10ºGrado

¿Sabes cómo determinar el rango de una función? Antes de la explicación de este tema, es necesario conocer su definición, también conocido con el nombre de recorrido, el cual se define como el conjunto de las imágenes de la función, el rango es el segundo valor de cada par ordenado, es decir, que gráficamente está localizado en el eje de las ordenadas o eje “y”. Se simboliza como Rgo f

Rango de una función gráficamente

A continuación, observa la siguiente imagen donde está graficada la función $$f(x)=x+1$$

Para poder representar gráficamente la recta de la fig#1, en primer lugar se sustituyen los valores arbitrarios de “x” en la función \(f(x)=x+1\) , estos valores son pertenecientes al dominio o al conjunto de partida, luego se obtiene las imágenes o rango es decir los valores de “y”.

El rango de toda función es la proyección de la recta o la curva graficada sobre el eje “y”,  el rango de la función \(f(x)=x+1\) proviene del – ∞ hacia el + ∞ esto quiere decir que el rango de esta función son todos los ℜ.

Métodos para determinar el rango

Para determinar el rango de una función, que es el conjunto de todos los valores de salida o valores de “y” posibles, se puede utilizar métodos analíticos y gráficos.

Método analítico

Se enfoca en la expresión matemática de la función. Existe dos enfoques principales: trata de despejar la variable “x” y determinar si existen o no restricciones en “y”

Despejando la variable “x”

El rango de la función y = f ( x ) es el dominio de su función inversa, x = f ^-1( y ) . Para determinar el rango debes cumplir con los siguientes pasos:

1. Reemplaza f ( x ) con y.
2. Despejar la variable x en términos de y.
3. Determina el dominio de la nueva función, que ahora está en términos de y. Este dominio es el rango de la función original.

Ejemplo:

Determina el rango de la siguiente función

$$f(x)=\frac{1}{x-4}$$

Solución:

$$y=\frac{1}{x-4}$$

$$y(x-4)=1\Rightarrow yx-4y=1\Rightarrow$$

$$yx=1+4y\Rightarrow $$

$$x=\frac{1+4y}{y}$$

Al observar la nueva función, la variable y no puede ser cero. Por lo tanto, el dominio de esta nueva función son todos los \(\mathbb{R}\) a excepción del cero.

El rango de la función original es:

$$R_{f}=\left ( -\infty ,0 \right )\cup \left ( 0,\infty \right )$$

Analizando la función

Esta modalidad es útil para funciones más simples como las cuadráticas, exponenciales y la trigonométricas.

Funciones cuadráticas

Para este tipo de funciones el rango depende del vértice, si:

• a > 0, la parábola es cóncava hacia arriba dónde el vértice es el valor mínimo y el rango es [ y_vértice , ∞ ).

• a < 0, la parábola es cóncava hacia abajo dónde el vértice es el valor mínimo y el rango es ( –∞, y_vértice ]

Para determinar la coordenada “ y ” del vértice es a través de la siguiente expresión:

$$y_{vertice}=\frac{4ac-b^{2}}{4a}$$

Funciones con raíces de índice par

Para funciones como \(f(x)=\sqrt{x-3}\), la cantidad subradical debe ser positiva, es decir, \(x-3\geq 0\). Por lo tanto, el rango es [ 0, ∞ ).

Método gráfico

Es un método visual y a menudo más intuitivo. Para determinar el rango, sólo debes proyectar verticalmente la gráfica en el eje “ y ”.

Ejemplos

Analice las funciones representadas en las siguientes gráficas, posteriormente determine dominio y rango.

Dada la función:

$$f(x)=x^{2}-4$$

En el eje “x” está definida para todos los valores, es decir que el dominio es: $$D_{f}=\mathbb{R}$$

En el eje “y” está definida para valores mayores o iguales a: -4, es decir que el rango es:

$$R_{f}=[-4,\infty )$$

Gráfica

Dada la función:

$$f(x)=\frac{x-2}{x-1}$$

En el eje “x”  No está definida para x = 1, es decir que el dominio es :

$$D_{f}=(-\infty , 1)\cup (1,\infty )$$

En el eje “y”  El 1 No es imagen de ningún elemento de x, es decir que el rango es:

$$R_{f}=(-\infty , 1)\cup (1,\infty )$$

Gráfica

Ejercicio resuelto

Grafique y determine el dominio y rango de la siguiente función:

$$f(x)=\sqrt{5x-2}$$

Solución:

Como es una función radical de índice par la cantidad subradical debe ser positiva, entonces, los valores de “x ”deben ser:

$$\sqrt{5x-2}\geq 0$$
$$5x-2\geq 0$$
$$5x\geq 2$$
$$x\geq \frac{2}{5}$$

Por lo tanto el dominio de la función es:

$$D_{f}=\left [ \frac{2}{5},\infty \right )$$

Cálculo del rango

$$f(x)=\sqrt{5x-2}$$
$$y=\sqrt{5x-2}$$
$$y^{2}=5x-2$$
$$x=\frac{y^{2}+2}{5}$$

La nueva función no tiene restricciones para los valores de y. Pero la función original, \(f(x)=\sqrt{5x-2}\) es una raíz cuadrada de un número real que nunca puede ser negativo. Por lo tanto, el valor de y siempre debe ser ≥ 0.

Combinando la restricción de la función original y el resultado del despeje, el rango de la función es:

$$R_{f}=[ 0,\infty )$$

Todos los valores posibles de salida es cualquier número real no negativo.

Tabla de valores

El dominio inicia desde 2/5 es decir 0,4. Por lo tanto se crea la tabla de valores a partir de ese valor mínimo.

Gráfica

Actividades

Hacer el estudio de cada una de las siguientes funciones determinando:

1. Dominio
2. Rango
3. Gráfico

Resultados

Si estás buscando clasificación de funciones has llegado al lugar correcto, podrás ver cada una de las funciones y sus características. ¿Qué puede provocar las relaciones en las funciones? Según el tipo de relación que puede tener los elementos del conjunto de partida con respecto a los elementos del conjunto de llegada puede generar tres tipos de clasificación de funciones, llamadas: inyectiva, sobreyectiva y biyectiva.

Función Inyectiva

La función inyectiva es llamada también «uno a uno» por que cada elemento del conjunto de partida le corresponde imágenes distintas.

Determinar si es o no inyectiva en diagramas sagitales

En la figura # 1 , los elementos «x» y «y» del conjunto de partida comparten la misma imagen «b«, por lo tanto no es una función inyectiva.

En la figura # 2 , todos los elementos del conjunto de partida (1,2,3,4) poseen distintas imágenes (b,c,d,a) por lo tanto es una función inyectiva.

Determina si una función es inyectiva de forma geométrica

Es muy fácil, lo primero es realizar la representación gráfica y luego se aplica el criterio de la recta horizontal lo cual consiste en dibujar una serie de líneas paralelas al eje “x” , sí estas líneas interceptan a la curva de la función en un sólo punto entonces se concluye que la función es Inyectiva.

