7ºGrado

¿Alguna vez te has preguntado cómo construir tablas de frecuencias para datos agrupados y para qué sirven realmente en tu vida diaria?

Imagina que en tu grupo de amigos quieren saber cuál es la canción más escuchada de la semana o cuánto tiempo dedican al estudio antes de un examen. En lugar de revisar dato por dato, una tabla de frecuencias te permite organizar la información, descubrir patrones y tomar decisiones más inteligentes.

Aprender cómo construir tablas de frecuencias para datos agrupados paso a paso no solo te ayuda a resolver ejercicios en clase, sino también a entender mejor el mundo: desde los resultados deportivos hasta los hábitos de sueño o el uso del celular. ¡Vamos a descubrir cómo convertir los datos en información útil y clara!

Tabla de frecuencias

Es una herramienta estadística que permite organizar y resumir un conjunto de datos observados de una variable continua en una tabla. Denominada también distribución de frecuencias agrupadas.

Para obtener una distribución de frecuencias agrupadas debes construir intervalos representativos, para facilitar la manipulación e interpretación de los datos suministrados, considerando que:

1. Cada dato debe estar en un intervalo.
2. No puede quedar fuera ningún dato de las clases.
3. No puede existir espacios vacíos entre clases.
4. Los intervalos no se pueden superponer.

Términos fundamentales

Al trabajar con tablas de frecuencia, es fundamental entender la terminología para interpretar correctamente la información. A continuación, los términos que debes conocer:

I.Número de intervalos (I)

Define la cantidad de intervalos o clases en la tabla de frecuencia y se calcula aplicando la siguiente relación:

$$I=\sqrt{n}$$

II.Longitud de intervalo o amplitud de clase (A)

Es la medida del tamaño de cada intervalo y lo determinas aplicando la siguiente fórmula:

$$A=\frac{R}{I}$$

III.Intervalo de clase

Es un rango numérico donde el primer número es llamado límite inferior (L_i) y el segundo límite superior (L_s) . El límite superior es generado por la suma de L_i  + A. El intervalo de clase es la primera columna en la tabla de frecuencias y puede presentarse de dos formas:

• [L_i , L_s ] Se encuentra todos los números desde L_i hasta L_s.
• [L_i , L_s ) Contiene todos los números mayor o igual que L_i y menores que L_s  (donde L_s  no se incluye en el intervalo).

¿Qué funciones cumple?

• Agrupar datos muy numerosos.
• Simplifica la presentación de los datos haciendo que la tabla sea fácil de leer.
• Es la base para la construcción de gráficas.

IV.Marca de clase (x_i)

Es el centro de cada intervalo de clase ubicado en la segunda columna de la tabla. Para obtener la marca de clase debes calcularlo aplicando la siguiente expresión:

$$x_{i}=\frac{L_{i}+L_{s}}{2}$$

¿Qué importancia tiene la marca de clase?

• Es el valor representativo de todos los datos que están dentro del intervalo.
• Es fundamental para el cálculo de forma de la media aritmética, la varianza y la desviación estándar para datos agrupados.
• Su valor es utilizado en el eje horizontal para construir polígonos de frecuencia.

V.Rango (R)

Es la diferencia entre el mayor y el menor valor de un conjunto de datos y se obtiene aplicando la siguiente fórmula:

$$R= V_{máx}- V_{min}$$

VI.Frecuencia absoluta del intervalo (f_i)

Es el número de datos que se encuentran en cada intervalo.

VII. Frecuencia absoluta acumulada (F_i)

Es la sumatoria de las frecuencias absolutas f_i  de un intervalo de clase y todas las frecuencias absolutas de los intervalos de clase anteriores.

¿Para qué se utiliza la frecuencia absoluta acumulada?

• Para el cálculo de las medidas de posición.
• Muestra el total acumulado de datos hasta un cierto punto en la distribución.
• Es utilizada para la verificación, ya que la última frecuencia absoluta acumulada siempre debe ser igual al número total de datos (n).

VIII.Frecuencia relativa (f_r)

Es la razón entre la frecuencia absoluta f_i  y el total n de datos de la muestra, es decir:

$$f_{r}=\frac{f_{i}}{n}$$

La frecuencia relativa permite:

• Comparar el peso de cada clase.
• Facilita la comprensión del porcentaje en cada intervalo multiplicando por 100%.

$$P= f_{r}.100%$$

Donde:

$$P=porcentaje$$

IX.Frecuencia relativa acumulada (F_r)

Es la sumatoria de las frecuencias relativas f_r de un intervalo de clase y todas las frecuencias relativas de clase anteriores.

Utilizada para construir gráficos de ojiva, también sirve como un dato de verificación ya que la última frecuencia relativa acumulada siempre debe ser igual a 1 o 100%.

Pasos a seguir de cómo construir tablas de frecuencias para datos agrupados

La construcción de una tabla de frecuencias para datos agrupados es un proceso más elaborado que las tablas de frecuencias para datos no agrupados, ya que implica la creación de intervalos. A continuación, los pasos que debes cumplir para su construcción:

1. Recolección de datos.
2. Ordenar los datos de menor a mayor.
3. Calcular el rango.
4. Determinar el número de intervalos.
5. Hallar la longitud de intervalo.
6. Construir los intervalos de clase.
7. Determinar la marca de clase, frecuencia absoluta, absoluta acumulada, frecuencia relativa.

Solución

Ordenar los datos (menor a mayor)

Cálculo del rango

V_máx = 15

V_min = 3

$$R=15-3=12$$

$$R=12$$

Cálculo del número de intervalos

$$I=\sqrt{n}$$

$$I=\sqrt{25}$$

$$I=5$$

Amplitud

$$A= \frac{R}{I}$$

$$A= \frac{12}{5}$$

$$A=2,4$$

Se aproxima por defecto.

$$A=2$$

Construcción de los intervalos de clase

V_min = L_i  = 3

A = 2

1. Primer intervalo.
   L_i  = 3
   L_S = L_i  + A
   L_S = 3 + 2 = 5
   $$[ 3, 5 )$$
2. Segundo intervalo.
   L_i = 5
   L_S = L_i  + A
   L_S = 5 + 2 = 7
   $$[ 5, 7 )$$
3. Tercer intervalo.
   L_i = 7
   L_S = L_i  + A
   L_S = 7 + 2 = 9
   $$[ 7, 9 )$$
4. Cuarto intervalo.
   L_i = 9
   L_S = L_i  + A
   L_S = 9 + 2 = 11
   $$[ 9, 11 )$$
5. Quinto intervalo.
   L_i = 11
   L_S = L_i  + A
   L_S = 11 + 2 = 13
   $$[ 11, 13 )$$
6. Sexto intervalo.
   L_i = 13
   L_S = L_i  + A
   L_S = 13 + 2 = 15
   $$[ 13, 15 )$$

Tabla de frecuencias

NOTA: La última clase se ajusta a un intervalo cerrado para incluir el valor máximo (15).

Actividades de cómo construir tablas de frecuencias para datos agrupados

Representa en una tabla de distribución de frecuencias la siguiente situación:

• ¿De qué tamaño es la muestra?
• ¿Qué porcentaje de la distribución representa el intervalo de menor frecuencia? ¿Qué interpretación tiene?
• ¿Qué porcentaje de la distribución representa el intervalo de mayor frecuencia?, ¿qué interpretación le das?
• Crea una conclusión respecto a la información sobre las edades de los docentes.

Resuelve la siguiente situación.

En un estudio reciente, se registró el tiempo (en minutos) que tardaron 40 clientes en ser atendidos en una sucursal bancaria durante las horas pico. Los resultados obtenidos fueron los siguientes:

Construye una tabla de distribución de frecuencias.

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Javier Guzmán

laprofematematik.co/

¿Sabías que usas fracciones todos los días sin darte cuenta? Las fracciones no solo están en las clases de matemáticas, también aparecen cuando juegas, compartes en redes sociales o ves tus series favoritas. Por ejemplo: al completar 3 de 4 misiones en un videojuego, ¡has avanzado las tres cuartas partes del reto! Y si 250 de tus 1.000 seguidores ven tu historia, eso significa que ¼ del total la ha visto. Las fracciones pueden parecer abstractas, pero tienen aplicaciones todo el tiempo en la vida diaria.

¿Qué es una fracción?

Es la representación de las partes que se escogen de un todo y se escribe así: Donde: a = es el numerador. b = el denominador.

¿Qué función cumple el numerador y el denominador en las fracciones?

El numerador indica las partes que se toman, mientras que, el denominador muestra el total de partes iguales que divide a un todo.

