10ºGrado

¿Sabes qué son las funciones trigonométricas? Considera las matemáticas como una caja de herramientas con la que puedes representar y estudiar cualquier forma o patrón.

Así como las funciones elementales (constante, afín, cuadrática, etc.) te permiten representar formas básicas como una rampa o un arco, las funciones trigonométricas son un tipo de herramienta más avanzada.

Se utilizan para modelar y describir fenómenos de la vida real que tienen un comportamiento cíclico u ondulatorio, como las ondas de sonido, el movimiento de un péndulo, o las mareas del océano.

Funciones trigonométricas

Las funciones trigonométricas son parte de las funciones trascendentes y son basadas en la circunferencia unitaria o trigonométrica.

Cuando la circunferencia trigonométrica se relaciona con las funciones trigonométricas (seno, coseno y tangente), el radio de la circunferencia actúa como la hipotenusa de un triángulo rectángulo, y las líneas trigonométricas son los catetos de ese triángulo.

Para el seno es la línea vertical que representa el cateto opuesto del triángulo, su valor corresponde a la coordenada “y” del punto en la circunferencia.

Para el coseno es la línea horizontal representante del cateto adyacente, su valor es la coordenada “x”.

La tangente se representa como una línea vertical que es tangente a la circunferencia en el punto (1,0).

La circunferencia trigonométrica es la herramienta idónea para comprender cómo se construyen las gráficas de las funciones trigonométricas.

Función seno

La función seno es de la forma$$f(x)=senx$$y es una función real de variable real. Esto se debe a que toma cada ángulo expresado en radianes (números reales) y se le asigna un único número real como resultado.

Gráfica de la función seno

El valor del seno de un ángulo corresponde a la coordenada “y” es decir la línea vertical (altura = cateto opuesto) en la circunferencia trigonométrica.

El procedimiento para graficar es siguiente:

Primero. Dibuja una circunferencia y marca cada amplitud (0, π/6, π/3, π/2, 2π/3, 5π/6, π, 7π/6, 4π/3, 3π/2, 5π/3, 11π/6, 2π) con puntos.

Segundo. Dibujar el plano cartesiano con los cuadrantes I y IV. Expresar en radianes el eje “x”.

Tercero. Cada ángulo adquiere el valor de “y” es decir una altura, esa altura es la línea trigonométrica que debe ser trasladada hasta hacerla coincidir con el ángulo trazado en el eje “x”.

Cuarto. Une los puntos para formar la curva de la función seno.

Observa:

Haciéndole un acercamiento a la función:

Características de la función seno

Las características de la función seno son las siguientes:

Dominio: R.

Rango: [-1, 1].

Periodo: 2π.

Continuidad: Continua ∀ x ∈ R (para todo “x” que pertenece a los reales).

Creciente: …∪ (-π/2, π/2), ∪ (3π/2, 5π/2) ∪ …

Decreciente: …∪ (π/2, 3π/2), ∪ (5π/2, 7π/2) ∪ …

Máximos: (π/2 + 2π.k, 1 ) k ∈ Z.

Mínimos: (3π/2 + 2π.k, -1 ) k ∈ Z.

Impar: sen(-x) = -sen x.

Intersección con el eje x : x = { 0 + π.k}.

Intersección con el eje y : ( 0, 0 )

Función coseno

El valor del coseno de un ángulo corresponde a la coordenada “x” es decir la línea horizontal (cateto adyacente) en la circunferencia trigonométrica. Esa línea horizontal es la línea trigonométrica para obtener la gráfica de la función seno.

Gráfica de la función coseno

Para construir la curva de la función coseno se debe:

Primero. Seguir el mismo proceso que con el seno, pero en esta ocasión debes considerar la línea trigonométrica horizontal de cada punto.

Segundo. Dibujar en el plano cartesiano cada línea trigonométrica de la circunferencia trigonométrica con la misma longitud y verticalmente.

Tercero. Unir todos los puntos para formar la función del coseno.

Observa la gráfica:

Función coseno

Características de la función coseno

La función coseno es muy utilizada para modelar fenómenos cíclicos ya que es una función periódica, como ondas de sonido, movimiento de péndulo y oscilaciones. A continuación sus características:

Dominio: R.

Rango: [-1, 1].

Periodo: 2π.

Continuidad: Continua ∀ x ∈ R (para todo “x” que pertenece a los reales).

Creciente: …∪ (-π, 0), ∪ (π, 2π) ∪ …

Decreciente: …∪ (0, π), ∪ (2π, 3π) ∪ …

Máximos: (2π.k, 1 ) k ∈ Z.

Mínimos:  (k.(2k + 1 ), -1 k ∈ Z.

Par: cos(-x) = cos x.

Intersección con el eje x : x = { π/2 + k}.

Intersección con el eje y : ( 0, 1 )

Función tangente

La función tangente es una función real de variable real, definida como$$f(x)=\frac{senx}{cosx}$$donde$$cosx\neq 0$$, es decir la función tangente es de la forma$$f(x)=tanx$$de tal forma que cada ángulo expresado en radianes se le hace corresponder un número real denotado como$$tanx$$

Gráfica de la función tangente

La tangente es la razón entre el seno y el coseno ( y / x ). Su valor se representa con una línea vertical que es la tangente de la circunferencia en el punto (1,0).

Para desarrollarla debes:

Uno: Trazar rectas tangentes a la circunferencia en posición vertical (perpendiculares respecto al eje horizontal).

Dos: Dibujar cada línea final del ángulo (desde el origen del plano cartesiano) hasta la recta tangente (línea vertical) y trazar un punto.

Tres: Identificar con un color cada línea vertical.

Cuatro: Trasladar paralelamente cada línea vertical.

Cinco: Unir los puntos para obtener la función  tangente.

