Análisis dimensional: qué es y ejercicios prácticos

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El análisis dimensional es una poderosa herramienta en el área de la física ya que permite asegurar que las fórmulas o las ecuaciones utilizadas sean coherentes y tenga sentido en términos de unidades y dimensiones.

Es aplicado en muchas situaciones de la vida diaria, desde un trabajo de bricolaje hasta en la creación de proyectos, asegurando que los resultados sean correctos y consistentes.

Contenido del tema

¿Qué es análisis dimensional?

Es una relación de magnitudes, lo cual permite verificar ecuaciones o deducir nuevas fórmulas a partir de experimentos.

A continuación, aquí tienes algunos aspectos del análisis dimensional:

Terminología básica

Para empezar a comprender el tema es importante tener presente el conocimiento de algunos términos, como magnitud física, dimensión y unidad.

La magnitud física llamada también cantidad física es aquella que puede ser medida, como la longitud, área, fuerza, etc. La dimensión es la medida de alguna magnitud física y es expresado en letras, mientras que la unidad es utilizada para expresar cantidades de una magnitud física.

Imagínate una persona caminando por un parque y lee un aviso que tiene escrito lo siguiente: “A 500m los baños”. Identifica la magnitud, dimensión y unidad. La magnitud física es “longitud”, dimensión “L” y la unidad = m (metros).

Magnitudes fundamentales

Existen 7 magnitudes fundamentales o básicas, ellas son: masa, tiempo, longitud, corriente eléctrica, temperatura, cantidad de materia y cantidad de luz.

A continuación, la tabla # 1 de magnitudes fundamentales con sus respectivas dimensiones y unidades tanto por el Sistema Internacional (S.I.) e inglesa.

Dimensiones derivadas

Este tipo de dimensiones son generadas gracias a unas relaciones conocidas con el nombre de ecuaciones o fórmulas, su procedimiento es sencillo siempre y cuando cumplas con los siguientes pasos:

Uno: Identificar las magnitudes físicas.
Dos: Encerrarlas entre corchetes.
Tres: Sustituir las dimensiones de cada magnitud física.
Cuarto: Ejecutar las operaciones matemáticas existentes.
Quinto: Emitir el resultado de las dimensiones de forma lineal.

Nota: Cuando se encierra una magnitud entre corchetes su lectura es: “las dimensiones de”. Ejemplo: [velocidad] o [v] , se lee: las dimensiones de la velocidad.

Ejercicios prácticos

A continuación, cuatro ejemplos para determinar dimensiones derivadas.

➡ Ejemplo # 1: Hallar las dimensiones de la velocidad. Fórmula: $\vec{v}= \frac{d}{t}$

$$[Velocidad]=\left [\frac{longitud}{tiempo} \right ]$$

$$\left [ v \right ]=\frac{\left [ longitud \right ]}{\left [ tiempo \right ]}=\frac{L}{t}$$

$$\left [ v \right ]=Lt^{-1}$$

➡ Ejemplo # 2: Encuentre las dimensiones de la magnitud aceleración. Fórmula: $\vec{a}= \frac{\vec{v}}{t}$

$$[Aceleracion]=\left [\frac{velocidad}{tiempo} \right ]$$

$$\left [ a \right ]=\frac{\left [ velocidad \right ]}{\left [tiempo \right ]}=\frac{L\cdot t^{-1}}{t}$$

$$\left [ a \right ]=L\cdot t^{-1}\cdot t^{-1}$$

$$\left [ a \right ]=L\cdot t^{-2}$$

➡ Ejemplo # 3: Determina las dimensiones de la fuerza. Fórmula: $\vec{F}=m\cdot \vec{a}$