Ejemplo # 1: Determine si la función es inyectiva

$$f(x)=2x^{3}$$

Crear la tabla de valores

Graficar en el plano cartesiano

Trazar rectas paralelas
Observa que las rectas sólo corta a la curva en un punto, esto quiere decir que la función es Inyectiva.

Determinar analíticamente para conocer si es o no inyectiva

$$x_{1}; x_{2} \in \operatorname{Dom}(f)$$

$$f(x_{1}) = f(x_{2}) \Rightarrow x_{1} = x_{2}$$

Esta es la condición para saber si la expresión es una función afín.

Ejemplo # 1: Indique si las siguiente función es inyectiva.

$$f(x) = 5x + 3$$

$$f(x_{1}) = f(x_{2})$$

$$5x_{1} + 3 = 5x_{2} + 3$$

$$5x_{1} = 5x_{2}$$

$$x_{1}=x_{2}$$

Conclusión: como x₁=x₂  esta función es inyectiva.

Ejemplo # 2: Indica si la función es inyectiva.

$$f(x) = x^{2} + 4$$

$$f(x_{1}) = f(x_{2})$$

$$\left ( x_{1} \right )^{2}+4=\left ( x_{2} \right )^{2}+4$$

$$\left ( x_{1} \right )^{2}=\left ( x_{2} \right )^{2}$$

Se iguala a cero:  

$$x_{1}^{2} – x_{2}^{2} = 0$$

Factorizar por diferencia de cuadrados perfectos

$$(x_{1} + x_{2})(x_{1} – x_{2}) = 0$$

Igualar cada factor a cero

$$(x_{1} + x_{2}) = 0$$

$$(x_{1} – x_{2}) = 0$$

Despejando:

$$x_{1}=-x_{2}$$

$$x_{1}=x_{2}$$

Conclusión: como son dos resultados distintos, entonces esta función No es inyectiva.

Función Sobreyectiva

Una función es sobreyectiva cuando el rango es igual al conjunto de llegada. Es decir, que todos los elementos del conjunto de llegada sean imagen de por lo menos un elemento del conjunto de partida.

En la figura#3 es sobreyectiva, ya que el rango es el mismo conjunto de llegada, es decir todos los elementos del conjunto de llegada son imágenes, observe que el elemento «b» del conjunto de llegada es imagen de dos elementos distintos del conjunto de partida.

La figura#4 también es sobreyectiva, su rango es el mismo conjunto de llegada, aquí todos los elementos del conjunto de llegada es imagen de un elemento distinto del conjunto de partida.

La figura#5 no es sobreyectiva, por la simple razón que un elemento del conjunto de llegada no es imagen, este elemento es «g» del conjunto D.

Función Biyectiva

Una función cumple con ser Biyectiva cuando es Inyectiva y Sobreyectiva, esto quiere decir que la funciones biyectivas se cumple cuando todos los elementos del conjunto de llegada es imagen de un sólo elemento del conjunto de partida. Observa el siguiente diagrama sagital:

En la figura#6 cada elemento del conjunto de llegada es imagen de un elemento distinto del conjunto de partida entonces es una función Inyectiva. Todo el rango es el mismo conjunto de llegada es decir es una función Sobreyectiva, entonces al ser Inyectiva y sobreyectiva es finalmente una función Biyectiva.

Explicación fácil de función inyectiva y sobreyectiva

Ejercicios de clasificaciones de funciones

Determina cuáles de las siguientes funciones f son inyectivas

Ahora que conoces más acerca de la clasificación de funciones es momento que pongas en práctica los conocimientos aprendidos. No olvides compartir y suscribirte a nuestro sitio web.

¿Sabías que las funciones están presentes en muchos aspectos de nuestra vida diaria? Aunque no siempre nos demos cuenta, constantemente utilizamos relaciones que pueden expresarse como funciones.

• Cuando expresamos nuestras ideas o emociones, por ejemplo: “si estudio más, obtengo mejores resultados”, estamos estableciendo una relación causa–efecto, muy similar a una función.
• En el consultorio médico, cuando el doctor nos entrega un resultado de un estudio, ese valor depende directamente de una variable, como la presión arterial, la glucosa o la edad del paciente.
• Al viajar en carro, la cantidad de kilómetros que podemos recorrer está en función de la gasolina que se le agregue al tanque: más gasolina, más distancia.
• En la economía familiar también las usamos: el costo total de un producto depende del número de unidades compradas.
• Incluso en actividades sencillas, como preparar jugo, el tiempo que tardamos depende de la cantidad de frutas que tengamos que pelar o licuar.

En pocas palabras: cada vez que una cantidad depende de otra, estamos frente a una función.

Definición de funciones

Una magnitud “y” se llama función de la variable “x”, si a cada valor de “x” corresponde, a cierta ley de correspondencia, un único valor determinado de “y”. En este caso se dice que “y es función de x” y esto se puede expresar de la siguiente manera:

$$y=f(x)$$

Elementos de una función

En una función el conjunto de partida “X” es el dominio conocido también como las preimágenes y se escribe: Dom f.

Todo el conjunto de llegada “Y” es llamado codominio o contradominio y se escribe: Cod f.

El rango, también llamado recorrido, es el conjunto formado por todos los elementos del codominio que efectivamente son imágenes de algún valor del dominio.

El rango se escribe: Rg f

Ejemplo. 

Sean:

\(X = \{1, 2, 3\}\) y

\(  Y = \{a, b, c, d\}  \)

si  \(g:X \rightarrow Y\) es una función de \(X\) en \(Y\)

Identifica los siguientes elementos de la función g.

• Conjunto de partida (dominio).
• Conjunto de llegada (codominio).
• Elementos del conjunto de partida (preimágenes).
• Elementos del conjunto de llegada.
• Rango o imágenes.

Solución

Conjunto de partida:

\( Dom(g)=X \)

Conjunto de llegada:

\( Cod(g)=Y \)

Elementos del conjunto de partida:

\( X = \{ 1, 2, 3 \} \)

Elementos del conjunto de llegada:

\( Y = \{ a, b, c, d \} \)

Rango:

\(Rg(g)= \{ a, b, c \} \)

Diferentes maneras de expresar funciones

Una función f  de un conjunto “ X ” en otro conjunto “ Y ” es una correspondencia que asigna cada elemento \(x \in X\) un sólo elemento \(y \in Y\)

Los elementos  \(y \in Y\) son las imágenes de x bajo f

Las funciones generalmente se escriben con letras minúsculas como f, g, h, . . . y se expresan de la siguientes maneras:

\(f: X \rightarrow Y\)        \(x \rightarrow f(x)\)      \( X \overset{f}{\rightarrow} Y\)

Su significado indica que f manda x a y o que f  manda x a f (x) . La expresión f (x) significa la imagen de x.

