10ºGrado

¿Quieres ver y aprender el procedimiento de 28 ecuaciones trigonométricas resueltas paso a paso?
En esta guía encontrarás cada ejercicio desarrollado con claridad: despejes ordenados, aplicación de identidades trigonométricas y comprobaciones finales para que no solo obtengas la respuesta, sino que entiendas por qué funciona. Ideal para reforzar clases, preparar exámenes o practicar con confianza. Sigue los pasos y transforma la resolución de ecuaciones trigonométricas en algo lógico y manejable.

Ecuaciones trigonométricas

Las ecuaciones trigonométricas son igualdades que poseen una o varias funciones trigonométricas donde la incógnita es el ángulo del cual depende la función.

¿Cómo resolver una ecuación trigonométrica?

Para resolver una ecuación trigonométrica debes transformar las funciones a una sola expresión, utilizando identidades trigonométricas. Una vez que la ecuación está en términos de una sola función, se aplican técnicas algebraicas para despejarla y, finalmente, resuelves la parte trigonométrica para encontrar el ángulo.

Aquí te presento los pasos generales a seguir:

1.Simplificar la ecuación:

1. Utilizar identidades trigonométricas para reescribir la ecuación de manera que contenga la menor cantidad de funciones trigonométricas diferentes posible, idealmente una sola.
2. Aplicar diferencia de cuadrados o factorización.
3. Si es necesario, sustituir la expresión trigonométrica con una variable simple (como x o u) para que la ecuación se asemeje a una ecuación algebraica (por ejemplo, una cuadrática).

2.Despejar la función trigonométrica para encontrar el valor del ángulo.

3.Como las funciones trigonométricas son periódicas, siempre habrá múltiples soluciones. Para determinar las soluciones es importante tener en cuenta el círculo unitario y los signos de las funciones en cada cuadrante para hallar todas las soluciones en el intervalo deseado (frecuentemente [0,2]).

Identidades de cofuncionalidad

Para resolver las ecuaciones trigonométricas también es aplicable las identidades de cofuncionalidad, ellas son:

$$\text{En grados sexagesimales:}$$

$$sin(90^\circ-x)=cosx$$

$$cos(90^\circ-x)=senx$$

$$tan(90^\circ-x)=cotx$$

$$cot(90^\circ-x)=tanx$$

$$sec(90^\circ-x)=cscx$$

$$csc(90^\circ-x)=secx$$

$$\text{O en radianes:}$$

$$sin\left(\frac{\pi}{2} – x\right)= cos x$$

$$cos\left(\frac{\pi}{2} – x\right)= sen x$$

$$tan\left(\frac{\pi}{2} – x\right)= cot x$$

$$cot\left(\frac{\pi}{2} – x\right)= tan x$$

$$sec\left(\frac{\pi}{2} – x\right)= csc x$$

$$csc\left(\frac{\pi}{2} – x\right)= sec x$$

Identidad trigonométrica de combinación lineal

Es la combinación lineal de senos y cosenos en una única función trigonométrica. Es una herramienta clave para la solución de ecuaciones trigonométricas.

Su forma es la siguiente:

$$a\cdot cosx+b\cdot senx$$

Al estar así puede ser transformado en una única función de seno o coseno.

La combinación lineal de seno y coseno se puede escribir así:

$$a\cdot cosx+b\cdot senx=R\cdot cos(x-\alpha )$$

$$a\cdot cosx+b\cdot senx=R\cdot sen(x+\beta )$$

Donde R representa la amplitud del coseno o seno, R es la longitud del vector resultante de las componentes a y b en el plano cartesiano.

Fórmulas

R: Magnitud de la combinación o amplitud resultante.

$$R=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$$

α y β = Ángulo de fase.

Para el coseno

$$tan\alpha =\frac{b}{a}$$

Se aplica:

$$a\cdot cosx+b\cdot senx=R\cdot cos(x-\alpha )$$

Para el seno

$$tan\beta =\frac{a}{b}$$

Se aplica:

$$a\cdot cosx+b\cdot senx=R\cdot sen(x+\beta )$$

Relación entre ángulos:

$$R\cdot cos(x-\alpha )=R\cdot sen(x+\beta )$$

$$\beta =90^{\circ }-\alpha $$

Guía de 28 ecuaciones trigonométricas resueltas paso a paso para fortalecer tus habilidades

A continuación, te presento 28 ecuaciones trigonométricas resueltas paso a paso. Te recomiendo que intentes resolver cada una por tu cuenta antes de mirar la solución. ¡Así es como realmente se aprende y se consolida el conocimiento! Con práctica y dedicación, te sorprenderá lo rápido que te conviertes en un experto en la resolución de estas ecuaciones esenciales.

Ejercicio 1:

$$\tan x – \sqrt{3} = 0$$
$$\tan x – \sqrt{3} = 0$$
$$\tan x = \sqrt{3}$$
$$x=tang^{-1}\sqrt{3}=60^{\circ }$$

Análisis: Como la tangente es positiva, la solución se encuentra en el cuadrante I y III.

Solución:

$$x = 60^\circ, 240^\circ$$

Ejercicio 2:

$$\tan x + \sqrt{3} = 0$$
$$\tan x = -\sqrt{3}$$
$$x = \tan^{-1}(-\sqrt{3}) = 120^\circ$$

Análisis: La tangente es negativa, por lo tanto la solución está en los cuadrantes II y IV

Solución:

$$x = 120^\circ, 300^\circ$$

Ejercicio 3:

$$\cot x – 1 = 0$$
$$\cot x = 1$$
$$x = \cot^{-1} 1 = 45^\circ$$

Análisis: La cotangente es positiva y su solución está en los cuadrantes I y III.

Solución:

$$x = 45^\circ, 225^\circ$$

Ejercicio 4:

$$\cot x + 1 = 0$$
$$\cot x = -1$$
$$x = \cot^{-1}(-1) = 135^\circ$$

Análisis: La cotangente es negativa y su solución está en los cuadrantes II y IV

Solución:

$$x = 135^\circ, 315^\circ$$

Ejercicio 5:

$$\sec x – 2 = 0$$
$$\sec x = 2$$
$$x = \sec^{-1} 2 = 60^\circ$$

Análisis: La secante es positiva, su solución es el cuadrante I y IV.

Solución:

$$x = 60^\circ, 300^\circ$$

Ejercicio 6:

$$\sec x + 2 = 0$$
$$\sec x = -2$$
$$\frac{1}{cosx}=-2$$
$$1=-2cosx$$
$$cosx=-\frac{1}{2}$$
$$x=cos^{-1}-\frac{1}{2}$$
$$x=120^{\circ }$$

Análisis: La secante es negativa, entonces su solución está en el cuadrante II y III.

Solución:

$$x = 120^\circ, 240^\circ$$

Ejercicio 7:

$$2sen x + \sqrt{1} = 0$$
$$2sen x + 1 = 0$$
$$sen x = -\frac{1}{2}$$

Solución:

$$x = 210^\circ, 330^\circ$$

Ejercicio 8:

$$2\cos x – \sqrt{12} = 0$$
$$\cos x = \frac{\sqrt{12}}{2} = \sqrt{3}$$

Solución:

$$\text{Sin solución (}\cos x = \sqrt{3} > 1\text{)}$$

Ejercicio 9:

$$8sen x + \sqrt{48} = 0$$
$$sen x = -\frac{\sqrt{48}}{8} = -\frac{4\sqrt{3}}{8} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Solución:

$$x = 240^\circ, 300^\circ$$

Ejercicio 10:

$$2\sec x – 6 = 0$$
$$\sec x = 3$$
$$\cos x = \frac{1}{3}$$

Solución:

$$x \approx 70.53^\circ, 289.47^\circ$$

Ejercicio 11:

$$2\cot x = 3$$
$$\cot x = \frac{3}{2}$$
$$x \approx 33.69^\circ, 213.69^\circ$$

Solución:

$$x \approx 33.69^\circ, 213.69^\circ$$

Ejercicio 12:

$$\sec x = \sqrt{2}$$
$$\cos x = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Solución:

$$x = 45^\circ, 315^\circ$$

Ejercicio 13:

$$\sqrt{3}\cot x = -1$$
$$\cot x = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$$
$$\tan x = -\sqrt{3}$$

Solución:

$$x = 120^\circ, 300^\circ$$

Ejercicio 14:

$$(2sen x – \sqrt{3})(2\cos x – \sqrt{2}) = 0$$

Se iguala ambos factores a cero.

Primera ecuación:

Segunda ecuación:

Solución:

$$x = 45^\circ, 60^\circ, 120^\circ, 315^\circ$$

Ejercicio 15:

$$2sen x – cos x = -sen x$$
$$3sen x = cos x$$
$$tan x = \frac{1}{3}$$

Solución:

$$x \approx 18.43^\circ, 198.43^\circ$$

Ejercicio 16:

$$(\tan x – \sqrt{3})(\tan^2 x – 1) = 0$$

Se igualan ambos factores a cero, quedando de la siguiente manera:

Primera ecuación:

$$\tan x = \sqrt{3} \Rightarrow x = 60^\circ, 240^\circ$$

Segunda ecuación:

Solución:

$$x = 45^\circ, 60^\circ, 135^\circ, 225^\circ, 240^\circ, 315^\circ$$

Ejercicio 17:

$$2sen^2 x + sen x = +1$$
$$2sen^2 x + sen x – 1 = 0$$

Resolver con la fórmula general:

$$senx=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$$

Donde:

$$a=2;b=1;c=-1$$

Solución:

$$sen x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = 30^\circ, 150^\circ$$
$$sen x = -1 \Rightarrow x = 270^\circ$$

Entonces:

$$x = 30^\circ, 150^\circ, 270^\circ$$

Ejercicio 18:

Se lleva todo a un lado de la ecuación:

$$3\tan^2 x – 2\sqrt{3}\tan x – 3 = 0$$

Fórmula general:

$$t=tanx$$

$$t= \frac{2\sqrt{3} \pm \sqrt{(-2\sqrt{3})^2 – 4(3)(-3)}}{2(3)}$$

$$t = \frac{6\sqrt{3}}{6} = \sqrt{3}, \quad t = \frac{-2\sqrt{3}}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$$

Entonces:

$$\tan x = \sqrt{3} \Rightarrow x = 60^\circ, 240^\circ$$
$$\tan x = -\frac{\sqrt{3}}{3} \Rightarrow x = 150^\circ, 330^\circ$$

Solución:

$$x = 60^\circ, 150^\circ, 240^\circ, 330^\circ$$

Ejercicio 19:

$$2\cos^2 x – 3\cos x – 2 = 0$$

$$2y^2 – 3y – 2 = 0$$

$$\text{Paso 3: Usar la fórmula general:}$$

$$y = \frac{3 \pm 5}{4}$$

$$y_2 = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} \quad (\text{válida})$$

$$\text{Paso 4: Volver a } \cos x: \quad \cos x = -\frac{1}{2}$$

Solución:

$$\boxed{x = 120^\circ,\ 240^\circ}$$

Ejercicio 20:

$$\Rightarrow \sin x = \cos x$$

$$\tan x = 1$$

Solución:

$$\boxed{x = 45^\circ,\ 225^\circ}$$

Ejercicio 21:

$$3\cos^2 x + sen^2 x = 3$$

Se aplica la identidad pitagórica:
$$sen^2 x = 1 – \cos^2 x$$

Sustitución:
$$3\cos^2 x + (1 – \cos^2 x) = 3$$
$$2\cos^2 x + 1 = 3 \Rightarrow 2\cos^2 x = 2$$
$$\cos^2 x = 1 \Rightarrow \cos x = \pm1$$

Solución:

$$x = 0^\circ, 180^\circ$$

Ejercicio 22:

$$sec x (2sen x + 1) – 2(2sen x + 1) = 0$$
Factor común:

$$(2sen x + 1)(sec x – 2) = 0$$

Caso 1:

Caso 2:

Solución:

$$x = 60^\circ, 210^\circ, 300^\circ, 330^\circ$$

Ejercicio 23:

$$2cos^2 x + 3sen x = 0$$

Aplicación de la identidad pitagórica: $$cos^2 x = 1 – sen^2 x$$

$$2(1 – sen^2 x) + 3sen x = 0$$
$$2 – 2sen^2 x + 3sen x = 0$$
Se multiplica por -1:

$$2sen^2 x – 3sen x – 2 = 0$$

Resolver con la fórmula general:

Solución:

$$x = 210^\circ, 330^\circ$$

Ejercicio 24:

$$4\cos x – 2 = 2\left( \frac{\sin x}{\cos x} \cdot \frac{\cos x}{\sin x} \right) – \frac{1}{\cos x}$$

Solución:

$$x= 60^\circ \quad \text{y} \quad x = 300^\circ$$

$$\boxed{x = 60^\circ \quad \text{y} \quad x = 300^\circ}$$

Ejercicio 25:

$$(2 – \sqrt{3})sen x + (2 – \sqrt{3}) = 2cos^2 x$$
Se aplica la identidad pitagórica para que todo quede expresado en función a senx
$$(2 – \sqrt{3})sen x + (2 – \sqrt{3}) = 2(1 – sen^2 x)$$
Propiedad distributiva en el segundo miembro de la ecuación:
$$(2 – \sqrt{3})sen x + (2 – \sqrt{3}) = 2 – 2sen^2 x$$
Se iguala a cero:

Ecuación de 2° grado en senx
$$2sen^2 x + (2 – \sqrt{3})sen x – \sqrt{3} = 0$$

Sustitución en la fórmula general:

Cálculo del discriminante:

$$(2 – \sqrt{3})^2 = 4 – 4\sqrt{3} + 3 = 7 – 4\sqrt{3}$$
$$4ac = 4(2)(-\sqrt{3}) = -8\sqrt{3}$$
Discriminante total:
$$7 – 4\sqrt{3} + 8\sqrt{3} = 7 + 4\sqrt{3}$$

Entonces:

$$sen x = \frac{-(2 – \sqrt{3}) \pm \sqrt{7 + 4\sqrt{3}}}{4}$$

Valor de:
$$sen x_1 \approx 0.866 \Rightarrow x = 60^\circ, 120^\circ$$
$$sen x_2 \approx -1 \Rightarrow x = 270^\circ$$

Solución:

$$\boxed{60^\circ, 120^\circ, 270^\circ}$$

Ejercicio 26:

$$\sqrt{2} cos x – \sqrt{2} sen x = -\sqrt{3}$$

$$a cos x + b sen x = R \cos(x – \alpha)$$

$$\textbf{2.1. Calculo de } R:$$

$$\textbf{2.2. Calcular del ángulo } \alpha:$$

$$\tan \alpha = \frac{b}{a} = \frac{-\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = -1$$

$$\textbf{Paso 3: Reescribir la ecuación}$$

$$\sqrt{2} cos x – \sqrt{2} sen x = 2 cos(x + 45^\circ)$$

$$2 \cos(x + 45^\circ) = -\sqrt{3}$$

$$\textbf{Paso 4: Despejar}$$

$$\cos(x + 45^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$

$$x + 45^\circ = 150^\circ \Rightarrow x = 105^\circ$$

$$x + 45^\circ = 210^\circ \Rightarrow x = 165^\circ$$

Solución

Ejercicio 27:

$$\frac{1}{\cot^2 x} + \sqrt{3} \tan x = 0$$
$$\frac{1}{\cot^2 x} = \tan^2 x$$
Entonces:

$$\tan^2 x + \sqrt{3}\tan x = 0$$
$$\tan x (\tan x + \sqrt{3}) = 0$$

$$\tan x = 0 \Rightarrow x = 0^\circ, 180^\circ$$
$$\tan x = -\sqrt{3} \Rightarrow x = 120^\circ, 300^\circ$$

Solución:

$$x = 0^\circ, 120^\circ, 180^\circ, 300^\circ$$

Ejercicio 28:

$$2cos\left( \frac{\pi}{4} – x \right) = 1$$

$$\text{Paso 1: Conversión a grados: } \frac{\pi}{4} = 45^\circ$$

$$\Rightarrow \cos(45^\circ – x) = \frac{1}{2}$$

$$\text{Paso 3: Se determina los valores de x:}$$

$$45^\circ-x=60^\circ$$

$$x=-15^\circ$$

$$45^\circ-x=300^\circ$$

$$x=-255^\circ$$

$$x=-15^\circ+360^\circ$$

$$x=345^\circ$$

$$x=-255^\circ+360^\circ$$

$$x=105^\circ$$

Solución

$$\boxed{x = 105^\circ,\ 345^\circ}$$

¿Tienes dudas o quieres compartir tu propio ejercicio?

