7ºGrado

Razón y proporción: Aprende fácil con simulación

por
Razón y proporción: Aprende fácil con simulación

Receta¿Sabías que la razón y proporción están presentes en muchas situaciones de nuestra vida cotidiana? Por ejemplo, en las recetas de cocina, los ingredientes se ajustan según la cantidad de porciones, lo que representa una razón. Del mismo modo, al calcular distancias en un mapa con una escala o comparar la velocidad de dos vehículos, estamos aplicando proporciones.

¿Qué es la razón?

Es una relación o comparación entre dos magnitudes, ya sean iguales o diferentes, expresada en forma de fracción. Esto permite expresar cuántas veces una contiene a la otra.

Ejemplo, la relación entre la distancia recorrida por un ciclista representado con la letra d (en kilómetros) y el tiempo  con la t (en horas), son dos magnitudes diferentes formando una razón:

RazónLa expresión de sus unidades de medidas:Unidades

¿Se puede escribir las razones de otra forma?

Sí, a : b
Donde: b ≠ 0

¿Qué nombre posee sus elementos a y b?

El nombre del primer elemento “a” es antecedente y el segundo es “b” consecuente.

¿Cómo se puede leer?

Su lectura es: a es a b

Ejemplos de razones

A continuación, mostraré distintas situaciones para aplicar razones. Siempre debes simplificar la expresión de la razón.

1) En la ciudad llamada “x” por cada 6 perros existe 4 gatos.

La razón es: 6 perros : 4 gatos, es decir: 3 : 2.

Conclusión: Existen 3 perros por cada 2 gatos

2) En un colegio, quince de cada veinte son de sexo masculino.

La razón de estudiantes masculinos a estudiantes totales es 15:20, es decir, 3:4.

razón ejemplo 2

3) Representa la expresión: 8 es a 15 en forma de una razón.

razón ejemplo 3

4) De los 40 asistentes a una reunión empresarial, 25 son mujeres. ¿Cuál es la relación entre el número de asistentes mujeres y el número de asistentes hombres?

Mujeres Hombres

¿Qué es la proporción?

Es una herramienta que permite comparar dos magnitudes y establecer relaciones entre ellas. En otras palabras es una igualdad entre dos razones.

¿Cómo se lee?

Se lee: a es a b como c es a d

¿Qué nombre reciben los elementos de una proporción?

Los elementos de una proporción reciben el nombre de extremos y medios.

Al escribir la proporción de esta otra forma puede apreciarse mejor cuando sus elementos son extremos y medios:

a : b = c : d

  • a y d, son elementos extremos porque se encuentran en los extremos de la proporción.
    Extremos
  • b y c, son elementos medios porque están en la parte central de la proporción.
    Medios

Teoremas de proporciones

A lo largo de la historia, se han formulado distintos teoremas que facilitan la resolución de problemas proporcionales garantizando las igualdades entre razones.

A continuación, los teoremas de las proporciones son tres:

Teorema 1. En toda proporción el producto de los extremos es igual al producto de los medios.
Teorema 1Teorema 2. En una proporción pueden intercambiarse el segundo y tercer término, obteniéndose una proporción cierta.
Teorema 2Teorema 3. En una proporción puede invertir las razones.
Teorema 3

Tipos de proporciones

Las proporciones se clasifican en continuas y discretas según sus elementos.

Proporción continua

Es una proporción continua cuando los elementos medios son iguales.

Es decir, que:

a : b = b : c

Ejemplo:

En este caso los elementos medios de la proporción son iguales, por lo tanto, el tipo de proporción es continua.

Proporción discreta

Es cuando todos los elementos de la proporción son distintos.

Ejemplo:

Observa que todos los elementos de la proporción son diferentes.

Ejemplos de proporciones

Determinar si el par de razones forma una proporción.

Soluciones                                               

a) Aplicando el Teorema 1:

Ambas razones no crea una proporción.

 b) Por el Teorema 1:

Ambas razones forman una proporción, por lo tanto:

Hallar el valor de x en cada proporción.

Solución a):

Solución b):

Juega con las razones y las proporciones

¿Alguna vez te has preguntado cómo se aplican la razón y la proporción en la vida cotidiana? Con esta increíble simulación interactiva, podrás experimentar, resolver desafíos y descubrir cómo estas relaciones matemáticas están en todas partes.

