8ºGrado

¿Sabías que la recta, la pendiente y la ecuación explícita y general no solo viven en los cuadernos de matemáticas, sino también en tu día a día? Imagina que estás planeando tus vacaciones en carretera y observas el mapa: cada ruta trazada es una recta que conecta dos puntos, pero no todas tienen la misma inclinación. Algunas suben, otras bajan, y cada una puede describirse con una pendiente diferente. Esa inclinación, que en matemáticas expresamos con una ecuación, es la que determina si tu trayecto será fácil o todo un reto.

En el mundo real, las rectas permiten analizar trayectorias, planificar caminos, diseñar rampas, calcular ángulos de visión e incluso comprender patrones en los gráficos de redes sociales o estadísticas deportivas. Entender la ecuación explícita y general te ayuda a interpretar y construir el camino más eficiente entre dos puntos, tanto en la vida como en las matemáticas.

Pendiente

La recta es una línea que pasa por al menos por dos puntos y puede presentarse en el plano cartesiano con una cierta inclinación respecto al eje x. Esta inclinación se le llama pendiente de la recta, se denota con la letra m y se calcula  dividiendo el incremento vertical entre el incremento horizontal.

Otra forma de calcular la pendiente es aplicando la siguiente expresión:

$$m=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$$

Donde: $$x_{2}\neq x_{1}$$

Ejemplo

Por ejemplo, calcular la pendiente de la recta que pasa por los puntos P₁(0,5) y P₂(5,-3).

Solución

x₂ = 0; x₁ = 5; y₂ = 5; y₁ = -3

$$m=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$$

$$m=\frac{5-(-3)}{0-5}$$

$$m=-\frac{8}{5}$$

Juega con las pendientes

🚀 Explora, mueve y descubre cómo cambia una recta cuando modificas su pendiente. En esta simulación interactiva, podrás deslizar puntos, ajustar valores y observar cómo la inclinación transforma su dirección. 🌄 ¿Sube, baja o se mantiene estable? ¡Experimenta con cada movimiento y entiende visualmente el poder de la pendiente!

✨ ¡Quiero saber tu experiencia! Después de probar la simulación de la pendiente de la recta, cuéntame en los comentarios al final del post cómo te fue. 🚀 ¿Qué notaste al mover los puntos? ¿Te sorprendió ver cómo cambia la inclinación? 🧠 Tu comentario puede ayudar a otros estudiantes a comprender mejor este concepto. ¡Anímate y comparte lo que descubriste!

Clasificación de las rectas según su pendiente

Las rectas se clasifican según su pendiente:

• Creciente.
• Decreciente
• Horizontal
• Vertical
• Idéntica.

Creciente. Es creciente cuando m>0

Puede ser una función lineal o afín

Su expresión es: $$f(x)=mx+b$$

Decreciente. Cuando m<0.

Se puede comportar como una función lineal o afín

Con expresión: $$f(x)=mx+b$$

Horizontal. La m=0, b≠0

No interseca al eje x.

Expresión:$$f(x)=b$$

Es llamada función constante

Vertical. La recta vertical posee pendiente indefinida m=∞

No interseca al eje y

Expresión:$$x=b$$

Idéntica. La m=1, b=0

La recta pasa por el origen del plano cartesiano (0,0).

Se crea un ángulo de 45° con respecto al eje x.

Expresión:$$f(x)=x$$

Ejemplo

Analiza y describa las funciones $$f(x)=4x+2$$

$$g(x)=-6x$$

Solución

Paso # 1: Identificar la pendiente de cada función.

Para$$f(x)=4x+2$$m=4 La función es creciente porque su pendiente es positiva, es decir, m>0.

y: $$g(x)=-6x$$m=-6 La función es decreciente ya que su pendiente es negativa, es decir, m<0.

Paso # 2: El valor de b.

Para la función$$f(x)=4x+2$$b=2 la recta interseca al eje y en (0,2).

$$g(x)=-6x$$ b=0, la recta pasa por el origen del plano cartesiano, por lo tanto es una función lineal.

Ecuación de la recta

Se sabe que una recta siempre pasa por al menos dos puntos, puede cortar uno o ambos ejes, y tiene una pendiente que define su inclinación. Si conoces alguno de estos elementos ya sea los puntos, la pendiente o el intercepto, puedes encontrar fácilmente la ecuación de la recta que los representa.

Tres formas diferentes para determinar la ecuación de la recta

Existen tres formas diferentes para determinar la ecuación de una recta, y cada una depende de los datos que tengas disponibles. La forma explícita, punto-pendiente.

Forma explícita

La ecuación explícita de la recta es esa que se escribe como$$y=mx+b$$ En ella, m indica qué tan inclinada está la recta y hacia dónde va, mientras que b muestra el punto donde corta el eje Y. 📉 Es una forma muy sencilla de entender cómo se comporta una recta: si es creciente, decreciente o se mantiene estable. Ideal para ver, de un vistazo, la relación entre las variables.

Ecuación de la recta dados la pendiente y el intercepto con el eje y

Para saber cuál es la ecuación de una recta teniendo la pendiente m y el intercepto b, debes reemplazar estos valores en la ecuación explícita de la recta: $$y=mx+b$$.

Por ejemplo, determina la ecuación de la recta con pendiente m=-5 e intercepto con el eje y (0,-6).

$$y=mx+b$$

$$y=-5x-6$$

Ejemplo. Determinar la ecuación de la recta cuya pendiente es m = 5 y el intercepto con el eje y es -3

Solución

Reemplazar los valores de la pendiente y el intercepto con el eje y.

$$y=mx+b$$

$$y=5x-3$$

Para graficar la recta en el plano cartesiano, basta con tener dos puntos.