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¿Te ha pasado que en clase de trigonometría te piden demostraciones de identidades trigonométricas y no sabes por dónde empezar? 😅
No estás solo. Entender las demostraciones de identidades trigonométricas no se trata solo de memorizar fórmulas, sino de razonar con lógica matemática. En este artículo descubrirás cómo convertir un problema complejo en una demostración sencilla, paso a paso, con ejemplos claros que podrás aplicar en tus próximos exámenes.

¿Qué significa las demostraciones de identidades trigonométricas?

Las demostraciones de identidades trigonométricas son un proceso matemático que busca comprobar que dos expresiones trigonométricas son equivalentes para cualquier valor del ángulo, el procedimiento es único según la identidad.

Estos tipos de ejercicios fortalecen tu razonamiento lógico y tu dominio de las propiedades del seno, coseno y otras funciones trigonométricas.

¿Qué son las identidades trigonométricas y para qué sirven?

Las identidades trigonométricas son igualdades entre funciones trigonométricas que se cumplen para cualquier valor del ángulo. Son esenciales porque permiten simplificar expresiones, resolver ecuaciones trigonométricas y analizar fenómenos periódicos en física e ingeniería.

Ejemplo:

$$sen^{2}\alpha +cos^{2}\alpha =1$$

Esta identidad puede comprobarse con el Teorema de Pitágoras aplicado a la Circunferencia trigonométrica.

Tipos principales de identidades trigonométricas

Ellas son:

• Recíprocas.
• Cociente.
• Pitagóricas.
• De cofunción y doble ángulo.

Observa la siguientes tabla:

¿Cómo demostrar identidades trigonométricas paso a paso?

Te daré 7 estrategias valiosas para que seas un experto demostrando identidades trigonométrica, ellas son las siguientes:

1. Memoriza bien las identidades trigonométricas básicas

Antes de comenzar, asegúrate de dominar las identidades recíprocas, pitagóricas y de cociente. Son los pilares fundamentales sobre los que se construyen todas las demostraciones. Tenerlas claras te dará una base sólida para cualquier transformación.

2. Elige el lado de la ecuación adecuada para iniciar

Por lo general, es más fácil comenzar trabajando con el lado más complejo de la identidad. Este lado suele ofrecer más oportunidades para aplicar identidades y simplificar expresiones hasta que coincida con el lado más sencillo. Sin embargo, no dudes en trabajar en ambos lados simultáneamente si el problema lo requiere, buscando un punto medio donde ambos se igualen.

3. Transforma a seno y coseno

Cuando te encuentres «atascado» o la expresión parezca demasiado complicada, un excelente primer paso es reescribir todas las funciones trigonométricas en términos de seno y coseno. Esto a menudo simplifica la expresión y te permite ver nuevas oportunidades para aplicar identidades o realizar operaciones algebraicas.

4. Visión algebraica

Las demostraciones de identidades trigonométricas también son un ejercicio de álgebra. No olvides aplicar tus habilidades en:

• Factorización (factores comunes o usar diferencias de cuadrados)
• Productos notables.
• Propiedad distributiva.
• Productos de binomios.
• Suma y Resta de Fracciones.
• Simplificación para cancelar términos o reducir expresiones.
• Racionalización.

5. Multiplicar por 1

En algunos momentos es clave multiplicar por 1  cuando necesitas crear un denominador o numerador específico. Por ejemplo:

$$\frac{1-senx}{cosx}\cdot \frac{1+senx}{1+senx}$$

6. Simplifica siempre que puedas

El objetivo final es llegar a una expresión idéntica en ambos lados. Después de cada paso, revisa si puedes simplificar la expresión resultante. Eliminar términos innecesarios te acercará a la solución y evitará que la demostración se complique más de lo necesario.

7. ¡La Práctica Hace al Maestro!

La habilidad para demostrar identidades trigonométricas se desarrolla con la práctica constante. No te desanimes si un ejercicio no sale a la primera; cada intento te enseña algo nuevo y fortalece tu intuición matemática. Disfruta el proceso de desentrañar cada problema.

35 ejercicios de demostraciones de Identidades Trigonométricas resueltos paso a paso

Te recomiendo que soluciones cada ejercicio por tu propia cuenta. Una vez que lo hayas intentado, o si te sientes atascado, entonces sí, compara tu procedimiento y resultado con nuestra guía. Si te encuentras con un bloqueo, esfuérzate un poquito más antes de mirar la solución; ese es el momento clave donde tu comprensión realmente se afianza. Si aún así no lo logras, no te preocupes, observa el procedimiento detallado. ¡Esta guía es una herramienta indispensable que te permitirá comprender, practicar y dominar las demostraciones, ganando habilidades matemáticas esenciales que te servirán en muchas otras situaciones!

Solución:

$$\frac{senx+tanx}{1+cosx}=tanx$$

$$\frac{senx+\frac{senx}{cosx}}{1+cosx}=tanx$$

$$\frac{\frac{senxcosx+senx}{cosx}}{1+cosx}=tanx$$

$$\frac{senxcosx+senx}{cosx(1+cosx)}=tanx$$

$$\frac{senx(cosx+1)}{cosx(cosx+1)}=tanx$$

$$\frac{senx}{cosx}=tanx$$

$$tanx=tanx$$

Solución:

$$\frac{1+tan^2 x}{csc^2 x}=tan^2 x$$

$$\frac{1+\frac{sen^2 x}{cos^2 x}}{\frac{1}{sen^2 x} x}=tan^2 x$$

$$\frac{sen^2 x(cos^2 x +sen^2 x)}{cos^2 x}=tan^2 x$$

$$\frac{sen^2 x}{cos^2 x}=tan^2 x$$

$$tan^2 x=tan^2 x$$

Solución:

$$\frac{1-cos^{2}x}{tan^{2}x}=cos^2 x$$

$$\frac{1-cos^{2}x}{\frac{sen^{2}x}{cos^{2}x}}=cos^{2}x$$

$$\frac{(1-cos^{2}x)\cdot cos^{2}x}{sen^{2}x}=cos^2x$$

$$\frac{sen^{2}x\cdot cos^{2}x}{sen^{2}x}=cos^2x$$

$$cos^{2}x=cos^2x$$

Solución:

$$sec^{2}x+csc^{2}x = sec^{2}x\cdot csc^{2}x$$

$$ \frac{1}{cos^{2}x}+\frac{1}{sen^{2}x}=sec^{2}x\cdot csc^{2}x $$

$$ \frac{sen^{2}x+cos^{2}x}{cos^{2}x\cdot sen^{2}x}=sec^{2}x\cdot csc^{2}x$$

$$ \frac{1}{cos^{2}x\cdot sen^{2}x}=sec^{2}x\cdot csc^{2}x$$

$$ sec^{2}x\cdot csc^{2}x=sec^{2}x\cdot csc^{2}x$$

Solución:

$$\frac{1+cosx}{senx}=\frac{senx}{1-cosx}$$

$$\frac{(1+cosx)\cdot (1-cosx)}{senx\cdot (1-cosx)}=\frac{senx}{1-cosx} $$

$$\frac{1-cos^{2}x}{sen(1-cosx)}=\frac{senx}{1-cosx} $$

$$\frac{1-(1-sen^{2}x)}{sen(1-cosx)}=\frac{senx}{1-cosx} $$

$$\frac{1-1+sen^{2}x}{sen(1-cosx)}=\frac{senx}{1-cosx} $$

$$\frac{sen^{2}x}{senx(1-cosx)}=\frac{senx}{1-cosx} $$

$$\frac{senx}{1-cosx}=\frac{senx}{1-cosx} $$

Solución:

$$\frac{1}{secx-1}+\frac{1}{secx+1}=2cotx\cdot cscx$$

$$\frac{(secx+1)+(secx-1)}{sec^{2}x-1}=2cotx\cdot cscx$$

$$\frac{secx+1+secx-1}{sec^{2}x-1}=2cotx\cdot cscx$$

$$\frac{2secx}{sec^{2}x-1}=2cotx\cdot cscx$$

$$\frac{2secx}{1+tan^{2}x-1}=2cotx\cdot cscx$$

$$\frac{2secx}{tan^{2}x}=2cotx\cdot cscx$$

$$\frac{2\frac{1}{cosx}}{\frac{sen^{2}x}{cos^{2}x}}=2cotx\cdot cscx$$

$$\frac{\frac{2}{cosx}}{\frac{sen^{2}x}{cos^{2}x}}=2cotx\cdot cscx$$

$$\frac{2cos^{2}x}{cosx\cdot sen^{2}x}=2cotx\cdot cscx$$

$$\frac{2cosx}{senx\cdot senx}=2cotx\cdot cscx$$

$$2cotx\cdot \frac{1}{senx}=2cotx\cdot cscx$$

$$2cotx\cdot cscx=2cotx\cdot cscx$$

Solución:

$$ \frac{2cosx-senx-1}{cos^{2}x}=\frac{2cosx-senx-1}{cos^{2}x}$$

Solución:

$$\frac{1+tanx}{1-tanx}=\frac{cotx+1}{cotx-1}$$

$$ \frac{1+\frac{1}{cotx}}{1-\frac{1}{cotx}}=\frac{cotx+1}{cotx-1}$$

$$ \frac{\frac{cotx+1}{cotx}}{\frac{cotx-1}{cotx}}=\frac{cotx+1}{cotx-1}$$

$$ \frac{cotx+1}{cotx-1}=\frac{cotx+1}{cotx-1}$$

Solución:

$$\frac{sen^{2}x+cos^{2}x}{tan^{2}x}=\frac{csc^{2}x}{sec^{2}x}$$

$$\frac{sen^{2}x\cdot cos^{2}x+cos^{4}x}{sen^{2}x}=\frac{csc^{2}x}{sec^{2}x}$$

$$\frac{sen^{2}x(1-sen^{2}x)+cos^{4}x}{sen^{2}x}=\frac{csc^{2}x}{sec^{2}x}$$

$$\frac{sen^{2}x-sen^{4}x+(cos^{2}x)^{2}}{sen^{2}x}=\frac{csc^{2}x}{sec^{2}x}$$

$$\frac{sen^{2}x-sen^{4}x+(1-sen^{2})^{2}}{sen^{2}x}=\frac{csc^{2}x}{sec^{2}x}$$

$$\frac{1-sen^{2}x}{sen^{2}x}=\frac{csc^{2}x}{sec^{2}x}$$

$$\frac{cos^{2}x}{sen^{2}x}=\frac{csc^{2}x}{sec^{2}x}$$

$$\frac{csc^{2}x}{sec^{2}x}=\frac{csc^{2}x}{sec^{2}x}$$

Solución:

$$secx-tanx=\frac{cosx}{1+senx}$$

$$\frac{1}{cosx}-\frac{senx}{cosx}=\frac{cosx}{1+senx}$$

$$\frac{1-senx}{cosx}=\frac{cosx}{1+senx}$$

$$\frac{1-sen^{2}x}{cosx(1+senx)}=\frac{cosx}{1+senx}$$

$$\frac{1-(1-cos^{2}x)}{cosx(1+senx)}=\frac{cosx}{1+senx}$$

$$\frac{1-1+cos^{2}x)}{cosx(1+senx)}=\frac{cosx}{1+senx}$$

$$\frac{cos^{2}x}{cosx(1+senx)}=\frac{cosx}{1+senx}$$

$$\frac{cosx}{1+senx}=\frac{cosx}{1+senx}$$

Solución:

$$\frac{2tanx}{1-tan^{2}x}=\frac{2}{cotx-tanx}$$

$$\frac{2tanx}{1-tan^{2}x}=\frac{2}{\frac{1}{tanx}-tanx}$$

$$\frac{2tanx}{1-tan^{2}x}=\frac{2}{\frac{1-tan^{2}x}{tanx}}$$

$$\frac{2tanx}{1-tan^{2}x}=\frac{2tanx}{1-tan^{2}x}$$

Solución:

$$cscx=\frac{secx+cscx}{1+tanx}$$

$$cscx=\frac{\frac{1}{cosx}+\frac{1}{senx}}{1+\frac{senx}{cosx}}$$

$$cscx=\frac{\frac{senx+cosx}{cosx\cdot senx}}{\frac{cosx+senx}{cosx}}$$

$$cscx=\frac{cosx}{cosx\cdot senx}$$

$$cscx=\frac{1}{senx}$$

$$cscx=cscx$$

Solución:

$$\frac{senx\cdot tanx}{cscx-cotx}-senx=tanx$$

$$\frac{senx\cdot tanx-senx(cscx-cotx)}{cscx-cotx}=tanx$$

$$\frac{senx(tanx-cscx+cotx)}{cscx-cotx}=tanx$$

$$\frac{senx(tanx+cotx-cscx)}{cscx-cotx}=tanx$$

$$\frac{senx(tanx+\frac{1}{tanx}-cscx)}{cscx-cotx}=tanx$$

$$\frac{senx(\frac{tan^{2}x+1}{tanx}-cscx)}{cscx-cotx}=tanx$$

$$\frac{senx(\frac{tan^{2}x+1-cscxtanx}{tanx})}{cscx-cotx}=tanx$$

$$\frac{senx(\frac{sec^{2}x-secx}{tanx})}{cscx-cotx}=tanx$$

$$\frac{cosx(sec^{2}x-secx)}{\frac{1}{senx}-\frac{cosx}{senx}}=tanx$$

$$\frac{cosx(sec^{2}x-secx)}{\frac{1-cosx}{senx}}=tanx$$

$$\frac{senx\cdot cosx(sec^{2}x-secx)}{1-cosx}=tanx$$

$$\frac{senx\cdot cosx(\frac{1}{cos^{2}x}-\frac{1}{cosx})}{1-cosx}=tanx$$

$$\frac{senx\cdot cosx(\frac{cosx-cos^{2}x}{cos^{3}x})}{1-cosx}=tanx$$

$$\frac{\frac{senx\cdot cosx}{cos^{3}x}(cosx-cos^{2}x)}{1-cosx}=tanx$$

$$\frac{\frac{senx}{cosx\cdot cosx}(cosx-cos^{2}x)}{1-cosx}=tanx$$

$$\frac{tanx\cdot secx[cosx(1-cosx)]}{1-cosx}=tanx$$

$$\frac{tanx\cdot secx\cdot cosx(1-cosx)}{1-cosx}=tanx$$

$$tanx\cdot \frac{1}{cosx}\cdot cosx=tanx$$

$$tanx=tanx$$

Solución:

$$(tanx+cotx)\cdot tanx=sec^{2}x$$

$$tan^{2}x+cot^{2}x\cdot tanx=sec^{2}x$$

$$tan^{2}x+\frac{cosx}{senx}\cdot \frac{senx}{cosx}=sec^{2}x$$

$$tan^{2}x+1=sec^{2}x$$

$$sec^{2}x-1+1=sec^{2}x$$

$$sec^{2}x=sec^{2}x$$

Solución:

$$\frac{1}{cscx-cotx}+\frac{1}{cscx+cotx}=2cscx$$

$$\frac{cscx+cotx+cscx-cotx}{csc^{2}x-cot^{2}x}=2cscx$$

$$\frac{2cscx}{csc^{2}x-cot^{2}x}=2cscx$$

$$\frac{2cscx}{csc^{2}x-(csc^{2}x-1)}=2cscx$$

$$\frac{2cscx}{csc^{2}x-csc^{2}x+1}=2cscx$$

$$2cscx=2cscx$$

Solución:

$$\frac{cosx}{1-senx}=secx+tanx$$

$$\frac{\frac{1}{secx}}{1-\frac{1}{cscx}}=secx+tanx$$

$$\frac{\frac{1}{secx}}{\frac{cscx-1}{cscx}}=secx+tanx$$

$$\frac{cscx}{secx(cscx-1)}=secx+tanx$$

$$\frac{cscx}{secx(\frac{1}{senx}-1)}=secx+tanx$$

$$\frac{cscx}{secx(\frac{1-senx}{senx})}=secx+tanx$$

$$\frac{\frac{1}{senx}}{\frac{secx(1-senx)}{senx}}=secx+tanx$$

$$\frac{senx}{senx\cdot secx(1-senx)}=secx+tanx$$

$$\frac{1}{secx(1-senx)}=secx+tanx$$

$$\frac{1}{secx-secx\cdot senx}=secx+tanx$$

$$\frac{1}{secx-\frac{1}{cosx}\cdot senx}=secx+tanx$$

$$\frac{1}{secx-tanx}=secx+tanx$$

$$\frac{1}{secx-tanx}\cdot \frac{secx+tanx}{secx+tanx}=secx+tanx$$

$$\frac{secx+tanx}{sec^{2}x-tan^{2}x}=secx+tanx$$

$$\frac{secx+tanx}{1+tan^{2}x-tan^{2}x}=secx+tanx$$

$$secx+tanx=secx+tanx$$

Solución:

$$tanx+cotx=secx+cscx$$

$$\frac{senx}{cosx}+\frac{cosx}{senx}=secx+cscx$$

$$\frac{sen^{2}x+cos^{2}x}{cosx\cdot senx}=secx+cscx$$

$$\frac{1}{cosx\cdot senx}=secx+cscx$$

$$secx+cscx=secx+cscx$$

Solución:

$$sec^{2}x+csc^{2}x=\frac{1}{sen^{2}x\cdot cos^{2}x}$$

$$\frac{1}{cos^{2}x}+\frac{1}{sen^{2}x}=\frac{1}{sen^{2}x\cdot cos^{2}x}$$

$$\frac{sen^{2}x+cos^{2}x}{cos^{2}x\cdot sen^{2}x}=\frac{1}{sen^{2}x\cdot cos^{2}x}$$

$$\frac{1}{sen^{2}x\cdot cos^{2}x}=\frac{1}{sen^{2}x\cdot cos^{2}x}$$

Solución:

$$\sqrt{(1-senx)\cdot (1+senx)}=\frac{1}{secx}$$

$$\sqrt{1-sen^{2}x}=\frac{1}{secx}$$

$$cosx=\frac{1}{secx}$$

$$\frac{1}{secx}=\frac{1}{secx}$$

Solución:

$$sen^{2}x\cdot cos^{2}x+cos^{4}x=cos^{2}x$$

$$(1-cos^{2}x)\cdot cos^{2}x+cos^{4}x=cos^{2}x$$

$$cos^{2}x-cos^{4}x+cos^{4}x=cos^{2}x$$

$$cos^{2}x=cos^{2}x$$

Solución:

$$2tanx\cdot secx=\frac{1}{1-senx}-\frac{1}{sen(x)+1}$$

$$2tanx\cdot secx=\frac{sen(x)+1-(1-senx)}{(1-senx)\cdot (1+senx)}$$

$$2tanx\cdot secx=\frac{senx+1-1+senx}{1-sen^{2}x}$$

$$2tanx\cdot secx=\frac{2senx}{1-sen^{2}x}$$

$$2tanx\cdot secx=\frac{2senx}{1-(1-cos^{2}x)}$$

$$2tanx\cdot secx=\frac{2senx}{1-1+cos^{2}x}$$

$$2tanx\cdot secx=\frac{2senx}{cos^{2}x}$$

$$2tanx\cdot secx=\frac{2senx}{cosx\cdot cosx}$$

$$2tanx\cdot secx=2tanx\cdot secx$$

Solución:

$$secx-tanx=\frac{1}{secx+tanx}$$

$$secx-tanx=\frac{1}{secx+tanx}\cdot \frac{secx-tanx}{secx-tanx}$$

$$secx-tanx=\frac{secx-tanx}{sec^{2}x-tan^{2}x}$$

$$secx-tanx=\frac{secx-tanx}{1+tan^{2}x-tanx}$$

$$secx-tanx=\frac{secx-tanx}{1}$$

$$secx-tanx=secx-tanx$$

Solución:

$$\frac{senx}{1-cosx}-cotx=cscx$$

$$\frac{senx}{1-cosx}-\frac{cosx}{senx}=cscx$$

$$\frac{sen^{2}x-cosx(1-cosx)}{senx(1-cosx)}=cscx$$

$$\frac{sen^{2}x-cosx+cos^{2}x}{senx(1-cosx)}=cscx$$

$$\frac{1-cos^{2}x-cosx+cos^{2}x}{senx(1-cosx)}=cscx$$

$$\frac{1-cosx}{senx(1-cosx)}=cscx$$

$$\frac{1}{senx}=cscx$$

$$cscx=cscx$$

Solución:

$$\frac{senx+cosx}{secx+cscx}=senx\cdot cosx$$

$$\frac{senx+cosx}{\frac{1}{cosx}+\frac{1}{senx}}=senx\cdot cosx$$

$$\frac{senx+cosx}{\frac{senx+cosx}{cosx\cdot senx}}=senx\cdot cosx$$

$$\frac{senx+cosx(senx\cdot cosx)}{senx+cosx}=senx\cdot cosx$$

$$senx\cdot cosx=senx\cdot cosx$$

Solución:

$$\frac{1-cosx}{senx}+\frac{senx}{1-cosx}=2cscx$$

$$\frac{(1-cosx)^{2}+sen^{2}x}{senx(1-cosx)}=2cscx$$

$$\frac{sen^{2}x+(1-2cosx+cos^{2}x)}{senx(1-cosx)}=2cscx$$

$$\frac{sen^{2}x+1-2cosx+cos^{2}x}{senx(1-cosx)}=2cscx$$

$$\frac{sen^{2}x+cos^{2}x+1-2cosx}{senx(1-cosx)}=2cscx$$

$$\frac{1+1-2cosx}{senx(1-cosx)}=2cscx$$

$$\frac{2-2cosx}{senx(1-cosx)}=2cscx$$

$$\frac{2(1-cosx)}{senx(1-cosx)}=2cscx$$

$$2cscx=2cscx$$

Solución:

$$\frac{senx}{cscx}+\frac{cosx}{secx}=1$$

$$\frac{senx\cdot secx+cosx\cdot cscx}{cscx\cdot secx}=1$$

$$\frac{senx\cdot \frac{1}{cosx}+cosx\cdot \frac{1}{sen}}{cscx\cdot secx}=1$$

$$\frac{\frac{senx}{cosx}+ \frac{cosx}{senx}}{\frac{1}{senx}\cdot \frac{1}{cosx}}=1$$

$$\frac{\frac{sen^{2}x+cos^{2}x}{cosx\cdot senx}}{\frac{1}{senx\cdot cosx}}=1$$

$$\frac{senx\cdot cosx}{cosx\cdot senx}=1$$

$$1=1$$

Solución:

$$sec^{2}x+csc^{2}x=sec^{2}x\cdot csc^{2}x$$

$$\frac{1}{cos^{2}x}+\frac{1}{sen^{2}x}=sec^{2}x\cdot csc^{2}x$$

$$\frac{sen^{2}x+cos^{2}x}{sen^{2}x\cdot cos^{2}x}=sec^{2}x\cdot csc^{2}x$$

$$\frac{1}{sen^{2}x\cdot cos^{2}x}=sec^{2}x\cdot csc^{2}x$$

$$sec^{2}x\cdot csc^{2}x=sec^{2}x\cdot csc^{2}x$$

Solución:

$$tanx+cotx=secx\cdot cscx$$

$$\frac{senx}{cosx}+\frac{cosx}{senx}=secx\cdot cscx$$

$$\frac{sen^{2}x+cos^{2}x}{cosx\cdot senx}=secx\cdot cscx$$

$$\frac{1}{cosx\cdot senx}=secx\cdot cscx$$

$$secx\cdot cscx=secx\cdot cscx$$

Solución:

$$(1+cot^{2}x)\cdot sen^{2}x=1$$

$$(1+(csc^{2}x-1)\cdot sen^{2}x=1$$

$$(1+csc^{2}x-1)\cdot sen^{2}x=1$$

$$csc^{2}x\cdot sen^{2}x=1$$

$$\frac{1}{sen^{2}x}\cdot sen^{2}x=1$$

$$1=1$$

Solución:

$$cos^{4}x-sen^{4}x-2cos^{2}x=-1$$

$$cos^{4}x-\left ( sen^{2}x \right )^{2}-2cos^{2}x=-1$$

$$cos^{4}x-\left ( 1-cos^{2}x \right )^{2}-2cos^{2}x=-1$$

$$cos^{4}x-1+2cos^{2}x-cos^{4}x-2cos^{2}x=-1$$

$$-1=-1$$

Solución:

$$sen^{3}x\cdot cosx+cos^{3}x\cdot senx=senx\cdot cosx$$

$$senx\cdot cosx=senx\cdot cosx$$

 Solución:

$$\frac{senx}{1+cosx}+\frac{1+cosx}{senx}=2cscx$$

$$\frac{sen^{2}x+(1+cosx)^{2}}{(1+cosx)\cdot senx}=2cscx$$

$$\frac{sen^{2}x+(1+2cosx+cos^{2}x)}{(1+cosx)\cdot senx}=2cscx$$

$$\frac{sen^{2}x+1+2cosx+cos^{2}x}{(1+cosx)\cdot senx}=2cscx$$

$$\frac{sen^{2}x+cos^{2}x+1+2cosx}{(1+cosx)\cdot senx}=2cscx$$

$$\frac{1+1+2cosx}{(1+cosx)\cdot senx}=2cscx$$

$$\frac{2+2cosx}{(1+cosx)\cdot senx}=2cscx$$

$$\frac{2(1+cosx)}{(1+cosx)\cdot senx}=2cscx$$

$$\frac{2}{senx}=2cscx$$

$$2cscx=2cscx$$

Solución:

$$\frac{senx}{1+cosx}+\frac{1+cosx}{senx}=2cscx$$

$$\frac{sen^{2}x+(1+cosx)^{2}}{(1+cosx)\cdot senx}=2cscx$$

$$\frac{sen^{2}x+(1+2cosx+cos^{2}x)}{(1+cosx)\cdot senx}=2cscx$$

$$\frac{sen^{2}x+1+2cosx+cos^{2}x}{(1+cosx)\cdot senx}=2cscx$$

$$\frac{sen^{2}x+cos^{2}x+1+2cosx}{(1+cosx)\cdot senx}=2cscx$$

$$\frac{1+1+2cosx}{(1+cosx)\cdot senx}=2cscx$$

$$\frac{2+2cosx}{(1+cosx)\cdot senx}=2cscx$$

$$\frac{2(1+cosx)}{(1+cosx)\cdot senx}=2cscx$$

$$\frac{2}{senx}=2cscx$$

$$2cscx=2cscx$$

Solución:

$$cotx+\frac{senx}{1+cosx}=cscx$$

$$\frac{cosx}{senx}+\frac{senx}{1+cosx}=cscx$$

$$\frac{cosx(1+cosx)+sen^{2}x}{senx(1+cosx)}=cscx$$

$$\frac{cosx+cos^{2}x+sen^{2}x}{senx(1+cosx)}=cscx$$

$$\frac{cosx+1}{senx(1+cosx)}=cscx$$

$$\frac{1}{senx}=cscx$$

$$cscx=cscx$$

Solución:

$$\frac{cosx}{1-tanx}+\frac{senx}{1-cotx}=senx+cosx$$

$$\frac{cosx}{1-\frac{senx}{cosx}}+\frac{senx}{1-\frac{cosx}{senx}}=senx+cosx$$

$$\frac{cosx}{\frac{cosx-senx}{cosx}}+\frac{senx}{\frac{senx-cosx}{senx}}=senx+cosx$$

$$senx+cosx=senx+cosx$$

¡Queremos saber tu opinión de esta guía de Demostraciones de Identidades Trigonométricas!

¿Cuál de estos 35 ejercicios te pareció más desafiante o te hizo pensar mucho? ¡Comparte tus experiencias, tus soluciones alternativas o cualquier duda que tengas en los comentarios! Tu perspectiva enriquece a toda la comunidad.

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¿Sabes cómo se aplican los vectores en la vida cotidiana? El juego de la cuerda establece que deben existir dos equipos con el mismo número de personas y una cuerda, ambos deben halar la cuerda en la misma dirección pero en sentidos contrarios y gana aquel que logre desplazar al otro equipo en su sentido de fuerza a una distancia definida.

¿Tienes algún conocimiento básico de vectores? ¿Será que existe la posibilidad de representar esa imagen por medio de vectores?

Existen dos magnitudes, una llamada magnitudes escalares, determinadas mediante un número, por ejemplo la edad, la altura de un edificio, etc., y la otra es conocida como magnitudes vectoriales, este tipo de magnitud requieren una medida llamada norma y una dirección que indica una orientación y se representan por medio de vectores.

Existen muchas situaciones en la vida diaria que pueden representarse con vectores, como por ejemplo la figura llamada vectores, allí se aprecia un personaje subiendo una pendiente a una velocidad de 80 km/k, con dirección inclinada y sentido noreste.

Definición de vectores

¿Cómo se representan?

Un vector puede representarse con cualquier letra minúscula ya sea “en negrita”, “no negrita” o simplemente con dos letras, veamos:

• Cuando se representa un vector con una letra minúscula “en negrita” solo se escribe la letra en negrita, por ejemplo:  a   se lee así: vector a.
• Cuando se escribe una letra minúscula “no negrita” para representar a un vector a esta se le coloca una flecha por encima de la misma, por ejemplo: , su norma se presenta entre dos barras .
• La otra forma de representar a un vector es usando dos letras mayúsculas y una flecha, la primera letra indica el origen, la segunda letra el extremo del mismo y la flecha se escribe arriba, ejemplo:   se lee así:  vector de origen A y extremo B

Características 

Observa la figura # 2, el vector está representado por letras mayúsculas A y B, el punto A es el origen y el punto B es el extremo encargado de indicar el sentido y se representa

Los vectores poseen 3 características llamados: módulo, dirección y sentido.

