9ºGrado

¿Sabías que las medidas de posición no central son esenciales para interpretar cómo se distribuyen los datos en una población?

Cuando analizas calificaciones, tiempos deportivos o resultados de encuestas, no basta con conocer el promedio; también importa en qué lugar se encuentra un valor respecto a los demás.

Las medidas de posición no central, como los cuartiles, deciles y percentiles, nos permiten identificar esa posición relativa, ayudándonos a entender si un resultado está entre los más bajos, promedio o destacados.

En esta guía aprenderás qué son, cómo calcularlas paso a paso para datos agrupados y cómo interpretarlas correctamente en situaciones reales.

Medidas de localización

Concepto

Las medidas de localización, también conocidas como medidas de posición, son herramientas estadísticas que permiten comprender y describir dónde se sitúan las observaciones dentro de un conjunto de datos.

Clasificación

Las medidas de localización como se sabe son estadísticos que indican la posición de los datos dentro de una distribución.

Su finalidad es ubicar valores representativos o puntos de referencia que describen cómo se distribuyen los datos.

Se clasifican en dos grandes grupos: Medidas de tendencia central y medidas de posición no central.

Medidas de Tendencia Central

Las medidas de posición central dividen el conjunto de datos en dos partes iguales, e indican el valor que representa el centro o punto medio de un conjunto de datos.

Su intención es resumir el conjunto con un solo valor representativo, mostrando hacia dónde tienden los datos.

Medidas de posición no central

Son utilizados para determinar qué tan alto o bajo está un valor respecto al total dividiendo al conjunto de datos en más de dos partes iguales.

Medidas de Posición No Central

También son llamados Cuantiles, estas medidas como ya se sabe tienen la función de dividir un conjunto de datos en más de dos partes iguales. Para ello, es indispensable que las observaciones se encuentren ordenadas de forma ascendente. Su utilidad radica en que permiten identificar la distribución de los datos en diferentes segmentos, ofreciendo una visión más detallada de su comportamiento.

Clasificación

Las medidas de posición no central se clasifican en:

1. Cuartiles,
2. Deciles y
3. Percentiles.

Cuartiles (Q)

Son tres valores (Q₁, Q₂ y Q₃) que dividen un conjunto de datos ordenados en cuatro partes iguales.

Esto genera cuatro segmentos de datos, cada uno con una proporción similar de elementos, lo cual permite identificar la distribución de los datos en diferentes rangos.

Q₁ (Primer Cuartil): Es el valor por debajo del cual se encuentra el 25% de los datos.

Q₂ (Segundo Cuartil): Valor por debajo del cual se encuentra el 50% de los datos. El Cuartil 2 siempre coincide con la mediana (Q₂ = M_e)

Q₃ (Tercer Cuartil): Representa el valor por debajo del cual se encuentra el 75% de los datos.

Fórmula

Para calcular los cuartiles cuando se dispone de una tabla de distribución de frecuencias con datos agrupados en intervalos, es necesario determinar primero su posición utilizando la siguiente expresión:

$$P=\frac{n\cdot k}{4}$$

Y finalmente se calcula  el Cuartil Q_k para datos agrupados:

$$Q_{k}=L_{i}+\frac{\frac{n\cdot k}{4}-F_{i-1}}{f_{i}}\cdot a$$

Donde:

k = Cuartil que se desea hallar, su valor es 1, 2 o 3.

L_I = Límite inferior del intervalo representativo.

f_I = Frecuencia absoluta del intervalo.

F_I-1  = Frecuencia absoluta acumulada anterior a la frecuencia absoluta acumulada al intervalo representativo.

a = Amplitud de cada intervalo.

Deciles (D)

Son nueve valores (D₁, D₂,…,D₉) que dividen un conjunto de datos ordenados en forma ascendente en diez partes iguales.

Esta situación crea 10 segmentos de datos, cada uno conteniendo una proporción similar de elementos, permitiendo una identificación más granular de la distribución de los datos.

D₁ (Primer Decil): Es el valor por debajo del cual se encuentra el 10% de los datos.

D₂ (Segundo Decil): Es el Valor por debajo del cual se encuentra el 20% de los datos. El Cuartil 2 siempre coincide con la mediana (D₂ = M_e)

D₉ (Noveno Decil): Constituye el valor por debajo del cual se encuentra el 90% de los datos.

Fórmula

Para determinar  el Decil D_k para datos agrupados, debes aplicar la siguiente expresión:

$$D_{k}=L_{i}+\frac{\frac{n\cdot k}{10}-F_{i-1}}{f_{i}}\cdot a$$

Donde:

k = Decil que necesitas encontrar, su valor es 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9.

Percentiles (P)

Son noventa y nueve valores (P₁, P₂, P₃, P₄, P₅,…, P₉₉) que tienen como finalidad dividir el conjunto de datos en cien partes iguales.

Cada una de estas partes contiene aproximadamente el mismo porcentaje de observaciones, proporcionando una visión extremadamente detallada de la distribución de los datos.

P₁ (Primer Percentil): Define el valor por debajo del cual se encuentra el 1% de los datos.

P₁₀ (Décimo Percentil): Indica el valor por debajo del cual se encuentra el 10% de los datos (El Percentil 10  coincide con el Decil 1 (P₁₀ = D₁)

P₂₅ (Vigésimo quinto Percentil): Es el valor que marca el límite inferior para el 25% de los datos (concuerda con el Primer Cuartil, Q₁) .

P₅₀ (Quincuagésimo Percentil): Es el valor central, por debajo del cual se encuentra el 50% de los datos. Este percentil coincide con la mediana, el segundo Cuartil (Q₂) y el quinto Decil (D₅).

P₇₅ ​(Septuagésimo Quinto Percentil): Representa el valor por debajo del cual se encuentra el 75% de los datos (coincide con el Tercer Cuartil, Q₃).

P₉₉ (Nonagésimo Noveno Percentil): Es el valor por debajo del cual se encuentra el 99% de los datos.

Fórmula

La fórmula para calcular el percentil P_k es la siguiente:

$$P_{k}=L_{i}+\frac{\frac{n\cdot k}{100}-F_{i-1}}{f_{i}}\cdot a$$

Tiempo en responder correos electrónicos

Solución

n = 100 (Total de datos)

a = 10 (Amplitud del intervalo de clase)

Cálculo de los Cuantiles

A continuación, el cálculo del Percentil 73, Cuartil 3 y Decil 2.

Percentil (P₇₃) y su interpretación

Cálculo de la posición:

$$P=\frac{100\cdot 73}{100}=73$$

En la columna de frecuencia absoluta acumulada se ubica el valor ≥ 73, de esta forma se puede determinar el intervalo del Percentil 73 que es = [20 – 30).

Calculo del P₇₃ :

$$P_{73}=20+\frac{73-40}{35}\cdot 10$$

$$P_{73}=20+\frac{33}{35}\cdot 10$$

$$P_{73}=20+0,9428\cdot 10$$

$$P_{73}=20+9,428$$

$$P_{73}=29,428\,minutos$$

Interpretación: El 73% de los empleados tarda 29,428 minutos o menos en responder a los correos de los clientes.

Cuartil 3 (Q₃) e interpretación

Posición:

$$P=\frac{100\cdot 3}{4}=75$$

Con el valor de la posición se busca en la columna de frecuencia absoluta acumulada el valor ≥ 75. Por lo tanto, el intervalo del Cuartil 3 es = [20 – 30).

Q₃ :

$$Q_{3}=20+\frac{75-40}{35}\cdot 10$$

$$Q_{3}=20+\frac{35}{35}\cdot 10$$

$$Q_{3}=20+1\cdot 10$$

$$Q_{3}=20+10$$

$$Q_{3}=30\,minutos$$

Interpretación: El 75% de los empleados tarda 30 minutos o menos en responder a los correos. Esto significa que el 25% de los empleados más rápidos (Q1) tarda 30 minutos o menos, y el 25% restante tarda más de 30 minutos (ubicados entre el valor de Q₃ y el valor máximo)

Cálculo e interpretación del Decil 2 (D₂)

Posición:

$$P=\frac{100\cdot 2}{10}=20$$

Según la posición (P=20), el intervalo del Decil 2 es = [10, 20)

D_2:

$$D_{2}=10+\frac{20-15}{25}\cdot 10$$

$$D_{2}=10+\frac{5}{25}\cdot 10$$

$$D_{2}=10+0,2\cdot 10$$

$$D_{2}=10+2$$

$$D_{2}=12\,minutos$$

Interpretación: El 20% de los empleados tarda 12 minutos o menos en responder a los correos, es decir, son este 20% es grupo.

