7ºGrado

¿Quieres saber qué es la circunferencia y el círculo? Si es así, llegaste al lugar indicado. ¿Alguna vez has jugado FIFA, Rocket League o Minecraft? ¿Te gusta el básquet, el fútbol o lanzar discos voladores? En todos ellos, hay una figura matemática que aparece más de lo que crees: la circunferencia y el círculo. El balón de fútbol, el aro de básquet, los minimapas circulares de Fortnite o Call of Duty, o los escudos en Zelda todos usan esta forma geométrica. En este post conocerás sus elementos (como el centro, radio, diámetro, cuerda y otros) y también aprenderás cómo usarlos para construir y resolver problemas tanto en la vida diaria como en tus juegos favoritos.

¿Qué es la circunferencia y el círculo?

Imagina una moneda: la circunferencia es solo el borde, la línea curva que delimita el objeto. Es como el alambre que usarías para hacer el contorno de un anillo. En cambio, el círculo es la figura completa, es decir, el borde (la circunferencia) más todo el espacio que está dentro (la superficie). Se parecen mucho porque uno necesita del otro para existir, pero no son lo mismo: la circunferencia es el perímetro, y el círculo es el área que ese perímetro encierra.

¿Qué es una circunferencia?

Observa: Cada punto de la línea punteada está a la misma distancia del centro, ese conjunto de puntos es llamada circunferencia.

Elementos de una circunferencia

Los elementos de la circunferencia son las partes y segmentos que la conforman o que se relacionan directamente con ella. A continuación te los explico de forma clara:

Los elementos de la circunferencia son:

Centro: Donde equidistan todos los puntos de la circunferencia.

Radio: Segmento donde sus puntos extremos lo compone el centro y cualquier punto de la circunferencia.

Cuerda: Segmento cuyos puntos extremos son dos puntos de la circunferencia. Nunca pasa por el centro de la circunferencia.

Diámetro: Es una cuerda que pasa por el centro de la circunferencia.

Arco: Es una porción de la circunferencia que comprende dos puntos de esta.

Semicircunferencia: Es un arco que inicia desde el extremo de un diámetro hasta el otro extremo del diámetro.

Tipos de rectas que interactúan con una circunferencia

Una recta puede encontrarse con una circunferencia de diferentes maneras según su posición. Las rectas que interactúan con la circunferencia son las siguientes:

• Recta secante. Es una recta que interseca dos puntos de la circunferencia.
  
• Recta tangente. Es una recta que toca solo un punto de la circunferencia.
  
• Recta exterior. Es una recta que se localiza fuera de la circunferencia, por ende, no toca ningún punto en ella.
  

¿Qué es un círculo?

Construcción de una circunferencia

Construir circunferencia, es muy fácil, a continuación te mostraré dos tipos de construcciones:

1. Donde la circunferencia pase por dos puntos.

2. Con dos segmentos construir una circunferencia.

1. Que la circunferencia pase por dos puntos

Para poder llevar a cabo esta tarea es fundamental tener los siguientes instrumentos:

• Regla graduada y
• Compás.

Los puntos son R y S:

Procedimiento:

1. Trazar un segmento que una a ambos puntos.

2. En la mitad del segmento marcar un punto.

3. Apoyar la punta metálica del compás en el punto medio del segmento y abrirlo hasta que la punta de grafito llegue a un extremo del segmento.

4. Rotar la punta de grafito para crear la circunferencia.

2. Dibujar una circunferencia con dos segmentos

Los instrumentos requeridos para construir la circunferencia son: regla graduada, escuadra y compás.

Los dos segmentos son los siguientes:

Procedimiento:

I. Hallar la mediatriz en cada segmento.

• Marca el punto medio en cada segmento.
  
• Dibuja la mediatriz en ambos segmentos que pase por el punto medio. Utiliza la regla y escuadra para formar un ángulo recto.
  

II. Marcar el punto de intersección.

• Marca con un punto donde ambas mediatrices se intersecan.
  

III. Dibujar la circunferencia.

• Apoya la punta metálica del compás en el punto de intersección y rota la punta de grafito.
  

Longitud de una circunferencia

La longitud de una circunferencia es una distancia curvilínea, partiendo sobre un punto de la misma hasta regresar al mismo punto.

Se calcula así:

L = 2 . r . π

L = d . π

Donde:

L  = longitud

r = radio

d = diámetro

π ≈ 3,1416

Ejemplos de: Qué es la circunferencia y el círculo

I. El diámetro de las ruedas de la bicicleta de Juan es de 696mm. ¿Cuánto mide el radio de esas ruedas?

Solución:

El radio es un segmento que representa la mitad del diámetro. Por lo tanto:

$$r=\frac{d}{2}$$$$r=\frac{d}{2}$$
$$r = \frac{696mm}{2} = 348mm$$
$$r=348mm$$

II. Calcular el perímetro de la siguiente figura:

Solución:

Primero: Identificar los elementos de la circunferencia.

Radios: segmentos BC; CD y AC.

Arco: DA.

Semicircunferencia: BC; BD.

Segundo: Determinar los perímetros de ambas semicircunferencia.

Se aplica la fórmula del perímetro de la circunferencia y se divide por la mitad.

Entonces la longitud de una semicircunferencia es:

L_SC = r . π

Perímetro de la semicircunferencia BC, con radio = 4cm

L_SC = 4cm . π

L_SC = 4cm . 3,1416 = 12,5664cm

Perímetro de la semicircunferencia BD, con radio = 8cm

L_SC = 8cm . π

L_SC = 8cm . 3,1416 = 25,1328cm

Tercero: Determinar el perímetro del arco DA.

El arco DA es un cuarto de la circunferencia, por lo tanto la fórmula es:

Cuarto: Sumar todos los perímetros encontrados.

Actividades de: Qué es la circunferencia y el círculo

I. Observa la siguiente figura e identifica si cada afirmación es verdadera o falsa.

II. Dibuja una circunferencia de diámetro 6cm e indica sus elementos.

III. Diga si es verdadero o falso cada afirmación.

• El diámetro está formado por dos radios.
• La recta secante es exterior a la circunferencia.
• La cuerda pasa por dos puntos de la circunferencia.
• El radio es una cuerda.
• El diámetro es la cuerda mayor.

IV. Determine el perímetro de las siguientes figuras:

V. Dada la longitud curvilínea de la siguiente figura. Determina el valor del radio.

¿Estás buscando cómo calcular el área de cuadriláteros, triángulos, polígonos regulares y círculos? Si es así, has llegado al lugar indicado. ¿Sabías que calcular áreas no es solo cosa de matemáticas en clase? Cuando juegas fútbol, el campo tiene forma de rectángulo (¡un cuadrilátero!), en los videojuegos los mapas y zonas seguras tienen formas geométricas, y hasta los íconos que usas en redes sociales pueden ser círculos o polígonos. Profundiza en este tema y descubre cómo usar las fórmulas para hallar el área de triángulos, cuadriláteros, polígonos regulares y círculos.

Ventajas de las fórmulas en vez de cuadrículas

Determinar el área contando cuadrículas es útil siempre y cuando la figura esté dibujada sobre un papel cuadriculado, pero, ¿qué pasa si no lo está? ¿O es figura muy grande, o está en un videojuego donde no puedes contar cuadritos?

Cuando una figura plana presenta esas condiciones es necesario la utilización de expresiones matemáticas denominadas fórmulas.

