10ºGrado

¿Sabías que los ángulos coterminales están presente en muchos objetos y situaciones que ves a diario? Desde el giro de las manecillas de un reloj hasta los movimientos en tu videojuego favorito, los ángulos coterminales están por todas partes. Comprender qué es un ángulo coterminal te permitirá reconocer patrones de rotación, medir desplazamientos y entender mejor el mundo que te rodea.

Un ángulo en trigonometría es la rotación de una semirrecta sobre su punto de origen o vértice. La posición de inicio de la semirrecta se llama lado inicial, mientras que la semirrecta girada en posición final se llama lado final .

En la figura se muestra el ángulo , que tiene como vértice el punto B , lado inicial es y lado final es .

El ángulo , también puede ser llamado .

¿Qué son los ángulos coterminales?

Dos ángulos son coterminales cuando comparten el mismo lado inicial y el mismo lado final, aunque difieran en su medida por una o más vueltas completas. En otras palabras, ocupan la misma posición en el plano cartesiano, aunque uno sea positivo y el otro negativo.

El segmento es el lado inicial de ambos ángulos, aquí inicia la abertura de los dos ángulos, partiendo desde el I cuadrante, uno de sus ángulos tiene un valor de 150° y es positivo, ya que el giro lo realizó en el sentido contrario de las manecillas del reloj, ubicando el lado final del ángulo en el II cuadrante.

El otro ángulo de 210° es negativo, ya que el giro fue efectuado en el sentido de las manecillas del reloj, es decir, hacia la derecha, llegando el lado final del ángulo hasta el II cuadrante, vea que ambos ángulos llegan a coincidir en el mismo lado final , esto es lo que se conoce como ángulos coterminales.

¿Cómo se calculan los ángulos coterminales?

Los ángulos coterminales pueden calcularse de dos formas:

• Analíticamente y
• Gráficamente.

Para determinar si dos ángulos son coterminales de forma analítica, es muy importante identificar su posición.
Una vez reconocida, se procede a realizar el cálculo correspondiente para comprobar si coinciden.

La forma gráfica es muy sencilla ya que consiste en dibujar dos ángulos en el plano cartesiano partiendo del mismo origen, si sus lados finales coinciden son coterminales.

Consideraciones para calcular ángulos coterminales de forma analítica

Si necesitas conocer la existencia de ángulos coterminales es muy importante tener en cuenta:

I.Cuando existe ángulos positivo y negativo. Al ángulo negativo se le suma 360°.

II.Cuando existe ángulos mayores de 360°. Primero se reduce el ángulo al primer cuadrante, dividiéndolo entre 360° y el resultado del residuo o resto es el ángulo que debes comparar.

III.Cuando existe ángulos en radianes y en grados sexagesimal. En este caso debes transformar el ángulo en radianes a grados sexagesimales o de grados sexagesimales a radianes.

Solución:

Al ángulo negativo, se le suma 360°

β = -50°

– 50° + 360° = 310°

Observa que el resultado es el mismo valor que el ángulo α = 310°, entonces son coterminales.

310°=310°

Solución:

Al ángulo negativo se le suma 360°.

α = -110°

-110°+360° = 250°, pero este resultado es distinto al ángulo β = 80°. No son coterminales.

250° ≠ 80°

Solución:

Como existe un ángulo mayor de 360°, se divide entre 360°.

El resultado del residuo es 120°, al compararlo con el ángulo β = 120° se pueden apreciar que son coterminales.

α  = β =120° = 120°

Solución:

Como existe un ángulo mayor de 360°, se debe divide entre 360°.

El resultado del residuo es 0°, al compararlo con el ángulo β = 60° se pueden apreciar que no son coterminales.

α  ≠ β

720° ≠ 60°

Solución:

Como son ángulos expresados en distintos sistemas, se debe transformar a uno de ellos.

En este ejemplo se selecciona al ángulo expresado en radianes para llevarlo a grados sexagesimales.

Se observa que el ángulo α = 108° igual al ángulo β = 108°, por lo tanto son coterminales.

α = β

¿Cómo grafico ángulos coterminales?

Es muy fácil solo debes hacer lo siguiente:

Uno. Dibujar el plano cartesiano

Dos. Dibujar los ángulos partiendo del eje «x» y marcar su lado final según la amplitud.

