6ºGrado

Saber cómo calcular los divisores de un número 🙂 te da la posibilidad de resolver muchas situaciones de la vida diaria y también ayuda a solucionar una gran variedad de problemas matemáticos.

Este conocimiento es esencial para la seguridad de los sistemas de encriptación y descifrado, son relevantes en los algoritmos y programación, también es muy usado en cálculos de intereses o descuentos y en actividades donde se requiere la distribuir los recursos eficientemente.

A continuación, una situación que a muchos se les a presentado:

• Luisito y Pedro tienen 1 chocolate y deben repartirlo entre sus amigos de manera equitativa. Pero, Luisito al no tener conocimientos de los divisores de un número fraccionó la barra de chocolate de una manera incorrecta. Observa el chocolate de la derecha 😳

Pedro mira la barra y concluye que:

• Divisor 1: Puede repartir el chocolate en 8 partes iguales, donde cada amigo recibe 1 porción.
• Divisor 2: Reparte el chocolate en 4 partes (cada parte es la mitad), de modo que dos amigos reciben la mitad.
• Divisor 4: Distribuye 2 partes a cuatro amigos.
• Divisor 8: Puede decidir en entregar todo el chocolate a un solo amigo 😛

Divisores de un número

Es muy fácil determinar los divisores de un número, aquí solo debes aplicar operaciones como potenciación y multiplicación.

Definición

Procedimiento

Para hallar los divisores de cualquier número debes cumplir con los siguientes pasos:

• Paso # 1. Descomponer la cifra.
• Paso # 2. Seleccionar el número con mayor exponente, sólo si existe.
• Paso # 3. Crear una fila con el número anterior iniciando con exponente 0 hasta el exponente adquirido y calcular sus potencias.
• Paso # 4. Seleccionar los otros números y colocarlos en una columna.
• Paso # 5. Multiplicar el número de la columna con los de la fila.
• Paso # 6. Se obtiene los divisores.

Caso # 1. Cuando existen varios factores y uno de ellos posee el exponente mayor

Ejemplo # 1. ¿Cuántos divisores tiene el número 20? Menciónelos.

Paso # 1. Descomposición de 20.

Paso # 2. Escoger el número con mayor exponente.

En este caso es:  2²

Paso # 3. Crear una fila con el número anterior iniciando con exponente 0 hasta el exponente adquirido y calcular sus potencias.

Paso # 4. Seleccionar el otro número de la descomposición y colocarlo en una columna.

Paso # 5. Multiplicar el número de la columna con los de la fila.

Paso # 6. Se obtiene los divisores.

Rta: El número 20 posee 6 divisores, ellos son:

d(20)={1,2,4,5,10,20}

Caso # 2. Cuando todos los factores tienen el mismo exponente.

Ejemplo # 2. ¿Cuántos divisores tiene el número 30? Menciónelos.

Paso # 1. Descomposición de 30

Paso # 2. Como todas las bases o números tienen el mismo exponente, se selecciona cualquier número.

En este caso se escoge el 2.

Paso # 3. Crear una fila con el número anterior iniciando con exponente 0 hasta el exponente adquirido y calcular sus potencias.

Paso # 4. Seleccionar los otros números de la descomposición y colocarlos en una columna.

Paso # 5. Multiplicar el número de la columna con los de la fila.

Paso # 6. Se obtiene los divisores del 30

Rta: Finalmente son 8 divisores del número 30 y ellos son:

d(30)={1,2,3,5,6,10,15,30}

Caso # 3. Cuando existe sólo un factor.

Ejemplo # 3. ¿Cuántos divisores tiene el número 81? Menciónelos.

Paso # 1. Descomposición de 81.

Paso # 2. En este caso solo existe una base, por lo tanto el número a escoger es 3.

Paso # 3. Crear una fila con el número anterior iniciando con exponente 0 hasta el exponente adquirido y calcular sus potencias.

Paso # 4. Como no existen otros números en la descomposición, los divisores son 5. Ellos son:

d(81)={1,3,9,27,81}

Actividades

Determine los divisores de las siguientes cantidades:

• 102
• 35
• 42
• 54

¿Cuántos divisores tiene el número 100?

¿Es el número 27 un número perfecto? Sí o No, Justifique.

¿Cuál es el número más pequeño que cuenta con 5 divisores?

¿Cómo se llama un número que tienesolo dos divisores distintos (1 y el propio número)?

Ahora que sabes cómo calcular los divisores de número pon en práctica tus conocimientos y refuerza lo aprendido. Si te gustó este contenido ayúdanos a seguir creciendo, comparte y subscribete para que estés al día con nuestras notificaciones.

Javier Guzmán

laprofematematik.co/

¿Sabías que puedes encontrar polígonos a tu alrededor? Si miras a tu alrededor te aseguro que verás alguna figura plana, como triangular, cuadrada, rectangular, o de cualquier otra forma. Te daré algunos ejemplos, un campo de fútbol, una fachada de una casa, la superficie de un panal de abejas, una puerta, una ventana, un tablero o pizarrón de clase, monitor de un computador, un televisor, la superficie de una mesa, etc. Esto es tan sólo una pequeña cantidad de cosas que tienen forma de una figura geométrica plana.

Polígono

Elementos del polígono

Son cinco los elementos del polígono y se llaman:

1. Lados.
2. Vértices.
3. Ángulos internos.
4. Ángulos externos
5. Diagonales.

Lados

Vértices

Ángulos internos

Ángulos externos

Diagonales

Cálculo de las diagonales por vértice

Se puede determinar a través de la siguiente fórmula:

Cálculo del total de diagonales del polígono

Para calcular el total de diagonales se debe aplicar la siguiente relación:

Clasificación de los polígonos

Los polígonos se clasifican según:

• Cantidad de lados.
• Medida de sus ángulos internos y de sus lados.
• Tipo de convexidad.

