error de medición

Incertidumbre de medición: absoluta, relativa y estándar

por
Regla graduada con un intervalo resaltado alrededor de una lectura y la expresión x más menos delta x en grande

Dos personas miden la misma mesa con la misma regla: una obtiene 120,4 cm y la otra, 120,6 cm. ¿Cuál tiene razón? La respuesta está en la incertidumbre de medición: ninguna medida es exacta, y por eso todo resultado debe incluir un intervalo que indique cuánto puedes confiar en él.

Dos estudiantes midiendo la misma mesa con una cinta métrica y apuntando lecturas distintas de 120,4 cm y 120,6 cm
Dos mediciones de la misma mesa pueden diferir: la incertidumbre indica cuánto.

Esa duda no es un fallo del experimento, sino parte natural de medir. Saber calcularla marca la diferencia entre “aquí hay un número” y “aquí hay una medida con sentido científico”.

En esta guía aprenderás qué es la incertidumbre absoluta, relativa y estándar, cómo calcularla paso a paso y cómo usarla en tus cálculos.

Conocimientos previos

Objetivo de aprendizaje

Al terminar podrás:

  • Explicar la diferencia entre error e incertidumbre.
  • Calcular la incertidumbre absoluta, relativa y porcentual.
  • Calcular la incertidumbre estándar de una serie de medidas.
  • Propagar incertidumbres en sumas, productos y potencias.
  • Escribir correctamente un resultado y compararlo con otro.

¿Qué es la incertidumbre de medición?

Por qué ninguna medida es exacta

Todo instrumento tiene una resolución limitada, el entorno cambia y tú no repites un gesto exactamente igual. Por eso, una medición no entrega un valor, sino un intervalo donde razonablemente está el valor de la magnitud.

La incertidumbre de medición es una estimación de la amplitud de ese intervalo. El resultado se escribe así:

$$x \pm \Delta x$$

Por ejemplo, 120,5 ± 0,5 cm significa que el valor probablemente está entre 120,0 y 121,0 cm.

Error frente a incertidumbre

ConceptoQué es¿Se conoce?
ErrorDiferencia entre el valor medido y el valor verdadero.No exactamente, porque el valor verdadero no se conoce.
IncertidumbreEstimación del intervalo donde está el valor.Sí: se calcula a partir de los datos y del instrumento.

Tipos de error: sistemático y aleatorio

  • Error sistemático: desvía todas las medidas en el mismo sentido (balanza mal puesta a cero, regla dilatada). Se corrige calibrando.
  • Error aleatorio: cambia de una medida a otra (pulso al cronometrar, lecturas variables). Se reduce repitiendo y promediando.

Exactitud y precisión

La exactitud indica qué tan cerca está la medida del valor verdadero. La precisión indica qué tan cerca están entre sí varias medidas de lo mismo. Puedes ser muy preciso y poco exacto, por ejemplo con un error sistemático.

Cuatro dianas con puntos: agrupados en el centro, agrupados fuera del centro, dispersos alrededor del centro y dispersos fuera del centro
Exactitud y precisión no son lo mismo: una diana puede tener puntos agrupados y lejos del centro.

Incertidumbre absoluta, relativa y porcentual

La incertidumbre absoluta (Δx) tiene las mismas unidades que la magnitud y dice cuánto puede variar la medida. La incertidumbre relativa la compara con el valor medido, y la porcentual la expresa en %:

$$\text{Relativa} = \frac{\Delta x}{x}$$
$$\text{Porcentual} = \frac{\Delta x}{x} \times 100$$

Interpretación: la relativa y la porcentual no tienen unidades y te permiten comparar la calidad de dos medidas. Medir 1,0 ± 0,1 m (10 %) es peor que medir 100 ± 1 m (1 %), aunque la absoluta sea menor en el primer caso.

Cómo escribir bien un resultado

  • La incertidumbre se escribe con una cifra significativa (dos si empieza por 1).
  • El valor se redondea al mismo decimal que la incertidumbre.
  • Incluye siempre la unidad.

Por ejemplo, 12,352 ± 0,018 cm se escribe 12,35 ± 0,02 cm.

Recta numérica con un punto en 12,35, una barra horizontal de 12,33 a 12,37 y la etiqueta delta x igual a 0,02
El resultado x ± Δx representa un intervalo en la recta numérica.

Incertidumbre de lectura de los instrumentos

Antes de repetir medidas, el propio instrumento te da una incertidumbre mínima. Los criterios más usados son:

InstrumentoCriterio habitualEjemplo
Analógico (regla, probeta)± la mitad de la menor divisiónRegla en mm: ± 0,5 mm
Digital± una unidad del último dígitoBalanza de 0,01 g: ± 0,01 g
Con nonio (calibrador)± la resolución del nonioNonio de 0,02 mm: ± 0,02 mm

Estos criterios son convenciones: algunos manuales, laboratorios o fabricantes aplican reglas diferentes. Sigue siempre la indicada por tu profesor o por la ficha técnica del instrumento.

Cálculo de incertidumbre con medidas repetidas

Si repites una medición n veces, los valores varían un poco. Con ellos calculas la media, la desviación estándar y la incertidumbre estándar de la media:

$$\bar{x} = \frac{x_{1} + x_{2} + \cdots + x_{n}}{n}$$
$$s = \sqrt{\frac{\sum (x_{i} – \bar{x})^{2}}{n – 1}}$$
$$u_{A} = \frac{s}{\sqrt{n}}$$

Interpretación física: s mide cuánto se dispersan las medidas individuales. uA mide qué tan bien conoces la media: al aumentar n, uA disminuye, pero solo como 1/√n. Para reducirla a la mitad necesitas cuatro veces más medidas.

Gráfico de puntos con cinco medidas de tiempo alrededor de una línea horizontal que marca la media y una barra de error pequeña
La media de varias medidas tiene menos incertidumbre que cada medida individual.

Incertidumbre estándar: tipo A, tipo B, combinada y expandida

En metrología, la incertidumbre estándar (u) es una incertidumbre expresada como una desviación estándar. Tiene dos orígenes:

  • Tipo A (u~A~): se calcula estadísticamente con medidas repetidas, como acabas de ver.
  • Tipo B (u~B~): se estima por otros medios, por ejemplo la resolución del instrumento o un certificado de calibración.

Para la resolución de un instrumento, si la lectura puede estar en cualquier punto de un intervalo de semiancho a, se usa:

$$u_{B} = \frac{a}{\sqrt{3}}$$

Cuando hay ambas contribuciones, se combinan en cuadratura, y para dar un intervalo con alta confianza se multiplica por un factor de cobertura k:

$$u_{c} = \sqrt{u_{A}^{2} + u_{B}^{2}}$$
$$U = k \times u_{c}$$

Con k = 2, el intervalo x ± U contiene el valor verdadero con una confianza aproximada del 95 % (si los errores siguen una distribución normal). U se llama incertidumbre expandida y es la que suele aparecer en los certificados de calibración.

Propagación de incertidumbres en los cálculos

Cuando calculas una magnitud z a partir de medidas con incertidumbre, z también la hereda. Hay dos métodos:

  • Método simple (peor caso): suma directa; es el que se usa en la mayoría de cursos de Bachillerato.
  • Método estándar (en cuadratura): más realista para medidas independientes.

Suma y resta

$$\Delta z = \Delta x + \Delta y$$
$$u_{z} = \sqrt{u_{x}^{2} + u_{y}^{2}}$$

Las incertidumbres absolutas se suman, tanto en sumas como en restas.

Producto y cociente

$$\frac{\Delta z}{z} = \frac{\Delta x}{x} + \frac{\Delta y}{y}$$
$$\frac{u_{z}}{z} = \sqrt{\left(\frac{u_{x}}{x}\right)^{2} + \left(\frac{u_{y}}{y}\right)^{2}}$$

Aquí se suman las incertidumbres relativas.

Potencias

$$z = x^{n} \quad \Rightarrow \quad \frac{\Delta z}{z} = n \times \frac{\Delta x}{x}$$

Interpretación: elevar al cuadrado o al cubo amplifica la incertidumbre relativa. Por eso conviene medir con más cuidado las magnitudes que aparecen elevadas.