La simulación tiene dos ventanas, la primera tienes 3 desafíos y debes descubrir la razón en cada una de ellas, la segunda diseñas una razón y en función a ella creas las proporciones.

El juego es muy fácil, lo que debes hacer en el simulador es mover las manitos hacia arriba o hacia abajo. La mano izquierda representa el antecedente y la derecha el consecuente.

Laboratorio Virtual: Fortalece tus conocimientos 

Ahora que ya tienes conocimiento del simulador, llegó el momento de poner a prueba lo que has aprendido, ingresa al simulador y responde las 5 preguntas de cada ventana.

Ventana # 1. Descubrir la razón

  1. ¿Descubriste la razón del primer desafío?¿Cuál es la razón?
  2. ¿Revelaste la razón del segundo desafío?¿Cuál es la razón?
  3. ¿Encontraste la razón del tercer desafío?¿Cuál es la razón?
  4. ¿Existirá otras razones equivalentes del desafío 1?
  5. ¿Qué sucede con la razón si duplicas ambas cantidades al mismo tiempo?

Ventana # 2. Crear proporciones.

Al ingresar a esta ventana, establece una razón en “Mi desafío” y produce proporciones.

  1. ¿Qué razón estableciste?
  2. ¿Cuántas proporciones creaste en función a la razón establecida?
  3. Si la proporción inicial es 2:3 y duplicas ambas cantidades, ¿sigue siendo equivalente? ¿Por qué?
  4. Si en la simulación hay 8 bloques azules y 12 bloques rojos, ¿puedes encontrar una proporción equivalente con números más pequeños?
  5. Expresa al menos una proporción de la pregunta 4?

¿Quieres practicar más con un tutor?

Podemos preparar una sesión personalizada con ejercicios guiados, resolución paso a paso y seguimiento del progreso.

Solicita una tutoría

Actividades

A. Utiliza una razón para representar las siguientes situaciones de la vida diaria:

  1. En una escuela de música, ocho de cada diez estudiantes tienen un computador portátil.
  2. Un equipo de beisbol ha ganado cinco de cada 7 partidos jugados.
  3. En el zoológico cinco de cada diez personas son niños.

B. Representa cada expresión en una razón:

  1. 6 es a 11
  2. 25 es a 1/2
  3. 1/5 es a 13

C. Resuelve:

  • El largo de una cancha de fútbol sala es de 40m y el ancho 20 metros. ¿Cuál es la razón entre el ancho y el largo?
  • David necesita conocer la razón entre la estatura de su papá y él. El padre mide 1,62m y David 1,55m.
  • Adriana compró una bolsa de papas de 4kg a $12 y otra bolsa de 6kg a $18. ¿En cuál de los dos casos resulta más económico el kilogramo de papa?

D. Determina la razón. En una iglesia hay 85 mujeres y 70 hombres:

  1. La razón entre el número de mujeres y el número de hombres en la iglesia.
  2. La razón entre el número de mujeres y el número de asistencia a la iglesia.
  3. La razón entre el número de hombres y el número de asistentes a la iglesia.

E. Identifica las razones que forman una proporción en los siguientes casos:

  1. 3/7 y 6/10
  2. 4/6 y 8/18
  3. 2/4 y 3,5/7

F. Encuentra una razón que forme una proporción:

  1. 5/9=
  2. 24/48=
  3. 3/4=
  4. 0,5/4=

G. Determinar el valor de x en cada proporción:

  1. 2/12 = x/48
  2. 6 : x+1 = 5 : 40
  3. 0,4 : x-1 =10 : 4,5
  4. 1/2 = 5/x

H. Interpreta, escribe la razón que represente y determina si forma una proporción:

  • La mitad de las 350 aves de un galpón M, están contagiadas de gripe aviar. De las 220 aves de un galpón N, 200 están contagiadas de gripe aviar.

I. Resuelve:

  • Con 150g de harina se preparan 8 galletas. ¿Cuántos gramos de harina se necesitan para preparar 34 galletas?
  • En una escuela la cantidad de profesores debe ser proporcional a la cantidad de estudiantes. Si se deben contratar 2 profesores por cada 30 estudiantes y, actualmente, hay en la escuela 26 profesores y 390 estudiantes. ¿Se está cumpliendo la proporción de profesores y estudiantes en la escuela?

