7ºGrado

¿Sabes qué es una escala? ¿Sabías que cada vez que haces zoom en un videojuego estás aplicando una escala? Y cuando visitas una juguetería y ves esos increíbles carros, aviones, trenes o barcos con numeritos como 1:64, como los clásicos Hot Wheels, estás frente a un mundo en miniatura que guarda una relación matemática con el tamaño real.

Este tema te abrirá la puerta para interpretar esas proporciones y descubrir cómo se usan en la vida real y en el mundo digital. Por ejemplo, en Minecraft, cuando ves que un edificio o un personaje cambian de tamaño, en realidad estás usando una ampliación o reducción. ¡Anímate a descubrir! Este post está hecho para ti, y estoy seguro de que te ayudará a ver el mundo con nuevos ojos.

¿Cómo hacer ampliaciones o reducciones?

Existen situaciones donde es conveniente transformar un objeto en tamaños más grande (ampliación) o más pequeños (reducción). Un ejemplo es el plano de una casa aquí la proporción utilizada es de 1:100.

Observa el siguiente cuadrado que posee 4 unidades de longitud:

El cuadrado más pequeño es la reducción a la mitad del original. En consecuencia, la relación de los lados es 1 a 2, esto quiere decir que una unidad en la reducción le corresponde a dos unidades del original.

La proporción del cuadrado más grande es 3 a 2, O sea que 3 unidades de la ampliación corresponde a 2 unidades del cuadrado original.

Ejemplo de ampliación

Se requiere una ampliación del polígono mostrado a continuación, aplicando una relación de 2 a 1.

Para efectuar la ampliación debes multiplicar cada lado por 2.

Lados:

EF = CB = ED = 1u

CD = FA = 2u

AB = 3u

Ampliación:

1u . 2 = 2u

2u . 2 = 4u

3u . 2 = 6u

Con las nuevas dimensiones se construye el polígono ampliado, observa la imagen:

Ejemplo de reducción

Aplicar una relación de 3 a 4 al pentágono regular que tiene como lado 3u.

Aquí se trata de reducir, ya que la proporción de 3 a 4 significa que cada 4u del tamaño original se representa como 3 en la reducida.

Así que, cada lado del pentágono debe multiplicarse por ¾.

Como el polígono es regular las dimensiones de todos los lados del reducido es:

Entonces, ya se sabe que para poder ampliar o reducir una figura o un objeto es necesario aplicar una relación, esta relación se le denomina escala.

¿Qué es una escala?

Como es una razón, el antecedente indica la medida de reducción o ampliación y el consecuente la dimensión real. Ejemplo:

Lo cual se lee como: “1 a 100”.

Que significa que 1cm en el dibujo es equivalente a 100cm en la realidad.

Las escalas de ampliación son usadas para representar objetos muy pequeños, por ejemplo, bacterias, insectos, células y, las escalas de reducción en mapas, juguetes, maquetas, edificios, planos de centros comerciales, entre otros.

Para conocer si la representación es una ampliación o reducción, basta con observa la escala. Si la escala es:

E < 1 Es una reducción.

E > 1 Es una ampliación.

Escala numérica

Es la escala que muestra la relación entre un centímetro del dibujo y la dimensión real del objeto. Esta escala puede ser:

Escala natural: Es la escala representada como 1:1. Lo que significa que no existe ni ampliación ni reducción.

Escala de reducción: Es cuando el dibujo es menor que el real. Por ejemplo: 1: 2 ; 1: 10 ; 1: 50 ; 1: 125 ; 1: 1000, etc.

El consecuente de la razón al ser mayor que el antecedente es indicativo que estás en presencia de una escala de reducción.

Escala de ampliación: Cuando un objeto es muy pequeño es muy importante aplicar la escala de ampliación, la intención de esto es poder observar mejor sus detalles.

Cuando el antecedente es mayor que el consecuente es una escala de ampliación. Por ejemplo: 2:1 ; 6: 1 ; etc.

Ejemplo:

a. Interprete la escala 1:1.000.000.

Se lee: 1 a 1.000.000

Lo que significa que 1cm del dibujo es 100.000cm en la realidad, es decir 1km.

Ahora, como:

b. Interpreta 75:1

Se lee 75 es a 1.

Esto quiere decir que 75cm en el dibujo equivale a 1cm en lo real.

Ahora, como:

Escala gráfica

Ejemplos explicados paso a paso

Problema # 1

Crea una conversión de una escala numérica a una escala gráfica de 1:100.

Pasos:

1. Seleccionar una longitud real para la representación.

Para el ejemplo se selecciona 6m (reales)

2. Convertir la longitud real a la escala del plano.

Como es 1:100 se multiplica la longitud real por la escala gráfica 1:100

Esto quiere decir, que la longitud real 6m en el plano es de 6cm.

3. Trazar un segmento con la longitud de la escala del plano, con un espesor de 2 a 3mm.

En este caso se dibuja el segmento de 6cm y el ancho de 2mm formándose un rectángulo.

4. Crear las divisiones de un centímetro en partes iguales, dejando un espacio en blanco y el otro en negro.

5. Colocar las dimensiones.

Problema # 2

Convertir de escala gráfica a escala numérica.

Aquí sólo debes: Identificar y convertir.

En este caso 1cm equivale a 1km. Entonces, se convierte de kilómetros a centímetros.

En centímetros es 1:10.000

Problema # 3

En la escuela de Laura, también se preparan para una salida pedagógica. La profesora entrega un mapa con una escala de 1:250.000. Si el recorrido marcado en el mapa mide 6 cm. ¿Cuál es la distancia real del recorrido en kilómetros?

1: 250.000

Significa que 1cm en el mapa es 250.000cm en la realidad.

Se crea una proporcionalidad:

El recorrido real es de 15km.

Mapa

Es una representación gráfica de la superficie terrestre, manteniendo su forma y llevando a escala su tamaño.

El mapa no solo muestra la superficie sino además debe expresar su escala gráfica o numérica, pues es la manera de saber qué distancias reales existen entre una región u otra.

Ejemplo

El mapa a continuación, muestra la escala gráfica en kilómetros, verifica su escala numérica.

La escala gráfica muestra que un centímetro equivale a 500km

Se convierte los 500km a cm

500km=50.000.000cm

La escala numérica es 1:50.000.000

Plano

Es una representación gráfica a escala en dos dimensiones, de una casa, apartamento, terreno, máquina, circuito eléctrico o electrónico, etc.

El plano nos permite visualizar detalles con mayor precisión y, además, muestra las dimensiones de cada componente representado. También puede ofrecer una vista general del conjunto con escala.

Observa los dos tipos de planos, con dimensiones y a escala:

Maqueta

Es una representación física a escala en tres dimensiones de una iglesia, edificio, centro comercial, hotel, un conjunto habitacional, colegio, etc.

La tercera dimensión de una maqueta es la altura, ella permite comparar la proporción vertical de los objetos representados, brindando una visión más realista del espacio.

Gracias a la altura, podemos entender mejor la forma y el volumen de las construcciones, distinguir niveles o pisos en una edificación, y visualizar cómo se relacionan entre sí los diferentes elementos en el entorno tridimensional.

A jugar

A continuación, te presento un simulador interactivo de escala.

Explóralo con calma y pon en práctica todo lo que has aprendido sobre el tema. Ajusta medidas, observa cómo cambian las proporciones y comprende mejor cómo funciona la escala en situaciones reales.

Recuerda: ¡Aprender haciendo es la mejor manera de afianzar conocimientos!

