7ºGrado

¿Quieres profundizar más acerca de la proporcionalidad inversa? Si es así, has llegado al sitio indicado. ¿Sabías que esta relación matemática se presenta cuando al aumentar una magnitud, la otra disminuye en la misma proporción?. Es decir, si duplicas una, la otra se reduce a la mitad. Este principio se aplica en situaciones cotidianas como la velocidad y el tiempo de viaje, el número de trabajadores y el tiempo para completar una tarea, entre muchas más. Te invito que sigas leyendo para veas cómo funciona y cómo aplicarlo en problemas de la vida cotidiana.

¿Qué es la proporcionalidad inversa?

¿Qué son magnitudes inversamente correlacionadas?

Son magnitudes que tienen distintos comportamientos, es decir, una magnitud aumenta y la otra disminuye, o al disminuir la primera aumenta la segunda.

Ejemplo: En la construcción de una casa al existir pocos obreros el tiempo de entrega es prolongado, mientras que, al aumentar las cantidades de obreros en tiempo de entrega disminuye.

Magnitud # 1. Cantidad de obreros (y) = Aumenta.

Magnitud # 2. Tiempo (x) = Disminuye.

¿Qué son magnitudes inversamente proporcionales?

Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando sea:

1. Inversamente correlacionadas.
2. El producto de las dos magnitudes es constante, y se simboliza con la letra

La relación de las dos magnitudes está representada por las letras “y” y “x”, quedando relacionadas de la siguiente manera:

La constante k recibe el nombre de constante de proporcionalidad. Al despejar “y”, la ecuación quedaría:

Observa que la expresión representa una función racional.

¿La función racional es una relación de proporcionalidad inversa?

Sí, representa una relación de proporcionalidad inversa entre dos magnitudes,  “y” y “x”. Al graficar la función racional:

Se obtiene una curva hiperbólica.

Ejemplos resueltos paso a paso

A continuación, las magnitudes son mostradas por medio de tabla de valores y en el plano cartesiano. El objetivo es identificar cuando las magnitudes son inversamente correlacionadas e inversamente proporcionales.

a) La siguiente información fue extraída de un vehículo que viajaba entre dos ciudades.

Análisis:

Se ordena los datos, el tercer dato es la menor velocidad por lo tanto es el primero. A partir de este orden se observa que son magnitudes inversamente correlacionadas, ya que la velocidad aumenta y el tiempo disminuye.

Cómo ambas magnitudes son inversamente correlacionadas, se aplica el producto de las dos magnitudes con el objetivo de hallar la constante de proporcionalidad inversa (k).

Conclusión:

El producto genera una constante, esta constante de proporcionalidad inversa es k = 300.

Por lo tanto, es una Proporción Inversamente Proporcional.

Su función es:

b) La gráfica muestra el comportamiento de un bombillo led.

Análisis:

Ambas magnitudes se comportan inversamente correlacionadas.

Se aplica el producto de las magnitudes para conocer si pertenecen a una proporción inversamente proporcional.

Conclusión:

La multiplicación de ambas magnitudes genera la constante proporcionalidad inversa es k = 30.000.

Es una situación de Proporcionalidad Inversamente Proporcional.

Su función es:

Juega con la Proporcionalidad Inversa

Un motorizado anda por una vía recta, y desea conocer cuánto recorrerá a una rapidez y un tiempo determinado, sabiendo que puede hacer uso de distintas rapidez (más rápido o muy lenta). En esta simulación podrás explorar cómo, al aumentar la velocidad, el tiempo disminuye, y viceversa. Diviértete y analiza la situación, juega con las velocidades y aprende de manera visual cómo funciona la proporcionalidad inversa en el mundo real.

Debes desplazar el botón rojo ubicado en el eje «x» hacia la izquierda o a la derecha.