Ejemplo: En el día de hoy está de cumpleaños, Albert, Luis y Vinicio. La profesora de matemáticas fracciona el pastel en 3 partes iguales y toma una de ellas para dársela a Vinicio. Representa la fracción que recibió Vinicio.

Vinicio recibió 1/3 del pastel, donde el numerador 1 representa una parte tomada y el denominador 3 expresa el total de partes iguales.

Lectura de fracciones

Leer correctamente las fracciones ofrece muchas ventajas: permite razonar con mayor precisión, expresar ideas con claridad, participar con seguridad y comprender mejor distintas situaciones.

Existen tres formas de leer una fracción, y todo depende del valor del denominador.

Para leerla correctamente, sigue estos pasos:

1. Identifica qué forma de fracción es.
2. Menciona el número del numerador.
3. Luego, di el nombre correspondiente al denominador.

A continuación, las tres formas de leer una fracción según el valor del denominador:

• Uno (denominadores simples).
• Dos (denominadores de potencias 10).
• Tres (denominadores extensos).

Uno (denominadores simples)

Si el denominador posee valores comprendidos desde el 2 hasta el 9, su lectura es la siguiente:

Dos (denominadores de potencias 10)

Cuando posea cantidades formadas por la unidad seguida de ceros (10,100, 1 000,…), se le agrega el sufijo: ésimas o ésimos dependiendo del contexto.

Tres (denominadores extensos)

Pertenecen a todos los demás números, estas cantidades se les agrega el sufijo: avos.

Observación: En la tabla aparece D = denominador.

Clasificación de las fracciones

Las fracciones se clasifican dependiendo de los valores del numerador y del denominador. Ellos son los siguientes:

1. Fracción unidad.
2. Fracciones propias.
3. Fracciones impropias.
4. Fracciones nulas.
5. Fracciones enteras.
6. Fracciones decimales.
7. Fracciones complementarias.

Fracción unidad

Se le da este nombre cuando el numerador posee el mismo valor que el denominador resultando un valor igual a 1, es decir:

 a = b

Ejemplo: La profesora partió el pastel en tres partes iguales y le pidió a uno de los estudiantes que la fotografiaran. Escriba la fracción de esta situación.

Respuesta: Observa, el pastel está fraccionado en tres partes iguales, entonces la respuesta es una fracción unidad, ya que no se ha tomado ninguna de ellas, por lo tanto:

Fracciones propias

Sucede cuando el numerador < denominador, es decir: a < b.

Ejemplo: ¿Qué fracción de agua posee el envase que se muestra en la imagen?

Respuesta: Posee 2/7

Fracciones impropias

Son impropias si se cumple que  a > b, es decir, el numerador mayor que el denominador.

Por ejemplo: Luis y sus amigos pidieron 3 pizzas iguales para ver el juego de fútbol. Cada pizza estaba cortada en 3 partes iguales. ¿Cuántas partes se comieron?

Luis y sus amigos se comieron todas las porciones de las dos primeras pizzas.

Es decir, consumieron 2 pizzas. Al sumar ambas fracción unidad el resultado es:

La tercera pizza sólo se comió 1 de las tres porciones.

¿Cuántas partes se comieron?

Como es una fracción impropia se puede transformar en un número mixto, quedando de la siguiente forma:

$$\frac{7}{3}=2\frac{1}{3}$$

Respuesta: Se comieron: $$\frac{7}{3}=2\, \frac{1}{3}\, \, \, pizzas$$

Fracciones nulas

Son aquellas que el numerador posee un valor igual a cero. Es decir, a = 0.

Ejemplo: Exprese la cantidad de líquido existente en el envase, sabiendo que el  mismo está dividido en siete partes iguales.

Respuesta: No posee líquido por lo tanto su contenido es: 0/7

Fracciones enteras

Es una fracción impropia en la que el numerador es un múltiplo exacto del denominador, lo que significa que al dividir se obtiene un número entero.

Ejemplo: Observe los envases graduados (cada uno dividido en 4 partes iguales) e interprete la cantidad total de líquido expresada como una fracción.

Respuesta:

Cada cilindro posee: 2/4

Observa la imagen. ¿Qué interpretas? El líquido de los dos últimos envases fue vertido en los dos primeros, logrando así 2 envases completamente llenos.

Todo número entero es múltiplo de 1, entonces, toda fracción cuyo denominador es 1 es también una fracción entera. Por ejemplo:

Fracciones decimales

Las fracciones decimales poseen como denominador a la unidad seguida de ceros. Ejemplo:

Ejemplo # 1: Transforma las siguientes fracciones a fracciones decimales: 8/50 ; -5/4 ; 1/2 ; 21/4.

Análisis: Al descomponer los denominadores de todas las fracciones poseen factores 2 y/o 5. Por esta razón pueden convertirse a fracción decimal.

Ejemplo # 2: Convierte las siguientes fracciones a fracciones decimales: 7/3 ; 54/11 ; 27/17.

Análisis: No se pueden convertir en fracciones decimales ya que la descomposición de sus denominadores no contienen factores 2 y/o 5.

Fracciones complementarias

Es la suma de fracciones propias generando una fracción unidad. Por ejemplo:

Ejemplo: Camila tiene una barra de chicle sabor a fresa dividida en 5 partes iguales. Ella se come 2/5  de la barra por la mañana y 1/5 por la tarde. ¿Se comió toda la barra de chocolate? Justifica tu respuesta.

Solución:

En el día se comió 3/5

Entonces, para saber si se comió toda la barra se resta la fracción unidad (barra de chicle) y la fracción consumida.

Respuesta: Camila no se comió toda la barra de chicle dejó dos porciones de 5.

2/5

Interpretación: Al sumar ambas fracciones (consumida y la que dejó) genera la fracción unidad.

Entonces, ambas fracciones son complementarias, porque al sumarlas se obtiene el total (la unidad).

¡A jugar! ingresa al laboratorio de las fracciones

Llegó el momento de probar tus conocimientos, explora la simulación jugando, luego construye fracciones usando números e imágenes, cambia los numeradores y los denominadores de la fracción de tu preferencia y explica como afecta el valor de la fracción.

Prueba la simulación y cuéntame en los comentarios que te pareció.

Actividades

1.Clasifica las siguientes fracciones como unidad, impropia o propia y transfórmalas a fracción decimal (las fracciones que permitan).

2.Completa cada fracción para que su clasificación sea la correspondiente.

3.Halla la fracción complementaria.

4.Transforma las siguientes fracciones impropias en números mixtos.

Javier Guzmán

laprofematematik.co/

¿Quieres aprender Fracciones Equivalentes, a Simplificar, Amplificar, y hacerlo todo con Simulación? ¡Entonces has llegado al lugar correcto!

¿Sabías que esta habilidad te permite repartir una pizza entre tus amigos de distintas formas sin que nadie coma menos? Alguna vez has repartido una pizza y notaste que algunas porciones eran iguales aunque parecieran diferentes? O quizá, mientras jugabas, viste que tu nivel de energía mostraba «2/4» y luego «1/2», pero tu personaje seguía teniendo la misma fuerza. ¡Eso no es magia, son partes que representan la misma cantidad!

En este post, aprenderás a identificarlas, cómo amplificarlas o simplificarlas, y descubrirás qué significa que una fracción sea irreducible. Además, contarás con dos simuladores donde podrás jugar y fortalecer tus conocimientos. ¡Prepárate para dominar las Fracciones Equivalentes!

¿Qué significado tiene el denominador?

Indica el número de partes en que divide el todo. El denominador es ubicado en la parte de abajo de la fracción. Observa la imagen, el círculo representa el todo y las 3 partes divididas es el denominador.

¿Qué función cumple el numerador?

Muestra el número de partes que se toman. La zona sombreada de verde simboliza las partes tomadas, es decir, el numerador.

Por lo tanto la fracción se escribe: $$\frac{2}{3}$$

¿Qué son las fracciones equivalentes?

Son fracciones que poseen denominadores y numeradores diferentes, pero representan la misma proporción de un todo.

Presta atención al siguiente ejemplo:

Los círculos sombreados en verde representan: $$\frac{4}{3}$$

Los círculos sombreados de fucsia expresa: $$\frac{12}{9}$$

Conclusión: Los círculos (sombreados de verde) de la izquierda tienen menos partes dividida y los círculos (sombreados de fucsia) de la derecha posee  mayores porciones, pero sus zonas sombreadas son las mismas. Se concluyen que son fracciones equivalentes ya que gráficamente representan las mismas áreas.

$$\frac{4}{3}=\frac{12}{9}$$

¿Cómo identificar fracciones equivalentes?

Para identificar si las fracciones son equivalentes debes aplicar un procedimiento denominado producto cruzado.