Cuéntanos en los comentarios qué te pareció la experiencia:

¿Te ayudó a comprender mejor el concepto de escala? ¿Lograste profundizar en el tema? ¡Tu opinión es muy valiosa para nosotros!

Actividades 

I. Diga si las siguientes escalas pertenecen a una ampliación o de reducción.

• 15.000:1
• 1:202.000
• 45.000:1
• 1:25.500
• 25.100:1

II. Explica el significado de las siguientes escalas numéricas.

• 1:10
• 1:50
• 1:20.000
• 1:4

III. Explica qué indican las siguientes escalas gráficas.

IV. Determinar la distancia real en kilómetros, si un plano indica que 1cm =3km.

• 6cm
• 12cm
• 9cm
• 14cm
• 1,8cm

V. Dibuja y transforma las siguientes escalas gráficas.

• 1:10
• 1:150
• 1: 125
• 1:1.200.000

VI. Transforma a escala numérica.

VII. Crea una escala numérica para cada situación.

1. El profesor les pide que realicen un plano de su casa, en una hoja tamaño A0 (841 × 1189mm).
2. El jefe de tú hermano mayor le pidió dibujar una pieza con las siguientes dimensiones: 60cm de largo y 45cm de ancho.
3. Tu profesora de la materia de geografía les pidió dibujar el mapamundi en una hoja tamaño A2 (420 × 594mm).

VII. Problema.

En un plano realizado con una escala 1:100, las dimensiones de una cancha de fútbol 9 es 70 m de largo y 40 m de ancho. ¿Cuáles serían las dimensiones en otro plano a 1:200?

¿Quieres conocer más acerca del porcentaje? ¿Sabías que usas porcentajes todos los días sin darte cuenta? Por ejemplo, cuando ves un descuento en tus tenis favoritos, al mejorar tus habilidades en tu videojuego, o al revisar cuánta batería le queda a tu celular, estás usando porcentajes. Este tema no solo es clave en matemáticas, ¡también en el deporte, las finanzas y hasta en las redes sociales! Aprender a dominar los porcentajes te ayudará a tomar mejores decisiones y hasta convertirte  en un jugador más pro.

¿Qué es porcentaje?

Interpretación

En la tabla a continuación, se interpreta el significado de dos situaciones que involucran el porcentaje.

Información	%	Razón	División	Significado
El 12% de los estudiantes aprobaron la materia	12		0,55	De cada 100 estudiantes, 12 aprobaron.
A Juan le hicieron un descuento de 35%	35		0,35	De cada $100, le descontaron $35.

¿Cómo resolver problemas de porcentaje?

Para solucionar problemas de porcentajes debes aplicar una regla de tres simple directa.

Debes plantear dos razones y así crear la proporcionalidad o si prefieres puedes aplicar la siguiente relación:

Donde:

x = Es el resultado que representa el porcentaje aplicado sobre una cantidad.

m = Es el porcentaje.

p = Es la cantidad

Problemas de porcentajes resueltos

Aquí tienes varias situaciones para poner en práctica el tema de porcentaje, el procedimiento fue hecho paso a paso para un mejor entendimiento.

Problema # 1.

• ¿Cuál es el 32% de $450?

Crear las proporciones:

Problema # 2.

• ¿Cuál es el 145% de 1050?

Aplicar la relación.

Problema # 3.

• La información del diagrama es la preferencia que existen en distintas consolas de juegos. En esta encuesta se registró un total de 5000 personas. ¿Cuántas personas eligieron cada consola?

Nintendo Switch 5% de 5000.

Nintendo Switch OLED  20% de 5000.

XBox  25% de 5000.

Play Station 5 50% de 5000.

Conclusión: El Play Station 5 es la consola de mayor preferencia.

Problema # 4.

• Representar cada razón como porcentaje.

Problema # 5.

• David va a comprar un televisor para su consola de Play Station 5, por un valor de $900. Por ser un cliente registrado, le hacen un descuento de 15%. Adicionalmente, si realiza la compra con la tarjeta de crédito de la tienda le hacen otro descuento de 20%. ¿Cuánto pagará David por el televisor?

Calculo del primer descuento.

El descuento del 15% es:

$900 – $135 = $765

Se calcula el descuento del 20% con el descuento del 15%

Finalmente, el precio del televisor es: $765 – $153 = $612

Entonces, David pagará $612 por el televisor.

Problema # 6.

• Se encuestó a 1200 jóvenes adolescentes y resultó que 846 practican fútbol. ¿Qué porcentaje practican fútbol?

El 70,5% de los jóvenes practica fútbol.

Problema # 7.

• Las diagonales de un rombo tiene unas longitudes de 6cm y 10 cm. Si las longitudes aumenta un 30%. ¿Qué porcentaje aumenta su área?

Diagonal de 6cm.

Diagonal de 8cm.

Las longitudes de las diagonales aumentadas es de:

Diagonal menor = 6cm + 1,8cm = 7,8cm

Diagonal mayor = 10cm + 3cm = 13cm

Fórmula del área del rombo.

Cálculo del área del rombo inicial y final.

La variación del área es:

Finalmente, se determina qué porcentaje es 20,7cm²  de 30cm², planteando la siguiente proporción:

Entonces, el área del rombo aumenta 69%.

A jugar con porcentajes

Ahora pon a prueba tus conocimientos y ponte a jugar, lee cada pregunta y responde.

Actividades

I. Determine lo que se solicita en cada caso.

a. El 13% de 2200.

b. El 15,8% de 590.

c. El 65% de 54000.

d. ¿Qué porcentaje es 45 de 520?

e. ¿Qué porcentaje es 92 de 120?

II. Halla el porcentaje que representa cada situación.

a. Dos de cada cinco hombres poseen un reloj.

b. La tercera parte de los estudiantes poseen un computador.

c. Cuatro de cada seis niños les gusta asear el aula de clase.

d. Dos tercios de los profesores del colegio estudian especializaciones.

III. Representar cada razón en porcentaje.

IV. Resuelve los siguientes problemas.

a. En un colegio existen 250 estudiantes. El 35% poseen un promedio mayor de 8ptos. ¿Cuántos son los estudiantes destacados por ese promedio?

b. En el parque existen 20 monos. El 42% de esos monos son blancos, 47%  negros  y el resto son marrones. ¿Cuántos son de cada tipo? ¿Qué porcentaje de los monos son marrones?

c. El gasto de un estudiante en abril fue de $140, en mayo, se incrementó en 10% y en junio, en 30%. ¿A qué porcentaje de incremento único equivalen ambos incrementos?¿Cuál fue el gasto en el mes de junio?

¿Estás buscando cómo calcular el perímetro de un polígono? ¿Sabías que cuando decoras el borde de una puerta, estás trabajando con perímetro sin saberlo? El perímetro de un polígono no es solo una fórmula en clase, es una herramienta que se usa a diario, sin darte cuenta. Desde tocar con tu mano todo el borde de un televisor hasta decorar tu habitación con luces LED, calcular el perímetro es clave. En este post se profundizará  en cómo encontrar el perímetro de distintos polígonos y cómo aplicar este conocimiento en situaciones reales de tu vida diaria.

¿Qué es el perímetro de un polígono?

La fórmula para calcular el perímetro de un polígono regular (todos los lados iguales) es:

P = cantidad de lados · longitud de un lado

Para los polígonos irregulares (lados desiguales) debes sumar cada lado.