Sus ventajas son las siguientes:

• Mayor rapidez en el cálculo.
• Cálculo de cualquier tamaño.
• Aplicadas para la vida diaria.
• Permite solucionar problemas avanzados.

Fórmulas de áreas de los cuadriláteros

A continuación, te presentaré las fórmulas utilizadas para calcular el área de los cuadriláteros.

Rectángulo	Cuadrado
Trapecio	Rombo
Romboide

Ejemplo

David necesita remodelar su habitación y cuenta con un plano hecho a escala 1:50. ¿Qué relación habrá entre el área del plano y su dimensión real?

Primero. Hallar el área total del plano representada en forma de rectángulo.

A_P = b . h

A_P = b . h = 3,6cm . 7,2cm = 25,92cm²

Segundo. Cálculo a la escala real.

Largo = 3,6cm . 50 = 180cm

Ancho = 7,2cm . 50 = 360cm

Realizando la conversión en metros queda así:

Largo 1,8m y el ancho 3,6m.

Tercero. Cálculo del área a escala real.

A_R = b . h = 180cm . 360cm = 64.800m²

A_R = b . h = 1,8m . 3,6m = 6,48m²

Cuarto. La relación entre el área del plano y su dimensión real.

La relación entre el área del plano y su dimensión real es:

Área de un triángulo

Puedes conseguir el área del triángulo aplicando tres expresiones, pero todo depende de la situación. A continuación, las tres expresiones para hallar el área de un triángulo:

Primera (fórmula clásica). Para esta expresión debes tener el valor de la base y la altura. Pero, antes de dártela a conocer es importante que veas el siguiente proceso, de esta forma conocerás de dónde se origina ella.

1. Dado un romboide.
   
2. Trazar una diagonal. Al dibujarla, observarás la formación de dos triángulos congruentes, ahora mira la separación de ambos.
   
3. Entonces, cada triángulo ocupa la mitad del área del romboide. Por lo tanto, la fórmula para determinar el área de uno de esos triángulos es:
   

Segunda (fórmula de Herón). Cuando un triángulo tiene conocidos los valores de sus tres lados, es donde se aplica la fórmula de Herón, sin necesidad de conocer la altura.

Donde:

Tercera (Área del triángulo equilátero). Esta expresión es usada únicamente para calcular el área de un triángulo equilátero. Su fórmula es:

Ejemplo

Dado un el triángulo equilátero ABC de 5cm de lado. ¿Cuánto es el área sombreada de azul?

El área sombreada es un cuadrilátero y para conseguir su valor se debe restar la superficie del triángulo ABC y ADC, es decir:

Calculo del área del triángulo equilátero ABC.

Calculo del área del triángulo equilátero ACD.

Área de un polígono regular

Cuando posees un polígono regular (A excepción del hexágono) y trazas segmentos desde los extremos de cada lado hacia el centro del polígono, obtienes finalmente triángulos isósceles.

Observa el siguiente nonágono, formado por 9 triángulos isósceles, entonces, su área es:

Lo que equivale a decir que:

Donde:

n = cantidad de triángulos.

b = longitud de la base del triángulo.

h = altura del triángulo.

Ahora viendo el mismo nonágono sin los triángulos, queda así:

¿Qué es la apotema?

Es el segmento que tiene por extremo el centro y la mitad de cualquier lado del polígono.

Su expresión es:

Donde:

n = cantidad de lados del polígono.

l = longitud del lado.

a = apotema.

Cuando:

Se multiplica n y l se obtiene el perímetro del polígono, por lo tanto la expresión finalmente queda así:

Entonces, el área de un polígono regular es la mitad del producto del perímetro y la apotema.

Ejemplo

El rector de una escuela está pensando en adquirir mesas para los estudiantes de primer grado, el área de esta mesa tiene forma hexagonal y cada lado mide 50cm. Calcula el área de la superficie para que el director tome la decisión de cuántas mesas debe comprar.

“Cuando el polígono es un hexágono regular se forman triángulos equiláteros”

Primero. Aplicar la fórmula del área de un triángulo equilátero.

Segundo. Aplicar la fórmula clásica del cálculo del área de un triángulo, de esta forma de calcula la apotema del polígono regular:

“La altura del triángulo es la apotema del hexágono”

Tercero. Calculo de la superficie de la mesa, donde:

P = n . l

P = 6 . 50cm=300cm

Al reemplazar el valor del perímetro queda:

Respuesta. El área de la superficie de la mesa es de 13.020cm².

Área del círculo

A continuación, verás un método para obtener aproximaciones más precisas al área de un círculo, el procedimiento es el siguiente:

I. Construir una circunferencia y su radio.

II. Dividir en partes iguales al círculo. En este caso se divide en 8 partes.

III. Distribuir cada parte de la siguiente manera llegándose a formar un romboide.

IV. Si divides el círculo en mayores partes (en este caso en 16 porciones), el área del romboide llega acercarse aún más al área del círculo. Observa la imagen:

V. La base y la altura del romboide es:

La base, como se puede observar en la imagen, corresponde a la mitad del perímetro del círculo.

Perímetro:

Base:

Altura:

Fórmula del romboide:

A = b . h

Al Reemplazar en la expresión:

Entonces, el área del círculo es:

A = π . r²

Ejemplo

Calcular el área de un círculo que posee un diámetro de 6cm. (π = 3,1416)

Primero. Se calcula el radio.

Segundo. Se calcula el área del círculo

Actividad

I. Determina el área sombreada, el diámetro del círculo mayor es de 10cm y del menor 5cm.

II. Calcula el área sombreada de la siguiente figura.

III. Hallar el área sombreada, las dimensiones de los radios de cada arco es expresado en la imagen a continuación:

IV. Interpreta:

• Al conocer el diámetro del círculo, ¿cómo queda la expresión para determinar el área?
• Si posees el valor del área del círculo, ¿cómo queda la fórmula para hallar el radio?
• Si tienes la longitud de la circunferencia. ¿Cómo se determina el área del círculo?

V. Hallar el área sombreada de los siguientes polígonos

VI. Diga si es verdadero o falso las siguientes afirmaciones:

• La superficie de un triángulo equilátero de lado 10cm es aproximadamente igual a 43,3cm².
• Si el área de un triángulo equilátero es: . ¿El lado es de 6cm?

VII. Francisco comentó que: “dibujó un polígono regular donde su apotema es la mitad de su lado”. Betania dijo lo siguiente: “Eso es falso”. ¿Quién tiene la razón?

¿Sabes cómo calcular el área usando cuadros? ¿Te imaginas que calcular el área sea tan fácil como contar cuadritos? En este post vas a aprender a calcular el área de una figura usando cuadrículas. Cada cuadrito representa un valor en unidades cuadradas, y lo único que debes hacer es contar cuántos cuadros ocupa la figura. Así descubrirás, de forma visual y divertida, cómo se suma el área total, es como armar un mapa: ¡cuantos más cuadros sumes, mayor será el área!

¿Qué es el área?

Es una magnitud que permite medir la superficie de una figura plana. Su unidad es derivada de la longitud elevada al cuadrado, ya que el área mide superficies en dos dimensiones. Algunas unidades en el sistema métrico decimal son: m², cm², km² y mm².

Entender qué es el área, es como agregar triangulitos dentro de otro triángulo de mayor tamaño, al llenarlo se cuenta el total de ellos, obteniendo así el área del triángulo mayor. Observa el siguiente triángulo:

Aquí se agregaron todos los triangulitos, cuéntalos el área es de 36 tp.