Por ejemplo, f(x) = \(x^{2}\)

f manda x a x² , es decir, que cada pareja ordenada se expresa \((x, x^{2})\).

El valor de la función:

\(f(x)\) cuando \(x = 2\)  es  \(f(2) = 2^{2} = 4\)  y el par ordenado es \((2, 4)\).

Es o no función

Una función es una regla que asigna cada elemento del conjunto de partida un elemento del conjunto de llegada, es decir que toda función es una relación, pero no toda relación es una función.

¿Cómo conocer si es una función?

Se debe tener en cuenta las siguientes condiciones:

1. Es función cuando cada elemento del conjunto de partida se relaciona únicamente con una imagen.
2. No es función, sí al menos un elemento del conjunto de partida no está relacionado.
3. No es función, cuando un elemento del conjunto de partida posee más de una imagen.

¿Cómo saber si es función en un diagrama sagital?

En la figura a continuación, la relación f  es función debido a que cada elemento del conjunto de partida A sólo se relaciona con un elemento del conjunto de llegada B.

La relación g , No es función ya que los elementos 5 y 7 del conjunto de partida A poseen más de una imagen en el conjunto de llegada B.

La relación h,  No es función debido que el elemento w del conjunto de partida A no posee imagen. 

¿Cómo saber si es función una expresión algebraica?

Para determinar si una expresión algebraica representa una función, primero se construye la tabla de valores y se elabora su gráfica. Luego se aplica la prueba de la línea vertical: si al trazar una línea vertical esta corta a la gráfica en un solo punto, se trata de una función; en caso contrario, no lo es.

Ejemplo: Es función la siguiente expresión

$$f(x) = \pm \sqrt{x+2}$$

Paso#1: Tabla de valores.

Paso#2: Gráfica y trazado de línea vertical.

Como conclusión la expresión dada \(f(x) = \pm \sqrt{x+2}\)
No es función ya que al aplicar la prueba de la línea vertical toca dos puntos en la curva.

Representación de funciones

Existen muchas formas para representar a las funciones, entre estas representaciones están las de:

1. Representación verbal. Se realiza por medio de una expresión explícita de la regla que asigna a cada elemento del conjunto de partida o dominio, con su correspondiente imagen. Por ejemplo «El doble de un número»
2. Representación algebraica. Es cuando se expresa a través de una fórmula. Por ejemplo f ( x ) = 2x
3. Representación en tabla de valores. Se refiere a dos filas o dos columnas, en la primera fila o la primera columna se distribuye los valores de la variable independiente “ x ”  y en la segunda fila o columna los valores de la variable dependiente “ y ”. A continuación una tabla de valores de dos columnas.
   
4. Representación gráfica. Es obtenida al ubicar en el plano cartesiano un par ordenado ( x , y ), proveniente de la tabla de valores, al representar cada par ordenado se obtiene la siguiente gráfica.

Ejemplo de funciones en la vida diaria

Un ejemplo muy fácil de funciones es cuando vamos a comprar cebollas al mercado por el precio de $1000 el kilogramo, entonces la ley que determina el valor de la cebolla es la siguiente expresión matemática:

$$y = 1000x$$

donde:    \(y = \text{costo}\) y \(x = \text{peso (kg)}\)

Ahora observe la compra que realizaron 6 personas, cada pago que efectuaron está en función a las cantidades de cebollas que seleccionaron, dicho en otras palabras cada costo de pago se ejecutó en función al peso.

La ley de correspondencia que determina el precio de las cebollas en función al peso en palabras sería de la siguiente manera:

«Para determinar el precio de las cebollas es necesario multiplicar el peso de las cebollas por el valor de la misma en este caso $ 1000»

Variables dependientes e independientes

Las variables dependientes dependen de los valores de las variables independientes, la variable independiente es conocida también como la Causa y la variable dependiente como Efecto. La variable independiente es “x” y la dependiente es “y”.

La variable independiente “x” es aquella que se controla o se elige libremente. Un ejemplo sencillo lo encontramos en una máquina exprimidora de caña de azúcar: la caña de azúcar representa la variable independiente, mientras que el jugo obtenido al exprimirla corresponde a la variable dependiente “y”. Observa la imagen:

Otro ejemplo se presenta al construir una tabla de valores: asignamos distintos valores a la variable independiente “x”, y en consecuencia, la variable dependiente “y” cambia de acuerdo con dichos valores.

Finalmente llamaremos a las variables de la siguiente manera:

x= variable

y= función

Función real de variable real

Se llaman así cuando la variable y la función están definidas en el conjunto de los números reales

la función:

f :  A  →  ℜ

Donde:

ℜ = Conjunto de los números reales

A ⊆ ℜ

Actividades

I.Dado el conjunto M=\(\{-2, 0, 2, 3, 4\}\) y la ley de correspondencia:

$$f(x)=x^{2}$$
Determine:

• El conjunto N.
• Escriba en pares ordenados cada relación.
• Represente en un diagrama sagital.
• Hallar el dominio, codominio y rango.

II.Grafique las siguientes funciones:

Y determinar:

• Dominio.
• Rango.
• Codominio.
• Si es o no función

III.Hallar los valores numéricos de cada función:

IV.Representar por medio de un diagrama sagital la siguiente función, a partir de sus pares ordenados:

V.Determine en cada caso si el conjunto de pares ordenados corresponde a una función del conjunto X en el conjunto Y

VI.Determine las imágenes \(f(1); \, f(-2); \, f(g+10)\) mediante la función \(f(x) = 5x – 3\)

¿Quieres aprender a dominar tus videojuegos favoritos sabiendo cómo reducir ángulos al primer cuadrante? Imagina que tienes que hacer un lanzamiento perfecto, pero el objetivo está en un ángulo de 300°. En lugar de memorizar todos los valores para cada ángulo, existe un «truco» matemático que simplifica ese 300° a un ángulo mucho más fácil de manejar: 60°. Con esta técnica, podrás descifrar cualquier ángulo, sin importar qué tan grande sea, ¡y subir de nivel en tus habilidades de cálculo!

Signos de las funciones trigonométricas

Según el cuadrante donde se ubique el ángulo las funciones trigonométricas puede ser positivas o negativas, por ejemplo si el ángulo es 150° este está ubicado en el segundo cuadrante por lo tanto la función trigonométrica del seno de 150° es positivo y la función trigonométrica del coseno de 150° es negativo.

$$\sin 150^{\circ} = \frac{1}{2}$$

$$\cos 150^{\circ} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Para los signos de la tangente debes dividir el signo del seno entre el signo del coseno.

Los signos de las funciones inversas son los mismos signos de sus funciones directas.