Esquema con dos medidas con sus incertidumbres entrando en una operación y una medida resultante con su incertidumbre combinada
Las incertidumbres de las medidas se transmiten al resultado del cálculo.
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Cómo comparar resultados: compatibilidad

Dos resultados son compatibles si sus intervalos se solapan. Para comparar con un valor de referencia, mira si queda dentro de tu intervalo. También puedes calcular la discrepancia porcentual:

$$E = \frac{|x – x_{ref}|}{x_{ref}} \times 100$$

Interpretación: una diferencia pequeña respecto a la incertidumbre es normal; una diferencia mucho mayor suele indicar un error sistemático.

Resumen de fórmulas

ConceptoExpresión
Resultadox ± Δx
Incertidumbre relativaΔx / x
Desviación estándars = √[ Σ(xᵢ − x̄)² / (n − 1) ]
Incertidumbre estándar (tipo A)u_A = s / √n
Incertidumbre estándar (tipo B)u_B = a / √3
Incertidumbre combinadau_c = √(u_A² + u_B²)
Incertidumbre expandidaU = k · u_c (k = 2 ≈ 95 %)
Suma y restaΔz = Δx + Δy
Producto y cocienteΔz / z = Δx / x + Δy / y
PotenciasΔz / z = n · Δx / x

Aplicaciones reales de la incertidumbre de medición

  • Metrología y calibración: los certificados de calibración informan una incertidumbre expandida, normalmente con k = 2.
  • Industria y manufactura: las tolerancias de fabricación deben ser mayores que la incertidumbre de la medición.
  • Laboratorio de física y química: permite saber si un resultado coincide con la teoría.
  • Salud: los equipos de análisis y las dosis dependen de medidas con incertidumbre conocida.
  • Control de calidad: decidir si una pieza cumple o no depende de la incertidumbre al medirla.

Errores comunes que debes evitar

Error frecuenteLa realidad
“Error e incertidumbre son lo mismo.”El error es una diferencia que no conoces; la incertidumbre es una estimación que sí calculas.
“Si mido muchas veces, la incertidumbre llega a cero.”La parte estadística disminuye con √n, pero la resolución del instrumento y los errores sistemáticos permanecen.
“Escribo todas las cifras de la calculadora.”La incertidumbre lleva una cifra significativa y el valor se redondea al mismo decimal.
“En un producto se suman las incertidumbres absolutas.”En productos y cocientes se suman las incertidumbres relativas.
“Dos resultados distintos significan que uno está mal.”Si sus intervalos se solapan, son compatibles.
“Una incertidumbre pequeña garantiza una medida exacta.”Un error sistemático puede dejar una medida precisa pero inexacta.

Resumen: lo esencial antes de seguir

Resultado: toda medida es x ± Δx; la incertidumbre estima el intervalo donde está el valor.

Absoluta, relativa y porcentual: Δx, Δx/x y (Δx/x) × 100.

Estándar: uA = s/√n (estadística), uB = a/√3 (instrumento), combinadas en cuadratura.

Propagación: en sumas, absolutas; en productos, relativas; en potencias, relativa × n.Escritura: una cifra significativa en la incertidumbre y el mismo decimal en el valor.

💬 Ahora te toca a ti.

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¿Qué te resultó más difícil: calcular uA, combinar incertidumbres o propagarlas? ¿Qué medidas harás con más cuidado en tu próximo laboratorio?

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Ocho problemas resueltos paso a paso

Están ordenados por dificultad: básico, intermedio, avanzado y reto.

Nivel 1: básico

Problema 1: Incertidumbre absoluta, relativa y porcentual

Mides la longitud de un cuaderno con una regla graduada en milímetros y lees 154 mm. Con el criterio de ± la mitad de la menor división, expresa el resultado y calcula las incertidumbres relativa y porcentual.

Datos:

  • x = 154 mm
  • Menor división = 1 mm

Resolución paso a paso:

Paso 1: incertidumbre absoluta (la mitad de la menor división).

$$\Delta x = \frac{1}{2} = 0{,}5\ \text{mm}$$

Paso 2: incertidumbre relativa.

$$\frac{\Delta x}{x} = \frac{0{,}5}{154} \approx 0{,}0032$$

Paso 3: incertidumbre porcentual.

$$\frac{\Delta x}{x} \times 100 \approx 0{,}32\ \%$$

Resultado: L = 154,0 ± 0,5 mm; incertidumbre relativa 0,0032 (0,32 %).

Problema 2: Instrumento digital

Una balanza digital con resolución de 0,01 g marca 25,37 g. Con el criterio de ± una unidad del último dígito, escribe el resultado y calcula la incertidumbre porcentual.

Datos:

  • m = 25,37 g
  • Resolución = 0,01 g

Resolución paso a paso:

Paso 1: incertidumbre absoluta (una unidad del último dígito).

$$\Delta m = 0{,}01\ \text{g}$$

Paso 2: incertidumbre porcentual.

$$\frac{0{,}01}{25{,}37} \times 100 \approx 0{,}039\ \%$$

Resultado: m = 25,37 ± 0,01 g; incertidumbre porcentual ≈ 0,04 %.

Nivel 2: intermedio

Problema 3: Incertidumbre estándar de medidas repetidas

Cronometras cinco veces la caída de un objeto y obtienes 2,31; 2,35; 2,29; 2,33 y 2,32 s. Calcula la media, la desviación estándar y la incertidumbre estándar de la media.

Datos:

  • Medidas: 2,31; 2,35; 2,29; 2,33; 2,32 s
  • n = 5

Resolución paso a paso:

Paso 1: media.

$$\bar{x} = \frac{2{,}31 + 2{,}35 + 2{,}29 + 2{,}33 + 2{,}32}{5} = \frac{11{,}60}{5} = 2{,}32\ \text{s}$$

Paso 2: suma de los cuadrados de las desviaciones.

$$\sum (x_{i} – \bar{x})^{2} = (-0{,}01)^{2} + (0{,}03)^{2} + (-0{,}03)^{2} + (0{,}01)^{2} + 0^{2} = 0{,}0020$$

Paso 3: desviación estándar muestral (n − 1 = 4).

$$s = \sqrt{\frac{0{,}0020}{4}} = \sqrt{0{,}0005} \approx 0{,}022\ \text{s}$$

Paso 4: incertidumbre estándar de la media.

$$u_{A} = \frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{0{,}0224}{\sqrt{5}} = 0{,}010\ \text{s}$$

Resultado: Media 2,32 s; s ≈ 0,022 s; uA ≈ 0,010 s.

Problema 4: Incertidumbre combinada y expandida

Con los datos del problema 3, el cronómetro tiene una resolución de 0,01 s. Calcula uB, la incertidumbre combinada y la incertidumbre expandida con k = 2, y escribe el resultado.

Datos:

  • uA = 0,010 s
  • Resolución = 0,01 s, es decir, a = 0,005 s

Resolución paso a paso:

Paso 1: componente de tipo B (resolución).

$$u_{B} = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{0{,}005}{\sqrt{3}} \approx 0{,}0029\ \text{s}$$

Paso 2: incertidumbre combinada.

$$u_{c} = \sqrt{u_{A}^{2} + u_{B}^{2}} = \sqrt{(0{,}010)^{2} + (0{,}0029)^{2}} \approx 0{,}0104\ \text{s}$$

Paso 3: incertidumbre expandida (k = 2).

$$U = k \times u_{c} = 2 \times 0{,}0104 \approx 0{,}021\ \text{s}$$

Resultado: t = 2,32 ± 0,02 s (k = 2, confianza aproximada del 95 %).

Nivel 3: avanzado

Problema 5: Propagación en una suma

Mides dos tramos de una cuerda: L1 = 12,5 ± 0,1 cm y L2 = 8,3 ± 0,1 cm. Calcula la longitud total con su incertidumbre usando el método simple y el método en cuadratura.

