¿Alguna vez te has dado cuenta que el movimiento parabólico está en todas partes en nuestra vida cotidiana? Lo puedes observar cuando lanzas una pelota al aire o en deportes como el béisbol, fútbol o golf. ¿Te has preguntado cómo se pueden calcular las diferentes velocidades de un objeto en movimiento? ¿Qué hace que vuelen de manera elegante y parabólica? Este artículo te dará las respuestas y mucho más sobre este fascinante tipo de movimiento.
Movimiento Parabólico
El movimiento parabólico llamado también movimiento de un proyectil. Esto ocurre cuando un objeto es lanzado al aire con una velocidad inicial y experimenta una aceleración constante, debido a la gravedad. Este movimiento combina dos componentes: uno horizontal, que es uniforme, y uno vertical, que es uniformemente acelerado. La trayectoria resultante del objeto es una parábola, con un punto más alto simétrico en su recorrido.
Características del Movimiento Parabólico
Conocer las características de este movimiento es muy relevante ya que permite comprender y solucionar cualquier situación. A continuación, estas son las características del movimiento parabólico:
- Trayectoria parabólica: La trayectoria del objeto es una parábola.
- Velocidad horizontal constante: La velocidad en la dirección horizontal no cambia.
- Velocidad vertical variable: Disminuye hasta el punto más alto y luego aumenta al descender.
- Alcance máximo: Se logra con un ángulo de lanzamiento de 45 grados.
- Altura máxima: Se alcanza con un ángulo de lanzamiento de 90 grados.
- Aceleración vertical constante: La gravedad actúa hacia abajo con un valor de aproximadamente 9.8 m/s² en la Tierra.
- Simetría de la trayectoria: La trayectoria es simétrica respecto al punto más alto.
- Independencia de movimientos: Los movimientos horizontal y vertical son independientes; la gravedad solo afecta el vertical.
- Velocidad inicial: Se descompone en componentes horizontal (v₀ₓ) y vertical (v₀ᵧ), determinando la trayectoria.
- Tiempo total de vuelo: Depende de la velocidad inicial vertical y la gravedad, calculado como el doble del tiempo para alcanzar la altura máxima.
Clasificación del movimiento parabólico
El movimiento parabólico se clasifica en dos tipos:
Movimiento de un cuerpo lanzado horizontalmente
Aquí, el cuerpo es disparado con una velocidad inicial (v₀ₓ) en la dirección horizontal desde cierta altura, con velocidad inicial vertical cero. Siguiendo una trayectoria parabólica debido a la gravedad.
Movimiento de un cuerpo lanzado con un ángulo
Cuando el objeto es lanzado formando un ángulo con la horizontal, su velocidad inicial tiene componentes verticales y horizontales, resultando en una trayectoria parabólica.
Ecuaciones utilizadas en el movimiento horizontal y vertical
Las ecuaciones que se utilizarán tanto para el movimiento horizontal y vertical se mencionará posteriormente. Ya que, primero se mostrará las fórmulas de las componentes de la velocidad, su magnitud y su dirección.
$$ v_{0x} = v_0 \cos(\theta) $$
$$ v_{0y} = v_0 \sin(\theta) $$
$$\vec{v}=\sqrt{ \vec{v_{x}}^{2}+\vec{v_{y}}^{2}}$$
$$\theta =tan^{-1}\left ( \frac{\vec{v_{y}}}{\vec{v_{x}}} \right )$$
Movimiento horizontal
El comportamiento del movimiento horizontal es del tipo M.R.U. esto quiere decir que no existe aceleración, es decir que 
, lo cual resulta las siguientes ecuaciones:
| $$v=v_{0}+a\cdot t$$ | $$v_{x}=\left ( v_{0} \right )_{x}$$ |
| $$x=x_{0}+v_{0}\cdot t+\frac{1}{2}\cdot a\cdot t^{2}$$ | $$x=x_{0}+\left ( v_{0} \right )_{x}\cdot t$$ |
| $$v^{2}=v_{0}^{2}+2\cdot a\left ( x-x_{0} \right )$$ | $$v_{x}=\left ( v_{0} \right )_{x}$$ |
Movimiento vertical
El movimiento vertical se comporta como un Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado (MRUA o MUA), ya que el objeto experimenta una aceleración constante hacia abajo debido a la gravedad. Esto significa que la velocidad vertical del objeto cambia uniformemente con el tiempo.