Gráfica de la tangente:

Acercamiento de la función tangente:

Características de la función tangente

Las características de la función tangente son las siguientes:

Dominio: R-{(2k + 1). π/2, k ∈ Z} = R-{ …, -π/2, π/2, 3π/2, … }.

Rango: R.

Periodo: π rad.

Continuidad: Continua ∀ x ∈ R – { (π/2 + π.k) }.

Creciente: R – { …, -9π/2, -π/2, π/2, 9π/2,…}.

Decreciente: …∪ (0, π), ∪ (2π, 3π) ∪ …

Máximos: No posee.

Mínimos:  No posee.

Impar: tan(-x) = -tan x.

Intersección con el eje x : x = { 0 + πk} k ∈ Z.

Intersección con el eje y : ( 0, 0 ).

Simulador de las funciones trigonométricas

¡Bienvenido! Ha llegado el momento de poner en práctica todo lo aprendido. En este simulador descubrirás diversas características de las funciones trigonométricas que te permitirán fortalecer y profundizar tus conocimientos. Lo mejor de todo es que aprenderás mientras juegas.

Actividades

I.Representa gráficamente la función y = sen x  en el intervalo [-π, π]. Construye la tabla de valores

II.Representa gráficamente las siguientes funciones:

$$f(x)=sen3x$$
$$f(x)=-senx$$
$$f(x)=sen4x$$
$$f(x)=sen(x-2)$$

III.Graficar la función y = cos x  en el intervalo [-2π, 2π]. Construye la tabla de valores

IV.Representar gráficamente las siguientes funciones:

$$f(x)=cos(x)+1$$
$$f(x)=cos\left ( x-\frac{\pi }{4} \right )$$
$$f(x)=cos(x-2)$$
$$f(x)=cos\left ( x+\frac{\pi }{3} \right )$$

V.Representar gráficamente las siguientes funciones:

$$f(x)=-cosx$$
$$f(x)=cos6x$$
$$f(x)=cos2x$$

VI.Mencionar 3 intervalos decreciente de la función coseno.

VII.Mencionar 2 intervalos crecientes de la función tangente.

¿Has escuchado el término circunferencia trigonométrica y te has preguntado por qué la llaman así? La respuesta es simple: gracias a su forma, es posible dibujar una serie de triángulos rectángulos. A partir de esta geometría, se definen las razones trigonométricas como el seno, el coseno y la tangente. Debido al surgimiento de estas razones, a la circunferencia se le da el nombre de Circunferencia Trigonométrica.

La circunferencia trigonométrica, también conocida como círculo unitario, es una herramienta fundamental en matemáticas, con aplicaciones directas en la vida real. Desde la ingeniería y la física, para calcular la trayectoria de un péndulo o la propagación de una onda de sonido, hasta la navegación y los videojuegos, donde se utiliza para determinar posiciones y rotaciones, este simple círculo es la base para entender cómo los ángulos se relacionan con el movimiento y las fuerzas.

Circunferencia trigonométrica

La siguiente imagen, muestra el ángulo α cuyo lado inicial es   y cuyo lado final es , ambos segmentos son radios de la circunferencia. Cuando el lado final en posición normal termina en el punto Q(x, y), estas coordenadas se proyectan sobre los ejes cartesianos, formando un triángulo rectángulo, cuya hipotenusa es el radio (o sea, 1). A medida que el lado final del ángulo gira, se forman más triángulos rectángulos.

En la circunferencia trigonométrica, el teorema de Pitágoras es siempre aplicable. Dado que cualquier punto Q ( x, y ) en la circunferencia unitaria forma un triángulo rectángulo con el origen del plano cartesiano y sus coordenadas deben satisfacer la expresión:$$x^{2}+y^{2}=1$$
Sabiendo que:

“x”es la longitud del cateto adyacente  y  “y”es la longitud del cateto opuesto.

Ejemplo#1.

Determine si el punto M pertenece a la circunferencia unitaria.

$$M\left ( -\frac{3}{5},\frac{4}{5} \right )$$

Solución

Coordenadas:
$$x=-\frac{3}{5}$$
$$y=\frac{4}{5}$$

Se aplica: x² + y² = 1

$$\left ( -\frac{3}{5} \right )^{2}+\left ( \frac{4}{5} \right )^{2}=1$$
$$\frac{9}{25}+\frac{16}{25}=1$$
$$\frac{25}{25}=1$$
$$1=1$$

Esto quiere decir que el punto$$M\left ( -\frac{3}{5},\frac{4}{5} \right )$$pertenece a la circunferencia unitaria. 😀

El punto M ∈ Circunferencia unitaria.

Ejemplo#2.

Determinar si el punto N pertenecen o no a la circunferencia unitaria.
$$N\left ( 2,3 \right )$$

Coordenadas:
$$x=2$$
$$y=3$$

Se aplica Pitágoras:  x² + y² = 1
$$2^{2}+3^{2}=1$$
$$4+9=1$$
$$13\neq 1$$

Al dar como resultado 13 ≠ 1 el punto N  NO pertenece a la circunferencia unitaria. 🙁

Ángulos positivos y negativos

Desde el punto ( 1,0 ) se mide una distancia s a lo largo de la circunferencia unitaria, cada valor de s le toca un punto Q( x, y ). Por lo tanto, s establece un arco donde sus extremos son ( 1,0 ) y Q( x, y ).

Cuando:

• s es positivo ( s > 0 ), el arco apunta en sentido contrario a las agujas del reloj.
• s resulta negativo ( s < 0 ), el arco apunta en el sentido de las agujas del reloj.

Ángulos en posición normal 

Se les denomina ángulos de posición normal ( o estándar) cuando el vértice del ángulo se dibuja con el origen ( 0,0 ) del plano cartesiano, su lado inicial es coincidente con el semi lado del eje “x” y su lado final puede girar en sentido antihorario o horario.