Ejemplos resueltos paso a paso

Aquí tienes una serie de ejemplos donde se muestra el paso a paso para encontrar el perímetro de los polígonos.

1. Determina el perímetro de un tetradecágono regular de lado 6cm.

Un tetradecágono es un polígono de 14 lados, como es regular se aplica la fórmula del perímetro:

P = cantidad de lados · longitud de un lado

P = 14· 6cm = 84cm

El perímetro del dodecágono regular es de 84cm.

2. Determina el perímetro del polígono ABCDE

P = 41cm + 31cm +22cm +30cm +22cm = 146cm

El perímetro del pentágono irregular ABCDE es 146cm.

3. Hallar el perímetro del siguiente polígono ABCDE en milímetros.

Primero: Convertir las unidades de los lados a cm.

Segundo: Cálculo del perímetro.

P = 20cm + 36cm +10cm +50cm +22cm = 138cm

4. Calcula el perímetro del siguiente polígono.

Es un polígono regular, los únicos lados iguales son AB y CD. Por lo tanto la fórmula se plantea de la siguiente manera:

P = 5cm + 2(2,2cm) +4cm +5cm = 18,4cm

Su perímetro es 18,4mm.

Actividades

Determinar el área de los siguientes polígonos regulares:

• Icoságono de lado 20m.
• Hexágono de 6cm de lado.
• Lado 23cm de un Decágono.
• Heptacontágono de 2cm de lado.

Diga si es o no válida cada información.

• El perímetro de un rectángulo cuya base es de 102cm y su altura es de 2,34 es de 208,42cm.
• El perímetro en unidad dam (decámetro) de un triángulo rectángulo de lado 100cm es 0,3dam.
• El perímetro en m (metro) de un octágono regular de lado 55mm es 0,44m.
• El perímetro de un rombo es de 400km, entonces, la longitud de su lado es de 100000m.

Resuelve los siguientes problemas:

a. El largo de un rectángulo es dos veces su ancho. Si el perímetro del rectángulo es 5000m. ¿Cuánto mide el ancho y el largo en km?

b. El largo de una valla rectangular que rodea un terreno es 3 veces mayor que su ancho. Si el perímetro total de la valla es 1200 m, ¿cuánto miden el largo y el ancho en hm?

c. El largo de una pantalla LED es 5 metros más largo que el doble de su ancho. Si el perímetro de la pantalla es 86 metros, ¿cuánto mide el ancho y el largo en cm?

Determine el perímetro del siguiente polígono en cm

Calcula el perímetro en dm (decímetro) de:

¿Quieres profundizar más acerca de regla de tres simple inversa? ¿Sabías qué… hasta en tus juegos favoritos o cuando pides pizza se esconde la matemática? Así es, la regla de tres simple inversa no es solo cosa de exámenes; también aparece en tu vida diaria, como cuando calculas cuánto tiempo tardas en terminar un videojuego con más amigos, o cuánto menos tarda el domiciliario o repartidor si hay menos pedidos. Si quieres mejorar en la solución de problemas, te invito a leer este tema.

¿Qué es una regla de tres simple inversa?

Es un método utilizado en situaciones donde las magnitudes que intervienen son inversamente proporcionales.

¿Cómo resolver un problema?

Para solucionarlo debes llevar a cabo los siguientes pasos:

• Análisis.
• Organización los datos por cada magnitudes.
• Crear las razones.
• Plantear una proporción invirtiendo las razones.

• Solucionar.

Problemas resueltos

Ahora verás, problemas resueltos paso a paso para que sepas cómo aplicar la regla de tres simple inversa en situaciones reales.

a. Una empresa de producción poseen brazos robóticos para efectuar tareas de pintado, estos brazos cuentan con un sistema de ruedas dentadas llamados tren de engranajes.

El engranaje (#1) es el que recibe el movimiento del motor llamado rueda motora, este posee 32 dientes, el engranaje (#2) 60 dientes y el engranaje (#3) 80 dientes. Si la rueda motora gira 16 vueltas ¿Cuántas vueltas dan las ruedas #2 y #3?.

Primero: Análisis.

Cuánto más dientes menor son las vueltas.

Segundo: Organización (Ruedas).

Uno = 32 dientes, da 16 vueltas.

Dos = 60 dientes, se desconoce sus vueltas.

Tres = 80 dientes, se desconoce sus vueltas.

Tercero: Razones.

Engranaje # 1	Engranaje # 2	Engranaje # 3

Cuarto: Proporciones inversas

Proporciones directas		Proporciones inversas

Quinto: Solución.

b. Un granjero tiene una cantidad de alimento suficiente para alimentar a sus pollos durante cierto tiempo. Un día vendió 90 pollos, y con eso logró que la comida durara 27 días. Si no hubiera vendido los pollos, la comida solo habría alcanzado para 18 días. ¿Cuántos pollos tenía originalmente?

Análisis. Si tiene pocos pollos la comida dura mucho más. Es decir a menor cantidad de pollos, mayor son las cantidades de días de duración de la comida.

Organización.

Razones.

Proporción inversa.

Conclusión: Inicialmente contaba con 270 pollos.

Desafío Inverso: ¡El Juego de la Proporcionalidad!

¡Bienvenidos a nuestra nueva simulación interactiva! A menudo, ya tu sabes que si una cantidad aumenta, otra también lo hará. Pero, ¿qué sucede cuando la relación es justo lo contrario? Es decir, si una cantidad crece, la otra disminuye en la misma proporción. Eso es precisamente la proporcionalidad inversa y la puedes encontrar en situaciones tan variadas como la planificación de un viaje, distribuir tareas, etc.

En esta simulación, encontrarás diferentes escenarios donde la proporcionalidad inversa es la protagonista. Prepárate para observar cómo un cambio en una variable impacta de forma opuesta a la otra, y cómo puedes utilizar este conocimiento para resolver problemas de la vida real.

¿Qué te ha pareció la simulación?

¡Nos encantaría saber tu opinión en los comentarios que está al final de este post!

¿Se te ocurre algún ejemplo de proporcionalidad inversa en tu día a día que quieras compartir? ¡Anímate a participar!

Actividades

Resuelve los siguientes problemas.

• El gasoil utilizado para 8 tractores dura para 5,4 días. ¿Cuántos días alcanza la misma cantidad de combustible si solo se utilizan 4 máquinas?.
• Un señor tiene un negocio de ventas de cachorros, tienen alimento para 15 días. ¿Cuánto tiempo le alcanzará la comida si ahora tiene 3 cachorro más?. Nota: cada cachorro se alimenta con la misma cantidad de comida diaria.
• En una fábrica de salsa abastecen diariamente 1600 botellas con una capacidad de 1,25L. Si se quiere envasar la misma cantidad total de salsa en envases de 4L. ¿Cuántas botellas son necesarias?

Identifica qué situaciones pueden resolverse aplicando regla de tres simple inversa. Justifica tu respuesta.

• Se necesita suministrar 240mg por 4mL de agua de un medicamento en polvo. ¿Qué cantidad de agua se requiere para mezclarse con 1200mg del medicamento?
• Una gasolinera posee 2 bombas, una nueva y la otra vieja. La nueva abastece un tanque de un automóvil en 4 minutos con un rapidez de 15L/min. ¿Qué tiempo se toma la bomba vieja en llenar el tanque del mismo vehículo, si lo ejecuta a razón de 11 Litros por minutos.
• Una constructora necesita 8 trabajadores para construir una casa en 50 días. ¿Cuántos trabajadores se requieren para construir la misma casa en 20 días?

