Si estás buscando una explicación fácil de derivadas por definición has llegado al lugar correcto. Comencemos con el siguiente ejemplo de la vida diaria: David tiene una lancha, y un compañero de clase desarrolló una función matemática que describe la posición de su nave en función al tiempo.
La expresión conseguida es: f(t) = 4t 2 + 3t +1, donde “f” es la posición en unidades de metros y “t” es el tiempo en unidades de segundos. Esta función permite modelar con una alta precisión el movimiento de su máquina.
Posteriormente derivó la función con la finalidad de obtener la velocidad para cualquier instante de tiempo, obteniendo :
f´(t) = 8t + 3. Con esta invención David está feliz ya que puede conocer la velocidad de su lancha para cualquier instante de tiempo.
Definición
La derivada f´( x ), es el límite de la razón del incremento de la función “ ∆y ” es al incremento de la variable independiente “ ∆x ”, cuando éste tiende a cero.
$$ f'(x)=\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta _{y}}{\Delta {x}} $$
Los aspectos fundamentales que debes tener presente es una serie de características que ayudan a la interpretación geométrica de la derivada, partiendo desde aquí vas a tener una idea más clara para el desarrollo de las derivadas por definición.
Primero te muestro una imagen con estas características y segundo te doy un breve resumen de cada una de ellas.
Resumen:
I.
A(x, f(x)) es el punto amarillo
II.
B((x +∆x), f (x + ∆x)) es el punto azul.
III.
B se desplaza hasta el punto A.
IV.
El incremento de la variable independiente tiende a cero ∆x → 0.
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Actividades
Determine las derivadas de cada función utilizando la definición formal de la derivada.
I.
$$ f(x) = x^{5} $$
II.
$$ f(x) = 3x+5 $$
III.
$$ f(x) = \sqrt{x} $$
IV.
$$ f(x) = \frac{1}{x} $$
V.
$$ f(x) = x^{3}-4x $$
Ahora que ya sabes más de derivadas por definición, pon manos a la obra y resuelve más ejercicios para practicar este contenido. Déjanos tus comentarios y comparte este contenido, así nos ayudas a seguir creciendo.
Si buscas profundizar en la interpretación geométrica de la derivada, aquí tienes una explicación fácil, te encantará este contenido. Comencemos con el siguiente ejemplo: un chico sale todos los días por la mañana a manejar bicicleta y en su recorrido se encuentra una colina casi siempre fangosa llena de subidas y bajadas. En esta y en muchas otras situaciones de la vida diaria es donde es aplicable la derivada, debido a la presencia de variadas pendientes. Aplicar la derivada en un punto específico permite precisar qué subidas o bajadas son más empinadas que otras.
Origen histórico
El surgimiento de la súper idea fantástica de la derivada y su interpretación se debe a las investigaciones que realizó Isaac Newton y Gottfried Leibniz por allá en el siglo XVII. Ambos matemáticos desarrollaron de manera independiente el cálculo diferencial, sentando las bases de esta rama fundamental de las matemáticas.
Terminologías que facilita la comprensión geométrica de la derivada
El fin de la derivada es conocer que tan la inclinado está un segmento o una recta en un punto específico de la curva de una función.
Si un tramo la curva sube, es porque en un punto en ella la pendiente del segmento es positiva, pero si en un intervalo la curva baja, la pendiente es negativa. A continuación, la terminología que facilita la interpretación geométricamente la derivada.
I.Línea secante: La palabra secante es proveniente del latín “secare”, su significado es “cortar”. Puede trazarse como un segmento o una recta, y es una línea secante siempre y cuando sea:
Una línea cortando a una curva: Para este caso la línea secante corta en al menos dos puntos sobre una curva.
Una línea corta a otra línea: Es llamada línea secante cuando corta a otra línea en un punto específico.
Observa la imagen donde la función es una parábola y su curva es de color negro:
II. Línea tangente: Es una línea que toca a una curva en un punto, este punto recibe el nombre de “punto tangencia” y la línea es llamada tangente. Esta línea al igual que la línea secante puede trazarse como un segmento o como una recta.
La imagen a continuación, muestra la misma función anterior, la recta tangente y el punto tangencia denominado con la letra “A”.
Transformación de recta secante a tangente
Para lograr la transformación de un tipo de recta a otra debes cumplir con los siguientes pasos:
I. Seleccionar un punto de la recta secante.
II. Mover ese punto hasta que llegue al otro.
III. Trazar la recta tangente debido al surgimiento del punto tangencia.
Observa la imagen, la función es la misma parábola con una recta secante, un punto “B” desplazándose hasta convertirse en un punto tangencia.
Explicación paso a paso
Cada paso te ayudará a comprender más a fondo la definición de la derivada, léelo con mucha atención y luego lo pones en práctica.
I.Graficar la función. En este caso se utiliza la función:
$$ f(x)=x^{2}$$
II.Trazar una recta secante que intercepte en dos puntos (A y B) a la curva de la función.
III. Coordenadas del punto A y B:
$$A\left ( x, f(x) \right )$$
$$B\left ( \left ( x+\Delta x \right ),f\left ( x+\Delta x \right ) \right )$$
IV. Fórmula de la pendiente:
$$m=\frac{\Delta y}{\Delta x}$$
$$m=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$$
V. Pendiente de la recta secante. Sustituir las coordenadas de ambos puntos en la fórmula de la pendiente:
Donde:
$$y_{2}=f(x+\Delta x)$$
$$y_{1}=f(x)$$
$$x_{2}=x+\Delta x$$
$$x_{1}=x$$
Reemplazando, en la fórmula pendiente de la secante queda así:
$$m=\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{x+\Delta x-x}$$
$$m=\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$$
VI. Transformación: Para este paso, verás cuatro imágenes donde puedes apreciar la evolución de la transformación de un tipo de recta a otra.
Observa en cada una de ellas como el punto B se acerca al punto A. La distancia tanto en ∆y como en ∆x muestra progresivamente una disminución. Finalmente, el punto se convierte en un punto tangencia y la distancia en ∆y y ∆x tiende a cero.
VII. Definición de la derivada: Cuando la pendiente de la recta es tangente la expresión en ese punto es el límite que:
$$\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0}\frac{f\left ( x+\Delta x \right )-f\left ( x \right )}{\Delta x}$$
Por lo tanto:
La derivada de la función es igual a la evaluación del límite cuando Δx tiende a cero de la diferencia de f ( x + ∆x ) y f ( x ) dividido por ∆x .
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Actividades
I. Trabaja con el software GeoGebra y construye una curva con varias rectas tangentes.
a. Ingresa la función:
$$f(x)=x^{3}-3x^{2}+1$$
b. Selecciona el botón de herramienta “Punto” y ubícalo donde desees en la curva.
c. Selecciona el botón de herramienta “Tangentes”.
d. Selecciona el botón de herramienta “Pendiente”.
e. Tocar cada recta tangente.
Te invito a comparar y a emitir una conclusión en cada punto. No olvides comentar y compartir este contenido, de esta forma nos ayudas a seguir creciendo.
En este post vas a aprender sobre los límitesdefiniciones ejemplos y asíntotas, conceptos fundamentales que te ayudarán a comprender cómo se comportan las funciones en puntos específicos.
Cuando analizas una gráfica, notarás que al acercarse los valores de x a cierto punto, la función tiende a aproximarse a un valor determinado. Esa “tendencia de acercamiento”, incluso si la función no llega exactamente a ese valor, es lo que llamamos límite.