¡Es tu momento de actuar! Demuestra lo que has aprendido respondiendo estas 4 preguntas. Utiliza la simulación para explorar y encontrar las respuestas. ¡Anímate a enfrentar este reto proporcional inverso!.

a. ¿Cuánto tiempo tarda el motorizado en completar su recorrido de 120 km si anda a una rapidez de 14 km/h?

b. ¿Qué representa la relación entre tiempo y velocidad?

c. Si el motorizado aumenta su velocidad a 20 km/h, ¿en cuánto tiempo finaliza su recorrido?

d. Si el motorizado viaja en 7,5h ¿Qué rapidez constante llevaba?

Actividades Proporcionalidad Inversa

La información muestra la rapidez que Carlitos emplea en recorrer una misma distancia con su bicicleta.

a) Completa la tabla.

b) Representa gráficamente la situación.
c) ¿Cuál es la función?
d) ¿Qué distancia recorre Carlitos?

Determina la constante de proporcionalidad y completa las tablas.

Problema.

Una reserva de agua potable está planificada para abastecer a 90 personas durante 60 días en una expedición. Si se desea que el agua dure 20 días más, ¿cuántas personas deberían haber en la expedición?.

Resp.: 75 personas.

Respuestas 

a. 7.04 horas.
b. David: y = 100/x.
Francisco: y = 120/x.

c. 2.86 horas.
d. 2.86 horas.
e. David: 16.67 horas.
Francisco: 20 horas.

Si estás buscando proporcionalidad directa y su aplicación en la vida diaria has llegado al sitio indicado. ¿Sabías que cuando compras más caramelos, el precio total aumenta proporcionalmente? Pasa lo mismo cuando duplicas la cantidad de harina en una receta, obtendrás el doble de galletas. Estos son algunos ejemplos de proporcionalidad directa, un concepto matemático que está presente en muchas situaciones de nuestra vida cotidiana.

¿Qué es una proporcionalidad directa?

¿Qué son magnitudes directamente correlacionadas?

Son magnitudes que tienen el mismo comportamiento, es decir, una aumenta y la otra también aumenta, o al disminuir una la otra también disminuye.

Ejemplo: Cuando disminuyes la cantidad de frutas para la preparación de un jugo también disminuye las cantidades de vasos a servir.

Magnitud # 1. Frutas = disminuidas.

Magnitud # 2. Vasos = disminuidos.

¿Qué son magnitudes directamente proporcionales?

Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando su razón permanece constante. Esta constante se conoce como constante de proporcionalidad, representada por la letra k.

Su expresión es:

Donde, las letras “y” y “x” simbolizan las magnitudes.

Al despejar “y” en la razón, la expresión se transforma en una ecuación lineal:

Observa que la expresión es una ecuación de primer grado y, debido a esto, representa una función lineal.

¿La función lineal es una relación de proporcionalidad directa?

Sí, es una relación de proporcionalidad directa entre dos magnitudes y y x.

Al ser una función lineal, al graficarla crea una recta que siempre pasa por el origen (0,0) del plano cartesiano.

Donde, k representa la pendiente de la recta, indicando la razón de cambio constante entre ambas magnitudes y y x.

¿Qué pasa si la recta no pasa por el origen del plano cartesiano?

No es una función lineal y por lo tanto sus magnitudes no son directamente proporcionales. Al no pasar por el origen es una función afín.

Ejemplos de proporcionalidad resueltos paso a paso

A continuación, las magnitudes son mostradas por medio de tabla de valores y en el plano cartesiano. El objetivo es identificar cuando las magnitudes son directamente correlacionadas y directamente proporcionales.

a) La información que muestra la tabla es dar a conocer la cantidad de obreros que tardan en hacer una obra.

Análisis:

Se observa que a medida que aumenta los obreros el tiempo disminuye.

Conclusión:

No son magnitudes directamente correlacionadas y, por lo tanto, tampoco son directamente proporcionales.

b) En la gráfica se muestra una relación de distancia-tiempo.

Análisis:

Al aumentar la distancia el tiempo también aumenta.

Son magnitudes directamente correlacionadas y como es una función lineal que pasa por el origen (0,0) del plano cartesiano, son también magnitudes directamente proporcionales.

Su función es:

Se calcula k para conocer la pendiente de la recta, aplicando la relación:

Se escoge cualquier punto graficado de la recta, para este caso se selecciona el punto (1,4).