¿Buscas problemas de proporcionalidad directa? Si es así, has llegado al sitio indicado. ¿Sabías que la proporcionalidad directa está presente en muchos aspectos de la vida diaria? Desde calcular el tiempo que tardas en un viaje hasta repartir ingredientes en una receta. Aprender a resolver problemas de proporcionalidad es más fácil y divertido de lo que imaginas. En este artículo, explorarás ejemplos prácticos que te ayudarán a profundizar tus conocimientos.

Para resolver estos tipos de problemas, se utiliza un método sencillo llamado regla de tres simple directa, que permite encontrar un valor desconocido a partir de tres valores que ya conoces de una relación proporcional.

Regla de tres simple directa

Procedimiento solucionar problemas

Para resolver problemas aplicando el método de la regla de tres simple directa, se recomienda llevar a cabo los siguientes pasos:

1. Organizar los datos según sus magnitudes.
2. Plantear la proporción.
3. Aplicar el teorema # 1 y calcular el valor desconocido.

Nota: Al establecer la proporción y sustituir los valores de cada magnitud, es recomendable incluir también las unidades. Esto facilita la comprensión y ayuda a evitar errores de cálculo.

 

Problemas de proporcionalidad directa resueltos

Un ciclista recorre 12 kilómetros en 40 minutos. ¿Cuántos kilómetros recorrerá en 2 horas y 10 minutos si mantiene la misma velocidad?

a. Organización de los datos.

La magnitud de tiempo se expresa en unidades como minutos y horas. Para realizar los cálculos, es necesario utilizar una única unidad. Por ello, se convierte los minutos a horas.

Entonces, recorrerá 120min + 10min = 130min.

b. Proporción.

c. Teorema # 1.

Respuesta:

El ciclista recorrerá 39km en 2horas y 10 minutos.

Un grifo llena 15 litros de agua en 5 minutos. ¿Cuántos litros podrá llenar en una hora si mantiene el mismo caudal?

a. Datos.

En la magnitud del tiempo se observan distintas unidades. Por lo que es necesario realizar una conversión.

b. Proporción establecida.

c. Teorema # 1 aplicado.

Respuesta:

En una hora el tanque queda abastecido con 180L.

Explorando la Proporcionalidad Directa: ¡Descubre sus secretos y convierte en un vencedor!

¡Llegó el momento de poner a prueba tus conocimientos con esta simulación divertida! Gana puntos y conviértete en todo un gladiador matemático.

Sumérgete en esta simulación encontrarás diversos escenarios para comprender a fondo cómo funciona esta relación. Prepara tu mente para observar, analizar y resolver problemas que te ayudarán a dominar este importante tema matemático.

¿Qué te pareció esta simulación? ¡Nos encantaría leer tus impresiones y comentarios al final del post! ¿Qué ejemplos de proporcionalidad directa encuentras en tu día a día? ¡Comparte tus ideas!

Actividades: Problemas de proporcionalidad directa

1. Identifica cuáles de las siguientes situaciones se puede aplicar regla de tres simple directa. Justifica tu respuesta.

a. Un poste mide 4 metros, mientras que un árbol cercano tiene una altura de 12 metros. ¿Cuántos metros más alto es el árbol que el poste?

b. Un agricultor compra 18 sacos de fertilizante, con un precio de $150.000 cada uno. Si decide comprar 30 sacos adicionales. ¿Cuál será el costo total de los 30 sacos?

c. María tiene $3.500.000 en su cuenta bancaria. Si realiza un retiro de $800.000. ¿Cuánto dinero le quedará en su cuenta?

2. Resuelve los siguientes problemas.

a. Carlos gana $50.000 por pintar un mural en 5 horas. Si tarda 2 horas más en terminar otro mural con el mismo pago por hora. ¿Cuánto dinero recibirá en total?

b. Un ciclista recorre 24 kilómetros en 2 horas a velocidad constante. ¿Cuántos kilómetros recorrerá en 5 horas si mantiene la misma velocidad?

c. Un poste de 2,5 metros proyecta una sombra de 4 metros a cierta hora del día. ¿Cuánto medirá a la misma hora la sombra de un árbol de 12 metros de altura?

3. Problema de Proporcionalidad directa: Observa el procedimiento y consigue el error

Para fabricar 12 sillas, se necesitan 3 litros de barniz. ¿Cuántos litros de barniz se necesitarán para fabricar 48 sillas?

a. Datos organizados:

b. Proporcionalidad y solución:

4. Crea, para cada situación, una pregunta que se aplique el método de la regla de tres simple directa

a. Llenar un tanque con 15 litros de agua, se necesitan 5 minutos.
b. Una persona cosecha 24 kilogramos de manzanas en 3 horas.
c. Un tren recorre 300km en 1 hora con velocidad constante. ¿Cuántos kilómetros recorrerá en 3 horas?

Respuestas

1.
a. No se resuelve con regla de tres simple, porque no hay relación proporcional.
b. Si se aplica regla de tres simple directa, porque existe relación proporcional.
c. No se resuelve con regla de tres simple directa, no existe relación proporcional

2.
a. $20000
b. 60km
c. 19,2m

3.Proporcionalidad mal planteada.

¿Quieres profundizar más acerca de la proporcionalidad inversa? Si es así, has llegado al sitio indicado. ¿Sabías que esta relación matemática se presenta cuando al aumentar una magnitud, la otra disminuye en la misma proporción?. Es decir, si duplicas una, la otra se reduce a la mitad. Este principio se aplica en situaciones cotidianas como la velocidad y el tiempo de viaje, el número de trabajadores y el tiempo para completar una tarea, entre muchas más. Te invito que sigas leyendo para veas cómo funciona y cómo aplicarlo en problemas de la vida cotidiana.

¿Qué es la proporcionalidad inversa?

¿Qué son magnitudes inversamente correlacionadas?

Son magnitudes que tienen distintos comportamientos, es decir, una magnitud aumenta y la otra disminuye, o al disminuir la primera aumenta la segunda.

Ejemplo: En la construcción de una casa al existir pocos obreros el tiempo de entrega es prolongado, mientras que, al aumentar las cantidades de obreros en tiempo de entrega disminuye.

Magnitud # 1. Cantidad de obreros (y) = Aumenta.

Magnitud # 2. Tiempo (x) = Disminuye.

¿Qué son magnitudes inversamente proporcionales?

Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando sea:

1. Inversamente correlacionadas.
2. El producto de las dos magnitudes es constante, y se simboliza con la letra

La relación de las dos magnitudes está representada por las letras “y” y “x”, quedando relacionadas de la siguiente manera:

La constante k recibe el nombre de constante de proporcionalidad. Al despejar “y”, la ecuación quedaría:

Observa que la expresión representa una función racional.

¿La función racional es una relación de proporcionalidad inversa?

Sí, representa una relación de proporcionalidad inversa entre dos magnitudes,  “y” y “x”. Al graficar la función racional:

Se obtiene una curva hiperbólica.

Ejemplos resueltos paso a paso

A continuación, las magnitudes son mostradas por medio de tabla de valores y en el plano cartesiano. El objetivo es identificar cuando las magnitudes son inversamente correlacionadas e inversamente proporcionales.

a) La siguiente información fue extraída de un vehículo que viajaba entre dos ciudades.

Análisis:

Se ordena los datos, el tercer dato es la menor velocidad por lo tanto es el primero. A partir de este orden se observa que son magnitudes inversamente correlacionadas, ya que la velocidad aumenta y el tiempo disminuye.