Datos:

  • L1 = 12,5 ± 0,1 cm
  • L2 = 8,3 ± 0,1 cm

Resolución paso a paso:

Paso 1: valor de la suma.

$$L = 12{,}5 + 8{,}3 = 20{,}8\ \text{cm}$$

Paso 2: método simple (se suman las absolutas).

$$\Delta L = 0{,}1 + 0{,}1 = 0{,}2\ \text{cm}$$

Paso 3: método en cuadratura.

$$u_{L} = \sqrt{(0{,}1)^{2} + (0{,}1)^{2}} \approx 0{,}14\ \text{cm}$$

Resultado: Método simple: L = 20,8 ± 0,2 cm. Método en cuadratura: L = 20,8 ± 0,1 cm.

Problema 6: Propagación en un producto

Un rectángulo mide a = 4,20 ± 0,05 cm y b = 2,50 ± 0,05 cm. Calcula su área con la incertidumbre.

Datos:

  • a = 4,20 ± 0,05 cm
  • b = 2,50 ± 0,05 cm

Resolución paso a paso:

Paso 1: valor del área.

$$A = a \times b = 4{,}20 \times 2{,}50 = 10{,}50\ \text{cm}^{2}$$

Paso 2: incertidumbres relativas.

$$\frac{0{,}05}{4{,}20} \approx 0{,}0119, \quad \frac{0{,}05}{2{,}50} = 0{,}0200$$

Paso 3: se suman las relativas (método simple).

$$\frac{\Delta A}{A} = 0{,}0119 + 0{,}0200 \approx 0{,}0319$$

Paso 4: incertidumbre absoluta.

$$\Delta A = 10{,}50 \times 0{,}0319 \approx 0{,}34\ \text{cm}^{2}$$

Resultado: A = 10,5 ± 0,3 cm² (en cuadratura, la incertidumbre sería 0,24 cm², es decir, 0,2 cm²).

Nivel 4: reto

Problema 7: Densidad con propagación y compatibilidad

Un cilindro tiene m = 50,90 ± 0,01 g, d = 2,00 ± 0,01 cm y h = 6,00 ± 0,01 cm. Calcula su densidad con la incertidumbre y compárala con el valor tabulado del aluminio, aproximadamente 2,70 g/cm³.

Datos:

  • m = 50,90 ± 0,01 g
  • d = 2,00 ± 0,01 cm
  • h = 6,00 ± 0,01 cm

Resolución paso a paso:

Paso 1: volumen del cilindro.

$$V = \frac{\pi \times d^{2} \times h}{4} = \frac{\pi \times 2{,}00^{2} \times 6{,}00}{4} = 6\pi \approx 18{,}85\ \text{cm}^{3}$$

Paso 2: densidad.

$$\rho = \frac{m}{V} = \frac{50{,}90}{18{,}85} \approx 2{,}70\ \text{g/cm}^{3}$$

Paso 3: incertidumbres relativas (el diámetro está al cuadrado).

$$\frac{\Delta m}{m} = \frac{0{,}01}{50{,}90} \approx 0{,}0002, \quad 2 \times \frac{\Delta d}{d} = 2 \times \frac{0{,}01}{2{,}00} = 0{,}0100, \quad \frac{\Delta h}{h} = \frac{0{,}01}{6{,}00} \approx 0{,}0017$$

Paso 4: se suman.

$$\frac{\Delta \rho}{\rho} \approx 0{,}0002 + 0{,}0100 + 0{,}0017 = 0{,}0119$$

Paso 5: incertidumbre absoluta.

$$\Delta \rho = 2{,}70 \times 0{,}0119 \approx 0{,}03\ \text{g/cm}^{3}$$

Paso 6: compatibilidad. El intervalo es 2,67 a 2,73 g/cm³ y contiene el valor tabulado de 2,70 g/cm³.

Resultado: ρ = 2,70 ± 0,03 g/cm³; el resultado es compatible con el aluminio. La mayor contribución viene del diámetro, que está al cuadrado.

Problema 8: Ley de Ohm: propagación y comparación con el valor nominal

Mides V = 12,0 ± 0,1 V e I = 0,500 ± 0,005 A en una resistencia. Calcula R = V / I con su incertidumbre (métodos simple y en cuadratura) y compárala con el valor nominal de 25 Ω, que tiene una tolerancia del 5 %.

Datos:

  • V = 12,0 ± 0,1 V
  • I = 0,500 ± 0,005 A
  • R nominal = 25 Ω (tolerancia del 5 %)

Resolución paso a paso:

Paso 1: valor de R.

$$R = \frac{V}{I} = \frac{12{,}0}{0{,}500} = 24{,}0\ \Omega$$

Paso 2: incertidumbres relativas.

$$\frac{\Delta V}{V} = \frac{0{,}1}{12{,}0} \approx 0{,}0083, \quad \frac{\Delta I}{I} = \frac{0{,}005}{0{,}500} = 0{,}0100$$

Paso 3: método simple.

$$\frac{\Delta R}{R} = 0{,}0083 + 0{,}0100 = 0{,}0183 \Rightarrow \Delta R = 24{,}0 \times 0{,}0183 \approx 0{,}4\ \Omega$$

Paso 4: método en cuadratura.

$$\frac{u_{R}}{R} = \sqrt{(0{,}0083)^{2} + (0{,}0100)^{2}} \approx 0{,}0130 \Rightarrow u_{R} \approx 0{,}3\ \Omega$$

Paso 5: comparación. Con 24,0 ± 0,4 Ω, el intervalo es 23,6 a 24,4 Ω y no contiene 25 Ω. Pero la tolerancia del 5 % da un intervalo nominal de 23,75 a 26,25 Ω, y el valor medido (24,0 Ω) está dentro.

Resultado: R = 24,0 ± 0,4 Ω (simple) o 24,0 ± 0,3 Ω (cuadratura). No coincide con 25 Ω dentro de la incertidumbre de la medida, pero sí es compatible con el valor nominal considerando su tolerancia.

Mini-quiz de incertidumbre de medición

Llegó el momento de medir tus conocimientos, lee con atención y ten mucho cuidado con los cálculos.

Parte I

1. ¿Cuál es la mejor descripción de la incertidumbre de una medición?

2. Una regla graduada en milímetros da una lectura de 85 mm. Con el criterio de ± la mitad de la menor división, ¿cuál es la incertidumbre absoluta?

3. Una longitud se expresa como 12,0 ± 0,3 cm. ¿Cuál es su incertidumbre porcentual?

4. Con cinco medidas se obtiene una desviación estándar muestral de 0,10 s. ¿Cuál es la incertidumbre estándar de la media?

5. Una balanza marca 0,05 kg sin nada encima y todas las medidas salen 0,05 kg mayores. ¿Qué tipo de error es?

Parte II

6. Se miden L₁ = 20,0 ± 0,2 cm y L₂ = 30,0 ± 0,3 cm. Con el método del peor caso, ¿cuál es la incertidumbre de L₁ + L₂?

7. Un área se calcula como A = a × b, con a = 10,0 ± 0,1 cm (1 %) y b = 5,0 ± 0,1 cm (2 %). Con el método del peor caso, ¿cuál es el resultado?

8. El radio de una esfera se mide con una incertidumbre relativa del 5 %. ¿Cuál es la incertidumbre relativa de su volumen V = (4/3)πr³ con el método del peor caso?

Parte III

9. Un cálculo da 9,8137 con una incertidumbre de 0,0412. ¿Cuál es la forma correcta de escribir el resultado?

10. Dos grupos obtienen 4,5 ± 0,2 y 4,9 ± 0,3 para la misma magnitud. ¿Son compatibles?

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Preguntas frecuentes (FAQs) de incertidumbre de medición

1. 🤔 Error e incertidumbre, ¿son lo mismo?

No. El error es la diferencia entre tu medida y el valor verdadero, y como este no se conoce, el error tampoco. La incertidumbre sí la calculas: es una estimación del intervalo donde probablemente está el valor. Pruébalo: mide tu escritorio dos veces y calcula la diferencia entre ambas medidas.

2. 🔁 Si repito la medida muchísimas veces, ¿la incertidumbre llega a cero?