Esta denominación se hace para poder relacionar los ángulos con las coordenadas de un punto en la circunferencia.

Ángulos cuadrantales

La circunferencia trigonométrica posee Ángulos cuadrantales y son aquellos ángulos en posición normal cuyo lado final coincide con uno de los semi ejes del plano. Estos ángulos son múltiplos de 90° o π/2 (radianes) y son 0°, 90°,180°, 270° y 360°.

Razones trigonométricas definidas en la circunferencia unitaria

En la figura a continuación, se muestra la circunferencia unitaria. Observa que el radio tiene una longitud de 1 y que el ángulo α define el arco .

Entonces se obtienen seis razones trigonométricas

$$sen\alpha =\frac{y}{r}=\frac{y}{1}=y$$
$$cos\alpha =\frac{x}{r}=\frac{x}{1}=x$$
$$tan\alpha =\frac{y}{x}$$

$$csc\alpha =\frac{r}{y}=\frac{1}{y}$$
$$sec\alpha =\frac{r}{x}=\frac{1}{x}$$
$$ctg\alpha =\frac{x}{y}$$

De las relaciones anteriores, se deducen las siguientes relaciones:

$$csc\alpha =\frac{1}{y}=\frac{1}{sen\alpha }$$
$$sec\alpha =\frac{1}{x}=\frac{1}{cos\alpha }$$
$$tan\alpha =\frac{y}{x}=\frac{sen\alpha }{cos\alpha }$$
$$ctg\alpha =\frac{x}{y}=\frac{cos\alpha }{sen\alpha }$$

 ➡  Ejemplo

Determine las razones trigonométricas de α ∈ , si α es la medida del arco que describe los extremos (1,0) y el punto$$Q\left ( \frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2} \right )$$

Solución

Coordenadas:

$$y=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$
$$x=\frac{1}{2}$$

Razones trigonométricas:

$$sen\alpha =y=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$
$$\boxed{sen\alpha =-\frac{\sqrt{3}}{2}}$$
$$cos\alpha =x=\frac{1}{2}$$
$$\boxed{cos\alpha =\frac{{1}}{2}}$$
$$tan\alpha =\frac{y}{x}=\frac{-\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}$$
$$\boxed{tan\alpha =\sqrt{3}}$$
$$csc\alpha =\frac{1}{y}=\frac{1}{-\frac{\sqrt{3}}{2}}$$
$$=-\frac{2}{\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=-\frac{2\sqrt{3}}{3}$$
$$\boxed{csc\alpha =-\frac{2\sqrt{3}}{3}}$$
$$sec\alpha =\frac{1}{x}=\frac{1}{\frac{1}{2}}=2$$
$$\boxed{sec\alpha =2}$$
$$ctg\alpha =\frac{\frac{1}{2}}{-\frac{\sqrt{3}}{2}}=-\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$$
$$\boxed{ctg\alpha =-\frac{\sqrt{3}}{3}}$$

Signo de las razones trigonométricas

El signo de las razones trigonométricas depende de los valores x  e  y, según sus valores se ubican en cualquiera de los cuadrantes de la circunferencia unitaria, entonces los signos según la ubicación del lado final del ángulo es la siguiente:

Ángulos notables

Los ángulos notables se basan en un patrón que se repite en cada cuadrante. Por ejemplo:

I = 30°, 45°, 60°.

II = 120°, 135°, 150°.

III = 210°, 225°, 240°.

IV = 300°, 315°, 330°.

Se les llama así porque sus razones trigonométricas (como el seno, coseno, tangente, etc.) tienen valores exactos. Esto permite resolver problemas de forma rápida, sin necesidad de usar una calculadora.

Simulador de la circunferencia trigonométrica

Explora el simulador de la circunferencia trigonométrica. Desliza el punto rojo y observa cómo cambian los signos de las funciones para cada ángulo. La construcción muestra los lados de un triángulo rectángulo inscrito en la circunferencia, lo que te ayudará a comprender mejor la relación entre ángulos y razones trigonométricas.

Actividades

Determine si cada punto pertenece a la circunferencia unitaria.

A(-3,2)

B(-5,0)

C(0,2)

Determine el valor de la coordenada que falta, si el punto Q pertenece a la circunferencia unitaria. Al lado de cada punto indica el cuadrante.

  I cuadrante

IV cuadrante

III cuadrante

II cuadrante

I cuadrante

Determine el valor de las razones trigonométricas para α ∈ , si α es la medida del arco que describe los extremos (1,0) y el punto dado.

¿Has pensado cómo es la representación de funciones en la vida cotidiana? En un juego de fútbol cuando uno de los jugadores patea el balón ¿Qué movimiento describe? y ¿Cómo se puede representar ese movimiento? la representación de datos es muy importante ya que da una observación clara del comportamiento de alguna situación.

Unas de las representaciones más usada en la actualidad son los gráficos, por ejemplo, al leer un periódico y ver la sección de economía, al consultar una encuesta, al revisar una factura de algún servicio público, cuando el especialista en cardiología analiza un electrocardiograma o cuando en la televisión muestran la estadísticas de los cambios climáticos de alguna región.

Formas de representación de funciones

Hay muchísimas formas de representar a las funciones, su finalidad es comprender su comportamiento. Entre ellas están: los diagramas sagitales, la representación verbal, la representación algebraica, la representación en tabla de valores y la representación gráfica o curva de una función.

Representación verbal

La representación verbal de una función es expresada por una regla de correspondencia la cual asigna una condición.

Por ejemplo «el doble de un número», para esta función el dominio es cualquier valor arbitrario y el rango es el producto de dos por el valor arbitrario.