Determinar el área de cada figura

En esta parte aprenderás a calcular el área total de una figura plana contando los cuadros de una cuadrícula, donde cada uno representa 1 unidad cuadrada (1 u²). También conocerás cómo obtener el área de una región sombreada restando las áreas vacías.

Parte I: Sumando el total de cuadrículas

Observa con atención cada paso para calcular fácilmente el área de cada figura.

Ejemplo # 1. Obtener el área total, cada cuadrícula tiene un valor de 1u².

Paso 1. Identificar las cantidades de cuadrículas involucradas, ellas son:

12 Cuadrados (cuadrículas) y

4 Triángulos (2 cuadrículas).

Paso 2. El área es:

A_T = 12u² + 2u² = 14u²

A_T = 14u²

Ejemplo # 2. Calcular el total, compuesta por 3 áreas sombreadas.

Azul: 12u²

Roja: 9u²

Amarilla: 2u²

A_T = 12u²  + 9u²  + 2u² = 23u²

A_T = 23 u²

Parte II: Sumando específicamente las cuadrículas

Para este caso la figura está compuesta por un área sombreada y otra en blanco. El área sombreada es el área total y la superficie blanca es el área vacía. Para obtener el valor del área total debes contar solo el área sombreada.

Ejemplo # 1: La figura a continuación está compuesta por dos rectángulos. Un rectángulo mayor y otro menor.

El área total del rectángulo mayor es:

Rectángulo mayor = 18u²

La superficie del rectángulo menor:

Rectángulo menor = 4u²

Área total de la figura = 18u² + 4u² = 22u²

Área total de la figura = 22u²

Ejemplo # 2: Determinar el área total sombreada.

Análisis: La figura está compuesta por cuatro figuras planas, los tres triángulos son de la misma forma y del mismo tamaño, por lo tanto sus áreas son las mismas.

Áreas de cada figura:

1 Triángulo = 4u²

Cuadrado = 16u²

3 Triángulos = 3.4u²=12u²

A jugar construyendo áreas

Ahora que ya conoces el tema, llegó el momento de jugar y profundizar tus conocimientos con esta interesante simulación.

Explora esta divertida simulación y sigue aprendiendo mientras construyes y descubres áreas de diferentes figuras.

Te invitamos a dejar tu comentario abajo. Cuéntanos qué aprendiste, qué te gustó más o si te surgió alguna duda. ¡Tu opinión es muy importante para nosotros!.

Actividades

I. Calcula el área de cada figura. Utiliza el cuadrado de la cuadrícula como unidad de medida.

II. Las figuras a continuación, ¿poseen las mismas áreas?

III. Determina la diferencia de las dos áreas sombreadas, sabiendo que el valor de la cuadrícula es de 2u².

IV. Calcular el área sombreada de la siguiente figura. Cada cuadrícula es de 10u²

¿Conoces el sistema métrico decimal? ¿Te has preguntado alguna vez cómo medimos todo lo que nos rodea? Desde la altura de un jugador de básquet hasta los litros de agua que bebes después de entrenar, el sistema métrico decimal está presente en tu vida diaria más de lo que imaginas. Este sistema, basado en la base diez, no solo es fácil de usar, sino que también es el preferido en el mundo entero por su precisión, rapidez y lógica. En este tema vamos a profundizar en cómo convertir unidades, entender sus símbolos y aplicarlo en situaciones reales.

Un poco de historia

Desde el principio del mundo los seres humanos han tenido la necesidad de conocer las medidas de las cosas. Antiguamente, utilizaban sus partes del cuerpo como los dedos, pies y manos.

Pero, observaron que usar su cuerpo para medir no era muy confiable, ya que el tamaño de cada parte cambiaba según la persona.

A finales del siglo XVIII Europa atravesaba una etapa de grandes avances científicos, culturales y políticos y en 1789 llega a Francia la Revolución Francesa transformando la política, la sociedad las ciencias y la educación.

En ese mismo año la Academia de Ciencias de Francia tomaron la decisión de crear un sistema de medición universal basándose en patrones naturales (como el meridiano terrestre, el agua, movimiento de la tierra y otros), cumpliendo con las siguientes exigencias:

1. La unidad fundamental debe ser reconstruible. Reconstruibles porque son unidades basadas en patrones naturales. Lo cual no dependería de un país o de objetos físicos.
2. Tener una relación decimal. Organizada en grupos de múltiplos y submúltiplos, lo que permite ampliar o reducir unidades de forma sencilla gracias a su estructura basada en la base diez.
3. Establecerse universalmente.

Al cumplir con las exigencias nace el Sistema Métrico Decimal (SMD).

¿Qué es el Sistema Métrico Decimal?

Es un conjunto de unidades de medidas basado en la base diez, lo cual permite que todas sus unidades aumenten o disminuyan en múltiplos de diez.

Prefijos del Sistema Métrico Decimal

El Sistema Métrico Decimal utiliza 6 prefijos para representar múltiplos y submúltiplos de las unidades fundamentales (metro, segundo, etc), ellos son los siguientes:

Conversiones

A continuación, te explicamos paso a paso cómo convertir unidades usando los prefijos del sistema métrico:

I. Dibuja una escalera métrica. Representa los prefijos en orden, desde los más grandes hasta los más pequeños, y colócalos junto a su unidad fundamental (metro, gramo o litro).

II. Ubica las unidades involucradas. Identifica en qué escalón se encuentra la unidad de origen (la que tienes) y la unidad destino (la que deseas obtener).

III Obtener el factor de conversión. El factor de conversión es una igualdad entre dos unidades usada para convertir una unidad a otra. Para obtenerla debes hacer dos cosas:

• Se otorga el número 1 (uno) a la unidad ubicada en el escalón más alto de la escalera. Según la imagen queda así: 1km

• A la unidad del escalón más bajo, se le asigna la base diez. La cantidad de ceros de la base diez es conforme a la distancia entre una unidad y la otra. Según la imagen: 1000m

Entonces, el factor de conversión es: 1km = 1000m.

En forma de razón:

IV. Obtener la conversión. Multiplica la cantidad a convertir y la razón de conversión. Asegúrate de ubicar la base diez y su unidad ya sea en el antecedente o el consecuente de la razón, el fin es cancelar las unidades de origen para dejar la unidad exigida.

Ejemplo: convertir 4000m a km

Razón y conversión:

Nota: Esto no se puede hacer porque la unidad de 4000m no se puede cancelar con los 1000m

Ejemplos de conversión resueltos

A una medida en cualquier unidad se le puede hallar su equivalencia en otra unidad. Lo generoso de este sistema es la facilidad de los cálculos debido a su base diez.

Problema # 1

• Marta mide el largo y el ancho de su cama para comprar un juego de sabanas, pero el instrumento que usó está en unidades de centímetro y en la tienda online lo exige en metros. Largo 190cm; ancho 135cm. ¿Ayúdala a convertir en metros?

Unidad origen: cm

Unidad destino: m

Observa que el m (metro) está ubicado en un escalón más elevado que el cm (centímetro).

Factor conversión:

1m = 100cm.

Problema # 2

• En un taller de producción de piezas para reparación de máquinas, construyeron un prisma rectangular con las siguientes dimensiones: largo 200mm; altura 1cm; ancho 0,0125dam. Expresar todas las dimensiones en metro.

El metro (m) es la unidad que está en un escalón más elevado que mm, cm y dm.

Entonces los factores de conversión en forma de razón son los siguientes:

Entonces la conversión queda así:

Observa que la razón:

Al momento de efectuar la conversión, 1dam y 10m se ubicaron en forma contraria para que la unidad de origen (m) se cancelara y quede la unidad de destino.