No. La parte estadística (uA) disminuye como 1/√n, pero la resolución del instrumento y los errores sistemáticos no desaparecen por repetir. Reto: si uA vale 0,10 con 4 medidas, ¿cuánto vale con 16? (Respuesta: 0,05).

3. ✍️ ¿Cuántas cifras debo escribir en la incertidumbre?

Una cifra significativa, o dos si la primera es 1. Después redondea el valor al mismo decimal que la incertidumbre. Ejemplo: 7,4829 ± 0,0364 se escribe 7,48 ± 0,04. Escribir todos los decimales de la calculadora aparenta una precisión que no tienes.

4. ⚖️ Si dos resultados no son idénticos, ¿uno está mal?

No necesariamente. Si sus intervalos se solapan, son compatibles. Reto: ¿son compatibles 9,6 ± 0,3 y 9,9 ± 0,2? (Respuesta: sí, ambos intervalos comparten valores entre 9,7 y 9,9).

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Actividades para practicar incertidumbre de medición

Diez ejercicios progresivos. Haz un esquema y escribe cada resultado con su incertidumbre y unidad. Las respuestas están en la sección siguiente.

PARTE I

1. Clasifica cada error como sistemático o aleatorio: (a) una balanza que no marca cero; (b) el tiempo de reacción variable al cronometrar; (c) mirar siempre la escala desde la izquierda; (d) vibraciones que cambian de una medida a otra.

2. Una probeta graduada de 1 mL marca 37 mL. Con el criterio de ± la mitad de la menor división, calcula la incertidumbre absoluta y la porcentual.

3. Un multímetro digital con resolución de 0,01 V marca 3,47 V. Escribe el resultado y calcula la incertidumbre porcentual.

4. Mides una longitud cinco veces: 5,02; 5,04; 5,01; 5,03 y 5,05 cm. Calcula la media, s y la incertidumbre estándar de la media.

5. Un calibrador digital tiene una resolución de 0,01 mm. Calcula uB si el semiancho es a = 0,005 mm.

PARTE II

6. Con uA = 0,007 cm (actividad 4) y uB = 0,003 cm, calcula la incertidumbre combinada y la expandida con k = 2. Expresa U con una cifra significativa.

7. Mides m1 = 150,2 ± 0,1 g y m2 = 48,7 ± 0,1 g. Calcula la diferencia m1 − m2 con su incertidumbre, por el método simple.

8. Una rapidez v = d/t se calcula con d = 2,50 ± 0,01 m y t = 1,25 ± 0,02 s. Calcula v con su incertidumbre.

9. El radio de un círculo es r = 3,0 ± 0,1 cm. Calcula su área con la incertidumbre.

10. Reto: dos grupos miden g con un péndulo y obtienen 9,6 ± 0,3 m/s² y 9,9 ± 0,2 m/s². (a) ¿Son compatibles entre sí? (b) ¿Es compatible cada uno con 9,8 m/s²? (c) ¿Cuál tiene menor incertidumbre porcentual?

Respuestas

Ver soluciones

Actividad 1

  • (a) Sistemático.
  • (b) Aleatorio.
  • (c) Sistemático: desvía siempre en el mismo sentido.
  • (d) Aleatorio.

Actividad 2

$$\Delta V = \frac{1}{2} = 0{,}5\ \text{mL}$$
$$\frac{0{,}5}{37} \times 100 \approx 1{,}4\ \%$$

Actividad 3

Resultado: 3,47 ± 0,01 V.

$$\frac{0{,}01}{3{,}47} \times 100 \approx 0{,}29\ \%$$

Actividad 4

$$\bar{x} = \frac{5{,}02 + 5{,}04 + 5{,}01 + 5{,}03 + 5{,}05}{5} = \frac{25{,}15}{5} = 5{,}03\ \text{cm}$$
$$\sum (x_{i} - \bar{x})^{2} = (-0{,}01)^{2} + (0{,}01)^{2} + (-0{,}02)^{2} + 0^{2} + (0{,}02)^{2} = 0{,}0010$$
$$s = \sqrt{\frac{0{,}0010}{4}} \approx 0{,}016\ \text{cm}$$
$$u_{A} = \frac{0{,}0158}{\sqrt{5}} \approx 0{,}007\ \text{cm}$$

Actividad 5

$$u_{B} = \frac{0{,}005}{\sqrt{3}} \approx 0{,}0029\ \text{mm}$$

Actividad 6

$$u_{c} = \sqrt{(0{,}007)^{2} + (0{,}003)^{2}} = \sqrt{0{,}000058} \approx 0{,}0076\ \text{cm}$$
$$U = 2 \times 0{,}0076 \approx 0{,}015\ \text{cm}$$

Con una cifra significativa, U = 0,02 cm.

Actividad 7

$$m = 150{,}2 - 48{,}7 = 101{,}5\ \text{g}$$
$$\Delta m = 0{,}1 + 0{,}1 = 0{,}2\ \text{g}$$

Resultado: 101,5 ± 0,2 g.

Actividad 8

$$v = \frac{2{,}50}{1{,}25} = 2{,}00\ \text{m/s}$$
$$\frac{\Delta v}{v} = \frac{0{,}01}{2{,}50} + \frac{0{,}02}{1{,}25} = 0{,}004 + 0{,}016 = 0{,}020$$
$$\Delta v = 2{,}00 \times 0{,}020 = 0{,}04\ \text{m/s}$$

Resultado: 2,00 ± 0,04 m/s.

Actividad 9

$$A = \pi \times r^{2} = \pi \times 3{,}0^{2} \approx 28{,}3\ \text{cm}^{2}$$
$$\frac{\Delta A}{A} = 2 \times \frac{0{,}1}{3{,}0} \approx 0{,}067$$
$$\Delta A = 28{,}3 \times 0{,}067 \approx 1{,}9\ \text{cm}^{2}$$

Resultado: 28 ± 2 cm².

Actividad 10

  • (a) Los intervalos son 9,3 a 9,9 y 9,7 a 10,1; se solapan entre 9,7 y 9,9, por lo que son compatibles.
  • (b) 9,8 está dentro de ambos intervalos, así que ambos son compatibles con 9,8 m/s².
$$\frac{0{,}3}{9{,}6} \times 100 \approx 3{,}1\ \%, \quad \frac{0{,}2}{9{,}9} \times 100 \approx 2{,}0\ \%$$

(c) El segundo grupo tiene menor incertidumbre porcentual (2,0 % frente a 3,1 %).

💬 ¿Terminaste las actividades?

Cuéntanos en los comentarios cuántas acertaste y cuál te costó más. 💬

Déjanos tu comentario ↓ Tu participación ayuda a otros estudiantes.

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Conceptos fundamentales de medición: guía fácil para ESO

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Conceptos fundamentales de medición

Conceptos fundamentales de medición: ¿por qué importan tanto?

Los conceptos fundamentales de medición están detrás de casi todo lo que haces cada día: la receta que pide 350 g de agua, la velocidad de tu bici, la dosis de un jarabe o los segundos que separan a dos corredores en una final.

Receta de focaccia al romero casera paso a paso
🍞 ¡Focaccia al romero, casera y deliciosa! 🌿 Sigue cada paso para preparar un pan italiano esponjoso, dorado y lleno de sabor, perfecto para acompañar tus comidas o disfrutar recién horneado.

Ahora piensa en esto: ¿cómo puede perderse una nave espacial de unos 125 millones de dólares por confundir unas unidades con otras? Ocurrió en 1999 con la sonda Mars Climate Orbiter: un equipo entregó los datos de los propulsores en libras-fuerza por segundo y el software de navegación los esperaba en newton por segundo. Medir bien no es un detalle: es la base de la ciencia y de la tecnología.

En este artículo vas a aprender a medir como un científico, paso a paso y sin prisa: de lo más sencillo a lo más completo. Lo que verás te servirá en ESO, en Bachillerato y en los primeros semestres de una carrera científica o técnica.