Observa que el resultado de k es 4m/h, lo que representa una nueva magnitud, ya que combina dos unidades: metros (m) y horas (h).

Esta nueva magnitud se conoce como velocidad.

Entonces, la función de la gráfica es:

Conclusión:

Dado que la distancia y el tiempo son magnitudes directamente proporcionales, la constante de proporcionalidad k = 4 representa la velocidad a la que se mueve el móvil.

c) En esta situación muestra la relación costo-tiempo.

Análisis:

Al aumentar el costo aumenta el tiempo.

En la gráfica se aprecia que la línea no pasa por el origen del plano cartesiano.

Conclusión:

Cómo línea no pasa por el origen del plano cartesiano, las magnitudes no so directamente proporcionales y por ende no existe constante de proporcionalidad “k”.

El tipo de función es función afín.

d) En esta representación gráfica muestra la relación costo-cantidad.

Análisis:

El costo disminuye mientras que la cantidad aumenta

Conclusión:

Dado que existe una contradicción entre las magnitudes, no pueden considerarse directamente correlacionadas y, por lo tanto, tampoco son directamente proporcionales.

A Jugar con la Proporcionalidad Directa en movimiento

Bienvenido a la simulación de Proporcionalidad Directa en movimiento.

En esta actividad interactiva, explorarás cómo la distancia recorrida por un camión y un vehículo está relacionada con el tiempo.

¿Cómo jugar?

1. Usa los botones verde y rojo para modificar la velocidad del camión y del vehículo.
2. Observa cómo cambian las gráficas en la ventana izquierda y la posición de los vehículos en la derecha.
3. Identifica la relación entre el tiempo y la distancia recorrida.
4. Analiza cada punto en la gráfica y cómo representan la proporcionalidad.
5. Responde las preguntas al final para reforzar tu aprendizaje.

¿Cuál es el objetivo del juego?

Comprender cómo la razón de cambio constante en las funciones lineales representan la velocidad de los vehículo y cómo esto se refleja en una situación real.

Laboratorio Virtual: Fortalece tus conocimientos 

Ahora que ya tienes conocimiento del simulador, llegó el momento de poner a prueba lo que has aprendido, ingresa al simulador y responde las 6 preguntas.

1. ¿Cómo puedes saber si la relación entre la distancia y el tiempo es proporcional?
2. Si el camión tiene una mayor pendiente en la gráfica que el vehículo, ¿qué significa esto en términos de velocidad?
3. ¿Qué representan los puntos (13, 1280) y (20, 560) en la gráfica?
4. ¿Qué sucede si aumentas la pendiente de la función roja? Explica cómo afecta la posición del vehículo en la recta real ubicada en lado derecho.
5. Encuentra las funciones de ambas rectas.
6. Con relación con vida cotidiana. Menciona tres ejemplos cotidianos donde puedas aplicar el concepto de proporcionalidad directa.

Actividades

a. Grafica y determina la constante de proporcionalidad en la siguiente información

b. Diga cuál de las siguientes gráficas representan magnitudes directamente proporcionales (justifique). Las que sean magnitudes directamente proporcionales, determina la constante de proporcionalidad.

c. En el planeta Marte, debido a la gravedad, el peso de una persona es aproximadamente 19/50 de su peso en la Tierra.

1. Completa la tabla que relaciona los distintos pesos en kilogramos en la Tierra con su peso en Marte.
2. Crea la gráfica.
3. Si una persona su peso en Marte es de 15kg ¿cuánto kilogramos pesa en la Tierra?

d. Treinta vacas producen 1200 litros de leche diariamente. Además, con 120 litros de leche se pueden elaborar 15 kg de queso.

1. ¿Cuántos litros de leche se requieren para obtener 1 kg de queso?
2. ¿Cuántos días tardará la producción de leche necesaria para fabricar 600 kg de queso?

¿Sabías que la razón y proporción están presentes en muchas situaciones de nuestra vida cotidiana? Por ejemplo, en las recetas de cocina, los ingredientes se ajustan según la cantidad de porciones, lo que representa una razón. Del mismo modo, al calcular distancias en un mapa con una escala o comparar la velocidad de dos vehículos, estamos aplicando proporciones.