Cantidad de lados

Según la cantidad de lados el polígono tiene establecido un nombre, a continuación los nombres de algunos de ellos:

Construye polígonos

Aquí podrás crear polígonos desde 3 hasta 30 lados

Medida de sus ángulos internos y de sus lados

Cuando todas las medidas de los ángulos internos de un polígono son iguales, todas las medidas de sus lados también lo es. Por lo tanto recibe el nombre de polígono regular.

Pero cuando al menos la medida de uno de sus ángulos internos o uno de sus lados es distinto a todos, es llamado polígono irregular.

Tipo de convexidad

Existen dos tipos de polígonos según su convexidad y son llamados:

• Convexos y
• Cóncavos.

Un polígono convexo es cuando las medidas de todos sus ángulos internos son menores a 180°.

Un polígono cóncavo es cuando existe algún ángulo interno mayor de 180°

¿Sabes el nombre que le darás al polígono de “n” lados?

¿Qué sucedería si en algún momento te piden el nombre de un polígono de 123 lados? ¿lo respondería con facilidad?.

Para darle el nombre a un polígono debes estar segur construirlo, y para poder realizarlo lo primero es aprender la técnica para que puedas dar el nombre de cualquier polígono. Aquí se comenzará desde las unidades (1 hasta el 9), las decenas

Nombres de polígonos en unidades (3 a 9 lados)

La fórmula es unir:

Unidades + gono

Existen polígonos que comúnmente se conocen con el nombre de triángulos y cuadrados, pero su nombre real según la fórmula es: trígono y tetrágono respectivamente.

Nombres de polígonos primera decena (10 a 19 lados)

La fórmula es unir:

Unidades + Decá + gono

Nombres de polígonos segunda decena (20 a 29 lados)

A partir de aquí se usa la siguiente fórmula:

Decena + kai + Unidades + gono

Nombres de polígonos tercera decena (30 a 39 lados)

Fórmula:

Decena + kai + Unidades + gono

Nombres de polígonos cuarta decena (40 a 49 lados)

Fórmula:

Decena + kai + Unidades + gono

Nombres de polígonos quinta decena (50 a 59 lados)

Fórmula:

Decena + kai + Unidades + gono

Nombres de polígonos sexta decena (60 a 69 lados)

Fórmula:

Decena + kai + Unidades + gono

Nombres de polígonos séptima decena (70 a 79 lados)

Fórmula:

Decena + kai + Unidades + gono

Nombres de polígonos octava decena (80 a 89 lados)

Fórmula:

Decena + kai + Unidades + gono

Nombres de polígonos novena decena (90 a 99 lados)

Fórmula:

Decena + kai + Unidades + gono

Nombres de polígonos de centenas (100 a 999 lados)

La fórmula es la misma:

Centena + gono

Con unidades y decenas, la fórmula es la siguiente:

Centena + decena + kai + unidades + gono

Otras decenas

Actividades

Completa la tabla

Observa la siguiente imagen y responde cada pregunta

• ¿Qué cantidad de vértices tiene la figura?
• Escriba cada vértice
• ¿Cuántos lados tiene?
• Escriba cada lado
• ¿Cuántas diagonales tiene?
• Diga el nombre del polígono según el número de lados.
• Mencione el tipo de polígono según el tipo de convexidad
• Tipo de polígono según las medidas de sus lados

Determina por medio de la fórmula la cantidad de diagonales de cada uno de los siguientes polígonos.

• Eneágono.
• Pentadecágono.
• Tetradecágono o cuadrilátero.
• Icoságono.
• Triaconta.

La figura a continuación es un dodecágono regular, el número de diagonales que tiene es:

• Igual a 12.
• Igual a 6.
• Mayor que 12.
• Menor que 6.

Si te gustó este contenido, comparte con tus amigos 😉 seguramente será de gran ayuda para ellos. También nos encantaría leer tus comentarios acerca de este tema. No olvides que si necesitas refuerzo en este tema puedes contactarnos, con gusto te agendaremos una clase.

Javier Guzmán

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¿Sabías que los triángulos los puedes ver al tu alrededor? En cualquier lugar donde te encuentres seguramente verás algo que tenga forma triangular, puede ser una  ventana, un televisor, un puente, una escalera, las caras de una pirámide, una señal de transito, un velero, un gancho de ropa, entre otros.

Esta figura geométrica es relevante, por ser tan útil en muchos campos, como en el diseño de estructuras, diseños de circuitos eléctricos, soluciones de problemas matemáticos, diseños arquitectónicos, estrategias deportivas, orquestas musicales, procesos de calentamiento de sustancias, etc.

Definición de triángulo

Partes del triángulo

El triángulo está compuesto por:

1. Tres lados.
2. Vértices y
3. Ángulos internos.

Todo triángulo posee base y altura.

Base

Altura

¿Cómo es la escritura de un triángulo?

Toda escritura de un triángulo debe estar compuesta por su símbolo y sus vértices. Observa la imagen

Polígono	Triángulo
Simbología
Vértices
Escritura del triángulo

¿Cómo escribir los lados de un triángulo?

Existe dos formas de escribir los lados de un triángulo.

Forma # 1: Se escribe la letra de cada vértice ubicado en el lado y encima de ellas se traza la simbología del segmento (  ). A continuación un triángulo y su desarme de cada lado.

Forma # 2: El nombre del lado se corresponde con el vértice opuesto a él y debe escribirse en letras minúsculas. Observa la imagen, las flechas proyectan desde el vértice hasta su lado opuesto asignándole como nombre el mismo del vértice pero en minúsculas.

A continuación la escritura de cada lado según su vértice opuesto es:

Vértice opuesto al lado	Escritura del lado opuesto al vértice

¿Cómo escribir los ángulos internos de un triángulo?

Muy fácil, primero debes tener en cuenta su símbolo que es acompañado con la letra del vértice, observa la imagen:

Clasificación de los triángulos

Los triángulos se clasifican según:

Según la longitud de sus lados

Existen 3 tipos de triángulos en concordancia con sus medidas, ellos son:

Escaleno

Isósceles

Equilátero

Según el tipo de ángulo interno

Existen 3 tipos de triángulos según sus ángulos internos y sus nombres son:

Rectángulo

Observa la imagen:

Obtusángulo

Observa la imagen:

Acutángulo

Observa la imagen:

Propiedades de los triángulos

Los triángulos tiene 4 propiedades:

Ejemplo # 1

Determine el valor del C  y responda ¿Qué propiedad debe utilizarse? Observa la imagen.