Características del vector

• El módulo o magnitud del vector es la distancia del vector o norma que se mide desde el punto de origen hasta el punto extremo del vector, aplicando el teorema de Pitágoras se puede obtener su valor:

• La dirección es el ángulo que forma el vector con respecto al eje “x” del plano cartesiano.
• El sentido es la orientación por donde se dirige el vector mediante la punta de la flecha ubicado en el extremo del mismo.

Componentes

El ángulo α permite descomponer el vector  en dos elementos llamados componentes rectangulares. Entonces el vector  se representa como: 

Sus componentes se definen de la siguiente forma:

Un vector está determinado por la magnitud y la dirección.

Para calcular el ángulo de dirección α del vector , se logra a través de sus componentes rectangulares, la fórmula es la siguiente:

Ejemplo: Determinar las componentes rectangulares representado en la figura cuya norma es   

Solución:

Componente “y” se aplica la razón del seno.

Componente “x” se aplica la razón del coseno .

Suma y resta de vectores

Los vectores se pueden trabajar de 3 formas:

1. Geométricamente (flechas).
2. Teniendo las coordenadas del punto del origen y de su extremo.
3. Conociendo sus componentes.

Forma geométrica

En forma geométrica existen dos métodos para la suma de vectores, ellos son llamados:

• Método del polígono.
• Método del triángulo.
• Método del paralelogramo.

El método del polígono se utiliza cuando se suman más de dos vectores y el método del triángulo y del paralelogramo cuando solo hay dos.

En necesario que tengas a la mano una regla y un cartabón para poner en practica ambos métodos.

Método del polígono: Consiste en dibujar uno a continuación del otro, nunca variando su dirección y sentido. Uniendo el origen del primero con el extremo del útimo para obtener el vector suma.

Método del triángulo: Se trata de trasladar un vector de tal forma que su origen coincida el con el extremo del otro vector, luego se traza un segmento cuyo origen sea el origen de un vector hasta el extremo del otro creándose el vector suma. La forma geométrica que se forma es la de un triángulo por eso es llamado método del triángulo.

Procedimiento del método del triángulo

Sume los vectores y

Alinear el cartabón con el vector a trasladar apoyado con la regla, en este ejemplo con el vector

Medir la longitud del vector que será trasladado, en este ejemplo se mide la longitud del vector .

Desplazar el cartabón hasta el extremo del otro vector y trazar la longitud del vector

Finalmente, se traza un segmento desde el origen del vector con el extremo del vector , para  obtener el vector suma .

Observa que al final se crea un triángulo.

Método del paralelogramo: Este método es usado cuando los vectores tiene el mismo punto de aplicación, el procedimiento consiste en trasladar un vector y coincidir su origen con el origen del otro, luego trazar una línea paralela a cada vector, esta línea debe ser segmentada y ubicada en los extremos de cada uno de ellos, obteniéndose un paralelogramo. El vector resultante o el vector suma tiene su origen en el origen común de los dos vectores y su extremo es el punto de intersección de las líneas paralelas.

Procedimiento del método del paralelogramo

Sume los vectores y

Medir la longitud del vector que será trasladado, en este ejemplo el vector

Alinear el cartabón con el vector

Desplazar el cartabón hasta el origen del otro vector y trazar la longitud del vector

Manteniendo alineado el cartabón con el vector desplazado , se desplaza la escuadra hasta el extremo del vector

Luego se traza una línea segmentada.

Alinear el cartabón con el vector

Manteniendo alineado el cartabón con el vector desplazado , desplazar la escuadra hasta el extremo del vector

Luego, trazar una línea segmentada.

Marcar un punto en la intersección de ambas líneas segmentadas.

Finalmente, trazar el vector suma desde los orígenes comunes de los vectores y hasta el punto de intersección.

Ejemplo de suma y resta de vectores

Ejemplo # 1: Dado los vectores y , calcula la norma, dirección y representarlo gráficamente.

Solución:

Sustitur los valores para obtener el vector suma

La norma del vector es:

La dirección se calcula de la siguiente manera:

Ejemplo # 2: Restar los vectores   y , calcula , la norma, dirección y representarlo gráficamente.

Solución

La norma del vector es:

El calculo de la dirección se realiza de la siguiente forma:

Ejemplo # 3: Hallar la norma de la suma de los vectores y cuyas medidas son 5 y 6 respectivamente.

Realizando la suma geométrica, el paralelogramo queda de la siguiente manera:

Donde el ángulo agudo del cuadrilátero se determinó aplicando la propiedad de los paralelogramos, al sumar dos ángulos consecutivos su resultado es un ángulo suplementario, es decir 180°.

Entonces:

180° = 142 + x

x = 180° – 142°

x = 38°

Para hallar la norma del vector se aplica la ley del coseno

Multiplicación de un escalar por un vector

Tres casos que puede presentarse cuando se multiplica un número real k por el vector

• Cuando k = 0 ⇒ k . = 0
• Cuando k > 0 ⇒ k .   es un vector de la misma dirección y sentido que  y con un módulo k veces el módulo de 
• Cuando k < 0 ⇒ k .   es un vector de la misma dirección que , con sentido opuesto y con un módulo k veces el módulo de 

Ejemplo: Dados los vectores y el número real k = -2 . Calcular  .

Solución

Sustituir valores:

Producto punto entre vectores

El producto punto o producto escalar de dos vectores   y , lo cual se expresa como: está definido como .

El producto escalar es un resultado numérico que nos informa hacia donde apunta dos vectores, el resultado puede ser positivo, negativo o cero.

Producto escalar positivo, si el resultado es positivo es porque el ángulo entre los dos vectores está comprendido entre 0° y 90°.

Producto escalar negativo, si el resultado es negativo es porque el ángulo está comprendido entre 90° y 180°.

Producto escalar cero, es porque el ángulo entre los dos vectores es de 90°

Ángulos entre vectores

Si α es el ángulo formado entre dos vectores y no nulos, entonces:

Ejemplo: Determina el producto escalar y el ángulo formado entre los vectores    y 

Solución

Primero, calcular el producto escalar entre los vectores.

Segundo, calcular la norma de cada vector.

Tercero, se determina el ángulo entre los dos vectores.

Actividades

Dados los puntos A(3,2) ; B(0,4) ; C(-3,3) y D(5,4) , representa geométricamente y analíticamente las siguientes operaciones con vectores

Calcula el producto escalar de los siguientes vectores

Hallar el ángulo comprendido entre los siguientes vectores

¿Sabes qué son los triángulos oblicuángulos y cuáles son las leyes para solucionarlos? Esas leyes se llaman Ley del Seno y Ley del Coseno los dúos dinámicos diseñados para solucionar triángulos oblicuángulos.

Estas leyes son mucho más que fórmulas; son la base para calcular distancias en topografía, determinar la posición de un barco en el mar o diseñar estructuras arquitectónicas complejas. Dominar su aplicación te abre las puertas a campos fascinantes, dándote la capacidad de encontrar medidas y ángulos que no pueden ser calculados de forma directa.

¿Qué son los triángulos oblicuángulos?

Es una familia de triángulos compuesta únicamente por los obtusángulos y acutángulos. Esto quiere decir que los triángulos rectángulos no pertenecen a esta gran familia.

Los triángulos rectángulos se solucionan aplicando tres métodos principales: el teorema de Pitágoras, razones trigonométricas y la propiedad de los ángulos complementarios ( α + β = 90° ).

Para solucionar los triángulos oblicuángulos debes determinar las medidas de sus tres lados y de sus tres ángulos internos. Para realizar esta gran hazaña debes adquirir unas herramientas súper poderosas llamadas: Ley del seno y Ley del coseno.

A continuación, te muestro a la honorable familia oblicuángulos:

Casos para la resolución de triángulos oblicuángulos

Para la resolución de triángulos oblicuángulos se considera las medidas consecutivas y conocidas, por esta razón se hace posible identificar la resolución de estos tipos de triángulos en los siguientes cuatro casos:

1. Ángulo-Lado-Ángulo (A-L-A) o Lado-Ángulo-Ángulo (L-A-A)

Cuando un triángulo se conocen la medida de un lado y dos de sus ángulos, puede aparecer de la siguiente forma:         

2. Lado-Lado-Ángulo (L-L-A)

Cuando un triángulo posee la medida de dos lados y un ángulo opuesto a algunos de ellos puede presentarse de la siguiente manera:

3. Lado-Ángulo-Lado (L-A-L)

Al conocer las dimensiones de dos lados y el ángulo comprendido entre ellos, los triángulos pueden presentarse de esta forma:

4. Lado-Lado-Lado (L-L-L)

Cuando se conocen las dimensiones de los tres lados del triángulo, solo aparece de esta manera:

Leyes para solucionar triángulos oblicuángulos

Para resolver los cuatro casos de triángulos oblicuángulos, es necesario aplicar dos leyes fundamentales: la Ley del Seno y la Ley del Coseno.

Ley del seno 

La ley del seno permite determinar triángulos oblicuángulos, usando los casos # 1, y # 2. Es decir (A-L-A)  (L-A-A) y (L-L-A)

Ejemplo. Resuelva el siguiente triángulo acutángulo.

Solución:

Datos:

Tipo de caso: (L-L-A)

Ley del seno.

Lado a = ?         → Ángulo opuesto α = ?

Lado b = 8cm. → Ángulo opuesto β = ?

Lado c = 6cm.  → Ángulo opuesto δ = 45°

Procedimiento:

Determinar el valor del ángulo β.

Con los ángulos  y , se determina el valor del ángulo α.

Se calcula el lado a

Problema.

Un estudiante diseñó un sistema biela-manivela para accionar un pistón. El largo de la manivela es de 2,2 in y 4,4 la longitud de la biela. Determine la distancia desde el centro (O) hasta el pistón (P). Ver la figura.

Solución:

Según la figura el triángulo formado es del tipo obtusángulo, los valores emitidos por el problema se ajusta a un tipo (L-A-L). Por lo tanto se aplica la ley del Seno.

$$\frac{a}{sen\alpha }=\frac{b}{sen\beta }=\frac{c}{sen\delta }$$

Datos:

$$a=2,2in$$

$$b=4,4in$$

$$\alpha = 24^{\circ }$$

I. Se determina el ángulo del centro (O) \(\beta\)

$$\frac{a}{sen\alpha }=\frac{b}{sen\beta }$$

$$sen\beta=\frac{b\cdot sen\alpha}{a}$$
$$sen\beta =\frac{4,4in\cdot sen24^{\circ }}{2,2in}$$
$$sen\approx 0,813$$

$$\beta =sen^{-1}\, 0,813\approx 54,39^{\circ }$$

Según la figura el ángulo opuesto del lado 4,4 in es del tipo obtuso, y el resultado obtenido es un ángulo agudo. Para este tipo de situaciones se determina su suplementario, quedando de la siguiente manera:

$$180^{\circ }=\beta+x\Rightarrow x=180^{\circ }-\beta$$

$$x=180^{\circ }-54,39^{\circ }=125,61^{\circ }$$

Por lo tanto el ángulo en el centro (O) es de \(125,61^{\circ }\)

II. Calculo de la distacia \(\overline{OP}\)

Aplicar la propiedad # 1 (suma de los ángulos internos) del triángulo para obtener el ángulo \(\delta\)

$$180^{\circ }=\alpha +\beta +\delta \Rightarrow$$
$$ \delta=180^{\circ }-\alpha -\beta$$

$$ \delta=180^{\circ }-24^{\circ } -125,61^{\circ }$$
$$\boxed{\delta= 30,39^{\circ }}$$

$$\frac{c}{sen\delta }=\frac{a}{sen\alpha }\Rightarrow $$
$$c=\frac{a\cdot sen\delta }{sen\alpha }$$
$$=\frac{2,2in\cdot sen30,39^{\circ }}{sen24^{\circ }}$$
$$\boxed{c\approx 2,7in}$$

La distancia del centro (O) hasta el pistón (P) es de 2,7 in.

Ley del coseno

La ley del coseno permite determinar triángulos oblicuángulos, usando únicamente los casos # 3 y # 4. Es decir (L-A-L) y (L-L-L).

Fórmulas

A continuación, las fórmulas para determinar los lados y ángulos:

Ejemplo. Resuelva el siguiente triángulo.

Solución

Datos

Obtusángulo.

Caso: (L-A-L).

Ley del coseno.

Lado a = 5cm   → Ángulo opuesto α = ?

Lado b = ?  → Ángulo opuesto β = 120°

Lado c = 10cm. → Ángulo opuesto δ = ?

Procedimiento:

Determinar el valor del lado b

Sustituir todos los valores de los lados en la fórmula y luego se determina el ángulo α.

Determinar el ángulo δ 

Actividades

Solucione los siguientes triángulos y ¿Qué ley debes aplicar?

Un avión partió de la ciudad «X» con destino a la ciudad «Z», que se encuentra a una distancia de 150 millas, y luego se dirige hacia la ciudad «Y», que está a 100 millas de distancia. Consulte la imagen adjunta.

• ¿Cuál es la distancia entre la ciudad «X» y la ciudad «Y»?
• ¿Qué dirección debe seguir el piloto del avión para volar de la ciudad «X» a la ciudad «Y»?

Respuestas:

235,5 millas.

15,8°.

¿Alguna vez te has preguntado cómo las razones trigonométricas se usan para calcular la altura de un edificio o la distancia a un objeto sin tener que medirlos directamente? La solución a este tipo de desafíos se encuentra en la trigonometría. El origen y el valor de estas razones se comprenden mejor al visualizar la circunferencia trigonométrica.

En este post no solo aprenderás a aplicar las razones trigonométricas de manera sencilla, sino que también te mostraremos los diferentes casos para resolver triángulos rectángulos con ejemplos prácticos.

Identificación de los catetos

Los ángulos en posición normal son aquellos que son utilizados en las razones trigonométricas.

1. Se tiene un ángulo β en posición normal, el punto de coordenada B(x,y) ubicado en el lado final del ángulo (I Cuadrante), el punto de coordenada A(0,x) ubicado en el lado inicial del ángulo, entonces el segmento es perpendicular al eje “x”, obteniéndose un triángulo rectángulo.

2. El segmento es la hipotenusa = r , el segmento es el cateto adyacente al ángulo β y el segmento es el cateto opuesto al ángulo β, la medida del cateto adyacente = x  y la medida del cateto opuesto = y .

3. Para darle el nombre a los catetos se debe tomar en cuenta su posición con respecto al ángulo β, el cateto adyacente es el lado del triángulo que está mas cerca al ángulo β y el cateto opuesto es el lado del triángulo que está al frente del ángulo β. 

Mira las imágenes de abajo el ángulo β se posiciona en dos vértices del triángulo por lo tanto los catetos opuesto y adyacente cambian de posición.

Razones trigonométricas en el triángulo rectángulo

En el triángulo rectángulo se definen las 3 razones trigonométricas y sus recíprocas, tenga en cuenta que:

Las 3 razones trigonométricas y sus recíprocas (inversas) son las siguientes:

1. Seno (sen) → Cosecante (csc)
2. Coseno (cos) → Secante (sec)
3. Tangente (tan) → Cotangente (cot)

¿Qué es el seno?

El seno del ángulo α es la razón entre la altura (cateto opuesto) y la hipotenusa del triángulo rectángulo. Es decir, el seno mide qué tan alta es la figura en comparación con la longitud de la hipotenusa.

$$sen\alpha =\frac{cateto\; opuesto}{hipotenusa}=\frac{y}{r}$$

Representación geométrica del seno

Su representación geométrica es la siguiente:

¿Qué es el coseno?