Actividades

Parte I: Completa la tabla de distribución de frecuencias y calcule los cuantiles a continuación:

• Percentil 5, 36, 78, 96
• Cuartiles 1, 2.
• Deciles 3, 9

Parte II. Lea atentamente y seleccione la opción correcta:

1.¿Cuál de las siguientes medidas de localización es la más sensible a los valores atípicos (outliers) en un conjunto de datos?

1. Mediana
2. Moda
3. Cuartil 1
4. Media Aritmética
5. Percentil 50

2.Si en un conjunto de datos el segundo cuartil (Q₂) es igual al percentil 50 P₅₀ y también al decil 5 (D₅), ¿a qué otra medida de tendencia central fundamental coincide siempre?

1. Moda
2. Media Aritmética
3. Rango
4. Mediana
5. Desviación Estándar

3.Una empresa de juguetes registra las edades de los niños a los que van dirigidos sus productos. Si el Decil 7 (D₇) de las edades es 8 años, ¿qué significa esto?

1. El 7% de los niños tiene 8 años o menos.
2. El 70% de los niños tiene 8 años o más.
3. El 30% de los niños tiene 8 años o menos.
4. El 70% de los niños tiene 8 años o menos.
5. El 8% de los niños tiene 7 años o menos.

4.Para calcular un cuantil (como un cuartil o percentil) en una tabla de distribución de frecuencias de datos agrupados, ¿cuál es el primer paso indispensable antes de aplicar la fórmula?

1. Calcular la media aritmética de los datos.
2. Determinar la desviación estándar del conjunto.
3. Ordenar los datos de forma descendente.
4. Hallar la posición del cuantil deseado.
5. Identificar la moda de la distribución.

5.En una distribución de datos perfectamente simétrica y unimodal (como la distribución normal), ¿qué relación se cumple entre sus medidas de tendencia central?

1. Moda < Mediana < Media
2. Media < Mediana < Moda
3. Moda = Mediana = Media
4. Mediana = 0 y Media = 0
5. Solo la Media y la Mediana son iguales, la Moda es diferente.

Parte III. Contesta Verdadero o Falso las siguientes afirmaciones:

1.Las medidas de localización solo incluyen la media, la mediana y la moda.

1. Verdadero.
2. Falso.

2.Si el Cuartil 2 (Q2) de un conjunto de datos es 15, significa que el 25% de los datos es igual o menor a 15.

1. Verdadero.
2. Falso.

3.En una distribución de datos simétrica, la media, la mediana y la moda siempre coinciden en el mismo valor.

1. Verdadero.
2. Falso.

4.Un «outlier» (valor atípico) es un punto de dato que se desvía significativamente del resto de los datos en un conjunto.

1. Verdadero.
2. Falso.

5.El Decil 9 (D₉) indica el valor por debajo del cual se encuentra el 99% de los datos.

1. Verdadero.
2. Falso.

Parte IV: Ordena la Lógica

Desafía tu comprensión del tema. Lee cuidadosamente las siguientes afirmaciones relacionadas con el cálculo y la interpretación de cuantiles. Luego, ordénalas en la secuencia lógica correcta para describir el proceso general de cómo se utilizan estas medidas.

Elementos a Ordenar:

1. Se interpretan los resultados para entender la posición relativa de los datos, como identificar el 25% más bajo o el 75% más alto.

2. Se aplica una fórmula específica (como la de interpolación para datos agrupados) para obtener el valor numérico del cuantil deseado.

3. Se seleccionan los cuantiles específicos (cuartiles, deciles o percentiles) que son relevantes para la pregunta de investigación.

4. Se identifican los datos y se organizan de forma ascendente, ya sea individualmente o en una tabla de distribución de frecuencias.

5. Se calcula la posición teórica del cuantil dentro del conjunto de datos ordenado.

Respuestas de las partes

II (1D; 2D; 3D; 4D; 5C)

III (1B; 2B; 3A; 4A; 5B)

IV (4, 3, 5, 2, 1)

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¿Sabes qué tienen en común la media aritmética, la mediana y la moda con tus redes sociales favoritas o tus videojuegos?

Cada vez que una plataforma te recomienda contenido o un juego analiza tus puntajes, está aplicando medidas de tendencia central. Estas herramientas matemáticas permiten descubrir lo más representativo o típico dentro de un conjunto de datos.

En lugar de revisar cada número uno por uno, la media (promedio), la mediana (valor central) y la moda (valor más frecuente) te ofrecen una visión clara del comportamiento general de la información.

En este post aprenderás cómo calcular estas medidas con datos agrupados y cómo su relación te ayuda a identificar si una distribución es simétrica o sesgada.

Así verás que las matemáticas no solo están en el aula, sino también en el corazón de tu mundo digital, desde las tendencias virales hasta los puntajes récord.

Medidas de tendencia central en datos agrupados

Al tratarse de datos agrupados el cálculo de estas medidas se realizan mediante fórmulas de estimación, las cuales utilizan las marcas de clase (puntos medios de cada intervalo o clase) y las frecuencias, generando un valor representativo central de los datos.

La media aritmética mediana y la moda

La media aritmética, la mediana y la moda son las tres medidas de tendencia central más utilizadas en estadística. Cada una representa una forma diferente de describir lo que ocurre en un conjunto de datos, permitiendo identificar el comportamiento general o el valor más representativo.

Media aritmética

Es el valor que representa el punto de equilibrio de un conjunto de datos.

En datos agrupados la media aritmética se le denomina media aritmética ponderada, ya que cada clase o intervalo posee una frecuencia específica, y cada frecuencia es una ponderación, es decir, es un peso distinto en cada clase y se calcula como:

Donde:

x_i = marca de clase.

f_i = frecuencia absoluta.

n = tamaño de la muestra.

Mediana

Es una medida de localización que divide el conjunto de datos en dos partes iguales, determinando el 50% de acumulación de la distribución.

Para hallar la mediana en datos agrupados se aplica la siguiente expresión:

$$M_{e}=L_{i}+\frac{\frac{n}{2}-F_{i-1}}{f_{i}}\cdot a$$

Donde:

M_e = mediana.

n/2 = valor medio del total de los datos.

L_i = límite inferior del intervalo mediano.

F _i-1 = frecuencia absoluta acumulada anterior al intervalo mediano.

f _i = frecuencia absoluta del intervalo mediano.

a = amplitud de los intervalos.

Moda

Es el valor que indica la mayor frecuencia en un conjunto de datos.

Para hallar la moda lo primero es identificar el intervalo modal (intervalo de mayor frecuencia absoluta) y por último aplicar su fórmula que es la siguiente:

$$M_{o}=L_{i}+\frac{r_{1}}{r_{1}+r_{2}}\cdot a$$

M_o = moda.

L_i = límite inferior del intervalo modal.

r₁ = es la diferencia de la frecuencia absoluta del intervalo modal y la frecuencia absoluta del intervalo anterior.

$$r_{1}=f_{m}-f_{m-1}$$

r₂ = es la diferencia de la frecuencia absoluta del intervalo modal y la frecuencia absoluta del intervalo siguiente al modal.

$$r_{2}=f_{m}-f_{m+1}$$

a = amplitud de los intervalos.

Relación simétrica entre la media aritmética mediana y la moda

La relación simétrica entre la media, mediana y moda revela la forma de la distribución de un conjunto de datos. Su posicionamiento mutuo, ya sea que coincidan o se separen, indica si la distribución es simétrica (equilibrada) o asimétrica (sesgada) al ser graficada en un plano cartesiano.

Se pueden presentar 3 casos ellos son los siguientes:

Asimétrica a la izquierda o sesgada a izquierda (sesgo negativo)

La cola de la distribución se extiende hacia la izquierda, indicando algunos valores bajos.
La media aritmética es el valor más inferior, la mediana a la derecha de la media, y el valor más frecuente es la moda ocupando el pico de la distribución.

