$

Interpretación física: s mide cuánto se dispersan las medidas individuales. uA mide qué tan bien conoces la media: al aumentar n, uA disminuye, pero solo como 1/√n. Para reducirla a la mitad necesitas cuatro veces más medidas.

Gráfico de puntos con cinco medidas de tiempo alrededor de una línea horizontal que marca la media y una barra de error pequeña
La media de varias medidas tiene menos incertidumbre que cada medida individual.

Incertidumbre estándar: tipo A, tipo B, combinada y expandida

En metrología, la incertidumbre estándar (u) es una incertidumbre expresada como una desviación estándar. Tiene dos orígenes:

  • Tipo A (u~A~): se calcula estadísticamente con medidas repetidas, como acabas de ver.
  • Tipo B (u~B~): se estima por otros medios, por ejemplo la resolución del instrumento o un certificado de calibración.

Para la resolución de un instrumento, si la lectura puede estar en cualquier punto de un intervalo de semiancho a, se usa:

$$u_{B} = \frac{a}{\sqrt{3}}$$

Cuando hay ambas contribuciones, se combinan en cuadratura, y para dar un intervalo con alta confianza se multiplica por un factor de cobertura k:

$$u_{c} = \sqrt{u_{A}^{2} + u_{B}^{2}}$$
$$U = k \times u_{c}$$

Con k = 2, el intervalo x ± U contiene el valor verdadero con una confianza aproximada del 95 % (si los errores siguen una distribución normal). U se llama incertidumbre expandida y es la que suele aparecer en los certificados de calibración.

Propagación de incertidumbres en los cálculos

Cuando calculas una magnitud z a partir de medidas con incertidumbre, z también la hereda. Hay dos métodos:

  • Método simple (peor caso): suma directa; es el que se usa en la mayoría de cursos de Bachillerato.
  • Método estándar (en cuadratura): más realista para medidas independientes.

Suma y resta

$$\Delta z = \Delta x + \Delta y$$
$$u_{z} = \sqrt{u_{x}^{2} + u_{y}^{2}}$$

Las incertidumbres absolutas se suman, tanto en sumas como en restas.

Producto y cociente

$$\frac{\Delta z}{z} = \frac{\Delta x}{x} + \frac{\Delta y}{y}$$
$$\frac{u_{z}}{z} = \sqrt{\left(\frac{u_{x}}{x}\right)^{2} + \left(\frac{u_{y}}{y}\right)^{2}}$$

Aquí se suman las incertidumbres relativas.

Potencias

$$z = x^{n} \quad \Rightarrow \quad \frac{\Delta z}{z} = n \times \frac{\Delta x}{x}$$

Interpretación: elevar al cuadrado o al cubo amplifica la incertidumbre relativa. Por eso conviene medir con más cuidado las magnitudes que aparecen elevadas.

Esquema con dos medidas con sus incertidumbres entrando en una operación y una medida resultante con su incertidumbre combinada
Las incertidumbres de las medidas se transmiten al resultado del cálculo.
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Cómo comparar resultados: compatibilidad

Dos resultados son compatibles si sus intervalos se solapan. Para comparar con un valor de referencia, mira si queda dentro de tu intervalo. También puedes calcular la discrepancia porcentual:

$$E = \frac{|x – x_{ref}|}{x_{ref}} \times 100$$

Interpretación: una diferencia pequeña respecto a la incertidumbre es normal; una diferencia mucho mayor suele indicar un error sistemático.

Resumen de fórmulas

ConceptoExpresión
Resultadox ± Δx
Incertidumbre relativaΔx / x
Desviación estándars = √[ Σ(xᵢ − x̄)² / (n − 1) ]
Incertidumbre estándar (tipo A)u_A = s / √n
Incertidumbre estándar (tipo B)u_B = a / √3
Incertidumbre combinadau_c = √(u_A² + u_B²)
Incertidumbre expandidaU = k · u_c (k = 2 ≈ 95 %)
Suma y restaΔz = Δx + Δy
Producto y cocienteΔz / z = Δx / x + Δy / y
PotenciasΔz / z = n · Δx / x

Aplicaciones reales de la incertidumbre de medición

  • Metrología y calibración: los certificados de calibración informan una incertidumbre expandida, normalmente con k = 2.
  • Industria y manufactura: las tolerancias de fabricación deben ser mayores que la incertidumbre de la medición.
  • Laboratorio de física y química: permite saber si un resultado coincide con la teoría.
  • Salud: los equipos de análisis y las dosis dependen de medidas con incertidumbre conocida.
  • Control de calidad: decidir si una pieza cumple o no depende de la incertidumbre al medirla.