J. Diga si la proporción es continua o discreta:

  1. 2/0,2 = 0,2/0,02
  2. 4/10 = 100/250
  3. 9/10 = 4,5/5

Respuestas

A continuación, aquí tienes las respuestas estructuradas por partes:

A

  1. 8:10
  2. 5:7
  3. 5:10

B

  1. 6:11
  2. 25:1/2
  3. 1/5:13

C

  1. Razón ancho/largo: 1:2.
  2. Razón estatura padre/David: 162:155 o 1,62:1,55.
  3. Más económico: Ambas bolsas tienen el mismo precio por kg.

D

  1. Mujeres : hombres = 85:70
  2. Mujeres : asistentes = 85:155
  3. Hombres : asistentes = 70:155

E

  1. No forman proporción.
  2. No forman proporción.
  3. Sí forman proporción.

F

  1. 5/9 = 10/18
  2. 24/48 = 1/2
  3. 3/4 = 6/8
  4. 0,5/4 = 1/8

G

  1. x = 8
  2. x = 47
  3. x = 1,3
  4. x =10

H

  • Razón en galpón M: 175:350 (1:2)
  • Razón en galpón N: 200:220
  • No forman una proporción.

I

  1. Gramos de harina para 34 galletas: 637,5g.
  2. Sí se cumple la proporción.

J

  1. Continua (el medio se repite: 0,2).
  2. Discreta.
  3. Discreta.

Si te gustó este contenido, no olvides dejar tus comentarios y compartir. 😊

Rectas y puntos notables de un triángulo

por
Rectas y puntos notables de un triángulo

GranjeroSi estás buscando rectas y puntos notables de un triángulo, no te vayas, este es el lugar correcto para profundizar en este tema. Para ello, comenzaremos con este ejemplo de la vida diaria: Pedro es un hacendado que tiene una casa y una granja donde cría ganado, vacas, caballos, ovejas y cerdos, actualmente la población es cada vez más elevada y requiere de tres veterinario y dos ayudantes.
Para esta situación, piensa crear dos casas, una para los médicos y otra para los ayudantes. Pero desea que todas las casas estén a la misma distancia respecto a la granja, para que todos lleguen al mismo tiempo y atiendan a sus animales. Para esto contrata un ingeniero y este soluciona esta situación aplicando el circuncentro, este circuncentro es donde ubica a la granja para que las tres casas lleguen a tener las mismas distancias.

¿Qué son la rectas notables de un triángulo?

Son rectas concurrentes que expresan varias particularidades específicas, como sus puntos de concurrencia o puntos notables, propiedades geométricas, relaciones con la circunferencia y el tipo de triángulo.

¿Cuántos tipos de rectas notables existen en un triángulo?

Existen cuatro tipos de rectas nobles, cada una con características y funciones geométricas específicas, ellas son llamadas:

  1. Medianas,
  2. Bisectrices,
  3. Alturas y
  4. Mediatrices.

Truco de memoria # 1

Para facilitar tu aprendizaje y la memorización, a lo largo de este post se identificará a este conjunto de rectas con las siglas MBAM, formada por la inicial de cada una:

MBAMM → Medianas.
B → Bisectrices.
A → Alturas.
M → Mediatrices.

Recuerda la palabra MBAM como una clave rápida para no olvidar ninguna de las rectas notables del triángulo.

¿Qué son los puntos notables de un triángulo?

En un triángulo existen cuatro puntos notables, los cuales se obtienen a partir de la intersección de las rectas notables. Estos puntos concentran propiedades interesantes lo cual ayuda analizar el equilibrio, la simetría y el comportamiento geométrico del triángulo.

¿Qué nombre reciben estos puntos?

Son denominados con el nombre de:

  1. Baricentro.
  2. Incentro.
  3. Ortocentro.
  4. Circuncentro.

Truco de memoria # 2

Para facilitar tu aprendizaje y la memorización, el conjunto de estos puntos se identificará con las siglas MBAM, formada por la inicial de cada uno:

PuntosB → Baricentro.
I → Incentro.
O → Ortocentro
C → Circuncentro.

¿Cómo se obtiene el baricentro y para qué sirve?

Se obtiene al trazar las tres medianas del triángulo, las cuales se intersecan en un punto común denominado baricentro y sirve para:

  1. Representar el equilibrio o centro de gravedad del triángulo
  2. Divide cada mediana en una razón 2:1.

¿Cómo se forma el incentro y qué finalidad tiene?