🎯 Objetivo de aprendizaje
Al terminar podrás:
1. Explicar qué es una magnitud, una unidad y una medición.
2. Distinguir magnitudes fundamentales y derivadas del Sistema Internacional (SI).
3. Convertir unidades con factores de conversión y prefijos.
4. Diferenciar precisión y exactitud, y calcular errores absolutos, relativos y porcentuales.
5. Expresar una medida con su incertidumbre y propagarla en cálculos sencillos.
6. Escribir resultados con las cifras significativas y la notación científica correctas.

Terminología clave

Antes de empezar, conoce el vocabulario esencial. Vuelve a esta tabla cuando lo necesites.

ÍconoTérminoDefinición cortaEjemplo
📏MagnitudPropiedad que se puede expresar con un número y una unidad.La longitud de tu mesa.
🔢UnidadCantidad fija que se elige como referencia para comparar.El metro (m).
🧮MediciónProceso de comparar una magnitud con su unidad.Tu mesa mide 1,20 m.
🌍Sistema Internacional (SI)Conjunto de unidades acordado a nivel mundial.m, kg, s, A, K, mol, cd.
🧰Instrumento de medidaAparato que sirve para medir una magnitud.Cronómetro, balanza, regla.
🔍Sensibilidad (o apreciación)Menor división o cambio que el instrumento puede distinguir.Regla milimetrada: 1 mm.
🔁PrecisiónCuánto se parecen entre sí varias medidas repetidas.2,31 s; 2,32 s; 2,31 s.
🎯ExactitudCuánto se acerca una medida al valor real (o aceptado).Medir 9,80 m/s2 cuando el valor aceptado es 9,81 m/s2.
❌ErrorDiferencia entre lo que mides y el valor real.Medir 6,3 cm en un objeto de 6,0 cm: error de 0,3 cm.
⚠️IncertidumbreIntervalo dentro del cual se espera que esté el valor real.(6,3 ± 0,1) cm.
🔟Cifras significativasDígitos de una medida que aportan información fiable.0,00520 m tiene 3.
🔬Notación científicaForma de escribir números muy grandes o muy pequeños.5,20 × 10−3 m.

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¿Qué es medir? Magnitud, unidad y medición

Magnitud y cantidad

Una magnitud es algo que puedes medir: la longitud, la masa, el tiempo, la temperatura. La belleza o la simpatía no son magnitudes, porque no existe una unidad con la que compararlas.

Una cantidad es el valor concreto de una magnitud: por ejemplo, 3 m. Siempre tiene dos partes: un número y una unidad. Sin unidad, el número no dice nada.

Medición directa e indirecta

En la medición directa lees el resultado en el instrumento: la longitud de un lápiz con una regla o el tiempo con un cronómetro.

En la medición indirecta calculas la magnitud a partir de otras medidas. Por ejemplo, el área de un rectángulo se obtiene midiendo la base y la altura y multiplicando.

La densidad es otro caso: mides la masa y el volumen, y después calculas:

$$\rho=\frac{m}{V}$$

Interpretación física: la densidad indica cuánta masa hay en cada unidad de volumen. Por eso el hielo flota: su densidad es menor que la del agua líquida.

Magnitudes fundamentales y derivadas en el Sistema Internacional

Las magnitudes fundamentales (también llamadas magnitudes de base) son el cimiento de todo el sistema. A partir de ellas se construyen las magnitudes derivadas. El SI tiene siete magnitudes fundamentales (ver Figura 1):

Magnitud fundamentalUnidad SISímbolo
Longitudmetrom
Masakilogramokg
Tiemposegundos
Intensidad de corriente eléctricaamperioA
Temperatura termodinámicakelvinK
Cantidad de sustanciamolmol
Intensidad luminosacandelacd

Las magnitudes derivadas combinan las fundamentales. La velocidad, por ejemplo, relaciona longitud y tiempo:

$$v=\frac{d}{t}$$

Su unidad SI es el metro por segundo (m/s). Otros ejemplos: el área se mide en m2, el volumen en m3, la densidad en kg/m3 y la fuerza en newton (N), donde 1 N = 1 kg·m/s2.

Sistema Internacional de Unidades: prefijos y conversión de unidades

Los prefijos permiten escribir cantidades muy grandes o muy pequeñas sin usar demasiados ceros. Cada prefijo es una potencia de 10 (la Figura 3 muestra los más usados con la longitud).

PrefijoSímboloFactorEjemplo
gigaG1091 GB = 109 bytes
megaM1061 MW = 106 W
kilok1031 km = 1000 m
hectoh1021 hm = 100 m
decada1011 dam = 10 m
decid10−11 dm = 0,1 m
centic10−21 cm = 0,01 m
milim10−31 mm = 0,001 m
microμ10−61 μm = 10−6 m
nanon10−91 nm = 10−9 m

Método del factor de conversión

Para cambiar de unidad, multiplica por fracciones que valen 1. Colócalas de modo que las unidades que no quieres se cancelen. Mira cómo pasar 90 km/h a m/s:

$$90\ \frac{\text{km}}{\text{h}}\times\frac{1000\ \text{m}}{1\ \text{km}}\times\frac{1\ \text{h}}{3600\ \text{s}}=25\ \frac{\text{m}}{\text{s}}$$

Regla rápida: para pasar de km/h a m/s, divide entre 3,6. Para pasar de m/s a km/h, multiplica por 3,6.

Cuidado con áreas y volúmenes: la escalera de la Figura 3 (×10 o ÷10 por escalón) solo vale para longitudes. Como 1 m = 100 cm, resulta 1 m2 = 10 000 cm2 y 1 m3 = 1 000 000 cm3. Por eso, en un área se multiplica por 100 en cada escalón, y en un volumen, por 1000.

Los factores como 1 km = 1000 m o 1 h = 3600 s son exactos: no limitan las cifras significativas del resultado.

Instrumentos de medida y sensibilidad

Cada instrumento tiene una sensibilidad (también llamada apreciación): el cambio más pequeño que puede detectar. Elegir bien el instrumento es parte de medir bien (ver Figura 4). Los valores de la tabla son típicos y dependen del modelo.

InstrumentoMagnitudSensibilidad típica
Regla milimetradaLongitud1 mm
Calibre, vernier o pie de reyLongitud0,1 mm o 0,05 mm
Balanza digital escolarMasa0,1 g a 0,01 g
Cronómetro digitalTiempo0,01 s
ProbetaVolumen1 mL (según el modelo)
Termómetro digitalTemperatura0,1 °C

Un criterio habitual en ESO es tomar como incertidumbre del instrumento su sensibilidad. Algunos docentes usan la mitad; sigue el criterio que te indique tu profesor.

Precisión y exactitud en las mediciones

Muchas personas creen que significan lo mismo, pero no. La exactitud habla de lo cerca que está tu medida del valor real. La precisión habla de lo parecidas que son tus medidas entre sí (ver Figura 2).

  • Exacto y preciso: medidas agrupadas y cerca del valor real.
  • Preciso pero no exacto: medidas agrupadas, pero alejadas del valor real. Suele indicar un error sistemático.
  • Exacto pero no preciso: medidas dispersas cuyo promedio se acerca al valor real.
  • Ni exacto ni preciso: medidas dispersas y alejadas.
Cuatro dianas: exactas y precisas, precisas pero no exactas, exactas pero no precisas, y ni exactas ni precisas
Precisión (puntos agrupados) frente a exactitud (puntos cerca del centro).

Error de medición: absoluto, relativo y porcentual

Ninguna medida es perfecta. El error es la diferencia entre lo que mides y el valor real. Como el valor real casi nunca se conoce con total exactitud, en la práctica se compara con un valor aceptado o se estima una incertidumbre: el intervalo dentro del cual se espera que esté el valor real. Los errores se calculan así:

Error absoluto: diferencia, sin signo, entre la medida y el valor real (o aceptado).

$$E_{a}=\left|x_{\text{medido}}-x_{\text{real}}\right|$$

Error relativo: compara el error con el tamaño de la medida. No tiene unidades.

$$E_{r}=\frac{E_{a}}{x_{\text{real}}}$$

Error porcentual: el error relativo expresado en porcentaje.

$$E_{\%}=\frac{E_{a}}{x_{\text{real}}}\times 100$$

Cuando repites una medida varias veces, el mejor valor es la media aritmética:

$$\bar{x}=\frac{x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}}{n}$$

Tipos de error

  • Errores sistemáticos: siempre desvían la medida en el mismo sentido (una balanza mal calibrada que marca 5 g de más).
  • Errores aleatorios: cambian de una medida a otra (el pulso al accionar el cronómetro). Se reducen repitiendo y promediando.
  • Equivocaciones: leer o anotar mal un dato no es un error de medición; se evitan con cuidado y se descartan.