Representación algebraica

Su representación es realizada a través de expresiones algebraicas, refiriéndose a la relación de los elementos del dominio con sus respectivas imágenes por medio de las operaciones.

Por ejemplo «el triple de un número más la mitad» se representa mediante la expresión algebraica:

$$f(x)=3x+\frac{1}{2}$$

Representación en tabla de valores

Los valores de la variable independiente “x” y de la variable dependiente “y” puede ser presentada de dos maneras:

• Verticalmente y
• Horizontalmente.

Los valores de la variable “x” son arbitrarios y se sustituyen en una expresión algebraica para determinar las imágenes.

Ejemplo: Crear la tabla de valores de la función

$$f(x)=x^{2}-4x+1$$

Paso # 1: Construir la tabla de valores agregando valores arbitrarios a la variable independiente “x”

Paso # 2: Calcular las imágenes (variable “y”)

Paso # 3: Sustituir en la tabla de valores las imágenes obtenidas

Los pares ordenados de la función

$$f(x)=x^{2}-4x+1$$

Representación gráfica o curva de una función

La representación gráfica o curva de una función se obtiene al graficar en el plano cartesiano cada par ordenado.

Ejemplo: Graficar la función

$$f(x)=x^{2}-4x+1$$

Paso # 1:  Completar la tabla de valores y graficar cada punto.

Paso # 2: Unir los puntos

Ejercicios resueltos de representación de funciones

Ejemplo # 1

Represente la expresión : “El doble de un número menos tres” en forma:

• Verbal.
• Algebraica.
• Tabla de valores.
• Gráfica.

 ➡ Representación verbal

“El doble de un número menos tres”

 ➡ Representación algebraica
$$f(x)=2x-3$$

 ➡ Representación en tabla de valores:

➡ Representación gráfica:

Ejemplo # 2

Represente la expresión : 8x en forma:

• Verbal.
• Algebraica.
• Tabla de valores.
• Gráfica.

➡ Representación verbal

“Ocho veces un número”

 ➡ Representación algebraica 

 ➡ Representación en tabla de valores:

➡ Representación gráfica:

Actividades

A partir de la representación dada obtener las demás de forma: verbal, algebraica, tabla de valores y gráfica.

1. “ El cuadrado de un número aumentado en 5”
2.    
3.    
4. “La tercera parte de un número disminuido en 2”
5. Una parábola con vértice (0,-4) que pasa por los puntos (-2,0) y (2,0)

¿Alguna vez te has preguntado qué son exactamente las funciones elementales? En matemáticas, es muy común trabajar con estas funciones, también conocidas como funciones usuales. Son las piezas básicas con las que construimos todo. Al combinarlas a través de operaciones como la suma, resta, multiplicación y división, podemos crear funciones más complejas, llamadas funciones no elementales. Comprender estas funciones es el primer paso para dominar el cálculo.

Clasificación de las funciones elementales

Las funciones elementales son los bloques de construcción básicos de las matemáticas, ellas son:

1. Funciones polinómicas
2. Funciones racionales
3. Funciones radicales
4. Funciones trascendentes y
5. Funciones especiales

Funciones Polinómicas

La forma de una función polinómica es la siguiente:

Donde:    para cada i = 0, 1, 2, 3, 4, . . . , n 

Características de las funciones polinómicas

• Su dominio pertenece al conjunto de los números reales .
• El rango de estas funciones siempre pertenece al conjunto de los números reales .
• Son continuas.

Se dice que y = f(x) es una función polinómica de grado n. En este tema se trabajará con los grados n = 0, 1 y 2.

Tipos de funciones polinómicas

Este tipos de funciones elementales se clasifican según el grado del polinomio, el cual determina la forma de su gráfica y su comportamiento. Los tipos más comunes son:

1. Función constante.
2. Función lineal.
3. Función afín.
4. Función cuadrática.

Función constante

Es una una función polinómica de grado cero y se define como:  , donde  .

Características de la función constante

• Es una recta paralela con respecto a eje “x”
• Su dominio es el conjunto de los números reales.
• Su rengo es únicamente el valor constante.
• No es inyectiva ni sobreyectiva.

Ejemplo:

Ejemplo. Determina dominio, rango, punto de corte en el eje “y” y graficar.

$$f(x)=\sqrt{3}$$

Solución

• Gráfica

• Dominio:
• Rango:
• Como es una función constante la recta pasa por el eje «y» en   , esto es aproximadamente igual a 1,73.
• Punto de corte en el eje “y” es (0,√3)

Función lineal

Características de la función lineal

• El dominio y rango pertenecen al conjunto de los números reales.
• Gráficamente es una recta que siempre pasa por el origen del plano cartesiano.
• Es creciente cuando m es positivo y es decreciente cuando m es negativo.
• Para construir gráficamente la recta basta con conocer dos puntos del plano cartesiano que satisfagan la ecuación.
• Es una función biyectiva.

Cálculo de la pendiente m

Para determinar el valor de la pendiente debes aplicar la siguiente fórmula:

Donde:

Son las coordenadas de dos puntos

Función afín 

Características de la función afín

• El dominio y rango pertenecen al conjunto de los números reales.
• Gráficamente es una recta que nunca pasa por el origen del plano cartesiano.
• Es creciente cuando m es positivo, decreciente cuando m es negativo y si m = 0 la función es constante.
• Para construir gráficamente la recta basta con conocer dos puntos del plano cartesiano que satisfagan la ecuación.
• b es el punto donde la recta intercepta el eje vertical “y”, es llamado punto de corte en el eje de las ordenadas.
• Función biyectiva.

Ejemplo

Ejemplo. Graficar y determinar si la función es creciente o decreciente, puntos de corte con respecto al eje x e y, dominio y rango.