El coseno del ángulo α es la razón entre la base (cateto adyacente) y la hipotenusa. Es decir, el coseno mide qué tan largo es la base en comparación con la longitud de la hipotenusa.

$$cos\alpha =\frac{cateto\; adyacente}{hipotenusa}=\frac{x}{r}$$

Representación geométrica del coseno

Geométricamente, el coseno indica qué parte de la hipotenusa corresponde a la base del triángulo rectángulo.

¿Qué es la tangente?

La tangente del ángulo α es la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente, es decir, compara la altura con la base del triángulo rectángulo.

$$tan\alpha =\frac{cateto\; opuesto}{cateto \; adyacente}=\frac{y}{x}$$

Esta razón permite determinar qué tan inclinada está la recta que forma el ángulo α con la horizontal. En el triángulo, dicha recta corresponde a la hipotenusa ( r ); al prolongarla, su inclinación se interpreta como la pendiente de la recta. Por ello, la tangente indica cuánto se eleva verticalmente una recta por cada unidad que avanza horizontalmente: cuanto mayor es la tangente, más empinada es la recta.

Representación geométrica de la tangente

Al prolongar la hipotenusa, su inclinación puede interpretarse como la pendiente de la recta; por ello, la tangente indica cuánto se eleva verticalmente la recta por cada unidad que avanza horizontalmente.

Tangente = pendiente = cuánto sube por cada unidad que avanza.

¿Qué es la cosecante?

La cosecante del  ángulo α es la razón entre la hipotenusa y el cateto opuesto.

$$csc\alpha =\frac{hipotenusa}{cateto \; opuesto}=\frac{r}{y}$$

Geométricamente, la cosecante indica cuánto debe estirarse la hipotenusa ( r ) que forma el ángulo α para alcanzar una altura de una unidad, por lo que se interpreta como la inversa del seno.

$$csc\: \alpha =\frac{1}{sen\: \alpha }$$

Representación geométrica de la cosecante

Mientras el seno muestra la altura que se alcanza con una hipotenusa de longitud 1, la cosecante indica qué longitud debe tener la hipotenusa para alcanzar una altura de 1.

¿Qué es la secante?

La secante de un ángulo es la razón entre la hipotenusa y el cateto adyacente.

$$sec\alpha =\frac{hipotenusa}{cateto \; adyacente}=\frac{r}{x}$$

En términos geométricos, la secante indica cuánto debe alargarse la hipotenusa que forma el ángulo α para alcanzar una base de una unidad, por lo que se interpreta como el inverso del coseno.

$$sec\: \alpha =\frac{1}{cos\: \alpha }$$

Representación geométrica de la secante

Mientras el coseno muestra un cateto adyacente que se obtiene con una hipotenusa de longitud 1, la secante indica qué longitud debe tener la hipotenusa para obtener un cateto adyacente de 1.

¿Qué es la cotangente?

La cotangente de un ángulo es la razón entre el cateto adyacente y el cateto opuesto, es decir, compara la base con la altura del triángulo rectángulo.

$$cot\alpha =\frac{cateto\;adyacente}{cateto \; opuesto}=\frac{x}{y}$$

Esta razón indica cuánto se avanza horizontalmente por cada unidad que se eleva verticalmente. Por ello, la cotangente describe la inclinación horizontal de la recta que forma el ángulo α con la horizontal, y puede interpretarse como la inversa de la pendiente o simplemente la inversa de la tangente.

$$tan\: \alpha =\frac{1}{cot\: \alpha }$$

Representación geométrica de la cotangente

Mientras la tangente muestra cuánto se sube por cada unidad que se avanza, la cotangente indica cuánto se avanza para subir una unidad.

Ejemplos resueltos

Determinar los valores de las razones trigonométricas sen α, cos α y tan α en el triángulo

Solución:

Datos:

Se aplica Pitágoras para determinar el valor de la hipotenusa

Se calcula las 3 razones trigonométricas del ángulo α

$$sen\alpha =\frac{y}{r}=\frac{3}{5}$$

$$cos\alpha =\frac{x}{r}=\frac{4}{5}$$

$$tan\alpha =\frac{y}{x}=\frac{3}{4}$$

Razones trigonométricas para ángulos complementarios

Los ángulos α y β son complementarios, ya que . Esto quiere decir que α es el complemento de β y β es el complemento de α.

En el triángulo BAC, los ángulos α y β son complementarios y se cumple que:

sen α = cos β     tan α = cot β    sec α = csc β

sen β = cos α     tan β = cot α    sec β = csc α

Las relaciones entre este tipo de razones trigonométricas se conocen como cofuncionalidad.

¿Qué son las cofunciones?

El prefijo “co” significa “complemento”, entonces:

Coseno = seno del ángulo complementario.
Cotangente = tangente del ángulo complementario.
Cosecante = secante del ángulo complementario.

Como la relación de ángulos complementarios es:  α + β = 90°  el valor de β y α queda de la siguiente forma:

$$\beta =90^{\circ }-\alpha $$
$$\alpha =90^{\circ }-\beta $$

Razón trigonométrica α (Rtα) = Razón trigonométrica opuesta β (Rtoβ).

sen α = cos β
$$sen\, \alpha =cos\left ( 90^{\circ } – \alpha \right )$$

Rt ( β ) = Rto ( α ) , con β = 90° – α

$$sen(90^{\circ }-\alpha )=cos\alpha $$
$$tan(90^{\circ }-\alpha )=cot\alpha $$
$$sec(90^{\circ }-\alpha )=csc\alpha $$

Debes tener en cuenta, para los ejercicios que verás más adelante, la siguiente forma de escritura:

cateto opuesto = co

cateto adyacente = ca

hipotenusa = h

El cateto adyacente del ángulo α es el cateto opuesto del ángulo β y  el cateto opuesto del ángulo α es el cateto adyacente del ángulo β.

Esto quiere decir que el valor de una razón trigonométrica de un ángulo en un triángulo rectángulo es lo mismo que la razón trigonométrica opuesta del ángulo complementario.

Ejercicios prácticos

Primero. Mira las siguientes relaciones.

Segundo.  Dados dos ángulos complementarios, hallar las razones trigonométricas cuyo valores sean los mismos.

• El ángulo de α = 60° y  el ángulo de β = 30° son complementarios, el valor de$$sen30^{\circ }=cos60^{\circ }=\frac{1}{2}$$
• También los ángulos de β = 45° y α = 45° son complementarios, esto quiere decir que$$tan45^{\circ }=ctg45^{\circ }=1$$

Tercero: Determina, las razones trigonométricas del seno α, coseno δ del siguiente triángulo rectángulo.

Como los ángulos δ  y  α  son complementarios, el sen α = cos δ . Se tiene lo siguiente:

Sumando ambos ángulos para comprobar:

Se puede observar claramente que la sumatoria de los ángulos α  y  ð son complementarios.

Laboratorio de las razones trigonométricas

¡Ha llegado el momento de la verdad! Prepárate para poner a prueba todo lo que has aprendido. A continuación, encontrarás un simulador de razones trigonométricas, una herramienta fantástica para que aprendas jugando y fortalezcas tus conocimientos de una forma interactiva y divertida. ¡Es la oportunidad perfecta para llevar tus habilidades al siguiente nivel!

Casos para resolver triángulos rectángulos

Resolver un triángulo significa buscar todas sus dimensiones, es decir conocer las medidas de los tres lados y los tres ángulos.

Triángulos con dos lados conocidos

Existen dos formas para resolver este tipo de casos: aplicando el teorema de Pitágoras o las razones trigonométricas.

Teorema de Pitágoras

Para determinar el lado faltante debes aplicar el teorema de Pitágoras.

Ejemplo. Resolver el triángulo ABC cuyos valores de los catetos se muestran en la imagen.

Solución: 

Observa que en el triángulo se desconoce el valor de la hipotenusa y de los ángulos α y β

Se aplica el teorema de Pitágoras para determinar la hipotenusa

Se aplica las razones trigonométricas para hallar los ángulos α y β.

Como α y β son complementarios se aplica:

Ejemplo: Resolver el triángulo usando solo las razones trigonométricas

Observa que en el triángulo se desconoce los valores de la hipotenusa y los ángulos del vértice A y C

Se posee dos catetos del triángulo, entonces la razón trigonométrica que se va aplicar es la tangente, haciendo uso del ángulo

Se aplica la inversa para obtener el valor del ángulo:

Como la sumatoria de los ángulos , por ser complementarios

Se calcula la hipotenusa aplicando la razón trigonométrica del del seno

Ejemplo. Resolver el triángulo compuesto usando solo las razones trigonométricas.

Los triángulos compuestos son triángulos rectángulos compuestos por dos o más triángulos.

Observa existen tres triángulos, en el triángulo se desconoce el valor del cateto adyacente del ángulo de 70°, entonces se aplica la razón trigonométrica de la tangente

En el triángulo su cateto adyacente al ángulo de 40° es el lado , entonces se aplica la razón de la tangente y así se relacionan el cateto del triángulo y el cateto del triángulo

Entonces se iguala los dos valores del lado obtenidos en ambos triángulos con el fin de determinar el valor de  cateto adyacente del triángulo

    y 

El valor del cateto adyacente del triángulo es

Se calcula el cateto opuesto del triángulo , aplicando la razón trigonométrica de la tangente

Se calcula la hipotenusa del triángulo , se puede aplicar la razón trigonométrica del seno o coseno, en este caso se aplica la del seno

Calcular el ángulo del vértice B es decir

La sumatoria interna de los ángulos de un triángulo es igual 180°

Actividades

Determina en los 6 triángulos los valores de las 6 razones trigonométricas

Construir un triángulo rectángulo, que cumpla con la condición dada para el ángulo β

Hallar el valor de las siguientes expresiones

Calcula las otras razones trigonométricas del ángulo θ, dado el valor de una razón en un triángulo rectángulo

Escribe la razón trigonométrica cuyo valor sea el mismo a la razón trigonométrica dado el ángulo complementario en cada caso.

Calcula las siguientes razones trigonométricas del triángulo

Determine aplicando el teorema de Pitágoras

Dibuja cada triángulo rectángulo y resuelve aplicando las razones trigonométricas considerando que a y b son las medidas de los catetos y c la medida de la hipotenusa

a = 6,4 cm y c = 11,7 cm

a = 4,5 cm y b = 4,5 cm

b = 7,3 cm y c = 13,6 cm

a = 12 cm y b = 10 cm

a = 2,5 cm y c = 5 cm

b = 9,6 cm y c = 14,5 cm

Determina los triángulos rectángulos 

Calcula el área de los siguientes triángulos, las longitudes de los lados cada uno de ellos deben expresarse en centímetros

¿Alguna vez te has preguntado cómo un robot sabe el ángulo exacto para extender su brazo y recoger un objeto, o cómo tu GPS calcula el ángulo de giro para llevarte a tu destino?

Detrás de estas acciones, hay una matemática fascinante: las funciones trigonométricas inversas. A diferencia de las funciones normales que usan un ángulo para darte un valor, estas funciones hacen lo opuesto: usan un valor para darte un ángulo. Son la clave para que un dron calcule su ángulo de aterrizaje, para que un personaje de videojuego apunte con precisión, o para que un brazo robótico se posicione. Dominar este tema te permitirá entender la ciencia que hace posible la tecnología que usamos a diario.

Funciones inversas

Una función es una regla de correspondencia que relaciona los elementos de dos conjuntos M y N. Cada elemento del conjunto M se relaciona únicamente con un elemento del conjunto N.

Se escribe de dos formas:

$$f: M\to N$$

o

$$f(x)=y$$

Donde:

“x” pertenece al conjunto M (dominio)

“y” pertenece al conjunto N (codominio)

Ahora si la función está definida como:$$g:N\to M$$

es una función inversa de: $$f: M\to N$$

Entonces f debe ser biyectiva.

Dicho de forma más simple, si una función  f  asocia cada valor de entrada (x) con un único valor de salida (y), la función inversa  f ^-1  hace lo opuesto, asociando (y) de vuelta a (x). Entonces, se cumple que:

$$f(f^{-1}(x))=x$$

y

$$f^{-1}(f(x))=x$$

¿Qué significado tiene esas funciones?

Imagínate una máquina con un avance a la derecha y el otro a la inversa.

f = Avance a la derecha.$$f(f^{-1}(x))=x$$

f ^-1 = Avance inverso.$$f^{-1}(f(x))=x$$

Cuando el operador desea avanzar la carga a la derecha desplaza la palanca a la derecha y cuando requiere a la inversa la mueve a la izquierda.

f  (avance a la derecha) : es “sumar 2”

f ^-1 (avance a la inversa) : es “restar 2”

Avance a la derecha ( f )

$$f(f^{-1}(x))=x$$

• Selecciona un número cualquiera, para este ejemplo, x = 8.
• Aplicar función inversa ( f ^-1 ) : 8 – 2 = 6.
• Aplica función original ( f ): 6 + 2 = 8.

Observa que regresó a su número original ( x = 8 ).

Avance a inversa ( f ^-1 )

$$f^{-1}(f(x))=x$$

• x = 8.
• f : 8 + 2 = 10
• f ^-1 : 10 – 2 = 8

Nuevamente regresó al número original ( x = 8 ).

¿Cómo se obtiene una función inversa?

Para obtener la función inversa debes aplicar los siguientes pasos:

Ejemplos prácticos

Ahora que has dominado la teoría, es momento de poner a prueba tus habilidades. A continuación, encontrarás una serie de ejercicios prácticos que te ayudarán a afianzar tus conocimientos sobre las funciones inversas y las restricciones de dominio. ¡Intenta resolverlos por tu cuenta antes de ver las respuestas!

Ejemplo#1. Hallar la función inversa de

$$f(x)=2x-3$$

Solución

Primero. Es una función afín por lo tanto es biyectiva.

Segundo. Igualar f ( x ) = y.

$$y=2x-3$$

Tercero. Despejar x.

$$y=2x-3$$
$$2x=3+y$$
$$x=\frac{3+y}{2}$$

Cuarto. Intercambiar x por y.

$$y=\frac{3+x}{2}$$

Quinto. Sustituir “y” por f ^-1( x ).

$$f^{-1}(x)=\frac{3+x}{2}$$

Ejemplo#2. Determinar la función inversa de

$$f(x)=e^{x}$$

Solución

Paso 1: Verificar si es biyectiva.

Se determina si la función es inyectiva

$$f(x_{1})=f(x_{2})$$
$$f(x)=e^{x}$$
$$e^{x_{1}}=e^{x_{2}}$$
$$ln(e^{x_{1}})=ln(e^{x_{2}})$$
$$x_{1}=x_{2}$$

La función es inyectiva.

No es sobreyectiva porque, al calcular el rango, se observa que no coincide con el codominio. Rango$$y> 0$$

Aquí el rango es un subconjunto del codominio.

Paso 2: Se restringe el codominio para que sea igual al rango.

codominio restringido: $$y> 0$$

Paso 3: f ( x ) = y

$$y=e^{x}$$

Paso 4: Despejar x.

$$x=ln(y)$$

Paso 5: Intercambio de x por y.

$$y=ln(x)$$

Paso 6: “y” por f ^-1( x )

$$f^{-1}(x)=ln(x)$$

Ejemplo#3. Consigue la función inversa de

$$f(x)=x^{2}$$

Solución

Uno. Verificar si es biyectiva.