Cómo obtener los valores de las funciones trigonométricas sin calculadora

Para obtener los valores de las funciones trigonométricas (ejemplo: sin150°=1/2) de ángulos notables (30°, 45°, 60°, 120°, 135°, 150°, 210°, 225°, 240°, 300°, 315°, 330°) no hace falta que utilices la calculadora, solo debes hacer uso del siguiente truco matemático, observa la imagen:

Ejemplo # 1. Determine sen30°

Resultado: $$sen30^{\circ }=\frac{{1}}{2}$$

Ejemplo # 2. Calcular cos210°

Resultado: $$cos210^{\circ }=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Para conseguir los valores de la función tangente debes aplicar la razón trigonométrica:

$$tan\alpha=\frac{sen\alpha }{cos\alpha }$$

Por ejemplo, hallar el valor de la tan150°

$$tan150^{\circ }=\frac{\frac{1}{2} }{-\frac{\sqrt{3}}{2} }$$

$$tan150^{\circ }=-\frac{\sqrt{3}}{3}$$

Fórmulas para convertir ángulos del IV,III,II al I cuadrante

¿Cómo reducir ángulos al primer cuadrante? No te preocupes, a continuación, te muestro tres fórmulas sencillas que son el atajo que estabas buscando. Con ellas, podrás convertir de manera rápida y sin complicaciones cualquier ángulo del segundo, tercer o cuarto cuadrante a su valor equivalente en el primer cuadrante. Dominar esta herramienta es clave para simplificar tus cálculos y resolver cualquier problema de trigonometría.

Caso#1: Convertir ángulos del II cuadrante al I cuadrante

Ejemplo#1: Convertir el ángulo 120° al primer cuadrante y determinar todas las funciones trigonométricas y sus inversas

Solución#1:

1. Identificar el cuadrante del ángulo, en este caso el ángulo 120° se encuentra en el cuadrante II
2. Seleccionar la fórmula, por estar el ángulo (120°) en el II cuadrante se aplica la primera fórmula: $$\alpha = 180^{\circ} – \beta$$
3. Cálculo del ángulo en el primer cuadrante, se sustituye el valor del ángulo 120° en la fórmula: $$\alpha = 180^{\circ} – 120^{\circ} = 60^{\circ}$$
4. Ángulo coterminal = 60°

Solución#2:

1. Determinar todas las funciones trigonométricas. El ángulo de 120° es del II cuadrante por lo tanto el resultado de los signos de las funciones trigonométricas del seno es +, del coseno es -, y el de la tangente es -, y los signos de sus inversas son los mismos.

$$\sin 120^{\circ} = \sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

$$\cos 120^{\circ} = -\cos 60^{\circ} = -\frac{1}{2}$$

$$\tan 120^{\circ} = -\tan 60^{\circ} = -\sqrt{3}$$

$$\csc 120^{\circ} = \csc 60^{\circ} = \frac{2}{\sqrt{3}}$$

Por estar el radical en el denominador se racionaliza y su procedimiento es el siguiente:

$$\csc 120^{\circ} = \csc 60^{\circ} =$$
$$ =\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{(\sqrt{3})^{2}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$$

$$\sec 120^{\circ} = -\sec 60^{\circ} = -2$$

$$\cot 120^{\circ} = -\cot 60^{\circ} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$$

Caso#2: Convertir ángulos del III cuadrante al I cuadrante

Ejemplo#2: Convertir el ángulo 225° al primer cuadrante y determinar todas las funciones trigonométricas e inversas.

Solución#1:

1. Identificar el cuadrante del ángulo, el ángulo 225° se encuentra en el III cuadrante
2. Seleccionar la fórmula, se aplica la segunda fórmula \(\alpha = \beta – 180^{\circ}\)
3. Cálculo del ángulo, se sustituye el valor del ángulo 225° en la fórmula: $$\alpha = 225^{\circ} – 180^{\circ} = 45^{\circ}$$
4. Ángulo coterminal = 45°

Solución#2:

1. Determinar todas las funciones trigonométricas tomando en cuenta sus signos en el III cuadrante

$$\sin 225^{\circ} = -\sin 45^{\circ} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$

$$\cos 225^{\circ} = -\cos 45^{\circ} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$

$$\tan 225^{\circ} = \tan 45^{\circ} = 1$$

$$\tan 225^{\circ} = \tan 45^{\circ} = 1$$

$$\csc 225^{\circ} = -\csc 45^{\circ} = $$
$$=-\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = -\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = -\sqrt{2}$$

$$\sec 225^{\circ} = -\sec 45^{\circ} =$$
$$= -\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = -\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = -\sqrt{2}$$

$$\cot 225^{\circ} = \cot 45^{\circ} = 1$$

Caso#3: Convertir ángulos del IV cuadrante al I cuadrante

Ejemplo#3: Convertir el ángulo 330° al primer cuadrante y determinar todas las funciones trigonométricas e inversas

Solución#1:

1. Identificar el cuadrante del ángulo, el ángulo 330° se encuentra en el IV cuadrante
2. Seleccionar la fórmula, se aplica la tercera fórmula \(\alpha = 360^{\circ} – \beta\)
3. Cálculo del ángulo, sustituir el valor del ángulo 330° en la fórmula: $$\alpha = 360^{\circ} – 330^{\circ} = 30^{\circ}$$
4. Ángulo coterminal = 30°

Solución#2:

1. Determinar todas las funciones trigonométricas tomando en cuenta sus signos en el IV cuadrante

$$\sin 330^{\circ} = -\sin 30^{\circ} = -\frac{1}{2}$$

$$\cos 330^{\circ} = \cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

$$\tan 330^{\circ} = -\tan 30^{\circ} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$$

$$\csc 330^{\circ} = -\csc 30^{\circ} = -\frac{1}{\frac{1}{2}} = -2$$

$$\sec 330^{\circ} = \sec 30^{\circ} =$$
$$= \frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$$

$$\cot 330^{\circ} = -\cot 30^{\circ} =$$
$$= -\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{3}} = -\frac{3}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = -\sqrt{3}$$

Caso#4: Convertir ángulos mayores de 360° al I cuadrante

Cuando son ángulos mayores de 360° se realiza una división de ese ángulo entre 360° y se escoge el residuo.

Ejemplo#4: Determine el valor del seno de 2025°

Para determinar la reducción de este ángulo al I cuadrante debes cumplir con los siguientes pasos:

1. Dividir el ángulo 2025° entre 360°, se toma el resto como ángulo reducido
2. El ángulo 225° está en el III cuadrante, se aplica todos los 4 pasos de los casos anteriores para obtener el ángulo coterminal en el I cuadrante
3. \(\alpha = 225^{\circ} – 180^{\circ} = 45^{\circ}\)

$$\sin 2025^{\circ} = -\sin 225^{\circ} =$$
$$= -\sin 45^{\circ} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Actividades

1. Determine el valor de las funciones trigonométricas de 1590°
2. Calcular las funciones trigonométricas de 7410°
3. Calcular el valor de las funciones trigonométricas de 20115°
4. Calcular el valor de las funciones trigonométricas de 404505°
5. Explique paso a paso ¿Cómo reducir ángulos al primer cuadrante?