Para determinar el valor del C  debes aplicar la propiedad # 1.

Fórmula:

Cómo se necesita conocer el valor de C , realizas un despeje quedando de la siguiente manera:

Se sustituye los valores en la fórmula para determinar el ángulo C.

Ejemplo # 2

Determine el valor del ángulo exterior α

Para determinar el ángulo exterior, debes aplicar la propiedad # 2 que dice: “El ángulo externo de un triángulo es igual a la sumatoria de los dos ángulos internos no adyacentes”.

Los ángulos no adyacentes es el de 72° y el de 40°

Se aplica la fórmula:

Sustituye los valores de ambos ángulos

Entonces el valor del ángulo externo α es:

Ejemplo # 3

Diga si las siguientes dimensiones pertenecen a un triángulo.

a=2cm ; b=12cm ; c=15cm

Para saber si esas medidas pertenecen a un triángulo, debes aplicar la propiedad # 3  y comprobar cada lado de la siguiente manera:

1. Lado a:
   
     😆  Se cumple
2. Lado b:
   
     😆  Se cumple
3. Lado c:
   
     😥 No se cumple

Si en la comprobación existe un sólo lado donde no se cumple, eso quiere decir que las dimensiones dadas en el ejemplo no representa un triángulo.

Ejemplo # 4

Identifica el ángulo mayor y menor del triángulo. Justifique

Según la propiedad # 4 dice: “El lado de mayor longitud es opuesto al ángulo de mayor amplitud”

Esto quiere decir que el ángulo de mayor amplitud es:

También dice: “El lado de menor longitud es opuesto al ángulo de menor amplitud”

Entonces, el ángulo de menor amplitud es:

Actividades de triángulos

Complete el diagrama

Responda verdadero o falso

Un triángulo acutángulo es equilátero.

Un triángulo puede tener dos ángulos rectos.

El lado opuesto al ángulo de mayor amplitud es siempre el lado de mayor longitud.

La sumatoria de los ángulos internos de un obtusángulo es menos a 180°.

Un triángulo puede tener un ángulo recto y un ángulo obtuso.

Un triángulo puede tener todos los ángulos agudos.

Determina la medida de los ángulos según los datos que tiene cada triángulo

Observa muy detenidamente el triángulo y justifica porque no se puede construir.¿Se pueden dibujar los siguientes triángulos? Aplica la propiedad # 3 y haz triángulos con las siguientes medidas: 

• 14cm, 11cm y 8cm.
•  1cm, 8cm y 10cm.
• 4cm, 6cm y 8cm.
•  1cm, 4cm y 5cm.

Ahora que conoces un poco más acerca de los triángulos es hora de poner en práctica lo aprendido. No olvides comentar y compartir esta información que será de gran ayuda para otros. Te invitamos a ver el artículo razones trigonométricas de un triángulo rectángulo.

Javier Guzmán

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¿Sabes para qué sirven los gráficos o diagramas estadísticos? Estos son utilizados en diversas actividades que realizamos en la vida cotidiana. A continuación, aquí tienes una situación que seguramente has escuchado en casa:

➡ ¡Guao! El consumo de electricidad de este mes aumentó muchísimo, hagan el uso correcto de los aires acondicionados.

➡  El esfuerzo que se hizo el mes pasado nos recompensó, en esta oportunidad  el cobro de la energía utilizada disminuyó bastante.

Esas expresiones vistas anteriormente es obtenidas al realizar una lectura de los gráficos estadísticos que poseen los recibos de energía.

Gráficos o diagrama estadísticos

La información de las variables cualitativas son representadas a través de gráficos como diagramas de barras, diagramas circulares y pictogramas.

Diagramas de Barras

Pasos para construir un diagrama de barras

1. Dibujar los dos ejes del plano cartesiano, el eje x y eje y. Cada trazo separado a 1 centímetro.
   
2. En el eje x se describe las clases de la variable en estudio y en el eje y la escala numérica. Dejar un espacio de 1 centímetro entre barra y barra.
   

Ejemplo # 1: Construye un diagrama de barras.

Se consultó a 50 maestros de 2 colegios, respecto a los mejores lugares para viajar. La información fue la siguiente:

 ➡  Escribe los valores de ambas consultas (colegio # 1 y colegio # 2) en la hoja de cálculo # 1 mostrada a continuación y observa a la derecha la gráfica de barra.

Escribe aquí las consultas.

Hoja de cálculo # 1

Diagrama circular

Pasos para construir un diagrama circular

1. Calcular el ángulo de cada sector multiplicando la frecuencia relativa por 360°
   
   Donde A = ángulo.
2. Construir el diagrama.

Ejemplo # 2: Construye un diagrama circular.

 ➡  Escribe en la hoja de cálculo # 2 las consultas del colegio # 1 y # 2, luego al lado derecho notarás el diagrama circular.

Te facilito  ambas consultas:

Escribe aquí las consultas.

Hoja de cálculo # 2

Pictogramas

Por extensión

Pasos para construir un pictograma por extensión

1. Dibujar el eje x y eje y.
2. En el eje x se describe las clases de la variable en estudio y en el eje y la escala numérica.
3. Realizar el dibujo alusivo a la variable, el tamaño del dibujo es según la cantidad de la frecuencia absoluta de cada clase.

Ejemplo # 3: Se consultó a profesores si tenían más de dos hijos, en las ciudades de Cúcuta, Santa Marta, Bogotá e Ibagué. Vea los resultado en la tabla y el pictograma por extensión.