Primero.  Punto (0,-3) que es por donde la recta interseca al eje y.

Segundo. Evalúa la ecuación para un valor arbitrario de x. Ejemplo x = 2 y se obtiene y = 7.

Ecuación de la recta dados un punto y la pendiente

Para encontrar la ecuación de la recta dado un punto B(x,y) y su pendiente m debes cumplir con el siguiente procedimiento:

Uno. Reemplazar las coordenadas (x,y) del punto B en la ecuación explícita de la recta$$y=mx+b$$

Dos. Sustituir el valor de la pendiente m.

Tres. Despejar b.

Cuatro. Escribir la ecuación con el valor de la pendiente y del intercepto con el eje y.

Ejemplo. Determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto (3,5) y tiene pendiente 2

Solución

Reemplazar la coordenada del punto y su pendiente.

$$y=mx+b$$

$$5=2(3)+b$$

$$5=6+b$$

Despejar b

$$b=5-6$$
$$b=-1$$

Finalmente se reemplaza el valor de la pendiente m = 2 y el intercepto con el eje y: b = -1

$$y=mx+b$$

$$y=2x+(-1)$$

$$y=2x-1$$

Resultado: $$y=2x-1$$

Ejemplo. Escriba la ecuación de la recta observa su gráfica

Solución

La recta pasa por el punto (-2,4) y se desplaza 3 unidades a la derecha y 2 unidades hacia abajo.

Se tiene que su pendiente es: $$m=-\frac{3}{2}$$

Como m<0 la función es decreciente.

Se reemplaza la coordenada del punto, la pendiente y se determina b.

$$4=-\frac{2}{3}(-2)+b$$

$$4=\frac{4}{3}+b$$

$$b=4-\frac{4}{3}$$

$$b=\frac{8}{3}$$

Finalmente se sustituye m y b en la ecuación explícita de la recta. $$y=-\frac{3}{2}x+\frac{8}{3}$$

Forma Punto-pendiente

La forma punto-pendiente sirve cuando conoces un punto de la recta y su pendiente. Se escribe así:$$y-y_{1}=m(x-x_{1})$$
📈 Es muy útil porque con solo esos dos datos ya puedes construir toda la recta. Te muestra cómo cambia el valor de y cuando x varía, siguiendo siempre la inclinación marcada por la pendiente.

Dados dos puntos

Si conoces dos puntos, debes calcular la pendiente de la recta, sustituir las coordenadas de un punto con su pendiente en la expresión punto-pendiente: $$y-y_{1}=m(x-x_{1})$$

Ejemplo. Hallar la ecuación de la reta que pasa por los puntos D(-1,3) y E(2,2)

Solución

Primero. Hallar la pendiente de la recta$$m=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$$

$$m=\frac{2-3}{2-(-1)}$$

$$m=-\frac{1}{3}$$

Segundo. Sustituir el valor de la pendiente y unos de sus puntos en la ecuación de la recta.

$$y-2=-\frac{1}{3}(x-2)$$

$$y=-\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}+2$$

Resultado:

$$y=-\frac{1}{3}x+\frac{8}{3}$$

¡A jugar! con Punto-pendiente

¿Qué pasa con una recta si cambias su pendiente o mueves el punto por donde pasa? En esta simulación de punto-pendiente podrás probarlo tú mismo: arrastra, ajusta y observa cómo la ecuación se transforma al instante. Cada movimiento te ayuda a entender mejor cómo se forma una recta y cómo la pendiente define su dirección. ¡Juega con los valores y descubre la magia detrás de una simple ecuación!

Me encantaría saber cómo te fue con la simulación de punto-pendiente. Cuéntame en los comentarios al final del post qué descubriste al mover los puntos o cambiar la pendiente. ¿Te resultó fácil entender cómo cambia la ecuación? Tu experiencia puede ayudar a otros a ver las rectas de una forma diferente. ¡Anímate a compartir lo que aprendiste!

Forma general

Es la ecuación general de la recta se escribe como:$$Ax+By+C=0$$ Es una manera más completa de representar cualquier tipo de recta, incluso las verticales y horizontales. ✏️ Lo bueno de esta forma es que no depende de despejar y, y permite ver fácilmente los coeficientes que describen la relación entre y. Es muy usada en álgebra y geometría analítica porque se adapta a casi cualquier situación.

Ejemplo. Hallar la ecuación explícita de la recta que ve en la siguiente gráfica. Posteriormente calcular su ecuación general.

Paso 1: Seleccionar dos puntos que pertenezcan a la recta. Para este caso:

(-3,6) y (4,-3)

Paso 2: Calcular la pendiente.

$$m=\frac{-3-6}{4-(-3)}$$

$$m=-\frac{9}{7}$$

Paso 3: Utilizar la ecuación punto pendiente.

$$y-y_{1}=m(x-x_{1})$$
$$y-6=-\frac{9}{7}(x-(-3))$$
$$y-6=-\frac{9}{7}(x+3)$$
$$y-6=-\frac{9}{7}x-\frac{27}{7}$$
$$y=-\frac{9}{7}x-\frac{27}{7}+6$$
$$y=-\frac{9}{7}x+\frac{15}{7}$$

Paso 4: Multiplicar ambos miembros de la ecuación explícita por 7 e igualar a cero.

$$7y=-9x+15$$
$$7y+9y-15=0$$

Resultado: La ecuación general es:

$$7y+9y-15=0$$

Reto de la recta la pendiente y la ecuación explícita y general: demuestra lo que sabes en 6 niveles de desafío

¿Listo para poner a prueba todo lo que sabes sobre la recta, su pendiente y sus ecuaciones? En este reto interactivo de 6 niveles, deberás aplicar tus conocimientos paso a paso, desde lo más sencillo hasta los casos más complejos. 🚀 Cada nivel te reta a pensar, calcular y visualizar cómo cambian las rectas según los datos que se te dan. ¡Demuestra tu habilidad y llega hasta el final del desafío!