Se forma cuando se intersecan las tres bisectrices. Su finalidad es:

  • Representa el centro de la circunferencia inscrita, este punto siempre esta posicionado dentro de cualquier triángulo.

¿Cómo se construye el ortocentro y qué función cumple?

Se construye cuando se intersecan las tres alturas del triángulo. Su función es:

  • Estudiar triángulos acutángulos, rectángulos y obtusángulos.

¿Cómo se origina el circuncentro y cuál es su utilidad?

Cuando se trazan las tres mediatrices se forma un punto llamado circuncentro. Su utilidad es la siguiente:

  • Ser el centro de la circunferencia circunscrita. Este punto puede estar dentro, sobre o fuera del triángulo.

Truco de memoria # 3

Para memorizar las rectas y sus puntos notables originados se recomienda este pequeño bloque:

MBAM-BIOCM → B
B   → I
A  → O
M → C

Explicación sencilla de las rectas notables

A continuación, te presento una explicación sencilla de cada recta y sus propiedades

Medianas de un triángulo

Lo primero que debes saber, es que son tres segmentos trazados desde los puntos medios de cada lado del triángulo hasta sus vértices opuestos.
Al dibujar las tres medianas en el triángulo estas líneas llegan a concurrir en un punto llamado baricentro.

mediana 1

Propiedades de las medianas

Las medianas de un triángulo presentan varias propiedades geométricas importantes que es fundamental conocer y comprender, ya que permiten analizar la estructura del triángulo y resolver diversos problemas geométricos. A continuación, las principales propiedades de las medianas:

I. Cada mediana dibujada divide al triángulo en dos áreas iguales. Observa la imagen:

mediana 2

II. El punto donde concurren las tres medianas es llamado baricentro representando el centro de masa del triángulo.

Baricentro

III. Para todo tipo de triángulo el baricentro es localizado en el interior del triángulo.

IV. El baricentro divide en dos segmentos a la mediana, donde uno de ellos es el doble que el otro. La parte del segmento dirigida del vértice del triángulo al baricentro siempre es el doble que la otra que va del baricentro a la mitad del lado opuesto del vértice.

mediana 3

V. Si el triángulo posee el valor de todos los lados, se puede determinar la longitud de cada mediana aplicando las siguientes fórmulas:

Fórmulas de la mediana

Donde:

  • Longitud de la mediana correspondiente al lado a: ma 
  • Esta longitud de la mediana corresponde al lado b: mb
  • Longitud de la mediana correspondiente al lado c: mc

Mediatrices de un triángulo

Mediatrices-CircuncentroSon rectas perpendiculares trazadas desde el punto medio de cada lado del triángulo. Estas tres mediatrices concurren en un punto llamado circuncentro.

Propiedades de las mediatrices

Las propiedades de las mediatrices son:

I. En primer lugar, el punto circuncentro representa el centro de una circunferencia circunscrita que pasa por los vértices del triángulo.

Circunferencia circunscrita mediatrices circuncentro

II. Posteriormente, el circuncentro equidista de los tres vértices del triángulo, es decir es la misma distancia del circuncentro a cualquier vértice del triángulo.

III. Por último, hay que tener en cuenta que las ubicaciones del circuncentro varía dependiendo del tipo de triángulo:

Lo primero, es que para el acutángulo, el circuncentro se ubica en la zona interna del triángulo.

Por consiguiente, para el rectángulo, la ubicación del circuncentro es en la mitad de la hipotenusa.

Mediatrices circuncentro triangulo rectángulo

Asimismo, en el obtusángulo, el circuncentro es posicionado en el exterior del triángulo.

Mediatrices circuncentro triangulo obtusángulo

Alturas de un triángulo

Altura ortocentroSon segmentos trazados perpendicularmente respecto a cada lado del triángulo hasta su vértice opuesto.

Como resultado, estas 3 alturas del triángulo concurren en un punto llamado ortocentro.

Propiedades de las alturas

Asimismo, aquí tienes las propiedades de las alturas son:

I. En primer lugar, se encuentra el ortocentro, el cual es ubicado dependiendo el tipo de triángulo:

Lo primero, es saber que en el acutángulo, el ortocentro es ubicado en el interior del triángulo.