Por repetición

Pasos para construir un pictograma por repetición

1. Dibujar el primer cuadrante del plano cartesiano.
2. Las clases de la variable puede ser ir en el eje “x” o eje “y”.
3. Si ubicaste la clase de la variable en el eje “x”, entonces la frecuencia se coloca en el eje “y” o viceversa.
4. Dibujar la imagen alusiva a la variable en estudio.
5. Crear una leyenda.

Ejemplo # 4: Construir un pictograma por repetición. La información es la siguiente:

Actividades de gráficos y diagramas estadísticos

Identifique si la expresión es verdadera o falsa. 

1. Los medios de comunicación como internet no presentan gráficos estadísticos.
2. Los medios de comunicación como la radio presentan pictogramas,
3. En una gráfica de barras las clases son representadas en el eje vertical.

Interpreta la información que se muestra en el siguiente gráfico.

La siguiente gráfica corresponde a la cantidad de ropa fabricada por una empresa en el mes de febrero.

1. ¿Cuántas prendas de hombre se fabricó?
2. ¿Cuál es la prenda que más se fabricó?

Utiliza la siguiente información de la tabla de frecuencias, y realiza lo que solicita el punto 1 y 2.

1. Construye un diagrama de barras
2. Construye un diagrama circular.

Usa la información representada en los diagramas. En cada caso emite dos conclusiones.

Según la representación gráfica. ¿Cuál de las afirmaciones no es correcta?

a. La mayoría les gusta Sony Play Station 5.

b. Un de los niños entrevistados les gusta Xbox Series X.

c. Menos del 10% de las personas les gusta Nintendo Switch.

d. Son más los niños que les gusta Nintendo Switch OLED que la consola Xbox Series X.

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Javier Guzmán

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¿Te gustaría conocer más acerca de la caracterización de variables cualitativas? Para entrar en materia, lo mejor es plantear una situación de la vida cotidiana.

Situación de la vida cotidiana de caracterización de variables cualitativas

El entrenador de basquetbol de Alfonso siempre tiene a su disposición un cronómetro y cuando le dice al grupo que deben realizar una actividad específica, él comienza a medir y registrar el tiempo de cada uno de ellos. Una de esas actividades es la de tiro libre, esta debe ser efectuada en menos de tres segundos y encestando. Al finalizar, su asistente le entrega el registro y en función a esos resultados el entrenador toma una decisión y aplica los correctivos respectivos.

Caracterización de variable cualitativa

Es especificar el comportamiento que tiene la variable en una población específica, según la distribución de frecuencias, gráficos y moda.

Distribución de frecuencias

Para explicar el significado de una distribución de frecuencia se considerará el ejemplo anterior, de encestar el balón en menos de tres segundos. Para esta actividad cada atleta tenía que realizar 30 lanzamientos, los resultados de Alfonso fueron los siguientes:

Efectividad de tiros

Donde:

Sí = Encestó y No = No encestó

Al observar la información es difícil llegar a una conclusión acerca de la efectividad de los tiros de Alfonso. Por tal razón es necesario caracterizar la variable que tiene como nombre «Efectividad de tiros» a través de una distribución de frecuencias.

Una distribución de frecuencias está formada por cinco columnas y sus filas según la cantidad de clases de la variable sometida a estudio.

El nombre de cada columna es:

• Clases o datos: Es la primera columna y se refiere a las características de la variable en estudio, por ejemplo: opiniones, gustos, preferencias, edades, peso, etc. y se simboliza como: xi
• Frecuencia absoluta: Es la segunda columna y expresa la cantidad de datos que tiene la variable en cada clase y se simboliza como: fi 
• Frecuencia absoluta acumulada: Es la tercera columna y es la sumatoria de las frecuencias absolutas y se escribe así: Fi
• Frecuencia relativa: Es la cuarta columna y consiste en dividir la frecuencia absoluta de cada clase entre la sumatoria total de las frecuencias absolutas y se simboliza así: fr
• Frecuencia porcentual: Es la quinta columna y manifiesta el porcentaje de cada clase, se obtiene multiplicando por cien cada frecuencia relativa y su simbolización es: fi%

Pasos para crear una tabla de distribución de frecuencias

1. Crear cinco columnas.
2. Crear las cantidades de clases según el planteamiento.
3. En la primera columna ubicar el nombre de la variable y entre paréntesis (xi).
4. En la segunda columna la frecuencia absoluta y entre paréntesis (fi).
5. En la tercera columna la frecuencia absoluta acumulada y entre paréntesis (Fi).
6. En la cuarta columna la frecuencia relativa y entre paréntesis (fr).
7. Y en la quinta columna la frecuencia porcentual y entre paréntesis (fi%).

Organización de los datos de tabla de distribución de frecuencias

xi	fi	Fi	fr	fi%
Encestó	17	17		56,6
No encestó	13	30		43,3
Total	30		1	100%

• Primera columna se ubica el nombre de la variable “Efectividad de tiros”  xi, en la primera clase se le denominó “Encestado” y la segunda clase “No encestó”
• Segunda columna la frecuencia absoluta, aquí se contabilizó las veces que encestó y las que no encestó.
• Tercera columna la frecuencia absoluta acumulada, siempre en la primera clase se copia el primer valor de la frecuencia absoluta y en la siguiente clase se suma el dato de la frecuencia absoluta acumulada con la frecuencia absoluta de la siguiente clase.
• Cuarta columna la frecuencia relativa, aquí se dividió la frecuencia absoluta entre el total de la sumatoria de la frecuencia absoluta, esta debe sumarse y siempre debe dar como resultado 1.
• Quinta columna la frecuencia porcentual, en esta se multiplica el resultado de cada frecuencia relativa por cien.

Pon en practica lo aprendido de caracterización de variables cualitativas

A continuación se muestra una lista con las alturas de 20 estudiantes del grado 6°.

• Construye una tabla de frecuencias.
• Ordena los datos de menor a mayor.
• Ingresa sus frecuencias.

Responda:

• ¿Qué altura es mayor a un 25%?
• ¿Qué altura representa un 20%?
• ¿Qué altura representa menos de un 10%?