El producto cruzado consiste en multiplicar el numerador de una de las fracciones por el denominador de la otra fracción, si se obtiene el mismo resultado es que ambas fracciones son equivalentes.

Observa la imagen allí se muestra el producto cruzado, si ambos productos son iguales la fracción es equivalente.

Ejemplo # 1: Verifique si las fracciones a continuación son equivalentes.

$$\frac{4}{3} y \frac{12}{9}$$

Se aplica el producto cruzado:

$$4.9=3.12$$

$$36=36$$

Conclusión: Queda demostrado que ambas fracciones son equivalentes.

Ejemplo # 2: Verifique si ambas fracciones son equivalentes.

$$\frac{4}{5} y \frac{7}{8}$$

Producto cruzado:

$$4.8=7.5$$

$$32≠35$$

Conclusión: No son equivalentes.

Amplificación de fracciones

Es multiplicar cada término (numerador y denominador) de la fracción por un mismo número entero diferente a cero para obtener una fracción equivalente con mayores partes.

Aunque la fracción resultante es de mayor número de partes, el valor que representa sigue siendo el mismo.

Observa se va a amplificar la fracción 3/5 por el triple. El número entero multiplica con el numerador y el denominador.

Respuesta: La fracción equivalente de 3/5 = 9/15 con muchas más partes pero es una misma área, mira la imagen:

Ejemplo # 1: Luisa pide una pizza y se la entregaron cortada en 4 porciones, ella al ver esto le solicita al pizzero que la corte en 8 porciones ya que son para 8 personas.

Análisis: Como se requiere otra fracción con partes más pequeñas se aplica una amplificación por el doble, de esta manera garantiza 8 partes iguales para cada persona.

$$\frac{1}{4}=\frac{1.2}{4.2}=\frac{2}{8}$$

Ejemplo # 2: Amplifique las siguientes fracciones por 5.

a)

b)

¡Construye Fracciones Equivalentes como un experto! Experimenta la equivalencia con esta simulación.

Muchos videojuegos usan porcentajes (que son fracciones con denominador 100) por ejemplo si un objeto +25% de daño, en fracción es 25/100 de daño adicional, que es equivalente a ¼. Aunque tengan números diferentes representan lo mismo.

Con esta iniciativa interactiva sobre fracciones equivalentes, simplificar, amplificar con simulación, no solo entenderás la teoría, sino que podrás verlo y manipularlo con tus propias manos (o con tu ratón).

Esta herramienta te permitirá construir, simplificar y amplificar fracciones de manera visual. ¡Prepárate para dominar el arte de la equivalencia y que las fracciones ya no te den dolor de cabeza!

Si te gustó la simulación o tienes alguna sugerencia, déjanos tu comentario al final de este post. Tu opinión nos ayuda a mejorar cada día y a ofrecerte un contenido de mayor calidad.

Simplificación de fracciones

Es dividir cada término (numerador y denominador) de la fracción entre un divisor común obteniendo una fracción equivalente con menos partes.

Ejemplo: Simplifica la fracción 28/42.

Respuesta: Las fracciones equivalentes de 28/42 es:

$$\frac{28}{42}=\frac{14}{21}=\frac{2}{3}$$

Posee menos partes pero representan lo mismo.

Fracción irreducible

Una fracción es irreducible cuando no permite ser simplificada, es decir, cuando sus términos (numerador y denominador) son primos entre sí, O sea, el máximo común divisor (M.C.D.) de sus términos es uno.

Para llevarlo a cabo debes aplicar el Máximo Común Divisor (M.C.D.) a ambos términos.

Ejemplo: Simplifica la fracción 12/18 hasta obtener una fracción irreducible.

El M.C.D. (12,18) es 6

$$\frac{12}{18}=\frac{12÷6}{18÷6}=\frac{2}{3}$$

Respuesta: La fracción equivalente 2/3 es irreducible.

¡A jugar! con fracciones equivalentes simplificar amplificar con simulación pon a prueba tus habilidades y Gana la partida

¿Crees que ya eres un crack en fracciones equivalentes? ¡Es hora de demostrarlo! Con nuestro juego fracciones equivalentes simplificar, amplificar con simulación, no solo vas a practicar, ¡sino que te vas a divertir a lo grande!

Supera niveles, acumula puntos y compite para ver quién es el más rápido en identificar las fracciones que valen lo mismo. Este desafío pondrá a prueba tu mente y te convertirá en un verdadero maestro de las fracciones equivalentes. ¡Olvídate de las clases aburridas y prepárate para un reto que te hará dominar la simplificación y amplificación!

¿Aceptas el desafío?

¿Qué te pareció este simulador de fracciones equivalentes? Tu opinión es muy importante para nosotros. Si te gustó o tienes alguna idea para mejorarlo, ¡escríbela en los comentarios! Al final de este post.

Estamos comprometidos con crear experiencias divertidas y educativas para que aprender sea cada vez más emocionante.

Actividades: Fracciones equivalentes, simplificar, amplificar con simulación

1.Determina qué par de fracciones son equivalentes.

2.Halla tres fracciones equivalentes a cada una de las fracciones dadas.

3.Simplifica las siguientes fracciones hasta obtener una fracción irreducible.

4.Analiza y responde.

a)¿Cuál es el numerador de una fracción que es equivalente a 41/45 y su denominador es 90.

b)¿Cuál es el denominador de una fracción que es equivalente a 54/42 y su numerador es 18?

1. Grafica cada fracción con su fracción irreducible.

a) 4/8

b) 12/20

6.Analiza y responde.

Valeria y Samuel están editando un video para subirlo a sus redes sociales. Valeria dice que ya ha editado 2/4 del video, mientras que Samuel asegura haber editado 1/2. ¿Quién ha editado más parte del video?

Javier Guzmán

laprofematematik.co/

¿Quieres saber qué es la circunferencia y el círculo? Si es así, llegaste al lugar indicado. ¿Alguna vez has jugado FIFA, Rocket League o Minecraft? ¿Te gusta el básquet, el fútbol o lanzar discos voladores? En todos ellos, hay una figura matemática que aparece más de lo que crees: la circunferencia y el círculo. El balón de fútbol, el aro de básquet, los minimapas circulares de Fortnite o Call of Duty, o los escudos en Zelda todos usan esta forma geométrica. En este post conocerás sus elementos (como el centro, radio, diámetro, cuerda y otros) y también aprenderás cómo usarlos para construir y resolver problemas tanto en la vida diaria como en tus juegos favoritos.

¿Qué es la circunferencia y el círculo?

Imagina una moneda: la circunferencia es solo el borde, la línea curva que delimita el objeto. Es como el alambre que usarías para hacer el contorno de un anillo. En cambio, el círculo es la figura completa, es decir, el borde (la circunferencia) más todo el espacio que está dentro (la superficie). Se parecen mucho porque uno necesita del otro para existir, pero no son lo mismo: la circunferencia es el perímetro, y el círculo es el área que ese perímetro encierra.

¿Qué es una circunferencia?

Observa: Cada punto de la línea punteada está a la misma distancia del centro, ese conjunto de puntos es llamada circunferencia.

Elementos de una circunferencia

Los elementos de la circunferencia son las partes y segmentos que la conforman o que se relacionan directamente con ella. A continuación te los explico de forma clara:

Los elementos de la circunferencia son:

🎯Centro: Donde equidistan todos los puntos de la circunferencia.

Radio: Segmento donde sus puntos extremos lo compone el centro y cualquier punto de la circunferencia.

Cuerda: Segmento cuyos puntos extremos son dos puntos de la circunferencia. Nunca pasa por el centro de la circunferencia.

Diámetro: Es una cuerda que pasa por el centro de la circunferencia.

Arco: Es una porción de la circunferencia que comprende dos puntos de esta.

Semicircunferencia: Es un arco que inicia desde el extremo de un diámetro hasta el otro extremo del diámetro.

Tipos de rectas que interactúan con una circunferencia

Una recta puede encontrarse con una circunferencia de diferentes maneras según su posición. Las rectas que interactúan con la circunferencia son las siguientes:

• Recta secante. Es una recta que interseca dos puntos de la circunferencia.
  
• Recta tangente. Es una recta que toca solo un punto de la circunferencia.
  
• Recta exterior. Es una recta que se localiza fuera de la circunferencia, por ende, no toca ningún punto en ella.
  

¿Qué es un círculo?

Construcción de una circunferencia

A continuación, se mostrará 2 formas de construir circunferencias mostrando paso a paso su construcción.

Que la circunferencia pase por dos puntos

Para poder llevar a cabo esta tarea es fundamental tener los siguientes instrumentos:

• Regla graduada y
• Compás.