Tres. Comparar los lados finales. Si los lados finales son iguales, los ángulos son coterminales.

Solución:

α = 270° es la trayectoria angular azul. Efectuó menos de 1 vuelta.

β =990° es la trayectoria angular rojo. Efectuó más de 2 vueltas.

El ángulo de -90° es la trayectoria angular negro. Efectuó menos de 1 vuelta.

Los tres ángulos de posición normal poseen los mismos lados finales, por lo tanto son coterminales.

Actividades:

Determine analíticamente y gráficamente si cada grupo de ángulos son coterminales:

1°) 165° y 11π/12

2°) 125° y -215°

3°) 325° y -105°

4°) 295° y -65°

5°) -120° y 4π/3

6°) 135° y 3π/4

7°) 50° y -215°

8°) -15° y 345°

9°) π/2 y 85°

10°) 355° y -5°

Relacionar cada ángulo de la gráfica con su ángulo coterminal

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¿Sabes cómo determinar el dominio de una función?

Antes de aprender a calcularlo, es fundamental comprender qué significa. El dominio de una función es el conjunto de valores de la variable independiente 𝑥 para los cuales la función está definida. Dicho de otra manera, corresponde al primer valor de cada par ordenado, y gráficamente se ubica sobre el eje de las abscisas o eje 𝑥.

Para relacionar este concepto con la vida diaria, conozcamos a don Raúl, un abuelito que vive con su nieto y ambos trabajan vendiendo jugo de caña. Él me cuenta su rutina:

1. Va al campo donde tiene sembrada la caña.
2. Corta la caña.
3. Troza la caña de azúcar en pedazos pequeños.
4. Pela cada pedazo.
5. Introduce los trozos en la máquina exprimidora.
6. Finalmente, obtiene el delicioso jugo de caña.

Ahora bien, observa la imagen del paso 4: cada trozo de caña de azúcar representa un elemento del dominio. Es decir, el dominio es como el conjunto de todos esos trozos, los cuales permiten obtener el resultado final de la función.

Dominio de una función gráficamente

A continuación, observa la siguiente imagen donde se puede mostrar el dominio de una función:

Para poder representar gráficamente esa curva, se  sustituyen los valores arbitrarios de “x” en la función dada, estos valores son pertenecientes al dominio o conjunto de partida.

En la imagen anterior la curva de color verde viene del – ∞ y se va hacia el + ∞ del eje “x”, esto quiere decir que el dominio de esta función son todos los valores del eje “x”, es decir, todos los números reales ℜ.

Definición

El dominio en un diagrama sagital pertenece al conjunto de partida y en una representación gráfica está ubicado en el eje “x” del plano cartesiano.

Ejemplo:

Determina el dominio del siguiente conjunto de pares ordenados: f = {(1,5),(2,7),(3,9),(4,11),(5,13)

Nota: Ten en cuenta que el dominio es el conjunto de partida, también es el primer número de cada par ordenado.

Respuesta: El dominio de la función es:

Dom(f) = { 1,2,3,4,5}

Función definidas

Una función está definida cuando el conjunto de los números reales ℜ son utilizados en el conjunto de partida o en el Dominio y el único conjunto de números que pueden estar en el conjunto de llegada o Rango son los números reales ℜ.

Restricciones del dominio

La restricción del dominio ocurre cuando ciertos valores de la variable independiente 𝑥 provocan que la función no tenga un resultado válido para la variable dependiente 𝑦. En otras palabras, son los casos en los que la función se vuelve indefinida o no pertenece a los números reales. En este post se mencionará tres tipos.

Ejemplo de cada restricciones

Restricción # 1

Cuando existen raíces de índices pares de un número negativo.

Ejemplo: Dada la función \(f(x)=\sqrt{x}\)  este tipo de expresión la raíz es de índice par y no está definida para valores negativos, observe:

Restricción # 2

Fracciones donde se anula el denominador.

 Ejemplo # 3: Dada la función \(f(x)=\frac{1}{x-3}\)  este tipo de expresión no está definida para cuando x = 3.

Restricción # 3

Fracciones donde se anulan el denominador y con raíces de índices par en el numerador.