¿Alguna vez te has preguntado cómo los videojuegos logran que tus lanzamientos de granadas o tus tiros a distancia sean tan precisos?
Detrás de cada trayectoria perfecta en un videojuego, se esconde la matemática de los ángulos. Desde la precisión necesaria para un tiro en un simulador de francotirador hasta el ajuste del ángulo de un golpe de golf virtual, todo se basa en el sistema sexagesimal. Aprender a convertir y operar con grados, minutos y segundos no solo te hará mejor en geometría, sino que te dará una nueva perspectiva sobre la lógica que rige los mundos digitales que tanto nos gustan.

Medición de ángulos en el sistema sexagesimal

Al dividir una vuelta en 360 partes iguales, cada una de ellas tiene como medida un grado sexagesimal, es decir, la fracción 1/360 .

Si uno de dichos grados se divide en 60 partes iguales, cada una de las partes recibe el nombre de minuto. Es decir 1/60 de grado equivale a 1’, donde el símbolo ’ se lee minuto.

Al dividir cada minuto en 60 partes iguales, cada una de ellos recibe el nombre de segundo. Es decir, 1/60 de minuto equivale 1”, este símbolo se conoce como segundo.

Entonces, se concluye que: $$1^{\circ }=60’=3600^{\prime\prime}$$

Por lo tanto es muy importante que tengas siempre presente las siguientes relaciones:

$$1^{\circ }=60’$$

$$1^{\prime}=60^{\prime\prime}$$

$$1^{\circ }=3600^{\prime\prime}$$

Expresiones dentro del sistema sexagesimal

En el sistema sexagesimal, los ángulos pueden expresarse de dos maneras diferentes, aunque ambas representan la misma medida angular.

• Grados decimales. En esta forma, el ángulo se expresa mediante una parte entera (los grados) y una parte decimal, que representa la fracción del grado. Por ejemplo: $$62,35^{\circ}$$
• Grados, minutos y segundos. Esta es la forma tradicional del sistema sexagesimal, en la que la fracción del grado se divide en minutos y segundos, donde: $$1^{\circ}=60’$$
  $$1’=60»$$

Por ejemplo:$$62^{\circ}21’0^{\prime\prime}$$

Los grados decimales pueden convertirse a grados, minutos y segundos, y también de forma viceversa. Estas dos formas representan una misma medida angular dentro del sistema sexagesimal, pero se diferencian en la manera en que se expresan las fracciones del grado.

Importancia de convertir grados decimales

Saber convertir grados decimales a grados, minutos y segundos, y viceversa, es una habilidad importante porque los ángulos pueden representarse de diferentes formas dentro del mismo sistema sexagesimal. Comprender estas transformaciones permite interpretar correctamente medidas angulares y trabajar con ellas con mayor precisión.

En la vida diaria, estas conversiones aparecen con frecuencia en herramientas de navegación como los sistemas GPS, mapas digitales y aplicaciones de geolocalización. En algunos dispositivos las coordenadas se muestran en grados decimales, mientras que en otros se presentan en grados, minutos y segundos. Por esta razón, saber convertir entre estas dos formas facilita la comprensión y el uso correcto de la información.

Como estudiante, dominar estas conversiones es fundamental para resolver problemas relacionados con geometría, trigonometría y geografía. Además, te ayuda a interpretar mejor los datos que aparecen en ejercicios, gráficos o instrumentos de medición, fortaleciendo tu comprensión de los ángulos y sus aplicaciones.

Finalmente, en el ámbito profesional, esta habilidad es especialmente útil en áreas como la topografía, la ingeniería, la astronomía y la navegación, donde las medidas angulares pueden presentarse en distintos formatos. Saber realizar estas conversiones permite leer información técnica con mayor claridad, realizar cálculos correctos y comunicar resultados de manera precisa.

Cómo convertir grados decimales a grados, minutos y segundos

Para realizar esta conversión, debes separar la parte entera del número, que corresponde a los grados, y la parte decimal se transforma primero en minutos y luego, si es necesario, en segundos.

Procedimiento

Primero. Igualar la medida del ángulo como la sumatoria de la parte entera y su parte decimal.
$$35,875^{\circ } = 35^{\circ } + 0,875^{\circ }$$

Segundo. Multiplicar la parte decimal por el factor \(\frac{60′}{1^{\circ }}\) para conseguir la cantidad de minutos.
$$35,875^{\circ } = 35^{\circ } + (0,875^{\circ } \cdot \frac{60′}{1^{\circ }})$$
$$35,875^{\circ } = 35^{\circ } + 52,5’$$

Si se obtiene una cantidad de minutos en decimales, nuevamente se expresa esa cantidad como la suma de su parte entera y su parte decimal multiplicándola por el factor \(\frac{60^{\prime\prime}}{1′}\) .
$$35,875^{\circ } = 35^{\circ } + 52’+(0,5’\cdot \frac{60^{\prime\prime}}{1′})$$
$$35,875^{\circ } = 35^{\circ } + 52^{\prime}+30^{\prime\prime}$$

Finalmente, se concluye que la medida 35,875° = 35°52’30”.

Cómo convertir grados, minutos y segundos a grados decimales 

Para realizar esta conversión, debes transformar cada parte del ángulo a grados utilizando sus equivalencias dentro del sistema sexagesimal.

$$1^{\circ}=60’$$
$$1^{\circ}=3600^{\prime\prime}$$

Luego, se suman los grados con los valores obtenidos al convertir los minutos y los segundos a grados.

De esta manera, paso a paso, tú puedes transformar cualquier medida angular expresada en grados, minutos y segundos a su forma en grados decimales.

Procedimiento

Primero. Descomponer la medida del ángulo como la suma de grados, minutos y segundos, convirtiendo cada uno en grados según su equivalencia.
$$15^{\circ }12^{\prime}25^{\prime\prime}=$$

Segundo. Realizar las operaciones indicadas, por lo que se obtiene:
$$15^{\circ }12^{\prime}25^{\prime\prime}= 15^{\circ } +0,2^{\circ }+0,006^{\circ }$$
$$15^{\circ }12^{\prime}25^{\prime\prime}= 15,206^{\circ }$$

Finalmente, se concluye que la medida angular 15°12’25” expresada en grados decimales es 15,206°.

Operaciones con ángulos sexagesimales

Las operaciones básicas en el sistema sexagesimal permiten sumar, restar, multiplicar y dividir ángulos expresados en grados, minutos y segundos. Para realizarlas correctamente, es necesario tener en cuenta las equivalencias del sistema, especialmente cuando los minutos o los segundos superan su valor máximo y deben convertirse a la unidad superior.

$$1^{\circ }=60’$$

$$1^{\prime}=60^{\prime\prime}$$

$$1^{\circ }=3600^{\prime\prime}$$

Suma de ángulos sexagesimales

Para poder llevar a cabo una suma de ángulos sexagesimales debes cumplir con los siguientes pasos:

Caso # 1 : Cuando los minutos y segundos son menores que 60.