Simétrica (sin sesgo)

Denominada distribución con tendencia normal. Es cuando las tres medidas son iguales, es decir, se genera una distribución perfectamente simétrica.
También puede darse el caso cuando esas tres medidas están muy cercanas entre sí, en este caso la distribución es aproximadamente simétrica.

Asimétrica a la derecha o sesgada a derecha (sesgo positivo)

Sucede cuando la media aritmética es valor más alto, la mediana ubicada en la mitad de los datos ordenados y la moda es el valor más frecuente. Ejemplo: Los ingresos anuales de los profesores del colegio Rembrant, su mayoría tienen ingresos modestos o medios, pero hay un pequeño grupo de docentes (Director, administrador, coordinador) con ingresos mucho mayor. ¿Cómo sería el comportamiento de la distribución?

La distribución se comportaría sesgada a la derecha. Lee atentamente la explicación:

La moda, es el valor más frecuente, es decir es el ingreso de la mayoría de los profesores. La mediana, ubicada en la posición central de los datos ordenados. Y la media aritmética expresa los ingresos elevados de los docentes como el director, administrador y el coordinador, aunque sean solo tres docentes, sus ingresos son tan grandes que desplazan el promedio hacia la derecha, mucho más allá de donde se encuentra la mayoría de los profesores.

Solución

Cálculo de la media aritmética ponderada

$$\bar{x}=42,05 \frac{km}{h}$$

Cálculo de la mediana

Reemplazar el límite inferior del intervalo mediano y el valor medio del total de los datos:

$$M_{e}= 40+\frac{\left ( 40-28 \right )}{24}\cdot 4$$

Operar aritméticamente:

$$M_{e}= 40+\frac{\left ( 12 \right )}{24}\cdot 4$$

Sumar

$$M_{e}= 40+2$$

La mediana de la velocidad es:

$$M_{e}= 42 \frac{km}{h}$$

Cálculo de la moda

$$r_{1}=24-18$$

$$r_{1}=6$$

$$r_{2}=24-17$$

$$r_{2}=7$$

$$M_{o}=40+\left ( \frac{6}{6+7} \right )\cdot 4$$

$$M_{o}=40+\frac{24}{13}$$

$$M_{o}=\frac{544}{13}$$

$$M_{o}\approx 41,85 \frac{km}{h}$$

Resumen:

$$\bar{x}=42,05 \frac{km}{h}$$

$$M_{e}=42 \frac{km}{h}$$

$$M_{o}\approx 41,85 \frac{km}{h}$$

Conclusión:

Las tres medidas son muy cercanas entre sí, lo cual indica una distribución relativamente simétrica de los datos. Por tanto es una distribución aproximadamente simétrica.

Actividades

Representa gráficamente la relación simétrica de las siguientes medidas de tendencia central.

$$M_{o}=2,785;\bar{x}=5,981;M_{e}=3,478$$

$$M_{o}=2,1510;\bar{x}=2,1500; M_{e}=2,1505$$

$$M_{o}=159,0501;\bar{x}=159,0501;M_{e}= 159,0501$$

Resuelve el siguiente problema.

En un salón de clases de 9° grado se registraron las estaturas (en centímetros) de 40 estudiantes con el propósito de analizar cómo se distribuyen y varían dentro del grupo. A partir de estos datos, debes caracterizar las estaturas utilizando medidas de tendencia central (media, mediana y moda), así como representar gráficamente la distribución para obtener una visión general del comportamiento de este conjunto de datos.

• Construye la distribución de frecuencias.
• Determina las medidas de tendencia central de la distribución de frecuencias e interpreta.
• Diga la relación de simetría que tiene la distribución de frecuencias e interpreta los resultados.

Identifica la relación simétrica del siguiente histograma

¿Alguna vez te has preguntado cómo las medidas de dispersión revelan lo que las cifras promedio esconden? Piensa en tu videojuego favorito: tu puntaje medio es de 5000 puntos por partida, pero eso no dice si juegas siempre igual o si un día haces 1000 y al siguiente rompes récords con 9000.

Ahí está la magia de estas medidas: muestran qué tan consistentes o variables son tus resultados. Una desviación estándar baja indica estabilidad; una alta, altibajos marcados. Entenderlas te permite ir más allá del promedio y descubrir la verdadera historia detrás de los datos, ya sea en el deporte, el estudio o tus redes sociales.

Medidas de Dispersión

Conceptos clave del análisis de dispersión

Antes de profundizar en el tema, es fundamental dominar ciertos conceptos. A continuación, se detallan las terminologías esenciales:

Unidad de observación (o individuo)

Es el elemento básico sobre el cual se realiza una medición. Ejemplo: En el Colegio Marimar, cada estudiante individual de 9° grado representa una unidad de observación.

Observación

Es el dato o el valor específico obtenido de cada elemento del estudio. Ejemplo: La nota de Juan en el examen final de matemáticas fue de 8,5 puntos.

Población

Es el total de todos los individuos que comparten una característica en común. Ejemplo: El total de estudiantes de 9° grado del Colegio Marimar.

Muestra

Es una parte representativa seleccionada de una población. Es aplicado cuando es inviable la recopilación de datos en cada elemento de la población, ya sea por costos, consumo de mucho tiempo, situaciones imposibles en la práctica como contactar a todos los niños de 7 años de un país.

Los resultados de una muestra son usados para inferir sobre la población de la cual fue extraída.

Ejemplo: Como existe dificultad para evaluar a todos los estudiantes de 9° grado de un municipio, la Secretaría de Educación selecciona a 200 estudiantes de distintos colegios para aplicarles el examen de matemáticas. Esos 200 estudiantes pertenecen a la muestra.

Tipos de medidas de dispersión

Existen varios tipos de medidas de dispersión, como el rango, desviación media absoluta, varianza y la desviación estándar.

El rango

Es la medida de dispersión más sencilla y se calcula mediante la fórmula:

$$ R=V_{M}-V_{m}$$

Ejemplo: En un salón, la nota más alta es 10 y la más baja es 3. El rango de esta situación es:

$$ R=10-3=7$$

Los 7 puntos expresa la extensión total de las notas, da una idea pero no dice cómo están las notas entre 3 y 10.

Desviación media absoluta

Es una medida de dispersión que mide el promedio de las distancias que cada valor observado tiene respecto al valor promedio de todo el conjunto de datos. Se calcula por medio de la siguiente expresión:

Datos No Agrupados

$$DMA=\frac{\sum_{i=1}^n{\left | \bar{x}-x_{i}\right |}}{n}$$

Donde:

DMA = Desviación Media Absoluta.

x_i = Valor individual del conjunto de datos.

\(\bar{x}\) = Media aritmética

n =Total de datos del conjunto:

Datos Agrupados

$$DMA=\frac{\sum_{i=1}^kf_{i}\cdot {\left | \bar{x}-x_{i}\right |}}{n}$$

Donde:

f_i  = Frecuencia absoluta de cada clase.

x_i = Marca de clase.

n = Número total de observaciones.

Solución

El promedio de la alturas es:

$$\bar{x}=1,70m$$

Para determinar la DMA se calcula el valor absoluto de la diferencia de la altura del estudiante y la media aritmética, de esta forma se conoce cuánto se aleja la altura de uno de ellos con respecto a la media aritmética.

Aníbal = |1,70m – 1,70m| = 0

Katherine = |1,60m – 1,70m| = 0,10m

David = |1,75m  – 1,70m| = 0,05m

Mara = |1,65m – 1,70m| = 0,05m

Daniel = |1,80m – 1,70m| = 0,10m

¿Qué quiere decir esto?

Significa que Daniel se aleja de la media a un 0,10m, Mara a 0,05m, David 0,05, Katherine 0,10m y Aníbal ningún alejamiento.

Posteriormente, la DMA toma el promedio de todos los valores absolutos individuales a la media:

DMA =(0 + 0,10m + 0,05m + 0,05m + 0,10m )/5 = 0,06m.

¿Qué significa que DMA = 0,06m?

Significa que, en promedio, la altura de cada estudiante se desvía 0,06m con respecto a la altura promedio del grupo de 9° grado.

Varianza

Es una medida de dispersión que tiene como finalidad expresar qué tan alejados están los valores de un conjunto de datos respecto a su media aritmética expresándose en unidades cuadradas.