Ortocentro en un triangulo acutángulo

Asimismo, en el rectángulo, el ortocentro se encuentra en el vértice del ángulo recto.

Ortocentro en un triangulo rectángulo

Por último, en el obtusángulo, el circuncentro está en el exterior del triángulo.

II. Posteriormente, hay que tener en cuenta las alturas son esenciales para el cálculo del área de un triángulo.

Bisectrices de un triángulo

Bisectriz incentroMientras tanto, las bisectrices son rectas que dividen al ángulo en dos partes iguales, al formarse las tres rectas concurren en un punto llamado incentro.

Propiedades de las bisectrices

Son varias las propiedades de las bisectrices ellas son:

I. En primer lugar, se encuentra el incentro siempre es ubicado en el interior de cualquier triángulo.

II. Además, la segunda propiedad es el punto incentro, es el centro de una circunferencia inscrita en el triángulo. Claro está, esta circunferencia siempre toca cada lado del triángulo, es decir que es tangente a cada uno de ellos.

III. Finalmente, la distancia es igual desde el incentro hasta cada lado del triángulo midiéndose de forma perpendicular.

Bisectriz incentro circunferencia inscrita

Cuestionario

¿Te animas a comprobar qué tanto dominas las rectas y los puntos notables del triángulo? 📐
Te invito a que presentes un cuestionario corto y dinámico te ayudará a reforzar lo aprendido, aclarar dudas y ganar seguridad en geometría. No es solo para evaluar, sino para aprender mientras practicas. Haz clic, respóndelo con calma y descubre tu nivel. ¡Tú puedes!

Tabla resumen

Aquí te muestro una tabla para que memorices fácilmente cada recta y su punto notable con una característica resaltante.

Rectas

Sigla

Puntos

Sigla

Combinación de la iniciales

Características resaltantes

Medianas

MBAM

Baricentro

BIOC

M → B

Se logra el centro de gravedad en el triángulo.

Bisectrices

Incentro

B → I

Representa el centro de una circunferencia inscrita en el triángulo.

Alturas

Ortocentro

A → O

Las alturas son fundamentales en el cálculo de áreas.

Mediatrices

Circuncentro

M → C

Representa el centro de una circunferencia circunscrita en el triángulo.

¿Quieres practicar más con un tutor?

Podemos preparar una sesión personalizada con ejercicios guiados, resolución paso a paso y seguimiento del progreso.

Solicita una tutoría

Actividades

Por último, aquí te dejo algunas actividades para que refuerces el contenido aprendido. Por lo tanto, no esperes más y pon manos a la obra.

I. Construye un triángulo isósceles y encuentra el circuncentro, baricentro, y el incentro ¿Dónde quedan ubicados los puntos?

II. Dibuja un triángulo equilátero y encuentra todos los puntos notables. ¿Qué pasa con los puntos?

III. La distancia del baricentro de un triángulo al punto medio de un lado es de 7cm. ¿Cuánto mide la mediana?

IV. La distancia del baricentro a un vértice es 10cm. ¿Cuál es el valor de la mediana?

V. Una de las medianas de un triángulo mide 20cm. ¿Cuál es la distancia del vértice al baricentro?

Finalmente, ahora que ya conoces más acerca de las rectas y puntos notables de un triángulo es momento que profundices en el tema con la práctica. También comenta y comparte este contenido, de esta manera nos ayudas a crecer.

Propiedades de la potenciación de números enteros

por
Propiedades-de-la-potenciación-de-números-enteros

Caja cúbicaSi estás buscando las propiedades de la potenciación de números enteros has llegado al lugar indicado. En nuestra vida cotidiana el uso de estas propiedades se hace con mucha frecuencia. Aunque no lo notes, en este post te darás cuenta lo importante de saber su aplicación.
Por ejemplo, se quiere calcular el volumen de una caja con forma de cubo cuyos lados miden 10 cm, el procedimiento sería el siguiente:

1. Multiplicar la base diez tres veces$$V=10.10.10$$

2. Volumen de la caja es:$$V=10.10.10=10^{3}=1000$$

Es decir$$V=1000cm^{3}$$

¿Qué propiedad de la potenciación de números enteros se aplicó en esta situación?