El semi eje «y» positivo como está dirigido hacia arriba, la 
. Entonces se obtiene las siguientes ecuaciones:
| $$v=v_{0}+a\cdot t$$ | $$v_{y}=\left ( v_{0} \right )_{y}-g\cdot t$$ |
| $$y=y_{0}+v_{0}\cdot t+\frac{1}{2}\cdot a\cdot t^{2}$$ | $$y=y_{0}+\left ( v_{0} \right )_{y}\cdot t-\frac{1}{2}\cdot g\cdot t^{2}$$ |
| $$v^{2}=v_{0}^{2}+2\cdot a\left ( y-y_{0} \right )$$ | $$v_{y}^{2}=\left ( v_{0} \right )_{y}^{2}-2\cdot g\left ( y-y_{0} \right )$$ |
Pasos para resolver problemas de movimiento parabólico
Llevar a cabo los siguientes pasos facilita la comprensión y la facilidad de resolver el problema, a continuación, los pasos son:
- Dependiendo del planteamiento dibuje los ejes de coordenadas x, y, entre dos puntos: el primero representa el inicio y el segundo el final. Este último puede estar ubicado en cualquier instante de la trayectoria.
- Crear una tabla para registrar los puntos de coordenadas para la posición y la velocidad.
- Dependiendo del problema, se decidirá cuáles de las ecuaciones anteriormente mostradas se aplicarán entre los dos puntos de la trayectoria para poder obtener la solución del problema
Nota: Los problemas de movimiento parabólico pueden presentar hasta 3 incógnitas, esto se debe a que sólo existen tres ecuaciones independientes. En el movimiento horizontal hay una expresión y en el vertical dos.
Problemas resueltos de movimiento parabólico
Es muy importante solucionar problemas de movimiento parabólico, ya que facilita la explicación de cualquier situación basado en el cáculo matemático. Fomentando el desarrollo del pensamiento crítico, fortaleciendo la capacidad de razonamiento y toma de decisiones. A continuación, cinco problemas que te ayudaran mucho extraídos de la vida diaria.
Problema # 1
I. El animal considerado como el mejor saltador en términos de relación entre la altura del salto y su tamaño es la pulga, ya que puede saltar hasta 18 cm en el aire cuando deja el suelo a un ángulo de 45°. ¿Con qué velocidad debe dejar el animal el suelo para alcanzar esa altura?
Datos:
$$y_{máx}=18 cm (0,18m)$$
$$\theta=45°$$
$$v_{A}=\ ?$$
Ecuaciones:
| Movimiento horizontal | Movimiento vertical |
| $$v_{x}=\left ( v_{A} \right )_{x}$$ | $$v_{By}^{2}=v_{Ay}^{2}-2\cdot g\left (y_{B}-y_{A} \right)$$ |
Tabla de coordenadas:
El problema sólo pide determinar la velocidad inicial. A continuación, la tabla de coordenadas para los puntos A y B (ubicado en el punto máx). Ver imagen
| Posición | Velocidad | ||
| A(xA, yA) | (0,0.18m) | A(vAx, vAy) | ( ?, ?) |
| B(xB, yB) | ( ?, 0) | B(vBx, vBy) | ( ?, ?) |
Solución:
- Movimiento vertical:
Como el punto B se ubicó en el punto máximo de la parábola el tiempo es llamado tiempo máximo.
$$v_{By}^{2}=\left ( v_{A}.sen45^{\circ } \right )^{2}-2\cdot g\left (y_{B}-y_{A} \right)$$
$$0=0,5v_{A}^{2}-19,6\left ( 0,18-0 \right )$$
$$0=0,5v_{A}^{2}-19,6\left ( 0,18 \right )$$
$$0=0,5v_{A}^{2}-3,528$$
$$0,5v_{A}^{2}-3,528=0$$
$$v_{A}=2,7m/s$$
La velocidad de la pulga cuando deja el suelo es de: 2,7m/s
Problema # 2
II. David lanza una pelota de fútbol hacia arriba desde la parte superior del edificio formándose un ángulo de de 30° respecto a la horizontal y con una rapidez inicial de 25m/s. Si la pelota está en el aire durante 3s. ¿Cuál es la altura del edificio?