¿Qué es la razón?

Ejemplo, la relación entre la distancia recorrida por un ciclista representado con la letra d (en kilómetros) y el tiempo  con la t (en horas), son dos magnitudes diferentes formando una razón:

La expresión de sus unidades de medidas:

¿Se puede escribir las razones de otra forma?

Sí, a : b
Donde: b ≠ 0

¿Qué nombre posee sus elementos a y b?

El nombre del primer elemento “a” es antecedente y el segundo es “b” consecuente.

¿Cómo se puede leer?

Su lectura es: a es a b

Ejemplos de razones

A continuación, mostraré distintas situaciones para aplicar razones. Siempre debes simplificar la expresión de la razón.

1) En la ciudad llamada “x” por cada 6 perros existe 4 gatos.

La razón es: 6 perros : 4 gatos, es decir: 3 : 2.

Conclusión: Existen 3 perros por cada 2 gatos

2) En un colegio, quince de cada veinte son de sexo masculino.

La razón de estudiantes masculinos a estudiantes totales es 15:20, es decir, 3:4.

3) Representa la expresión: 8 es a 15 en forma de una razón.

4) De los 40 asistentes a una reunión empresarial, 25 son mujeres. ¿Cuál es la relación entre el número de asistentes mujeres y el número de asistentes hombres?

¿Qué es la proporción?

¿Cómo se lee?

Se lee: a es a b como c es a d

¿Qué nombre reciben los elementos de una proporción?

Los elementos de una proporción reciben el nombre de extremos y medios.

Al escribir la proporción de esta otra forma puede apreciarse mejor cuando sus elementos son extremos y medios:

a : b = c : d

• a y d, son elementos extremos porque se encuentran en los extremos de la proporción.
  
• b y c, son elementos medios porque están en la parte central de la proporción.
  

Teoremas de proporciones

A lo largo de la historia, se han formulado distintos teoremas que facilitan la resolución de problemas proporcionales garantizando las igualdades entre razones.

A continuación, los teoremas de las proporciones son tres:

Teorema 1. En toda proporción el producto de los extremos es igual al producto de los medios.
Teorema 2. En una proporción pueden intercambiarse el segundo y tercer término, obteniéndose una proporción cierta.
Teorema 3. En una proporción puede invertir las razones.

Tipos de proporciones

Las proporciones se clasifican en continuas y discretas según sus elementos.

Proporción continua

Es una proporción continua cuando los elementos medios son iguales.

Es decir, que:

a : b = b : c

Ejemplo:

En este caso los elementos medios de la proporción son iguales, por lo tanto, el tipo de proporción es continua.

Proporción discreta

Es cuando todos los elementos de la proporción son distintos.

Ejemplo:

Observa que todos los elementos de la proporción son diferentes.

Ejemplos de proporciones

Determinar si el par de razones forma una proporción.

Soluciones                                               

a) Aplicando el Teorema 1:

Ambas razones no crea una proporción.

 b) Por el Teorema 1:

Ambas razones forman una proporción, por lo tanto:

Hallar el valor de x en cada proporción.

Solución a):

Solución b):

Juega con las razones y las proporciones

¿Alguna vez te has preguntado cómo se aplican la razón y la proporción en la vida cotidiana? Con esta increíble simulación interactiva, podrás experimentar, resolver desafíos y descubrir cómo estas relaciones matemáticas están en todas partes.

La simulación tiene dos ventanas, la primera tienes 3 desafíos y debes descubrir la razón en cada una de ellas, la segunda diseñas una razón y en función a ella creas las proporciones.

El juego es muy fácil, lo que debes hacer en el simulador es mover las manitos hacia arriba o hacia abajo. La mano izquierda representa el antecedente y la derecha el consecuente.

Laboratorio Virtual: Fortalece tus conocimientos 

Ahora que ya tienes conocimiento del simulador, llegó el momento de poner a prueba lo que has aprendido, ingresa al simulador y responde las 5 preguntas de cada ventana.