Alturas en centímetros (cm)

Nota:  Para calcular las frecuencias absolutas acumuladas, la frecuencia relativa y la frecuencia relativa porcentual, utiliza la tabla de frecuencias (Para practicar)

TABLA DE FRECUENCIAS (Para practicar)

Ejercicios de caracterización de variable cualitativa

1. El profesor de estadísticas de una escuela les pidió a sus estudiantes que realizaran una encuesta para todo el colegio, incluyendo a maestros, estudiantes, personal de limpieza y personal administrativo. La finalidad es conocer la preferencia en cuanto al género de películas. A continuación la tabla de distribución de frecuencia.
   

   xi	fi	Fi	fr	fi%
   Acción	252
   Aventuras	134
   Comedia	188
   Total

   Calcule y llene la tabla.
2. Analiza la siguiente distribución de frecuencias. Determina A, B, C, D y E.
   

   xi	fi	Fi	fr	fi%
   Marcador	10	B		D
   Lapicero	A	C		E

   Los valores de A, B, C, D y E respectivamente son:
   ♠ 23 – 33 – 10 – 30,3 – 69,6
   ♠ 33 – 10 – 23 – 69,6 – 30,3
   ♠ 23 – 10 – 33 – 30,3 – 69,6
   ♠ 33 – 23 – 69,6 – 10 – 30,3
3. Una empresa de colchones realiza una encuesta para conocer la preferencia de 4 marcas de colchones, los resultados parciales se muestran en la siguiente tabla. Completa y contesta las siguientes preguntas.
   

   Marca	fi	Fi	fr	fi%
   Rublex	25
   Tierno	19
   Yogo	23
   Único	17

   ♠ ¿Cuál es el tamaño de la muestra?
   ♠ ¿Cuál es la marca de mayor preferencia?
   ♠ ¿Cuál es la marca de menor preferencia?
   ♠ ¿Cuál es el porcentaje de la muestra que prefiere Yogo?
   ♠ ¿Cuál es el porcentaje de la muestra que prefiere Guda?
   ♠ ¿Cuál es el resultado de sumar los porcentajes de cada marca?
4. En un examen de estadísticas las notas de los alumnos fueron las siguientes:
   

   5	8	9	9	5
   6	9	5	6	9
   10	10	4	6	8
   8	5	6	5	7
   7	7	6	4	5

   ♠ Construya una tabla de distribución de frecuencias.
   ♠ ¿Qué porcentaje tiene las notas mayores de 7?
5. La siguiente gráfica corresponde a la cantidad de camisetas confeccionadas por la empresa YJGB en el mes de marzo
   ♠ ¿Cuántas prendas de hombre se confeccionaron?
   ♠ ¿Cuál es la prenda que más se confeccionó?  

      5. ¿Cómo se llama la frecuencia que suma la frecuencia absoluta?

      6. ¿Cómo se llama la frecuencia que divide la frecuencia absoluta entre el total de datos?

    7. Observa la imagen y construye una tabla de distribución de frecuencias, la tabla debe tener frecuencia absoluta, frecuencia absoluta acumulada, frecuencia relativa y frecuencia porcentual. Para ayudarte a crear la tabla clica  ➡ Tabla de frecuencias

Si este contenido de caracterización de variables cualitativas te ayudó en tus clases de matemáticas, te invitamos a compartir el contenido para ayudarnos a llegar más lejos.

Javier Guzmán

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¿Sabías que graficar en el plano cartesiano es muy sencillo? ¿Cómo hacen para representar gráficamente la carrera realizada por un atleta? bueno es muy fácil se debe tener un cronómetro para medir el tiempo por cada 5 metros de distancia que corre. Supongamos que el atleta le toca competir en 100 metros plano, entonces son 20 mediciones realizadas con el cronómetro para así poder registrar la velocidad en forma gráfica.

Plano cartesiano

El plano cartesiano llamado también sistema de coordenadas rectangulares consiste en dos rectas interceptadas perpendicularmente, y son llamadas ejes de coordenadas. Estos ejes poseen dos posiciones, una horizontal y la otra vertical, el eje horizontal es llamado abscisa o simplemente eje “x”, y el eje vertical es llamado ordenada o eje “y”. Ambos ejes deben poseer escalas, la mitad de un eje es positivo y la otra negativa, los números positivos están a la derecha y arriba del cero, mientras que los negativos están a la izquierda y debajo del cero. Observa la figura:

El punto donde se intercepta el eje de las abscisa con el eje de la ordenada es llamado origen de coordenadas, ubicado en el cero “0” del plano cartesiano. Observa:

Al interceptar ambos ejes de forma perpendicular el plano se divide en cuatro zonas llamadas cuadrantes y se enumeran en el sentido contrario a las agujas del reloj.

Resumen de las características del plano cartesiano

Un plano cartesiano posee las siguientes características:

1. Es un plano 2D, es decir de dos dimensiones denominado también plano bidimensional
2. Por ser bidimensional posee dos ejes, un eje vertical y otro horizontal
3. Ambos ejes siempre están interceptados a un ángulo de 90°
4. En la intercepción de los ejes se crea un punto llamado origen del plano cartesiano, en ese punto es ubicado el cero “0”
5. Debido a que ambos ejes se encuentran interceptados el plano se divide en cuatro cuadrantes, enumerados en el sentido contrario de las agujas del reloj.
6. Los dos ejes deben poseer escalas
7. Tomando como referencia el origen del plano cartesiano, en el eje horizontal o eje “x” los números positivos se encuentran a la derecha del mismo y los negativos a la izquierda, en el eje vertical o eje “y” los números positivos se ubican arriba del origen del plano cartesiano y los negativos por debajo.

¿Cómo construir un plano cartesiano?

Procedimiento

Paso # 1: Papel milimetrado.

Paso # 2: Regla.

Paso # 3: Dirigir la regla donde se trazará la recta.

Paso # 4: Trazar la recta del eje de las abscisas (eje x).

Paso # 5: Continuación.