Mayor rapidez

Aquí se trata de hacer el procedimiento en dos pasos para efectuarlo de forma más rápida. Sólo es conseguir el factor de conversión y obtener la conversión de unidades.

Transforma: 0,03mm a km

1km = 1000000mm

Convierte: 1954dm a cm

1dm = 10cm

¿Cuánto es 100hm a m?

1hm = 100m

Actividades

Transformar a la unidad solicitada

a. 0,06mm a km

b. 8,25dam a mm

c. 503cm a hm

d. 9,3km a mm

e. 0,04dm a m

f. 7000m a km

g. 2mm a dm

h. 13000mm a m

i. 305dm a hm

j. 1945dm a cm

k. 0,003mm a hm

Las unidades del siguientes plano está expresado en centímetros, convierte esas unidades a metro y decámetro.

Selecciona la unidad más adecuada para representar las distancias de distintas situaciones.

a. Largo del dedo pulgar.

b. Altura de un edificio.

c. Distancia de París a Madrid.

d. Altura de un perro.

e. El largo de un lápiz.

f. Longitud de un vehículo.

Problema

Juan y Pedro salieron a trotar por tres días. ¿Cuál de los dos ha recorrido mayor distancia?

¿Sabías que cada vez que tu personaje se mueve, salta o cambia de tamaño en un videojuego estás presenciando transformaciones geométricas en acción? La geometría no vive solo en los libros: es parte esencial del diseño de tus juegos favoritos. Cada traslación que te mueve de un lado a otro, cada rotación que gira la cámara, la reflexión que ves en el agua y la homotecia que hace que un objeto se vea más grande o pequeño en pantalla son transformaciones que hacen que todo se vea y se sienta realista.

¿Qué es una transformación geométrica?

Las transformaciones geométricas es un procedimiento aplicado a una figura dada obteniendo otra denominada imagen.

Clasificación de las transformaciones

Las transformaciones geométricas son muy interesantes ya que por medio de estos procedimientos pueden generarse imágenes congruentes o semejantes.

Los tipos de transformaciones geométricas que generan imágenes congruentes son conocidas con el nombre de:

• Traslación.
• Rotación y
• Reflexión.

La transformación geométrica encargada de crear imágenes semejantes es conocida como Homotecia.

Traslación

Nota: Este post se enfocará en la traslación en el plano cartesiano.

¿Qué representa h y k ?

La traslación es un tipo de transformación que desplaza un punto A (x, y) del plano en otro A´( x + h, y + k ) que es la imagen.

Donde h representa el desplazamiento horizontal y k el vertical en unidades.

¿Qué pasa con h y k al ser positivos o negativos?

Cuando h es positivo, el desplazamiento horizontal (en el eje de las abscisas) es realizado hacia la derecha; pero, si h es negativo, su desplazamiento es a la izquierda.

Cuando k es positivo, el desplazamiento vertical (en el eje de las ordenadas) es hecho hacia arriba; en cambio, si k es negativo, el movimiento es hacia abajo.

¿Cómo debes hacer la traslación?

A continuación, verás dos ejemplos: en el primero se explica cómo trasladar un punto y, en el segundo, cómo trasladar un romboide.

Ejemplo 1. Trasladar un punto

Trasladar el punto D (3,2) tres unidades positiva verticalmente y cuatro unidades positiva horizontalmente.

Procedimiento:

Número 1. Identificar h y k.

h = 4 y k = 3 

Número 2. Al trasladar el punto D se transforma en D´

Aplicando:  D´( x + h, y + k )

D´ (3 + 4, 2 + 3)

D´ (7,2).

Observa el resultado del traslado del punto D, donde su imagen es D´.

Ejemplo 2. Trasladar un romboide

Trasladar el romboide ABCD, -7unidades horizontalmente y -3 unidades verticalmente.

Procedimiento:

Número 1. Valores h y k.

h = -7 y k = -3

Número 2. Determinar la imagen de cada vértice del romboide.

Rotación

¿Cómo realizar la rotación?

A continuación, te presento un ejemplo en el que aprenderás a rotar un romboide, explicado paso a paso. Verás cómo, siguiendo cada indicación, es posible comprender y aplicar este tipo de transformación de manera sencilla y precisa.

Ejemplo. Rotar un romboide

Rote el romboide ABCD a un ángulo de 140° sentido antihorario con centro O.

Primero. Unir cada vértice del romboide con el centro O.

Segundo. Rota en sentido antihorario los cuatro segmentos AO, DO, CO y BA a 140° y describe la imagen de cada vértice.

Tercero. Unir los puntos A´, B´, C´ y D´ para formar la imagen del romboide.

Reflexión

¿Cómo debes realizar una reflexión?

Te voy a mostrar cómo realizar la reflexión de un triángulo, explicada a través de un ejemplo práctico. Paso a paso, descubrirás cómo se transforma la figura y cómo identificar su imagen reflejada de forma sencilla.

Ejemplo. Reflexión de un triángulo

Dado el triángulo ABC y su eje de reflexión m. Encuentre su imagen reflejada.

Paso # 1. Trazar rectas perpendiculares segmentadas desde el eje de simetría hacia cada vértice. Para el trazo perpendicular utiliza una regla y un cartabón o escuadra.

Paso # 2. Utiliza una regla para medir la distancia entre cada vértice y el eje de reflexión.

Paso # 3. Ubicar los vértices imágenes al otro lado del eje de reflexión.

¡A jugar con las transformaciones geométricas: traslaciones, rotaciones y reflexiones!

Llegó el momento de poner en practica lo que ya conoces hasta ahora.

Selecciona el tipo de transformación y observa como se ven las imágenes.

¿Te ha gustado esta simulación? ¡Nos encantaría saber tu opinión! Cuéntanos en los comentarios qué te ha parecido, si te ha sido útil o si tienes alguna duda o sugerencia, inmediatamente te contestaremos. Tu participación nos ayuda a seguir creando contenido que inspire y enseñe. ¡Te leemos!

Homotecia

Características

La homotecia presenta varias características importantes, entre las que se destacan:

• Posee un centro llamado centro de homotecia. Es el punto donde se proyectan y se trazan segmentos hasta los vértices de la imagen.
• Un factor de escala k. Llamada también razón de homotecia, determina si la imagen es ampliada o reducida y además indica la orientación de la misma.
• Si el factor de escala es:
  k > 1, la imagen es ampliada alejándose del punto homotecia.
  0  <  k  <  1, la imagen es reducida acercándose al punto homotecia
  k  <  0, la imagen es invertida respecto al centro cambiando su orientación. Esta puede quedar reducida, ampliada o quedar al mismo tamaño.
  k  =  0, Todos los puntos de la imagen queda ubicada en el centro de homotecia. Es decir, no se genera una imagen visible.
  k  =  1, La imagen coincide con la figura dada.
• Cambia el tamaño de la imagen pero no su forma, generando imágenes semejantes.
• Las longitudes de la figura es proporcional con las longitudes de la imagen.

Observa la siguiente tabla, allí apreciarás los distintos factores de escala.

k  > 1
0  <  k  <  1
k  <  0
k  =  0
k  =  1

¿Cómo debes realizar una homotecia?

A continuación, te mostraré, mediante un ejemplo, cómo aplicar una homotecia a un polígono paso a paso. Verás cómo identificar el centro de homotecia y cómo aplicar el factor de escala, de esta forma obtendrás la figura transformada con exactitud.