Ejemplo: Dada la función \(f(x)=\frac{\sqrt{x-1}}{x^{2}-9}\) no está definida para valores negativos por estar una raíz de índice par, tampoco está definida cuando x = 3 en el denominador

Determinar el dominio con restricción

Restricción # 1: Raíces con índices pares

Para que la función esté definida es necesario que la cantidad subradical sea mayor o igual a cero, es decir, resolverla a través de una inecuación.

Ejemplo: Determinar el dominio de la función:

$$f(x)=\sqrt{5x-3}$$

Observa la gráfica

Restricción # 2: Fracciones donde se anula el denominador

Para que la función esté definida es necesario que el denominador sea distinta a cero.

Ejemplo # 1: Determine el dominio de la función:

$$f(x)=\frac{1}{x-6}$$

Observa la gráfica:

Ejemplo # 2: Determine el dominio de la función

$$f(x)=\frac{2x+3}{x^{2}-6x-7}$$

Paso # 1: Expresar el denominador distinto a cero.

$$x^{2}-6x-7\neq 0$$

Paso # 2: Factorizar la expresión o aplicar la resolvente.

$$(x+1)(x-7)\neq 0$$

Paso # 3: Obtener el valor de “x”

$$x+1\neq 0$$
$$x\neq -1$$
$$x-7\neq 0$$
$$x\neq 7$$

Paso # 4: Construcción de la tabla de valores

Observa que en x = –1 y en x = 7 la función se hace indefinida, por lo tanto la curva no pasa por ellos.

Paso # 5: Gráfica

Paso # 6: Cálculo del dominio.

Entonces la variable puede tomar cualquier valor real menos del -1 y del 7. Entonces el dominio es:

$$D_{f}=(-\infty ,-1)\cup (-1,7)\cup (7,\infty )$$

Restricción # 3: Fracciones donde se anula el denominador con raíces de índices par

Este caso la variable se encuentra como cantidad subradical en una raíz de índice par y también en el denominador.

Ejemplo # 8: Determine el dominio de la función

$$f(x)=\frac{\sqrt{4x+3}}{7-x}$$

1 Resolver el numerador

$$4x+3\geq 0$$
$$x\geq -\frac{3}{4}$$

2 Resolver el denominador:

$$x\neq 7$$

4 Entonces el dominio de la función es:

$$D_{f}=\left [ -\frac{3}{4},\infty \right )\cup (7,\infty )$$

5 Construcción de la tabla de valores.

Para graficar lo primero es crear la tabla de valores, tomando en cuenta el valor mínimo del dominio de la función.

En este caso

valor mínimo :  -3/4

1. Construcción de la gráfica.

Actividades

Determinar el dominio de cada una de las siguientes funciones mencionando si existe o no restricciones

$$1.) f(x)=\sqrt{x-5}$$

$$2.) f(x)=\sqrt{2x+7}$$

$$3.) f(x)=\sqrt{9-x^2}$$

$$4.) f(x)=\frac{1}{x-4}$$

$$5.) f(x)=\frac{x+2}{x^2-9}$$

$$6.) f(x)=\frac{3x}{x^2+2x-15}$$

$$7.) f(x)=\frac{\sqrt{x+1}}{x-2}$$

$$8.) f(x)=\frac{\sqrt{2x-3}}{x^2-16}$$

$$9.) f(x)=\frac{\sqrt{5-x}}{x^2-1}$$

$$10.) f(x)=\frac{\sqrt{x^2+4x}}{x+7}$$

Soluciones:

$$1.) D=[5,\infty)$$

$$2.) D=\left[-\tfrac{7}{2},\infty\right)$$

$$3.) D=[-3,3]$$

$$4.) D=\mathbb{R}\setminus{4}$$

$$5.) D=\mathbb{R}\setminus{-3,3}$$

$$6.) D=\mathbb{R}\setminus{-5,3}$$

$$7.) D=[-1,\infty)\setminus{2}$$

$$8.) D=\left[\tfrac{3}{2},\infty\right)\setminus{-4,4}$$

$$9.) D=(-\infty,5]\setminus{-1,1}$$

$$10.) D=(-\infty,-4]\cup[0,\infty)\setminus{-7}$$