Determinar analíticamente si la función es inyectiva.

$$f(x_{1})=f(x_{2})$$
$$f(x)=x^{2}$$
$$x_{1}^{2}=x_{2}^{2}$$
$$x_{1}=\sqrt{x_{2}^{2}}$$
$$x_{1}=\pm x_{2}$$

La función no es inyectiva porque dos valores de entrada distintos pueden dar el mismo valor de salida.

La función no es sobreyectiva ya al determinar el rango$$y\geq 0$$

Dos. Se aplica restricción al dominio.

Dominio restringido:$$x> 0$$

Tres. Restricción al codominio.

codominio restringido: $$y\geq 0$$

Para igualarlo al rango.

Cuatro.  f ( x ) = y

$$y=x^{2}$$

Quinto. Despejar x .

$$x=\sqrt{y}$$

Sexto. Intercambiar x por y.

$$y=\sqrt{x}$$

Séptimo. Cambiar “y” por f ^-1( x ).

$$f^{-1}(x)=\sqrt{x}$$

Funciones trigonométricas inversas

Las funciones trigonométricas no tienen una función inversa porque, al ser periódicas, sus valores se repiten. Esta característica impide que sean inyectivas (uno a uno) y, por lo tanto, no cumplen con el requisito fundamental para tener una función inversa.

Pero se le aplica restricciones en ciertos intervalos para que la función quede inyectiva, y en esos intervalos define una función inversa.

La imagen muestra la función$$f(x)=2x^{2}$$ restringida en el dominio (0,∞) y su inversa$$f^{-1}(x)=\sqrt{\frac{x}{2}}$$

Escritura y lectura de las funciones trigonométricas inversas

Leer y escribir las funciones trigonométricas inversas es sencillo, cuando trabajas con estos tipos de funciones, es relevante escribirlas correctamente para evitar confusiones. Hay dos maneras comunes de escribir y leerlas. A continuación, te muestro cada de ellas:

seno se escribe:$$sen^{-1}x$$Se lee: seno inverso de x$$arcsenx$$Lectura: arcoseno de x.

El mismo procedimiento se aplica para todas las demás.»

⚠️Cuidado con esta escritura

Se debe tener en cuenta que:

Recomendaciones para graficar funciones trigonométricas inversas

Las primeras recomendaciones es que te asegures que tu calculadora esté configurada en radianes, limita el dominio y el rango de la función original para que sea biyectiva. Al graficar su inversa, verás que los ejes se invierten: el dominio de la función original se convierte en el rango de la inversa y el rango se convierte en el dominio. Aquí tienes más recomendaciones que, espero, te sean de gran ayuda.

• Dibujar el plano cartesiano.
• Establecer en el eje “x” una escala 1:1.
• Establecer en el eje “y” los ángulos en radianes.
• Crear la tabla de valores.
• Graficar cada par ordenado y trazar la curva.

Inversa de la función seno

El dominio de la función del seno es el conjunto de los números reales y su rango está comprendido por el intervalo [-1,1].

Como se dijo anteriormente, las funciones trigonométricas son periódicas entonces no son inyectivas, pero quiero que veas que al aplicarle el criterio de la recta horizontal a la función seno se puede apreciar gráficamente que no es inyectiva ya que la recta toca en más de 1 punto.

Entonces no es biyectiva.

Al no ser biyectiva la función seno no permite inversa en todo el conjunto de los números reales.

Aquí es donde se aplica la restricción con la única intención que la función seno permita inversa, el intervalo a restringir es su nuevo dominio, y el rango se limita al intervalo [-1,1] es aquí donde la función seno es biyectiva, y por lo tanto, admite una función inversa llamada arcoseno. Ver la imagen de la gráfica de la función seno con la restricción.

Entonces la interpretación de la definición del arcoseno de un valor x como el ángulo y en el intervalo    tal que el seno del ángulo es x

Gráfica de la función arcoseno

Ha llegado el momento de graficar la función del arcoseno, Allí tienes la tabla de valores, te recuerdo que el dominio está comprendido en el intervalo [-1,1]

Observa que para x = 1/2

El ángulo obtenido en radianes es y en grados sexagesimales es 30°

Al graficar cada par ordenado generado por la tabla de valores, se obtiene la curva de la función arcoseno.

🔭Observación: Si tu profesor no te permite usar calculadora, es porque el ejercicio se resuelve con ángulos notables. Haz clic aquí y te mostraré un truco matemático que te permitirá resolverlos sin necesidad de calculadora.

Relación entre la función seno y la función arcoseno

La relación entre la función seno y la función arcoseno, es que la función seno toma un ángulo para dar un valor entre -1 y 1, el arcoseno hace lo contrario: toma un valor entre -1 y 1 para darte el ángulo correspondiente.

Por esta razón, el dominio del arcoseno es el rango del seno, y el rango del arcoseno es el dominio restringido del seno.

	Función seno con restricción	Función arcoseno
Intervalo en el dominio eje “x”
Intervalo en el rango eje “y”

Características de la función arcoseno

1. El dominio es el intervalo [ -1, 1]
2. El rango es el intervalo  [π/2, -π/2]
3. No es periódica
4. Es una función impar. Es decir, es simétrica respecto al origen del plano cartesiano.
5. Valor máximo es = π/2 (90°) cuando x = 1.
6. Valor mínimo = -π/2 (-90°) cuando x = -1.
7. Valor donde la función corta al eje x e y es en el origen del plano cartesiano. Es decir, x = 0; y = 0.

Inversa de la función coseno

La función del coseno su dominio es también el conjunto de los números reales   y el rango es el intervalo [-1,1].

La función coseno es periódica por lo tanto no es inyectiva y por ende  tampoco biyectiva.

Se aplica la restricción al dominio en el intervalo la cual le corresponde un rango de [-1,1], y el nombre de esta función inversa del coseno es llamada arcocoseno. Ver la gráfica de la función coseno con restricción en el dominio.

Relación entre la función coseno y la función arcocoseno

	Función coseno con restricción	Función arcocoseno
Intervalo en el dominio eje “x”
Intervalo en el rango eje “y”

Gráfica de la función arcocoseno

Al igual que la función arcoseno se realiza la tabla de valores y el dominio usado para la variable independiente es el intervalo [-1,1]. Observa la gráfica de la función arcocoseno.

Características de la función arcocoseno

1. El dominio es [ -1, 1].
2. El rango es el intervalo .
3. No es periódica.
4. No es una función par ni impar.
5. Valor máximo o altura máxima es π cuando x = -1.
6. Valor minino es 0 cuando x = 1.
7. La función corta al eje y en π/2, cuando x = 0.

Inversa de la función tangente

Para definir la función tangente inversa, se debe restringir el dominio de la función tangente al intervalo y su rango quedaría como el conjunto de los números reales Rgo . Observe la gráfica con restricción en el dominio.

Relación entre la función tangente y la función arcotangente

	Función tangente con restricción	Función arcotangente
Intervalo del dominio eje “x”
Intervalo del rango eje “y”

Gráfica de la función arcotangente

Para realizar el gráfico de la función arcotangente, lo primero es realizar la tabla de valores y el dominio usado para la variable independiente es el conjunto de los . Observe la gráfica

Características de la función arcotangente

1. El dominio es .
2. El rango es el intervalo
3. No es periódica.
4. Es una función impar.
5. No tiene valores máximos ni mínimos.

Actividades

I. Construye la gráfica de la función arcotangente, los ángulos de la tabla de valores debe estar expresada en radianes. Usa estos valores para la variable independiente

Recomendación: trabaja todo en grados sexagesimales, luego lo transforma a radianes.

II. Construya la gráfica del arcocoseno, los ángulos de la tabla de valores debe estar expresada en radianes. Los valores que vas a utilizar para la variable independiente son:

Recomendación: trabaja todo en grados sexagesimales, luego lo transforma a radianes.

III. Determina el valor exacto de cada ejercicio. Debes expresarlo en radianes y en grados sexagesimales

IV. Hallar el valor de x de las siguientes expresiones

V. Investiga las siguientes características de las funciones inversas:

¿Existen valores máximos y mínimos en la función del arcoseno? Si la respuesta es afirmativa indique las coordenadas?

¿La función arcoseno es biyectiva? y ¿Porqué?

¿Existen valores máximos y mínimos en la función del arcocoseno? Si la respuesta es afirmativa indica las coordenadas?

¿La función arcocoseno es sobreyectiva? y ¿Porqué?

¿Existen valores máximos y mínimos en la función del arcotangente? Si la respuesta es afirmativa indica las coordenadas?

¿La función arcotangente es sobreyectiva? y ¿Porqué?

¿Sabes qué son las funciones trigonométricas? Considera las matemáticas como una caja de herramientas con la que puedes representar y estudiar cualquier forma o patrón.

Así como las funciones elementales (constante, afín, cuadrática, etc.) te permiten representar formas básicas como una rampa o un arco, las funciones trigonométricas son un tipo de herramienta más avanzada.

Se utilizan para modelar y describir fenómenos de la vida real que tienen un comportamiento cíclico u ondulatorio, como las ondas de sonido, el movimiento de un péndulo, o las mareas del océano.

Funciones trigonométricas

Las funciones trigonométricas son parte de las funciones trascendentes y son basadas en la circunferencia unitaria o trigonométrica.

Cuando la circunferencia trigonométrica se relaciona con las funciones trigonométricas (seno, coseno y tangente), el radio de la circunferencia actúa como la hipotenusa de un triángulo rectángulo, y las líneas trigonométricas son los catetos de ese triángulo.

Para el seno es la línea vertical que representa el cateto opuesto del triángulo, su valor corresponde a la coordenada “y” del punto en la circunferencia.

Para el coseno es la línea horizontal representante del cateto adyacente, su valor es la coordenada “x”.

La tangente se representa como una línea vertical que es tangente a la circunferencia en el punto (1,0).

La circunferencia trigonométrica es la herramienta idónea para comprender cómo se construyen las gráficas de las funciones trigonométricas.

Función seno

La función seno es de la forma$$f(x)=senx$$y es una función real de variable real. Esto se debe a que toma cada ángulo expresado en radianes (números reales) y se le asigna un único número real como resultado.

Gráfica de la función seno

El valor del seno de un ángulo corresponde a la coordenada “y” es decir la línea vertical (altura = cateto opuesto) en la circunferencia trigonométrica.

El procedimiento para graficar es siguiente:

Primero. Dibuja una circunferencia y marca cada amplitud (0, π/6, π/3, π/2, 2π/3, 5π/6, π, 7π/6, 4π/3, 3π/2, 5π/3, 11π/6, 2π) con puntos.

Segundo. Dibujar el plano cartesiano con los cuadrantes I y IV. Expresar en radianes el eje “x”.

Tercero. Cada ángulo adquiere el valor de “y” es decir una altura, esa altura es la línea trigonométrica que debe ser trasladada hasta hacerla coincidir con el ángulo trazado en el eje “x”.

Cuarto. Une los puntos para formar la curva de la función seno.

Observa:

Haciéndole un acercamiento a la función:

Características de la función seno

Las características de la función seno son las siguientes:

Dominio: R.

Rango: [-1, 1].

Periodo: 2π.

Continuidad: Continua ∀ x ∈ R (para todo “x” que pertenece a los reales).

Creciente: …∪ (-π/2, π/2), ∪ (3π/2, 5π/2) ∪ …

Decreciente: …∪ (π/2, 3π/2), ∪ (5π/2, 7π/2) ∪ …

Máximos: (π/2 + 2π.k, 1 ) k ∈ Z.

Mínimos: (3π/2 + 2π.k, -1 ) k ∈ Z.

Impar: sen(-x) = -sen x.

Intersección con el eje x : x = { 0 + π.k}.

Intersección con el eje y : ( 0, 0 )

Función coseno

El valor del coseno de un ángulo corresponde a la coordenada “x” es decir la línea horizontal (cateto adyacente) en la circunferencia trigonométrica. Esa línea horizontal es la línea trigonométrica para obtener la gráfica de la función seno.

Gráfica de la función coseno

Para construir la curva de la función coseno se debe:

Primero. Seguir el mismo proceso que con el seno, pero en esta ocasión debes considerar la línea trigonométrica horizontal de cada punto.

Segundo. Dibujar en el plano cartesiano cada línea trigonométrica de la circunferencia trigonométrica con la misma longitud y verticalmente.

Tercero. Unir todos los puntos para formar la función del coseno.

Observa la gráfica:

Función coseno

Características de la función coseno

La función coseno es muy utilizada para modelar fenómenos cíclicos ya que es una función periódica, como ondas de sonido, movimiento de péndulo y oscilaciones. A continuación sus características:

Dominio: R.

Rango: [-1, 1].

Periodo: 2π.

Continuidad: Continua ∀ x ∈ R (para todo “x” que pertenece a los reales).

Creciente: …∪ (-π, 0), ∪ (π, 2π) ∪ …

Decreciente: …∪ (0, π), ∪ (2π, 3π) ∪ …

Máximos: (2π.k, 1 ) k ∈ Z.

Mínimos:  (k.(2k + 1 ), -1 k ∈ Z.

Par: cos(-x) = cos x.

Intersección con el eje x : x = { π/2 + k}.

Intersección con el eje y : ( 0, 1 )

Función tangente

La función tangente es una función real de variable real, definida como$$f(x)=\frac{senx}{cosx}$$donde$$cosx\neq 0$$, es decir la función tangente es de la forma$$f(x)=tanx$$de tal forma que cada ángulo expresado en radianes se le hace corresponder un número real denotado como$$tanx$$

Gráfica de la función tangente

La tangente es la razón entre el seno y el coseno ( y / x ). Su valor se representa con una línea vertical que es la tangente de la circunferencia en el punto (1,0).

Para desarrollarla debes:

Uno: Trazar rectas tangentes a la circunferencia en posición vertical (perpendiculares respecto al eje horizontal).

Dos: Dibujar cada línea final del ángulo (desde el origen del plano cartesiano) hasta la recta tangente (línea vertical) y trazar un punto.

Tres: Identificar con un color cada línea vertical.

Cuatro: Trasladar paralelamente cada línea vertical.

Cinco: Unir los puntos para obtener la función  tangente.

Gráfica de la tangente:

Acercamiento de la función tangente:

Características de la función tangente

Las características de la función tangente son las siguientes:

Dominio: R-{(2k + 1). π/2, k ∈ Z} = R-{ …, -π/2, π/2, 3π/2, … }.

Rango: R.

Periodo: π rad.

Continuidad: Continua ∀ x ∈ R – { (π/2 + π.k) }.

Creciente: R – { …, -9π/2, -π/2, π/2, 9π/2,…}.

Decreciente: …∪ (0, π), ∪ (2π, 3π) ∪ …

Máximos: No posee.

Mínimos:  No posee.

Impar: tan(-x) = -tan x.

Intersección con el eje x : x = { 0 + πk} k ∈ Z.

Intersección con el eje y : ( 0, 0 ).

Simulador de las funciones trigonométricas

¡Bienvenido! Ha llegado el momento de poner en práctica todo lo aprendido. En este simulador descubrirás diversas características de las funciones trigonométricas que te permitirán fortalecer y profundizar tus conocimientos. Lo mejor de todo es que aprenderás mientras juegas.