Ahora quiero saber cómo te fue con el Reto de la recta. Cuéntame en los comentarios al final del post hasta qué nivel llegaste y qué parte te pareció más difícil o divertida. 🎮 Tu experiencia puede motivar a otros a intentarlo también. ¡Anímate a dejar tu opinión!

Actividades de la recta la pendiente y la ecuación explícita y general

I.Identifica la pendiente y el intercepto con el eje y en cada una de las ecuaciones.

$$4x+1=y$$
$$y=-5x+3$$
$$y=3x-1$$
$$y=-1-8x$$
$$y=1+2x$$
$$y=-8-7x$$

II.Determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto que se indica en el plano cartesiano y que tiene la pendiente indicada en cada caso.

III.Diga si es verdadero o falso las siguientes afirmaciones. Justifica tu respuesta.

🎯Todas las rectas cuyas pendientes son positivas, intersecan al eje y en un punto (0,b) donde b ≥0.

↔️Si la ecuación explícita de una recta es y=b, interseca al eje y en b con pendiente = 0.

✋Todas las rectas x = c no poseen pendiente.

IV.Hallar la ecuación explícita de cada recta que pasa por un punto y tiene pendiente m. Utiliza la ecuación punto pendiente.

A(-2,8); m = 2.

B(-1,7); m = -2.

C(-5,-3); m = 2/3.

V.Calcular las ecuaciones de la recta, el intercepto con el eje y y el punto de corte con el eje x de todas las rectas que forman el triángulo.

VI.Escribe la forma general de las siguientes expresiones de la recta.

$$y=2x+3$$
$$y=7x-5$$
$$y=-3x+10$$
$$y=-\frac{2}{9}x-\frac{9}{5}$$

VI.Escribe la ecuación general de la recta que se muestra en la imagen.

Si buscas resolución de ecuaciones lineales estás en el sitio indicado. ¿Sabías que resolver ecuaciones no es solo cosa de clases aburridas? Si lo sabías, ten en cuenta que también tiene todo que ver con tu vida diaria. Desde calcular cuánto te falta para ahorrar para ese videojuego, hasta repartir de forma justa una pizza entre tus amigos, las ecuaciones están en todas partes. Profundiza en este tema y descubre cómo los números y la incógnita «x» pueden ayudarte a tomar mejores decisiones, resolver problemas reales y hasta ganar ventaja en tus juegos favoritos.

¿Qué es una ecuación?

Donde:

Cada miembro está conformado por términos.

Método de transposición de términos

Es una técnica para solucionar ecuaciones, el cual consiste en desplazar los términos de un miembro al otro cambiando sus signos.

¿Qué es lo primero que debes hacer?

Muy fácil, sólo debes dirigir tu vista a la ecuación, mira la imagen:

1. Observa cada miembro.
2. Identifica qué operaciones y qué signos posee cada término.

¿Cómo se efectúa la transposición de términos?

La transposición consiste en mover términos de un lado de la ecuación al otro, cambiando su operación para mantener la igualdad. Aquí se explica cómo hacerlo según el caso:

I. Si un término está sumando, se traslada al otro miembro restando, sin importar si su signo es positivo o negativo.

x + 5 = 10 ⇒ x = 10 – 5

II. Si el término está restando, se traslada al otro miembro sumando.

x – 5 = 10 ⇒ x = 10 + 5

III. Si un término está multiplicando, pasa al otro miembro dividiendo.

5· x = 10 ⇒ x = 10 ÷ 5

IV. Si el término está dividiendo, pasa al otro miembro multiplicando.

x ÷ 5 = 10 ⇒ x = 10 ·  5

Resolución de ecuaciones lineales

El método de transposición de términos es una forma rápida y sencilla de resolver ecuaciones. Solo necesitas mover los términos de un lado al otro, cambiando la operación. A continuación, verás cómo se aplica este método en diferentes tipos de ecuaciones lineales.

Se sugiere dejar la incógnita en el miembro # 1 de la ecuación y en el miembro derecho los valores conocidos.

Ecuaciones del tipo x + a = b

Estas son las ecuaciones básicas, donde la incógnita es acompañada por el número uno positivo o negativo.

Al solucionar una ecuación la incógnita debe quedar siempre positiva.

$$x-3=8-2$$
Restar los términos semejantes
$$x-3=8-2$$
Transponer el -3
$$x-3=6$$
$$x=6-3$$
$$x=3$$

$$4=2+x$$

Transponer la incógnita al miembro izquierdo y número 4 al miembro derecho

$$-x=2-4$$

$$-x=-2$$

$$x=\frac{-2}{-1}$$

$$x=2$$

Ecuaciones del tipo ax + b = c

Las ecuaciones de este tipo la incógnita está acompañada de un número real mayor o menor que cero.

$$4x-8=12-2$$

$$4x-8=10$$

$$4x=10+8$$

$$4x=18$$

$$x=\frac{18}{4}$$

$$x=\frac{9}{2}$$

$$\frac{3}{4}x-\frac{5}{2}=\frac{2}{3}-4$$

$$\frac{3}{4}x=\frac{2}{3}-4+\frac{5}{2}$$

$$\frac{3}{4}x=-\frac{5}{6}$$

$$18x=-20$$

$$x=\frac{-20}{18}$$

$$x=-\frac{10}{9}$$

$$4=\frac{x}{2}$$

$$x=8$$

Ecuaciones con incógnitas en ambos miembros

Con este tipo de ecuaciones debes transponer los términos con incógnitas al primer miembro y los términos con valores conocidos en el segundo miembro.