Comprender esta idea no solo te permitirá interpretar mejor las gráficas, sino que también te abrirá la puerta al estudio del Cálculo, ya que los límites son la base para entender conceptos más avanzados como la derivada y la continuidad.
¿Qué es un límite?
Imagina que vas conduciendo y ves una señal de límite de velocidad. Ese número es una frontera. En matemáticas, el concepto es similar: un límite es el valor al que se «aproxima» una funciónf(x) a medida que la variable x se acerca a un punto determinado.
¿Cómo se escriben y cómo se leen los límites?
En lenguaje matemático, un límite se expresa así:$$\displaystyle \lim_{x \to a}f(x)=L$$
Se lee:
El límite de la función f(x), cuando x se acerca a a,es L
¿Qué significa realmente?
Significa que cuando tomas valores de x muy cercanos a a (por la izquierda y por la derecha), los valores de la función f (x) se aproximan cada vez más al número L.
Observa este detalle:
x se acerca a a, pero no necesariamente es igual a a.
Idea clave que debes recordar
Decir que:
$$\displaystyle \lim_{x \to a}f(x)=L$$
Significa que:
Cuando x está muy cerca de a, aunque sea diferente de a, los valores de f (x) están muy cerca de L.
El límite estudia el comportamiento de la función alrededor del punto, no exactamente en el punto.
El límite estudia el valor al que se acercan los resultados de la función, aunque la función no esté definida en ese punto.
Límites Laterales: acercándose por la Izquierda y la Derecha
No siempre se llega a un punto desde la misma dirección. Para que un límite sea sólido, debes analizar qué pasa cuando vienes desde los números menores (izquierda) y desde los mayores (derecha).
Límite por la izquierda: Se denota como $$\lim_{x \to b^{-}} f(x)=L$$Se utiliza el signo (-) como referencia del lado izquierdo. Entonces el límite cuando x tiende a b por la izquierda es L
Límite por la derecha: Se denota como $$\lim_{x \to b^{+}} f(x)=M$$Se usa el signo (+) como referencia del lado derecho. Por lo tanto el límite cuando x tiende a b por la derecha es M
La existencia o la no existencia del límite de una función depende de los límites laterales. Si se generan los mismos límites laterales (por la izquierda y por la derecha) entonces existe un límite de la función$$\lim_{x \to b^{-}} f(x)=\lim_{x \to b^{+}} f(x)=L$$Pero si se generan distintos límites laterales (por la izquierda y por la derecha) el límite de la función no existe.
Ejemplo
Crear la gráfica de f (x) y determinar los límites laterales cuando x tiende a 2.
Paso 1: Gráfica
Paso 2: Límite lateral izquierdo:
En la gráfica puedes observar que cuando x tiende a 2– la función f ( x ) = 2
Paso 3: Límite lateral derecho:
En la gráfica puedes observar que cuando x tiende a 2+ la función f ( x ) = 1
El resultado de los límites laterales no coinciden, esto quiere decir que el límite de la función f ( x ) NO EXISTE
Cómo calcular límites
Existen dos maneras principales para resolver un límite. La primera es la sustitución directa y la segunda es el uso de propiedades algebraicas.
A. Principio de sustitución directa
Es el primer paso obligado. Consiste en reemplazar el valor de x por el número al que tiende (b).
Si al evaluar f (b) obtienes un número real, ¡felicidades!, ese es el resultado del límite.
Ejemplo 1
Resuelve el siguiente límite$$\displaystyle \lim_{x \to 2^{+}}\sqrt{3x^{2}-8}=$$
¡Muy bien! Lograste evaluar correctamente el límite.
Indeterminación 0/0
Al aplicar la sustitución directa, te puedes conseguir con un muro: la forma 0/0. Esto no significa que el límite no exista, sino que está «escondido».
Para encontrarlo, debes eliminar la indeterminación.
Nota técnica: Recuerda que en cálculo, siempre se trabaja con radianes. Si tu ejercicio está en grados, conviértelos primero para evitar errores en los resultados.
Al calcular límites en el infinito de funciones racionales, es frecuente encontrar el resultado ∞/∞.
Para «romper» esta indeterminación de forma profesional, se divide cada término por la x de mayor grado.
Igualdades simbólicas que debes memorizar
Las igualdades simbólicas son fundamentales en el estudio de los límites, ya que permiten interpretar el comportamiento de las funciones cuando las variables se acercan a valores críticos como 0 o ∞.
Estas expresiones no deben entenderse como operaciones aritméticas comunes, sino como reglas que describen tendencias (por ejemplo, crecimiento sin cota o aproximación a cero).
Su aplicación es clave para identificar límites infinitos, resolver indeterminaciones y simplificar expresiones, facilitando el análisis de funciones en situaciones donde la sustitución directa no es posible.
A continuación, la tabla de igualdades simbólicas, donde kes una constante:
$$k.0=0$$
$$\frac{k}{0}=\infty $$
$$\frac{0}{k}=0$$
$$k.\infty=\infty$$
$$\frac{k}{\infty}=0$$
$$\frac{\infty}{k}=\infty$$
$$k\pm \infty=\pm \infty$$
$$(\pm \infty)+(\pm \infty)=\pm \infty$$
El truco de los grados (criterios rápidos de resolución)
Para optimizar el cálculo de límites de funciones racionales cuando x →∞, no siempre es necesario recurrir a la división por la mayor potencia. Puedes determinarlo comparando el grado del polinomio superior (P) con el grado del polinomio inferior (Q).
Esta relación de potencias define tres escenarios fundamentales:
1. Numerador de mayor grado P (x) >Q (x)
Si el grado del numerador es mayor, este crece a un ritmo que el denominador no puede compensar. Al no encontrar un equilibrio, la función no se estabiliza en un valor real específico, sino que diverge.
Esto significa que, a medida que x aumenta, el valor de ycrece (o decrece) sin control, proyectándose hacia el infinito.
Entonces, el límite tiende a ±∞.
2. Denominador de mayor grado Q (x) > P (x)
Cuando el grado del denominador es mayor, el valor de Q (x) crece a una tasa significativamente superior a la de P (x). En términos de análisis, la fracción tiende a “desvanecerse” a medida que x aumenta.
Ejemplo: Imagínate repartir dos panes entre toda la población del mundo, al final a cada uno no le toca prácticamente nada.
Por lo tanto el límite tiende a cero.
3. Equivalencia de grados P (x) = Q (x)
En este escenario, ambos polinomios crecen a tasas proporcionales. Las potencias de mayor orden se equilibran, por lo que el comportamiento final de la función queda definido exclusivamente por sus coeficientes principales.
Es como cuando dos equipos de fútbol terminan la liga empatados en puntos; para definir quién gana, deben mirar el “desempate” por diferencias de goles.
En matemáticas, ese desempate lo dictan los coeficientes principales.
Si mes el coeficiente principal de P(x) y n el del Q(x), el límite es el cociente m/n.
Este caso la función converge hacia una asíntota horizontal en y=a/b.
Para comprobarlo debes dividir cada término por la x de mayor grado.
Indeterminación ∞-∞
Cuando al evaluar límites obtienes la forma indeterminada ∞−∞, debes aplicar estrategias algebraicas para resolverla. Generalmente, esto implica simplificar la expresión mediante operaciones comunes o recurrir al producto por el conjugado (numerador y denominador) para poder efectuar la sustitución de valores de manera efectiva.