Propiedades de la potenciación de números enteros

OperacionesLa potenciación es una operación matemática que consiste en multiplicar un número por sí mismo llamado «base» según lo que exprese el exponente. La potenciación se puede presentar de diversas formas y para poderlas resolver correctamente, es fundamental aplicar las propiedades de la potenciación. A continuación, se detallan cada una de estas propiedades.

  1. Producto de potencias de igual base.
  2. Cociente de potencias de igual base.
  3. Potencia de una potencia.
  4. Potencia de un producto.
  5. Potencia de un cociente.
  6. Exponente cero.
  7. Exponente uno.
  8. Potencia de uno.

Tabla de las propiedades

 

PropiedadFórmulaIdea en palabras
Producto de potencias (misma base)\(a^m\times a^n = a^{m+n}\)Se suman los exponentes.
Cociente de potencias (misma base)\(\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\) (si \(a\neq0\))Se restan los exponentes.
Potencia de una potencia\((a^m)^n = a^{m\cdot n}\)Se multiplican los exponentes.
Potencia de un producto\((ab)^n = a^n b^n\)El exponente se aplica a cada factor.
Potencia de un cociente\(\left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n}\) \(b\neq0\)El exponente se aplica al numerador y denominador.
Exponente 0\(a^0 = 1\) (si \(a\neq0\))Cualquier número distinto de cero elevado a 0 es 1.
Exponente 1\(a^1 = a\)Elevar a 1 deja el número igual.
Potencia de 1\(1^n = 1\)Multiplicar 1 por sí mismo siempre da 1.

Producto de potencias de igual base

En esta propiedad, se escribe la misma base y se suman los exponentes. En este caso las bases (a) son iguales y se multiplican, cada base posee un exponente (m) y (n) y el resultado es la misma base (a) y el exponente resultante es la sumatoria de los exponentes de cada base. Observe su simbolización:$$a^{m}.a^{n}=a^{m+n}$$

Ejemplo#1: Transforma la siguiente operación en una única potencia y resuelva la potenciación.

$$3^{5}.3^{3}=$$
$$=3^{5+3}$$
$$=3^{8}$$

Para finalizar, se resuelve la potenciación:$$3^{8}=3.3.3.3.3.3.3.3=6561$$

Ejemplo#2: Expresa la siguiente operación en una sola potencia.

$$(-5)^{3}\cdot (-5)^{4}=$$

Solución: Como posee bases iguales se aplica la propiedad de producto de potencias de igual base.
$$=(-5)^{3+4}$$
$$=(-5)^{7}$$

Ejemplo#3: Exprese el siguiente enunciado como una sola potencia.

$$(-8)^{2}\cdot (-8)^{6}\cdot (-8)^{10}\cdot (-8)^{5}=$$

Solución: Son bases iguales se aplica la misma propiedad del ejercicio anterior.
$$=(-8)^{2+6+10+5}$$
$$=(-8)^{23}$$

Cociente de potencias de igual base

El cociente de potencias de igual base es una propiedad que simplifica la división de expresiones exponenciales. Cuando divides dos potencias que tienen la misma base, mantienes la base y restas el exponente del divisor al exponente del dividendo. Su simbolización es:$$a^{m}\div a^{n}=a^{m-n}$$

Ejemplo#1: Convierte la siguiente operación en una sola potencia y luego resuélvela.

$$(-9)^{5}\div (-9)^{2}=$$
$$=(-9)^{5-2}$$
$$=(-9)^{3}$$

Se resuelve la potenciación$$=(-9)\cdot(-9)\cdot(-9)=-729 $$

$$\boxed{(-9)^{5}\div (-9)^{2}=-729 }$$

Ejemplo#2: Transforma la siguiente expresión en una sola potencia

$$12^{11}\div 12^{9}=$$
$$=12^{11-9}$$
$$=12^{2}$$

Potencia de una potencia

En este caso la base (a), posee un exponente (m) y a su vez este exponente posee otro exponente (n) el resultado es la base (a) y el exponente resultante es la multiplicación de los exponentes. Observa su simbolización:$$(a^{m})^{n}=a^{m\cdot n }$$

Ejemplo#1: Un programador está diseñando un algoritmo para generar códigos de seguridad.

  • La primera parte del código puede tener hasta 43 combinaciones diferentes.
  • La segunda parte del código se genera elevando el número de combinaciones de la primera parte al cuadrado.