Solución

Se calcula primero los puntos de cortes y luego se traza la recta en el plano cartesiano.

Punto de corte con el eje “x”   “y = 0”

Punto de corte con el eje “x” = (-10,0)

Punto de corte con el eje “y”   “x = 0”

Punto de corte con el eje “y” = (0,5)

Gráfica:

Es creciente ya que m = ½ > 0

Dominio y rango

Simulador de la función lineal y afín

Con este simulador explorarás de forma interactiva un tipo de funciones elementales muy interesante llamadas función lineal y función afín. Te ayudará a fortalecer lo aprendido y te volverás un experto construyendo gráficas modificando la pendiente y el punto de corte en el eje y.

Verás cómo cada cambio en la fórmula y = mx + b afecta directamente a la línea recta, ayudándote a visualizar y entender conceptos clave de forma sencilla y divertida.

Función cuadrática

Es una función polinómica de segundo grado al graficarla recibe el nombre de parábola, definida como:   Donde  y  . a≠0

Características de la función cuadrática

• Cuando a>0 abre hacia arriba es decir es cóncava hacia arriba.
• Cuando a<0 abre hacia abajo es decir es cóncava hacia abajo.
• El dominio de la función pertenece al conjunto de los números reales.
• El rango de la función se calcula de la siguiente manera:

Sí a>0  el rango de la función es:

Sí a<0  el rango de la función es:

• Posee un eje de simetría que pasa por su vértice V(x,y).
• Cuando a > 0 su vértice V(x,y) es un punto mínimo.
• Cuando a < 0 su vértice V(x,y) es un punto máximo.

Cálculo del vértice, coordenada “x”

Cálculo del vértice, coordenada “y”

Ejemplo gráfico

Simulador de la función cuadrática

Este simulador fue hecho pensando en ti, para que pongas en practica lo aprendido y fortalezcas tus conocimientos con las funciones elementales. Así que atrévete y juega en el simulador de la función cuadrática.

Ejemplo. Graficar la función y determinar tipo de concavidad, dominio, rango, vértice, puntos de corte (eje x e y) y diga si existe un mínimo o un máximo.

Solución

Paso # 1: Extraer los valores

Paso # 2: Tipo de concavidad.

Como , entonces es cóncava hacia arriba y por ende posee un punto mínimo.

Paso # 3: Determinar el rango de la función.

Se aplica:
,

Para determinar la coordenada “x” se necesita los valores de b y a  

b = 6  ∧   a = 3

La función es:

Se sustituye el valor de x = –1

El rango de la función es desde -4 hacia el infinito positivo.

Paso # 4: Determina el valor del vértice

Con los valores anteriores de:
x = –1
y = -4

Las coordenadas del vértice es:

Paso # 5: Determinar punto de corte con respecto al eje “x”. Se aplica la fórmula de la resolvente

Sustituir los valores de a, b y c.

Paso # 6: Determinar el punto de corte con respecto al eje “y” donde x = 0

Función:

Sustitución del valor de x = 0

Paso # 7: Se grafica en el plano cartesiano los puntos vértice y de corte con el eje x e y

• Vértice:
• Punto de corte eje “x”
    ∧   
• Punto de corte eje “y”
  

Luego  trazar los ramales de la parábola

• Ramal de la izquierda, desde el punto de corte en “x” hasta el vértice
• Ramal de la derecha, desde el vértice hasta los puntos de corte “y” e “x”

Paso # 8: Dominio de la función

Función cuadrática: explicación completa (video)

Hasta ahora ¿Te cuesta entender la función cuadrática? ¡No te preocupes! En este video te lo explicamos todo paso a paso: qué es una función cuadrática, sus características principales, cómo encontrar el vértice, los puntos de corte y, lo más importante, ¡cómo graficar una parábola de forma sencilla! Así que prepárate para dominarla este tipo de funciones elementales.

Funciones Racionales

Es otro tipo de funciones elementales, y su forma es donde y son polinomios, es decir es el cociente de dos polinomios. ≠ 0

Algunas de estas funciones pueden presentarse así:

El

El

El

Gráfica de una función Racional

Para realizar la gráfica de una función racional es necesario tener los valores para los cuales la función no está definida. Estos valores, que hacen que el denominador sea cero, corresponden a las asíntotas verticales de la gráfica.

Asíntota vertical  

Es una recta vertical  x = a de una función racional  f , si f ( x )  → ∞    o   si   f(x)  →  -∞  cuando x se aproxima a “a” por la izquierda o por la derecha.
La expresión polinómica es localizada en el denominador y se iguala a cero para obtener el valor o los valores de x que viene siendo las rectas verticales o asíntotas.

Asíntota horizontal

Es una recta horizontal (m = 0)  y = c  de una función racional  f , si f ( x )  → c   cuando x → ∞   o   cuando x → – ∞

Dada la función racional f definida por:

Cuando:

• , la función  f  no tiene asíntota horizontal
• , la función  f  tiene una asíntota horizontal en el eje “x”

$$y=0$$

• , la función  f  tiene una asíntota horizontal y es la recta:

$$ y=\frac{a_{n}}{b_{m}}$$

Es decir, dividir el coeficiente del numerador entre el coeficiente del denominador.

Asíntota oblicua

Es una recta que posee una pendiente distinta a cero. ¿Cómo identificar si una función racional posee una asíntota oblicua?, te recomiendo que observes la siguiente expresión:

$$f(x)=\frac{R(x)}{S(x)}=\frac{ax^{n+1}}{bx^{n}}$$

1. Identificar la existencia. Cuando la diferencia entre el grado del polinomio del numerador y del denominador es 1 la función posee asíntota oblicua.
2. Calculo de la ecuación de la asíntota. Para hallar la ecuación debes dividir el polinomio del numerador entre el denominador, el cociente es la ecuación de la asíntota oblicua.