Ejemplo. Obtener la imagen de un polígono por homotecia

El centro es el punto C con un factor de escala 1/5.

Para realizar la homotecia debes llevar a cabo los siguientes pasos:

I. Dibuja segmentos desde cada vértice del polígono hasta el punto C.

II. Mide cada longitud y lo multiplicas por el factor de escala 1/5, para obtener las longitudes desde el punto centro “C” a cada vértice imagen.

III. Marcar los vértices imagen.

IV. Unir los vértices para obtener el polígono M´L´K´J´N´ imagen por homotecia del polígono dado.

¡A jugar con la Homotecia!

Pon en practica todo lo que ya conoces y diviértete jugando con la homotecia.

En el botón rojo seleccionas el factor de escala, en caso que la imagen no se vea, no te preocupes debes arrastrar o mover el área de la simulación para encontrarla.

Si tienes preguntas o quieres contarnos tu experiencia, te invitamos a dejar tus comentarios al final de este post. Tu participación nos ayuda a crear contenido que inspire y enseñe.

Actividades

I. Diga ¿Cuánto es h y k?

II. ¿Cuánto es el ángulo de rotación de esta transformación?

III. Dibuja la imagen de la siguiente figura, donde la recta m es el eje de reflexión.

IV. Los vértices de un rombo son: A(10,4); B(12,7); C(14,4); y D(12,1). Si los vértices imágenes por la traslación es: A´(11,5); B´(13,8); C´(15,5); y D´(13,2). ¿Cuánto se trasladó verticalmente y horizontalmente?.

V. Le aplican una rotación al punto F(-2,1) con centro en el origen R y un ángulo “x”. La imagen del punto es F´(-6,5).¿Cuál es el valor del ángulo x?

VI. Traslada la figura a continuación h = 5 y k = 0

VII. Rota a 60° horario con centro en O, el siguiente cuadrilátero.

VIII Identifica el centro y el factor de homotecia en ambas imágenes.

IX. Representa la homotecia con un factor de homotecia = 2

X. Construye la homotecia con dos factores de escala: ½ y 1/5 de la siguiente figura.

¡Ayúdanos a mejorar!

¿Qué te pareció esta guía de transformaciones geométricas? ¿Conoces algún otro tipo de transformación que debería añadir? ¡Deja tus ideas y preguntas en los comentarios! Tu opinión nos ayudará a crear contenido aún más útil.

¿Sabes qué es una escala? ¿Sabías que cada vez que haces zoom en un videojuego estás aplicando una escala? Y cuando visitas una juguetería y ves esos increíbles carros, aviones, trenes o barcos con numeritos como 1:64, como los clásicos Hot Wheels, estás frente a un mundo en miniatura que guarda una relación matemática con el tamaño real.

Este tema te abrirá la puerta para interpretar esas proporciones y descubrir cómo se usan en la vida real y en el mundo digital. Por ejemplo, en Minecraft, cuando ves que un edificio o un personaje cambian de tamaño, en realidad estás usando una ampliación o reducción. ¡Anímate a descubrir! Este post está hecho para ti, y estoy seguro de que te ayudará a ver el mundo con nuevos ojos.

¿Cómo hacer ampliaciones o reducciones?

Existen situaciones donde es conveniente transformar un objeto en tamaños más grande (ampliación) o más pequeños (reducción). Un ejemplo es el plano de una casa aquí la proporción utilizada es de 1:100.

Observa el siguiente cuadrado que posee 4 unidades de longitud:

El cuadrado más pequeño es la reducción a la mitad del original. En consecuencia, la relación de los lados es 1 a 2, esto quiere decir que una unidad en la reducción le corresponde a dos unidades del original.

La proporción del cuadrado más grande es 3 a 2, O sea que 3 unidades de la ampliación corresponde a 2 unidades del cuadrado original.

Ejemplo de ampliación

Se requiere una ampliación del polígono mostrado a continuación, aplicando una relación de 2 a 1.

Para efectuar la ampliación debes multiplicar cada lado por 2.

Lados:

EF = CB = ED = 1u

CD = FA = 2u

AB = 3u

Ampliación:

1u . 2 = 2u

2u . 2 = 4u

3u . 2 = 6u

Con las nuevas dimensiones se construye el polígono ampliado, observa la imagen:

Ejemplo de reducción

Aplicar una relación de 3 a 4 al pentágono regular que tiene como lado 3u.

Aquí se trata de reducir, ya que la proporción de 3 a 4 significa que cada 4u del tamaño original se representa como 3 en la reducida.

Así que, cada lado del pentágono debe multiplicarse por ¾.

Como el polígono es regular las dimensiones de todos los lados del reducido es:

Entonces, ya se sabe que para poder ampliar o reducir una figura o un objeto es necesario aplicar una relación, esta relación se le denomina escala.

¿Qué es una escala?

Como es una razón, el antecedente indica la medida de reducción o ampliación y el consecuente la dimensión real. Ejemplo:

Lo cual se lee como: “1 a 100”.

Que significa que 1cm en el dibujo es equivalente a 100cm en la realidad.

Las escalas de ampliación son usadas para representar objetos muy pequeños, por ejemplo, bacterias, insectos, células y, las escalas de reducción en mapas, juguetes, maquetas, edificios, planos de centros comerciales, entre otros.

Para conocer si la representación es una ampliación o reducción, basta con observa la escala. Si la escala es:

E < 1 Es una reducción.

E > 1 Es una ampliación.

Escala numérica

Es la escala que muestra la relación entre un centímetro del dibujo y la dimensión real del objeto. Esta escala puede ser:

Escala natural: Es la escala representada como 1:1. Lo que significa que no existe ni ampliación ni reducción.

Escala de reducción: Es cuando el dibujo es menor que el real. Por ejemplo: 1: 2 ; 1: 10 ; 1: 50 ; 1: 125 ; 1: 1000, etc.

El consecuente de la razón al ser mayor que el antecedente es indicativo que estás en presencia de una escala de reducción.

Escala de ampliación: Cuando un objeto es muy pequeño es muy importante aplicar la escala de ampliación, la intención de esto es poder observar mejor sus detalles.

Cuando el antecedente es mayor que el consecuente es una escala de ampliación. Por ejemplo: 2:1 ; 6: 1 ; etc.

Ejemplo:

a. Interprete la escala 1:1.000.000.

Se lee: 1 a 1.000.000

Lo que significa que 1cm del dibujo es 100.000cm en la realidad, es decir 1km.

Ahora, como:

b. Interpreta 75:1

Se lee 75 es a 1.

Esto quiere decir que 75cm en el dibujo equivale a 1cm en lo real.

Ahora, como:

Escala gráfica

Ejemplos explicados paso a paso

Problema # 1

Crea una conversión de una escala numérica a una escala gráfica de 1:100.

Pasos:

1. Seleccionar una longitud real para la representación.

Para el ejemplo se selecciona 6m (reales)

2. Convertir la longitud real a la escala del plano.

Como es 1:100 se multiplica la longitud real por la escala gráfica 1:100

Esto quiere decir, que la longitud real 6m en el plano es de 6cm.

3. Trazar un segmento con la longitud de la escala del plano, con un espesor de 2 a 3mm.

En este caso se dibuja el segmento de 6cm y el ancho de 2mm formándose un rectángulo.

4. Crear las divisiones de un centímetro en partes iguales, dejando un espacio en blanco y el otro en negro.

5. Colocar las dimensiones.

Problema # 2

Convertir de escala gráfica a escala numérica.