Los puntos son:

Procedimiento:

1. Trazar un segmento que una a ambos puntos.
   
2. En la mitad del segmento marcar un punto.
   
3. Apoyar la punta metálica del compás en el punto medio del segmento y abrirlo hasta que la punta de grafito llegue a un extremo del segmento.
   
4. Rotar la punta de grafito para crear la circunferencia.
   

Dibujar una circunferencia con dos segmentos

Los instrumentos requeridos para construir la circunferencia son: regla graduada, escuadra y compás.

Los dos segmentos son los siguientes:

Procedimiento:

I. Hallar la mediatriz en cada segmento.

• Marca el punto medio en cada segmento.
  
• Dibuja la mediatriz en ambos segmentos que pase por el punto medio. Utiliza la regla y escuadra para formar un ángulo recto.
  

II. Marcar el punto de intersección.

• Marca con un punto donde ambas mediatrices se intersecan.
  

III. Dibujar la circunferencia.

• Apoya la punta metálica del compás en el punto de intersección y rota la punta de grafito.
  

Longitud de una circunferencia

La longitud de una circunferencia es una distancia curvilínea, partiendo sobre un punto de la misma hasta regresar al mismo punto.

Se calcula así:

L = 2 . r . π

L = d . π

Donde:

L  = longitud

r = radio

d = diámetro

π ≈ 3,1416

Ejemplos de: Qué es la circunferencia y el círculo

I. El diámetro de las ruedas de la bicicleta de Juan es de 696mm. ¿Cuánto mide el radio de esas ruedas?

Solución:

El radio es un segmento que representa la mitad del diámetro. Por lo tanto:

$$r=\frac{d}{2}$$$$r=\frac{d}{2}$$
$$r = \frac{696mm}{2} = 348mm$$
$$r=348mm$$

II. Calcular el perímetro de la siguiente figura:

Solución:

Primero: Identificar los elementos de la circunferencia.

Radios: segmentos BC; CD y AC.

Arco: DA.

Semicircunferencia: BC; BD.

Segundo: Determinar los perímetros de ambas semicircunferencia.

Se aplica la fórmula del perímetro de la circunferencia y se divide por la mitad.

Entonces la longitud de una semicircunferencia es:

L_SC = r . π

Perímetro de la semicircunferencia BC, con radio = 4cm

L_SC = 4cm . π

L_SC = 4cm . 3,1416 = 12,5664cm

Perímetro de la semicircunferencia BD, con radio = 8cm

L_SC = 8cm . π

L_SC = 8cm . 3,1416 = 25,1328cm

Tercero: Determinar el perímetro del arco DA.

El arco DA es un cuarto de la circunferencia, por lo tanto la fórmula es:

Cuarto: Sumar todos los perímetros encontrados.

Actividades de: Qué es la circunferencia y el círculo

I. Observa la siguiente figura e identifica si cada afirmación es verdadera o falsa.

II. Dibuja una circunferencia de diámetro 6cm e indica sus elementos.

III. Diga si es verdadero o falso cada afirmación.

• El diámetro está formado por dos radios.
• La recta secante es exterior a la circunferencia.
• La cuerda pasa por dos puntos de la circunferencia.
• El radio es una cuerda.
• El diámetro es la cuerda mayor.

IV. Determine el perímetro de las siguientes figuras:

V. Dada la longitud curvilínea de la siguiente figura. Determina el valor del radio.

Javier Guzmán

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¿Estás buscando cómo calcular el área de cuadriláteros, triángulos, polígonos regulares y círculos? Si es así, has llegado al lugar indicado. ¿Sabías que calcular áreas no es solo cosa de matemáticas en clase? Cuando juegas fútbol, el campo tiene forma de rectángulo (¡un cuadrilátero!), en los videojuegos los mapas y zonas seguras tienen formas geométricas, y hasta los íconos que usas en redes sociales pueden ser círculos o polígonos. Profundiza en este tema y descubre cómo usar las fórmulas para hallar el área de triángulos, cuadriláteros, polígonos regulares y círculos.

Ventajas de las fórmulas en vez de cuadrículas

Determinar el área contando cuadrículas es útil siempre y cuando la figura esté dibujada sobre un papel cuadriculado, pero, ¿qué pasa si no lo está? ¿O es figura muy grande, o está en un videojuego donde no puedes contar cuadritos?

Cuando una figura plana presenta esas condiciones es necesario la utilización de expresiones matemáticas denominadas fórmulas.

Sus ventajas son las siguientes:

• Mayor rapidez en el cálculo.
• Cálculo de cualquier tamaño.
• Aplicadas para la vida diaria.
• Permite solucionar problemas avanzados.

Fórmulas de áreas de los cuadriláteros

A continuación, te presentaré las fórmulas utilizadas para calcular el área de los cuadriláteros.

Rectángulo	Cuadrado
Trapecio	Rombo
Romboide

Ejemplo

David necesita remodelar su habitación y cuenta con un plano hecho a escala 1:50. ¿Qué relación habrá entre el área del plano y su dimensión real?

Primero. Hallar el área total del plano representada en forma de rectángulo.

A_P = b . h

A_P = b . h = 3,6cm . 7,2cm = 25,92cm²

Segundo. Cálculo a la escala real.

Largo = 3,6cm . 50 = 180cm

Ancho = 7,2cm . 50 = 360cm

Realizando la conversión en metros queda así:

Largo 1,8m y el ancho 3,6m.

Tercero. Cálculo del área a escala real.

A_R = b . h = 180cm . 360cm = 64.800m²

A_R = b . h = 1,8m . 3,6m = 6,48m²

Cuarto. La relación entre el área del plano y su dimensión real.

La relación entre el área del plano y su dimensión real es:

Área de un triángulo

Puedes conseguir el área del triángulo aplicando tres expresiones, pero todo depende de la situación. A continuación, las tres expresiones para hallar el área de un triángulo:

Primera (fórmula clásica). Para esta expresión debes tener el valor de la base y la altura. Pero, antes de dártela a conocer es importante que veas el siguiente proceso, de esta forma conocerás de dónde se origina ella.

1. Dado un romboide.
   
2. Trazar una diagonal. Al dibujarla, observarás la formación de dos triángulos congruentes, ahora mira la separación de ambos.
   
3. Entonces, cada triángulo ocupa la mitad del área del romboide. Por lo tanto, la fórmula para determinar el área de uno de esos triángulos es:
   

Segunda (fórmula de Herón). Cuando un triángulo tiene conocidos los valores de sus tres lados, es donde se aplica la fórmula de Herón, sin necesidad de conocer la altura.

Donde:

Tercera (Área del triángulo equilátero). Esta expresión es usada únicamente para calcular el área de un triángulo equilátero. Su fórmula es:

Ejemplo

Dado un el triángulo equilátero ABC de 5cm de lado. ¿Cuánto es el área sombreada de azul?

El área sombreada es un cuadrilátero y para conseguir su valor se debe restar la superficie del triángulo ABC y ADC, es decir:

Calculo del área del triángulo equilátero ABC.

Calculo del área del triángulo equilátero ACD.

Área de un polígono regular

Cuando posees un polígono regular (A excepción del hexágono) y trazas segmentos desde los extremos de cada lado hacia el centro del polígono, obtienes finalmente triángulos isósceles.

Observa el siguiente nonágono, formado por 9 triángulos isósceles, entonces, su área es:

Lo que equivale a decir que:

Donde:

n = cantidad de triángulos.

b = longitud de la base del triángulo.

h = altura del triángulo.

Ahora viendo el mismo nonágono sin los triángulos, queda así:

¿Qué es la apotema?

Es el segmento que tiene por extremo el centro y la mitad de cualquier lado del polígono.

Su expresión es:

Donde:

n = cantidad de lados del polígono.

l = longitud del lado.

a = apotema.

Cuando:

Se multiplica n y l se obtiene el perímetro del polígono, por lo tanto la expresión finalmente queda así:

Entonces, el área de un polígono regular es la mitad del producto del perímetro y la apotema.

Ejemplo

El rector de una escuela está pensando en adquirir mesas para los estudiantes de primer grado, el área de esta mesa tiene forma hexagonal y cada lado mide 50cm. Calcula el área de la superficie para que el director tome la decisión de cuántas mesas debe comprar.

“Cuando el polígono es un hexágono regular se forman triángulos equiláteros”

Primero. Aplicar la fórmula del área de un triángulo equilátero.

Segundo. Aplicar la fórmula clásica del cálculo del área de un triángulo, de esta forma de calcula la apotema del polígono regular:

“La altura del triángulo es la apotema del hexágono”

Tercero. Calculo de la superficie de la mesa, donde:

P = n . l

P = 6 . 50cm=300cm

Al reemplazar el valor del perímetro queda:

Respuesta. El área de la superficie de la mesa es de 13.020cm².