$$\left [ Fuerza \right ]=\left [ masa\cdot aceleracion \right ]$$

$$\left [ \vec{F} \right ]=[masa].[aceleracion]=m\cdot L\cdot t^{-2}$$

$$\left [ \vec{F} \right ]=m\cdot L\cdot t^{-2}$$

➡ Ejemplo # 4: Exprese las dimensiones de la magnitud trabajo. Fórmula: $W=F.d$

$$[Trabajo]=[Fuerza.distancia]$$

$$\left [ W \right ]=[Fuerza].[distancia]$$

$$\left [ W \right ]=m\cdot L\cdot t^{-2}\cdot L$$

$$\left [ W \right ]=m\cdot L^{2}\cdot t^{-2}$$

Magnitudes derivadas

A continuación, la tabla # 2 de magnitudes derivadas, con su respectiva fórmula, dimensiones y unidades en el Sistema Internacional.

Tabla # 2. Magnitudes derivadas

Magnitud derivada	Fórmula	Dimensiones	Unidad S.I.
Área	$$A=longitud^{2}$$	$$\left [ A \right ]=L^{2}$$	$$m^{2}$$
Volumen	$$V=longitud^{3}$$	$$\left [ V \right ]=L^{3}$$	$$m^{3}$$
Velocidad	$$\vec{v}=\frac{longitud}{tiempo}$$	$$\left [ \vec{v} \right ]=L\cdot t^{-1}$$	$$m/s$$
Aceleración	$$\vec{a}=\frac{velocidad}{tiempo}$$	$$\left [ \vec{a} \right ]=L\cdot t^{-2}$$	$$m/s^{2}$$
Fuerza	$$\vec{F}=masa\cdot aceleracion$$	$$\left [ \vec{F} \right ]=m\cdot L\cdot t^{-2}$$	$$N\left ( kg\cdot \frac{m}{s^{2}} \right )$$
Trabajo	$$W=fuerza\cdot distancia$$	$$\left [ W \right ]=m\cdot L^{2}\cdot t^{-2}$$	$$N\cdot m$$
Energía	$$E=W$$	$$\left [ E \right ]=m\cdot L^{2}\cdot t^{-2}$$	$$J\left ( kg\cdot\frac{ m^{2}}{s^{2}} \right )$$
Potencia	$$P=\frac{trabajo}{tiempo}$$	$$\left [P \right ]=m\cdot L^{2}\cdot t^{-3}$$	$$W\left (\frac{J}{s} \right )$$
Caudal	$$Q=\frac{volumen}{tiempo}$$	$$\left [ Q \right ]=L^{3}\cdot t^{-1}$$	$$\frac{m^{3}}{s}$$
Densidad	$$D=\frac{masa}{volumen}$$	$$\left [D \right ]=m\cdot L^{-3}$$	$$\frac{kg}{m^{3}}$$
Peso	$$\vec{P}=masa\cdot aceleracion\, gravedad$$	$$\left [\vec{P } \right ]=m\cdot L\cdot t^{-2}$$	$$N\left ( kg\cdot \frac{m}{s^{2}} \right )$$
Peso específico	$$\gamma =\frac{peso}{volumen}$$	$$\left [\gamma \right ] =m\cdot L^{-2}\cdot t^{-2}$$	$$\frac{N}{m^{3}}$$
Presión	$$\vec{P}=\frac{Fuerza}{Area}$$	$$\left [\vec{P} \right ]=m\cdot L^{-1}\cdot t^{-2}$$	$$Pa\left ( \frac{N}{m^{2}} \right )$$
Torque	$$T=Fuerza\cdot distancia$$	$$\left [ T \right ]=m\cdot L^{2}\cdot t^{-2}$$	$$N\cdot m$$
Carga eléctrica	$$q=corriente\, electrica\cdot tiempo$$	$$\left [ q \right ]=I\cdot t$$	$$C\left ( A\cdot s \right )$$
Intensidad de carga eléctrica	$$\vec{E}=\frac{F}{q}$$	$$\left [\vec{E} \right ]=m\cdot L\cdot t^{-3}\cdot I^{-1}$$	$$A$$
Potencial eléctrico	$$V=\frac{Trabajo}{Intensidad\, E.}$$	$$\left [V \right ]=m\cdot L^{2}\cdot t^{-3}\cdot I^{-1}$$	$$V\left ( \frac{J}{C} \right )$$
Resistencia eléctrica	$$R=\frac{Potencial\, electrico}{Intensidad\, E.}$$	$$\left [R \right ]=m\cdot L^{2}\cdot t^{-3}\cdot I^{-1}$$	$$\Omega\left ( \frac{V}{A} \right )$$