Ventana # 1. Descubrir la razón

1. ¿Descubriste la razón del primer desafío?¿Cuál es la razón?
2. ¿Revelaste la razón del segundo desafío?¿Cuál es la razón?
3. ¿Encontraste la razón del tercer desafío?¿Cuál es la razón?
4. ¿Existirá otras razones equivalentes del desafío 1?
5. ¿Qué sucede con la razón si duplicas ambas cantidades al mismo tiempo?

Ventana # 2. Crear proporciones.

Al ingresar a esta ventana, establece una razón en “Mi desafío” y produce proporciones.

1. ¿Qué razón estableciste?
2. ¿Cuántas proporciones creaste en función a la razón establecida?
3. Si la proporción inicial es 2:3 y duplicas ambas cantidades, ¿sigue siendo equivalente? ¿Por qué?
4. Si en la simulación hay 8 bloques azules y 12 bloques rojos, ¿puedes encontrar una proporción equivalente con números más pequeños?
5. Expresa al menos una proporción de la pregunta 4?

Actividades

A. Utiliza una razón para representar las siguientes situaciones de la vida diaria:

1. En una escuela de música, ocho de cada diez estudiantes tienen un computador portátil.
2. Un equipo de beisbol ha ganado cinco de cada 7 partidos jugados.
3. En el zoológico cinco de cada diez personas son niños.

B. Representa cada expresión en una razón:

1. 6 es a 11
2. 25 es a 1/2
3. 1/5 es a 13

C. Resuelve:

• El largo de una cancha de fútbol sala es de 40m y el ancho 20 metros. ¿Cuál es la razón entre el ancho y el largo?
• David necesita conocer la razón entre la estatura de su papá y él. El padre mide 1,62m y David 1,55m.
• Adriana compró una bolsa de papas de 4kg a $12 y otra bolsa de 6kg a $18. ¿En cuál de los dos casos resulta más económico el kilogramo de papa?

D. Determina la razón. En una iglesia hay 85 mujeres y 70 hombres:

1. La razón entre el número de mujeres y el número de hombres en la iglesia.
2. La razón entre el número de mujeres y el número de asistencia a la iglesia.
3. La razón entre el número de hombres y el número de asistentes a la iglesia.

E. Identifica las razones que forman una proporción en los siguientes casos:

1. 3/7 y 6/10
2. 4/6 y 8/18
3. 2/4 y 3,5/7

F. Encuentra una razón que forme una proporción:

1. 5/9=
2. 24/48=
3. 3/4=
4. 0,5/4=

G. Determinar el valor de x en cada proporción:

1. 2/12 = x/48
2. 6 : x+1 = 5 : 40
3. 0,4 : x-1 =10 : 4,5
4. 1/2 = 5/x

H. Interpreta, escribe la razón que represente y determina si forma una proporción:

• La mitad de las 350 aves de un galpón M, están contagiadas de gripe aviar. De las 220 aves de un galpón N, 200 están contagiadas de gripe aviar.

I. Resuelve:

• Con 150g de harina se preparan 8 galletas. ¿Cuántos gramos de harina se necesitan para preparar 34 galletas?
• En una escuela la cantidad de profesores debe ser proporcional a la cantidad de estudiantes. Si se deben contratar 2 profesores por cada 30 estudiantes y, actualmente, hay en la escuela 26 profesores y 390 estudiantes. ¿Se está cumpliendo la proporción de profesores y estudiantes en la escuela?

J. Diga si la proporción es continua o discreta:

1. 2/0,2 = 0,2/0,02
2. 4/10 = 100/250
3. 9/10 = 4,5/5

Respuestas

A continuación, aquí tienes las respuestas estructuradas por partes:

A

1. 8:10
2. 5:7
3. 5:10

B

1. 6:11
2. 25:1/2
3. 1/5:13

C

1. Razón ancho/largo: 1:2.
2. Razón estatura padre/David: 162:155 o 1,62:1,55.
3. Más económico: Ambas bolsas tienen el mismo precio por kg.