La varianza usa todos los datos basándose en la diferencia que existe entre el valor de cada uno de ellos y la media aritmética del conjunto, esa diferencia se le conoce como desviación de un dato respecto al promedio (media aritmética).

¿Cómo se representa?

Para calcular la varianza en una muestra se representa como s² y si es en una población, se utiliza σ² .

Datos No Agrupados

Para una muestra se calcula por medio de la siguiente expresión:

$$s^{2}=\frac{\sum_{}^{}(x_{i}-\bar{x})^{2}}{n-1}$$

Donde:

n : Número de datos.

x_i : Punto medio de cada clase.

\(\bar{x}\) :  Media muestral

En una población, se emplea la siguiente expresión:

$$\sigma^{2}=\frac{\sum_{}^{}(x_{i}-\mu )^{2}}{N}$$

Donde:

μ = Media poblacional.

x_i : Punto medio de cada clase.

N = Tamaño de la población.

Datos Agrupados

Para una muestra:$$s^{2}=\frac{\sum f\left ( x_{i}-\bar{x} \right )^{2}}{n-1}$$

Donde:

f : Frecuencia de cada intervalo.

x_i : Punto medio de cada clase.

\(\bar{x}\) :  Media muestral.

Para una población:$$\sigma ^{2}=\frac{\sum f\left ( x_{i}-\mu \right )^{2}}{N}$$

f : frecuencia de cada intervalo

x_i : Punto medio de cada clase.

μ : Media poblacional.

Solución

El promedio de notas es: $$\bar{x}=7$$

$$s^{2}=\frac{10}{4}=2,5$$

La varianza de las notas es 2,5 indicando que las notas están relativamente agrupadas alrededor de la media (7).

Desviación estándar

Llamada también desviación típica definida como la raíz cuadrada de la varianza.

Datos No Agrupados

Para una muestra se define como:

$$s=\sqrt{s^{2}}=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\bar{x})^{2}}{n-1}}$$

Para una población:

$$\sigma =\sqrt{\sigma ^{2}}=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N}(x_{i}-\mu  )^{2}}{N}}$$

Donde:

μ : Media poblacional.

\(\bar{x}\) :  Media muestral.

Datos Agrupados

Muestra:$$s=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{k}f_{i}\left ( x_{i}-\bar{x} \right )^{2}}{\sum_{i=1}^{k}f_{i}-1}}$$

Poblacional:$$\sigma =\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{k}f_{i}\left ( x_{i}-\mu \right )^{2}}{\sum_{i=1}^{k}f_{i}}}$$

Donde:

f_i : Frecuencia absoluta de cada clase (intervalo).

x_i : Punto medio de cada clase.

k : Número total de clases o intervalos.

¿Qué significado tiene?

Con un resultado reducido indica que existe poca variabilidad en la muestra de datos analizados, por tanto las observaciones tienen una mayor tendencia de agruparse alrededor de la media.

Con un resultado alto revela una mayor dispersión, esto quiere decir que las observaciones se encuentran más alejadas de la media aritmética.

$$s=\sqrt{2,5}\approx 1,58$$

Esto significa que, en promedio, las notas de los estudiantes se desvían alrededor de 1,58 puntos del promedio de 7. Es un valor relativamente pequeño para el rango de notas (0 a 10) expresando que las notas en la muestra están muy agrupadas respecto a la media aritmética (promedio).

El resultado de la encuesta es la siguiente:

Solución

Uno: Ordenar de forma ascendente el tiempo.

Dos: Crear la tabla de frecuencias por intervalos.

Tres: Cálculo de las Medidas de Dispersión.

• Media aritmética

• Rango

$$ R=V_{M}-V_{m}$$

$$ R=50-8=42min$$

• Desviación media absoluta

$$DMA=\frac{\sum_{i=1}^kf_{i}\cdot {\left | \bar{x}-x_{i}\right |}}{n}$$

• Varianza

• Desviación estándar

Significado de las medidas de dispersión

Los resultados de las medidas de dispersión ofrecen una imagen clara de la variabilidad en sus trayectos:

Rango (R=42 minutos):

La diferencia entre el tiempo que más tarda en llegar (50min) y el que menos tarda (8min) es considerable ya que su amplitud es de 42 minutos, ese rango ya apunta que existe una variabilidad significativa en los tiempos de desplazamiento.

Desviación Media Absoluta (DMA≈8,7 minutos):

En promedio, los tiempos de viaje de cada empleado se desvían alrededor de 8,7 minutos respecto a la media de 25,6 minutos.

Varianza (σ² ≈110,4 min²):

Su valor confirma la existencia de una dispersión en los datos.

Desviación Estándar (σ ≈ 10,5 min):

Un valor de 10,5 minutos indica que, en promedio, los tiempos de viaje de los empleados se separan 10,5 minutos de la media de 25,6 minutos.

Conclusión

La desviación estándar de 10,5 minutos es relativamente alta en comparación con el promedio del tiempo de 43 minutos ya que representa un 41% de la media. Esto quiere decir que existe una gran dispersión en los tiempos individuales.

Entonces, no todos los trabajadores tardan un tiempo similar en llegar al trabajo, un grupo significativo de empleados llegan mucho más rápido y otro grupo tardan considerablemente más que el promedio.

Para la empresa, esa alta variabilidad puede implicar desafíos en la planificación de horarios o incluso la necesidad de explorar opciones de transporte para sus empleados dado que los tiempos de desplazamientos no son consistentes entre ellos.

Actividades de las medidas de dispersión

Se registran las temperaturas máximas diarias en un poblado durante un período de 32 días consecutivos en la estación seca.

• Construye la tabla de distribución de frecuencias.
• ¿Cuál es la media de las temperaturas?
• ¿Cuál es la desviación media absoluta de las temperaturas? Interprete.
• Existe una variabilidad considerablemente grande entre los datos recogidos.
• ¿Cuánto es la desviación estándar? Interprete.

Haz un resumen de las conclusiones fundamentales que surgen de estas experiencias de aprendizaje.

• ¿La desviación estándar puede tomar valores negativos? Justifica.
• ¿Es posible que la desviación estándar sea igual a cero?
• Identifica qué tipo de variable estadística permite el cálculo de la desviación estándar.

Dada las siguientes afirmaciones selecciona Verdadero o Falso

1.La Varianza puede tomar valores negativos.

1. Verdadero.
2. Falso.

2.La desviación estándar se expresa en las mismas unidades que los datos originales.

1. Verdadero.
2. Falso.

3.El rango es una medida de dispersión muy resistente a los valores atípicos (outliers).

1. Falso.
2. Verdadero.

4.La Desviación Media Absoluta (DMA) es matemáticamente más fácil de usar en inferencia estadística avanzada que la varianza o la desviación estándar.

1. Verdadero.
2. Falso.

5.Si todas las observaciones en un conjunto de datos son idénticas, su desviación estándar es cero.

1. Falso.
2. Verdadero.

© LaProfeMatematik · Aprender con amor de Dios y mucha pasión

¿Sabías que las figuras geométricas están presentes en casi todo lo que nos rodea?  El undecágono regular, aunque poco común, se esconde en muchos lugares: en el diseño de logotipos, en patrones de mosaicos, en la estructura de algunos estadios o incluso en gráficos digitales de videojuegos. Comprender cómo se define y se construye esta figura no solo fortalece tus habilidades geométricas, sino que también te permite apreciar la precisión y belleza que la matemática aporta al arte, la tecnología y la vida cotidiana. En este post descubrirás qué es un undecágono regular y cómo construirlo paso a paso, usando tus instrumentos de geometría y además el software de GeoGebra, con la precisión de un verdadero diseñador.

Definición

Características

Para comprender a fondo esta figura plana, es fundamental conocer elementos como el radio, el ángulo central, las diagonales y dominar el uso del compás y el transportador para construirla con precisión. Explorar el undecágono regular permite fortalecer habilidades de trazado, observación de simetrías y aplicación de relaciones trigonométricas en el diseño geométrico, desarrollando al mismo tiempo la creatividad y la exactitud propias del pensamiento matemático.

