Teorema de Euclides

¿Quieres conocer más acerca del Teorema de Euclides? ¿Sabías que uno de los teoremas más antiguos de la geometría todavía se usa en cosas tan cotidianas como construir un edificio, diseñar videojuegos o resolver un rompecabezas? El Teorema de Euclides no es solo parte de un libro viejo de matemáticas: ¡está más vivo que nunca en nuestra vida diaria!

Aprender cómo funciona te permitirá jugar con los ángulos, los triángulos y hasta con la lógica de una manera diferente. ¿Quieres profundizar en el tema? Te invito que leas este post explicado con palabras sencillas.

¿Quién era Euclides?

Conocido como el padre de la geometría, fue un matemático Griego que vivió en Egipto hace más de 2000 años, alrededor del año 300 a.C. Gracias a sus investigaciones y demostraciones  fue posible la creación de teoremas en los triángulos rectángulos.

Teorema de Euclides

Afirma que:

El triángulo padre y sus hijos semejantes

Un triángulo rectángulo es como un padre, porque a partir de él nacen dos nuevos triángulos de menores tamaños, conservando las mismas formas (triángulos rectángulos) y proporciones. Por consiguiente, sus hijos son semejantes a su padre y los hermanos semejante entre ellos.

Esta breve historia inicia cuando se dibuja la altura relativa de la hipotenusa, en ese preciso instante, el triángulo deja de ser uno solo para transformarse en tres, ellos son:

1. Grande ΔCAB (el padre).
2. Mediano ΔCDA (hijo mayor).
3. Pequeño ΔADB (hijo menor).

Observa la figura # 1:

Así que los triángulos:  ΔCAB∼ΔCDA∼ΔADB son semejantes.

El teorema de Euclides conduce a otros dos teoremas denominados:

1. Teorema del cateto y
2. Teorema de la altura.

Teorema del cateto

Conocido también con el nombre de teorema de la proyección o teorema de la proyección de los catetos.

En la figura # 2, el triángulo rectángulo CAB tiene su ángulo recto en el vértice A. En este triángulo:

• El lado de mayor longitud, a, es la hipotenusa,
• c y b son los catetos.
• h es la altura relativa de la hipotenusa.

Al proyectar ortogonalmente los catetos representados con las letras b y c y el punto A (vértice del triángulo) sobre la hipotenusa a, se obtienen sus respectivas proyecciones, como el punto D y los segmentos b´y c´.

Teorema de Euclides: Tres triángulos

Cabe destacar que la trayectoria que sigue el punto A al proyectarse ortogonalmente sobre la hipotenusa da lugar a la altura relativa, representada por h. Estableciendo 3 triángulos.

Partiendo del Teorema de Euclides que trata de la semejanza de los 3 triángulos, se define proporcionalidades entre sus lados homólogos.

Para tener una visión más clara, acerca de la construcción de las proporcionalidades se toma la decisión en separar los tres triángulos. Observa la figura # 3, cada ángulo tiene un color distinto; esto indica que son ángulos homólogos entre los tres triángulos.

Gracias a la identificación de sus ángulos homólogos, es posible seleccionar los lados homólogos de cada triángulo, y con base en ellos se construyen las proporciones correspondientes.

Razón utilizada:

ΔCAB y ΔCDA	ΔCAB y ΔADB

Fíjate que, los medios de ambas proporciones son iguales, por lo tanto, son proporciones continua.

Entonces, por ser proporciones continua se dice que b² y c² son media proporcional.

Como conclusión, el teorema de los catetos dice que:

Entonces, el teorema de los catetos se puede leer:

Teorema de la altura

Partiendo de la semejanza entre los triángulos CDA y ADB, se utiliza la razón:

Por lo tanto, su proporcionalidad es:

Que es lo mismo a:

Donde la media proporcional es igual a:

Así que, el teorema de la altura enuncia:

A jugar con Euclides

Explora la simulación, mueve el deslizador y observa cómo los triángulos semejantes se transforman.
Diviértete mientras analizas los cambios, deduce lo que está pasando y aprende jugando.

Ejemplos resueltos

Aquí tienes dos ejemplos resueltos paso a paso explicado de forma sencilla, la intención es ayudarte a entender su aplicación y cómo debes resolverlos.

• En el triángulo ABC, la longitud de la hipotenusa es de 25cm.Determinar:

Para determinar las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa, es necesario aplicar primero el teorema de Pitágoras, para encontrar el cateto. AC.

Aplicar el teorema de los catetos.

• En el triángulo rectángulo de la figura se requiere determinar la hipotenusa y las proyecciones de los sobre la hipotenusa.

Lo primero es aplicar el teorema de Pitágoras para hallar la hipotenusa.

Ahora se emplea el teorema de los catetos.

Actividades

1. La altura relativa de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es de 8m y la proyección de uno de los catetos es de 4m. Determina los lados del triángulo.

2. Un cateto de un triángulo tiene una longitud de 5m y la altura de 3m. Calcula los lados y las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa.

3. En un triángulo, un cateto es igual a los ¾ de otro cateto y la suma de ambos es 14m. Hallar:

• Los catetos.
• La hipotenusa.
• Altura relativa de la hipotenusa.
• Proyección de los catetos.

Profesora Militza