Propagación de incertidumbres

En una medición indirecta, las incertidumbres de cada medida se combinan. Estas reglas dan la incertidumbre máxima (el peor caso) y bastan para los problemas de este artículo.

Suma o resta: se suman las incertidumbres absolutas.

$$\Delta(a\pm b)=\Delta a+\Delta b$$

Producto o cociente: se suman los errores relativos.

$$\frac{\Delta(a\,b)}{a\,b}=\frac{\Delta a}{a}+\frac{\Delta b}{b}$$

Potencia: el error relativo se multiplica por el exponente.

$$\frac{\Delta(x^{n})}{x^{n}}=n\,\frac{\Delta x}{x}$$

Cifras significativas y notación científica

Las cifras significativas son los dígitos que aportan información fiable. Estas son las reglas básicas:

  • Todo dígito distinto de cero es significativo.
  • Los ceros entre dos dígitos distintos de cero son significativos.
  • Los ceros a la izquierda no son significativos (0,00520 tiene 3 cifras).
  • Los ceros a la derecha de la coma decimal sí son significativos (2,50 tiene 3 cifras).
  • Al multiplicar o dividir, el resultado tiene tantas cifras significativas como el dato que menos tenga. Por ejemplo:
$$2{,}5\ \text{cm}\times 3{,}25\ \text{cm}=8{,}125\ \text{cm}^{2}\approx 8{,}1\ \text{cm}^{2}$$

Al sumar o restar, el resultado se redondea al menor número de decimales de los datos. Por ejemplo:

$$12{,}3\ \text{cm}+4{,}56\ \text{cm}=16{,}86\ \text{cm}\approx 16{,}9\ \text{cm}$$

La notación científica escribe cualquier número como un valor entre 1 y 10 multiplicado por una potencia de 10:

$$N\times 10^{n}\quad\text{con}\quad 1\le N<10$$

Aplicaciones reales y estudios recientes

  • Espacio: el informe de la junta de investigación de la NASA sobre la Mars Climate Orbiter (10 de noviembre de 1999) concluyó que los datos de los propulsores se calcularon en unidades inglesas (libras-fuerza por segundo) cuando el software esperaba unidades métricas (newton por segundo). La sonda pasó demasiado cerca de Marte y se perdió.
  • Redefinición del SI (2019): desde el 20 de mayo de 2019, las siete unidades base se definen a partir de constantes fijas de la naturaleza. El kilogramo ya no depende de un cilindro de platino e iridio, sino de la constante de Planck, fijada en 6,626 070 15 × 10−34 J·s (Oficina Internacional de Pesas y Medidas, BIPM).
  • Nuevos prefijos (2022): la Conferencia General de Pesas y Medidas añadió ronna (1027), quetta (1030), ronto (10−27) y quecto (10−30) para describir desde volúmenes de datos digitales hasta masas subatómicas.
  • Relojes ópticos: el segundo sigue definido con el cesio-133 (9 192 631 770 periodos de su radiación), pero los relojes ópticos ya superan a los de cesio en exactitud. El BIPM trabaja en una hoja de ruta para redefinir el segundo con una transición óptica; según su plan, la ratificación no llegaría antes de 2030.
  • Salud y cocina: medir 5 mL o 50 mL de un medicamento no es lo mismo. Usa siempre la jeringa o el vaso dosificador, no una cuchara.

Errores comunes al medir

  • Olvidar la unidad: «Mide 5» no significa nada. ¿5 cm? ¿5 km?
  • Mezclar unidades en un mismo cálculo: es justo lo que hundió a la Mars Climate Orbiter. Convierte antes de operar.
  • Mirar la regla en ángulo: el error de paralaje cambia la lectura.
  • No poner el cero en el borde del objeto: desplaza toda la medida.
  • Copiar todos los decimales de la calculadora: esos decimales no son fiables.
  • Aplicar la escalera de longitudes a áreas y volúmenes: en m2 se multiplica por 100 en cada escalón; en m3, por 1000.
  • Confundir precisión con exactitud.
  • Medir una sola vez: repetir y promediar reduce el error aleatorio.

Resumen, práctica y mini-check

✅ Resumen:

1. Medir es comparar una magnitud con una unidad de referencia.

2. El SI tiene 7 magnitudes fundamentales; el resto son derivadas.

3. Los prefijos son potencias de 10 y los factores de conversión valen 1.

4. Precisión = parecido entre medidas. Exactitud = cercanía al valor real.

5. Toda medida lleva incertidumbre: se expresa con error absoluto, relativo o porcentual.

6. Escribe siempre las cifras significativas correctas.
💭 Pregunta reflexiva:
Un amigo dice que su regla es «muy exacta» porque tiene muchos milímetros marcados. ¿Estás de acuerdo? Escribe tu respuesta en los comentarios o en tu cuaderno usando las palabras sensibilidad, precisión y exactitud.
🧠 Mini-check de comprensión:

¿Cuál de estas situaciones es un ejemplo de error sistemático?
A) Leer una regla desde distintos ángulos y obtener valores ligeramente diferentes.
B) Usar una balanza que siempre marca 5 g de más.
C) Pulsar el cronómetro un poco antes o después en cada intento.
D) Redondear de forma distinta cada vez.
Muéstrame la respuesta
Respuesta corecta: B. Un error sistemático desvía todas las medidas en el mismo sentido. A, C y D son errores aleatorios o equivocaciones.

Simulador interactivo

Para practicar la medición con instrumentos virtuales, te recomiendo la simulación «Laboratorio de péndulo» (Pendulum Lab) de PhET Interactive Simulations, de la Universidad de Colorado Boulder. Incluye regla, cronómetro y temporizador de periodo, y permite cambiar la gravedad. Así puedes medir, repetir, promediar y calcular errores.

Beneficios del simulador:

  • Permite equivocarse sin consecuencias y repetir la medida cuantas veces quieras.
  • Da resultados inmediatos, así que aprendes de cada intento.
  • Conecta la medida con un fenómeno real: el periodo de un péndulo depende de la longitud y de la gravedad.
  • Puedes comparar tu valor de g con el valor aceptado y calcular tu error porcentual.

🔮 Predecir antes de ver

Antes de abrir el simulador, responde por escrito. Después comprueba tus hipótesis.

  • Si acortas la cuerda del péndulo, ¿el periodo aumenta o disminuye?
  • Si la gravedad fuera menor, como en la Luna, ¿el péndulo oscilaría más rápido o más lento?

Ahora explora: Ingresa al simulador y entra en la pantalla «Laboratorio». Fija una longitud de 1,00 m, mide con el cronómetro el tiempo de 10 oscilaciones y repite 5 veces. Calcula el periodo medio y su error absoluto medio. Cambia la longitud y vuelve a medir.Compara y explica: ¿acertaron tus hipótesis? Si no, ¿qué te sorprendió? Despeja g con la fórmula siguiente, compárala con 9,81 m/s2 y escribe una conclusión de dos líneas.

$$g=\frac{4\pi^{2}L}{T^{2}}$$

Problemas resueltos de medición paso a paso

Este bloque funciona como un examen con autocorrección. Resuelve cada problema en tu cuaderno antes de mirar la solución. Después compara: si tu resultado coincide, tu respuesta fue buena; si no, fue mala.

Cuando termines los 10 problemas, ve a la tabla de evaluación y marca en cada fila si resultó correcta o incorrecta. Suma los puntos de las filas correctas para obtener tu calificación.

📊 Puntaje del bloque:

Nivel principiante: 2 problemas × 2,5 puntos.
Nivel intermedio: 5 problemas × 10 puntos.
Nivel avanzado : 3 problemas × 15 puntos.