$$3x=4+2x$$

$$x=4$$

$$x+13=43-14x$$

$$x+14x=43-13$$

$$15x=30$$

$$x=2$$

Ecuaciones con signos de agrupación

Para resolver estos tipos de ecuaciones que incluyen signos de agrupación debes cumplir lo siguiente:

1. Usar la propiedad distributiva para eliminar los paréntesis.
2. Organizar (transponer) los términos que tienen x al miembro izquierdo.
3. Ejecutar las operaciones.

$$6(2x + 4) + 2 = 10$$
$$12x + 24 + 2 = 10$$
$$12x = 10 – 26$$
$$12x = -16$$
$$x=\frac{-16}{12}$$
$$x=-\frac{4}{3}$$

Ecuaciones lineales con coeficientes decimales

Para resolver estos tipos de ecuaciones debes transformar el número decimal en fracción generatriz.

Ecuaciones lineales con fracciones

En estas ecuaciones las fracciones pueden estar en ambos miembros o simplemente en uno de ellos.

Para resolverlas es recomendable transponer todos los términos con incógnita al primer miembro, y por último aplicar mínimo común múltiplo (m.c.m.). Observa el siguiente ejemplo:

¡A jugar!

¡Es tu turno! Pon en práctica lo que has aprendido resolviendo las ecuaciones en el simulador que encontrarás a continuación.

Y no olvides contarnos en los comentarios qué te pareció la experiencia. ¡Queremos leerte!

Tutorial

Aquí tienes una explicación fácil y rápida.

Actividades: Resolución de ecuaciones lineales

Resuelva las siguientes ecuaciones aplicando el método de transposición de términos.

¿Sabías que los ángulos están en todas partes, incluso en los juegos que más te gustan? Si quieres profundizar en este tema, estás en el lugar indicado. Aquí aprenderás a clasificarlos, lo que te ayudará a comprender mejor el mundo que te rodea, mejorar tu precisión en el fútbol al calcular un tiro a portería, lanzar un triple perfecto en baloncesto o incluso destacar en videojuegos como Rocket League y Minecraft, donde la estrategia y la puntería dependen de la correcta orientación y trayectoria.

¿Qué es un ángulo?

La unidad de medida en el Sistema Internacional es el radián (rad) y en el Sistema Anglosajón es el grado sexagesimal (°).

El instrumento utilizado para medir los ángulos es llamado transportador de ángulos. Su origen remonta por el siglo XVI, fue utilizado por capitanes de barcos.

¿Cómo medir un ángulo con el transportador?

Para medir ángulos con el transportador debe cumplir con los siguientes pasos:

1. Colocar el transportador en el centro del instrumento con el vértice del ángulo.
2. Girar el instrumento y alinearlo con un lado del ángulo hasta que indique 0°.
3. Observar la medida de amplitud que indica en el transportador.

Clasificación de los ángulos

Se pueden clasificar según:

1. Su medida.
2. Su posición y
3. La suma de sus medidas.

Según su medida

Los ángulos según la medida de su abertura son los siguientes:

Según su posición

Los ángulos pueden también clasificarse según cómo se encuentren en el plano, dependiendo cómo estén posicionados y relacionados entre sí. A continuación, ellos son:

Según la suma de sus medidas

Pueden agruparse dependiendo el tipo de relación entre sus medidas. Cuando estos dos ángulos se agrupan, su suma puede provocar dos tipos de ángulos, ellos son:

Propiedades fundamentales de los ángulos

A partir de su clasificación se cumple las siguientes propiedades:

Propiedad 1: Dos ángulos adyacentes son suplementarios.

Propiedad 2: Dos ángulos opuestos al vértice poseen la misma medida angular.

Ejemplo resuelto

En un jardín de un centro comercial, se instala un tobogán cuya base forma un ∠65° con el piso. Para reforzar la estructura, se monta un soporte en línea recta con la base del tobogán. ¿Cuánto mide el ángulo adyacente que forma el soporte con el suelo?

Como se forma un ángulo adyacente, entonces se la suma de ambos ángulos es de 180° por ser suplementarios.

65° + x = 180°

x = 180° – 65°

x = 115°

El ángulo formado por el soporte con el suelo es de 180°.

Actividades

Determina: ∠FAE, ∠DAC y ∠BAF de la imagen a continuación:

Analizar

• Si α es el complemento de un ángulo de 15°. ¿Cuánto mide α?
• Si α = 20° y β = 1/2.α. ¿Cuánto mide el α?¿Cuánto mide el complemento del α?
• Si α = 40° y θ = 1/5.α. ¿Cuánto mide la amplitud de θ?¿Cuánto mide el suplemento del θ?
• Si la amplitud de γ = 20+x  y el ángulo α = 3 + x. ¿Cuánto mide el γ y α si son complementarios?

Diga si es Falso o Verdadero las siguientes afirmaciones. Justifica la respuesta.

• Un ángulo es complemento de otro si es menor de 90°.
• Dos ángulos agudos siempre son complementarios.
• Un ángulo llano es suplemento de un ángulo de 0°.
• Si un ángulo mide 45° su complemento es un ángulo que mide el triple.
• Si un ángulo que mide 90° su suplemento es un ángulo recto.
• Un ángulo agudo puede ser el suplemento de un ángulo obtuso.
• Dos ángulos obtusos no pueden ser suplementarios.
• Un ángulo cóncavo menos un ángulo agudo es llano.