Aquí sólo debes: Identificar y convertir.

En este caso 1cm equivale a 1km. Entonces, se convierte de kilómetros a centímetros.

En centímetros es 1:10.000

Problema # 3

En la escuela de Laura, también se preparan para una salida pedagógica. La profesora entrega un mapa con una escala de 1:250.000. Si el recorrido marcado en el mapa mide 6 cm. ¿Cuál es la distancia real del recorrido en kilómetros?

1: 250.000

Significa que 1cm en el mapa es 250.000cm en la realidad.

Se crea una proporcionalidad:

El recorrido real es de 15km.

Mapa

Es una representación gráfica de la superficie terrestre, manteniendo su forma y llevando a escala su tamaño.

El mapa no solo muestra la superficie sino además debe expresar su escala gráfica o numérica, pues es la manera de saber qué distancias reales existen entre una región u otra.

Ejemplo

El mapa a continuación, muestra la escala gráfica en kilómetros, verifica su escala numérica.

La escala gráfica muestra que un centímetro equivale a 500km

Se convierte los 500km a cm

500km=50.000.000cm

La escala numérica es 1:50.000.000

Plano

Es una representación gráfica a escala en dos dimensiones, de una casa, apartamento, terreno, máquina, circuito eléctrico o electrónico, etc.

El plano nos permite visualizar detalles con mayor precisión y, además, muestra las dimensiones de cada componente representado. También puede ofrecer una vista general del conjunto con escala.

Observa los dos tipos de planos, con dimensiones y a escala:

Maqueta

Es una representación física a escala en tres dimensiones de una iglesia, edificio, centro comercial, hotel, un conjunto habitacional, colegio, etc.

La tercera dimensión de una maqueta es la altura, ella permite comparar la proporción vertical de los objetos representados, brindando una visión más realista del espacio.

Gracias a la altura, podemos entender mejor la forma y el volumen de las construcciones, distinguir niveles o pisos en una edificación, y visualizar cómo se relacionan entre sí los diferentes elementos en el entorno tridimensional.

A jugar

A continuación, te presento un simulador interactivo de escala.

Explóralo con calma y pon en práctica todo lo que has aprendido sobre el tema. Ajusta medidas, observa cómo cambian las proporciones y comprende mejor cómo funciona la escala en situaciones reales.

Recuerda: ¡Aprender haciendo es la mejor manera de afianzar conocimientos!

Cuéntanos en los comentarios qué te pareció la experiencia:

¿Te ayudó a comprender mejor el concepto de escala? ¿Lograste profundizar en el tema? ¡Tu opinión es muy valiosa para nosotros!

Actividades 

I. Diga si las siguientes escalas pertenecen a una ampliación o de reducción.

• 15.000:1
• 1:202.000
• 45.000:1
• 1:25.500
• 25.100:1

II. Explica el significado de las siguientes escalas numéricas.

• 1:10
• 1:50
• 1:20.000
• 1:4

III. Explica qué indican las siguientes escalas gráficas.

IV. Determinar la distancia real en kilómetros, si un plano indica que 1cm =3km.

• 6cm
• 12cm
• 9cm
• 14cm
• 1,8cm

V. Dibuja y transforma las siguientes escalas gráficas.

• 1:10
• 1:150
• 1: 125
• 1:1.200.000

VI. Transforma a escala numérica.

VII. Crea una escala numérica para cada situación.

1. El profesor les pide que realicen un plano de su casa, en una hoja tamaño A0 (841 × 1189mm).
2. El jefe de tú hermano mayor le pidió dibujar una pieza con las siguientes dimensiones: 60cm de largo y 45cm de ancho.
3. Tu profesora de la materia de geografía les pidió dibujar el mapamundi en una hoja tamaño A2 (420 × 594mm).

VII. Problema.

En un plano realizado con una escala 1:100, las dimensiones de una cancha de fútbol 9 es 70 m de largo y 40 m de ancho. ¿Cuáles serían las dimensiones en otro plano a 1:200?

¿Quieres conocer más acerca del porcentaje? ¿Sabías que usas porcentajes todos los días sin darte cuenta? Por ejemplo, cuando ves un descuento en tus tenis favoritos, al mejorar tus habilidades en tu videojuego, o al revisar cuánta batería le queda a tu celular, estás usando porcentajes. Este tema no solo es clave en matemáticas, ¡también en el deporte, las finanzas y hasta en las redes sociales! Aprender a dominar los porcentajes te ayudará a tomar mejores decisiones y hasta convertirte  en un jugador más pro.

¿Qué es porcentaje?

Interpretación

En la tabla a continuación, se interpreta el significado de dos situaciones que involucran el porcentaje.

Información	%	Razón	División	Significado
El 12% de los estudiantes aprobaron la materia	12		0,55	De cada 100 estudiantes, 12 aprobaron.
A Juan le hicieron un descuento de 35%	35		0,35	De cada $100, le descontaron $35.

¿Cómo resolver problemas de porcentaje?

Para solucionar problemas de porcentajes debes aplicar una regla de tres simple directa.

Debes plantear dos razones y así crear la proporcionalidad o si prefieres puedes aplicar la siguiente relación:

Donde:

x = Es el resultado que representa el porcentaje aplicado sobre una cantidad.

m = Es el porcentaje.

p = Es la cantidad

Problemas de porcentajes resueltos

Aquí tienes varias situaciones para poner en práctica el tema de porcentaje, el procedimiento fue hecho paso a paso para un mejor entendimiento.

Problema # 1.

• ¿Cuál es el 32% de $450?

Crear las proporciones:

Problema # 2.

• ¿Cuál es el 145% de 1050?

Aplicar la relación.

Problema # 3.

• La información del diagrama es la preferencia que existen en distintas consolas de juegos. En esta encuesta se registró un total de 5000 personas. ¿Cuántas personas eligieron cada consola?

Nintendo Switch 5% de 5000.

Nintendo Switch OLED  20% de 5000.

XBox  25% de 5000.

Play Station 5 50% de 5000.

Conclusión: El Play Station 5 es la consola de mayor preferencia.

Problema # 4.

• Representar cada razón como porcentaje.

Problema # 5.

• David va a comprar un televisor para su consola de Play Station 5, por un valor de $900. Por ser un cliente registrado, le hacen un descuento de 15%. Adicionalmente, si realiza la compra con la tarjeta de crédito de la tienda le hacen otro descuento de 20%. ¿Cuánto pagará David por el televisor?

Calculo del primer descuento.

El descuento del 15% es:

$900 – $135 = $765

Se calcula el descuento del 20% con el descuento del 15%

Finalmente, el precio del televisor es: $765 – $153 = $612

Entonces, David pagará $612 por el televisor.

Problema # 6.

• Se encuestó a 1200 jóvenes adolescentes y resultó que 846 practican fútbol. ¿Qué porcentaje practican fútbol?

El 70,5% de los jóvenes practica fútbol.

Problema # 7.

• Las diagonales de un rombo tiene unas longitudes de 6cm y 10 cm. Si las longitudes aumenta un 30%. ¿Qué porcentaje aumenta su área?

Diagonal de 6cm.

Diagonal de 8cm.

Las longitudes de las diagonales aumentadas es de:

Diagonal menor = 6cm + 1,8cm = 7,8cm

Diagonal mayor = 10cm + 3cm = 13cm

Fórmula del área del rombo.

Cálculo del área del rombo inicial y final.