Ambas funciones, la del numerador y la del denominador se hacen pequeñas y son equivalentes en x→0.
Método de funciones equivalentes
El método de funciones equivalentes se aplica cuando una expresión presenta una indeterminación como $$\frac{0}{0}\, \, o\,\, \frac{\infty }{\infty }$$ Y contiene expresiones (funciones) que tienden a 0 o a infinito.
Este método permite sustituir ciertas funciones por otras equivalentes más simples, que tengan el mismo comportamiento cuando la variable se aproxima al punto del límite, sin alterar el valor final del límite.
Es aplicado cuando:
Las funciones que tienden a 0 → (Llamadas infinitésimos equivalentes)
Las funciones que tienden a ∞ → (Denominadas infinitos equivalentes)
Este método funciona porque cerca de cero, algunas funciones se comportan como su aproximación lineal (o cuadrática), es decir con un mismo comportamiento.
Por ejemplo:
La gráfica de sen x cerca de 0 es casi una recta.
Esa recta es precisamente y = x.
Es por esta razón que se puede reemplazar una por la otra sin cambiar el valor del límite. Observa que cuando x→0 la función del sen es casi una recta, esto es lo que conoce como funciones equivalentes.
Infinitésimos
Una función f (x) es un infinitésimo cuando:$$\displaystyle \lim_{x \to a}f(x)=0$$
Es decir, cuando la variable se aproxima a a, los valores de la función se acercan a cero (0). Por lo tanto, el ejemplo de la imagen es infinitésimo.
Tabla de infinitésimos equivalentes cuando u→0
Esta tabla reúne funciones que, al tender u a cero, se comportan de manera equivalente, es decir, tienden a cero al mismo ritmo. Dos expresiones son infinitésimos equivalentes cuando el cociente entre ellas tiende a 1. Estas equivalencias permiten sustituir funciones más complejas por otras más simples sin alterar el valor del límite, facilitando así el cálculo de indeterminaciones.
$$senu\sim u$$
$$e^{u}-1\sim u$$
$$tanu\sim u$$
$$a^{u}-1\sim u\cdot La$$
$$sen^{-1}u\sim u$$
$$\left ( 1+u \right )^{m}\sim m\cdot u$$
$$tan^{-1}u\sim u$$
$$\left ( 1+u \right )^{m}-1\sim u$$
$$1-cosu\sim \frac{u^{2}}{2}$$
$$u-senu\sim \frac{u^{3}}{6}$$
$$L(1+u)\sim u$$
$$tanu-u\sim \frac{u^{3}}{3}$$
El símbolo ∼ significa “es equivalente a cuando x → 0”
Límites exponenciales con indeterminación: $$1^{\infty }$$
En los límites exponenciales con indeterminación $$1^{\infty}$$ Aparece una forma que a simple vista parece sencilla, pero que en realidad esconde un comportamiento muy interesante.
Expresiones como $$\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$$ no tienden a 1, sino al número e, dando origen a un tipo especial de indeterminación que requiere transformar la expresión para poder evaluarla correctamente. Este tipo de límites es fundamental para comprender el origen del número e y su relación con procesos de crecimiento continuo en matemáticas y física.
Cómo calcular límites de la forma:$$a_{n}^{b_{n}}$$
Este tipo de límites aparece cuando una sucesión tiene una base que tiende a 1 y un exponente que crece indefinidamente, generando una indeterminación de la forma:
$$1^\infty$$
Para resolverlos de manera más sencilla, se utiliza la propiedad exponencial:
Entre los casos más frecuentes de límites exponenciales se encuentran las indeterminaciones $$0^{0}\, e \, \infty ^{0}$$
Aunque a simple vista podría parecer que estas expresiones tienen un resultado evidente, en realidad no es posible determinar su valor directamente. Por esta razón, se consideran formas indeterminadas y requieren un procedimiento especial para calcular el límite. Si te encuentras con una de estas situaciones, es importante transformar la expresión antes de intentar evaluarla.
Equivalencias cuando n→∞
A continuación, te facilito una tabla de equivalencias cuando n→∞
Cuando se presenta estos tipos de límites el método más utilizado es aplicar logaritmos naturales. Este procedimiento permite convertir la potencia en un producto o una fracción más sencilla de analizar. De esta manera el cálculo del límite se vuelve mucho más manejable.
Pasos a seguir
1. Verifica la indeterminación. Comprueba que la expresión tenga la forma $$0^{0}\, o \, \infty ^{0}$$
2. Iguala la expresión a una variable. Por ejemplo: $$L=f(x)^{g(x)}$$
3. Aplica el logaritmo natural a ambos lados$$lnL=ln\left ( f(x)^{g(x)} \right )$$
4. Según la expresión, haz uso de las propiedades de los logaritmos. Esto elimina la potencia y transforma la expresión en un producto o fracción.
5. Calcula el límite de \(lnL\). Simplifica la expresión y evalúa el nuevo límite.
6. Aplicar el antilogaritmo (exponencial base e) a ambos lados.
$$lnL=k$$ $$L=e^{k}$$
Este método es válido para las indeterminaciones exponenciales más comunes y constituye una herramienta fundamental en el estudio de los límites avanzados.
Es común confundir estos términos, pero representan comportamientos muy distintos en una gráfica.
A. Límites infinitos (Crecimientos sin cota)
Se dice de un límite infinito cuando, al acercarse a un valor x → b, la función f (x) crece o decrece sin detenerse. En estos casos, se dice que el límite no existe como un número real, y simbólicamente es expresado así:
Significado geométrico: Aquí es donde aparecen las asíntotas verticales.
Diferencia entre funciones con cota y sin cota
En el estudio de límites infinitos, el concepto de cota es fundamental para entender el comportamiento de la función en el eje y (rango).
Una cota es, en términos sencillos, una «barrera» o un valor máximo/mínimo que la función no puede sobrepasar. En otras palabras, la cota es un número ubicado en el eje “y” y representa un valor máximo o mínimo de una función.
1. Funciones con Cota (Acotadas)
Una función tiene una cota inferior o cota superior si existe un número real que limita sus valores.
Ejemplo con cota
Diga si la función dada posee cota:$$f(x)=x^{2}+2$$
Solución:
Paso 1.
Paso 2.
Análisis: No importa qué valor de x elijas, el resultado nunca será menor a 2.
Cota: El número 2 es su cota inferior.
Rango: [ 2 , ∞ ).
Comportamiento del límite: Aunque la función crece hacia el infinito, se conoce con exactitud dónde parte.
2. Funciones sin Cota (No acotadas)
Una función no tiene cota cuando sus valores crecen o decrecen de forma ilimitada a medida que x se aproxima a un valor «b» o al infinito. Aquí es donde nacen los límites infinitos
Ejemplo sin cota
Dada la función:$$\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{1}{x}$$
Al acercarse a 0 por la derecha la función sube de forma indefinida, por lo tanto el límite es +∞.
4. Análisis
A medida que “x” se hace más pequeño (0.03, 0.02, 0.01 tabla de valores), el valor de f (x) aumenta (33.53, 50, 100).
5. Conclusión
La función no está acotada en un entorno de x = 0, ya que crece si límite hacia +∞ por la derecha y hacia -∞ por la izquierda. Por esta razón el $$\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{1}{x}$$
No existe como número real.