Errores comunes que debes evitar

Error frecuenteLa realidad
“Error e incertidumbre son lo mismo.”El error es una diferencia que no conoces; la incertidumbre es una estimación que sí calculas.
“Si mido muchas veces, la incertidumbre llega a cero.”La parte estadística disminuye con √n, pero la resolución del instrumento y los errores sistemáticos permanecen.
“Escribo todas las cifras de la calculadora.”La incertidumbre lleva una cifra significativa y el valor se redondea al mismo decimal.
“En un producto se suman las incertidumbres absolutas.”En productos y cocientes se suman las incertidumbres relativas.
“Dos resultados distintos significan que uno está mal.”Si sus intervalos se solapan, son compatibles.
“Una incertidumbre pequeña garantiza una medida exacta.”Un error sistemático puede dejar una medida precisa pero inexacta.

Resumen: lo esencial antes de seguir

Resultado: toda medida es x ± Δx; la incertidumbre estima el intervalo donde está el valor.

Absoluta, relativa y porcentual: Δx, Δx/x y (Δx/x) × 100.

Estándar: uA = s/√n (estadística), uB = a/√3 (instrumento), combinadas en cuadratura.

Propagación: en sumas, absolutas; en productos, relativas; en potencias, relativa × n.Escritura: una cifra significativa en la incertidumbre y el mismo decimal en el valor.

💬 Ahora te toca a ti.

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¿Qué te resultó más difícil: calcular uA, combinar incertidumbres o propagarlas? ¿Qué medidas harás con más cuidado en tu próximo laboratorio?

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Ocho problemas resueltos paso a paso

Están ordenados por dificultad: básico, intermedio, avanzado y reto.

Nivel 1: básico

Problema 1: Incertidumbre absoluta, relativa y porcentual

Mides la longitud de un cuaderno con una regla graduada en milímetros y lees 154 mm. Con el criterio de ± la mitad de la menor división, expresa el resultado y calcula las incertidumbres relativa y porcentual.

Datos:

  • x = 154 mm
  • Menor división = 1 mm

Resolución paso a paso:

Paso 1: incertidumbre absoluta (la mitad de la menor división).

$$\Delta x = \frac{1}{2} = 0{,}5\ \text{mm}$$

Paso 2: incertidumbre relativa.

$$\frac{\Delta x}{x} = \frac{0{,}5}{154} \approx 0{,}0032$$

Paso 3: incertidumbre porcentual.

$$\frac{\Delta x}{x} \times 100 \approx 0{,}32\ \%$$

Resultado: L = 154,0 ± 0,5 mm; incertidumbre relativa 0,0032 (0,32 %).

Problema 2: Instrumento digital

Una balanza digital con resolución de 0,01 g marca 25,37 g. Con el criterio de ± una unidad del último dígito, escribe el resultado y calcula la incertidumbre porcentual.

Datos:

  • m = 25,37 g
  • Resolución = 0,01 g

Resolución paso a paso:

Paso 1: incertidumbre absoluta (una unidad del último dígito).

$$\Delta m = 0{,}01\ \text{g}$$

Paso 2: incertidumbre porcentual.

$$\frac{0{,}01}{25{,}37} \times 100 \approx 0{,}039\ \%$$

Resultado: m = 25,37 ± 0,01 g; incertidumbre porcentual ≈ 0,04 %.

Nivel 2: intermedio

Problema 3: Incertidumbre estándar de medidas repetidas

Cronometras cinco veces la caída de un objeto y obtienes 2,31; 2,35; 2,29; 2,33 y 2,32 s. Calcula la media, la desviación estándar y la incertidumbre estándar de la media.