Las características de un undecágono son las siguientes:

• Total de lados. $$n=11$$
• El número de vértices es igual al número de lados.
• Número de diagonales trazadas desde un mismo vértice.

$$d=n-3$$

$$d=11-3$$

$$d=8$$

• Total de diagonales.

$$D=\frac{n(n-3)}{2}$$

$$D=\frac{11(11-3)}{2}$$

$$D=\frac{88}{2}$$

$$D=44$$

• En un undecágono regular, ninguna diagonal pasa por el centro del polígono, ya que al tener un número impar de lados, no existen vértices opuestos. Observa la figura anterior.

• Ángulo interno.

$$i=\frac{180^{\circ }\cdot (n-2)}{n}$$
$$i=\frac{180^{\circ }\cdot (11-2)}{11}$$
$$i=\frac{180^{\circ }\cdot 9}{11}$$
$$i=\frac{1620}{11}$$
$$i=147,27$$

• Ángulo exterior.

$$e=\frac{360^{\circ }}{11}$$
$$e=32,73^{\circ }$$

• Ángulo central

$$\theta =\frac{360^{\circ }}{11}=32,73^{\circ }$$

$$\theta =32,73^{\circ }$$

• Suma de ángulos internos.

$$S_{i}=180^{\circ }\cdot (n-2)$$
$$S_{i}=180^{\circ }\cdot (11-2)$$
$$S_{i}=180^{\circ }\cdot 9$$
$$s_{i}=1620^{\circ }$$

• Suma de ángulos externos.

$$S_{e}=360^{\circ }$$

• Formado por 11 triángulos isósceles

• Perímetro. $$P=11\cdot n$$
• Área. $$A=\frac{11\cdot l^{2}\cdot cot\left ( \frac{180^{\circ } }{11} \right )}{4}$$

Donde:  l = lado.

• Es un polígono convexo, ya que sus ángulos internos son menores de 180°.
• Pueden ser inscritas en una circunferencia, y circunscribirse a otra.

Construcción de un decágono regular dado el valor de su lado (l)

Para construir un decágono regular conociendo la medida de su lado 𝑙, es necesario aplicar con precisión los pasos geométricos. A partir del valor del lado, se determina el radio del polígono regular mediante la ley del seno y utilizando el transportador y la regla. Esta construcción refuerza la comprensión de los ángulos centrales, la simetría y la importancia del trazado exacto en los polígonos regulares.

Ley del seno

$$\frac{m}{sen\beta }=\frac{l }{sen\alpha }$$
$$m=\frac{l\cdot sen\beta }{sen\alpha }$$
$$l=\frac{m\cdot sen\alpha  }{sen\beta  }$$

Donde:

m = radio del polígono regular.

l = lado del polígono.

β = 73,6°

α =32,7°

Procedimiento para la construcción.

• Marcar el centro del polígono (C). Este punto será el vértice del ángulo central y el origen de todos los radios.

• Calcular el radio del polígono regular (m).  Aplicando la ley de Senos:$$m=\frac{l\cdot sen\beta }{sen\alpha }$$
• Trazar el primer radio de la longitud  (m) desde el punto (C).
• Colocar el transportador con su centro sobre (C) y alinearlo con el radio trazado.
• Marcar el primer ángulo central de 32,73°. Y dibujar el siguiente radio.
• Repetir el proceso de marcar y trazar radios cada 32,73° hasta completar los 11 radios.
• Unir los extremos consecutivos de los radios para formar los lados del undecágono regular.

Construcción de un undecágono regular inscrito en la circunferencia

Para construir un undecágono regular inscrito en una circunferencia, es fundamental dominar el uso del compás, la regla y el transportador, ya que permiten trazar, medir y unir con precisión cada vértice. Con ayuda de la Ley del Seno determinas el radio del polígono, y al usar líneas finas y gruesas logras distinguir con claridad al polígono y a la circunferencia.

Ejemplo. Crear un undecágono de lado 2cm inscrito en una circunferencia.

Solución

Cuando el undecágono está inscrito en una circunferencia el radio de la circunferencia es igual al radio del polígono regular. Es decir:$$\frac{m}{sen\beta }=\frac{l }{sen\alpha }$$
$$r_{C}=r_{P}$$

Procedimiento:

1. Marcar un punto (C).
2. Calcular el radio del polígono regular (m). $$m=\frac{l\cdot sen\beta }{sen\alpha }$$

$$m=\frac{2cm\cdot sen73.63^{\circ } }{sen32,73^{\circ } }$$
$$m\approx 3,55cm$$

Aproximando a la décima queda así:
$$m=3,6cm$$

3. Graduar al compás al radio del polígono regular (m).
4. Apoyar la punta de metal del compás en el punto (C).
5. Girar y dibujar suavemente la circunferencia.
6. Trazar el radio del polígono regular (m) utilizando la regla con línea fina.
7. Construir el ángulo α = 32,7° utilizando el transportador y trazar el radio con línea fina.
8. Marcar un punto en la intersección.
9. Repetir los pasos 7 y 8 hasta completarlo.
10. Unir los puntos creados.

Construcción de un undecágono regular circunscrito en la circunferencia

Para la construcción del undecágono regular circunscrito en una circunferencia, es esencial el buen manejo de los instrumentos, ya que permiten determinar los puntos de tangencia y trazar los lados del polígono con exactitud.

Ejemplo. Construir un undecágono de lado 2cm circunscrito en una circunferencia.

Solución

Cuando el undecágono es circunscrito el radio de la circunferencia es diferente al radio del polígono regular. $$r_{C}\neq r_{P}$$

Pasos:

1. Marcar el punto (C).
2. Calcular el radio del polígono regular (m). $$m=\frac{l\cdot sen\beta }{sen\alpha }$$

$$m=\frac{2cm\cdot sen73.63^{\circ } }{sen32,73^{\circ } }$$
$$m\approx 3,55cm$$

Aproximando a la décima queda así:
$$m=3,6cm$$

3. Trazar el radio del polígono regular (m) utilizando la regla con línea fina.
4. Construir el ángulo α = 32,7° utilizando el transportador y trazar el radio con línea fina.
5. Marcar un punto en la intersección.
6. Repetir los pasos 7 y 8 hasta completarlo.
7. Unir los puntos creados.
8. Determina el punto medio de cada lado del polígono y márcalos con un punto.
9. Coloca la punta del compás en el centro del polígono y ábrelo hasta alcanzar el punto medio de uno de los lados.
10. Traza la circunferencia con una línea delgada, manteniendo el compás fijo en el centro.

Construcción de un undecágono regular circunscrito e inscrito en una circunferencia utilizando GeoGebra

Con GeoGebra, construir un undecágono regular inscrito o circunscrito es una circunferencia es un proceso sencillo, preciso y rápido. Esta herramienta también facilita visualizar las relaciones geométricas entre el polígono y la circunferencia.

Ejemplo. Dibuja un undecágono de lado 2cm inscrito y circunscrito en una circunferencia utilizando el software de GeoGebra.

Solución

Herramientas a utilizar:

Punto
Segmento de longitud dada
Ángulo dada su amplitud
Segmento
Circunferencia (centro, punto)
Medio o Centro

Construcción del polígono inscrito en la circunferencia

1. Abrir GeoGebra.
2. Crear el centro del polígono (C) seleccionando la herramienta Punto.
3. Dibujar el radio del polígono usando la herramienta Segmento de longitud dada e ingresa el valor. Según la ley del seno$$m=3,6cm$$
4. Crear el ángulo de 32,7° utilizando la herramienta Ángulo dada su longitud e ingresa el valor del ángulo y selecciona el sentido antihorario o horario.
5. Dibuja el radio del polígono con línea fina, selecciona la herramienta Segmento.
6. Repetir los pasos 4 y 5 hasta completarlo.
7. Trazar todos los lados del polígono eligiendo la herramienta Segmento.
8. Dibujar la circunferencia seleccionando la herramienta Circunferencia (centro, punto), haciendo clic desde el centro (C) hasta el punto de intersección con la circunferencia.