¿Sabías que el Teorema de Thales está presente en muchas situaciones de nuestra vida cotidiana? Desde medir la altura de una torre sin necesidad de subir a ella, hasta diseñar planos arquitectónicos con precisión, esta herramienta permite determinar distancias y proporciones de manera sencilla. Así que, si tienes la curiosidad de calcular dimensiones muy elevadas te invito a que leas este contenido.

¿Qué debes conocer antes de continuar?

¿Quién fue Thales de Mileto?
Fue un filósofo, astrónomo y matemático griego, nacido en Mileto en la antigua Jonia (actualmente Turquía). Sus investigaciones fundamentaron las bases de la geometría euclidiana, atribuyéndosele el célebre Teorema de Thales.

¿Por qué es importante su teorema?
Es una herramienta muy importante en la geometría ya que permite:

• Calcular las longitudes no conocidas en triángulos con una línea paralela.
• Es aprovechado en la trigonometría.
• Su aplicación facilita elaborar construcciones geométricas.
• Demostrar propiedades de semejanzas de triángulos.

¿El teorema de Thales es aplicado solo a un tipo de triángulo?
No, es aplicable a todo tipo de triángulo siempre y cuando exista una paralela.

¿Es aplicable el teorema de Thales en la vida cotidiana?
 Sí, claro es usado en muchísimas áreas como:

• Construcción, usado para calcular alturas inaccesibles.
• Topografía, para determinar distancias lejanas.
• Óptica, para proyectar imágenes proporcionadas.
• Diseño gráfico, para ampliar o reducir imágenes manteniendo sus proporciones.
• Astronomía, ayudó en el cálculo de las alturas de las pirámides y la distancia de astros y constelaciones en la antigüedad.

Primer Teorema de Thales: Aplicado a triángulos

Su enunciado dice lo siguiente:

Si la longitud del lado DE es paralelo con respecto a la longitud AB, entonces: Δ ABC ∼ Δ DEC

Donde el símbolo ∼ su significado es semejante.

El triángulo de color rojo es semejante con el de color azul, debido a que son de la misma forma y de distintos tamaños, por lo tanto, sus ángulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes son proporcionales.

Al trasladar el triángulo azul para que coincida con en el rojo se observa que ambos poseen:

• Un ángulo en común.
• Dos lados coincidentes con el otro triángulo.
• Dos lados no coincidentes con el otro triángulo.

Los lados no coincidentes son los lados paralelos.

Tipos de proporcionalidades

Cuando existe algún lado desconocido debes saber identificar la situación para poder establecer de forma correcta el tipo de proporcionalidad.

Existen tres tipos de proporcionalidades, ellas son:

1. Proporcionalidad de segmentos entre paralelas y lados completo.
2. Proporcionalidad de segmentos, lados completos y paralelas.
3. Proporcionalidad entre segmentos correspondientes.

Proporcionalidad de segmentos entre paralelas y lados completo

Al trazar una paralela en el triángulo, esta interseca dos lados produciéndose segmentos. El significado de segmentos entre paralelas se refiere a segmentos correspondientes entre los lados paralelos.

Los segmentos correspondientes entre paralelas son:

 Los lados completos son:

Al establecer las proporcionalidades queda así:

Ejercicio # 1: Determinar el valor de “x”, si el segmento DE es paralelo con el lado BC.

Como se necesita conocer el segmento “x” entre las paralelas se aplica la proporcionalidad de segmentos entre paralelas y lado completo.

Proporcionalidad de segmentos, lados completos y paralelas

La relación es entre segmento y el lado completo o también entre segmento con su paralela correspondiente.

Ejercicio # 2: Calcula el valor de “x”, si el segmento RT es paralelo con el lado QS.

Se tiene los segmentos y lados paralelos, entonces las razones quedan así:

Ejercicio # 3: Calcula el valor de “x”, si el segmento PT es paralelo con el lado SR.

Se tiene los segmentos y sus lados completos, entonces las razones quedan así:

Proporcionalidad entre segmentos correspondientes

La proporcionalidad se realiza con sus segmentos correspondientes, el ejercicio # 3 es un ejemplo ya que este posee segmentos correspondientes. Observa el procedimiento:

Laboratorio Virtual: Fortalece tus conocimientos

Juega con el paralelismo

¡Llego la hora de jugar! Mueve el botón hacia la izquierda o la derecha y observa cómo el segmento paralelo a uno de los lados del triángulo se desplaza. ¡Descubre lo que sucede en esta actividad interactiva!.

1.)¿Qué sucede con los segmentos de los lados del triángulo cuando el lado paralelo se desplaza?

Resp.____________________________________________________________________________________________

2.)¿Cómo cambia la proporción entre los segmentos de los lados a medida que el segmento paralelo sube o baja?

Resp.___________________________________________________________________________________________

3.)¿El triángulo formado por el segmento paralelo es semejante al triángulo original? ¿Por qué?

Resp.__________________________________________________________________________________________

4.)¿Se mantiene la relación de proporcionalidad entre los segmentos?

Resp.__________________________________________________________________________________________

5.)¿En qué situaciones del mundo real se podría aplicar este principio de proporcionalidad de segmentos en triángulos?

Resp.__________________________________________________________________________________________

Nota: Intenta responderlas; encontrarás las respuestas en la sección de Actividades, parte II.

Dale forma al triángulo y analiza sus cambios

Ahora que ya conoces el teorema de Thales, te invito usar este tablero inteligente, el cual consiste en desplazar los vértices para que adecúes el tipo de triángulo, las dimensiones de los segmentos y los lados encontrados en los cálculos que realizaste.

¿Cómo usar la simulación?

A continuación, lee con mucha atención para que realices una buena practica.

1.Antes de usar el tablero inteligente:

• Observa la imagen y analiza que segmentos y lados necesitas calcular.
• Escribe en tu cuaderno los valores que ya están dados y piensa cómo encontrar los que faltan.
• Recuerda que el Teorema de Thales, las razones entre segmentos deben ser iguales.