Características de las funciones racionales

1. El dominio son todos los valores del conjunto de los a excepción de aquellos que anulen el denominador.
2. El rango son todos los valores del conjunto de los a excepción cuando existe asíntotas horizontales.
3. Son discontinuas en los valores de “x” que anulan al denominador.
4. Poseen asíntotas verticales siendo el valor de “x” que anula al denominador
5. Pueden poseer asíntotas horizontales sólo cuando en 2 casos.
   😆  Cuando el grado del polinomio del numerador es menor que el grado del polinomio del denominador
   😆  Cuando los grados del polinomio tanto del numerador y del denominador sean iguales.

Gráfica de una función racional

Ejemplo. Analiza y grafica la siguiente función racional.

Paso # 1: Determinar las raíces del numerador

Como el numerador existe una constante, entonces no se determina las raíces. Por lo tanto no corta en el eje “x”

Paso # 2:Determine las raíces en el denominador para lo cual la función no está definida.

Paso # 3:Hallar las asíntotas verticales, si existen.

Como está indefinida en: . La asíntota es:

Paso # 4: Determinar puntos de cortes en el eje “y”.

No existe punto de corte en “y” ya que el resultado es indefinido.

Paso # 5: Determinar las asíntotas horizontales, si existe.

En esta función el grado del polinomio del numerador es menor que el grado del polinomio del denominador.

y = 0

Existe una asíntota horizontal en el eje “x”

Paso # 6: Crear la tabla de valores y obtener los valores de la variable dependiente “y”

x	-2	-1	0	1	2
f(x)		-1		1

Paso # 7: Gráfica

Paso # 8: Dominio y rango

Ejemplo. Analiza y grafica la siguiente función racional.

Paso # 1: Determinar las raíces del numerador, es decir f(x) = 0

Esto quiere decir que la función corta en las coordenadas (-1,0)

Paso # 2: Determine las raíces en el denominador para lo cual la función no está definida. En este ejemplo el denominador es una expresión cuadrática, para determinar las raíces se puede aplicar la resolvente o factorizar.

En nuestro caso escogemos la factorización

No está definida en:   y

Paso # 3: Hallar las asíntotas verticales, si existen.

Son las rectas y

Paso # 4: Determinar puntos de cortes en el eje “y”
Se sustituye 0 en la función:

La función corta en el  y = -1/3

Paso # 5: Determinar las asíntotas horizontales, si existe.
En esta función el grado del polinomio del numerador es menor que el grado del polinomio del denominador. Es decir:
Existe una asíntota horizontal en el eje “x”

y = 0

Paso # 5: Crear la tabla de valores

x	-2	-1	0	1	2
f(x)		0

Paso # 6: Gráfica

Paso # 8: Dominio y rango

Funciones Radicales

Es otro tipo de funciones elementales denominadas también funciones irracionales (porque la variable independiente x está dentro del signo radical), son de la forma , donde es una función polinómica o racional.

Características de las funciones radicales

1. El dominio depende del índice de la raíz.  “Si el índice es par, posee restricción # 1 del dominio ”. Cuando existen raíces pares de un número negativo. “Si es índice es impar, la función esta definida para todos los números .”
2. Rango. Para conocer exactamente desde donde comienza el rango, se sustituye en la función el primer valor del dominio.
3. Cálculo de puntos de cortes. Para determinar el intercepto en el eje “y” x = 0 y para determinar el intercepto en el eje “x” y = 0

Ejemplo. Analiza y grafica.

Paso # 1: Identificar el índice de la raíz

El índice del radical es 2, por lo tanto es par.

Paso # 2: Determinar el primer valor del intervalo del dominio

Paso # 3: Intervalo del dominio

Paso # 4: Determinar el primer valor del intervalo del rango, sustituyendo el primer valor del intervalo del dominio en la función dada

Paso # 5: El intervalo del rango es:

Paso # 6:  Cálculo de punto de corte en “x”        y = 0

Paso # 7: Cálculo de punto de corte  en “y” x = 0

No corta en y

Paso # 8: Gráfica

Función radical con índice par (video)

Te invito que veas este video, te ayudará a consolidar y profundizar los conocimientos adquiridos

Funciones Trascendentes

Función Exponencial

Este tipo de función es usada para mostrar el crecimiento de poblaciones, interés de dinero acumulado, desintegración radioactiva, entre otros.

Características de las funciones exponenciales

1. Si el valor de la base  a > 1 , entonces f es una función creciente. Como muestra la función  g(x)=2^x
2. Si el valor de la base a (está entre 0 y 1) es decir 0 < a < 1 , f es una función decreciente. Como muestra la función  f (x)=(1/2)^x
3. Punto de corte en el eje “x” No existe.
4. Punto de corte en el eje “y” es:
   y = 1
5. La función siempre pasa por el punto (1,a), debido que:
   
6. El dominio de una función exponencial es el conjunto de los números reales . Dom f =
7. El rango es el conjunto de los números reales positivos  . Rgo f= = (0,+∞)
8. Es inyectiva pero no es sobreyectiva.

Ejemplo. Realiza el estudio de la función y graficar.

Paso # 1: Observar si la base “a” es mayor que 1 o  está comprendida entre 0 y 1.

Como 0 < a <  1 , la función es Decreciente

Paso # 2: Punto de corte en “x”.  No existe

Paso # 3: Determinar punto de corte en “y”  x = 0

Paso # 4: Determinar el dominio

Dom f =

Paso # 5: Determinar el rango

Rgo f=

Paso # 6: La función siempre pasa por el punto (1,a). En este caso el punto es:

Paso # 7: Crear la tabla de valores

x	-2	-1	0	1	2
f(x)	36	6	1

Paso # 8: Gráfica

Función Logarítmica

Las funciones logarítmicas son las inversas de las funciones exponenciales, y su forma es:Donde: a > 0 a ≠ 1 Definida para todo x>0 Se verifica como:

Características de las funciones logarítmicas

1. El dominio es:
2. El rango es:
3. Punto de corte en el eje “y”. No existe
4. Es Creciente cuando 
5. Es Decreciente cuando:
6. La función siempre pasa por el punto (a,1) , pues al realizar
7. Es Biyectiva

Ejemplo. Analiza y grafica la siguiente función.