La variación del área es:

Finalmente, se determina qué porcentaje es 20,7cm²  de 30cm², planteando la siguiente proporción:

Entonces, el área del rombo aumenta 69%.

A jugar con porcentajes

Ahora pon a prueba tus conocimientos y ponte a jugar, lee cada pregunta y responde.

Actividades

I. Determine lo que se solicita en cada caso.

a. El 13% de 2200.

b. El 15,8% de 590.

c. El 65% de 54000.

d. ¿Qué porcentaje es 45 de 520?

e. ¿Qué porcentaje es 92 de 120?

II. Halla el porcentaje que representa cada situación.

a. Dos de cada cinco hombres poseen un reloj.

b. La tercera parte de los estudiantes poseen un computador.

c. Cuatro de cada seis niños les gusta asear el aula de clase.

d. Dos tercios de los profesores del colegio estudian especializaciones.

III. Representar cada razón en porcentaje.

IV. Resuelve los siguientes problemas.

a. En un colegio existen 250 estudiantes. El 35% poseen un promedio mayor de 8ptos. ¿Cuántos son los estudiantes destacados por ese promedio?

b. En el parque existen 20 monos. El 42% de esos monos son blancos, 47%  negros  y el resto son marrones. ¿Cuántos son de cada tipo? ¿Qué porcentaje de los monos son marrones?

c. El gasto de un estudiante en abril fue de $140, en mayo, se incrementó en 10% y en junio, en 30%. ¿A qué porcentaje de incremento único equivalen ambos incrementos?¿Cuál fue el gasto en el mes de junio?

¿Estás buscando cómo calcular el perímetro de un polígono? ¿Sabías que cuando decoras el borde de una puerta, estás trabajando con perímetro sin saberlo? El perímetro de un polígono no es solo una fórmula en clase, es una herramienta que se usa a diario, sin darte cuenta. Desde tocar con tu mano todo el borde de un televisor hasta decorar tu habitación con luces LED, calcular el perímetro es clave. En este post se profundizará  en cómo encontrar el perímetro de distintos polígonos y cómo aplicar este conocimiento en situaciones reales de tu vida diaria.

¿Qué es el perímetro de un polígono?

La fórmula para calcular el perímetro de un polígono regular (todos los lados iguales) es:

P = cantidad de lados · longitud de un lado

Para los polígonos irregulares (lados desiguales) debes sumar cada lado.

Ejemplos resueltos paso a paso

Aquí tienes una serie de ejemplos donde se muestra el paso a paso para encontrar el perímetro de los polígonos.

1. Determina el perímetro de un tetradecágono regular de lado 6cm.

Un tetradecágono es un polígono de 14 lados, como es regular se aplica la fórmula del perímetro:

P = cantidad de lados · longitud de un lado

P = 14· 6cm = 84cm

El perímetro del dodecágono regular es de 84cm.

2. Determina el perímetro del polígono ABCDE

P = 41cm + 31cm +22cm +30cm +22cm = 146cm

El perímetro del pentágono irregular ABCDE es 146cm.

3. Hallar el perímetro del siguiente polígono ABCDE en milímetros.

Primero: Convertir las unidades de los lados a cm.

Segundo: Cálculo del perímetro.

P = 20cm + 36cm +10cm +50cm +22cm = 138cm

4. Calcula el perímetro del siguiente polígono.

Es un polígono regular, los únicos lados iguales son AB y CD. Por lo tanto la fórmula se plantea de la siguiente manera:

P = 5cm + 2(2,2cm) +4cm +5cm = 18,4cm

Su perímetro es 18,4mm.

Actividades

Determinar el área de los siguientes polígonos regulares:

• Icoságono de lado 20m.
• Hexágono de 6cm de lado.
• Lado 23cm de un Decágono.
• Heptacontágono de 2cm de lado.

Diga si es o no válida cada información.

• El perímetro de un rectángulo cuya base es de 102cm y su altura es de 2,34 es de 208,42cm.
• El perímetro en unidad dam (decámetro) de un triángulo rectángulo de lado 100cm es 0,3dam.
• El perímetro en m (metro) de un octágono regular de lado 55mm es 0,44m.
• El perímetro de un rombo es de 400km, entonces, la longitud de su lado es de 100000m.

Resuelve los siguientes problemas:

a. El largo de un rectángulo es dos veces su ancho. Si el perímetro del rectángulo es 5000m. ¿Cuánto mide el ancho y el largo en km?

b. El largo de una valla rectangular que rodea un terreno es 3 veces mayor que su ancho. Si el perímetro total de la valla es 1200 m, ¿cuánto miden el largo y el ancho en hm?

c. El largo de una pantalla LED es 5 metros más largo que el doble de su ancho. Si el perímetro de la pantalla es 86 metros, ¿cuánto mide el ancho y el largo en cm?

Determine el perímetro del siguiente polígono en cm

Calcula el perímetro en dm (decímetro) de:

¿Quieres profundizar más acerca de regla de tres simple inversa? ¿Sabías qué… hasta en tus juegos favoritos o cuando pides pizza se esconde la matemática? Así es, la regla de tres simple inversa no es solo cosa de exámenes; también aparece en tu vida diaria, como cuando calculas cuánto tiempo tardas en terminar un videojuego con más amigos, o cuánto menos tarda el domiciliario o repartidor si hay menos pedidos. Si quieres mejorar en la solución de problemas, te invito a leer este tema.

¿Qué es una regla de tres simple inversa?

Es un método utilizado en situaciones donde las magnitudes que intervienen son inversamente proporcionales.

¿Cómo resolver un problema?

Para solucionarlo debes llevar a cabo los siguientes pasos:

• Análisis.
• Organización los datos por cada magnitudes.
• Crear las razones.
• Plantear una proporción invirtiendo las razones.

• Solucionar.

Problemas resueltos

Ahora verás, problemas resueltos paso a paso para que sepas cómo aplicar la regla de tres simple inversa en situaciones reales.

a. Una empresa de producción poseen brazos robóticos para efectuar tareas de pintado, estos brazos cuentan con un sistema de ruedas dentadas llamados tren de engranajes.

El engranaje (#1) es el que recibe el movimiento del motor llamado rueda motora, este posee 32 dientes, el engranaje (#2) 60 dientes y el engranaje (#3) 80 dientes. Si la rueda motora gira 16 vueltas ¿Cuántas vueltas dan las ruedas #2 y #3?.

Primero: Análisis.

Cuánto más dientes menor son las vueltas.

Segundo: Organización (Ruedas).

Uno = 32 dientes, da 16 vueltas.

Dos = 60 dientes, se desconoce sus vueltas.

Tres = 80 dientes, se desconoce sus vueltas.

Tercero: Razones.

Engranaje # 1	Engranaje # 2	Engranaje # 3

Cuarto: Proporciones inversas

Proporciones directas		Proporciones inversas

Quinto: Solución.

b. Un granjero tiene una cantidad de alimento suficiente para alimentar a sus pollos durante cierto tiempo. Un día vendió 90 pollos, y con eso logró que la comida durara 27 días. Si no hubiera vendido los pollos, la comida solo habría alcanzado para 18 días. ¿Cuántos pollos tenía originalmente?

Análisis. Si tiene pocos pollos la comida dura mucho más. Es decir a menor cantidad de pollos, mayor son las cantidades de días de duración de la comida.

Organización.

Razones.

Proporción inversa.

Conclusión: Inicialmente contaba con 270 pollos.

Desafío Inverso: ¡El Juego de la Proporcionalidad!