Ejemplo: Sume los ángulos   α=15°12’25” y   β = 12°21’10”

Ordene y sume.

Explicación de suma de ángulos (video)

En este video de YouTube aprenderás cómo realizar la suma de ángulos sexagesimales paso a paso. Verás cómo se suman los grados, minutos y segundos de manera alineada, y qué hacer cuando los minutos o segundos superan los 60: transformarlos a la unidad superior. De esta forma comprenderás fácilmente cómo obtener el resultado correcto en el sistema sexagesimal.

Caso # 2 : Cuando los segundos son mayores o iguales a 60.

Este caso debes ordenar y sumar y si los segundos es mayor que 60” debes aplicar la equivalencia 1’ = 60”.

Ejemplo: Sume los siguientes ángulos  α=49°24’32” y   β = 63°21’42”

• Ordene y sume:

• Aplicar la relación 1´= 60´´

Como:

74´´= 60´´ + 14´´ . Se transforma 60´´ en  1´ , y queda 14´´.

Ese 1´ se suma con los 45´, dando 46´.

Caso # 3 : Cuando los minutos son mayores o iguales a 60.

Este caso debes ordenar y sumar y si los minutos es mayor que 60’ debes aplicar la equivalencia 1° = 60’ .

Ejemplo: Sume los siguientes ángulos  α = 87°56’36”  y   β = 129°85’5”.

• Ordenar y sumar

• Aplicar: 1° = 60´

Como 141´ = 60´ + 60´ +21´ . Se transforma 60´ +60´ = 120´ en 2° grado y quedan 21´.

Ese 2° se suma con los 216°, dando 218°.

Caso # 4 : Cuando los minutos y segundos son menores o iguales a 60.

Este caso se realiza la equivalencia de segundos a minutos y luego de minutos a grados.

Ejemplo: Sume los siguientes ángulos  α = 53°67’56” y   β = 39°85’45”

• Ordenar y sumar

• Aplicar la equivalencia

Como 101´ ´= 60´´ + 41´´ . Se transforma y queda así: 1´ con 41´´.

Ese 1´ se suma con los 152´, dando 153´.

• Transformar los minutos a grados. 1°=60´

153´ = 60´ + 60´ + 33´´. Al transformarse la expresión es: 1° + 1° +33´

Esos 2° se suma a los 92°, resultando 94°.

Resta de ángulos sexagesimales

Para restar ángulos sexagesimales debes seguir estos pasos:

Caso # 1 : Cuando los minutos y segundos son menores que 60.

Ejemplo: Reste los ángulos 32°45’52” y  15°32’43”

• Ordenar y restar

Caso # 2: Cuando el valor del ángulo menor posee segundos más elevados.

Ejemplo: Reste los ángulos 89°15´26´´y  67°13´45´´

• Ordenar. Observa que los segundos del ángulo menor es mayor que los segundos del ángulo mayor.

• Se le resta 1 minuto al mayor ángulo 89°15’26”, ese minuto se transforma a segundos y luego se suma a los 26 segundos. El fin de este procedimiento es lograr que los segundos sea mayor que los segundos del ángulo menor. Observa ahora:

• Reste:

Explicación de resta de ángulos (video)

En este video de YouTube aprenderás a realizar la resta de ángulos sexagesimales de forma sencilla. Te mostraré cómo restar grados, minutos y segundos en columnas y qué hacer cuando no es posible restar directamente: pedir prestado un grado y convertirlo en 60 minutos, o un minuto y transformarlo en 60 segundos. Así, paso a paso, lograrás obtener el resultado correcto dentro del sistema sexagesimal.

Caso # 3: Cuando la cifra mayor no posee minutos y segundos.

Ejemplo: Reste los ángulos 45° y 33° 45´34´´

• Ordenar:

• Cuando un ángulo no presenta minutos ni segundos, se le resta 1° al valor de los grados. Ese grado se convierte en 60′. Luego, de esos 60′ se toma 1′ y se transforma en 60″ (1′ = 60″). De esta manera, el ángulo queda expresado con minutos y segundos suficientes para efectuar la resta. Observa:

• Restar

Multiplicación de ángulos sexagesimales

La multiplicación de ángulos sexagesimales se aplica cuando un ángulo debe repetirse varias veces, lo que equivale a multiplicarlo por un número entero o decimal. El procedimiento consiste en multiplicar el ángulo completo y expresar el resultado en grados, minutos y segundos. Según el caso, si los minutos y segundos obtenidos son menores que 60, se dejan como están; pero si son iguales o mayores que 60, se convierten a la unidad superior correspondiente.

Caso # 1: Cuando en el resultado los minutos y los segundos son menores que 60

Ejemplo: Multiplicar 4 y 4° 12’9”

• Ordenar y multiplicar

Caso # 2: Cuando en el resultado los minutos o los segundos son mayores o iguales a 60

Ejemplo: Multiplicar 15  y  3°12’14”

• Ordenar y multiplicar

• Transformar los segundos y minutos que están fuera de su rango normal (≥ 60″ o ≥ 60′) a su equivalente en minutos y grados respectivamente, para expresar el ángulo de forma correcta.

210´´ =60´´ + 60´´ + 60´´ + 30´´ = 3´ + 30´´

3´ + 180´ = 183´

• Transformar los minutos a grados.

183´ = 60´ + 60´ + 60´ + 3´ = 3° + 3´

Observa que los minutos y segundos están por debajo de los 60.

División de ángulos sexagesimales

La división de ángulos en el sistema sexagesimal consiste en repartir un ángulo dado en partes iguales. El procedimiento consiste en dividir entre el número indicado y, finalmente, transformar la parte decimal del resultado en minutos y segundos.

Ejemplo: Divida 42° 36´ 56´´ entre 4

• Dividir

• Transformación de grados decimales a minutos.

21°/2 = 10,5°
$$10,5^{\circ } = 10^{\circ } + 0,5^{\circ }$$
$$10,5^{\circ } = 10^{\circ } + (0,5^{\circ } \cdot \frac{60^{\prime}}{1^{\circ }})$$
$$10,5^{\circ } = 10^{\circ } + 30^{\prime}$$
$$10,5^{\circ } = 10^{\circ } 30^{\prime}$$

• Sumar los minutos y segundos resultantes

Resultado: 10°39’14”.

Ejemplo: Divida 156° 26´ entre 8

• Ordenar y dividir

• Transformación de grados decimales a minutos.

$$19,5^{\circ } = 19^{\circ } + 0,5^{\circ }$$
$$19,5^{\circ } = 19^{\circ } + (0,5^{\circ } \cdot \frac{60^{\prime}}{1^{\circ }})$$
$$19,5^{\circ } = 19^{\circ } + 30^{\prime}$$

• Sumar los 30 minutos.