Cómo ambas magnitudes son inversamente correlacionadas, se aplica el producto de las dos magnitudes con el objetivo de hallar la constante de proporcionalidad inversa (k).

Conclusión:

El producto genera una constante, esta constante de proporcionalidad inversa es k = 300.

Por lo tanto, es una Proporción Inversamente Proporcional.

Su función es:

b) La gráfica muestra el comportamiento de un bombillo led.

Análisis:

Ambas magnitudes se comportan inversamente correlacionadas.

Se aplica el producto de las magnitudes para conocer si pertenecen a una proporción inversamente proporcional.

Conclusión:

La multiplicación de ambas magnitudes genera la constante proporcionalidad inversa es k = 30.000.

Es una situación de Proporcionalidad Inversamente Proporcional.

Su función es:

Juega con la Proporcionalidad Inversa

Un motorizado anda por una vía recta, y desea conocer cuánto recorrerá a una rapidez y un tiempo determinado, sabiendo que puede hacer uso de distintas rapidez (más rápido o muy lenta). En esta simulación podrás explorar cómo, al aumentar la velocidad, el tiempo disminuye, y viceversa. Diviértete y analiza la situación, juega con las velocidades y aprende de manera visual cómo funciona la proporcionalidad inversa en el mundo real.

Debes desplazar el botón rojo ubicado en el eje «x» hacia la izquierda o a la derecha.

¡Es tu momento de actuar! Demuestra lo que has aprendido respondiendo estas 4 preguntas. Utiliza la simulación para explorar y encontrar las respuestas. ¡Anímate a enfrentar este reto proporcional inverso!.

a. ¿Cuánto tiempo tarda el motorizado en completar su recorrido de 120 km si anda a una rapidez de 14 km/h?

b. ¿Qué representa la relación entre tiempo y velocidad?

c. Si el motorizado aumenta su velocidad a 20 km/h, ¿en cuánto tiempo finaliza su recorrido?

d. Si el motorizado viaja en 7,5h ¿Qué rapidez constante llevaba?

Actividades Proporcionalidad Inversa

La información muestra la rapidez que Carlitos emplea en recorrer una misma distancia con su bicicleta.

a) Completa la tabla.

b) Representa gráficamente la situación.
c) ¿Cuál es la función?
d) ¿Qué distancia recorre Carlitos?

Determina la constante de proporcionalidad y completa las tablas.

Problema.

Una reserva de agua potable está planificada para abastecer a 90 personas durante 60 días en una expedición. Si se desea que el agua dure 20 días más, ¿cuántas personas deberían haber en la expedición?.

Resp.: 75 personas.

Respuestas 

a. 7.04 horas.
b. David: y = 100/x.
Francisco: y = 120/x.

c. 2.86 horas.
d. 2.86 horas.
e. David: 16.67 horas.
Francisco: 20 horas.

Si estás buscando proporcionalidad directa y su aplicación en la vida diaria has llegado al sitio indicado. ¿Sabías que cuando compras más caramelos, el precio total aumenta proporcionalmente? Pasa lo mismo cuando duplicas la cantidad de harina en una receta, obtendrás el doble de galletas. Estos son algunos ejemplos de proporcionalidad directa, un concepto matemático que está presente en muchas situaciones de nuestra vida cotidiana.

¿Qué es una proporcionalidad directa?

¿Qué son magnitudes directamente correlacionadas?

Son magnitudes que tienen el mismo comportamiento, es decir, una aumenta y la otra también aumenta, o al disminuir una la otra también disminuye.

Ejemplo: Cuando disminuyes la cantidad de frutas para la preparación de un jugo también disminuye las cantidades de vasos a servir.

Magnitud # 1. Frutas = disminuidas.

Magnitud # 2. Vasos = disminuidos.

¿Qué son magnitudes directamente proporcionales?

Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando su razón permanece constante. Esta constante se conoce como constante de proporcionalidad, representada por la letra k.

Su expresión es:

Donde, las letras “y” y “x” simbolizan las magnitudes.

Al despejar “y” en la razón, la expresión se transforma en una ecuación lineal:

Observa que la expresión es una ecuación de primer grado y, debido a esto, representa una función lineal.

¿La función lineal es una relación de proporcionalidad directa?

Sí, es una relación de proporcionalidad directa entre dos magnitudes y y x.

Al ser una función lineal, al graficarla crea una recta que siempre pasa por el origen (0,0) del plano cartesiano.

Donde, k representa la pendiente de la recta, indicando la razón de cambio constante entre ambas magnitudes y y x.

¿Qué pasa si la recta no pasa por el origen del plano cartesiano?

No es una función lineal y por lo tanto sus magnitudes no son directamente proporcionales. Al no pasar por el origen es una función afín.

Ejemplos de proporcionalidad resueltos paso a paso

A continuación, las magnitudes son mostradas por medio de tabla de valores y en el plano cartesiano. El objetivo es identificar cuando las magnitudes son directamente correlacionadas y directamente proporcionales.

a) La información que muestra la tabla es dar a conocer la cantidad de obreros que tardan en hacer una obra.

Análisis:

Se observa que a medida que aumenta los obreros el tiempo disminuye.

Conclusión:

No son magnitudes directamente correlacionadas y, por lo tanto, tampoco son directamente proporcionales.

b) En la gráfica se muestra una relación de distancia-tiempo.

Análisis:

Al aumentar la distancia el tiempo también aumenta.

Son magnitudes directamente correlacionadas y como es una función lineal que pasa por el origen (0,0) del plano cartesiano, son también magnitudes directamente proporcionales.

Su función es:

Se calcula k para conocer la pendiente de la recta, aplicando la relación:

Se escoge cualquier punto graficado de la recta, para este caso se selecciona el punto (1,4).

Observa que el resultado de k es 4m/h, lo que representa una nueva magnitud, ya que combina dos unidades: metros (m) y horas (h).

Esta nueva magnitud se conoce como velocidad.

Entonces, la función de la gráfica es:

Conclusión:

Dado que la distancia y el tiempo son magnitudes directamente proporcionales, la constante de proporcionalidad k = 4 representa la velocidad a la que se mueve el móvil.

c) En esta situación muestra la relación costo-tiempo.

Análisis:

Al aumentar el costo aumenta el tiempo.

En la gráfica se aprecia que la línea no pasa por el origen del plano cartesiano.

Conclusión:

Cómo línea no pasa por el origen del plano cartesiano, las magnitudes no so directamente proporcionales y por ende no existe constante de proporcionalidad “k”.

El tipo de función es función afín.

d) En esta representación gráfica muestra la relación costo-cantidad.

Análisis:

El costo disminuye mientras que la cantidad aumenta

Conclusión:

Dado que existe una contradicción entre las magnitudes, no pueden considerarse directamente correlacionadas y, por lo tanto, tampoco son directamente proporcionales.

A Jugar con la Proporcionalidad Directa en movimiento

Bienvenido a la simulación de Proporcionalidad Directa en movimiento.

En esta actividad interactiva, explorarás cómo la distancia recorrida por un camión y un vehículo está relacionada con el tiempo.

¿Cómo jugar?

1. Usa los botones verde y rojo para modificar la velocidad del camión y del vehículo.
2. Observa cómo cambian las gráficas en la ventana izquierda y la posición de los vehículos en la derecha.
3. Identifica la relación entre el tiempo y la distancia recorrida.
4. Analiza cada punto en la gráfica y cómo representan la proporcionalidad.
5. Responde las preguntas al final para reforzar tu aprendizaje.