D

1. Mujeres : hombres = 85:70
2. Mujeres : asistentes = 85:155
3. Hombres : asistentes = 70:155

E

1. No forman proporción.
2. No forman proporción.
3. Sí forman proporción.

F

1. 5/9 = 10/18
2. 24/48 = 1/2
3. 3/4 = 6/8
4. 0,5/4 = 1/8

G

1. x = 8
2. x = 47
3. x = 1,3
4. x =10

H

• Razón en galpón M: 175:350 (1:2)
• Razón en galpón N: 200:220
• No forman una proporción.

I

1. Gramos de harina para 34 galletas: 637,5g.
2. Sí se cumple la proporción.

J

1. Continua (el medio se repite: 0,2).
2. Discreta.
3. Discreta.

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Si estás buscando las propiedades de la potenciación de números enteros has llegado al lugar indicado. En nuestra vida cotidiana el uso de estas propiedades se hace con mucha frecuencia. Aunque no lo notes, en este post te darás cuenta lo importante de saber su aplicación.
Por ejemplo, se quiere calcular el volumen de una caja con forma de cubo cuyos lados miden 10 cm, el procedimiento sería el siguiente:

1. Multiplicar la base diez tres veces$$V=10.10.10$$

2. Volumen de la caja es:$$V=10.10.10=10^{3}=1000$$

Es decir$$V=1000cm^{3}$$

¿Qué propiedad de la potenciación de números enteros se aplicó en esta situación?

Propiedades de la potenciación de números enteros

La potenciación es una operación matemática que consiste en multiplicar un número por sí mismo llamado «base» según lo que exprese el exponente. La potenciación se puede presentar de diversas formas y para poderlas resolver correctamente, es fundamental aplicar las propiedades de la potenciación. A continuación, se detallan cada una de estas propiedades.

1. Producto de potencias de igual base.
2. Cociente de potencias de igual base.
3. Potencia de una potencia.
4. Potencia de un producto.
5. Potencia de un cociente.
6. Exponente cero.
7. Exponente uno.
8. Potencia de uno.

Tabla de las propiedades

Producto de potencias de igual base

En esta propiedad, se escribe la misma base y se suman los exponentes. En este caso las bases (a) son iguales y se multiplican, cada base posee un exponente (m) y (n) y el resultado es la misma base (a) y el exponente resultante es la sumatoria de los exponentes de cada base. Observe su simbolización:$$a^{m}.a^{n}=a^{m+n}$$

Ejemplo#1: Transforma la siguiente operación en una única potencia y resuelva la potenciación.

$$3^{5}.3^{3}=$$
$$=3^{5+3}$$
$$=3^{8}$$

Para finalizar, se resuelve la potenciación:$$3^{8}=3.3.3.3.3.3.3.3=6561$$

Ejemplo#2: Expresa la siguiente operación en una sola potencia.

$$(-5)^{3}\cdot (-5)^{4}=$$

Solución: Como posee bases iguales se aplica la propiedad de producto de potencias de igual base.
$$=(-5)^{3+4}$$
$$=(-5)^{7}$$

Ejemplo#3: Exprese el siguiente enunciado como una sola potencia.

$$(-8)^{2}\cdot (-8)^{6}\cdot (-8)^{10}\cdot (-8)^{5}=$$

Solución: Son bases iguales se aplica la misma propiedad del ejercicio anterior.
$$=(-8)^{2+6+10+5}$$
$$=(-8)^{23}$$

Cociente de potencias de igual base

El cociente de potencias de igual base es una propiedad que simplifica la división de expresiones exponenciales. Cuando divides dos potencias que tienen la misma base, mantienes la base y restas el exponente del divisor al exponente del dividendo. Su simbolización es:$$a^{m}\div a^{n}=a^{m-n}$$

Ejemplo#1: Convierte la siguiente operación en una sola potencia y luego resuélvela.