Datos:
$$v_{A}=25m/s$$
$$\theta=30°$$
$$t_{v}=3s$$
$$y_{A} = ?$$
Ecuaciones:
| Movimiento vertical |
| $$ v_{Ay} = v_A \sin(\theta) $$ |
| $$y_{B}=y_{A}+v_{Ay}\cdot t-\frac{1}{2}\cdot g\cdot t^{2}$$ |
Tabla de coordenadas:
En la imagen se muestra los puntos de coordenadas A y B. Donde A es el punto de inicio y B hasta el fin de la trayectoria. Observa la tabla de coordenadas, pero solamente se determinará yA=altura del edificio.
| Posición | Velocidad | ||
| A(xA, yA) | (0, ?) | A(vAx, vAy) | ( ?, ?) |
| B(xB, yB) | ( ?, 0) | B(vBx, vBy) | ( ?, ?) |
Solución:
Movimiento vertical:
Se ubicó el punto B al final de la trayectoria ya que la pelota está en el aire en 5s.
$$y_{B}=y_{A}+v_{Ay}\cdot t-\frac{1}{2}\cdot g\cdot t^{2}$$
$$0=y_{A}+25\cdot sen(30°)\cdot 3-\frac{1}{2}\cdot 9,8\cdot 3^{2}$$
$$0=y_{A}+37,5-44,1$$
$$y_{A}=44,1-37,5$$
$$y_{A}=6,6$$
La altura del edificio es de: 6.6m
Problema # 3
III. Un saltador de campo deja el suelo a un ángulo de 25° respecto a la horizontal, y su velocidad es de 16m/s.
a.) ¿En cuánto tiempo alcanza su altura máxima?
b.) Determina su altura máxima.
c.) ¿Cuánto saltó?
Datos:
$$v_{0}=16m/s$$
$$\theta=25°$$
$$t_{máx}= ?$$
$$y_{máx}= ?$$
$$x= ?$$
Ecuaciones:
| Movimiento horizontal | Movimiento vertical |
| $$x_{B}=x_{A}+\left ( v_{A} \right )_{x}\cdot t_{max}$$ | $$\left ( v_{B} \right )_{y}=\left ( v_{A} \right )_{y}-g\cdot t_{max}$$ |
| $$y_{B}=y_{A}+v_{Ay}\cdot t-\frac{1}{2}\cdot g\cdot t_{max}^{2}$$ |
Tabla de coordenadas:
El punto A(0,0) ubicado en el inicio del salto y B en el punto máximo de la parábola.
| Posición | Velocidad | ||
| A(xA, yA) | (0,0) | A(vAx, vAy) | ( ?, ?) |
| B(xB, yB) | ( ?, ?) | B(vBx, vBy) | ( ?, ?) |
Solución:
- Cálculo de las componentes de la velocidad
$$v_{Ax} = 16m/s\cdot \cos(25^{\circ })=14,5m/s$$
$$v_{Ay} = 16m/s\cdot \sin(25^{\circ })=6,8m/s$$
Movimiento vertical:
$$0=6,8m/s-9,8m/s^{2}\cdot t_{max}$$
$$t_{max}=\frac{-6,8m/s}{-9,8m/s^{2}}=0,69s$$
$$t_{max}=0,69s$$
$$y_{B}=0+6,8m/s \cdot 0,69s-\frac{1}{2}\cdot 9,8m/s^{2} \cdot 0,69s$$
$$y_{B}=4,7m-2,3m$$
$$y_{B}=2,4m$$
Movimiento horizontal:
$$t_{v}=2\cdot t_{max}$$
$$t_{v}=2\cdot 0,69s$$
$$t_{v}=1,38s$$
$$x_{B}=0+14,5m/s\cdot 1,38s$$
$$x_{B}=20m$$
Resumen
a.) Tiempo cuando alcanza su altura máxima: 0,69s
b.) Altura máxima: 2,4m
c.) Saltó: 20m
Problema # 4
IV. Una chica lanza un frisbee hacia arriba desde el lo más alto de una torre con un ángulo de 32° por encima de la horizontal y con una velocidad inicial de 23m/s. El punto donde la niña lanza el objeto es 50m arriba del suelo.
a.)¿Cuánto tiempo tarda la pelota en impactar con el piso?
b.) Calcula la rapidez y su dirección en el momento del impacto.
c.) ¿Qué alcance logró el frisbee.