¿Cuántas combinaciones de códigos se pueden generar en total?

Solución:

Se eleva al cuadrado la primera combinación, luego se aplica la propiedad potencia de potencia.

$$(4^{3})^{2}=$$
$$=4^{3\cdot 2 }$$
$$4^{6}=4\cdot4\cdot4\cdot4\cdot4\cdot4\cdot=4096$$

Respuesta: Existe 4096 combinaciones de códigos.

Ejemplo#2: Expresar en una sola potencia.

$$\left [ \left ( -5 \right )^{5} \right ]^{3}=$$
$$=\left ( -5 \right )^{5\cdot 3}$$
$$=\left ( -5 \right )^{15}$$

Potencia de un producto

En este caso ambas bases (a y b) se multiplican son diferentes y están elevadas.

Para resolverlo debes multiplicar el exponente (m) por el exponente de cada base (a y b), finalmente resuelve ambas potencias y multiplicas ambos resultados. Su simbolización es$$\left ( a\cdot b \right )^{m}=a^{m}\cdot b^{m}$$

Ejemplo: Resuelva

$$\left [ \left ( 6 \right )\cdot \left ( -4 \right ) \right ]^{3}=$$
$$=6^{3}\cdot (-4)^{3}$$
$$=216\cdot(-64) $$
$$=-13\, 824$$

Potencia de un cociente

En este caso las bases (a y b) son diferentes se dividen y elevados a un exponente (m), el resultado es que el exponente (m) multiplica con cada exponente de ambas bases. Observa su simbolización$$(a\div b)^{m}=a^{m}\div b^{m}$$

Ejemplo: Resuelva y exprese en potencia.

$$\left [ (-20)\div (4) \right ]^{4}=$$
$$=(-20)^{4}\div (4)^{4}$$

Exponente cero

En este caso toda base que esté elevada a la 0 (cero) siempre el resultado es 1 (uno). su simbolización es$$a^{0}=1$$

Ejemplo: Resuelva.

$$\frac{8^{12}}{8^{12}}=$$
$$=8^{12-12}$$
$$=8^{0}=1$$

Exponente uno

Cualquier número (base) que se encuentre elevado a la 1 el resultado siempre es el mismo valor inicial. Su simbolización es$$a^{1}=a$$

Ejemplo: 

$$1\, 500^{1}=1\, 500$$

Potencia de uno

Esta propiedad establece que el número uno, elevado a cualquier exponente n, siempre es igual a uno. Esto ocurre porque al multiplicar el 1 por sí mismo, no importa cuántas veces, el resultado nunca cambia. Su simbolización es$$1^{n}=1$$

Ejemplo:

$$1^{1000}=1$$

Errores comunes

  • Confundir suma con multiplicación de exponentes: \(a^m + a^n \neq a^{m+n}\). La suma no permite sumar exponentes.
  • Olvidar la base: No se pueden combinar potencias si las bases son distintas (por ejemplo, \(2^3\times3^2\) no se simplifica sumando exponentes).
  • Casos con signos negativos: \((-2)^3 = -8\). Use paréntesis para indicar que la base es negativa.

Ejemplo. Aplique las propiedades de la potenciación y exprese el resultado en una sola potencia

$$\frac{(-2^{3})^{2}\cdot (-2^{4})^{3}\cdot (-2^{9})^{7}}{(-2^{8})^{2}\cdot (-2)}
=$$
$$ =\frac{(-2)^6 \cdot (-2)^{12} \cdot (-2)^{63}}{(-2)^{16}\cdot (-2)}$$
$$= \frac{(-2)^{81}}{(-2)^{17}}$$
$$ \boxed{(-2)^{64}}$$

$$\frac{(3^4)^2 \cdot (3^5)^{-3}}{(3^2)^3 \cdot (3)^{-4}}
=$$
$$ =\frac{3^8 \cdot 3^{-15}}{3^6 \cdot 3^{-4}}$$
$$ =\frac{3^{-7}}{3^2}$$
$$ \boxed{3^{-9}}$$

Ejercicios para practicar 

Intenta resolver antes de mirar la respuesta.