$$(-9)^{5}\div (-9)^{2}=$$
$$=(-9)^{5-2}$$
$$=(-9)^{3}$$

Se resuelve la potenciación$$=(-9)\cdot(-9)\cdot(-9)=-729 $$

$$\boxed{(-9)^{5}\div (-9)^{2}=-729 }$$

Ejemplo#2: Transforma la siguiente expresión en una sola potencia

$$12^{11}\div 12^{9}=$$
$$=12^{11-9}$$
$$=12^{2}$$

Potencia de una potencia

En este caso la base (a), posee un exponente (m) y a su vez este exponente posee otro exponente (n) el resultado es la base (a) y el exponente resultante es la multiplicación de los exponentes. Observa su simbolización:$$(a^{m})^{n}=a^{m\cdot n }$$

Ejemplo#1: Un programador está diseñando un algoritmo para generar códigos de seguridad.

• La primera parte del código puede tener hasta 4³ combinaciones diferentes.
• La segunda parte del código se genera elevando el número de combinaciones de la primera parte al cuadrado.

¿Cuántas combinaciones de códigos se pueden generar en total?

Solución:

Se eleva al cuadrado la primera combinación, luego se aplica la propiedad potencia de potencia.

$$(4^{3})^{2}=$$
$$=4^{3\cdot 2 }$$
$$4^{6}=4\cdot4\cdot4\cdot4\cdot4\cdot4\cdot=4096$$

Respuesta: Existe 4096 combinaciones de códigos.

Ejemplo#2: Expresar en una sola potencia.

$$\left [ \left ( -5 \right )^{5} \right ]^{3}=$$
$$=\left ( -5 \right )^{5\cdot 3}$$
$$=\left ( -5 \right )^{15}$$

Potencia de un producto

En este caso ambas bases (a y b) se multiplican son diferentes y están elevadas.

Para resolverlo debes multiplicar el exponente (m) por el exponente de cada base (a y b), finalmente resuelve ambas potencias y multiplicas ambos resultados. Su simbolización es$$\left ( a\cdot b \right )^{m}=a^{m}\cdot b^{m}$$

Ejemplo: Resuelva

$$\left [ \left ( 6 \right )\cdot \left ( -4 \right ) \right ]^{3}=$$
$$=6^{3}\cdot (-4)^{3}$$
$$=216\cdot(-64) $$
$$=-13\, 824$$

Potencia de un cociente

En este caso las bases (a y b) son diferentes se dividen y elevados a un exponente (m), el resultado es que el exponente (m) multiplica con cada exponente de ambas bases. Observa su simbolización$$(a\div b)^{m}=a^{m}\div b^{m}$$

Ejemplo: Resuelva y exprese en potencia.

$$\left [ (-20)\div (4) \right ]^{4}=$$
$$=(-20)^{4}\div (4)^{4}$$

Exponente cero

En este caso toda base que esté elevada a la 0 (cero) siempre el resultado es 1 (uno). su simbolización es$$a^{0}=1$$

Ejemplo: Resuelva.

$$\frac{8^{12}}{8^{12}}=$$
$$=8^{12-12}$$
$$=8^{0}=1$$

Exponente uno

Cualquier número (base) que se encuentre elevado a la 1 el resultado siempre es el mismo valor inicial. Su simbolización es$$a^{1}=a$$

Ejemplo: 

$$1\, 500^{1}=1\, 500$$

Potencia de uno

Esta propiedad establece que el número uno, elevado a cualquier exponente n, siempre es igual a uno. Esto ocurre porque al multiplicar el 1 por sí mismo, no importa cuántas veces, el resultado nunca cambia. Su simbolización es$$1^{n}=1$$

Ejemplo:

$$1^{1000}=1$$

Errores comunes

• Confundir suma con multiplicación de exponentes: \(a^m + a^n \neq a^{m+n}\). La suma no permite sumar exponentes.
• Olvidar la base: No se pueden combinar potencias si las bases son distintas (por ejemplo, \(2^3\times3^2\) no se simplifica sumando exponentes).
• Casos con signos negativos: \((-2)^3 = -8\). Use paréntesis para indicar que la base es negativa.