Datos:

  • Medidas: 2,31; 2,35; 2,29; 2,33; 2,32 s
  • n = 5

Resolución paso a paso:

Paso 1: media.

$$\bar{x} = \frac{2{,}31 + 2{,}35 + 2{,}29 + 2{,}33 + 2{,}32}{5} = \frac{11{,}60}{5} = 2{,}32\ \text{s}$$

Paso 2: suma de los cuadrados de las desviaciones.

$$\sum (x_{i} – \bar{x})^{2} = (-0{,}01)^{2} + (0{,}03)^{2} + (-0{,}03)^{2} + (0{,}01)^{2} + 0^{2} = 0{,}0020$$

Paso 3: desviación estándar muestral (n − 1 = 4).

$$s = \sqrt{\frac{0{,}0020}{4}} = \sqrt{0{,}0005} \approx 0{,}022\ \text{s}$$

Paso 4: incertidumbre estándar de la media.

$$u_{A} = \frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{0{,}0224}{\sqrt{5}} = 0{,}010\ \text{s}$$

Resultado: Media 2,32 s; s ≈ 0,022 s; uA ≈ 0,010 s.

Problema 4: Incertidumbre combinada y expandida

Con los datos del problema 3, el cronómetro tiene una resolución de 0,01 s. Calcula uB, la incertidumbre combinada y la incertidumbre expandida con k = 2, y escribe el resultado.

Datos:

  • uA = 0,010 s
  • Resolución = 0,01 s, es decir, a = 0,005 s

Resolución paso a paso:

Paso 1: componente de tipo B (resolución).

$$u_{B} = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{0{,}005}{\sqrt{3}} \approx 0{,}0029\ \text{s}$$

Paso 2: incertidumbre combinada.

$$u_{c} = \sqrt{u_{A}^{2} + u_{B}^{2}} = \sqrt{(0{,}010)^{2} + (0{,}0029)^{2}} \approx 0{,}0104\ \text{s}$$

Paso 3: incertidumbre expandida (k = 2).

$$U = k \times u_{c} = 2 \times 0{,}0104 \approx 0{,}021\ \text{s}$$

Resultado: t = 2,32 ± 0,02 s (k = 2, confianza aproximada del 95 %).

Nivel 3: avanzado

Problema 5: Propagación en una suma

Mides dos tramos de una cuerda: L1 = 12,5 ± 0,1 cm y L2 = 8,3 ± 0,1 cm. Calcula la longitud total con su incertidumbre usando el método simple y el método en cuadratura.

Datos:

  • L1 = 12,5 ± 0,1 cm
  • L2 = 8,3 ± 0,1 cm

Resolución paso a paso:

Paso 1: valor de la suma.

$$L = 12{,}5 + 8{,}3 = 20{,}8\ \text{cm}$$

Paso 2: método simple (se suman las absolutas).

$$\Delta L = 0{,}1 + 0{,}1 = 0{,}2\ \text{cm}$$

Paso 3: método en cuadratura.

$$u_{L} = \sqrt{(0{,}1)^{2} + (0{,}1)^{2}} \approx 0{,}14\ \text{cm}$$

Resultado: Método simple: L = 20,8 ± 0,2 cm. Método en cuadratura: L = 20,8 ± 0,1 cm.

Problema 6: Propagación en un producto

Un rectángulo mide a = 4,20 ± 0,05 cm y b = 2,50 ± 0,05 cm. Calcula su área con la incertidumbre.

Datos:

  • a = 4,20 ± 0,05 cm
  • b = 2,50 ± 0,05 cm

Resolución paso a paso:

Paso 1: valor del área.

$$A = a \times b = 4{,}20 \times 2{,}50 = 10{,}50\ \text{cm}^{2}$$

Paso 2: incertidumbres relativas.

$$\frac{0{,}05}{4{,}20} \approx 0{,}0119, \quad \frac{0{,}05}{2{,}50} = 0{,}0200$$

Paso 3: se suman las relativas (método simple).

$$\frac{\Delta A}{A} = 0{,}0119 + 0{,}0200 \approx 0{,}0319$$

Paso 4: incertidumbre absoluta.

$$\Delta A = 10{,}50 \times 0{,}0319 \approx 0{,}34\ \text{cm}^{2}$$

Resultado: A = 10,5 ± 0,3 cm² (en cuadratura, la incertidumbre sería 0,24 cm², es decir, 0,2 cm²).