1. Calcula: \(2^4\times2^3\).

Mostrar solución
\(2^{4+3}=2^7=128\)

2. Calcula: \(\dfrac{5^6}{5^2}\).

Mostrar solución
\(5^{6-2}=5^4=625\)

3. Simplifica: \((3^2)^4\).

Mostrar solución
\(3^{2\cdot4}=3^8=6561\)

4. Simplifica: \((2\cdot 7)^3\).

Mostrar solución
\(2^3\cdot7^3=8\cdot343=2744\)

5. ¿Qué pasa con \(a^m\times b^m\)? (Respuesta en palabras)

Mostrar solución
Se puede escribir como \((ab)^m\) si los factores están multiplicados antes de elevar. Es decir, \(a^m\times b^m = (ab)^m\).

 

¿Quieres practicar más con un tutor?

Podemos preparar una sesión personalizada con ejercicios guiados, resolución paso a paso y seguimiento del progreso.

Solicita una tutoría

 

Actividades 

I.Resuelva:

$$2^{3}.2^{2} = $$

$$5^{1}.5^{4}=$$

$$4^{2}.4^{3}=$$

¿Qué ocurre con los exponentes al multiplicar potencias con la misma base?

II.Determinar:

$$\frac{6^{4}}{6^{6}}=$$

$$\frac{10^{5}}{10^{3}}=$$

$$\frac{3^{6}}{3^{3}}=$$

¿Qué ocurre con los exponentes al dividir potencias con la misma base?

III. Calcula

$$(-3^{3})^{4}=$$

$$(102^{3})^{0}=$$

$$(12^{2})^{2}=$$

¿Qué observas sobre los exponentes al aplicar la propiedad de la potencia de una potencia?

IV.Encuentra el valor de x a partir de las condiciones dadas.

$$4^{x}\cdot 4^{5}=4^{12}$$
$$(-158)^{x}=1$$
$$34^{9}\div 34^{x}=347$$
$$(8^{2})^{x}=64$$
$$(-10)^{x}=-1000$$
$$2^{5}\div 2^{x}=2^{3}$$

V.Responde y justifica tu respuesta.

  • En la igualdad (-1)n = -1. ¿El exponente puede ser cero?
  • Se puede afirmar que (-5)2 ¿es lo mismo que 52

VI.Resuelva:

$$\frac{(2^3)^4 \cdot (2^{-5})^2 \cdot (3^2)^{-3}}{(2^6 \cdot 3^{-4}) \cdot (2^{-2}\cdot 3^5)}=$$
$$\frac{((-3)^2)^{-3}\cdot (5^{-1})^4 \cdot (-3)^5}{((-3)^{-4}\cdot 5^3)\cdot (5^{-2})}=$$

Respuesta:

$$\frac{(2^3)^4 \cdot (2^{-5})^2 \cdot (3^2)^{-3}}{(2^6 \cdot 3^{-4}) \cdot (2^{-2}\cdot 3^5)}
= 2^{-2}\cdot 3^{-4}$$

$$\frac{((-3)^2)^{-3}\cdot (5^{-1})^4 \cdot (-3)^5}{((-3)^{-4}\cdot 5^3)\cdot (5^{-2})}
= (-3)^{11}\cdot 5^{-5}$$

VII.Simplifica cada expresión usando las propiedades de la potenciación en números enteros. El objetivo es dejarla como una única potencia (o producto de pocas potencias).

$$\frac{2^5 \cdot 2^{-3}}{2^4}$$
$$\frac{(3^2)^4 \cdot 3^{-5}}{3^3 \cdot (3^{-1})^2}$$
$$\frac{(-2^3)^2 \cdot (-2^4)^{-3} \cdot (-2)^{10}}{(-2^2)^5 \cdot (-2)^{-6}}$$
$$\frac{(5^{-2})^3 \cdot (5^4)^2}{5^{-5}\cdot (5^3)^{-2}}$$

VIII.Trabajo en pareja: crear 3 problemas reales donde aparezcan potencias (volumen, áreas, programación simple).

IX.Juego: tarjetas con potencias para emparejar (por valor y por forma simplificada).

X.Reto rápido: en 5 minutos, simplificar la mayor cantidad de expresiones usando las propiedades.

Ahora que ya conoces las propiedades de la potenciación de números enteros es hora de poner manos a la obra, práctica cada uno de los casos y podrás mejorar tus habilidades con este contenido.

No olvides dejarnos tus comentarios, suscribirte y compartir nuestro contenido para seguir creciendo.

1