2.Interactuando con la simulación:

• Arrastra los vértices del triángulo y observa cómo cambian las longitudes.
• Ajusta los valores según tus cálculos y verifica si la figura se mantiene.
• Si los lados no coinciden, revisa tus cuentas y corrige donde sean necesario.
• Usa el zoom para ver mejor los valores si hay decimales.

3.Después de la simulación:

• Reflexiona: ¿Coincidieron tus cálculos con los valores de la simulación?
• ¿Cómo podrías corregir un error si la figura no coincide con tus cálculos?
• ¿Qué ocurre cuando modificas los vértices?¿Siguen cumpliéndose los proporciones?
• ¿Qué aprendiste sobre el teorema de Thales con esta simulación?
• ¿En qué situaciones de la vida cotidiana crees que este tema es útil?

Actividades

Parte I

1.Determina el valor de “x”

Respuesta: x=6

2.Determina el valor de “x”

Respuesta: x=16

3.Hallar “x”

Respuesta: x=4

4.Calcula “x”

Respuesta: x=30

5.Determine “x”

Respuesta: x=10

6.Un árbol de 14m de altura próximo a un edificio, proyecta una sombra de 24m a la misma hora. Hallar:

• La altura del edificio, si su sombra es de 48m.
• La sombra que refleja el edificio, si su altura es de 70m.

Respuesta:

• 28m
• 120m

Parte II

Respuestas de Juega con el Paralelismo
1.La razón de semejanza se mantiene constante.

2.Cuando:
El segmento paralelo sube, la proporción disminuye.
El segmento paralelo baja, la proporción aumenta.
Siempre se mantiene la semejanza entre los triángulos generados.

3.Sí, el triángulo formado por el segmento paralelo es semejante al triángulo original porque tienen los mismos ángulos, garantizando semejanza por el criterio AA.

4.Sí, la relación de proporcionalidad entre los segmentos se mantiene, ya que los triángulos siguen siendo semejantes en cualquier posición del segmento paralelo, lo que cambia son los valores absolutos de los segmentos, pero no la proporción entre ellos.

5.Las aplicaciones son innumerables. Por ejemplo, se puede determinar la altura de la Torre Phelps, medir la altura de un árbol o calcular la distancia a un punto inaccesible utilizando la proporcionalidad de los triángulos.

Si estás buscando el caso número cuatro de factorización es porque sabes que se trata de diferencia de cuadrados perfectos. Puede verse en los productos notables la suma de dos cantidades multiplicadas por su diferencia es igual al cuadrado del minuendo menos el cuadrado del sustraendo, es decir, (a + b) (a – b) = a² – b², de allí resulta: a² – b².

Es fundamental considerar algunas reglas para factorizar una diferencia de cuadrados. Observa los siguientes ejemplos:

1) Factorar 1 – x²

Determina la raíz cuadrada del primer término, en este caso es 1. Luego, halla la raíz cuadrada de x² es x. Una vez tengas ambas raíces cuadradas conformas dos binomios; donde se obtiene: (1 + x) (1 – x).

2) Factorar a² – b²

Determina la raíz cuadrada del primer término, en este caso es a. Luego, halla la raíz cuadrada de b² es b. Una vez tengas ambas raíces cuadradas conformas dos binomios; donde se obtiene:

(a + b) (a – b)

3) Factorar 16m⁸ – 4n⁸

Determina la raíz cuadrada del primer término 16m⁸, en este caso es 4m⁴. Luego, halla la raíz cuadrada de 4n⁸ es 2n⁴. Una vez tengas ambas raíces cuadradas conformas dos binomios; donde se obtiene:

(4m⁴ + 2n⁴) (4m⁴ – 2n⁴)

4) Factorar 64x² – 4y²

Determina la raíz cuadrada del primer término 64x², en este caso es 8x. Luego, halla la raíz cuadrada de 4y² es 2y. Una vez tengas ambas raíces cuadradas conformas dos binomios; donde se obtiene:

(8x + 2y) (8x – 2y)

5) Factorar p⁴ – q²

Determina la raíz cuadrada del primer término: p⁴, en este caso es: p². Luego, halla la raíz cuadrada de q² es q. Una vez tengas ambas raíces cuadradas conformas dos binomios; donde se obtiene:

(p² + q) (p² – q)

6) Factorar a⁸ – 4b⁸

Determina la raíz cuadrada del primer término a⁸, en este caso es a⁴. Luego, halla la raíz cuadrada de 4b⁸ es 2b⁴. Una vez tengas ambas raíces cuadradas conformas dos binomios; donde se obtiene:

(a⁴ + 2b⁴) (a⁴ – 2b⁴)

Actividades para resolver diferencias de cuadrados

I. Resuelve los siguientes ejercicios aplicando diferencia de cuadrados:

1. a² – 4b²
2. 25x⁸ – 4y⁸
3. m² – 4n⁸
4. x⁴ – 4y⁴
5. x⁸ – y⁸
6. p² – 64q²
7. 16a⁸ – 4b⁸
8. x² – 4y⁸
9. m⁸ – 16n⁸
10. f⁸ – g⁸

Ahora que ya sabes cómo solucionar el caso número cuatro de factorización diferencia de cuadrados no olvides poner en práctica lo aprendido resolviendo las actividades que aquí te dejo. Será una gran experiencia practicar y aprender mucho más.