B. Límites en el infinito (Comportamiento final de la función)
Los límites en el infinito describen el comportamiento de una función cuando la variable x crece o decrece sin límite, es decir, cuando x →∞ o x → -∞.
Si la función f (x) se aproxima a un valor constante, se dice que tiene un límite en el infinito:
Esto significa que cuando x toma valores muy grandes o muy pequeños, la función se aproxima a esos valores.
Significado geométrico:
Si el límite es un número real L, entonces la recta y = L es una asíntota horizontalde la función.
Al calcular límites en el infinito se tienen en cuenta dos casos:
Caso 1. Si k ∈ ℜ y n ∈ Ν
$$\lim_{ x\to \infty }\frac{k}{x^{n}}=0$$
$$\lim_{ x\to -\infty }\frac{k}{x}=0$$
Esto quiere decir cuando existe una expresión racional y el numerador es una constante el resultado del límite cuando x tiende al infinito es cero.
Caso 2. Límites en el infinito de una función racional
Los límites de funciones racionales para los cuales se presentan la indeterminación ∞/∞ reciben el nombre de límites en el infinito.
Cálculo de asíntotas de una función
Las asíntotas son rectas a las que la gráfica de la función se acerca indefinidamente sin llegar nunca a tocarlas (en el infinito). Son las «guías» que definen la forma de la curva.
A. Cómo hallar asíntotas horizontales (y=b)
Indican el valor al que se estabiliza la función cuando x se hace muy grande o muy pequeña.
Cómo hallarlas: Se calcula el límite de la función cuando x→∞.
Regla de oro: Si existe asíntota horizontal, no hay asíntota oblicua (en funciones racionales simples)
Ejemplo paso a paso.
Determinar la asíntota horizontal de$$f(x)=\frac{4x^{2}+1}{3x^{2}}$$
Aparecen en los valores de x donde la función se dirige hacia el infinito.
Cómo hallarlas: En funciones racionales, son los valores que hacen que el denominador sea cero (siempre que el numerador no sea cero en ese mismo punto).
Ejemplo paso a paso.
Calcular la asíntota vertical de la función$$f(x)=\frac{2x+1}{x^{2}-x-2}$$
La función no está definida en x = 2 y x = -1. Como estos valores anulan el denominador pero no el numerador, se concluye que existen asíntotas verticales en:
$$x=2$$
$$x=-1$$
2. Signo de los límites laterales (Confirmar el comportamiento infinito de la función en los puntos x=-1 y x=2)
Cuando trabajas con asíntotas oblicuas, lo que estás intentando descubrir es cómo se comporta una función cuando los valores de 𝑥 x se hacen muy grandes, es decir, cuando x→∞ o x→−∞. En ese recorrido, muchas funciones comienzan a parecerse cada vez más a una recta inclinada.
Estas asíntotas son justamente eso: rectas inclinadas (ni horizontales ni verticales) a las que la función se va acercando poco a poco, sin llegar a tocarlas completamente.
Esa recta tiene la forma:$$y=mx+b$$ Ahora bien, algo muy importante que debes tener en cuenta es esto:
Una función racional solo tiene asíntota oblicua cuando el grado del numerador es exactamente uno mayor que el grado del denominador.
Pasos para determinar las asíntotas oblicuas
Para encontrar esa recta, debes seguir tres pasos fundamentales: primero calcular la pendiente, luego el intercepto y, finalmente, construir la ecuación de la asíntota.
1. Cálculo de la pendiente(m): Se calcula el límite cuando x → ±∞, dividiendo la función f (x) entre x, si el resultado es una constante, la función posee una asíntota oblicua y esta constante representa su pendiente (m).
Si m es 0 o ∞, no existe asíntota oblicua.
m ∈ ℜ – {0}
$$m=\lim_{ x\to \infty }\frac{f(x)}{x}$$
2. Determinación del intercepto(b): Se determina el intercepto con el eje y aplicando el límite de la diferencia entre la función y el producto de la pendiente por la variable:
$$b=\lim_{x \to \infty} [f(x) – mx]$$
3. Construcción de la ecuación: Finalmente, se escribe la ecuación explícita de la recta combinando ambos valores en la forma:$$f(x) = mx + b$$.
También puedes hallarla realizando la división polinómica de la función; el cociente de la división es la ecuación de la asíntota oblicua.
Ejemplo paso a paso.
Determinar si la función posee asíntota oblicua.$$f(x)=\frac{x^{2}-9}{3x}$$
¿Sabes cómo las funciones se aplica en la vida diaria? Un ejemplo sencillo lo vemos en una frutería:
Imagina que cada paquete de 4 manzanas se vende por un precio fijo. En este caso, el beneficio económico del negocio es una función de la cantidad de paquetes vendidos. Esto significa que la ganancia que se obtiene (y) depende directamente del número de paquetes que se vendan (x).
Función
Es una relación que debe cumplir las siguientes condiciones:
I- Todos los elementos del conjunto de partida deben poseer imágenes en el conjunto de llegada.
II- Cada elemento del conjunto de partida sólo debe tener una imagen en el conjunto de llegada.
Ejemplo.
Observa la figura y determina si las relaciones mostradas son funciones. justifica tu respuesta.
Respuesta:
a. En la relación f no es función porque el elemento 2 del conjunto de partida posee dos imágenes, 4 y 2, en el conjunto de llegada. Los pares ordenados formados son: f {(1,4),(2,4),(2,2),(3,7),(4,3)}
b. En la relación g a pesar que el elemento c del conjunto de llegada no esté relacionado si es función porque todos los elementos del conjunto de partida tienen una sola imagen. Los pares ordenados son: g{(1,a),(2,b),(3,d)}
c. En la relación h si es función porque todos los elementos del conjunto de partida tienen una sola imagen. Los pares ordenados son: h{(1,2),(2,2),(3,2)}
d. En la relación i es función porque todos los elementos del conjunto de partida tienen una sola imagen, a pesar que el elemento n del conjunto de llegada no esté relacionado. Los pares ordenados son: i{(1,l),(2,m),(3,m)}
e. En la relación j no es función porque el elemento 3 del conjunto de partida no está relacionado. Los pares ordenados son: j{(1,-2),(2,-1),(4,-4)}
f. En la relación k si es función porque todos los elementos del conjunto de partida tienen una sola imagen. Los pares ordenados son: j{(1,R),(2,J),(3,Q)}
Variable independiente y dependiente
En este caso, una variable es la cantidad o valor que puede cambiar. En el ejemplo de la frutería, tenemos dos variables en juego: la variable independiente y la variable dependiente.
La variable independiente (x) es la cantidad de paquetes de manzanas que los clientes compran, ya que su valor puede ser cualquier número. La variable dependiente (y) es el beneficio económico, porque su valor depende directamente de la cantidad de paquetes vendidos. Así, la ganancia es una función del número de paquetes que se venden.
Entonces:
x = variable independiente
f ( x ) = y = variable dependiente
Supongamos que en la frutería mencionada anteriormente colocan una promoción de la siguiente manera:
1 paquete de 4 manzanas por el precio de $5000
La expresión matemática:
f ( x ) = 5000x o y = 5000x
Donde:
“ x ” es el paquete de 4 manzanas, es decir, es la variable independiente.
“ y ” es el dinero por la venta que depende de las cantidades de paquetes de manzanas vendidas, entonces a esta letra se le llama variable dependiente.