Nivel 4: reto

Problema 7: Densidad con propagación y compatibilidad

Un cilindro tiene m = 50,90 ± 0,01 g, d = 2,00 ± 0,01 cm y h = 6,00 ± 0,01 cm. Calcula su densidad con la incertidumbre y compárala con el valor tabulado del aluminio, aproximadamente 2,70 g/cm³.

Datos:

  • m = 50,90 ± 0,01 g
  • d = 2,00 ± 0,01 cm
  • h = 6,00 ± 0,01 cm

Resolución paso a paso:

Paso 1: volumen del cilindro.

$$V = \frac{\pi \times d^{2} \times h}{4} = \frac{\pi \times 2{,}00^{2} \times 6{,}00}{4} = 6\pi \approx 18{,}85\ \text{cm}^{3}$$

Paso 2: densidad.

$$\rho = \frac{m}{V} = \frac{50{,}90}{18{,}85} \approx 2{,}70\ \text{g/cm}^{3}$$

Paso 3: incertidumbres relativas (el diámetro está al cuadrado).

$$\frac{\Delta m}{m} = \frac{0{,}01}{50{,}90} \approx 0{,}0002, \quad 2 \times \frac{\Delta d}{d} = 2 \times \frac{0{,}01}{2{,}00} = 0{,}0100, \quad \frac{\Delta h}{h} = \frac{0{,}01}{6{,}00} \approx 0{,}0017$$

Paso 4: se suman.

$$\frac{\Delta \rho}{\rho} \approx 0{,}0002 + 0{,}0100 + 0{,}0017 = 0{,}0119$$

Paso 5: incertidumbre absoluta.

$$\Delta \rho = 2{,}70 \times 0{,}0119 \approx 0{,}03\ \text{g/cm}^{3}$$

Paso 6: compatibilidad. El intervalo es 2,67 a 2,73 g/cm³ y contiene el valor tabulado de 2,70 g/cm³.

Resultado: ρ = 2,70 ± 0,03 g/cm³; el resultado es compatible con el aluminio. La mayor contribución viene del diámetro, que está al cuadrado.

Problema 8: Ley de Ohm: propagación y comparación con el valor nominal

Mides V = 12,0 ± 0,1 V e I = 0,500 ± 0,005 A en una resistencia. Calcula R = V / I con su incertidumbre (métodos simple y en cuadratura) y compárala con el valor nominal de 25 Ω, que tiene una tolerancia del 5 %.

Datos:

  • V = 12,0 ± 0,1 V
  • I = 0,500 ± 0,005 A
  • R nominal = 25 Ω (tolerancia del 5 %)

Resolución paso a paso:

Paso 1: valor de R.

$$R = \frac{V}{I} = \frac{12{,}0}{0{,}500} = 24{,}0\ \Omega$$

Paso 2: incertidumbres relativas.

$$\frac{\Delta V}{V} = \frac{0{,}1}{12{,}0} \approx 0{,}0083, \quad \frac{\Delta I}{I} = \frac{0{,}005}{0{,}500} = 0{,}0100$$

Paso 3: método simple.

$$\frac{\Delta R}{R} = 0{,}0083 + 0{,}0100 = 0{,}0183 \Rightarrow \Delta R = 24{,}0 \times 0{,}0183 \approx 0{,}4\ \Omega$$

Paso 4: método en cuadratura.

$$\frac{u_{R}}{R} = \sqrt{(0{,}0083)^{2} + (0{,}0100)^{2}} \approx 0{,}0130 \Rightarrow u_{R} \approx 0{,}3\ \Omega$$

Paso 5: comparación. Con 24,0 ± 0,4 Ω, el intervalo es 23,6 a 24,4 Ω y no contiene 25 Ω. Pero la tolerancia del 5 % da un intervalo nominal de 23,75 a 26,25 Ω, y el valor medido (24,0 Ω) está dentro.

Resultado: R = 24,0 ± 0,4 Ω (simple) o 24,0 ± 0,3 Ω (cuadratura). No coincide con 25 Ω dentro de la incertidumbre de la medida, pero sí es compatible con el valor nominal considerando su tolerancia.

Mini-quiz de incertidumbre de medición

Llegó el momento de medir tus conocimientos, lee con atención y ten mucho cuidado con los cálculos.

Parte I

1. ¿Cuál es la mejor descripción de la incertidumbre de una medición?