Consejos para resolver diferencia de cuadrados

Si eres de los estudiantes que se siente angustiado al momento de resolver casos de factorización, en especial diferencia de cuadrados, es recomendable que sigas las siguientes recomendaciones:

• Dominio de las operaciones básicas de potenciación y radicación: Es fundamental dominar muy bien temas de potenciación y conocer acerca de la extracción de radicales.
• Seguir el paso a paso: esto te ayudará a realizar de manera efectiva los ejercicios planteados.
• Practicar y practicar: es recomendable que trabajes en los ejercicios planteados y los resuelvas.
• Toma al menos 30 minutos diarios para resolver cada caso.

Tutorial Diferencia de Cuadrados

¿Sabes qué es el cuadrado trinomio perfecto? El caso número tres de factorización es uno de los más utilizados al momento de resolver problemas matemáticos. Un caso muy fácil de resolver, pero que es importante que tengas base en las operaciones básicas como potenciación y radicación.

¿Cómo saber que es cuadrado trinomio perfecto?

Una cantidad es cuadrado perfecto cuando es el cuadrado de otra cantidad. Es decir, cuando es el producto de dos factores iguales. Esto significa que 4a² es cuadrado perfecto porque es el cuadrado de 2a. Esto es en efecto: (2a)²= 2a × 2a= 4a² y 2a, que multiplicada por sí misma resulta 4a².

Observa que (-2a)² = (-2a) . (-2a) =4a²; luego, -2a es también la raíz cuadrada de 4a². Esto quiere decir, que la raíz cuadrada de una cantidad positiva tiene dos signos, + y –.

¿Cómo hallar la raíz cuadrada de un monomio?

Para hallar la raíz cuadrada de un monomio se extrae la raíz cuadrada de su coeficiente y se divide el exponente de cada letra por 2, así la raíz cuadrada de 9 a²b⁴ es 3ab² porque (3ab²) = 3ab² × 3ab² = 9 a²b⁴.

Por ejemplo, la raíz cuadrada de 36x⁶y⁴ es 6 x³y²

Por otro lado, un trinomio es cuadrado perfecto cuando es el cuadrado de un binomio, o sea, el producto de dos binomios iguales.

Ejemplo:

a² + 2ab +b² es cuadrado perfecto porque es el cuadrado de a + b. En efecto:

(a + b)² = (a + b) (a + b) = a² + 2ab +b²

De la misma manera, (2x + 3y)²= 4x² + 12xy +9y² luego, es un trinomio cuadrado perfecto.

Ejercicios resueltos: Cuadrado trinomio perfecto

1)Descomponer 9x² + 12x + 4 =

Paso #1 Hallar la raíz cuadrada del primer término y del tercer término:

Paso #2: Como puedes ver, al multiplicar el doble del primer término por el tercer término obtienes el segundo término, se comprueba que es un trinomio cuadrado perfecto. Se plantea el resultado:

(3x + 2)²

2)Descomponer 4x² + 12x + 9=

Paso #1: Hallar la raíz cuadrada del primer término y del tercer y término:

Paso #2: Como puedes ver, al multiplicar el doble primer término por el tercer término obtienes el segundo término, se comprueba que es un cuadrado perfecto. Se plantea el resultado:

(2x + 3)²

3)Descomponer x² – 6x + 9=

Paso #1: Hallar la raíz cuadrada del primer término y del tercer y término:

Paso #2: Como puedes ver, al multiplicar el doble primer término por el tercer término obtienes el segundo se comprueba que es un cuadrado perfecto. Se plantea el resultado:

(x – 3)²

4)Descomponer 16m² – 24m + 9=

Paso #1: Hallar la raíz cuadrada del primer término y del tercer y término:

Paso #2: Como puedes ver, al multiplicar el doble del primer término por el tercer término obtienes el segundo, se comprueba que es un cuadrado perfecto. Se plantea el resultado:

(4m – 3)²

Como puedes ver, es muy fácil saber cuando es cuadrado trinomio perfecto, solo debes seguir los pasos y poner manos a la obra. A continuación, aquí tienes algunas actividades para que practiques el tema visto. Además, aquí tienes el tutorial que te ayudará a reforzar tus clases de matemáticas.

Actividades de cuadrado trinomio perfecto

I. Factorizar utilizando el cuadrado trinomio perfecto:

1. x² + 6x +9 =
2. 4m²– 8m +4=
3. 121y²+ 44y + 4=
4. 25x²– 60x + 36=
5. x² + 10x +25 =

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¿Estás buscando el caso # 2 de factorización? Si es así, has llegado al lugar correcto, aquí podrás ver paso a paso el factor común por agrupación de términos. Este caso es fundamental para resolver operaciones algebraicas, sin duda alguna debes manejarlo para poder avanzar en el proceso de cualquier problema.

Para comenzar con este tema, iniciaremos con un problema planteado a continuación:

Ejemplo #1: Factorar am+ bm + an + bn

Al observar el ejercicio planteado se tiene que los dos primeros términos tienen una variable en común, esta es la variable “m”. Y los dos últimos términos el factor común “n”. Quedando de la siguiente manera:

Paso #1 Agrupar en paréntesis y los dos últimos en otro precedido del siglo + porque el tercer término tiene el signo + porque el tercer término tiene el signo + donde se obtiene:

Paso #2 Procedes a extraer la variable común con el menor exponente en ambos binomios, en el primer binomio encuentras “m” como variable y en el segundo binomio encuentras la variable “n”

Paso #3 Luego, procedes a dividir cada término entre el factor común, es decir: am/m quedando “a” y bm/m quedando como resultado “b”. Para el segundo binomio realizas el mismo proceso an/n resultando 1 y bn entre resulta b.