“ f ( x ) ” esta expresión significa que la variable dependiente está en función a la variable independiente.
Para resumir todo:
La variable independiente la llamamos “variable” y
La variable dependiente “ función ”
Dominio y rango
El dominio de una función es el conjunto de todas las primeras componentes (x) de los pares ordenados, mientras que el rango es el conjunto de todas las segundas componentes (y).
Observa la siguiente imagen. Allí se ilustra cómo la función, representada como un conducto, toma un valor del dominio (el conjunto de entrada) y lo transforma en un valor del rango (el conjunto de salida). El resultado de esta transformación es un par ordenado.
Función real de variable real
Es una relación matemática en la que tanto la variable independiente (x) como la variable dependiente (y) solo pueden tomar valores que pertenecen al conjunto de los números reales (R). En otras palabras, el dominio y el rango de la función son subconjuntos de los números reales.
Cuando se evalúa una función y el resultado no es un número real, entonces es indeterminada o indefinida en un punto específico. Esto ocurre en casos como la división por cero o la raíz cuadrada de un número negativo, que no tienen una solución dentro del conjunto de los números reales (R). Por ejemplo:$$f(x)=\sqrt{-3}$$
Laboratorio de las funciones
¡Llegó el momento de poner toda la teoría en práctica! Prepárate para experimentar con las funciones como si estuvieras en un laboratorio. A continuación, encontrarás una simulación interactiva de PhET, el Generador de Funciones, que te permitirá aprender jugando. Podrás manipular variables, observar cómo cambia la gráfica en tiempo real y entender la relación entre una fórmula y su representación visual. ¡Es la herramienta perfecta para dominar las funciones de una forma divertida y totalmente visual!
Restricciones del dominio
El dominio de una función se restringe cuando existen valores de la variable independiente (x) que, al ser evaluados, producen un resultado indeterminado o que no pertenece al conjunto de los números reales (R). En otras palabras, estos valores no son parte del dominio porque la función no está definida para ellos
Existen 3 tipos de restricciones en el dominio, ellos son:
I. Raíces de índices par
Para que la función$$f(x)=\sqrt{x+2}$$
Sea un número real, la expresión dentro de la raíz cuadrada no puede ser negativa.
Una raíz con índice par solo está definida para valores mayores o iguales a cero. Por lo tanto, para que el resultado no sea indeterminado, la cantidad subradical debe cumplir con la siguiente condición: $$x+2\geq 0$$ $$x\geq -2$$
Dominio de la función$$D_{f}=[-2,\infty ]$$
II. Fracciones donde se anula el denominador
En la función$$f(x)=\frac{5}{x+1}$$
Existe una restricción en el denominador, ya que este debe ser diferente a cero. $$x+1\neq 0$$ $$x\neq -1$$
El dominio de la función es:
III. Fracciones donde se anula el denominador con raíces de índices par
Para estos de expresiones$$f(x)=\frac{\sqrt{x+1}}{x}$$
Debes considerar dos reglas tipos de restricciones:
La raíz cuadrada con índice par.
Fracciones que anulan el denominador.
Restricción del numerador:$$x+1\geq 0$$ $$x\geq -1$$
Restricción del denominador:$$x\neq 0$$
La solución es combinar las restricciones.
El dominio de la función es$$D_{f}=[-1,\infty )$$
Ejemplo.
Graficar las siguientes relaciones teniendo en cuenta el intervalo especificado para “x” y determinar el dominio, rango e indicar cuáles de ellas son funciones
a. F = {(x,y) / y = x2 ∧ 0 ≤ x < 3}
b. G = {(x,y) / y2 – x =2}
Solución
Tabla de valores
Para graficarla, primero traza cada par ordenado en el plano cartesiano y luego une los puntos para formar una curva suave. Para que la curva quede correctamente puedes utilizar la plantilla de Burmester.
Una vez que tengas la gráfica, aplica la prueba de la línea vertical para verificar si la expresión es una función. Si cualquier línea vertical que traces sobre la curva la toca en un solo punto, entonces la expresión dada es una función.
El dominio de la función es:$$D_{f} =[0,3)$$
Rango:$$R_{f} =[0,9)$$
Solución
$$y=\pm \sqrt{x+2}$$
Tabla de valores
Se grafica cada punto y luego se aplica la prueba de la línea vertical para saber si es función.
No es función porque la línea vertical toca dos puntos de la curva.
Dominio$$D_{f} =[-2,\infty )$$
Rango$$R_{f} =\mathbb{R}$$
Clasificación de las funciones
Las funciones se pueden clasificar según cómo se relacionan los elementos de su dominio con los de su rango. Esta clasificación permite conocer el comportamiento de una función y se clasifican en 3:
I. Inyectivas
Llamadas también uno a uno. Este tipo de función los elementos de partida deben ser distintos y también sus imágenes.
Ejemplo, observa el siguientes conjunto de pares ordenados: F{ ( 8 , 9 ) , ( 6 , 10 ) }.
Respuesta: Es una función inyectiva ya que los elementos del conjunto de partida comparten distintas imágenes.
Otro ejemplo de inyectiva es la expresada en la siguiente imagen
II. Sobreyectivas
Si el rango de la función es el mismo que el codominio es sobreyectiva.
Cálculo de las intersecciones respecto al eje “x”$$y=0$$
$$f(x)=y$$ $$0=x^{2}-4x+3$$
Se factoriza y se iguala a cero los factores, finalmente se obtiene los valores de: $$x_{1}=1$$ $$x_{2}=3$$
Gráfica
Se grafican los puntos y se aplica el criterio de la línea vertical y horizontal.
Cómo la línea vertical toca un punto de la curva, la expresión dada es función.
La línea horizontal toca un solo punto, entonces es inyectiva.
Dominio
$$D_{f}=[2,\infty )$$
Rango
$$R_{f}=[-1,\infty )$$
Codominio
$$C_{f}=R_{f}$$
Tipo de función
Biyectiva.
Características de las funciones
Más allá de su clasificación, las funciones poseen características que dan a conocer su comportamiento y su forma gráfica.
Entre las más importantes se encuentran la simetría, su crecimiento y el decrecimiento, lo cual indica si sus valores aumentan o disminuyen a medida que se mueve de izquierda a derecha en el eje horizontal.
Simetría
La simetría es una de las características más interesantes de las funciones ya que revela si la curva posee una simetría axial (respecto a un eje) o central (respecto a un punto). Existe dos tipos de simetría y son llamadas:
I. Función par
Una función es par cuando la curva es simétrica respecto al eje y. Esta simetría es comprobable cuando se sustituye la variable x por -x en la función dada, generando la misma función original. Esto se expresa como:$$f(x)=f(-x)$$
Ejemplo. Determine si es par la siguiente función
$$f(x)=x^{2}+1$$
Solución:
Sustituir ( -x ) en la función:
f ( –x ) = ( -x )2+1
f ( –x ) = x2 +1
Compara el resultado x2 +1 y la función dada. Ambas expresiones son iguales.$$x^{2}+1=x^{2}+1$$
Por lo tanto la función f ( x ) = x2 +1 es Par.
II. Función impar
Es una simetría central ya que es con respecto al origen del plano cartesiano. Analíticamente al sustituir “ -x ” la función debe dar negativa, satisfaciendo la relación:$$f(-x)=-f(x)$$
Ejemplo. Dada la función f ( x ) = x3, determine si es una función impar.