Datos:
$$v_{A}=23m/s$$
$$\theta=32°$$
$$(0,0)$$
Ecuaciones:
| Movimiento horizontal | Movimiento vertical |
| $$x_{B}=x_{A}+\left ( v_{A} \right )_{x}\cdot t_{AB}$$ | $$\left ( v_{B} \right )_{y}=\left ( v_{A} \right )_{y}-g\cdot t_{AB}$$ |
| $$y_{B}=y_{A}+v_{Ay}\cdot t-\frac{1}{2}\cdot g\cdot t_{AB}^{2}$$ |
Tabla de coordenadas:
El punto de inicio A(0,0) ubicado en el momento del lanzamiento y el punto final B(?,0) cuando llega al suelo.
| Posición | Velocidad | ||
| A(xA, yA) | (0,50m) | A(vAx, vAy) | ( ?, ?) |
| B(xB, yB) | ( ?, 0) | B(vBx, vBy) | ( ?, ?) |
Solución:
- Cálculo de las componentes de la velocidad
$$v_{Ax} = 23m/s\cdot \cos(32^{\circ })=19,5m/s$$
$$v_{Ay} = 23m/s\cdot \sin(32^{\circ })=12,2m/s$$
Movimiento vertical:
$$y_{B}=y_{A}+v_{Ay}\cdot t_{AB}-\frac{1}{2}\cdot g\cdot t_{AB}^{2}$$
$$0=50m+12,2m/s\cdot t_{AB}-4,9m/s^{2}\cdot t_{AB}^{2}$$
$$0=50+12,2\cdot t_{AB}-4,9\cdot t_{AB}^{2}$$
$$t_{AB}=4,7s$$
$$\left ( v_{B} \right )_{y}=12,2m/s-9,8m/s^{2}\cdot 4,7s$$
$$\left ( v_{B} \right )_{y}=12,2m/s-46,1m/s$$
$$\left ( v_{B} \right )_{y}=34m/s$$
Movimiento horizontal:
$$x_{B}=0+19,5m/s\cdot 4,7s$$
$$x_{B}=91,7m$$
- Calculo de la rapidez en el momento del impacto y su dirección
$$\vec{v}=\sqrt{ \vec{v_{x}}^{2}+\vec{v_{y}}^{2}}$$
$${v}=\sqrt{\left (19,5m/s \right )^{2}+\left ( 34m/s \right )^{2}}$$
$${v}=\sqrt{\left (19,5m/s \right )^{2}+\left ( 34m/s \right )^{2}}\approx 39,2m/2$$
$$\theta =tan^{-1}\left ( \frac{\vec{v_{y}}}{\vec{v_{x}}} \right )$$
$$\theta =tan^{-1}\left ( \frac{34m/s}{19,5m/s} \right )\approx 60,2^{\circ }$$
Problema # 5
V. Un señor se dirige a una colina para ver el mar, pero al llegar a lo más alto saca su onda y dispara una piedra esta adquiere una velocidad horizontal de 45m/s. La altura con respecto al mar es de 80m. Determine:
a. Coordenadas en la posición inicial en el momento del tiro.
b. Coordenadas de la velocidad inicial.
c. ¿Cuánto dura la piedra en el aire hasta que toca la superficie del agua?
d. ¿Qué alcance logra la piedra?
e. ¿Qué rapidez adquiere la piedra cuando impacta con el agua?
f. La dirección que consigue la piedra.