2. Una regla graduada en milímetros da una lectura de 85 mm. Con el criterio de ± la mitad de la menor división, ¿cuál es la incertidumbre absoluta?

3. Una longitud se expresa como 12,0 ± 0,3 cm. ¿Cuál es su incertidumbre porcentual?

4. Con cinco medidas se obtiene una desviación estándar muestral de 0,10 s. ¿Cuál es la incertidumbre estándar de la media?

5. Una balanza marca 0,05 kg sin nada encima y todas las medidas salen 0,05 kg mayores. ¿Qué tipo de error es?

Parte II

6. Se miden L₁ = 20,0 ± 0,2 cm y L₂ = 30,0 ± 0,3 cm. Con el método del peor caso, ¿cuál es la incertidumbre de L₁ + L₂?

7. Un área se calcula como A = a × b, con a = 10,0 ± 0,1 cm (1 %) y b = 5,0 ± 0,1 cm (2 %). Con el método del peor caso, ¿cuál es el resultado?

8. El radio de una esfera se mide con una incertidumbre relativa del 5 %. ¿Cuál es la incertidumbre relativa de su volumen V = (4/3)πr³ con el método del peor caso?

Parte III

9. Un cálculo da 9,8137 con una incertidumbre de 0,0412. ¿Cuál es la forma correcta de escribir el resultado?

10. Dos grupos obtienen 4,5 ± 0,2 y 4,9 ± 0,3 para la misma magnitud. ¿Son compatibles?

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Preguntas frecuentes (FAQs) de incertidumbre de medición

1. 🤔 Error e incertidumbre, ¿son lo mismo?

No. El error es la diferencia entre tu medida y el valor verdadero, y como este no se conoce, el error tampoco. La incertidumbre sí la calculas: es una estimación del intervalo donde probablemente está el valor. Pruébalo: mide tu escritorio dos veces y calcula la diferencia entre ambas medidas.

2. 🔁 Si repito la medida muchísimas veces, ¿la incertidumbre llega a cero?

No. La parte estadística (uA) disminuye como 1/√n, pero la resolución del instrumento y los errores sistemáticos no desaparecen por repetir. Reto: si uA vale 0,10 con 4 medidas, ¿cuánto vale con 16? (Respuesta: 0,05).

3. ✍️ ¿Cuántas cifras debo escribir en la incertidumbre?

Una cifra significativa, o dos si la primera es 1. Después redondea el valor al mismo decimal que la incertidumbre. Ejemplo: 7,4829 ± 0,0364 se escribe 7,48 ± 0,04. Escribir todos los decimales de la calculadora aparenta una precisión que no tienes.

4. ⚖️ Si dos resultados no son idénticos, ¿uno está mal?

No necesariamente. Si sus intervalos se solapan, son compatibles. Reto: ¿son compatibles 9,6 ± 0,3 y 9,9 ± 0,2? (Respuesta: sí, ambos intervalos comparten valores entre 9,7 y 9,9).

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Actividades para practicar incertidumbre de medición

Diez ejercicios progresivos. Haz un esquema y escribe cada resultado con su incertidumbre y unidad. Las respuestas están en la sección siguiente.

PARTE I

1. Clasifica cada error como sistemático o aleatorio: (a) una balanza que no marca cero; (b) el tiempo de reacción variable al cronometrar; (c) mirar siempre la escala desde la izquierda; (d) vibraciones que cambian de una medida a otra.

2. Una probeta graduada de 1 mL marca 37 mL. Con el criterio de ± la mitad de la menor división, calcula la incertidumbre absoluta y la porcentual.

3. Un multímetro digital con resolución de 0,01 V marca 3,47 V. Escribe el resultado y calcula la incertidumbre porcentual.

4. Mides una longitud cinco veces: 5,02; 5,04; 5,01; 5,03 y 5,05 cm. Calcula la media, s y la incertidumbre estándar de la media.

5. Un calibrador digital tiene una resolución de 0,01 mm. Calcula uB si el semiancho es a = 0,005 mm.

PARTE II

6. Con uA = 0,007 cm (actividad 4) y uB = 0,003 cm, calcula la incertidumbre combinada y la expandida con k = 2. Expresa U con una cifra significativa.