Homogeneidad dimensional

Al mencionar la palabra homogeneidad llega a la mente la palabra similitud, entonces es lógico pensar que la homogeneidad dimensional se refiere a que todas las dimensiones en una ecuación son similares.

Ley de la Homogeneidad Dimensional

La finalidad de esta ley es permitir la existencia de ecuaciones dimensionalmente coherentes, es decir, garantiza que las expresiones sean correctas. Ella establece que:

Cada término en una ecuación que sume, reste, multiplique o divida, deben poseer las mismas dimensiones, de lo contrario la ecuación no es consistente.

Aspectos relevantes en la ley de la homogeneidad

Para asegurar la coherencia dimensional en las ecuaciones es muy importante tener en cuenta los siguientes aspectos:

Cualquier número o constante que se encuentren acompañando a cualquier término de una ecuación son adimensionales. Por lo tanto, las dimensiones de un número siempre es 1. Ejemplo:
$$\left [ M \right ]=2L+\frac{1}{2}L$$
$$\left [ M \right ]=L+L$$
$$\left [ M \right ]=L$$
Los exponentes son constantes. Ejemplo:
$$\left [ Z \right ]=T+e^{M\cdot t}$$
Para determinar M, se igualan a 1 los exponentes.
$$\left [ M\cdot t \right ]=1$$
$$\left [ M \right ]=\frac{1}{t}=t^{-1}$$
Las dimensiones de M = t^-1
Los ángulos, funciones logaritmicas, trigonométricas y exponenciales son constantes. Ejemplo:
Función trigonmétrica: [cosπ] =1
Número Q: [1/4] = 1
Ángulo: [60°] = 1
Número Z: [-105] = 1
Función logaritmica: [log(100)] = 1
Número I: [π] = 1
Si la expresión posee varios términos sumando o restando, el resultado es la misma dimensión. Ejemplo:
$$t-t=t$$
$$t+t=t$$
En la multiplicación o división de dimensiones es necesario aplicar las propiedades de la potenciación. Ejemplo:
$$\frac{v^{2}\cdot v\cdot a^{3}\cdot v^{3}}{a^{5}}=\frac{a^{3}\cdot v^{6}}{a^{5}}=v^{6}\cdot a^{-2}$$
Propiedades utilizadas: multiplicación y división de potencias de igual base.
El resultado siempre debe ser expresado en forma lineal. Observe la tabla # 2 en la columna de Dimensiones.

Ejercicios prácticos de análisis dimensional

A continuación, se presentan dos ejemplos para poner en practica la Ley de la Homogeneidad Dimensional. Para este procedimiento es muy importante apoyarse en la tabla # 1 y # 2.

➡ Ejemplo # 1: Determinar la dimensión de “D” y verificar que cada término aditivo de la ecuación tenga las mismas dimensiones.

$D=x_{0}+v_{0}\cdot t+\frac{1}{2}\cdot a\cdot t^{2}$

$\left [ D \right ]=\left [ longitud \right ]+\left [ velocidad\cdot tiempo \right ]+\frac{1}{2}\cdot \left [ aceleracion\cdot tiempo^{2} \right ]$

$\left [ D \right ]=\left [ longitud \right ]+\left [ velocidad \right ]\cdot \left [ tiempo \right ]+\left [ aceleracion \right ]\cdot \left [ tiempo^{2} \right ]$

$\left [D \right ]=L+L\cdot t^{-1}\cdot t+L\cdot t^{-2}\cdot t^{2}$

$\left [D \right ]=L+L+L$

$\left [D \right ]=L$

Conclusión: La fórmula es consistente ya que todos los términos poseen las mismas dimensiones y la dimensión de la constante “D” es longitud (L).