Solución:
Sustituir ( -x ) en la función, quedando:
f ( –x ) = ( -x )3
f ( –x ) = –x3
Es es una función Impar, ya que cumple la relación:$$f(-x)=-f(x)$$
Crecientes
Es creciente en un intervalo, si:
x1 < x2 por lo tanto f (x1) < f (x2)
Entonces, si en un intervalo aumenta el dominio y el rango o disminuyen ambos, la función es creciente específicamente en ese intervalo.
Decrecientes
Una función es decreciente en un intervalo si, a medida que los valores de x aumentan, los valores de y (o f(x)) disminuyen.
x1 < x2 por lo tanto f (x1) > f (x2)
Funciones elementales
Las funciones elementales son las herramientas básicas de la matemática. A partir de ellas, se construyen funciones más complejas a través de operaciones como la suma, resta, multiplicación, división, potencias y raíces. Por esta razón, son esenciales para modelar una gran variedad de fenómenos en campos como la ciencia, la ingeniería y la economía. Ellas son:
La función posee un hueco (discontinuidad removible o evitable) en x = -2
El punto del hueco es P(-2,3)
Raíces (numerador y denominador)
x – 1 = 0 ⇒ x = 1
x + 1 = 0 ⇒ x = -1
Asíntotas verticales
x = -1
Intercepto con el eje “y”
x = 0
$$f(x)=y$$
$$y=\frac{0-1}{0+1}=-1$$ $$y=-1$$
Asíntota horizontal
Como el grado del polinomio del numerador y del denominador son iguales a 1, entonces la función f tiene una asíntota horizontal.
y = 1
Tabla de valores
Partiendo del dato de la asíntota vertical x = -1 se crea la tabla de valores
Gráfica
Dominio
Dom f = ℜ – { -2, -1 }
Rango
Rgo f = ℜ – { 1, 3 }
Funciones radicales
Son funciones que están expresadas por medio de una raíz. El dominio de este tipo de funciones depende directamente del índice de la raíz, lo que las clasifica en dos tipos principales:
Sí el índice es un número par, la función no está definida en los valores de x para los cuales el radicando es negativo. Para que la esté definida es necesario que la cantidad subradical sea mayor o igual a cero es decir aplicar una restricción del dominio.
Sí el índice es un número impar, el radicando puede ser cualquier número real (positivo, negativo o cero). La función está definida para todo el conjunto de los números reales. Sin embargo, se deben considerar las restricciones que existan dentro del radicando (por ejemplo, si este contiene un polinomio en el denominador).
Pasos para graficar una función radical
I. Se evalúa si posee índice par o impar.
Si la expresión viene dada en forma racional se determina en el numerador las raíces o los intercepto con el eje “ x ” y en el denominador los valores para los cuales la función no está definida.
Si es un radical con índice par y con una cantidad subradical en forma racional polinómica, se tiene que determinar el intervalo donde la función no está definida, para esto la expresión subradical debe ser mayor o igual que cero, luego el siguiente paso es resolver la inecuación racional.
II. Determina las asíntotas verticales, si existe.
Graficar y determinar el dominio y rango de la función radical$$f(x)=\frac{2}{\sqrt[4]{x+3}}$$
Es una función racional, con una raíz en el denominador de índice par. Por estar en el denominador debe ser mayor que cero. Y se evalúa los valores para los cuales la función no está definida
$$x+3> 0$$ $$x> -3$$
Es una función racional, pero el denominador es un radical por lo tanto no posee asíntotas verticales.
Posee una asíntota horizontal en el eje “ x ” ya que el grado del polinomio de la cantidad subradical del numerador es menor que el grado del polinomio del denominador.$$y=0$$
Dominio
Dom f = ℜ – { – 1, 1 }
Rango
Rgo f = ℜ
Tabla de valores
$$x$$
$$f(x)$$
$$-4$$
$$\frac{\sqrt[3]{-13}}{15}$$
$$-3$$
$$\frac{\sqrt[3]{-10}}{8}$$
$$-2$$
$$\frac{\sqrt[3]{-7}}{3}$$
$$-\frac{6}{5}$$
$$\frac{25\sqrt[3]{-\frac{23}{5}}}{11}$$
$$-\frac{4}{5}$$
$$-\frac{25\sqrt[3]{-\frac{17}{5}}}{9}$$
$$0$$
$$1$$
$$\frac{4}{5}$$
$$-\frac{25\sqrt[3]{\frac{7}{5}}}{9}$$
$$\frac{6}{5}$$
$$\frac{25\sqrt[3]{\frac{13}{5}}}{11}$$
$$2$$
$$\frac{\sqrt[3]{5}}{3}$$
$$3$$
$$\frac{\sqrt[3]{8}}{3}$$
Gráfica
Ejemplo 4.
Grafique y determina el dominio y rango$$f(x)=\sqrt{\frac{x+3}{3x-2}}$$
Solución:
Se evalúa los valores para los cuales la función no está definida
$$\frac{x+3}{3x-2}\geq 0$$ $$3x-2\neq 0$$
Igualar el numerador y el denominadora cero para encontrar los puntos críticos que dividen la recta real en intervalos
$$x+3=0$$ $$x=-3$$
$$3x-2=0$$ $$x=\frac{2}{3}$$
Estudio del signo
Asíntota vertical
$$x=\frac{2}{3}$$
Asíntota horizontal
Posee asíntota horizontal (Cuando el grado del numerador = grado del denominador)
Las funciones pueden combinarse una con otras a través de las operaciones de la aritmética como la adición, sustracción, multiplicación y división y producir nuevas funciones.
Suma: ( f + g )( x ) = f ( x ) + g ( x )
Su dominio es:
Dom ( f + g ) = ( Dom f ∩ Dom g )
Resta: ( f –g )( x ) = f ( x ) – g ( x )
Su dominio es:
Dom ( f – g ) = ( Dom f ∩ Dom g )
Multiplicación: ( f . g )( x ) = f ( x ) . g ( x )
Su dominio es:
Dom ( f . g ) = ( Dom f ∩ Dom g )
División: ( f /g )( x ) = f ( x ) / g ( x )
Su dominio es:
Dom ( f /g ) = { x ∈ ( Dom f ∩ Dom g) / g ( x ) ≠ 0 }
Ejemplo.
Calcule la suma, diferencia, producto y el cociente de f y g y el dominio de cada función resultante.
Dominios resultante de cada operación:
Suma: Dom ( f + g ) = [ -3/2 , ∞ )
Resta: Dom ( f – g ) = [ -3/2 , ∞ )
Multiplicación: Dom ( f . g ) = [ -3/2 , ∞ )
División: Dom ( f /g ) = [ -3/2 , ∞ )
Actividades
Parte I
I. Determine si en cada planteamiento es una función. En caso de no serlo, proponer un ejemplo que muestre la situación.
a. El comportamiento de una bacteria está determinado por la expresión:
$$y=5e^{x}$$
b. Las muestras de sangre de un cultivo se describen por las parejas:
III. Hallar el dominio y el rango de las funciones cuyas gráficas se muestran a continuación. Determinar la ecuación que corresponda con cada gráfica.
Gráfica # 1
Gráfica # 2
Parte III
I. El valor de cada lápiz en un establecimiento es de $1500.
a. ¿La situación planteada describe una función? b. Escribe la expresión algebraica que representa la función c. Hallar el dominio y el rango de la función y explicar si los valores hallados tienen sentido.