Paso # 1: El dominio de la función siempre es:

Paso # 2: El rango de la función siempre es:

Paso # 3: Punto de corte en el eje “x”  y = 0

Paso # 4: Punto de corte en el eje “y”  x = 0

No existe punto de corte en el eje “y”

Paso # 5: Creciente o decreciente.
Como entonces
Es decreciente.

Paso # 6: La función siempre pasa por el punto (a,1), pues al realizar

Funciones Especiales

Las funciones especiales son una categoría que agrupa a funciones que, aunque no encajan en las clasificaciones más comunes (como las polinómicas o exponenciales), son de gran importancia en el cálculo y otras áreas de las matemáticas. Un ejemplo notable es la función de valor absoluto, que se define como la distancia de un número al origen, sin importar su signo. Su gráfica forma una figura en «V», lo que la distingue claramente de otros tipos de funciones.

Dentro de las funciones especiales están:

• Funciones segmentadas o funciones a trozos
• Función parte entera o mayor entero y
• Función valor absoluto

En este post sólo se desarrollará la función de valor absoluto.

Función de valor absoluto

La función de valor absoluto asigna a cada elemento del dominio su valor absoluto y es de la forma:

Características de las funciones de valor absoluto

1. El dominio es:
2. El rango es:
3. Punto de corte en el eje “x” cuando f (x) = y = 0
   Se iguala la expresión a 0
4. Punto de corte en el eje “y” cuando x = 0
5. El vértice de la curva es el valor de x
6. El eje de simetría es la recta que pasa por el vértice, paralela al eje “y”
7. Es Decreciente en el intervalo: (-∞,x]
8. Es Creciente en el intervalo: [x,∞)
9. No es inyectiva, ni sobreyectiva

Ejemplo. Graficar la función a continuación:

Paso # 1: Dominio de la función

Paso # 2: Rango de la función

Paso # 3:Punto de corte en el eje “x”  y = 0

Paso # 4: Punto de corte en el eje “y”  x = 0

Paso # 5: Se traza el eje de simetría que pasa por el vértice.

Paso #6: Es Decreciente en el intervalo.

(-∞,4]

Paso # 7: Es Creciente en el intervalo.

[4,∞)

Actividades

1. Determinar las características de todas las funciones elementales y finalmente grafique.
   
   
   
   
   
   
   
   
2. Dibujar la parte que falta en la gráfica de cada función
   
   
   
3. Analizar cada función racional. Luego, crear la gráfica
   
4. Analiza cada función radical. Luego, realizar su gráfica
   
   
   
   
   
   

1. Analiza cada función exponencial, Luego, realice la gráfica.
   
   
   
   
   
   
2. Trazar la gráfica de cada función y analizar su comportamiento
   
   
   
   
   
   
3. Trace la gráfica de cada función y analice su comportamiento
   
   
   
4. ¿Cuál de las siguientes funciones es decreciente en todo su dominio?
   
   
   
   
5. Identifica si cada función es lineal o afín a partir de su gráfica.
   
6. Interpreta cada expresión y diga si es una función afín, lineal o ninguna de las dos.

$$y=\frac{1}{2}x-3$$
$$y=2x^{2}$$
$$y=5x+7$$
$$y=-8x$$
$$y=\frac{5}{9}x$$

1. Lee y selecciona la afirmación que es falsa. De la función $$-5x-8=y$$ Se puede afirmar que:
   A. Es una función afín.
   B. Es creciente.
   C. El intercepto con el eje y es (0,-8)
   D. El intercepto con el eje x es (-8/5,0)
2. Calcule los interceptos con los ejes, la pendiente y dibuje su gráfica de las siguientes funciones:
   a.) y-2x=3
   b.) 3x+4y=12
   c.)3y=-6x+3
   d.) 2y+3x=-1

¿Sabías que entender las características de las funciones te permite resolver problemas matemáticos de manera mucho más rápida? Al conocer sus propiedades, puedes interpretar su comportamiento y predecir su curva con solo ver su expresión algebraica, sin necesidad de graficar. Esto te da una comprensión profunda de lo que la función representa, agilizando tu estudio analítico y dándote una ventaja para interpretar cualquier expresión matemática.

Características de las funciones

Conocer las características de las funciones te permite interpretar sus expresiones algebraicas de forma directa, sin necesidad de graficar, lo que facilita la resolución de problemas y la toma de decisiones en diversas disciplinas. A continuación, te menciono algunas de ellas:

• Puntos de cortes o intersecciones.
• Funciones creciente y decrecientes.
• Funciones pares e impares (simetría).
• Funciones periódicas.