Paso #4 Una vez tienes los factores, agrupas términos semejantes. El resultado final es: (m +n) (a+b)

(am + bm) + (an + bn)

=m (a + b) + n (a + b)

= (m+ n) (a+ b)

Ejemplo #2: Factorar 3m² – 6mn + 4m -8n

Paso # 1: Agrupar los términos semejantes dentro de paréntesis, es decir:

(3m² – 6mn) +( 4m -8n)

Paso # 2: Hallar el factor común de los dos primeros términos: 3m²– 6mn. Para ello, determinar el máximo común divisor (MCD) de los coeficientes (3, 6). Ten en cuenta que para hacerlo debes hacer el procedimiento, esto es:

• Descomponer ambos números en sus factores primos y luego buscar el número máximo que divide a ambas cifras.

Esto significa que el máximo común divisor es 3. Luego, buscas las variables comunes con el menor exponente, en este caso es: m

Quedando de la siguiente manera:

3m

Paso # 3: Luego, procedes a dividir cada término del binomio 3m² – 6mn entre el máximo común divisor “3” quedando de la siguiente manera:

3m (m- 2n)

Paso # 4: Realizar el mismo proceso con los últimos dos binomios, es decir: (4m -8n). Para ello, hallar el máximo común divisor entre 4 y 8 = 4. En el caso de las variables, no hay ninguna común.

Paso # 5: Luego, procedes a dividir cada término del binomio 4m – 8n entre el máximo común divisor “4” quedando de la siguiente manera:

4 (m- 2n)

Paso # 6: Luego, agrupas ambos binomios factorizados:

3m (m- 2n) + 4 (m- 2n) =

Paso # 7: Por último, aplicas factor común:

(m-2n) (3m + 4)

Ejercicios planteados de factor común por agrupación de términos

• Factorar o descomponer en dos factores.

1. a²+ ab + ax+ bx
2. am – bm +an -bn
3. ax – 2bx -2ay +4by
4. a²x² -3bx² +a²y² -3by²
5. 4a ³ -1 – a² +4ª
6. x+ x² -xy² – y²
7. 6ax +3a + 1 +2x
8. 3x³ -9ax² -x +3ª
9. 1 +a + 3ab +3b
10. n² x – 5a²y²– n²y²+ 5 a²x

Tutorial para que te ayudes con el contenido:

Ahora que ya sabes cómo hallar el factor común por agrupación  de términos ya puedes practicar lo aprendido realizando ejercicios práctico. No olvides compartir y comentar este post.

¿Sabías que el factor común corresponde al primer caso de factorización? Seguramente cuando te hablan de casos de factorización te aterras porque no los conoces. En este post verás lo fácil que son estos casos, comenzaremos con factor común que corresponde al caso #1. Este primer caso consiste en identificar el Máximo Común Divisor (MCD) de los coeficientes de los términos y las variables comunes con su menor exponente.  

En la vida cotidiana en muchas situaciones se presentan casos de factor común, como, por ejemplo, cuando relacionamos amigos o compañeros de estudios que tienen ciertos rasgos físicos o comportamientos similares.

¿Qué es el factor común?

Es una expresión algebraica de dos o más términos. Se utiliza en algebra para simplificar expresiones o resolver ecuaciones. Puede darse dos casos de factor común:

Factor común numérico:

En este caso si tienes los números 12 y 18, los factores comunes son los divisores que comparten ambos números. Entonces, sería que los divisores de 12 son 1, 2, 3, 4, 6, 12 y los divisores de 18 son 1,2, 3, 6, 9, 18. Estos factores comunes son 1, 2, 3, y 6. Es decir, que el máximo factor común (MCD) es el mayor de estos, en este caso es 6.

Factor común algebraico:

Esta expresión algebraica como 4m + 8 mn, el factor común es 4m, porque 4 es el MCD entre 4 y 8 y m es la variable común en ambos términos. Quedando factorizada de la siguiente manera:

4m + 8mn = 4m (1+ 2n)

¿Para qué se usa el factor común?

Se usa para resolver ecuaciones y simplificar expresiones, debido a que permite disminuir la complejidad de las operaciones matemáticas.

Ejercicios resueltos: Caso #1 Factor común

• a + ab= a (1 + b)
• 16mn + 8n = 8n (2m + 1)
• 10 xy – 5y = 5y (2x – 1)
• 8 x² – 2x = 2x (4x – 1)
• 10 m⁴ + 5m = 5m (2m³ + 1)
• 20 p – 4 sp = 4p (5 –  s)
• 14 kl – 7 k = 7k (2l – 1)
• 20 t + 10 = 10 (2t + 1)
• 100 np + 50p = 50p (2n + 1)
• 30 xy +15y = 15y (2x + 1)

Ejercicios de factor común de expresiones algebraicas de más de dos términos

1. x² + 3xy – 9x = x (x + 3y – 9)
2. 12m⁴n– 9m³n² + 3mn = 3mn (4m³ – 3m²n +1)
3. 45 xy³+ 15y² – 3y= 3y (15xy² + 5y – 1)
4. 40 pq – 20p + 4 pqr= 4p (10q – 5p + qr)
5. 15 st + 5stu + stu = st (15 + 5u + u)
6. 5 xyz + 15 xyz + 25 xy= 5 xy (z + 3z + 5)
7. 16 mnñ + 4ñ + 2mnñ = 2ñ (8mn + 2 + mn)
8. 10 xm + 5xm + 5m= 5 m (2x + x + 1)
9. 30 km + 10 k²m – 2 k³m²= 2 km (15+ 5k – k²m)
10. 18 pq² + 4 p³q³– 2pq= 2pq (9q + 2p²q² – 1)

Ahora que conoces lo que es factor común, te invito a reforzar tus conocimientos con la práctica de ejercicios, también te invito a ver el tutorial en nuestro canal de YouTube. No olvides comentar y compartir este post con tus amigos, además nos estás ayudando a llegar a más personas.