Ejemplo. Aplique las propiedades de la potenciación y exprese el resultado en una sola potencia

$$\frac{(-2^{3})^{2}\cdot (-2^{4})^{3}\cdot (-2^{9})^{7}}{(-2^{8})^{2}\cdot (-2)}
=$$
$$ =\frac{(-2)^6 \cdot (-2)^{12} \cdot (-2)^{63}}{(-2)^{16}\cdot (-2)}$$
$$= \frac{(-2)^{81}}{(-2)^{17}}$$
$$ \boxed{(-2)^{64}}$$

$$\frac{(3^4)^2 \cdot (3^5)^{-3}}{(3^2)^3 \cdot (3)^{-4}}
=$$
$$ =\frac{3^8 \cdot 3^{-15}}{3^6 \cdot 3^{-4}}$$
$$ =\frac{3^{-7}}{3^2}$$
$$ \boxed{3^{-9}}$$

Ejercicios para practicar 

Intenta resolver antes de mirar la respuesta.

Actividades 

I.Resuelva:

$$2^{3}.2^{2} = $$

$$5^{1}.5^{4}=$$

$$4^{2}.4^{3}=$$

¿Qué ocurre con los exponentes al multiplicar potencias con la misma base?

II.Determinar:

$$\frac{6^{4}}{6^{6}}=$$

$$\frac{10^{5}}{10^{3}}=$$

$$\frac{3^{6}}{3^{3}}=$$

¿Qué ocurre con los exponentes al dividir potencias con la misma base?

III. Calcula

$$(-3^{3})^{4}=$$

$$(102^{3})^{0}=$$

$$(12^{2})^{2}=$$

¿Qué observas sobre los exponentes al aplicar la propiedad de la potencia de una potencia?

IV.Encuentra el valor de x a partir de las condiciones dadas.

$$4^{x}\cdot 4^{5}=4^{12}$$
$$(-158)^{x}=1$$
$$34^{9}\div 34^{x}=347$$
$$(8^{2})^{x}=64$$
$$(-10)^{x}=-1000$$
$$2^{5}\div 2^{x}=2^{3}$$

V.Responde y justifica tu respuesta.

• En la igualdad (-1)ⁿ = -1. ¿El exponente puede ser cero?
• Se puede afirmar que (-5)² ¿es lo mismo que 5²

VI.Resuelva:

$$\frac{(2^3)^4 \cdot (2^{-5})^2 \cdot (3^2)^{-3}}{(2^6 \cdot 3^{-4}) \cdot (2^{-2}\cdot 3^5)}=$$
$$\frac{((-3)^2)^{-3}\cdot (5^{-1})^4 \cdot (-3)^5}{((-3)^{-4}\cdot 5^3)\cdot (5^{-2})}=$$

Respuesta:

$$\frac{(2^3)^4 \cdot (2^{-5})^2 \cdot (3^2)^{-3}}{(2^6 \cdot 3^{-4}) \cdot (2^{-2}\cdot 3^5)}
= 2^{-2}\cdot 3^{-4}$$

VII.Simplifica cada expresión usando las propiedades de la potenciación en números enteros. El objetivo es dejarla como una única potencia (o producto de pocas potencias).

$$\frac{2^5 \cdot 2^{-3}}{2^4}$$
$$\frac{(3^2)^4 \cdot 3^{-5}}{3^3 \cdot (3^{-1})^2}$$
$$\frac{(-2^3)^2 \cdot (-2^4)^{-3} \cdot (-2)^{10}}{(-2^2)^5 \cdot (-2)^{-6}}$$
$$\frac{(5^{-2})^3 \cdot (5^4)^2}{5^{-5}\cdot (5^3)^{-2}}$$

VIII.Trabajo en pareja: crear 3 problemas reales donde aparezcan potencias (volumen, áreas, programación simple).

IX.Juego: tarjetas con potencias para emparejar (por valor y por forma simplificada).

X.Reto rápido: en 5 minutos, simplificar la mayor cantidad de expresiones usando las propiedades.

Ahora que ya conoces las propiedades de la potenciación de números enteros es hora de poner manos a la obra, práctica cada uno de los casos y podrás mejorar tus habilidades con este contenido.

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