¡Bienvenidos a nuestra nueva simulación interactiva! A menudo, ya tu sabes que si una cantidad aumenta, otra también lo hará. Pero, ¿qué sucede cuando la relación es justo lo contrario? Es decir, si una cantidad crece, la otra disminuye en la misma proporción. Eso es precisamente la proporcionalidad inversa y la puedes encontrar en situaciones tan variadas como la planificación de un viaje, distribuir tareas, etc.

En esta simulación, encontrarás diferentes escenarios donde la proporcionalidad inversa es la protagonista. Prepárate para observar cómo un cambio en una variable impacta de forma opuesta a la otra, y cómo puedes utilizar este conocimiento para resolver problemas de la vida real.

¿Qué te ha pareció la simulación?

¡Nos encantaría saber tu opinión en los comentarios que está al final de este post!

¿Se te ocurre algún ejemplo de proporcionalidad inversa en tu día a día que quieras compartir? ¡Anímate a participar!

Actividades

Resuelve los siguientes problemas.

• El gasoil utilizado para 8 tractores dura para 5,4 días. ¿Cuántos días alcanza la misma cantidad de combustible si solo se utilizan 4 máquinas?.
• Un señor tiene un negocio de ventas de cachorros, tienen alimento para 15 días. ¿Cuánto tiempo le alcanzará la comida si ahora tiene 3 cachorro más?. Nota: cada cachorro se alimenta con la misma cantidad de comida diaria.
• En una fábrica de salsa abastecen diariamente 1600 botellas con una capacidad de 1,25L. Si se quiere envasar la misma cantidad total de salsa en envases de 4L. ¿Cuántas botellas son necesarias?

Identifica qué situaciones pueden resolverse aplicando regla de tres simple inversa. Justifica tu respuesta.

• Se necesita suministrar 240mg por 4mL de agua de un medicamento en polvo. ¿Qué cantidad de agua se requiere para mezclarse con 1200mg del medicamento?
• Una gasolinera posee 2 bombas, una nueva y la otra vieja. La nueva abastece un tanque de un automóvil en 4 minutos con un rapidez de 15L/min. ¿Qué tiempo se toma la bomba vieja en llenar el tanque del mismo vehículo, si lo ejecuta a razón de 11 Litros por minutos.
• Una constructora necesita 8 trabajadores para construir una casa en 50 días. ¿Cuántos trabajadores se requieren para construir la misma casa en 20 días?

¿Buscas problemas de proporcionalidad directa? Si es así, has llegado al sitio indicado. ¿Sabías que la proporcionalidad directa está presente en muchos aspectos de la vida diaria? Desde calcular el tiempo que tardas en un viaje hasta repartir ingredientes en una receta. Aprender a resolver problemas de proporcionalidad es más fácil y divertido de lo que imaginas. En este artículo, explorarás ejemplos prácticos que te ayudarán a profundizar tus conocimientos.

Para resolver estos tipos de problemas, se utiliza un método sencillo llamado regla de tres simple directa, que permite encontrar un valor desconocido a partir de tres valores que ya conoces de una relación proporcional.

Regla de tres simple directa

Procedimiento solucionar problemas

Para resolver problemas aplicando el método de la regla de tres simple directa, se recomienda llevar a cabo los siguientes pasos:

1. Organizar los datos según sus magnitudes.
2. Plantear la proporción.
3. Aplicar el teorema # 1 y calcular el valor desconocido.

Nota: Al establecer la proporción y sustituir los valores de cada magnitud, es recomendable incluir también las unidades. Esto facilita la comprensión y ayuda a evitar errores de cálculo.

 

Problemas de proporcionalidad directa resueltos

Un ciclista recorre 12 kilómetros en 40 minutos. ¿Cuántos kilómetros recorrerá en 2 horas y 10 minutos si mantiene la misma velocidad?

a. Organización de los datos.

La magnitud de tiempo se expresa en unidades como minutos y horas. Para realizar los cálculos, es necesario utilizar una única unidad. Por ello, se convierte los minutos a horas.

Entonces, recorrerá 120min + 10min = 130min.

b. Proporción.

c. Teorema # 1.

Respuesta:

El ciclista recorrerá 39km en 2horas y 10 minutos.

Un grifo llena 15 litros de agua en 5 minutos. ¿Cuántos litros podrá llenar en una hora si mantiene el mismo caudal?

a. Datos.

En la magnitud del tiempo se observan distintas unidades. Por lo que es necesario realizar una conversión.

b. Proporción establecida.

c. Teorema # 1 aplicado.

Respuesta:

En una hora el tanque queda abastecido con 180L.

Explorando la Proporcionalidad Directa: ¡Descubre sus secretos y convierte en un vencedor!

¡Llegó el momento de poner a prueba tus conocimientos con esta simulación divertida! Gana puntos y conviértete en todo un gladiador matemático.

Sumérgete en esta simulación encontrarás diversos escenarios para comprender a fondo cómo funciona esta relación. Prepara tu mente para observar, analizar y resolver problemas que te ayudarán a dominar este importante tema matemático.

¿Qué te pareció esta simulación? ¡Nos encantaría leer tus impresiones y comentarios al final del post! ¿Qué ejemplos de proporcionalidad directa encuentras en tu día a día? ¡Comparte tus ideas!

Actividades: Problemas de proporcionalidad directa

1. Identifica cuáles de las siguientes situaciones se puede aplicar regla de tres simple directa. Justifica tu respuesta.

a. Un poste mide 4 metros, mientras que un árbol cercano tiene una altura de 12 metros. ¿Cuántos metros más alto es el árbol que el poste?

b. Un agricultor compra 18 sacos de fertilizante, con un precio de $150.000 cada uno. Si decide comprar 30 sacos adicionales. ¿Cuál será el costo total de los 30 sacos?

c. María tiene $3.500.000 en su cuenta bancaria. Si realiza un retiro de $800.000. ¿Cuánto dinero le quedará en su cuenta?

2. Resuelve los siguientes problemas.

a. Carlos gana $50.000 por pintar un mural en 5 horas. Si tarda 2 horas más en terminar otro mural con el mismo pago por hora. ¿Cuánto dinero recibirá en total?

b. Un ciclista recorre 24 kilómetros en 2 horas a velocidad constante. ¿Cuántos kilómetros recorrerá en 5 horas si mantiene la misma velocidad?

c. Un poste de 2,5 metros proyecta una sombra de 4 metros a cierta hora del día. ¿Cuánto medirá a la misma hora la sombra de un árbol de 12 metros de altura?

3. Problema de Proporcionalidad directa: Observa el procedimiento y consigue el error

Para fabricar 12 sillas, se necesitan 3 litros de barniz. ¿Cuántos litros de barniz se necesitarán para fabricar 48 sillas?

a. Datos organizados:

b. Proporcionalidad y solución:

4. Crea, para cada situación, una pregunta que se aplique el método de la regla de tres simple directa

a. Llenar un tanque con 15 litros de agua, se necesitan 5 minutos.
b. Una persona cosecha 24 kilogramos de manzanas en 3 horas.
c. Un tren recorre 300km en 1 hora con velocidad constante. ¿Cuántos kilómetros recorrerá en 3 horas?

Respuestas

1.
a. No se resuelve con regla de tres simple, porque no hay relación proporcional.
b. Si se aplica regla de tres simple directa, porque existe relación proporcional.
c. No se resuelve con regla de tres simple directa, no existe relación proporcional

2.
a. $20000
b. 60km
c. 19,2m

3.Proporcionalidad mal planteada.