Actividades

I.Representa gráficamente la función y = sen x  en el intervalo [-π, π]. Construye la tabla de valores

II.Representa gráficamente las siguientes funciones:

$$f(x)=sen3x$$
$$f(x)=-senx$$
$$f(x)=sen4x$$
$$f(x)=sen(x-2)$$

III.Graficar la función y = cos x  en el intervalo [-2π, 2π]. Construye la tabla de valores

IV.Representar gráficamente las siguientes funciones:

$$f(x)=cos(x)+1$$
$$f(x)=cos\left ( x-\frac{\pi }{4} \right )$$
$$f(x)=cos(x-2)$$
$$f(x)=cos\left ( x+\frac{\pi }{3} \right )$$

V.Representar gráficamente las siguientes funciones:

$$f(x)=-cosx$$
$$f(x)=cos6x$$
$$f(x)=cos2x$$

VI.Mencionar 3 intervalos decreciente de la función coseno.

VII.Mencionar 2 intervalos crecientes de la función tangente.

¿Has escuchado el término circunferencia trigonométrica y te has preguntado por qué la llaman así? La respuesta es simple: gracias a su forma, es posible dibujar una serie de triángulos rectángulos. A partir de esta geometría, se definen las razones trigonométricas como el seno, el coseno y la tangente. Debido al surgimiento de estas razones, a la circunferencia se le da el nombre de Circunferencia Trigonométrica.

La circunferencia trigonométrica, también conocida como círculo unitario, es una herramienta fundamental en matemáticas, con aplicaciones directas en la vida real. Desde la ingeniería y la física, para calcular la trayectoria de un péndulo o la propagación de una onda de sonido, hasta la navegación y los videojuegos, donde se utiliza para determinar posiciones y rotaciones, este simple círculo es la base para entender cómo los ángulos se relacionan con el movimiento y las fuerzas.

Circunferencia trigonométrica

La siguiente imagen, muestra el ángulo α cuyo lado inicial es   y cuyo lado final es , ambos segmentos son radios de la circunferencia. Cuando el lado final en posición normal termina en el punto Q(x, y), estas coordenadas se proyectan sobre los ejes cartesianos, formando un triángulo rectángulo, cuya hipotenusa es el radio (o sea, 1). A medida que el lado final del ángulo gira, se forman más triángulos rectángulos.

En la circunferencia trigonométrica, el teorema de Pitágoras es siempre aplicable. Dado que cualquier punto Q ( x, y ) en la circunferencia unitaria forma un triángulo rectángulo con el origen del plano cartesiano y sus coordenadas deben satisfacer la expresión:$$x^{2}+y^{2}=1$$
Sabiendo que:

“x”es la longitud del cateto adyacente  y  “y”es la longitud del cateto opuesto.

Ejemplo#1.

Determine si el punto M pertenece a la circunferencia unitaria.

$$M\left ( -\frac{3}{5},\frac{4}{5} \right )$$

Solución

Coordenadas:
$$x=-\frac{3}{5}$$
$$y=\frac{4}{5}$$

Se aplica: x² + y² = 1

$$\left ( -\frac{3}{5} \right )^{2}+\left ( \frac{4}{5} \right )^{2}=1$$
$$\frac{9}{25}+\frac{16}{25}=1$$
$$\frac{25}{25}=1$$
$$1=1$$

Esto quiere decir que el punto$$M\left ( -\frac{3}{5},\frac{4}{5} \right )$$pertenece a la circunferencia unitaria. 😀

El punto M ∈ Circunferencia unitaria.

Ejemplo#2.

Determinar si el punto N pertenecen o no a la circunferencia unitaria.
$$N\left ( 2,3 \right )$$

Coordenadas:
$$x=2$$
$$y=3$$

Se aplica Pitágoras:  x² + y² = 1
$$2^{2}+3^{2}=1$$
$$4+9=1$$
$$13\neq 1$$

Al dar como resultado 13 ≠ 1 el punto N  NO pertenece a la circunferencia unitaria. 🙁

Ángulos positivos y negativos

Desde el punto ( 1,0 ) se mide una distancia s a lo largo de la circunferencia unitaria, cada valor de s le toca un punto Q( x, y ). Por lo tanto, s establece un arco donde sus extremos son ( 1,0 ) y Q( x, y ).

Cuando:

• s es positivo ( s > 0 ), el arco apunta en sentido contrario a las agujas del reloj.
• s resulta negativo ( s < 0 ), el arco apunta en el sentido de las agujas del reloj.

Ángulos en posición normal 

Se les denomina ángulos de posición normal ( o estándar) cuando el vértice del ángulo se dibuja con el origen ( 0,0 ) del plano cartesiano, su lado inicial es coincidente con el semi lado del eje “x” y su lado final puede girar en sentido antihorario o horario.

Esta denominación se hace para poder relacionar los ángulos con las coordenadas de un punto en la circunferencia.

Ángulos cuadrantales

La circunferencia trigonométrica posee Ángulos cuadrantales y son aquellos ángulos en posición normal cuyo lado final coincide con uno de los semi ejes del plano. Estos ángulos son múltiplos de 90° o π/2 (radianes) y son 0°, 90°,180°, 270° y 360°.

Razones trigonométricas definidas en la circunferencia unitaria

En la figura a continuación, se muestra la circunferencia unitaria. Observa que el radio tiene una longitud de 1 y que el ángulo α define el arco .

Entonces se obtienen seis razones trigonométricas

$$sen\alpha =\frac{y}{r}=\frac{y}{1}=y$$
$$cos\alpha =\frac{x}{r}=\frac{x}{1}=x$$
$$tan\alpha =\frac{y}{x}$$

$$csc\alpha =\frac{r}{y}=\frac{1}{y}$$
$$sec\alpha =\frac{r}{x}=\frac{1}{x}$$
$$ctg\alpha =\frac{x}{y}$$

De las relaciones anteriores, se deducen las siguientes relaciones:

$$csc\alpha =\frac{1}{y}=\frac{1}{sen\alpha }$$
$$sec\alpha =\frac{1}{x}=\frac{1}{cos\alpha }$$
$$tan\alpha =\frac{y}{x}=\frac{sen\alpha }{cos\alpha }$$
$$ctg\alpha =\frac{x}{y}=\frac{cos\alpha }{sen\alpha }$$

 ➡  Ejemplo

Determine las razones trigonométricas de α ∈ , si α es la medida del arco que describe los extremos (1,0) y el punto$$Q\left ( \frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2} \right )$$

Solución

Coordenadas:

$$y=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$
$$x=\frac{1}{2}$$

Razones trigonométricas:

$$sen\alpha =y=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$
$$\boxed{sen\alpha =-\frac{\sqrt{3}}{2}}$$
$$cos\alpha =x=\frac{1}{2}$$
$$\boxed{cos\alpha =\frac{{1}}{2}}$$
$$tan\alpha =\frac{y}{x}=\frac{-\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}$$
$$\boxed{tan\alpha =\sqrt{3}}$$
$$csc\alpha =\frac{1}{y}=\frac{1}{-\frac{\sqrt{3}}{2}}$$
$$=-\frac{2}{\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=-\frac{2\sqrt{3}}{3}$$
$$\boxed{csc\alpha =-\frac{2\sqrt{3}}{3}}$$
$$sec\alpha =\frac{1}{x}=\frac{1}{\frac{1}{2}}=2$$
$$\boxed{sec\alpha =2}$$
$$ctg\alpha =\frac{\frac{1}{2}}{-\frac{\sqrt{3}}{2}}=-\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$$
$$\boxed{ctg\alpha =-\frac{\sqrt{3}}{3}}$$

Signo de las razones trigonométricas

El signo de las razones trigonométricas depende de los valores x  e  y, según sus valores se ubican en cualquiera de los cuadrantes de la circunferencia unitaria, entonces los signos según la ubicación del lado final del ángulo es la siguiente:

Ángulos notables

Los ángulos notables se basan en un patrón que se repite en cada cuadrante. Por ejemplo:

I = 30°, 45°, 60°.

II = 120°, 135°, 150°.

III = 210°, 225°, 240°.

IV = 300°, 315°, 330°.

Se les llama así porque sus razones trigonométricas (como el seno, coseno, tangente, etc.) tienen valores exactos. Esto permite resolver problemas de forma rápida, sin necesidad de usar una calculadora.

Simulador de la circunferencia trigonométrica

Explora el simulador de la circunferencia trigonométrica. Desliza el punto rojo y observa cómo cambian los signos de las funciones para cada ángulo. La construcción muestra los lados de un triángulo rectángulo inscrito en la circunferencia, lo que te ayudará a comprender mejor la relación entre ángulos y razones trigonométricas.

Actividades

Determine si cada punto pertenece a la circunferencia unitaria.

A(-3,2)

B(-5,0)

C(0,2)

Determine el valor de la coordenada que falta, si el punto Q pertenece a la circunferencia unitaria. Al lado de cada punto indica el cuadrante.

  I cuadrante

IV cuadrante

III cuadrante

II cuadrante

I cuadrante

Determine el valor de las razones trigonométricas para α ∈ , si α es la medida del arco que describe los extremos (1,0) y el punto dado.

¿Has pensado cómo es la representación de funciones en la vida cotidiana? En un juego de fútbol cuando uno de los jugadores patea el balón ¿Qué movimiento describe? y ¿Cómo se puede representar ese movimiento? la representación de datos es muy importante ya que da una observación clara del comportamiento de alguna situación.

Unas de las representaciones más usada en la actualidad son los gráficos, por ejemplo, al leer un periódico y ver la sección de economía, al consultar una encuesta, al revisar una factura de algún servicio público, cuando el especialista en cardiología analiza un electrocardiograma o cuando en la televisión muestran la estadísticas de los cambios climáticos de alguna región.

Formas de representación de funciones

Hay muchísimas formas de representar a las funciones, su finalidad es comprender su comportamiento. Entre ellas están: los diagramas sagitales, la representación verbal, la representación algebraica, la representación en tabla de valores y la representación gráfica o curva de una función.

Representación verbal

La representación verbal de una función es expresada por una regla de correspondencia la cual asigna una condición.

Por ejemplo «el doble de un número», para esta función el dominio es cualquier valor arbitrario y el rango es el producto de dos por el valor arbitrario.

Representación algebraica

Su representación es realizada a través de expresiones algebraicas, refiriéndose a la relación de los elementos del dominio con sus respectivas imágenes por medio de las operaciones.

Por ejemplo «el triple de un número más la mitad» se representa mediante la expresión algebraica:

$$f(x)=3x+\frac{1}{2}$$

Representación en tabla de valores

Los valores de la variable independiente “x” y de la variable dependiente “y” puede ser presentada de dos maneras:

• Verticalmente y
• Horizontalmente.

Los valores de la variable “x” son arbitrarios y se sustituyen en una expresión algebraica para determinar las imágenes.

Ejemplo: Crear la tabla de valores de la función

$$f(x)=x^{2}-4x+1$$

Paso # 1: Construir la tabla de valores agregando valores arbitrarios a la variable independiente “x”

Paso # 2: Calcular las imágenes (variable “y”)

Paso # 3: Sustituir en la tabla de valores las imágenes obtenidas

Los pares ordenados de la función

$$f(x)=x^{2}-4x+1$$

Representación gráfica o curva de una función

La representación gráfica o curva de una función se obtiene al graficar en el plano cartesiano cada par ordenado.

Ejemplo: Graficar la función

$$f(x)=x^{2}-4x+1$$

Paso # 1:  Completar la tabla de valores y graficar cada punto.

Paso # 2: Unir los puntos

Ejercicios resueltos de representación de funciones

Ejemplo # 1

Represente la expresión : “El doble de un número menos tres” en forma:

• Verbal.
• Algebraica.
• Tabla de valores.
• Gráfica.

 ➡ Representación verbal

“El doble de un número menos tres”

 ➡ Representación algebraica
$$f(x)=2x-3$$

 ➡ Representación en tabla de valores:

➡ Representación gráfica:

Ejemplo # 2

Represente la expresión : 8x en forma:

• Verbal.
• Algebraica.
• Tabla de valores.
• Gráfica.

➡ Representación verbal

“Ocho veces un número”

 ➡ Representación algebraica 

 ➡ Representación en tabla de valores:

➡ Representación gráfica:

Actividades

A partir de la representación dada obtener las demás de forma: verbal, algebraica, tabla de valores y gráfica.

1. “ El cuadrado de un número aumentado en 5”
2.    
3.    
4. “La tercera parte de un número disminuido en 2”
5. Una parábola con vértice (0,-4) que pasa por los puntos (-2,0) y (2,0)

¿Alguna vez te has preguntado qué son exactamente las funciones elementales? En matemáticas, es muy común trabajar con estas funciones, también conocidas como funciones usuales. Son las piezas básicas con las que construimos todo. Al combinarlas a través de operaciones como la suma, resta, multiplicación y división, podemos crear funciones más complejas, llamadas funciones no elementales. Comprender estas funciones es el primer paso para dominar el cálculo.

Clasificación de las funciones elementales

Las funciones elementales son los bloques de construcción básicos de las matemáticas, ellas son:

1. Funciones polinómicas
2. Funciones racionales
3. Funciones radicales
4. Funciones trascendentes y
5. Funciones especiales

Funciones Polinómicas

La forma de una función polinómica es la siguiente:

Donde:    para cada i = 0, 1, 2, 3, 4, . . . , n 

Características de las funciones polinómicas

• Su dominio pertenece al conjunto de los números reales .
• El rango de estas funciones siempre pertenece al conjunto de los números reales .
• Son continuas.

Se dice que y = f(x) es una función polinómica de grado n. En este tema se trabajará con los grados n = 0, 1 y 2.

Tipos de funciones polinómicas

Este tipos de funciones elementales se clasifican según el grado del polinomio, el cual determina la forma de su gráfica y su comportamiento. Los tipos más comunes son:

1. Función constante.
2. Función lineal.
3. Función afín.
4. Función cuadrática.

Función constante

Es una una función polinómica de grado cero y se define como:  , donde  .

Características de la función constante

• Es una recta paralela con respecto a eje “x”
• Su dominio es el conjunto de los números reales.
• Su rengo es únicamente el valor constante.
• No es inyectiva ni sobreyectiva.

Ejemplo:

Ejemplo. Determina dominio, rango, punto de corte en el eje “y” y graficar.

$$f(x)=\sqrt{3}$$

Solución

• Gráfica

• Dominio:
• Rango:
• Como es una función constante la recta pasa por el eje «y» en   , esto es aproximadamente igual a 1,73.
• Punto de corte en el eje “y” es (0,√3)

Función lineal

Características de la función lineal

• El dominio y rango pertenecen al conjunto de los números reales.
• Gráficamente es una recta que siempre pasa por el origen del plano cartesiano.
• Es creciente cuando m es positivo y es decreciente cuando m es negativo.
• Para construir gráficamente la recta basta con conocer dos puntos del plano cartesiano que satisfagan la ecuación.
• Es una función biyectiva.

Cálculo de la pendiente m

Para determinar el valor de la pendiente debes aplicar la siguiente fórmula:

Donde:

Son las coordenadas de dos puntos

Función afín 

Características de la función afín

• El dominio y rango pertenecen al conjunto de los números reales.
• Gráficamente es una recta que nunca pasa por el origen del plano cartesiano.
• Es creciente cuando m es positivo, decreciente cuando m es negativo y si m = 0 la función es constante.
• Para construir gráficamente la recta basta con conocer dos puntos del plano cartesiano que satisfagan la ecuación.
• b es el punto donde la recta intercepta el eje vertical “y”, es llamado punto de corte en el eje de las ordenadas.
• Función biyectiva.

Ejemplo

Ejemplo. Graficar y determinar si la función es creciente o decreciente, puntos de corte con respecto al eje x e y, dominio y rango.