¿Cuál es el objetivo del juego?

Comprender cómo la razón de cambio constante en las funciones lineales representan la velocidad de los vehículo y cómo esto se refleja en una situación real.

Laboratorio Virtual: Fortalece tus conocimientos 

Ahora que ya tienes conocimiento del simulador, llegó el momento de poner a prueba lo que has aprendido, ingresa al simulador y responde las 6 preguntas.

1. ¿Cómo puedes saber si la relación entre la distancia y el tiempo es proporcional?
2. Si el camión tiene una mayor pendiente en la gráfica que el vehículo, ¿qué significa esto en términos de velocidad?
3. ¿Qué representan los puntos (13, 1280) y (20, 560) en la gráfica?
4. ¿Qué sucede si aumentas la pendiente de la función roja? Explica cómo afecta la posición del vehículo en la recta real ubicada en lado derecho.
5. Encuentra las funciones de ambas rectas.
6. Con relación con vida cotidiana. Menciona tres ejemplos cotidianos donde puedas aplicar el concepto de proporcionalidad directa.

Actividades

a. Grafica y determina la constante de proporcionalidad en la siguiente información

b. Diga cuál de las siguientes gráficas representan magnitudes directamente proporcionales (justifique). Las que sean magnitudes directamente proporcionales, determina la constante de proporcionalidad.

c. En el planeta Marte, debido a la gravedad, el peso de una persona es aproximadamente 19/50 de su peso en la Tierra.

1. Completa la tabla que relaciona los distintos pesos en kilogramos en la Tierra con su peso en Marte.
2. Crea la gráfica.
3. Si una persona su peso en Marte es de 15kg ¿cuánto kilogramos pesa en la Tierra?

d. Treinta vacas producen 1200 litros de leche diariamente. Además, con 120 litros de leche se pueden elaborar 15 kg de queso.

1. ¿Cuántos litros de leche se requieren para obtener 1 kg de queso?
2. ¿Cuántos días tardará la producción de leche necesaria para fabricar 600 kg de queso?

¿Sabías que la razón y proporción están presentes en muchas situaciones de nuestra vida cotidiana? Por ejemplo, en las recetas de cocina, los ingredientes se ajustan según la cantidad de porciones, lo que representa una razón. Del mismo modo, al calcular distancias en un mapa con una escala o comparar la velocidad de dos vehículos, estamos aplicando proporciones.

¿Qué es la razón?

Ejemplo, la relación entre la distancia recorrida por un ciclista representado con la letra d (en kilómetros) y el tiempo  con la t (en horas), son dos magnitudes diferentes formando una razón:

La expresión de sus unidades de medidas:

¿Se puede escribir las razones de otra forma?

Sí, a : b
Donde: b ≠ 0

¿Qué nombre posee sus elementos a y b?

El nombre del primer elemento “a” es antecedente y el segundo es “b” consecuente.

¿Cómo se puede leer?

Su lectura es: a es a b

Ejemplos de razones

A continuación, mostraré distintas situaciones para aplicar razones. Siempre debes simplificar la expresión de la razón.

1) En la ciudad llamada “x” por cada 6 perros existe 4 gatos.

La razón es: 6 perros : 4 gatos, es decir: 3 : 2.

Conclusión: Existen 3 perros por cada 2 gatos

2) En un colegio, quince de cada veinte son de sexo masculino.

La razón de estudiantes masculinos a estudiantes totales es 15:20, es decir, 3:4.

3) Representa la expresión: 8 es a 15 en forma de una razón.

4) De los 40 asistentes a una reunión empresarial, 25 son mujeres. ¿Cuál es la relación entre el número de asistentes mujeres y el número de asistentes hombres?

¿Qué es la proporción?

¿Cómo se lee?

Se lee: a es a b como c es a d

¿Qué nombre reciben los elementos de una proporción?

Los elementos de una proporción reciben el nombre de extremos y medios.

Al escribir la proporción de esta otra forma puede apreciarse mejor cuando sus elementos son extremos y medios:

a : b = c : d

• a y d, son elementos extremos porque se encuentran en los extremos de la proporción.
  
• b y c, son elementos medios porque están en la parte central de la proporción.
  

Teoremas de proporciones

A lo largo de la historia, se han formulado distintos teoremas que facilitan la resolución de problemas proporcionales garantizando las igualdades entre razones.

A continuación, los teoremas de las proporciones son tres:

Teorema 1. En toda proporción el producto de los extremos es igual al producto de los medios.
Teorema 2. En una proporción pueden intercambiarse el segundo y tercer término, obteniéndose una proporción cierta.
Teorema 3. En una proporción puede invertir las razones.

Tipos de proporciones

Las proporciones se clasifican en continuas y discretas según sus elementos.

Proporción continua

Es una proporción continua cuando los elementos medios son iguales.

Es decir, que:

a : b = b : c

Ejemplo:

En este caso los elementos medios de la proporción son iguales, por lo tanto, el tipo de proporción es continua.

Proporción discreta

Es cuando todos los elementos de la proporción son distintos.

Ejemplo:

Observa que todos los elementos de la proporción son diferentes.

Ejemplos de proporciones

Determinar si el par de razones forma una proporción.

Soluciones                                               

a) Aplicando el Teorema 1:

Ambas razones no crea una proporción.

 b) Por el Teorema 1:

Ambas razones forman una proporción, por lo tanto:

Hallar el valor de x en cada proporción.

Solución a):

Solución b):

Juega con las razones y las proporciones

¿Alguna vez te has preguntado cómo se aplican la razón y la proporción en la vida cotidiana? Con esta increíble simulación interactiva, podrás experimentar, resolver desafíos y descubrir cómo estas relaciones matemáticas están en todas partes.

La simulación tiene dos ventanas, la primera tienes 3 desafíos y debes descubrir la razón en cada una de ellas, la segunda diseñas una razón y en función a ella creas las proporciones.

El juego es muy fácil, lo que debes hacer en el simulador es mover las manitos hacia arriba o hacia abajo. La mano izquierda representa el antecedente y la derecha el consecuente.

Laboratorio Virtual: Fortalece tus conocimientos 

Ahora que ya tienes conocimiento del simulador, llegó el momento de poner a prueba lo que has aprendido, ingresa al simulador y responde las 5 preguntas de cada ventana.

Ventana # 1. Descubrir la razón

1. ¿Descubriste la razón del primer desafío?¿Cuál es la razón?
2. ¿Revelaste la razón del segundo desafío?¿Cuál es la razón?
3. ¿Encontraste la razón del tercer desafío?¿Cuál es la razón?
4. ¿Existirá otras razones equivalentes del desafío 1?
5. ¿Qué sucede con la razón si duplicas ambas cantidades al mismo tiempo?

Ventana # 2. Crear proporciones.

Al ingresar a esta ventana, establece una razón en “Mi desafío” y produce proporciones.

1. ¿Qué razón estableciste?
2. ¿Cuántas proporciones creaste en función a la razón establecida?
3. Si la proporción inicial es 2:3 y duplicas ambas cantidades, ¿sigue siendo equivalente? ¿Por qué?
4. Si en la simulación hay 8 bloques azules y 12 bloques rojos, ¿puedes encontrar una proporción equivalente con números más pequeños?
5. Expresa al menos una proporción de la pregunta 4?