Área del círculo

A continuación, verás un método para obtener aproximaciones más precisas al área de un círculo, el procedimiento es el siguiente:

I. Construir una circunferencia y su radio.

II. Dividir en partes iguales al círculo. En este caso se divide en 8 partes.

III. Distribuir cada parte de la siguiente manera llegándose a formar un romboide.

IV. Si divides el círculo en mayores partes (en este caso en 16 porciones), el área del romboide llega acercarse aún más al área del círculo. Observa la imagen:

V. La base y la altura del romboide es:

La base, como se puede observar en la imagen, corresponde a la mitad del perímetro del círculo.

Perímetro:

Base:

Altura:

Fórmula del romboide:

A = b . h

Al Reemplazar en la expresión:

Entonces, el área del círculo es:

A = π . r²

Ejemplo

Calcular el área de un círculo que posee un diámetro de 6cm. (π = 3,1416)

Primero. Se calcula el radio.

Segundo. Se calcula el área del círculo

Actividad

I. Determina el área sombreada, el diámetro del círculo mayor es de 10cm y del menor 5cm.

II. Calcula el área sombreada de la siguiente figura.

III. Hallar el área sombreada, las dimensiones de los radios de cada arco es expresado en la imagen a continuación:

IV. Interpreta:

• Al conocer el diámetro del círculo, ¿cómo queda la expresión para determinar el área?
• Si posees el valor del área del círculo, ¿cómo queda la fórmula para hallar el radio?
• Si tienes la longitud de la circunferencia. ¿Cómo se determina el área del círculo?

V. Hallar el área sombreada de los siguientes polígonos

VI. Diga si es verdadero o falso las siguientes afirmaciones:

• La superficie de un triángulo equilátero de lado 10cm es aproximadamente igual a 43,3cm².
• Si el área de un triángulo equilátero es: . ¿El lado es de 6cm?

VII. Francisco comentó que: “dibujó un polígono regular donde su apotema es la mitad de su lado”. Betania dijo lo siguiente: “Eso es falso”. ¿Quién tiene la razón?

Javier Guzmán

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¿Sabes cómo calcular el área usando cuadros? ¿Te imaginas que calcular el área sea tan fácil como contar cuadritos? En este post vas a aprender a calcular el área de una figura usando cuadrículas. Cada cuadrito representa un valor en unidades cuadradas, y lo único que debes hacer es contar cuántos cuadros ocupa la figura. Así descubrirás, de forma visual y divertida, cómo se suma el área total, es como armar un mapa: ¡cuantos más cuadros sumes, mayor será el área!

¿Qué es el área?

Es una magnitud que permite medir la superficie de una figura plana. Su unidad es derivada de la longitud elevada al cuadrado, ya que el área mide superficies en dos dimensiones. Algunas unidades en el sistema métrico decimal son: m², cm², km² y mm².

Entender qué es el área, es como agregar triangulitos dentro de otro triángulo de mayor tamaño, al llenarlo se cuenta el total de ellos, obteniendo así el área del triángulo mayor. Observa el siguiente triángulo:

Aquí se agregaron todos los triangulitos, cuéntalos el área es de 36 tp.

Determinar el área de cada figura

En esta parte aprenderás a calcular el área total de una figura plana contando los cuadros de una cuadrícula, donde cada uno representa 1 unidad cuadrada (1 u²). También conocerás cómo obtener el área de una región sombreada restando las áreas vacías.

Parte I: Sumando el total de cuadrículas

Observa con atención cada paso para calcular fácilmente el área de cada figura.

Ejemplo # 1. Obtener el área total, cada cuadrícula tiene un valor de 1u².

Paso 1. Identificar las cantidades de cuadrículas involucradas, ellas son:

12 Cuadrados (cuadrículas) y

4 Triángulos (2 cuadrículas).

Paso 2. El área es:

A_T = 12u² + 2u² = 14u²

A_T = 14u²

Ejemplo # 2. Calcular el total, compuesta por 3 áreas sombreadas.

Azul: 12u²

Roja: 9u²

Amarilla: 2u²

A_T = 12u²  + 9u²  + 2u² = 23u²

A_T = 23 u²

Parte II: Sumando específicamente las cuadrículas

Para este caso la figura está compuesta por un área sombreada y otra en blanco. El área sombreada es el área total y la superficie blanca es el área vacía. Para obtener el valor del área total debes contar solo el área sombreada.

Ejemplo # 1: La figura a continuación está compuesta por dos rectángulos. Un rectángulo mayor y otro menor.

El área total del rectángulo mayor es:

Rectángulo mayor = 18u²

La superficie del rectángulo menor:

Rectángulo menor = 4u²

Área total de la figura = 18u² + 4u² = 22u²

Área total de la figura = 22u²

Ejemplo # 2: Determinar el área total sombreada.

Análisis: La figura está compuesta por cuatro figuras planas, los tres triángulos son de la misma forma y del mismo tamaño, por lo tanto sus áreas son las mismas.

Áreas de cada figura:

1 Triángulo = 4u²

Cuadrado = 16u²

3 Triángulos = 3.4u²=12u²

A jugar construyendo áreas

Ahora que ya conoces el tema, llegó el momento de jugar y profundizar tus conocimientos con esta interesante simulación.

Explora esta divertida simulación y sigue aprendiendo mientras construyes y descubres áreas de diferentes figuras.

Te invitamos a dejar tu comentario abajo. Cuéntanos qué aprendiste, qué te gustó más o si te surgió alguna duda. ¡Tu opinión es muy importante para nosotros!.

Actividades

I. Calcula el área de cada figura. Utiliza el cuadrado de la cuadrícula como unidad de medida.

II. Las figuras a continuación, ¿poseen las mismas áreas?

III. Determina la diferencia de las dos áreas sombreadas, sabiendo que el valor de la cuadrícula es de 2u².

IV. Calcular el área sombreada de la siguiente figura. Cada cuadrícula es de 10u²

Javier Guzmán

laprofematematik.co/

¿Conoces el sistema métrico decimal? ¿Te has preguntado alguna vez cómo medimos todo lo que nos rodea? Desde la altura de un jugador de básquet hasta los litros de agua que bebes después de entrenar, el sistema métrico decimal está presente en tu vida diaria más de lo que imaginas. Este sistema, basado en la base diez, no solo es fácil de usar, sino que también es el preferido en el mundo entero por su precisión, rapidez y lógica. En este tema vamos a profundizar en cómo convertir unidades, entender sus símbolos y aplicarlo en situaciones reales.

Un poco de historia

Desde el principio del mundo los seres humanos han tenido la necesidad de conocer las medidas de las cosas. Antiguamente, utilizaban sus partes del cuerpo como los dedos, pies y manos.

Pero, observaron que usar su cuerpo para medir no era muy confiable, ya que el tamaño de cada parte cambiaba según la persona.

A finales del siglo XVIII Europa atravesaba una etapa de grandes avances científicos, culturales y políticos y en 1789 llega a Francia la Revolución Francesa transformando la política, la sociedad las ciencias y la educación.

En ese mismo año la Academia de Ciencias de Francia tomaron la decisión de crear un sistema de medición universal basándose en patrones naturales (como el meridiano terrestre, el agua, movimiento de la tierra y otros), cumpliendo con las siguientes exigencias:

1. La unidad fundamental debe ser reconstruible. Reconstruibles porque son unidades basadas en patrones naturales. Lo cual no dependería de un país o de objetos físicos.
2. Tener una relación decimal. Organizada en grupos de múltiplos y submúltiplos, lo que permite ampliar o reducir unidades de forma sencilla gracias a su estructura basada en la base diez.
3. Establecerse universalmente.

Al cumplir con las exigencias nace el Sistema Métrico Decimal (SMD).

¿Qué es el Sistema Métrico Decimal?

Es un conjunto de unidades de medidas basado en la base diez, lo cual permite que todas sus unidades aumenten o disminuyan en múltiplos de diez.

Prefijos del Sistema Métrico Decimal

El Sistema Métrico Decimal utiliza 6 prefijos para representar múltiplos y submúltiplos de las unidades fundamentales (metro, segundo, etc), ellos son los siguientes:

Conversiones

A continuación, te explicamos paso a paso cómo convertir unidades usando los prefijos del sistema métrico:

I. Dibuja una escalera métrica. Representa los prefijos en orden, desde los más grandes hasta los más pequeños, y colócalos junto a su unidad fundamental (metro, gramo o litro).

II. Ubica las unidades involucradas. Identifica en qué escalón se encuentra la unidad de origen (la que tienes) y la unidad destino (la que deseas obtener).