Construcción del polígono circunscrito en la circunferencia

1. Abrir GeoGebra.
2. Crear el centro del polígono (C) seleccionando la herramienta Punto.
3. Dibujar el radio del polígono usando la herramienta Segmento de longitud dada e ingresa el valor. Según la ley del seno$$m=3,6cm$$
4. Crear el ángulo de 32,7° utilizando la herramienta Ángulo dada su longitud e ingresa el valor del ángulo y selecciona el sentido antihorario o horario.
5. Dibuja el radio del polígono con línea fina con la herramienta Segmento.
6. Repetir los pasos 4 y 5 hasta completarlo.
7. Trazar todos los lados del polígono eligiendo la herramienta Segmento.
8. Marcar los puntos medios de cada lado del polígono usando la usando la herramienta Medio o Centro y tocar esos lados para obtener el punto medio.
9. Dibujar la circunferencia seleccionando la herramienta Circunferencia (centro, punto), haciendo clic desde el centro (C) hasta el punto medio de cada lado.

Actividades

I.Construye:

• Construir un undecágono de lado 4cm.
• Dibujar en GeoGebra un undecágono regular con una radio del polígono de 8cm. ¿Cuál es el valor de sus lados?
• Construye un undecágono circunscrito que tenga como lados una dimensión de 5cm.

II.Lee cuidadosamente cada afirmación y menciona Verdadero o Falso según corresponda.

• El undecágono también se conoce con el nombre de endecágono. ___
• El undecágono regular tiene once lados y once vértices iguales. ____
• Todas las diagonales de un undecágono pasan por el centro del polígono. ___
• En un polígono regular con número impar de lados no existen vértices opuestos. ___
• El ángulo central de un undecágono se obtiene dividiendo 360° entre 11. ___
• El radio del undecágono regular une el centro con uno de sus lados. ___
• Para construir un undecágono regular, se puede inscribir en una circunferencia. ___
• En un undecágono regular, todos los lados son congruentes. ___
• La suma de los ángulos internos de un undecágono es igual a: $$S_{i}=180^{\circ }\cdot (n-5)$$
• GeoGebra es una herramienta útil para construir un undecágono con precisión. ___

III.Selecciona la respuesta correcta.

1.¿Cómo se llama también el undecágono?

1. a) Dodecágono
2. b) Endecágono
3. c) Enneágono
4. d) Nonágono

Respuesta: b) Endecágono

2.¿Cuántas diagonales puede trazarse en un undecágono?

1. a) 55
2. b) 44
3. c) 45
4. d) 49

Respuesta: b) 44

3.En un undecágono regular, ¿alguna diagonal pasa por el centro?

1. a) Sí, una
2. b) Sí, varias
3. c) No, ninguna
4. d) Solo si es irregular

Respuesta: c) No, ninguna

4.¿Qué ley trigonométrica se aplica para determinar el radio del polígono?

1. a) Ley de cosenos
2. b) Ley de tangentes
3. c) Ley de senos
4. d) Teorema de Pitágoras

Respuesta: c) Ley de senos

5.¿Cuántos vértices opuestos tiene un undecágono regular?

1. a) 1
2. b) 5
3. c) Ninguno
4. d) 11

Respuesta: c) Ninguno

6.¿Qué software geométrico permite construir un undecágono con precisión digital?

1. a) Excel
2. b) GeoGebra
3. c) Paint
4. d) Word

Respuesta: b) GeoGebra

¿Quieres saber más de aproximación numérica? ¿Alguna vez has notado que, al dividir, tu calculadora a veces «corta» los números? O, ¿has visto que al comprar alguna cosa, los precios no siempre son exactos hasta el último decimal? ¡Pues no es magia! Detrás de esas situaciones cotidianas se esconden dos trucos matemáticos que usamos sin darnos cuenta todo el tiempo: el redondeo y el truncamiento.

En este post, entenderás cómo funciona el redondeo y el truncamiento. Además, aprenderás a calcular el error, esa pequeña diferencia que existe entre un número «perfecto» y su versión «aproximada».

¿Qué es una aproximación por redondeo?

Su procedimiento es el siguiente:

1. Identificar la cifra significativa.
2. Calcular el valor numérico solo si la expresión dada es radical o fracción.
3. Verificar el dígito de la derecha (de la cifra significativa). Sí este es:

Dígito > 5 se le suma 1 a la cifra significativa.

Dígito < 5 se deja igual la cifra significativa.

Ejemplos de redondeo

Aproximar por redondeo las siguientes expresiones a la centésima y a la milésima: $$\sqrt{5}\,\,y\,\,\frac{1}{3}$$

Ejemplo # 1

Ejemplo # 2

Aproximación por truncamiento

Se trata de acortar un número decimal eliminando los dígitos que están después de la cifra significativa sin aplicar el redondeo.

Ejemplo # 1. Aproximar por truncamiento 0,567 a la centésima.

Respuesta: 0,56.

Ejemplo # 2. Busca un número que al redondearlo y truncarlo a las décimas dé el mismo resultado.

Existen muchos números que cumplen esa condición, uno de esos números es 3,141 ya que al redondearlo queda 3,1 y al truncarlo también se obtiene 3,1.

Errores en las aproximaciones

Cada vez que se realiza una aproximación, se genera un error con respecto al valor real del número. Este error indica qué tanto se aleja la aproximación del valor exacto. Existen dos tipos de errores:

1. Error absoluto (Ea): Es el valor absoluto de la diferencia del valor real y el valor aproximado. Este error muestra la distancia entre dichos valores.
   
2. Error relativo (Er): Es el valor absoluto de la división del error absoluto entre el valor real. Este tipo de error indica el porcentaje.

Aplicaciones y ejemplos prácticos

Las aproximaciones por redondeo se usan con frecuencia en situaciones cotidianas donde no es necesario conocer un valor exacto, como estimar precios, tiempos o medidas. Comprender cómo aplicar el redondeo y reconocer el error que genera es clave para tomar decisiones razonables en contextos reales.

A continuación, aquí tienes algunos ejemplos:

Problema 1:

Camila es chef en un restaurante y preparó 48 empanadas en 65 minutos. ¿Aproximadamente cuántos minutos tardó en preparar cada empanada? Redondea al número entero más cercano y determine el error de la aproximación.

Solución:

Se divide los 65 ÷ 48 = 1,354166666…

Aproximando por redondeo al entero 1,354166666… ≈ 1

Camila tardó 1min en hacer cada empanada.

Por tanto,

Problema 2:

Determinar el perímetro del cuadrilátero ABCD, si se redondean a las centésimas y hallar el error de la aproximación de este valor.

Solución:

Lo primero, es aproximar por redondeo cada lado del cuadrilátero.

Calculo del perímetro:

El perímetro aproximado por redondeo a las centésimas es 14,76cm.

Por último, se calcula el error de la aproximación. Para esto se halla el perímetro sin aproximar cada longitud del cuadrilátero.

Por tanto,

¿Cifras exactas o aproximadas? ¡Descúbrelo con nuestra simulación de redondeo y truncamiento!

¿Alguna vez te has preguntado cómo los científicos, ingenieros o incluso tu mamá con el presupuesto familiar manejan esos números larguísimos con muchísimos decimales? ¡No siempre los usan todos! Para hacer las cosas más prácticas, usan dos técnicas increíbles: el truncamiento y el redondeo.

En esta simulación interactiva, vas a ser el experto en números. Podrás tomar cualquier número decimal y ver con tus propios ojos cómo cambia cuando lo “cortas” (truncas) o lo “ajustas” (redondeas) a diferentes partes: unidades, décimas, centésimas o milésimas. ¿Notarás la diferencia? ¿Cuál crees que es más preciso? ¡Es hora de dejar de imaginar y empezar a experimentar! ¡Presiona el botón (otro) para cambiar el número y luego prueba las opciones de truncamiento y redondeo!

¡Queremos saber tu opinión!

¿Qué te pareció la simulación? ¿Lograste ver claramente la diferencia entre truncar y redondear un número? ¿Cuál te parece más útil en la vida diaria? ¡Comparte tus observaciones y dudas en los comentarios al final de este post! Tu experiencia nos ayuda a mejorar y a entender mejor cómo ves este fascinante mundo de los números aproximados. ¡Anímate a comentar!

Actividades

1.Redondea para determinar una aproximación a la cifra significativa señalada.

2.Aplica el truncamiento para determinar una aproximación a la cifra significativa señalada.

3.Soluciona cada operación por redondeo y por truncamiento a las centésimas. Luego compara los resultados y establece el error de aproximación.

4.Observa el siguiente polígono y determina:

a. La diagonal aproximada por truncamiento y por redondeo a la décima.

b. El error de aproximación por truncamiento y por redondeo.