• Transformación de minutos decimales a segundos

$$33.25^{\prime } = 33^{\prime}+0,25^{\prime }$$
$$33.25^{\prime } = 33^{\prime} + (0,25^{\prime} \cdot \frac{60^{\prime\prime}}{1^{\prime }})$$
$$63.35^{\prime } = 33^{\prime}+ 15^{\prime\prime}$$

• Sumar los minutos y segundos.

Resultado: 19°33’15”.

Actividades

Exprese cada ángulo decimales en grados, minutos y segundos sexagesimales.

Resuelva las siguientes operaciones.

45°3´56´´ +  69°25´36´´

45°3´56´´ –  69°25´36´´

45  x  69°25´36´´

5°3´6´´ +  4°

Diga si es verdadero o falso los siguientes planteamientos.

• 60° es equivalente a 36000´´
• El resultado de 3°65´98´´ + 1°3´9´´ es 5°9°46´´
• Pedro afirma que 1° = 60´ = 3600´´

Dos tubos de una estructura forma un ángulo de 52°17´33´´. La medida en grados de dicho ángulo es:

• 52,85°
• 53,34°
• 52,29°
• 53,17°

Preguntas frecuentes sobre el sistema sexagesimal

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¿Sabías que los ángulos coterminales están presente en muchos objetos y situaciones que ves a diario? Desde el giro de las manecillas de un reloj hasta los movimientos en tu videojuego favorito, los ángulos coterminales están por todas partes. Comprender qué es un ángulo coterminal te permitirá reconocer patrones de rotación, medir desplazamientos y entender mejor el mundo que te rodea.

Un ángulo en trigonometría es la rotación de una semirrecta sobre su punto de origen o vértice. La posición de inicio de la semirrecta se llama lado inicial, mientras que la semirrecta girada en posición final se llama lado final .

En la figura se muestra el ángulo , que tiene como vértice el punto B , lado inicial es y lado final es .

El ángulo , también puede ser llamado .

¿Qué son los ángulos coterminales?

Dos ángulos son coterminales cuando comparten el mismo lado inicial y el mismo lado final, aunque difieran en su medida por una o más vueltas completas. En otras palabras, ocupan la misma posición en el plano cartesiano, aunque uno sea positivo y el otro negativo.

El segmento es el lado inicial de ambos ángulos, aquí inicia la abertura de los dos ángulos, partiendo desde el I cuadrante, uno de sus ángulos tiene un valor de 150° y es positivo, ya que el giro lo realizó en el sentido contrario de las manecillas del reloj, ubicando el lado final del ángulo en el II cuadrante.

El otro ángulo de 210° es negativo, ya que el giro fue efectuado en el sentido de las manecillas del reloj, es decir, hacia la derecha, llegando el lado final del ángulo hasta el II cuadrante, vea que ambos ángulos llegan a coincidir en el mismo lado final , esto es lo que se conoce como ángulos coterminales.

¿Cómo se calculan los ángulos coterminales?

Los ángulos coterminales pueden calcularse de dos formas:

• Analíticamente y
• Gráficamente.

Para determinar si dos ángulos son coterminales de forma analítica, es muy importante identificar su posición.
Una vez reconocida, se procede a realizar el cálculo correspondiente para comprobar si coinciden.

La forma gráfica es muy sencilla ya que consiste en dibujar dos ángulos en el plano cartesiano partiendo del mismo origen, si sus lados finales coinciden son coterminales.

Consideraciones para calcular ángulos coterminales de forma analítica

Si necesitas conocer la existencia de ángulos coterminales es muy importante tener en cuenta:

I.Cuando existe ángulos positivo y negativo. Al ángulo negativo se le suma 360°.

II.Cuando existe ángulos mayores de 360°. Primero se reduce el ángulo al primer cuadrante, dividiéndolo entre 360° y el resultado del residuo o resto es el ángulo que debes comparar.

III.Cuando existe ángulos en radianes y en grados sexagesimal. En este caso debes transformar el ángulo en radianes a grados sexagesimales o de grados sexagesimales a radianes.

Solución:

Al ángulo negativo, se le suma 360°

β = -50°

– 50° + 360° = 310°

Observa que el resultado es el mismo valor que el ángulo α = 310°, entonces son coterminales.

310°=310°

Solución:

Al ángulo negativo se le suma 360°.

α = -110°

-110°+360° = 250°, pero este resultado es distinto al ángulo β = 80°. No son coterminales.

250° ≠ 80°

Solución:

Como existe un ángulo mayor de 360°, se divide entre 360°.

El resultado del residuo es 120°, al compararlo con el ángulo β = 120° se pueden apreciar que son coterminales.

α  = β =120° = 120°

Solución:

Como existe un ángulo mayor de 360°, se debe divide entre 360°.

El resultado del residuo es 0°, al compararlo con el ángulo β = 60° se pueden apreciar que no son coterminales.

α  ≠ β

720° ≠ 60°

Solución:

Como son ángulos expresados en distintos sistemas, se debe transformar a uno de ellos.

En este ejemplo se selecciona al ángulo expresado en radianes para llevarlo a grados sexagesimales.

Se observa que el ángulo α = 108° igual al ángulo β = 108°, por lo tanto son coterminales.

α = β

¿Cómo grafico ángulos coterminales?

Es muy fácil solo debes hacer lo siguiente:

Uno. Dibujar el plano cartesiano

Dos. Dibujar los ángulos partiendo del eje «x» y marcar su lado final según la amplitud.

Tres. Comparar los lados finales. Si los lados finales son iguales, los ángulos son coterminales.

Solución:

α = 270° es la trayectoria angular azul. Efectuó menos de 1 vuelta.

β =990° es la trayectoria angular rojo. Efectuó más de 2 vueltas.

El ángulo de -90° es la trayectoria angular negro. Efectuó menos de 1 vuelta.

Los tres ángulos de posición normal poseen los mismos lados finales, por lo tanto son coterminales.

Actividades:

Determine analíticamente y gráficamente si cada grupo de ángulos son coterminales:

1°) 165° y 11π/12

2°) 125° y -215°

3°) 325° y -105°

4°) 295° y -65°

5°) -120° y 4π/3

6°) 135° y 3π/4

7°) 50° y -215°

8°) -15° y 345°

9°) π/2 y 85°

10°) 355° y -5°

Relacionar cada ángulo de la gráfica con su ángulo coterminal

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¿Sabes cómo determinar el dominio de una función?

Antes de aprender a calcularlo, es fundamental comprender qué significa. El dominio de una función es el conjunto de valores de la variable independiente 𝑥 para los cuales la función está definida. Dicho de otra manera, corresponde al primer valor de cada par ordenado, y gráficamente se ubica sobre el eje de las abscisas o eje 𝑥.