Actividades

A. Utiliza una razón para representar las siguientes situaciones de la vida diaria:

1. En una escuela de música, ocho de cada diez estudiantes tienen un computador portátil.
2. Un equipo de beisbol ha ganado cinco de cada 7 partidos jugados.
3. En el zoológico cinco de cada diez personas son niños.

B. Representa cada expresión en una razón:

1. 6 es a 11
2. 25 es a 1/2
3. 1/5 es a 13

C. Resuelve:

• El largo de una cancha de fútbol sala es de 40m y el ancho 20 metros. ¿Cuál es la razón entre el ancho y el largo?
• David necesita conocer la razón entre la estatura de su papá y él. El padre mide 1,62m y David 1,55m.
• Adriana compró una bolsa de papas de 4kg a $12 y otra bolsa de 6kg a $18. ¿En cuál de los dos casos resulta más económico el kilogramo de papa?

D. Determina la razón. En una iglesia hay 85 mujeres y 70 hombres:

1. La razón entre el número de mujeres y el número de hombres en la iglesia.
2. La razón entre el número de mujeres y el número de asistencia a la iglesia.
3. La razón entre el número de hombres y el número de asistentes a la iglesia.

E. Identifica las razones que forman una proporción en los siguientes casos:

1. 3/7 y 6/10
2. 4/6 y 8/18
3. 2/4 y 3,5/7

F. Encuentra una razón que forme una proporción:

1. 5/9=
2. 24/48=
3. 3/4=
4. 0,5/4=

G. Determinar el valor de x en cada proporción:

1. 2/12 = x/48
2. 6 : x+1 = 5 : 40
3. 0,4 : x-1 =10 : 4,5
4. 1/2 = 5/x

H. Interpreta, escribe la razón que represente y determina si forma una proporción:

• La mitad de las 350 aves de un galpón M, están contagiadas de gripe aviar. De las 220 aves de un galpón N, 200 están contagiadas de gripe aviar.

I. Resuelve:

• Con 150g de harina se preparan 8 galletas. ¿Cuántos gramos de harina se necesitan para preparar 34 galletas?
• En una escuela la cantidad de profesores debe ser proporcional a la cantidad de estudiantes. Si se deben contratar 2 profesores por cada 30 estudiantes y, actualmente, hay en la escuela 26 profesores y 390 estudiantes. ¿Se está cumpliendo la proporción de profesores y estudiantes en la escuela?

J. Diga si la proporción es continua o discreta:

1. 2/0,2 = 0,2/0,02
2. 4/10 = 100/250
3. 9/10 = 4,5/5

Respuestas

A continuación, aquí tienes las respuestas estructuradas por partes:

A

1. 8:10
2. 5:7
3. 5:10

B

1. 6:11
2. 25:1/2
3. 1/5:13

C

1. Razón ancho/largo: 1:2.
2. Razón estatura padre/David: 162:155 o 1,62:1,55.
3. Más económico: Ambas bolsas tienen el mismo precio por kg.

D

1. Mujeres : hombres = 85:70
2. Mujeres : asistentes = 85:155
3. Hombres : asistentes = 70:155

E

1. No forman proporción.
2. No forman proporción.
3. Sí forman proporción.

F

1. 5/9 = 10/18
2. 24/48 = 1/2
3. 3/4 = 6/8
4. 0,5/4 = 1/8

G

1. x = 8
2. x = 47
3. x = 1,3
4. x =10

H

• Razón en galpón M: 175:350 (1:2)
• Razón en galpón N: 200:220
• No forman una proporción.

I

1. Gramos de harina para 34 galletas: 637,5g.
2. Sí se cumple la proporción.

J

1. Continua (el medio se repite: 0,2).
2. Discreta.
3. Discreta.

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Si estás buscando las propiedades de la potenciación de números enteros has llegado al lugar indicado. En nuestra vida cotidiana el uso de estas propiedades se hace con mucha frecuencia. Aunque no lo notes, en este post te darás cuenta lo importante de saber su aplicación.
Por ejemplo, se quiere calcular el volumen de una caja con forma de cubo cuyos lados miden 10 cm, el procedimiento sería el siguiente:

1. Multiplicar la base diez tres veces$$V=10.10.10$$

2. Volumen de la caja es:$$V=10.10.10=10^{3}=1000$$

Es decir$$V=1000cm^{3}$$

¿Qué propiedad de la potenciación de números enteros se aplicó en esta situación?

Propiedades de la potenciación de números enteros

La potenciación es una operación matemática que consiste en multiplicar un número por sí mismo llamado «base» según lo que exprese el exponente. La potenciación se puede presentar de diversas formas y para poderlas resolver correctamente, es fundamental aplicar las propiedades de la potenciación. A continuación, se detallan cada una de estas propiedades.

1. Producto de potencias de igual base.
2. Cociente de potencias de igual base.
3. Potencia de una potencia.
4. Potencia de un producto.
5. Potencia de un cociente.
6. Exponente cero.
7. Exponente uno.
8. Potencia de uno.

Tabla de las propiedades

Producto de potencias de igual base

En esta propiedad, se escribe la misma base y se suman los exponentes. En este caso las bases (a) son iguales y se multiplican, cada base posee un exponente (m) y (n) y el resultado es la misma base (a) y el exponente resultante es la sumatoria de los exponentes de cada base. Observe su simbolización:$$a^{m}.a^{n}=a^{m+n}$$

Ejemplo#1: Transforma la siguiente operación en una única potencia y resuelva la potenciación.

$$3^{5}.3^{3}=$$
$$=3^{5+3}$$
$$=3^{8}$$

Para finalizar, se resuelve la potenciación:$$3^{8}=3.3.3.3.3.3.3.3=6561$$

Ejemplo#2: Expresa la siguiente operación en una sola potencia.

$$(-5)^{3}\cdot (-5)^{4}=$$

Solución: Como posee bases iguales se aplica la propiedad de producto de potencias de igual base.
$$=(-5)^{3+4}$$
$$=(-5)^{7}$$

Ejemplo#3: Exprese el siguiente enunciado como una sola potencia.

$$(-8)^{2}\cdot (-8)^{6}\cdot (-8)^{10}\cdot (-8)^{5}=$$

Solución: Son bases iguales se aplica la misma propiedad del ejercicio anterior.
$$=(-8)^{2+6+10+5}$$
$$=(-8)^{23}$$

Cociente de potencias de igual base

El cociente de potencias de igual base es una propiedad que simplifica la división de expresiones exponenciales. Cuando divides dos potencias que tienen la misma base, mantienes la base y restas el exponente del divisor al exponente del dividendo. Su simbolización es:$$a^{m}\div a^{n}=a^{m-n}$$

Ejemplo#1: Convierte la siguiente operación en una sola potencia y luego resuélvela.

$$(-9)^{5}\div (-9)^{2}=$$
$$=(-9)^{5-2}$$
$$=(-9)^{3}$$

Se resuelve la potenciación$$=(-9)\cdot(-9)\cdot(-9)=-729 $$

$$\boxed{(-9)^{5}\div (-9)^{2}=-729 }$$

Ejemplo#2: Transforma la siguiente expresión en una sola potencia

$$12^{11}\div 12^{9}=$$
$$=12^{11-9}$$
$$=12^{2}$$

Potencia de una potencia

En este caso la base (a), posee un exponente (m) y a su vez este exponente posee otro exponente (n) el resultado es la base (a) y el exponente resultante es la multiplicación de los exponentes. Observa su simbolización:$$(a^{m})^{n}=a^{m\cdot n }$$

Ejemplo#1: Un programador está diseñando un algoritmo para generar códigos de seguridad.