¿Quieres conocer más acerca del Teorema de Euclides? ¿Sabías que uno de los teoremas más antiguos de la geometría todavía se usa en cosas tan cotidianas como construir un edificio, diseñar videojuegos o resolver un rompecabezas? El Teorema de Euclides no es solo parte de un libro viejo de matemáticas: ¡está más vivo que nunca en nuestra vida diaria!

Aprender cómo funciona te permitirá jugar con los ángulos, los triángulos y hasta con la lógica de una manera diferente. ¿Quieres profundizar en el tema? Te invito que leas este post explicado con palabras sencillas.

¿Quién era Euclides?

Conocido como el padre de la geometría, fue un matemático Griego que vivió en Egipto hace más de 2000 años, alrededor del año 300 a.C. Gracias a sus investigaciones y demostraciones  fue posible la creación de teoremas en los triángulos rectángulos.

Teorema de Euclides

Afirma que:

El triángulo padre y sus hijos semejantes

Un triángulo rectángulo es como un padre, porque a partir de él nacen dos nuevos triángulos de menores tamaños, conservando las mismas formas (triángulos rectángulos) y proporciones. Por consiguiente, sus hijos son semejantes a su padre y los hermanos semejante entre ellos.

Esta breve historia inicia cuando se dibuja la altura relativa de la hipotenusa, en ese preciso instante, el triángulo deja de ser uno solo para transformarse en tres, ellos son:

1. Grande ΔCAB (el padre).
2. Mediano ΔCDA (hijo mayor).
3. Pequeño ΔADB (hijo menor).

Observa la figura # 1:

Así que los triángulos:  ΔCAB∼ΔCDA∼ΔADB son semejantes.

El teorema de Euclides conduce a otros dos teoremas denominados:

1. Teorema del cateto y
2. Teorema de la altura.

Teorema del cateto

Conocido también con el nombre de teorema de la proyección o teorema de la proyección de los catetos.

En la figura # 2, el triángulo rectángulo CAB tiene su ángulo recto en el vértice A. En este triángulo:

• El lado de mayor longitud, a, es la hipotenusa,
• c y b son los catetos.
• h es la altura relativa de la hipotenusa.

Al proyectar ortogonalmente los catetos representados con las letras b y c y el punto A (vértice del triángulo) sobre la hipotenusa a, se obtienen sus respectivas proyecciones, como el punto D y los segmentos b´y c´.

Teorema de Euclides: Tres triángulos

Cabe destacar que la trayectoria que sigue el punto A al proyectarse ortogonalmente sobre la hipotenusa da lugar a la altura relativa, representada por h. Estableciendo 3 triángulos.

Partiendo del Teorema de Euclides que trata de la semejanza de los 3 triángulos, se define proporcionalidades entre sus lados homólogos.

Para tener una visión más clara, acerca de la construcción de las proporcionalidades se toma la decisión en separar los tres triángulos. Observa la figura # 3, cada ángulo tiene un color distinto; esto indica que son ángulos homólogos entre los tres triángulos.

Gracias a la identificación de sus ángulos homólogos, es posible seleccionar los lados homólogos de cada triángulo, y con base en ellos se construyen las proporciones correspondientes.

Razón utilizada:

ΔCAB y ΔCDA	ΔCAB y ΔADB

Fíjate que, los medios de ambas proporciones son iguales, por lo tanto, son proporciones continua.

Entonces, por ser proporciones continua se dice que b² y c² son media proporcional.

Como conclusión, el teorema de los catetos dice que:

Entonces, el teorema de los catetos se puede leer:

Teorema de la altura

Partiendo de la semejanza entre los triángulos CDA y ADB, se utiliza la razón:

Por lo tanto, su proporcionalidad es:

Que es lo mismo a:

Donde la media proporcional es igual a:

Así que, el teorema de la altura enuncia:

A jugar con Euclides

Explora la simulación, mueve el deslizador y observa cómo los triángulos semejantes se transforman.
Diviértete mientras analizas los cambios, deduce lo que está pasando y aprende jugando.

Ejemplos resueltos

Aquí tienes dos ejemplos resueltos paso a paso explicado de forma sencilla, la intención es ayudarte a entender su aplicación y cómo debes resolverlos.

• En el triángulo ABC, la longitud de la hipotenusa es de 25cm.Determinar:

Para determinar las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa, es necesario aplicar primero el teorema de Pitágoras, para encontrar el cateto. AC.

Aplicar el teorema de los catetos.

• En el triángulo rectángulo de la figura se requiere determinar la hipotenusa y las proyecciones de los sobre la hipotenusa.

Lo primero es aplicar el teorema de Pitágoras para hallar la hipotenusa.

Ahora se emplea el teorema de los catetos.

Actividades

1. La altura relativa de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es de 8m y la proyección de uno de los catetos es de 4m. Determina los lados del triángulo.

2. Un cateto de un triángulo tiene una longitud de 5m y la altura de 3m. Calcula los lados y las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa.

3. En un triángulo, un cateto es igual a los ¾ de otro cateto y la suma de ambos es 14m. Hallar:

• Los catetos.
• La hipotenusa.
• Altura relativa de la hipotenusa.
• Proyección de los catetos.

¿Sabías que puedes calcular la raíz cuadrada sin calculadora y sin sufrir en el intento? ¡Sí, es posible! Aprender este truco no solo es útil en matemáticas, sino que también te hará ver genial cuando sorprendas a tus amigos. Reflexiona en esto: siempre existen momento en la vida diaria donde no contamos con una calculadora y necesitamos resolver problemas rápido. Con este método divertido y efectivo, podrás calcular raíces cuadradas sin depender de la tecnología.

¿Qué es una raíz cuadrada?

Pasos para calcular la raíz cuadrada un número real

Calcular mentalmente la raíz cuadrada de algunas cantidades es fácil, sólo es buscar sus cuadrados perfectos, y ¡listo!.

Observa los siguientes ejemplos:

Ejemplo 1:

Ejemplo 2: En este ejemplo se puede tener un acercamiento, pero  la cantidad decimal es descocida. Observa:

Cuadrados perfectos aproximados:
2	10	4

Ejemplo 3:

Me imagino cuando viste las 3 raíces cuadradas del ejemplo 3, pensaste en una calculadora, pero, no te preocupes, porque estas cantidades se pueden resolver sin ayuda de la tecnología.

Con tan solo 6 pasos y con habilidad aritmética te conviertes en una calculadora humana de raíces cuadradas. ¡Entonces, no esperes más! Lee los siguientes pasos y descubre cómo aplicarlos.

1.Escribir la cantidad y separarla en pares de derecha a izquierda y dibujar el

2.Buscar el cuadrado perfecto más cercano y distribuye el cuadrado perfecto en el divisor y el cociente. Luego, multiplica y resta.

3.Bajar el siguiente grupo de la cantidad subradical, formando un nuevo resto.

4.Duplica el cociente y divide el nuevo resto por este valor (ajustando si es mayor que 9).

5.Formar una nueva cifra con el duplicado a la izquierda y el cociente de la división a la derecha y multiplicarlos.

6.Restar la cantidad del resto con el producto del paso 5 y agregar el resultado del paso 4 en el divisor. Si es necesario repetir los pasos 3, 4,5 y 6, hasta obtener los decimales deseados o resto cero.

Ejemplos explicados paso a paso

A continuación, la explicación paso a paso para el cálculo de la raíz cuadrada de un número real positivo.

Determinar la raíz cuadrada de 84681.

	Procedimiento	Pasos
1		Escribe la cantidad subradical y sepáralo con un punto en pares de derecha a izquierda, quedando grupos de cifras y dibuja el símbolo mixto de la raíz y división.
2		Buscar el cuadrado perfecto aproximado del primer grupo de la cantidad subradical y distribuirlos, uno en el divisor y el otro en el cociente, luego multiplicarlos y el producto colocarlo debajo del primer grupo de cifras y restar.
3		Bajar el segundo grupo de la cantidad subradical formándose una cifra en la zona del resto. Las cantidades formadas en la zona del resto siempre se separan un dígito en la misma dirección derecha izquierda.
4		Duplicar el número ubicado en el cociente. Luego dividir el primer grupo del resto, con el duplicado.
5		Si el cociente de la división es mayor que 9, se selecciona 9 o número menor. Luego se crea una nueva cifra en el cociente colocando a la izquierda el duplicado y a la derecha el cociente de la división y se multiplican.
6		Restar la cantidad ubicada en la zona del resto con el producto del paso 5. Como se pudo realizar la operación, el cociente de la división del paso 5 es colocado en el divisor.
7		Repetir los pasos 3, 4,5 y 6. Hasta que el residuo sea cero.