Para relacionar este concepto con la vida diaria, conozcamos a don Raúl, un abuelito que vive con su nieto y ambos trabajan vendiendo jugo de caña. Él me cuenta su rutina:

1. Va al campo donde tiene sembrada la caña.
2. Corta la caña.
3. Troza la caña de azúcar en pedazos pequeños.
4. Pela cada pedazo.
5. Introduce los trozos en la máquina exprimidora.
6. Finalmente, obtiene el delicioso jugo de caña.

Ahora bien, observa la imagen del paso 4: cada trozo de caña de azúcar representa un elemento del dominio. Es decir, el dominio es como el conjunto de todos esos trozos, los cuales permiten obtener el resultado final de la función.

Dominio de una función gráficamente

A continuación, observa la siguiente imagen donde se puede mostrar el dominio de una función:

Para poder representar gráficamente esa curva, se  sustituyen los valores arbitrarios de “x” en la función dada, estos valores son pertenecientes al dominio o conjunto de partida.

En la imagen anterior la curva de color verde viene del – ∞ y se va hacia el + ∞ del eje “x”, esto quiere decir que el dominio de esta función son todos los valores del eje “x”, es decir, todos los números reales ℜ.

Definición

El dominio en un diagrama sagital pertenece al conjunto de partida y en una representación gráfica está ubicado en el eje “x” del plano cartesiano.

Ejemplo:

Determina el dominio del siguiente conjunto de pares ordenados: f = {(1,5),(2,7),(3,9),(4,11),(5,13)

Nota: Ten en cuenta que el dominio es el conjunto de partida, también es el primer número de cada par ordenado.

Respuesta: El dominio de la función es:

Dom(f) = { 1,2,3,4,5}

Función definidas

Una función está definida cuando el conjunto de los números reales ℜ son utilizados en el conjunto de partida o en el Dominio y el único conjunto de números que pueden estar en el conjunto de llegada o Rango son los números reales ℜ.

Restricciones del dominio

La restricción del dominio ocurre cuando ciertos valores de la variable independiente 𝑥 provocan que la función no tenga un resultado válido para la variable dependiente 𝑦. En otras palabras, son los casos en los que la función se vuelve indefinida o no pertenece a los números reales. En este post se mencionará tres tipos.

Ejemplo de cada restricciones

Restricción # 1

Cuando existen raíces de índices pares de un número negativo.

Ejemplo: Dada la función \(f(x)=\sqrt{x}\)  este tipo de expresión la raíz es de índice par y no está definida para valores negativos, observe:

Restricción # 2

Fracciones donde se anula el denominador.

 Ejemplo # 3: Dada la función \(f(x)=\frac{1}{x-3}\)  este tipo de expresión no está definida para cuando x = 3.

Restricción # 3

Fracciones donde se anulan el denominador y con raíces de índices par en el numerador.

Ejemplo: Dada la función \(f(x)=\frac{\sqrt{x-1}}{x^{2}-9}\) no está definida para valores negativos por estar una raíz de índice par, tampoco está definida cuando x = 3 en el denominador

Determinar el dominio con restricción

Restricción # 1: Raíces con índices pares

Para que la función esté definida es necesario que la cantidad subradical sea mayor o igual a cero, es decir, resolverla a través de una inecuación.

Ejemplo: Determinar el dominio de la función:

$$f(x)=\sqrt{5x-3}$$

Observa la gráfica

Restricción # 2: Fracciones donde se anula el denominador

Para que la función esté definida es necesario que el denominador sea distinta a cero.

Ejemplo # 1: Determine el dominio de la función:

$$f(x)=\frac{1}{x-6}$$

Observa la gráfica:

Ejemplo # 2: Determine el dominio de la función

$$f(x)=\frac{2x+3}{x^{2}-6x-7}$$

Paso # 1: Expresar el denominador distinto a cero.

$$x^{2}-6x-7\neq 0$$

Paso # 2: Factorizar la expresión o aplicar la resolvente.

$$(x+1)(x-7)\neq 0$$

Paso # 3: Obtener el valor de “x”

$$x+1\neq 0$$
$$x\neq -1$$
$$x-7\neq 0$$
$$x\neq 7$$

Paso # 4: Construcción de la tabla de valores

Observa que en x = –1 y en x = 7 la función se hace indefinida, por lo tanto la curva no pasa por ellos.

Paso # 5: Gráfica

Paso # 6: Cálculo del dominio.

Entonces la variable puede tomar cualquier valor real menos del -1 y del 7. Entonces el dominio es:

$$D_{f}=(-\infty ,-1)\cup (-1,7)\cup (7,\infty )$$

Restricción # 3: Fracciones donde se anula el denominador con raíces de índices par

Este caso la variable se encuentra como cantidad subradical en una raíz de índice par y también en el denominador.

Ejemplo # 8: Determine el dominio de la función

$$f(x)=\frac{\sqrt{4x+3}}{7-x}$$

1 Resolver el numerador

$$4x+3\geq 0$$
$$x\geq -\frac{3}{4}$$

2 Resolver el denominador:

$$x\neq 7$$

4 Entonces el dominio de la función es:

$$D_{f}=\left [ -\frac{3}{4},\infty \right )\cup (7,\infty )$$

5 Construcción de la tabla de valores.

Para graficar lo primero es crear la tabla de valores, tomando en cuenta el valor mínimo del dominio de la función.

En este caso

valor mínimo :  -3/4

1. Construcción de la gráfica.

Actividades

Determinar el dominio de cada una de las siguientes funciones mencionando si existe o no restricciones

$$1.) f(x)=\sqrt{x-5}$$

$$2.) f(x)=\sqrt{2x+7}$$

$$3.) f(x)=\sqrt{9-x^2}$$

$$4.) f(x)=\frac{1}{x-4}$$

$$5.) f(x)=\frac{x+2}{x^2-9}$$

$$6.) f(x)=\frac{3x}{x^2+2x-15}$$

$$7.) f(x)=\frac{\sqrt{x+1}}{x-2}$$

$$8.) f(x)=\frac{\sqrt{2x-3}}{x^2-16}$$

$$9.) f(x)=\frac{\sqrt{5-x}}{x^2-1}$$

$$10.) f(x)=\frac{\sqrt{x^2+4x}}{x+7}$$

Soluciones:

$$1.) D=[5,\infty)$$

$$2.) D=\left[-\tfrac{7}{2},\infty\right)$$

$$3.) D=[-3,3]$$

$$4.) D=\mathbb{R}\setminus{4}$$

$$5.) D=\mathbb{R}\setminus{-3,3}$$

$$6.) D=\mathbb{R}\setminus{-5,3}$$

$$7.) D=[-1,\infty)\setminus{2}$$

$$8.) D=\left[\tfrac{3}{2},\infty\right)\setminus{-4,4}$$

$$9.) D=(-\infty,5]\setminus{-1,1}$$

$$10.) D=(-\infty,-4]\cup[0,\infty)\setminus{-7}$$