III Obtener el factor de conversión. El factor de conversión es una igualdad entre dos unidades usada para convertir una unidad a otra. Para obtenerla debes hacer dos cosas:

• Se otorga el número 1 (uno) a la unidad ubicada en el escalón más alto de la escalera. Según la imagen queda así: 1km

• A la unidad del escalón más bajo, se le asigna la base diez. La cantidad de ceros de la base diez es conforme a la distancia entre una unidad y la otra. Según la imagen: 1000m

Entonces, el factor de conversión es: 1km = 1000m.

En forma de razón:

IV. Obtener la conversión. Multiplica la cantidad a convertir y la razón de conversión. Asegúrate de ubicar la base diez y su unidad ya sea en el antecedente o el consecuente de la razón, el fin es cancelar las unidades de origen para dejar la unidad exigida.

Ejemplo: convertir 4000m a km

Razón y conversión:

Nota: Esto no se puede hacer porque la unidad de 4000m no se puede cancelar con los 1000m

Ejemplos de conversión resueltos

A una medida en cualquier unidad se le puede hallar su equivalencia en otra unidad. Lo generoso de este sistema es la facilidad de los cálculos debido a su base diez.

Problema # 1

• Marta mide el largo y el ancho de su cama para comprar un juego de sabanas, pero el instrumento que usó está en unidades de centímetro y en la tienda online lo exige en metros. Largo 190cm; ancho 135cm. ¿Ayúdala a convertir en metros?

Unidad origen: cm

Unidad destino: m

Observa que el m (metro) está ubicado en un escalón más elevado que el cm (centímetro).

Factor conversión:

1m = 100cm.

Problema # 2

• En un taller de producción de piezas para reparación de máquinas, construyeron un prisma rectangular con las siguientes dimensiones: largo 200mm; altura 1cm; ancho 0,0125dam. Expresar todas las dimensiones en metro.

El metro (m) es la unidad que está en un escalón más elevado que mm, cm y dm.

Entonces los factores de conversión en forma de razón son los siguientes:

Entonces la conversión queda así:

Observa que la razón:

Al momento de efectuar la conversión, 1dam y 10m se ubicaron en forma contraria para que la unidad de origen (m) se cancelara y quede la unidad de destino.

Mayor rapidez

Aquí se trata de hacer el procedimiento en dos pasos para efectuarlo de forma más rápida. Sólo es conseguir el factor de conversión y obtener la conversión de unidades.

Transforma: 0,03mm a km

1km = 1000000mm

Convierte: 1954dm a cm

1dm = 10cm

¿Cuánto es 100hm a m?

1hm = 100m

Actividades

Transformar a la unidad solicitada

a. 0,06mm a km

b. 8,25dam a mm

c. 503cm a hm

d. 9,3km a mm

e. 0,04dm a m

f. 7000m a km

g. 2mm a dm

h. 13000mm a m

i. 305dm a hm

j. 1945dm a cm

k. 0,003mm a hm

Las unidades del siguientes plano está expresado en centímetros, convierte esas unidades a metro y decámetro.

Selecciona la unidad más adecuada para representar las distancias de distintas situaciones.

a. Largo del dedo pulgar.

b. Altura de un edificio.

c. Distancia de París a Madrid.

d. Altura de un perro.

e. El largo de un lápiz.

f. Longitud de un vehículo.

Problema

Juan y Pedro salieron a trotar por tres días. ¿Cuál de los dos ha recorrido mayor distancia?

Javier Guzmán

laprofematematik.co/

¿Sabías que cada vez que tu personaje se mueve, salta o cambia de tamaño en un videojuego estás presenciando transformaciones geométricas en acción? La geometría no vive solo en los libros: es parte esencial del diseño de tus juegos favoritos. Cada traslación que te mueve de un lado a otro, cada rotación que gira la cámara, la reflexión que ves en el agua y la homotecia que hace que un objeto se vea más grande o pequeño en pantalla son transformaciones que hacen que todo se vea y se sienta realista.

¿Qué es una transformación geométrica?

Las transformaciones geométricas es un procedimiento aplicado a una figura dada obteniendo otra denominada imagen.

Clasificación de las transformaciones

Las transformaciones geométricas son muy interesantes ya que por medio de estos procedimientos pueden generarse imágenes congruentes o semejantes.

Los tipos de transformaciones geométricas que generan imágenes congruentes son conocidas con el nombre de:

• Traslación.
• Rotación y
• Reflexión.

La transformación geométrica encargada de crear imágenes semejantes es conocida como Homotecia.

Traslación

Nota: Este post se enfocará en la traslación en el plano cartesiano.

¿Qué representa h y k ?

La traslación es un tipo de transformación que desplaza un punto A (x, y) del plano en otro A´( x + h, y + k ) que es la imagen.

Donde h representa el desplazamiento horizontal y k el vertical en unidades.

¿Qué pasa con h y k al ser positivos o negativos?

Cuando h es positivo, el desplazamiento horizontal (en el eje de las abscisas) es realizado hacia la derecha; pero, si h es negativo, su desplazamiento es a la izquierda.

Cuando k es positivo, el desplazamiento vertical (en el eje de las ordenadas) es hecho hacia arriba; en cambio, si k es negativo, el movimiento es hacia abajo.

¿Cómo debes hacer la traslación?

A continuación, verás dos ejemplos: en el primero se explica cómo trasladar un punto y, en el segundo, cómo trasladar un romboide.

Ejemplo 1. Trasladar un punto

Trasladar el punto D (3,2) tres unidades positiva verticalmente y cuatro unidades positiva horizontalmente.

Procedimiento:

Número 1. Identificar h y k.

h = 4 y k = 3 

Número 2. Al trasladar el punto D se transforma en D´

Aplicando:  D´( x + h, y + k )

D´ (3 + 4, 2 + 3)

D´ (7,2).

Observa el resultado del traslado del punto D, donde su imagen es D´.

Ejemplo 2. Trasladar un romboide

Trasladar el romboide ABCD, -7unidades horizontalmente y -3 unidades verticalmente.

Procedimiento:

Número 1. Valores h y k.

h = -7 y k = -3

Número 2. Determinar la imagen de cada vértice del romboide.

Rotación

¿Cómo realizar la rotación?

A continuación, te presento un ejemplo en el que aprenderás a rotar un romboide, explicado paso a paso. Verás cómo, siguiendo cada indicación, es posible comprender y aplicar este tipo de transformación de manera sencilla y precisa.

Ejemplo. Rotar un romboide

Rote el romboide ABCD a un ángulo de 140° sentido antihorario con centro O.

Primero. Unir cada vértice del romboide con el centro O.

Segundo. Rota en sentido antihorario los cuatro segmentos AO, DO, CO y BA a 140° y describe la imagen de cada vértice.

Tercero. Unir los puntos A´, B´, C´ y D´ para formar la imagen del romboide.

Reflexión

¿Cómo debes realizar una reflexión?

Te voy a mostrar cómo realizar la reflexión de un triángulo, explicada a través de un ejemplo práctico. Paso a paso, descubrirás cómo se transforma la figura y cómo identificar su imagen reflejada de forma sencilla.

Ejemplo. Reflexión de un triángulo

Dado el triángulo ABC y su eje de reflexión m. Encuentre su imagen reflejada.

Paso # 1. Trazar rectas perpendiculares segmentadas desde el eje de simetría hacia cada vértice. Para el trazo perpendicular utiliza una regla y un cartabón o escuadra.

Paso # 2. Utiliza una regla para medir la distancia entre cada vértice y el eje de reflexión.

Paso # 3. Ubicar los vértices imágenes al otro lado del eje de reflexión.

¡A jugar con las transformaciones geométricas: traslaciones, rotaciones y reflexiones!

Llegó el momento de poner en practica lo que ya conoces hasta ahora.

Selecciona el tipo de transformación y observa como se ven las imágenes.

¿Te ha gustado esta simulación? ¡Nos encantaría saber tu opinión! Cuéntanos en los comentarios qué te ha parecido, si te ha sido útil o si tienes alguna duda o sugerencia, inmediatamente te contestaremos. Tu participación nos ayuda a seguir creando contenido que inspire y enseñe. ¡Te leemos!

Homotecia

Características

La homotecia presenta varias características importantes, entre las que se destacan:

• Posee un centro llamado centro de homotecia. Es el punto donde se proyectan y se trazan segmentos hasta los vértices de la imagen.
• Un factor de escala k. Llamada también razón de homotecia, determina si la imagen es ampliada o reducida y además indica la orientación de la misma.
• Si el factor de escala es:
  k > 1, la imagen es ampliada alejándose del punto homotecia.
  0  <  k  <  1, la imagen es reducida acercándose al punto homotecia
  k  <  0, la imagen es invertida respecto al centro cambiando su orientación. Esta puede quedar reducida, ampliada o quedar al mismo tamaño.
  k  =  0, Todos los puntos de la imagen queda ubicada en el centro de homotecia. Es decir, no se genera una imagen visible.
  k  =  1, La imagen coincide con la figura dada.
• Cambia el tamaño de la imagen pero no su forma, generando imágenes semejantes.
• Las longitudes de la figura es proporcional con las longitudes de la imagen.