Datos:
| $$v_{Ax}=v_{x}=45m/s$$ |
| $$y_{A}=80m/s$$ |
| $$d_{A}(x_{A},y_{A})=?$$ |
| $$v_{A}(v_{Ax},v_{Ay})=?$$ |
| $$t_{v}=?$$ |
| $$v=?$$ |
| $$ \theta =?$$ |
Ecuaciones:
| Movimiento horizontal | Movimiento vertical |
| $$x_{B}=x_{A}+\left ( v_{A} \right )_{x}\cdot t_{AB}$$ | $$\left ( v_{B} \right )_{y}=\left ( v_{A} \right )_{y}-g\cdot t_{AB}$$ |
| $$y_{B}=y_{A}+v_{Ay}\cdot t-\frac{1}{2}\cdot g\cdot t_{AB}^{2}$$ |
Tabla de coordenadas:
El punto de inicio A(0,80) ubicado en la parte más alto de la colina y el punto final B(?,0) cuando llega al mar.
| Posición | Velocidad | ||
| A(xA, yA) | (0,80m) | A(vAx, vAy) | ( 45m/s, 0) |
| B(xB, yB) | ( ?, 0) | B(vBx, vBy) | (45m/s, ?) |
Solución:
a. Las coordenadas de la posición inicial en el momento del tiro es (0,80m)
b. Coordenadas de la velocidad inicial es (45m/s, 0)
Movimiento vertical:
$$y_{B}=y_{A}+v_{Ay}\cdot t_{AB}-\frac{1}{2}\cdot g\cdot t_{AB}^{2}$$
$$0=80m-4,9m/s^{2}\cdot t_{AB}^{2}$$
$$0=80-4,9\cdot t_{AB}^{2}$$
$$4,9\cdot t_{AB}^{2}-80=0$$
$$t_{AB}=4s$$
c. La piedra dura en el aire 4s.
$$\left ( v_{B} \right )_{y}=45m/s-9,8m/s^{2}\cdot 4s$$
$$\left ( v_{B} \right )_{y}=45m/s-39,2m/s$$
$$\left ( v_{B} \right )_{y}=5,8m/s$$
Componente «y» de la velocidad en el punto del choque con el mar es de 5,8m/s
Movimiento horizontal:
$$x_{B}=0+45m/s\cdot 4s$$
$$x_{B}=180m$$
El alcance de la piedra es de 180m
- Calculo de la rapidez en el momento del impacto y su dirección
$$\vec{v}=\sqrt{ \vec{v_{x}}^{2}+\vec{v_{y}}^{2}}$$
$${v}=\sqrt{\left (45m/s \right )^{2}+\left ( 5,8m/s \right )^{2}}$$
$${v}=\sqrt{\left (45m/s \right )^{2}+\left ( 5,8m/s \right )^{2}}\approx 45,37m/s$$
$$\theta =tan^{-1}\left ( \frac{\vec{v_{y}}}{\vec{v_{x}}} \right )$$
$$\theta =tan^{-1}\left ( \frac{5,8m/s}{45m/s} \right )\approx 7,34^{\circ }$$
La rapidez que adquire la piedra al impactar con el agua es de 45,37m/s
Con una dirección 7,34°
Problemas planteados: Movimiento parabólico
➡ Un futbolista patea un balón y este adquiere una velocidad de 25 m/s a un ángulo de 45° con la horizontal. Encuentra:
a. El tiempo total de vuelo del balón.
b. La altura máxima alcanzada por el balón.
c. La distancia horizontal (alcance) que recorre el balón.
➡ Una caja se desliza por una rampa, y lleva una velocidad horizontal de 15m/s. La altura de la rampa es de 3 m, calcula:
a. ¿En qué tiempo llega al suelo?
b. La distancia donde las cajas llegan acumularse.
➡ Se desea conocer la rapidez que debe ser lanzado un balón de basquetbol desde su punto de lanzamiento a un ángulo de 28° de modo que pueda ser insertado en la canasta. La distancia desde el punto inicial del tiro hasta la canasta es de 11,5m y la altura de la canasta al suelo es de 3,2m.
➡ Una persona lanza una pelota con una velocidad inicial de 150m/s desde el techo de su casa. Determina el alcance donde golpea el suelo.
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