Solución

Se calcula primero los puntos de cortes y luego se traza la recta en el plano cartesiano.

Punto de corte con el eje “x”   “y = 0”

Punto de corte con el eje “x” = (-10,0)

Punto de corte con el eje “y”   “x = 0”

Punto de corte con el eje “y” = (0,5)

Gráfica:

Es creciente ya que m = ½ > 0

Dominio y rango

Simulador de la función lineal y afín

Con este simulador explorarás de forma interactiva un tipo de funciones elementales muy interesante llamadas función lineal y función afín. Te ayudará a fortalecer lo aprendido y te volverás un experto construyendo gráficas modificando la pendiente y el punto de corte en el eje y.

Verás cómo cada cambio en la fórmula y = mx + b afecta directamente a la línea recta, ayudándote a visualizar y entender conceptos clave de forma sencilla y divertida.

Función cuadrática

Es una función polinómica de segundo grado al graficarla recibe el nombre de parábola, definida como:   Donde  y  . a≠0

Características de la función cuadrática

• Cuando a>0 abre hacia arriba es decir es cóncava hacia arriba.
• Cuando a<0 abre hacia abajo es decir es cóncava hacia abajo.
• El dominio de la función pertenece al conjunto de los números reales.
• El rango de la función se calcula de la siguiente manera:

Sí a>0  el rango de la función es:

Sí a<0  el rango de la función es:

• Posee un eje de simetría que pasa por su vértice V(x,y).
• Cuando a > 0 su vértice V(x,y) es un punto mínimo.
• Cuando a < 0 su vértice V(x,y) es un punto máximo.

Cálculo del vértice, coordenada “x”

Cálculo del vértice, coordenada “y”

Ejemplo gráfico

Simulador de la función cuadrática

Este simulador fue hecho pensando en ti, para que pongas en practica lo aprendido y fortalezcas tus conocimientos con las funciones elementales. Así que atrévete y juega en el simulador de la función cuadrática.

Ejemplo. Graficar la función y determinar tipo de concavidad, dominio, rango, vértice, puntos de corte (eje x e y) y diga si existe un mínimo o un máximo.

Solución

Paso # 1: Extraer los valores

Paso # 2: Tipo de concavidad.

Como , entonces es cóncava hacia arriba y por ende posee un punto mínimo.

Paso # 3: Determinar el rango de la función.

Se aplica:
,

Para determinar la coordenada “x” se necesita los valores de b y a  

b = 6  ∧   a = 3

La función es:

Se sustituye el valor de x = –1

El rango de la función es desde -4 hacia el infinito positivo.

Paso # 4: Determina el valor del vértice

Con los valores anteriores de:
x = –1
y = -4

Las coordenadas del vértice es:

Paso # 5: Determinar punto de corte con respecto al eje “x”. Se aplica la fórmula de la resolvente

Sustituir los valores de a, b y c.

Paso # 6: Determinar el punto de corte con respecto al eje “y” donde x = 0

Función:

Sustitución del valor de x = 0

Paso # 7: Se grafica en el plano cartesiano los puntos vértice y de corte con el eje x e y

• Vértice:
• Punto de corte eje “x”
    ∧   
• Punto de corte eje “y”
  

Luego  trazar los ramales de la parábola

• Ramal de la izquierda, desde el punto de corte en “x” hasta el vértice
• Ramal de la derecha, desde el vértice hasta los puntos de corte “y” e “x”

Paso # 8: Dominio de la función

Función cuadrática: explicación completa (video)

Hasta ahora ¿Te cuesta entender la función cuadrática? ¡No te preocupes! En este video te lo explicamos todo paso a paso: qué es una función cuadrática, sus características principales, cómo encontrar el vértice, los puntos de corte y, lo más importante, ¡cómo graficar una parábola de forma sencilla! Así que prepárate para dominarla este tipo de funciones elementales.

Funciones Racionales

Es otro tipo de funciones elementales, y su forma es donde y son polinomios, es decir es el cociente de dos polinomios. ≠ 0

Algunas de estas funciones pueden presentarse así:

El

El

El

Gráfica de una función Racional

Para realizar la gráfica de una función racional es necesario tener los valores para los cuales la función no está definida. Estos valores, que hacen que el denominador sea cero, corresponden a las asíntotas verticales de la gráfica.

Asíntota vertical  

Es una recta vertical  x = a de una función racional  f , si f ( x )  → ∞    o   si   f(x)  →  -∞  cuando x se aproxima a “a” por la izquierda o por la derecha.
La expresión polinómica es localizada en el denominador y se iguala a cero para obtener el valor o los valores de x que viene siendo las rectas verticales o asíntotas.

Asíntota horizontal

Es una recta horizontal (m = 0)  y = c  de una función racional  f , si f ( x )  → c   cuando x → ∞   o   cuando x → – ∞

Dada la función racional f definida por:

Cuando:

• , la función  f  no tiene asíntota horizontal
• , la función  f  tiene una asíntota horizontal en el eje “x”

$$y=0$$

• , la función  f  tiene una asíntota horizontal y es la recta:

$$ y=\frac{a_{n}}{b_{m}}$$

Es decir, dividir el coeficiente del numerador entre el coeficiente del denominador.

Asíntota oblicua

Es una recta que posee una pendiente distinta a cero. ¿Cómo identificar si una función racional posee una asíntota oblicua?, te recomiendo que observes la siguiente expresión:

$$f(x)=\frac{R(x)}{S(x)}=\frac{ax^{n+1}}{bx^{n}}$$

1. Identificar la existencia. Cuando la diferencia entre el grado del polinomio del numerador y del denominador es 1 la función posee asíntota oblicua.
2. Calculo de la ecuación de la asíntota. Para hallar la ecuación debes dividir el polinomio del numerador entre el denominador, el cociente es la ecuación de la asíntota oblicua.

Características de las funciones racionales

1. El dominio son todos los valores del conjunto de los a excepción de aquellos que anulen el denominador.
2. El rango son todos los valores del conjunto de los a excepción cuando existe asíntotas horizontales.
3. Son discontinuas en los valores de “x” que anulan al denominador.
4. Poseen asíntotas verticales siendo el valor de “x” que anula al denominador
5. Pueden poseer asíntotas horizontales sólo cuando en 2 casos.
   😆  Cuando el grado del polinomio del numerador es menor que el grado del polinomio del denominador
   😆  Cuando los grados del polinomio tanto del numerador y del denominador sean iguales.

Gráfica de una función racional

Ejemplo. Analiza y grafica la siguiente función racional.

Paso # 1: Determinar las raíces del numerador

Como el numerador existe una constante, entonces no se determina las raíces. Por lo tanto no corta en el eje “x”

Paso # 2:Determine las raíces en el denominador para lo cual la función no está definida.

Paso # 3:Hallar las asíntotas verticales, si existen.

Como está indefinida en: . La asíntota es:

Paso # 4: Determinar puntos de cortes en el eje “y”.

No existe punto de corte en “y” ya que el resultado es indefinido.

Paso # 5: Determinar las asíntotas horizontales, si existe.

En esta función el grado del polinomio del numerador es menor que el grado del polinomio del denominador.

y = 0

Existe una asíntota horizontal en el eje “x”

Paso # 6: Crear la tabla de valores y obtener los valores de la variable dependiente “y”

x	-2	-1	0	1	2
f(x)		-1		1

Paso # 7: Gráfica

Paso # 8: Dominio y rango

Ejemplo. Analiza y grafica la siguiente función racional.

Paso # 1: Determinar las raíces del numerador, es decir f(x) = 0

Esto quiere decir que la función corta en las coordenadas (-1,0)

Paso # 2: Determine las raíces en el denominador para lo cual la función no está definida. En este ejemplo el denominador es una expresión cuadrática, para determinar las raíces se puede aplicar la resolvente o factorizar.

En nuestro caso escogemos la factorización

No está definida en:   y

Paso # 3: Hallar las asíntotas verticales, si existen.

Son las rectas y

Paso # 4: Determinar puntos de cortes en el eje “y”
Se sustituye 0 en la función:

La función corta en el  y = -1/3

Paso # 5: Determinar las asíntotas horizontales, si existe.
En esta función el grado del polinomio del numerador es menor que el grado del polinomio del denominador. Es decir:
Existe una asíntota horizontal en el eje “x”

y = 0

Paso # 5: Crear la tabla de valores

x	-2	-1	0	1	2
f(x)		0

Paso # 6: Gráfica

Paso # 8: Dominio y rango

Funciones Radicales

Es otro tipo de funciones elementales denominadas también funciones irracionales (porque la variable independiente x está dentro del signo radical), son de la forma , donde es una función polinómica o racional.

Características de las funciones radicales

1. El dominio depende del índice de la raíz.  “Si el índice es par, posee restricción # 1 del dominio ”. Cuando existen raíces pares de un número negativo. “Si es índice es impar, la función esta definida para todos los números .”
2. Rango. Para conocer exactamente desde donde comienza el rango, se sustituye en la función el primer valor del dominio.
3. Cálculo de puntos de cortes. Para determinar el intercepto en el eje “y” x = 0 y para determinar el intercepto en el eje “x” y = 0

Ejemplo. Analiza y grafica.

Paso # 1: Identificar el índice de la raíz

El índice del radical es 2, por lo tanto es par.

Paso # 2: Determinar el primer valor del intervalo del dominio

Paso # 3: Intervalo del dominio

Paso # 4: Determinar el primer valor del intervalo del rango, sustituyendo el primer valor del intervalo del dominio en la función dada

Paso # 5: El intervalo del rango es:

Paso # 6:  Cálculo de punto de corte en “x”        y = 0

Paso # 7: Cálculo de punto de corte  en “y” x = 0

No corta en y

Paso # 8: Gráfica

Función radical con índice par (video)

Te invito que veas este video, te ayudará a consolidar y profundizar los conocimientos adquiridos

Funciones Trascendentes

Función Exponencial

Este tipo de función es usada para mostrar el crecimiento de poblaciones, interés de dinero acumulado, desintegración radioactiva, entre otros.

Características de las funciones exponenciales

1. Si el valor de la base  a > 1 , entonces f es una función creciente. Como muestra la función  g(x)=2^x
2. Si el valor de la base a (está entre 0 y 1) es decir 0 < a < 1 , f es una función decreciente. Como muestra la función  f (x)=(1/2)^x
3. Punto de corte en el eje “x” No existe.
4. Punto de corte en el eje “y” es:
   y = 1
5. La función siempre pasa por el punto (1,a), debido que:
   
6. El dominio de una función exponencial es el conjunto de los números reales . Dom f =
7. El rango es el conjunto de los números reales positivos  . Rgo f= = (0,+∞)
8. Es inyectiva pero no es sobreyectiva.

Ejemplo. Realiza el estudio de la función y graficar.

Paso # 1: Observar si la base “a” es mayor que 1 o  está comprendida entre 0 y 1.

Como 0 < a <  1 , la función es Decreciente

Paso # 2: Punto de corte en “x”.  No existe

Paso # 3: Determinar punto de corte en “y”  x = 0

Paso # 4: Determinar el dominio

Dom f =

Paso # 5: Determinar el rango

Rgo f=

Paso # 6: La función siempre pasa por el punto (1,a). En este caso el punto es:

Paso # 7: Crear la tabla de valores

x	-2	-1	0	1	2
f(x)	36	6	1

Paso # 8: Gráfica

Función Logarítmica

Las funciones logarítmicas son las inversas de las funciones exponenciales, y su forma es:Donde: a > 0 a ≠ 1 Definida para todo x>0 Se verifica como:

Características de las funciones logarítmicas

1. El dominio es:
2. El rango es:
3. Punto de corte en el eje “y”. No existe
4. Es Creciente cuando 
5. Es Decreciente cuando:
6. La función siempre pasa por el punto (a,1) , pues al realizar
7. Es Biyectiva

Ejemplo. Analiza y grafica la siguiente función.

Paso # 1: El dominio de la función siempre es:

Paso # 2: El rango de la función siempre es:

Paso # 3: Punto de corte en el eje “x”  y = 0

Paso # 4: Punto de corte en el eje “y”  x = 0

No existe punto de corte en el eje “y”

Paso # 5: Creciente o decreciente.
Como entonces
Es decreciente.

Paso # 6: La función siempre pasa por el punto (a,1), pues al realizar

Funciones Especiales

Las funciones especiales son una categoría que agrupa a funciones que, aunque no encajan en las clasificaciones más comunes (como las polinómicas o exponenciales), son de gran importancia en el cálculo y otras áreas de las matemáticas. Un ejemplo notable es la función de valor absoluto, que se define como la distancia de un número al origen, sin importar su signo. Su gráfica forma una figura en «V», lo que la distingue claramente de otros tipos de funciones.

Dentro de las funciones especiales están:

• Funciones segmentadas o funciones a trozos
• Función parte entera o mayor entero y
• Función valor absoluto

En este post sólo se desarrollará la función de valor absoluto.

Función de valor absoluto

La función de valor absoluto asigna a cada elemento del dominio su valor absoluto y es de la forma:

Características de las funciones de valor absoluto

1. El dominio es:
2. El rango es:
3. Punto de corte en el eje “x” cuando f (x) = y = 0
   Se iguala la expresión a 0
4. Punto de corte en el eje “y” cuando x = 0
5. El vértice de la curva es el valor de x
6. El eje de simetría es la recta que pasa por el vértice, paralela al eje “y”
7. Es Decreciente en el intervalo: (-∞,x]
8. Es Creciente en el intervalo: [x,∞)
9. No es inyectiva, ni sobreyectiva

Ejemplo. Graficar la función a continuación:

Paso # 1: Dominio de la función

Paso # 2: Rango de la función

Paso # 3:Punto de corte en el eje “x”  y = 0

Paso # 4: Punto de corte en el eje “y”  x = 0

Paso # 5: Se traza el eje de simetría que pasa por el vértice.

Paso #6: Es Decreciente en el intervalo.

(-∞,4]

Paso # 7: Es Creciente en el intervalo.

[4,∞)

Actividades

1. Determinar las características de todas las funciones elementales y finalmente grafique.
   
   
   
   
   
   
   
   
2. Dibujar la parte que falta en la gráfica de cada función
   
   
   
3. Analizar cada función racional. Luego, crear la gráfica
   
4. Analiza cada función radical. Luego, realizar su gráfica
   
   
   
   
   
   

1. Analiza cada función exponencial, Luego, realice la gráfica.
   
   
   
   
   
   
2. Trazar la gráfica de cada función y analizar su comportamiento
   
   
   
   
   
   
3. Trace la gráfica de cada función y analice su comportamiento
   
   
   
4. ¿Cuál de las siguientes funciones es decreciente en todo su dominio?
   
   
   
   
5. Identifica si cada función es lineal o afín a partir de su gráfica.
   
6. Interpreta cada expresión y diga si es una función afín, lineal o ninguna de las dos.

$$y=\frac{1}{2}x-3$$
$$y=2x^{2}$$
$$y=5x+7$$
$$y=-8x$$
$$y=\frac{5}{9}x$$

1. Lee y selecciona la afirmación que es falsa. De la función $$-5x-8=y$$ Se puede afirmar que:
   A. Es una función afín.
   B. Es creciente.
   C. El intercepto con el eje y es (0,-8)
   D. El intercepto con el eje x es (-8/5,0)
2. Calcule los interceptos con los ejes, la pendiente y dibuje su gráfica de las siguientes funciones:
   a.) y-2x=3
   b.) 3x+4y=12
   c.)3y=-6x+3
   d.) 2y+3x=-1