Observa la siguiente tabla, allí apreciarás los distintos factores de escala.

k  > 1
0  <  k  <  1
k  <  0
k  =  0
k  =  1

¿Cómo debes realizar una homotecia?

A continuación, te mostraré, mediante un ejemplo, cómo aplicar una homotecia a un polígono paso a paso. Verás cómo identificar el centro de homotecia y cómo aplicar el factor de escala, de esta forma obtendrás la figura transformada con exactitud.

Ejemplo. Obtener la imagen de un polígono por homotecia

El centro es el punto C con un factor de escala 1/5.

Para realizar la homotecia debes llevar a cabo los siguientes pasos:

I. Dibuja segmentos desde cada vértice del polígono hasta el punto C.

II. Mide cada longitud y lo multiplicas por el factor de escala 1/5, para obtener las longitudes desde el punto centro “C” a cada vértice imagen.

III. Marcar los vértices imagen.

IV. Unir los vértices para obtener el polígono M´L´K´J´N´ imagen por homotecia del polígono dado.

¡A jugar con la Homotecia!

Pon en practica todo lo que ya conoces y diviértete jugando con la homotecia.

En el botón rojo seleccionas el factor de escala, en caso que la imagen no se vea, no te preocupes debes arrastrar o mover el área de la simulación para encontrarla.

Si tienes preguntas o quieres contarnos tu experiencia, te invitamos a dejar tus comentarios al final de este post. Tu participación nos ayuda a crear contenido que inspire y enseñe.

Actividades

I. Diga ¿Cuánto es h y k?

II. ¿Cuánto es el ángulo de rotación de esta transformación?

III. Dibuja la imagen de la siguiente figura, donde la recta m es el eje de reflexión.

IV. Los vértices de un rombo son: A(10,4); B(12,7); C(14,4); y D(12,1). Si los vértices imágenes por la traslación es: A´(11,5); B´(13,8); C´(15,5); y D´(13,2). ¿Cuánto se trasladó verticalmente y horizontalmente?.

V. Le aplican una rotación al punto F(-2,1) con centro en el origen R y un ángulo “x”. La imagen del punto es F´(-6,5).¿Cuál es el valor del ángulo x?

VI. Traslada la figura a continuación h = 5 y k = 0

VII. Rota a 60° horario con centro en O, el siguiente cuadrilátero.

VIII Identifica el centro y el factor de homotecia en ambas imágenes.

IX. Representa la homotecia con un factor de homotecia = 2

X. Construye la homotecia con dos factores de escala: ½ y 1/5 de la siguiente figura.

¡Ayúdanos a mejorar!

¿Qué te pareció esta guía de transformaciones geométricas? ¿Conoces algún otro tipo de transformación que debería añadir? ¡Deja tus ideas y preguntas en los comentarios! Tu opinión nos ayudará a crear contenido aún más útil.

Javier Guzmán

laprofematematik.co/

¿Sabes qué es una escala? ¿Sabías que cada vez que haces zoom en un videojuego estás aplicando una escala? Y cuando visitas una juguetería y ves esos increíbles carros, aviones, trenes o barcos con numeritos como 1:64, como los clásicos Hot Wheels, estás frente a un mundo en miniatura que guarda una relación matemática con el tamaño real.

Este tema te abrirá la puerta para interpretar esas proporciones y descubrir cómo se usan en la vida real y en el mundo digital. Por ejemplo, en Minecraft, cuando ves que un edificio o un personaje cambian de tamaño, en realidad estás usando una ampliación o reducción. ¡Anímate a descubrir! Este post está hecho para ti, y estoy seguro de que te ayudará a ver el mundo con nuevos ojos.

¿Cómo hacer ampliaciones o reducciones?

Existen situaciones donde es conveniente transformar un objeto en tamaños más grande (ampliación) o más pequeños (reducción). Un ejemplo es el plano de una casa aquí la proporción utilizada es de 1:100.

Observa el siguiente cuadrado que posee 4 unidades de longitud:

El cuadrado más pequeño es la reducción a la mitad del original. En consecuencia, la relación de los lados es 1 a 2, esto quiere decir que una unidad en la reducción le corresponde a dos unidades del original.

La proporción del cuadrado más grande es 3 a 2, O sea que 3 unidades de la ampliación corresponde a 2 unidades del cuadrado original.

Ejemplo de ampliación

Se requiere una ampliación del polígono mostrado a continuación, aplicando una relación de 2 a 1.

Para efectuar la ampliación debes multiplicar cada lado por 2.

Lados:

EF = CB = ED = 1u

CD = FA = 2u

AB = 3u

Ampliación:

1u . 2 = 2u

2u . 2 = 4u

3u . 2 = 6u

Con las nuevas dimensiones se construye el polígono ampliado, observa la imagen:

Ejemplo de reducción

Aplicar una relación de 3 a 4 al pentágono regular que tiene como lado 3u.

Aquí se trata de reducir, ya que la proporción de 3 a 4 significa que cada 4u del tamaño original se representa como 3 en la reducida.

Así que, cada lado del pentágono debe multiplicarse por ¾.

Como el polígono es regular las dimensiones de todos los lados del reducido es:

Entonces, ya se sabe que para poder ampliar o reducir una figura o un objeto es necesario aplicar una relación, esta relación se le denomina escala.

¿Qué es una escala?

Como es una razón, el antecedente indica la medida de reducción o ampliación y el consecuente la dimensión real. Ejemplo:

Lo cual se lee como: “1 a 100”.

Que significa que 1cm en el dibujo es equivalente a 100cm en la realidad.

Las escalas de ampliación son usadas para representar objetos muy pequeños, por ejemplo, bacterias, insectos, células y, las escalas de reducción en mapas, juguetes, maquetas, edificios, planos de centros comerciales, entre otros.

Para conocer si la representación es una ampliación o reducción, basta con observa la escala. Si la escala es:

E < 1 Es una reducción.

E > 1 Es una ampliación.

Escala numérica

Es la escala que muestra la relación entre un centímetro del dibujo y la dimensión real del objeto. Esta escala puede ser:

Escala natural: Es la escala representada como 1:1. Lo que significa que no existe ni ampliación ni reducción.

Escala de reducción: Es cuando el dibujo es menor que el real. Por ejemplo: 1: 2 ; 1: 10 ; 1: 50 ; 1: 125 ; 1: 1000, etc.

El consecuente de la razón al ser mayor que el antecedente es indicativo que estás en presencia de una escala de reducción.

Escala de ampliación: Cuando un objeto es muy pequeño es muy importante aplicar la escala de ampliación, la intención de esto es poder observar mejor sus detalles.

Cuando el antecedente es mayor que el consecuente es una escala de ampliación. Por ejemplo: 2:1 ; 6: 1 ; etc.

Ejemplo:

a. Interprete la escala 1:1.000.000.

Se lee: 1 a 1.000.000

Lo que significa que 1cm del dibujo es 100.000cm en la realidad, es decir 1km.

Ahora, como:

b. Interpreta 75:1

Se lee 75 es a 1.

Esto quiere decir que 75cm en el dibujo equivale a 1cm en lo real.

Ahora, como:

Escala gráfica

Ejemplos explicados paso a paso

Problema # 1

Crea una conversión de una escala numérica a una escala gráfica de 1:100.

Pasos:

1. Seleccionar una longitud real para la representación.

Para el ejemplo se selecciona 6m (reales)

2. Convertir la longitud real a la escala del plano.

Como es 1:100 se multiplica la longitud real por la escala gráfica 1:100

Esto quiere decir, que la longitud real 6m en el plano es de 6cm.

3. Trazar un segmento con la longitud de la escala del plano, con un espesor de 2 a 3mm.

En este caso se dibuja el segmento de 6cm y el ancho de 2mm formándose un rectángulo.

4. Crear las divisiones de un centímetro en partes iguales, dejando un espacio en blanco y el otro en negro.

5. Colocar las dimensiones.

Problema # 2

Convertir de escala gráfica a escala numérica.

Aquí sólo debes: Identificar y convertir.

En este caso 1cm equivale a 1km. Entonces, se convierte de kilómetros a centímetros.

En centímetros es 1:10.000

Problema # 3

En la escuela de Laura, también se preparan para una salida pedagógica. La profesora entrega un mapa con una escala de 1:250.000. Si el recorrido marcado en el mapa mide 6 cm. ¿Cuál es la distancia real del recorrido en kilómetros?