Paso # 6: Posiciona la regla con la recta dibujada y desde el cero del instrumento de medición  marca una raya por cada centímetro.

Paso # 7: Gira la regla hacia la izquierda y posiciona el cero en el primer trazo realizado, construya cada raya por cada centímetro de la escala de la regla.

Paso # 8: Escribe los números de la escala del eje “x”

Paso # 9: Coloca la regla verticalmente que coincida con el cero (origen del plano cartesiano) y traza la recta del eje de las ordenadas (eje y).

Si vas a realizar el eje vertical en un papel blanco debes usar el transportador, colocando el centro del mismo en el origen del plano cartesiano, luego traza un punto en 90°
Girar el transportador y realiza el mismo procedimiento anterior
Utiliza una regla para unir los puntos

Paso # 10: Dibuja los trazos del eje positivo “y”

Paso # 11: Escribe los números de la escala positiva del eje “y”

Paso # 12:  Dibuja los trazos del eje “y” negativo.

Paso # 13: Escribe los números de la escala negativa del eje “y”

Paso # 14: Fin

Finalidad del plano cartesiano

La finalidad que tiene un plano cartesiano es poder ubicar o graficar puntos por medio de un par ordenado.

Todo punto se expresa con una letra mayúscula y un par ordenado son dos coordenadas agrupadas entre paréntesis, la primera coordenada es un valor ubicado en la abscisa o eje “x” y la segunda coordenada es otro valor ubicado en la ordenada o eje “y”, es decir que un par ordenado se ve de la siguiente forma: ( x , y )

Ejemplo: Dado un punto P ( -3 , 5 )

El par ordenado es ( -3 , 5 ) al ser graficado es un punto llamado P

La primera coordenada es -3 y la segunda coordenada es 5, también se puede identificar así:

x = -3       y      y = 5

¿Cómo graficar puntos en el plano cartesiano?

Para graficar puntos en el plano cartesiano, debes fijarte muy bien de las coordenadas de los pares ordenados y proceder a cumplir los siguientes pasos:

1. Graficar la primera coordenada “x”. Para graficar la coordenada “x” debes trazar una línea segmentada suave vertical.
2. Graficar la segunda coordenada “y”. Para graficar la coordenada “y” debes trazar una línea segmentada suave horizontal
3. El lugar donde coincide ambas líneas se marca el punto con el lápiz
4. Se escribe el nombre del punto

Ejemplo # 1

1.Representa en el plano cartesiano los siguientes puntos

1. ¿Diga en qué cuadrante está cada uno de los puntos?

Trazado del punto A (-2,2)

• El valor de la primera componente es x = –2 .
  Por ser valor de x se traza una línea vertical segmentada desde x = –2 hasta la cercanía de la otra coordenada
  y = 2

• El valor de la segunda componente es y = 2 .
  Por ser valor de y se traza una línea horizontal segmentada desde y = 2 hasta la cercanía de la otra coordenada
  x = 2

• Se marca un punto donde ambas líneas coinciden

• Se escribe el nombre del punto

Trazado del punto B (0,5)

• El valor de la primera componente es x = 0
  Por ser valor de x se traza una línea vertical segmentada desde x = 0 hasta la cercanía de la otra coordenada
  y = 5, pero la línea coincidiría con el eje “y” por lo tanto se marca el punto en y = 5

• Se escribe el nombre del punto

Trazado del punto C (-3,3)

• El valor de la primera componente es x = –3
  Por ser valor de x se traza una línea vertical segmentada desde x = –3 hasta la cercanía de la otra coordenada
  y = 3

• El valor de la segunda componente es y = 3 .
  Por ser valor de y se traza una línea horizontal segmentada desde y = 3 hasta la cercanía de la otra coordenada
  x = -3

• Se escribe el nombre del punto

Finalmente los tres puntos graficados quedan así:

Los puntos A y C quedaron ubicados en el II cuadrante, mientras que el punto B quedó en todo el eje positivo de “y”

Ejemplo # 2

A continuación en el siguiente video verás como graficar una bota con puntos en el plano cartesiano

Actividades

1.Representa en el plano cartesiano los siguientes puntos

2.¿En cuál cuadrante está cada uno de los puntos de la actividad anterior?

3.Represente los siguientes puntos en el I cuadrante, luego una cada punto y diga que figura se formó

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Profesora Militza

¿Sabías que las operaciones con fracciones son muy fáciles? Será que cuando cocinas, compras, juegas o simplemente estás relatando una anécdota, ¿no se te ha presentado que debes operar fracciones?, la pregunta sería ¿Te recuerdas cómo operar fracciones?. Te diré que siempre en nuestras vidas siempre existe ese momento y debemos estar preparados ya que si resuelves bien las operaciones puedes incluso llegar a tomar buenas decisiones.

Te cuento que una vez  un chico llamado Javier va a la frutería más cercana a su casa a comprar granadilla, y el precio era de $3.750 la libra, pero la cantidad de dinero que disponía Javier era de tan sólo $2000, luego él decide sacar la cuenta y multiplicar ½ libra × $3.750 y eso le daba un costo de $1875, finalmente el decide adquirir la ½ libra porque lo podía cancelar con sus $2000.

Simplificación de fracciones

La simplificación de fracciones puede ser realizado de dos maneras:

1. Aplicando el máximo común divisor (M.C.D.)
2. Buscando un número primo que sea divisible entre el numerador y el denominador

I. Simplificar fracciones aplicando el Máximo Común Divisor M.C.D.

Para simplificar aplicando este método se debe cumplir:

Ejemplo

Simplifique la siguiente fracción  aplicando Máximo Común Divisor.

Pasos		Operación
1.	Determinar el M.C.D. a través de la descomposición en sus factores primos
2.	Dividir el numerador y el denominador por M.C.D.
3.	La fracción simplificada es:	72/41

II. Simplificar fracciones entre un número primo

Buscar un número primo que sea divisible entre el numerador y el denominador.

Ejemplo

Simplifique la siguiente fracción  aplicando números primos.