II. El cargo básico del agua es de $60 y por cada m3 utilizados se cobran $2.
a. Escribe la expresión algebraica que describe el costo que se debe pagar en función a los m3 utilizados. b. Hallar el dominio y el rango de la función
III. A continuación, se presentan diferentes formas de representación de funciones presentadas en tabla de valores, gráfica, pares ordenados. Determinar si es inyectiva, sobreyectiva o biyectiva
$$ \left{ (0,1),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6)\right}$$
$$y=-x^{2}$$
Parte IV
I. Determinar cuáles de las siguientes funciones son inyectivas.
Una fábrica de gaseosas define su producción a partir de la función f (x) = 5x, donde x representa los litros de gaseosas y f (x) es la cantidad de unidades por litro.
a. ¿La función de producción es biyectiva?
III. El costo que establece una fábrica de zapatos está determinado mediante la función:
$$f(x)=200x^{2}+150$$
donde x es la cantidad de zapatos fabricados y f (x) es el costo en pesos de la producción. a. Determinar si f (x) es una función inyectiva. b. Determinar si la función es biyectiva. c. Graficar la función.
IV. Problema.
La distancia recorrida por una moto viene dada por la función f (t) = 10 + 3t2, donde t es el tiempo en segundos. a. Determinar si la función es inyectiva b. Determinar si es sobreyectiva
Parte V
I. Completa la siguiente tabla
II. Analiza y elabora la gráfica, especificando dominio, rango, puntos de cortes y asíntotas
III. Analiza y elabora la gráfica, especificando dominio, rango, puntos de cortes
Parte VI
I. Para cada caso, determinar el dominio de todas las funciones
II. Dadas las funciones: f ( x ) = 4x + 3 ∧ g ( x ) = 4x2
¿Te has preguntado qué utilidad tienen las inecuaciones y desigualdades en nuestra vida diaria? Están presentes en situaciones cotidianas, como la clasificación de edad de una película: si la restricción es «Para mayores de 16 años,» esta se traduce en la desigualdad Edad ≥ 16. Pero, ¿sabes cómo resolver problemas más complejos que involucran la misma lógica de restricción? En este post, te mostraré de ese simple ejemplo hasta el dominio total de las inecuaciones lineales, racionales y con valor absoluto, enseñándote el método paso a paso para que puedas solucionar cualquier desigualdad matemática que se te presente.
Inecuaciones
Las inecuaciones son expresiones algebraicas que incluye una desigualdad, determinando un conjunto de valores.
Desigualdades
Las desigualdades son relaciones que permite comparar dos cantidades y determinar si una es mayor, menor, mayor o igual, o menor o igual que la otra. >A diferencia de una igualdad, donde las dos expresiones son equivalentes, en una desigualdad las expresiones no son necesariamente iguales, sino que establece una relación de orden entre ellas.
Las propiedades de las desigualdades ayudan a trabajar con las inecuaciones e aquí algunas de ellas:
Propiedad #1: Si ambas partes de una desigualdad se multiplican (o dividen) por una misma cantidad negativa, la desigualdad cambia de sentido. Ejemplo:
En la multiplicación
En la división
$$10>6$$
$$-12<18$$
$$10(-1)<6(-1)$$
$$\frac{-12}{-2}> \frac{18}{-2}$$
$$-10<-6$$
$$6>-9$$
Propiedad #2: Si ambas partes de una desigualdad se multiplican (o dividen) por una misma cantidad positiva, la desigualdad No cambia de sentido. Ejemplo:$$10>8$$
En la multiplicación
En la división
$$5>4$$
$$5>4$$
$$5(2)>4(2)$$
$$\frac{5}{2}< \frac{4}{2}$$
$$10>8$$
$$\frac{5}{2}> 2$$
Propiedad #3: Si ambas miembros de la desigualdad son positivos y se eleva a un exponente impar positivo No cambia el sentido de la desigualdad. Ejemplo:
$$-3<1$$ $$(-3)^{3}<(1)^{3}$$ $$-27<1$$
Propiedad #4: Si ambos miembros de la desigualdad son de distintos signos y al elevarse a un exponente par positivo, cambia el sentido de la desigualdad o también puede convertirse en una igualdad. Ejemplo:
$$-4<3$$ $$(-4)^{2}>(3)^{2}$$ $$16>9$$
Otro ejemplo:
$$4>-4$$ $$(4)^{2}=(-4)^{2}$$ $$16=16$$
Propiedad #5: Si ambos lados de la desigualdad son del mismo signo, los inversos producen una desigualdad de sentido opuesto. Ejemplo:
$$9< 10$$ $$\frac{1}{9}> \frac{1}{10}$$
Soluciones de una inecuación
Los valores que satisfacen una ecuación es llamado soluciones, raíces o ceros. En una inecuación los valores de la variable que satisface a dicha relación es llamado soluciones.
Existe tres formas para expresar las soluciones de una inecuación y se da de forma:
¿Cómo expresar las soluciones de las inecuaciones con desigualdades estrictas y no estrictas?
Las soluciones de una inecuación pueden expresarse mediante desigualdades estrictas ( < , > ), cuando el valor límite no se incluye en la solución, o mediante desigualdades no estrictas ( ≤ , ≥ ) cuando el valor límite sí forma parte de la solución.
Estas expresiones permiten indicar de forma precisa el conjunto de valores que cumplen la condición dada.
Desigualdades Estrictas
Cuando la solución analítica utiliza los signos menor que ( < ) o mayor que ( > ), el valor del extremo no está incluido.
En la solución gráfica se dibuja un círculo abierto (O) sobre el punto.
Para la solución de Intervalos se utilizan paréntesis ( , ) en los extremos.
Desigualdades No Estrictas
Cuando la solución analítica utiliza los signos menor o igual que (≤) o mayor o igual que (≥), el valor del extremo sí está incluido.
Para la gráfica se dibuja un círculo cerrado (o punto sólido) sobre el punto.
En el intervalo se utilizan corchetes [ , ] en los extremos incluidos.
Nota: El corchete y el paréntesis se combinan para intervalos mixtos, como [a, b), (a, b], o se usan solo corchetes para intervalos cerrados, [a, b].
Ejemplos de soluciones de inecuaciones según las desigualdades
Son cuatro situaciones que te ayudarán a comprender mejor la representación de las soluciones de las inecuaciones según los tipos de desigualdades (estrictas y no estrictas).
Situación#1
Analítica
$$x>k$$
La solución de la inecuación está formada por todos los números reales mayores que k.
Gráfica
Para representar gráficamente la solución que incluye todos los valores mayores que k ( x > k ), se utiliza un círculo abierto (O) sobre el punto k (para indicar que k no está incluido) y se extiende con una flecha o sombreado hacia la derecha.
Intervalo
$$( k , \infty )$$
Se utilizan paréntesis ( a, b ) en ambos extremos para definir un intervalo abierto, lo cual indica que los valores de los extremos no están incluidos en la solución.
Situación#2
Analítica
$$x<k$$
La solución de la inecuación está formada por todos los números reales menores que k.
Gráfica
Para representar en la gráfica los valores menores que k (o x < k), se dibuja un círculo abierto (O) sobre el punto k y se traza una flecha o sombreado dirigido hacia la izquierda.