Total máximo: 100 puntos.

Aprobación mínima: 55 puntos.

1 · Nivel principiante · 2,5 ptos

Un sendero mide 3,5 km. Expresa su longitud en metros.

⏳ Resuélvelo primero. Después clica para ver la solución.

Muéstrame la respuesta
1. Recuerda la equivalencia: 1 km = 1000 m.

2. Multiplica por el factor de conversión para que se cancelen los km.
$$3{,}5\ \text{km}\times\frac{1000\ \text{m}}{1\ \text{km}}=3500\ \text{m}$$
Respuesta: 3500 m (3,5 × 103 m).

2 · Nivel principiante · 2,5 ptos

Un estudiante mide un cable y anota 0,00520 m. ¿Cuántas cifras significativas tiene? Escríbelo en notación científica.

⏳ Resuélvelo primero. Después clica para ver la solución.

Muéstrame la respuesta
1. Los ceros a la izquierda no son significativos.

2. Cuenta los dígitos 5, 2 y 0. El cero final está a la derecha de la coma decimal, así que sí cuenta: son 3 cifras.

3. Pasa a notación científica moviendo la coma tres lugares: 0,00520 m = 5,20 × 10−3 m.

Respuesta: 3 cifras significativas; 5,20 × 10−3 m.

3 · Nivel intermedio · 10 ptos

Un coche circula a 72 km/h. Exprésalo en m/s.

⏳ Resuélvelo primero. Después clica para ver la solución.

Muéstrame la respuesta
1. Escribe la velocidad con los factores de conversión.
$$72\ \frac{\text{km}}{\text{h}}\times\frac{1000\ \text{m}}{1\ \text{km}}\times\frac{1\ \text{h}}{3600\ \text{s}}$$
2. Calcula.
$$\frac{72\times 1000}{3600}\ \frac{\text{m}}{\text{s}}=20\ \frac{\text{m}}{\text{s}}$$
Recuerda que 1000 m/km y 3600 s/h son factores exactos, así que el resultado conserva las 2 cifras significativas del dato.

Respuesta: 20 m/s.

4 · Nivel intermedio · 10 ptos

Un rectángulo mide (12,5 ± 0,1) cm de largo y (8,0 ± 0,1) cm de ancho. Calcula su área con su incertidumbre.

⏳ Resuélvelo primero. Después clica para ver la solución.

Muéstrame la respuesta
1. Calcula el área.
$$A=12{,}5\times 8{,}0=100\ \text{cm}^{2}$$
2. En un producto se suman los errores relativos.
$$\frac{\Delta A}{A}=\frac{0{,}1}{12{,}5}+\frac{0{,}1}{8{,}0}=0{,}008+0{,}0125=0{,}0205$$
3. Obtén el error absoluto del área.
$$\Delta A=100\times 0{,}0205=2{,}05\ \text{cm}^{2}\approx 2\ \text{cm}^{2}$$
Cuando das una incertidumbre, ella decide cuántas cifras lleva el resultado: la incertidumbre se escribe con una cifra significativa y el valor se redondea hasta el mismo lugar decimal.

Respuesta: A = (100 ± 2) cm2.

5 · Nivel intermedio · 10 ptos

Un cronómetro registra cinco medidas del tiempo de caída de una bola: 2,31 s; 2,35 s; 2,29 s; 2,33 s y 2,32 s. Calcula el valor medio, el error absoluto medio y el error relativo.

⏳ Resuélvelo primero. Después clica para ver la solución.

Muéstrame la respuesta
1. Calcula la media.
$$\bar{t}=\frac{2{,}31+2{,}35+2{,}29+2{,}33+2{,}32}{5}=\frac{11{,}60}{5}=2{,}32\ \text{s}$$
2. Las desviaciones respecto de la media son 0,01; 0,03; 0,03; 0,01 y 0,00. Haz su promedio.
$$\Delta t=\frac{0{,}01+0{,}03+0{,}03+0{,}01+0{,}00}{5}=\frac{0{,}08}{5}=0{,}016\ \text{s}\approx 0{,}02\ \text{s}$$
3. Calcula el error relativo.
$$E_{r}=\frac{0{,}02}{2{,}32}\approx 0{,}009\Rightarrow 0{,}9\%$$
La desviación media (0,016 s) es mayor que la sensibilidad del cronómetro (0,01 s): aquí domina el error aleatorio, y por eso conviene repetir y promediar.

Respuesta: t = (2,32 ± 0,02) s; error relativo ≈ 0,9 %.

6 · Nivel intermedio · 10 ptos

Un bloque metálico de 156,0 g tiene forma de prisma de 2,00 cm × 3,00 cm × 4,00 cm. Calcula su densidad en g/cm3 y en kg/m3.

⏳ Resuélvelo primero. Después clica para ver la solución.

Muéstrame la respuesta
1. Calcula el volumen.
$$V=2{,}00\times 3{,}00\times 4{,}00=24{,}0\ \text{cm}^{3}$$
2. Calcula la densidad.
$$\rho=\frac{m}{V}=\frac{156{,}0\ \text{g}}{24{,}0\ \text{cm}^{3}}=6{,}50\ \frac{\text{g}}{\text{cm}^{3}}$$
3. Convierte a kg/m³.
$$6{,}50\ \frac{\text{g}}{\text{cm}^{3}}\times\frac{1\ \text{kg}}{1000\ \text{g}}\times\frac{10^{6}\ \text{cm}^{3}}{1\ \text{m}^{3}}=6{,}50\times 10^{3}\ \frac{\text{kg}}{\text{m}^{3}}$$

Respuesta: 6,50 g/ cm3 = 6,50 × 103 kg/ m3 .

7 · Nivel intermedio · 10 ptos

En un laboratorio, un péndulo da como resultado g = 9,65 m/s2. El valor aceptado es 9,81 m/s2. Calcula el error absoluto y el error porcentual.

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Muéstrame la respuesta
1. Error absoluto.
$$E_{a}=\left|9{,}65-9{,}81\right|=0{,}16\ \frac{\text{m}}{\text{s}^{2}}$$
2. Error porcentual.
$$E_{\%}=\frac{0{,}16}{9{,}81}\times 100\approx 1{,}6\%$$

Respuesta: Error absoluto 0,16 m/s2; error porcentual ≈ 1,6 %.

8 · Nivel avanzado · 15 ptos

El radio de una esfera se mide como r = (5,00 ± 0,05) cm. Calcula su volumen con su incertidumbre.

⏳ Resuélvelo primero. Después clica para ver la solución.

Muéstrame la respuesta
1. Volumen de la esfera.
$$V=\frac{4}{3}\pi r^{3}=\frac{4}{3}\pi\left(5{,}00\ \text{cm}\right)^{3}\approx 523{,}6\ \text{cm}^{3}$$
2. Como el radio está elevado al cubo, el error relativo se multiplica por 3.
$$\frac{\Delta V}{V}=3\,\frac{\Delta r}{r}=3\times\frac{0{,}05}{5{,}00}=0{,}03$$
3. Error absoluto del volumen.
$$\Delta V=523{,}6\times 0{,}03\approx 15{,}7\ \text{cm}^{3}\approx 16\ \text{cm}^{3}$$

Respuesta: V = (524 ± 16) cm3

9 · Nivel avanzado · 15 ptos

Con un péndulo simple se miden la longitud L = (1,000 ± 0,002) m y el periodo T = (2,007 ± 0,005) s. Sabiendo que el periodo cumple la relación siguiente, calcula g y su incertidumbre.

$$T=2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$$

⏳ Resuélvelo primero. Después clica para ver la solución.