7. Mides m1 = 150,2 ± 0,1 g y m2 = 48,7 ± 0,1 g. Calcula la diferencia m1 − m2 con su incertidumbre, por el método simple.

8. Una rapidez v = d/t se calcula con d = 2,50 ± 0,01 m y t = 1,25 ± 0,02 s. Calcula v con su incertidumbre.

9. El radio de un círculo es r = 3,0 ± 0,1 cm. Calcula su área con la incertidumbre.

10. Reto: dos grupos miden g con un péndulo y obtienen 9,6 ± 0,3 m/s² y 9,9 ± 0,2 m/s². (a) ¿Son compatibles entre sí? (b) ¿Es compatible cada uno con 9,8 m/s²? (c) ¿Cuál tiene menor incertidumbre porcentual?

Respuestas

Ver soluciones

Actividad 1

  • (a) Sistemático.
  • (b) Aleatorio.
  • (c) Sistemático: desvía siempre en el mismo sentido.
  • (d) Aleatorio.

Actividad 2

$$\Delta V = \frac{1}{2} = 0{,}5\ \text{mL}$$
$$\frac{0{,}5}{37} \times 100 \approx 1{,}4\ \%$$

Actividad 3

Resultado: 3,47 ± 0,01 V.

$$\frac{0{,}01}{3{,}47} \times 100 \approx 0{,}29\ \%$$

Actividad 4

$$\bar{x} = \frac{5{,}02 + 5{,}04 + 5{,}01 + 5{,}03 + 5{,}05}{5} = \frac{25{,}15}{5} = 5{,}03\ \text{cm}$$
$$\sum (x_{i} - \bar{x})^{2} = (-0{,}01)^{2} + (0{,}01)^{2} + (-0{,}02)^{2} + 0^{2} + (0{,}02)^{2} = 0{,}0010$$
$$s = \sqrt{\frac{0{,}0010}{4}} \approx 0{,}016\ \text{cm}$$
$$u_{A} = \frac{0{,}0158}{\sqrt{5}} \approx 0{,}007\ \text{cm}$$

Actividad 5

$$u_{B} = \frac{0{,}005}{\sqrt{3}} \approx 0{,}0029\ \text{mm}$$

Actividad 6

$$u_{c} = \sqrt{(0{,}007)^{2} + (0{,}003)^{2}} = \sqrt{0{,}000058} \approx 0{,}0076\ \text{cm}$$
$$U = 2 \times 0{,}0076 \approx 0{,}015\ \text{cm}$$

Con una cifra significativa, U = 0,02 cm.

Actividad 7

$$m = 150{,}2 - 48{,}7 = 101{,}5\ \text{g}$$
$$\Delta m = 0{,}1 + 0{,}1 = 0{,}2\ \text{g}$$

Resultado: 101,5 ± 0,2 g.

Actividad 8

$$v = \frac{2{,}50}{1{,}25} = 2{,}00\ \text{m/s}$$
$$\frac{\Delta v}{v} = \frac{0{,}01}{2{,}50} + \frac{0{,}02}{1{,}25} = 0{,}004 + 0{,}016 = 0{,}020$$
$$\Delta v = 2{,}00 \times 0{,}020 = 0{,}04\ \text{m/s}$$

Resultado: 2,00 ± 0,04 m/s.

Actividad 9

$$A = \pi \times r^{2} = \pi \times 3{,}0^{2} \approx 28{,}3\ \text{cm}^{2}$$
$$\frac{\Delta A}{A} = 2 \times \frac{0{,}1}{3{,}0} \approx 0{,}067$$
$$\Delta A = 28{,}3 \times 0{,}067 \approx 1{,}9\ \text{cm}^{2}$$

Resultado: 28 ± 2 cm².

Actividad 10

  • (a) Los intervalos son 9,3 a 9,9 y 9,7 a 10,1; se solapan entre 9,7 y 9,9, por lo que son compatibles.
  • (b) 9,8 está dentro de ambos intervalos, así que ambos son compatibles con 9,8 m/s².
$$\frac{0{,}3}{9{,}6} \times 100 \approx 3{,}1\ \%, \quad \frac{0{,}2}{9{,}9} \times 100 \approx 2{,}0\ \%$$

(c) El segundo grupo tiene menor incertidumbre porcentual (2,0 % frente a 3,1 %).

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