• Calcular :

Procedimiento	Observaciones
	Se aplicó todos los pasos. Como es una división inexacta se bajó un par de ceros obteniéndose un decimal.

• Hallar la raíz cuadrada de:

Procedimiento	Observaciones
	El resultado de 249 ÷ 62=4. Este número se le agrega al duplicado y multiplicado por él mismo, resulta 2496. * 2496>2490 no se puede restar. entonces, se toma el número anterior a 4 que es 3, formándose la cantidad 623 multiplicada por 3.

Actividades: Calcular la raíz cuadrada sin calculadora

Determina las raíces cuadradas de las siguientes cantidades:

• 7225
• 35728
• 172124
• 921475
• 329476

Calcula las raíces cuadradas de los siguientes números con dos decimales:

• 5272
• 155,0025
• 6,4516
• 674923
• 1,7424

¿Sabías que la función cuadrática está presente en la vida diaria? Esto es, desde la trayectoria de un balón hasta el diseño de puentes. Graficar parábolas no solo es una habilidad matemática, sino también una forma divertida de visualizar cómo cambian las ecuaciones cuadráticas en el plano cartesiano. Si quieres profundizar en este fascinante tema, te invito que leas este post y aprenderás paso a paso desde la identificación de una parábola hasta graficarla de forma correcta.

¿Qué es una función cuadrática?

¿Qué es una parábola?

Características de la parábola

Es muy importante conocer las características de la parábola, ya que permite analizar su comportamiento y su representación gráfica. A continuación, sus características:

I. Es una curva simétrica cuyo eje de simetría pasa por un punto extremo, llamado vértice.

II. El eje de simetría crea dos lados que se extienden en direcciones opuestas: uno hacia la izquierda y el otro hacia la derecha, denominado ramas.

III. Los coeficientes (a, b, c) de la función cuadrática determinan la posición y la forma de la parábola.

IV. Las funciones específicas de cada coeficiente son las siguientes:

• a = Define la concavidad de la parábola, lo que determina si el punto vértice es un mínimo o un máximo.
• b = Posiciona el eje de simetría en dirección horizontal. Esto quiere decir que, al realizar cambios en b el punto vértice se desplazaría horizontalmente.
• c = Es el intercepto con el eje “y”.  Donde un punto de la rama toca el eje de las ordenadas. Cuando se varía c la parábola se mueve verticalmente.

Juega con los coeficientes de la función cuadrática

En este juego verás como los coeficientes de una función cuadrática afecta la forma y la posición de la parábola.

Consiste en 3 botones deslizantes y cada uno representa un coeficiente.

Te invito a experimentar, jugar y descubrir por ti mismo cómo cada coeficiente transforma la parábola. ¡Explora y saca tus propias conclusiones!

Pasos para graficar funciones cuadráticas

Para graficar funciones cuadráticas:

Es recomendable llevar a cabo 6 pasos clave, los cuales son los siguientes:

I. Extraer los coeficientes de la función cuadrática

Las funciones cuadráticas pueden presentarse desde un término en adelante.

• Coeficiente # 1 = a
• Coeficiente # 2 = b
• Coeficiente # 3 = c

II. Identificar el tipo de concavidad y el tipo de vértice

El coeficiente encargado es a.

• Sí, a > 0.  La parábola es cóncava hacia arriba y el punto vértice se comporta como un punto mínimo.
• Sí, a < 0.  La parábola es cóncava hacia abajo y el punto vértice se comporta como un punto máximo.

III. Calcular el punto vértice

Donde f (x) es la función dada.

IV. Determinar los interceptos

Para conseguir los interceptos o los puntos de cortes, primero debes igualar a cero a y   y  x.

y  = 0 ; x  = 0

Interceptos de y : 

x  = 0

Aquí, debes reemplazar o sustituir x  = 0 en la función dada, quedando así:

y = c

Entonces, se obtiene el primer punto intercepto:

Interceptos de x :

Aplicar la fórmula general de la ecuación cuadrática llamada también resolvente o Bhaskara para hallar las raíces.

El discriminante es la expresión ubicada dentro de la raíz cuadrada en la fórmula general y determina los tres posibles tipos de soluciones de la ecuación cuadrática.

Posibles soluciones del discriminante.

a. Sí,  (Resultado positivo).

• La ecuación cuadrática posee dos raíces.
• Las ramas izquierda y derecha pasa por el eje x .

b. Sí, (Resultado negativo).

• No existen raíces o soluciones reales.
• Las ramas no cruzan por el eje “ x “.
• La parábola queda por encima o por debajo del eje “ x  “.

c. Sí,

• La ecuación cuadrática posee una sola raíz.
• El vértice de la parábola toca un punto del eje “ x “.

Entonces, se puede obtener hasta dos puntos o simplemente ninguno, esto quedaría de la siguiente manera:

• Un punto B( x₁, 0 ).
• Dos puntos B( x₁, 0 ); B( x₂, 0 ) o
• Ningún punto (No existe interceptos).

V. Crear la tabla de valores

Muchas veces los puntos obtenidos (interceptos con los ejes “x  ” y “y ”, junto con el punto vértice) no son suficientes para representar la gráfica con precisión.

La recomendación es:

Elegir valores de “ x  “ cercanos al vértice o algún punto intercepto que facilite la prolongación de una de las ramas, lo que permitirá una representación adecuada.

VI. Graficar

Debes tener en cuenta las siguientes recomendaciones para poder graficar:

1. Escoge una escala acorde en función a los puntos obtenidos, tanto para el el eje “x ” y el eje “y ” y dibuja el cuadrante o los cuadrantes donde se encuentre la parábola.
2. Grafica todos los puntos, notarás como esos puntos generan la forma de una rama.
3. Dibuja una recta que pase por el vértice de la parábola, representando el eje de simetría de la parábola.
4. Aplica simetría axial, en cada punto traza una línea segmentada y perpendicular al eje de simetría, para obtener la imagen que es la otra rama.
5. Une cada punto y ¡listo! Ya tienes la parábola.

Ejemplos prácticos de gráficos de funciones cuadráticas

Por medio de estos ejemplos prácticos, aprenderás a graficar las funciones cuadráticas aplicando los seis pasos.

I. Coeficientes

II. Tipo de concavidad y tipo de vértice

Cóncava hacia arriba con un punto mínimo (vértice)

III. Cálculo del punto vértice

Sustituyendo los coeficientes queda así:

El punto vértice es:

IV. Interceptos

V. Tabla de valores

Solo se cuenta con dos puntos:

Por lo tanto, es necesario buscar valores cercanos con el intercepto con “y”,  para agrandar la rama.

x		y	Pto.
1		6	(1,6)
2		11	(2,11)

VI. Graficar

Se grafica los cuatro puntos obtenidos, observa la imagen:

Ahora aplica simetría axial de esos puntos graficados para obtener la imagen.

Une cada punto para obtener la parábola.

I. Selección de los coeficientes

II. Concavidad y vértice

Es Cóncava hacia abajo, por lo tanto posee un punto máximo.

III. Determinar el valor del punto vértice

Reemplazar los coeficientes en la fórmula:

El punto vértice es:

IV. Calcular los interceptos o puntos cortes

 V. Construcción de tabla de valores

Se cuenta con los puntos:

VI. Graficar

Graficando esos puntos se ve así:

Es obligatorio crear la tabla de valores para prolongar cualquier rama de la parábola. Para este ejemplo se selecciona valores del lado izquierdo del punto vértice para prolongar esa rama.

x		y	Pto.
-3		-3	(-3,-3)
-4		-8	(-4,-8)

Los puntos en total son:

En la gráfica se mostrará 5 puntos ya que existen dos puntos igualados.

Se traza el eje de simetría y se aplica simetría axial, para obtener la imagen de la rama y de esta manera la parábola.

Actividades

Grafica las siguientes funciones cuadráticas y aplicando los 6 pasos.