Pasos		Operación
1.	Buscar un número primo que sea divisible entre el numerador y el denominador	Como el 64 y el 20 son pares, se usa el 2
2.	Dividir el numerador y el denominador hasta lograr obtener una fracción irreducible

Operaciones con fracciones

Cuando se menciona operaciones con fracciones, se refiere sumar, restar, multiplicar y dividir entre fracciones.

I. Adición y sustracción de fracciones con iguales denominadores (fracciones homogéneas)

Ejemplo

Opere: 

Pasos		Operación
1.	Como los denominadores son iguales se suman los numeradores y se deja el mismo denominador
2.	El denominador y el denominador se pude simplificar entre 2, entonces el resultado queda expresado así:

II. Adición y sustracción de fracciones de distintos denominadores (fracciones heterogéneas)

Estas operaciones puede realizarse a través de dos métodos:

a. Adición y sustracción de fracciones de distintos denominadores en forma cruzada

Para realizar la adición o sustracción en forma cruzada, debes cumplir con el siguiente procedimiento:

1. Escribir una igualdad y trazar una línea de fracción (los pasos desde el 2 hasta el 5 se escriben en esta fracción creada)
2. Multiplicar el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda fracción, el resultado ubicarlo en el numerador.
3. Escribir el signo (positivo o negativo) de la operación
4. Multiplicar el denominador de la primera fracción por el numerador de la segunda fracción, y ubicarlo después del signo (positivo o negativo)
5. Multiplicar ambos denominadores y el resultado escribirlo como denominador.
6. Escribir otra igualdad y trazar una línea de fracción (los pasos desde el 7 hasta el 8 se escriben en esta fracción creada)
7. Operar la suma o la resta de los numeradores y escribir el resultado
8. Escribir el mismo denominador
9. Se saca el máximo común divisor (M.C.D)
10. Simplificar la fracción

Ejemplo

Determine   

Pasos		Operación
1.	Escribir una igualdad y trazar un línea de fracción
2.	Multiplicar el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda fracción, escribir el resultado como se muestra a la derecha
3.	Escribir el signo positivo
4.	Multiplicar el denominador de la primera fracción por el numerador de la segunda fracción y escribir el resultado como se muestra a la derecha
5.	Multiplicar ambos denominadores y su resultado escribirlo en el denominador
6.	Escribir otra igualdad y trazar una línea de fracción
7.	Sumar los numeradores
8.	Escribir el mismo denominador
9.	Se saca el máximo común divisor del numerador 200 y del denominador 128 M.C.D. (200,128)	M.C.D. (200,128) = 8
10.	Simplificar entre 8 a la fracción
Es decir el resultado de la suma de las dos fracciones es

b. Adición y sustracción de fracciones de distintos denominadores aplicando el mínimo común múltiplo m.c.m.

Este método se aplica para operaciones de sumas o restas  desde dos fracciones en adelante.

Observa el procedimiento:

1. Determinar el mínimo común múltiplo de todos los denominadores
2. Escribir el signo de la igualdad y crear una línea de fracción y en esta misma fracción escribir el resultado del m.c.m. en el denominador.
3. Dividir el denominador entre el denominador de la primera fracción, luego el resultado multiplicarlo por el numerador de la fracción, posteriormente escribirlo en el numerador de la nueva fracción.
4. Coloque el signo (positivo o negativo) correspondiente
5. Repetir el mismo paso # 3 con la siguiente fracción
6. Repetir el mismo paso # 4
7. Simplificar si se puede.

Ejemplo

Determine 

Nota que es la misma suma que se hizo anteriormente, pero esta vez es aplicando el mínimo común múltiplo

Pasos		Operación
1.	Sacar el mínimo común múltiplo de los denominadores 8 y 16	m.c.m. (8,16) = 16
2.	Escribir el signo de la igualdad y trazar una línea de fracción, posteriormente colocar en el denominador el resultado del m.c.m.
3.	Dividir el denominador 16 entre el denominador 8 y resultado es 2, luego este resultado (2) se multiplica por el numerador 5 , luego escribirlo en el numerador
4.	Escriba el signo +
5.	Realizar el mismo procedimiento del paso #4 con la siguiente fracción
6.	Escribir el signo de la igualdad y trazar una línea de fracción y sumar los numeradores dejando el mismo denominador

III. Multiplicación de fracciones

Ejemplo

Determine 

Pasos		Operación
1.	Multiplique numerador con denominador y denominador con denominador
2.	El resultado es la mínima expresión, por lo tanto no se puede simplificar
El resultado es:

IV. División de fracciones

Ejemplo

Determine   

Pasos		Operación
1.	Multiplicar numerador de la primera fracción con el denominador de la segunda fracción
2.	Multiplicar el denominador de la primera fracción con el numerador de la segunda fracción
3.	Sacar el M.C.D. del numerador y denominador	M.C.D.(52,80) = 4
4.	Simplificar
El resultado es:

Actividades

1.Determine las siguientes adiciones y sustracciones aplicando el método cruzado y el m.c.m. Simplifique

a.		b.		c.
d.		e.		f.
g.		h.		i.

2.Determine las siguientes adiciones y sustracciones. Simplifique

a.		b.		c.
d.		e.		f.

3.Determine las siguientes operaciones. Simplifique

a.		b.		c.
d.		e.		f.
g.		h.		i.

Profesora Militza

Si estás buscando las propiedades de la potenciación de números enteros has llegado al lugar indicado. En nuestra vida cotidiana el uso de estas propiedades se hace con mucha frecuencia. Aunque no lo notes, en este post te darás cuenta lo importante de saber su aplicación. Por ejemplo, al calcular el volumen de una caja debes aplicar la siguiente fórmula:

Si cada lado de la caja mide 10 cm, los pasos para calcular el volumen es el siguiente:

• Sustituir el valor de 10cm y se elevarlo a la tres:

• Aplica una propiedad de la potenciación:

• Como el 10 está elevado a la tres, se multiplica tres veces:

Finalmente el volumen de la caja es:

¿Qué propiedad de la potenciación de números enteros se aplicó en esta situación?