1: 250.000

Significa que 1cm en el mapa es 250.000cm en la realidad.

Se crea una proporcionalidad:

El recorrido real es de 15km.

Mapa

Es una representación gráfica de la superficie terrestre, manteniendo su forma y llevando a escala su tamaño.

El mapa no solo muestra la superficie sino además debe expresar su escala gráfica o numérica, pues es la manera de saber qué distancias reales existen entre una región u otra.

Ejemplo

El mapa a continuación, muestra la escala gráfica en kilómetros, verifica su escala numérica.

La escala gráfica muestra que un centímetro equivale a 500km

Se convierte los 500km a cm

500km=50.000.000cm

La escala numérica es 1:50.000.000

Plano

Es una representación gráfica a escala en dos dimensiones, de una casa, apartamento, terreno, máquina, circuito eléctrico o electrónico, etc.

El plano nos permite visualizar detalles con mayor precisión y, además, muestra las dimensiones de cada componente representado. También puede ofrecer una vista general del conjunto con escala.

Observa los dos tipos de planos, con dimensiones y a escala:

Maqueta

Es una representación física a escala en tres dimensiones de una iglesia, edificio, centro comercial, hotel, un conjunto habitacional, colegio, etc.

La tercera dimensión de una maqueta es la altura, ella permite comparar la proporción vertical de los objetos representados, brindando una visión más realista del espacio.

Gracias a la altura, podemos entender mejor la forma y el volumen de las construcciones, distinguir niveles o pisos en una edificación, y visualizar cómo se relacionan entre sí los diferentes elementos en el entorno tridimensional.

A jugar

A continuación, te presento un simulador interactivo de escala.

Explóralo con calma y pon en práctica todo lo que has aprendido sobre el tema. Ajusta medidas, observa cómo cambian las proporciones y comprende mejor cómo funciona la escala en situaciones reales.

Recuerda: ¡Aprender haciendo es la mejor manera de afianzar conocimientos!

Cuéntanos en los comentarios qué te pareció la experiencia:

¿Te ayudó a comprender mejor el concepto de escala? ¿Lograste profundizar en el tema? ¡Tu opinión es muy valiosa para nosotros!

Actividades 

I. Diga si las siguientes escalas pertenecen a una ampliación o de reducción.

• 15.000:1
• 1:202.000
• 45.000:1
• 1:25.500
• 25.100:1

II. Explica el significado de las siguientes escalas numéricas.

• 1:10
• 1:50
• 1:20.000
• 1:4

III. Explica qué indican las siguientes escalas gráficas.

IV. Determinar la distancia real en kilómetros, si un plano indica que 1cm =3km.

• 6cm
• 12cm
• 9cm
• 14cm
• 1,8cm

V. Dibuja y transforma las siguientes escalas gráficas.

• 1:10
• 1:150
• 1: 125
• 1:1.200.000

VI. Transforma a escala numérica.

VII. Crea una escala numérica para cada situación.

1. El profesor les pide que realicen un plano de su casa, en una hoja tamaño A0 (841 × 1189mm).
2. El jefe de tú hermano mayor le pidió dibujar una pieza con las siguientes dimensiones: 60cm de largo y 45cm de ancho.
3. Tu profesora de la materia de geografía les pidió dibujar el mapamundi en una hoja tamaño A2 (420 × 594mm).

VII. Problema.

En un plano realizado con una escala 1:100, las dimensiones de una cancha de fútbol 9 es 70 m de largo y 40 m de ancho. ¿Cuáles serían las dimensiones en otro plano a 1:200?

Javier Guzmán

laprofematematik.co/

¿Quieres conocer más acerca del porcentaje? ¿Sabías que usas porcentajes todos los días sin darte cuenta? Por ejemplo, cuando ves un descuento en tus tenis favoritos, al mejorar tus habilidades en tu videojuego, o al revisar cuánta batería le queda a tu celular, estás usando porcentajes. Este tema no solo es clave en matemáticas, ¡también en el deporte, las finanzas y hasta en las redes sociales! Aprender a dominar los porcentajes te ayudará a tomar mejores decisiones y hasta convertirte  en un jugador más pro.

¿Qué es porcentaje?

Interpretación

En la tabla a continuación, se interpreta el significado de dos situaciones que involucran el porcentaje.

Información	%	Razón	División	Significado
El 12% de los estudiantes aprobaron la materia	12		0,55	De cada 100 estudiantes, 12 aprobaron.
A Juan le hicieron un descuento de 35%	35		0,35	De cada $100, le descontaron $35.

¿Cómo resolver problemas de porcentaje?

Para solucionar problemas de porcentajes debes aplicar una regla de tres simple directa.

Debes plantear dos razones y así crear la proporcionalidad o si prefieres puedes aplicar la siguiente relación:

Donde:

x = Es el resultado que representa el porcentaje aplicado sobre una cantidad.

m = Es el porcentaje.

p = Es la cantidad

Problemas de porcentajes resueltos

Aquí tienes varias situaciones para poner en práctica el tema de porcentaje, el procedimiento fue hecho paso a paso para un mejor entendimiento.

Problema # 1.

• ¿Cuál es el 32% de $450?

Crear las proporciones:

Problema # 2.

• ¿Cuál es el 145% de 1050?

Aplicar la relación.

Problema # 3.

• La información del diagrama es la preferencia que existen en distintas consolas de juegos. En esta encuesta se registró un total de 5000 personas. ¿Cuántas personas eligieron cada consola?

Nintendo Switch 5% de 5000.

Nintendo Switch OLED  20% de 5000.

XBox  25% de 5000.

Play Station 5 50% de 5000.

Conclusión: El Play Station 5 es la consola de mayor preferencia.

Problema # 4.

• Representar cada razón como porcentaje.

Problema # 5.

• David va a comprar un televisor para su consola de Play Station 5, por un valor de $900. Por ser un cliente registrado, le hacen un descuento de 15%. Adicionalmente, si realiza la compra con la tarjeta de crédito de la tienda le hacen otro descuento de 20%. ¿Cuánto pagará David por el televisor?

Calculo del primer descuento.

El descuento del 15% es:

$900 – $135 = $765

Se calcula el descuento del 20% con el descuento del 15%

Finalmente, el precio del televisor es: $765 – $153 = $612

Entonces, David pagará $612 por el televisor.

Problema # 6.

• Se encuestó a 1200 jóvenes adolescentes y resultó que 846 practican fútbol. ¿Qué porcentaje practican fútbol?

El 70,5% de los jóvenes practica fútbol.

Problema # 7.

• Las diagonales de un rombo tiene unas longitudes de 6cm y 10 cm. Si las longitudes aumenta un 30%. ¿Qué porcentaje aumenta su área?

Diagonal de 6cm.

Diagonal de 8cm.

Las longitudes de las diagonales aumentadas es de:

Diagonal menor = 6cm + 1,8cm = 7,8cm

Diagonal mayor = 10cm + 3cm = 13cm

Fórmula del área del rombo.

Cálculo del área del rombo inicial y final.

La variación del área es:

Finalmente, se determina qué porcentaje es 20,7cm²  de 30cm², planteando la siguiente proporción:

Entonces, el área del rombo aumenta 69%.

A jugar con porcentajes

Ahora pon a prueba tus conocimientos y ponte a jugar, lee cada pregunta y responde.

Actividades

I. Determine lo que se solicita en cada caso.

a. El 13% de 2200.

b. El 15,8% de 590.

c. El 65% de 54000.

d. ¿Qué porcentaje es 45 de 520?

e. ¿Qué porcentaje es 92 de 120?

II. Halla el porcentaje que representa cada situación.

a. Dos de cada cinco hombres poseen un reloj.

b. La tercera parte de los estudiantes poseen un computador.

c. Cuatro de cada seis niños les gusta asear el aula de clase.

d. Dos tercios de los profesores del colegio estudian especializaciones.

III. Representar cada razón en porcentaje.

IV. Resuelve los siguientes problemas.

a. En un colegio existen 250 estudiantes. El 35% poseen un promedio mayor de 8ptos. ¿Cuántos son los estudiantes destacados por ese promedio?

b. En el parque existen 20 monos. El 42% de esos monos son blancos, 47%  negros  y el resto son marrones. ¿Cuántos son de cada tipo? ¿Qué porcentaje de los monos son marrones?

c. El gasto de un estudiante en abril fue de $140, en mayo, se incrementó en 10% y en junio, en 30%. ¿A qué porcentaje de incremento único equivalen ambos incrementos?¿Cuál fue el gasto en el mes de junio?

Javier Guzmán

laprofematematik.co/