➡ Ejemplo # 2: Determine las dimensiones de “K” y “B” , donde: γ = peso especifico, P = peso, V = volumen.

La fórmula que se muestra a continuación es consistente.

$K=\frac{\gamma }{P}+B-\frac{1}{V}$

$\left [ K \right ]=\frac{\left [ peso\, especifico \right ]}{\left [ peso \right ]}+\left [ B \right ]-\frac{1}{\left [ volumen \right ]}$

$\left [ K \right ]=\frac{m\cdot L^{-2}\cdot t^{-2}}{m\cdot L^{-1}\cdot t^{-2}}+\left [ B \right ]-\frac{1}{ L^{3}}$

$\left [ K \right ]=\frac{L^{-2}}{L}+\left [ B \right ]-\frac{1}{L^{3}}$

$\left [ K \right ]=L^{-2}\cdot L^{-1} +\left [ B \right ]- L^{-3}$

$\left [ K \right ]=L^{-3}+\left [ B \right ]-L^{-3}$

$\left [ K \right ]=\left [ B \right ]= L^{-3}$

Conclusión: Por la ley de homogeneidad dimensional M y B poseen la misma dimensión L^-3

Actividades de análisis dimensional

1.) Encuentra las dimensiones y unidades de “k” en el Sistema Internacional de Unidades (SI), dado que la ecuación es dimensionalmente correcta:

$$E_{pe}=\frac{k\cdot x^{2}}{2}$$

Donde:

$$E_{pe}:Energia\, potencial\, electrico$$

$$x:Longitud$$

$$\left [ E_{pe} \right ]=m\cdot L^{2}\cdot t^{-2}$$

$$\left [ x \right ]=L$$

Respuestas: $\left [ k \right ]=m\cdot t^{-2}\, \, \rightarrow Unidades=\frac{kg}{s^{2}}$

2.) Determina las dimensiones y las unidades de $\left [ \mu \right ]$ , donde $\vec{N}\,\, y \, \, \vec{f_{r}}$ son fuerzas.

$$\vec{f_{r}}=\mu \cdot \vec{N}$$

3.) La fórmula de la intensidad de un campo eléctrico E es la siguiente:

$$E=\frac{k\cdot q}{r^{2}}$$

Determina [E]

Donde:

k: constante de Coulomb; q: carga eléctrica; r: distancia

$\left [ k \right ]=m\cdot L^{3}\cdot t^{-4}\cdot I^{-2}$

Busque en la tabla # 2, las dimensiones de la carga eléctrica y en la tabla # 1, la distancia o longitud.

Respuesta: $\left [ E \right ]=m\cdot L\cdot t^{-3}\cdot I^{-1}$

4.) ¿Qué magnitud físca, dimensiones y unidad es “x”?

$$x=\frac{v}{Q}$$

Donde:

v: rapidez

Q: caudal

5.) Sabiendo que “a” es aceleración “Q” es caudal y “b” el tiempo , calcular las dimensiones de “z” y su unidad en el Sistema Internacional (SI)en la siguiente ecuación:

$$z=\frac{x^{2}\left ( x-a\cdot b^{2} \right )\cdot \pi }{Q\cdot cos\left ( \alpha \right )}$$

Donde:

x: Longitud

Respuesta: $\left [ z \right ]=t\, \, \rightarrow Unidad=\, s$

6.) Si 𝑃 representa la potencia, 𝐹 es la fuerza y 𝑣 es la velocidad, ¿cuál es la expresión dimensional de la potencia?

Ahora que conoces más acerca del análisis dimensional no dejes de practicar lo aprendido. No olvides comentar y compartir este post, así nos ayudas a seguir creciendo.