Propiedades de la potenciación de números enteros

La potenciación es una operación matemática que consiste en multiplicar un número por sí mismo llamado «base» según lo que exprese el exponente. La potenciación se puede presentar de diversas formas y para poderlas resolver correctamente, es fundamental aplicar las propiedades de la potenciación. A continuación, se detallan cada una de estas propiedades.

1. Multiplicación de potencias de igual base

En esta propiedad, se escribe la misma base y se suman los exponetes. En este caso las bases (a) son iguales y se multiplican, cada base posee un exponente (m) y (n) y el resultado es la misma base (a) y el exponente resultante es la sumatoria de los exponentes de cada base. Observe la expresión de la primera propiedad:

$$a^{m}.a^{n}=a^{m+n}$$

Ejemplo: A continuación se expresa una multiplicación de dos bases iguales de valor 3 con exponentes 5 y 3 . Se aplica entonces la primera propiedad de la potenciación y queda de la siguiente manera:

$$3^{5}.3^{3}=3^{5+3}=3^{8}$$

Finalmente se resuelve la potenciación:

$$3^{8}=3.3.3.3.3.3.3.3=6561$$

2. Potencia de una potencia

En este caso la base (a), posee un exponente (m) y a su vez este exponente posee otro exponente (n) el resultado es la base (a) y el exponente resultante es la multiplicación de los exponentes. Observe la expresión de la tercera propiedad:

$$(a^{m})^{n}=a^{n}$$

Ejemplo: A continuación se expresa una base igual a 4 elevado al cuadrado y a su vez es elevado al cubo. Se aplica entonces la tercera propiedad de la potenciación y queda de la siguiente manera:

$$(4^{2})^{3} = 4^{2.3} = 4^{6}$$

Finalmente se resuelve la potenciación

$$4^{6}=4.4.4.4.4.4 = 4096$$

3. Potencia de base 10

La forma de resolver esta situación es escribiendo la base diez y agregarle tantos ceros según lo indicado por el exponente.

Ejemplo:

Para resolver $$10^{2}$$ el procedimiento es multiplicar la base dos veces, es decir: $$10^{2}=10.10=100$$

$$10^{2}=100$$

4. Potencia de un producto

En este caso ambas bases (a y b) se multiplican son diferentes y están elevadas.

Para resolverlo debes multiplicar el exponente (n) por el exponente de cada base (a y b), finalmente resuelve ambas potencias y multiplicas ambos resultados.

Ejemplo:

5. Potencia de un cociente

En este caso las bases (a y b) son diferentes se dividen y elevados a un exponente (m), el resultado es que el exponente (m) multiplica con cada exponente de ambas bases. Observe la expresión de la sexta propiedad:

Ejemplo:

6. Potenciación de números enteros: Potencia de exponente cero (0)

En este caso toda base que esté elevada a la 0 (cero) siempre el resultado es 1 (uno), observe el siguiente ejemplo donde la base (a) representa la base.

a⁰ = 1

Ejemplo:  35⁰ = 1

7. Potencia de exponente uno (1)

Cualquier número (base) que se encuentre elevado a la 1 el resultado siempre es el mismo valor inicial.

 $$a^{1}=a$$
Ejemplo: 1045¹ = 1045

8. Potencia de exponente fraccionario

En este caso la base (a) tiene como exponente una fracción, al aplicarle la propiedad la base (a) queda como una cantidad subradical el numerador (m) queda como exponente entero de la base (a) y el denominador (n) pasa a ser el índice de la raíz. Observe la expresión de la octava propiedad:

Ejemplo:

9. Potencia de exponente negativo

Cuando la base (a) posee un exponente negativo (-m) la base (a) queda expresada en el denominador con el mismo denominador pero positivo (m)

Ejemplo:

Actividades de las propiedades de la potenciación de números enteros

I. Resuelva:

$$2^{3}.2^{2} = $$
$$5^{1}.5^{4}=$$
$$4^{2}.4^{3}=$$

• ¿Qué ocurre con los exponentes al multiplicar potencias con la misma base?

$$\frac{6^{4}}{6^{6}}=$$
$$\frac{10^{5}}{10^{3}}=$$
$$\frac{3^{6}}{3^{3}}=$$

• ¿Qué ocurre con los exponentes al dividir potencias con la misma base?

$$(-3^{3})^{4}=$$
$$(102^{3})^{0}=$$
$$(12^{2})^{2}=$$

• ¿Qué observas sobre los exponentes al aplicar la propiedad de la potencia de una potencia?

II. Aplicaciones de la potenciación de números enteros la vida cotidiana

 ➡  Calcula el volumen de las siguientes cajas usando la fórmula del volumen

$$V=l^{3}$$

• Una caja con lados de 3 cm.
• Una caja con lados de 5 cm.
• Una caja con lados de 7 cm.¿Cómo crece el volumen de una caja a medida que aumenta el tamaño del lado?

➡ Algunas bacterias se duplican cada hora, lo que significa que su crecimiento puede representarse con potencias de 2. Ejemplo: determinar las cantidades de bacterias después de 1, 2, 3, y 4 horas, sabiendo que:

1 hora: 2¹

2 horas 2²   y así sucesivamente.

¿Cómo cambia la población de bacterias con cada hora que pasa? ¿Qué observas sobre el crecimiento?

➡ Investiga y representa en notación científica las siguientes distancias:

• Distancia de la Tierra al Sol: aproximadamente 149,600,000 km.
• Distancia de la Tierra a Marte: aproximadamente 225,000,000 km.
• Distancia de la Tierra a Júpiter: aproximadamente 778,000,000 km.

1. ¿Por qué es útil usar potencias de 10 para representar estas distancias?
2. ¿Cómo facilita esto la comparación entre diferentes distancias en el espacio?

Ahora que ya conoces las propiedades de la potenciación de números enteros es hora de poner manos a la obra, práctica cada uno de los casos y podrás mejorar tus habilidades con este contenido.

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Profesora Militza