Intervalos
$$( – \infty, k )$$
Se utilizan paréntesis ( a, b ) en ambos extremos para definir un intervalo abierto. Esto significa que la solución está formada por todos los números reales menores que k:
El símbolo −∞ indica que el intervalo se extiende indefinidamente hacia la izquierda.
El paréntesis en k muestra que el valor kno está incluido en la solución.
Situación#3
Analítica
$$x \geq k$$
La desigualdad x ≥ k indica que el conjunto solución está formado por todos los números reales mayores o iguales a k.
Gráfica
Para representar la solución gráfica de x ≥ k, se dibuja un círculo cerrado (o punto sólido) sobre el valor k (para indicar que k está incluido) y se extiende el sombreado o una flecha hacia la derecha.
Intervalos
$$[k, \infty )$$
Se expresa mediante:
El corchete en k significa que el valor k está incluido.
El paréntesis en ∞ indica que el intervalo se extiende indefinidamente y no incluye al infinito.
Situación#4
Analítica
$$x \leq k$$
La desigualdad x ≤ k indica que el conjunto solución está formado por todos los números reales menores o iguales a k.
Gráfica
Se dibuja un círculo cerrado (o punto sólido) sobre el valor k (ya que está incluido) y se traza un sombreado o flecha que se dirige hacia la izquierda.
Intervalos
$$( -\infty , k ]$$
Significado:
El paréntesis en −∞ indica que el intervalo se extiende indefinidamente hacia la izquierda.
El corchete en k significa que el valor k está incluido en la solución.
Intervalos
Un intervalo es un subconjunto del conjunto de los números reales (ℜ) que incluye todos los valores comprendidos entre dos extremos. Gráficamente, se representan sobre la recta numérica como un segmento o una semirrecta.
Existen dos tipos principales de intervalos:
Intervalos Acotados: Son aquellos que tienen dos extremos definidos por números reales y, por lo tanto, tienen un principio y un fin. Gráficamente, se representan como un segmento.
Intervalos No Acotados: Son aquellos que se extienden indefinidamente hacia el infinito positivo (+∞) o el infinito negativo (−∞). Gráficamente, se representan como una semirrecta o la recta real completa.
Notación y clasificación de intervalos en la recta real
La representación de un conjunto de números reales en la recta numérica se realiza a través de los intervalos.
Aquí aprenderás su notación (paréntesis o corchetes), su clasificación (acotados o no acotados) y su traducción gráfica, elementos esenciales para resolver cualquier tipo de inecuación.
Intervalos No Acotados
[ k , +∞ )
Intervalo infinito a la derecha.
( k , +∞ )
Intervalo infinito a la derecha sin incluir el extremo.
( -∞, k ]
Intervalo infinito por la izquierda.
( -∞, k )
Intervalo infinito por la izquierda sin incluir el extremo.
( -∞, ∞ )
Intervalos infinitos por la izquierda y derecha.
Llamado también:
Para todo valor real ℜ.
Intervalos Acotados
( k , l )
Intervalo abierto.
[ k , l )
Intervalo semiabierto por la derecha o semicerrado por la izquierda.
( k, l ]
Intervalo semiabierto por la izquierda o semicerrado por la derecha.
[ k , l ]
Intervalo cerrado
Inecuaciones lineales
Las inecuaciones lineales son las más sencillas de trabajar. Se caracterizan por tener un grado de exponente uno \(x^{1}\) en sus variables y se resuelven de manera muy similar a las ecuaciones de primer grado, usando las operaciones básicas (suma, resta, multiplicación y división).
El objetivo es despejar la incógnita para encontrar el conjunto de valores que satisfacen la desigualdad, en lugar de un único punto de solución.
Un sistema de inecuaciones está formado por dos o más desigualdades que deben resolverse de manera simultánea. El objetivo es encontrar el valor o el conjunto de valores de «x» que satisfacen a cada una de las inecuaciones. Para hallar la solución final, se resuelve cada inecuación por separado y, posteriormente, se analiza la intersección de los intervalos obtenidos (generalmente mediante una gráfica). Esta intersección representa las soluciones comunes a todas las desigualdades del sistema.
Ejemplo # 1: Resolver el sistema de inecuación lineal
Las inecuaciones con valor absoluto representan un caso especial de las desigualdades, ya que exigen que la distancia de una expresión a cero cumpla con ciertas restricciones. Resolver estas inecuaciones requiere transformar la expresión inicial en dos o más desigualdades simples, eliminando el valor absoluto y analizando tanto el caso positivo como el caso negativo, para finalmente encontrar el conjunto de valores que satisfacen la condición.
“ k ” es un número real, el valor absoluto de “ k ” es el valor positivo del mismo, se escribe | k | y se lee: valor absoluto de “ k ”.
La distancia y poseen la misma distancia que es igual a k, por lo tanto el valor absoluto puede definirse como la distancia =
El valor absoluto de una cantidad es calculado como se muestra:
| k | = k k > 0
| k | = –k k < 0
Ejemplo:
Los valores que satisfacen la ecuación elemental | x | = k es
x = k y x = –k
Es lo mismo decir: x = ± k
Mira el siguiente ejemplo: Resolver la siguiente ecuación | x | = 10
El resultado es: x = ± 10
La ecuación elemental | x | = k también es aplicable a expresiones polinómicas, como por ejemplo la siguiente:
Forma de presentación de las inecuaciones con valor absoluto
Las inecuaciones con valor absoluto puede presentarse de dos formas.
Forma # 1: Es cuando | Q(x) | < k . Este tipo de forma su desigualdad es el signo < o ≤ , y representa un sistema. Por ser un sistema su solución pertenece a una intersección de los conjuntos solución. Su expresión sería:
Forma # 2: Es cuando . Este tipo de forma su desigualdad es el signo > o ≥ , y no representa un sistema es una agrupación. Por ser un agrupación su solución pertenece a una unión de los conjuntos solución. Su expresión sería:
Ejemplo # 1: Resolver la inecuación con valor absoluto
$$|6 – x| < 13$$
Solución
Observa que pertenece a la forma # 1 y por lo tanto la solución será una intersección.
Las inecuaciones raciones son desigualdades que poseen un polinomio en el numerador y otro en el denominador. La forma es la siguiente:$$\frac{P(x)}{Q(x)} > 0 \quad \land \quad \frac{P(x)}{Q(x)} < 0$$
Ambos polinomios son de exponentes enteros y positivos.
La solución pertenece a una intersección de los conjuntos solución o parte en común entre ellos.
Ejemplo # 1: Solucionar la inecuación racional
$$\frac{4}{3x – 8} > 0$$
Solución
Según la expresión, la fracción tiene que ser positiva el numerador también lo es, esto quiere decir que el denominador debe ser positivo para que la fracción lo sea.
$$3x – 8 > 0$$ $$3x > 8$$ $$x > \frac{8}{3}$$
Intervalo
$$\left(\tfrac{8}{3}, \infty\right)$$
Gráfica
Ejemplo # 2: Resolver la inecuación racional
$$\frac{4x – 7}{x – 2} > 0$$
Solución
Según la expresión, la fracción debe ser positiva, por lo tanto es necesario que el numerador y el denominador tengan el mismo signo, observa:
La fracción debe ser negativa; por lo tanto, es indispensable que el numerador y el denominador tengan signos diferentes. En otras palabras, uno debe ser positivo y el otro negativo. Observa el siguiente caso:
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Resumen:
poseen la misma distancia que es igual a k, por lo tanto el valor absoluto puede definirse como la distancia 