• La primera parte del código puede tener hasta 4³ combinaciones diferentes.
• La segunda parte del código se genera elevando el número de combinaciones de la primera parte al cuadrado.

¿Cuántas combinaciones de códigos se pueden generar en total?

Solución:

Se eleva al cuadrado la primera combinación, luego se aplica la propiedad potencia de potencia.

$$(4^{3})^{2}=$$
$$=4^{3\cdot 2 }$$
$$4^{6}=4\cdot4\cdot4\cdot4\cdot4\cdot4\cdot=4096$$

Respuesta: Existe 4096 combinaciones de códigos.

Ejemplo#2: Expresar en una sola potencia.

$$\left [ \left ( -5 \right )^{5} \right ]^{3}=$$
$$=\left ( -5 \right )^{5\cdot 3}$$
$$=\left ( -5 \right )^{15}$$

Potencia de un producto

En este caso ambas bases (a y b) se multiplican son diferentes y están elevadas.

Para resolverlo debes multiplicar el exponente (m) por el exponente de cada base (a y b), finalmente resuelve ambas potencias y multiplicas ambos resultados. Su simbolización es$$\left ( a\cdot b \right )^{m}=a^{m}\cdot b^{m}$$

Ejemplo: Resuelva

$$\left [ \left ( 6 \right )\cdot \left ( -4 \right ) \right ]^{3}=$$
$$=6^{3}\cdot (-4)^{3}$$
$$=216\cdot(-64) $$
$$=-13\, 824$$

Potencia de un cociente

En este caso las bases (a y b) son diferentes se dividen y elevados a un exponente (m), el resultado es que el exponente (m) multiplica con cada exponente de ambas bases. Observa su simbolización$$(a\div b)^{m}=a^{m}\div b^{m}$$

Ejemplo: Resuelva y exprese en potencia.

$$\left [ (-20)\div (4) \right ]^{4}=$$
$$=(-20)^{4}\div (4)^{4}$$

Exponente cero

En este caso toda base que esté elevada a la 0 (cero) siempre el resultado es 1 (uno). su simbolización es$$a^{0}=1$$

Ejemplo: Resuelva.

$$\frac{8^{12}}{8^{12}}=$$
$$=8^{12-12}$$
$$=8^{0}=1$$

Exponente uno

Cualquier número (base) que se encuentre elevado a la 1 el resultado siempre es el mismo valor inicial. Su simbolización es$$a^{1}=a$$

Ejemplo: 

$$1\, 500^{1}=1\, 500$$

Potencia de uno

Esta propiedad establece que el número uno, elevado a cualquier exponente n, siempre es igual a uno. Esto ocurre porque al multiplicar el 1 por sí mismo, no importa cuántas veces, el resultado nunca cambia. Su simbolización es$$1^{n}=1$$

Ejemplo:

$$1^{1000}=1$$

Errores comunes

• Confundir suma con multiplicación de exponentes: \(a^m + a^n \neq a^{m+n}\). La suma no permite sumar exponentes.
• Olvidar la base: No se pueden combinar potencias si las bases son distintas (por ejemplo, \(2^3\times3^2\) no se simplifica sumando exponentes).
• Casos con signos negativos: \((-2)^3 = -8\). Use paréntesis para indicar que la base es negativa.

Ejemplo. Aplique las propiedades de la potenciación y exprese el resultado en una sola potencia

$$\frac{(-2^{3})^{2}\cdot (-2^{4})^{3}\cdot (-2^{9})^{7}}{(-2^{8})^{2}\cdot (-2)}
=$$
$$ =\frac{(-2)^6 \cdot (-2)^{12} \cdot (-2)^{63}}{(-2)^{16}\cdot (-2)}$$
$$= \frac{(-2)^{81}}{(-2)^{17}}$$
$$ \boxed{(-2)^{64}}$$

$$\frac{(3^4)^2 \cdot (3^5)^{-3}}{(3^2)^3 \cdot (3)^{-4}}
=$$
$$ =\frac{3^8 \cdot 3^{-15}}{3^6 \cdot 3^{-4}}$$
$$ =\frac{3^{-7}}{3^2}$$
$$ \boxed{3^{-9}}$$

Ejercicios para practicar 

Intenta resolver antes de mirar la respuesta.

Actividades 

I.Resuelva:

$$2^{3}.2^{2} = $$

$$5^{1}.5^{4}=$$

$$4^{2}.4^{3}=$$

¿Qué ocurre con los exponentes al multiplicar potencias con la misma base?

II.Determinar:

$$\frac{6^{4}}{6^{6}}=$$

$$\frac{10^{5}}{10^{3}}=$$

$$\frac{3^{6}}{3^{3}}=$$

¿Qué ocurre con los exponentes al dividir potencias con la misma base?

III. Calcula

$$(-3^{3})^{4}=$$

$$(102^{3})^{0}=$$

$$(12^{2})^{2}=$$

¿Qué observas sobre los exponentes al aplicar la propiedad de la potencia de una potencia?

IV.Encuentra el valor de x a partir de las condiciones dadas.

$$4^{x}\cdot 4^{5}=4^{12}$$
$$(-158)^{x}=1$$
$$34^{9}\div 34^{x}=347$$
$$(8^{2})^{x}=64$$
$$(-10)^{x}=-1000$$
$$2^{5}\div 2^{x}=2^{3}$$

V.Responde y justifica tu respuesta.

• En la igualdad (-1)ⁿ = -1. ¿El exponente puede ser cero?
• Se puede afirmar que (-5)² ¿es lo mismo que 5²

VI.Resuelva:

$$\frac{(2^3)^4 \cdot (2^{-5})^2 \cdot (3^2)^{-3}}{(2^6 \cdot 3^{-4}) \cdot (2^{-2}\cdot 3^5)}=$$
$$\frac{((-3)^2)^{-3}\cdot (5^{-1})^4 \cdot (-3)^5}{((-3)^{-4}\cdot 5^3)\cdot (5^{-2})}=$$

Respuesta:

$$\frac{(2^3)^4 \cdot (2^{-5})^2 \cdot (3^2)^{-3}}{(2^6 \cdot 3^{-4}) \cdot (2^{-2}\cdot 3^5)}
= 2^{-2}\cdot 3^{-4}$$

VII.Simplifica cada expresión usando las propiedades de la potenciación en números enteros. El objetivo es dejarla como una única potencia (o producto de pocas potencias).

$$\frac{2^5 \cdot 2^{-3}}{2^4}$$
$$\frac{(3^2)^4 \cdot 3^{-5}}{3^3 \cdot (3^{-1})^2}$$
$$\frac{(-2^3)^2 \cdot (-2^4)^{-3} \cdot (-2)^{10}}{(-2^2)^5 \cdot (-2)^{-6}}$$
$$\frac{(5^{-2})^3 \cdot (5^4)^2}{5^{-5}\cdot (5^3)^{-2}}$$

VIII.Trabajo en pareja: crear 3 problemas reales donde aparezcan potencias (volumen, áreas, programación simple).

IX.Juego: tarjetas con potencias para emparejar (por valor y por forma simplificada).

X.Reto rápido: en 5 minutos, simplificar la mayor cantidad de expresiones usando las propiedades.

Ahora que ya conoces las propiedades de la potenciación de números enteros es hora de poner manos a la obra, práctica cada uno de los casos y podrás mejorar tus habilidades con este contenido.

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