Muéstrame la respuesta
1. Despeja g de la fórmula del periodo.
$$T=2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}\ \Rightarrow\ g=\frac{4\pi^{2}L}{T^{2}}$$
2. Sustituye los valores medidos.
$$g=\frac{4\pi^{2}\left(1{,}000\right)}{\left(2{,}007\right)^{2}}\approx 9{,}80\ \frac{\text{m}}{\text{s}^{2}}$$
3. En un cociente se suman los errores relativos; T está al cuadrado, así que su error se multiplica por 2.
$$\frac{\Delta g}{g}=\frac{\Delta L}{L}+2\,\frac{\Delta T}{T}=\frac{0{,}002}{1{,}000}+2\times\frac{0{,}005}{2{,}007}\approx 0{,}0070$$
4. Error absoluto de g.
$$\Delta g=9{,}80\times 0{,}0070\approx 0{,}07\ \frac{\text{m}}{\text{s}^{2}}$$
Interpretación: el valor aceptado, 9,81 m/s2, cae dentro del intervalo de 9,73 m/s2 a 9,87 m/s2, así que la medida es compatible con él.

Respuesta: g = (9,80 ± 0,07) m/s2

10 · Nivel avanzado · 15 ptos

Usa el análisis dimensional para deducir cómo depende el periodo T de un péndulo de su longitud L y de la aceleración de la gravedad g. Supón la relación siguiente, con k adimensional.

$$T=k\,L^{a}\,g^{b}$$

⏳ Resuélvelo primero. Después clica para ver la solución.

Muéstrame la respuesta
1. Escribe las dimensiones de cada magnitud (la letra recta designa la dimensión: T es tiempo y L es longitud).
$$[T]=\text{T},\quad [L]=\text{L},\quad [g]=\text{L}\,\text{T}^{-2}$$
2. Sustituye en la relación propuesta.
$$\text{T}=\text{L}^{a}\left(\text{L}\,\text{T}^{-2}\right)^{b}=\text{L}^{a+b}\,\text{T}^{-2b}$$
3. Iguala los exponentes de cada dimensión. Para T:
$$-2b=1\ \Rightarrow\ b=-\frac{1}{2}$$
Para L:
$$a+b=0\ \Rightarrow\ a=\frac{1}{2}$$
4. Escribe la relación final.
$$T=k\sqrt{\frac{L}{g}}$$
Nota: el análisis dimensional no da el valor de k. Se obtiene con la teoría o con un experimento, y resulta k = 2π.

Respuesta: el periodo es proporcional a la raíz cuadrada del cociente entre L y g.

Marca en cada fila si tu resultado fue correcto o incorrecto. Con 55 puntos o más, apruebas.

Evaluación: Conceptos fundamentales de medición
CorrectaIncorrecta
Correctas marcadas: 0Incorrectas marcadas: 0
Aprobación mínima: 55 ptosEstado: ⏳ Pendiente (0/10)
Calificación (suma de correctas)0 / 100 ptos

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Conclusión

Ya sabes que medir es mucho más que leer un número: es elegir el instrumento adecuado, expresar el resultado con su unidad y admitir que toda medida tiene una incertidumbre. Eso es pensar como un científico.

Has recorrido las magnitudes y unidades del SI, la conversión con factores, la diferencia entre precisión y exactitud, el cálculo de errores y el uso de las cifras significativas. Con esto tienes las herramientas para cualquier laboratorio de Física, Química o Tecnología.

➡️ Siguiente tema del curso Magnitudes escalares y vectoriales. Verás que algunas magnitudes, como la masa o el tiempo, solo necesitan un número; otras, como la velocidad o la fuerza, también necesitan dirección y sentido.

Actividades prácticas:

PARTE I

Resuelve en tu cuaderno y compara solo con la respuesta final. Si no coincide, revisa el paso a paso de los problemas resueltos.

1. Convierte 0,75 L a mL.

750 mL

2. Convierte 90 km/h a m/s.

25 m/s

3. ¿Cuántas cifras significativas tiene 0,030400 m?

5 cifras significativas

4. Escribe 45 000 000 m en notación científica.

4,5 × 107 m

5. Convierte 2,5 × 103 mm a metros.

2,5 m

6. Una longitud de 24,5 cm se midió con error absoluto de 0,5 cm. Calcula el error porcentual.

$$E_{\%}=\frac{0{,}5}{24{,}5}\times 100\approx 2{,}0\%$$

7. Calcula la media de 10,2; 10,4; 10,1 y 10,5.

$$\bar{x}=\frac{10{,}2+10{,}4+10{,}1+10{,}5}{4}=10{,}3$$

8. Calcula el área de un círculo de radio 3,0 cm (2 cifras significativas).

$$A=\pi r^{2}=\pi\left(3{,}0\ \text{cm}\right)^{2}\approx 28\ \text{cm}^{2}$$

9. Convierte 5 g/cm3 a kg/m3.

5000 kg/m3

10. Un objeto de 0,500 kg ocupa 250 cm3. Calcula su densidad en g/cm3.

$$\rho=\frac{500\ \text{g}}{250\ \text{cm}^{3}}=2{,}00\ \frac{\text{g}}{\text{cm}^{3}}$$

PARTE II

Actividades individuales

  • Mide con una regla el largo de tu libro y escribe el resultado con su incertidumbre.
  • Convierte tu altura de centímetros a metros y a milímetros.
  • Escribe tres magnitudes que uses hoy y la unidad más adecuada para cada una.
  • Busca dos ejemplos de errores sistemáticos en la vida diaria.

Actividades colaborativas

  • Concurso de estimación (equipos de 3): estimen la longitud del aula y luego midan. Calculen el error porcentual de cada equipo.
  • Cronometrar en cadena: cada integrante mide 5 veces el tiempo de caída de un objeto. Comparen medias y errores y expliquen las diferencias.
  • Debate: ¿qué sistema es más práctico, el métrico o el imperial? Preparen argumentos a favor y en contra.

Actividad de aplicación real: proyecto corto

🔬 Proyecto: «¿A qué velocidad camino?»

Materiales: cinta métrica o metro, cronómetro (o móvil) y cuaderno.
1. Marca un tramo de 20 m en un espacio seguro y con la supervisión de un adulto o de tu docente.
2. Camina el tramo 5 veces a ritmo normal y anota cada tiempo.
3. Calcula el tiempo medio y su error absoluto medio.
4. Calcula tu velocidad en m/s y en km/h con las cifras significativas correctas.
5. Repite el recorrido a paso ligero (solo si tu docente lo autoriza) y compara los resultados en una tabla.
Entrega: tabla de datos, cálculos, conclusión de 5 líneas y una propuesta para mejorar la precisión.
Se valora: unidades correctas, cifras significativas, cálculo del error y claridad.

Preguntas frecuentes (FAQs)

Estas preguntas recogen los errores y las ideas equivocadas más habituales. Antes de leer cada respuesta, elige tu opción: es tu mini-encuesta de autocomprobación.

1. ¿La masa y el peso son lo mismo?
🗳️ Tu voto: ☐ Sí  ☐ No  ☐ Depende

No. La masa mide la cantidad de materia y se expresa en kilogramos; no cambia de un lugar a otro. El peso es una fuerza, se mide en newton y depende de la gravedad:

$$P=m\,g$$

Una persona de 60 kg pesa unos 589 N en la Tierra (g ≈ 9,81 m/s2) y unos 97 N en la Luna (g ≈ 1,62 m/s2). Su masa es la misma en ambos sitios.

2. Si mis medidas son muy precisas, ¿entonces son exactas?
🗳️ Tu voto: ☐ Sí  ☐ No

No. Una balanza mal calibrada puede dar siempre 502 g para un objeto de 500 g: muy precisa, pero no exacta. La precisión habla de repetición; la exactitud, de cercanía al valor real.

3. ¿Cuantos más decimales muestre mi calculadora, más exacta es mi medida?
🤔 Antes de responder, pregúntate: ¿mi regla puede distinguir décimas de milímetro?

No. Los decimales que salen de la calculadora no mejoran el instrumento. Redondea siempre según las cifras significativas de tus datos.

4. ¿Un error de medición significa que me equivoqué?
🗳️ Tu voto: ☐ Sí  ☐ No  ☐ A veces

No necesariamente. Toda medida tiene incertidumbre, aunque la hagas perfectamente. Una equivocación (leer mal, anotar mal) es distinta de la incertidumbre propia del instrumento y del método. La primera se evita; la segunda se cuantifica.

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