Puntos de corte

Los puntos de corte indica donde la recta o la curva intercepta con los ejes del plano cartesiano. Estos puntos están formados por una variable independiente “x” y la dependiente “y” . Para calcular el punto debes aplicar las siguientes relaciones:

• Corte o intersección con el eje “x”  →   y = 0
• Corte con el eje “y”  →  x =0

Ejemplo. Determine los puntos de cortes con respecto a los ejes “x” e “y”

$$f(x)=\frac{6x+12}{3}$$

Paso # 1: Se iguala f ( x ) = y

$$y=\frac{6x+12}{3}$$

Paso # 2: Sustituir x = 0 , para obtener la intersección en con el eje “y”

$$y=\frac{6x+12}{3}$$
$$y=\frac{6\cdot 0+12}{3}=\frac{12}{3}$$
$$y=4$$

Punto de corte: A(0,4)

Paso # 3: Sustituir y = 0 , para obtener la intersección con el eje “x”

$$0=\frac{6x+12}{3}$$
$$0=6x+12$$
$$6x=-12$$
$$x=-2$$

Punto de corte: B(-2,0)

Observa la gráfica

Funciones crecientes y decrecientes

Al analizar un gráfico que muestra los cambios de temperatura a lo largo de un año, la clave está en el estudio de sus intervalos. Interpretar las variaciones de la curva te permite identificar rápidamente los momentos de temperaturas máximas y mínimas. Este análisis, que te enseña a reconocer intervalos crecientes, decrecientes o constantes, es fundamental para entender el comportamiento de los datos y tomar decisiones informadas.

Funciones crecientes

Por ejemplo: la función$$f(x)=2e^{x}$$Es creciente.
Observa que:  x ₁ <  x ₂  implica que  f ( x ₁ ) < f ( x 2 )
       
Se toman valores arbitrarios de x₁= -1 y  x₂ = 0 ⇒  f (0,7) < f (2)
Se cumple que la función$$f(x)=2e^{x}$$Es creciente en todo el conjunto de los números reales.

Funciones decrecientes

Ejemplo: la función$$f(x)=-2x+3$$Es decreciente
Observa al aplicar:  x ₁ <  x ₂  implica que  f ( x ₁ ) > f ( x 2 ).         
Se toman valores arbitrarios de x₁= -2 y  x₂ = 0 ⇒  f (7) > f (3)
Se cumple que la función$$f(x)=-2x+3$$Es decreciente en todo su dominio.

Observa la gráfica:

Función constante

Por ejemplo: la función$$f(x)=e$$Es constante.
Observa al aplicar:  x ₁ <  x ₂  implica que  f ( x ₁ ) = f ( x 2 )
       
Se toman valores arbitrarios de x₁= 1 y  x₂ = 0 ⇒  f (e) = f (e)
Se cumple que la función$$f(x)=e$$es constante en el intervalo (-∞, ∞).

Observa la gráfica:

Ejemplo. Determine los intervalos en los cuales el modelo gráfico de la función f es creciente, decreciente o constante.

Analiza la siguiente gráfica e identifica los intervalos donde la función es creciente, decreciente o constante.

.

Es creciente en los intervalos:

$$\left [ -6,-\frac{5}{2} \right ]$$

$$\left [ 6,\frac{19}{2} \right ]$$
$$\left [ 12,18 \right ]$$

Es decreciente en los intervalos:

$$\left [ -\frac{5}{2},1 \right ]$$

$$\left [ \frac{19}{2},12 \right ]$$

Es constante en el intervalo:

$$\left [ 1,6 \right ]$$ 

Funciones pares e impares (simetría)

Estas son funciones que se definen por su simetría. Si la función tiene como eje de simetría al eje «y», se le llama función par, este tipo de simetría se les conoce como simetría axial. Si su simetría está ubicada en el origen del plano cartesiano, se le conoce como función impar.

Función Par

Analíticamente la función es par cuando se sustituye la variable “-x” en la función y dé como resultado “f(x)”, es decir no existe ninguna modificación, lo que quiere decir que la curva de la función posee como eje de simetría al eje vertical “y” y por lo tanto se cumple que:

$$f(-x)=f(x)$$

Función Impar

Analíticamente la función es impar cuando se sustituye la variable “-x”  en la función y dé como resultado “f (-x)”,  es decir que el signo de la función cambia, gráficamente quiere decir que la curva de la función es simétrica con respecto al origen y por lo tanto se cumple que:

$$f(-x)=-f(x)$$

Ejemplo # 1. Determine si la función a continuación es par o impar.

$$f(x)=x^{2}+3$$

Paso # 1:

1. Sustituir “-x”  en la función
2. Comparar el resultado con la función original
3. Determinar el tipo de simetría

$$f(x)=x^{2}+3$$
$$f(-x)=(-x)^{2}+3$$
$$f(-x)=x^{2}+3$$

No existe cambio:$$f(-x)=f(x)$$

Analíticamente es: Función par

Gráficamente: Es una función par porque su eje de simetría es el eje “y”. Observa la gráfica:

Ejemplo # 2. 

Determine si la función es par o impar.

$$f(x)=x^{3}+1$$
$$f(-x)=(-x)^{3}+1$$
$$f(-x)=-x^{3}+1$$
$$f(-x)=-(x^{3}-1)$$

Existe cambio:  

Analíticamente: No es función par ni impar

Gráficamente: No existe eje de simetría en el eje “y” ni con respecto al origen del plano cartesiano. Observa la gráfica.

Ejemplo # 3. 

Determine si la función a continuación es pares o impar.

$$f(x)=\frac{1}{x}$$

$$f(-x)=\frac{1}{-x}$$

$$f(-x)=-\frac{1}{x}$$

Existe cambio:$$f(-x)=-f(x)$$

Analíticamente: Es una función impar

Gráficamente: Posee simetría con respecto al origen del plano cartesiano.

Ejemplo # 4:

Determine si la función a continuación es pares o impar.

$$f(x)=\frac{1}{x+2}$$
$$f(-x)=\frac{1}{-x+2}$$
$$f(-x)=-\frac{1}{x-2}$$

Existe cambio: Como la

Analíticamente: No es función par ni impar

Gráficamente: No posee simetría.

Características de las funciones periódicas 

Cuando se repiten intervalos de iguales longitudes en el dominio estamos en presencia de una función periódica

Entonces una función f : X → Y es periódica cuando existe un número real “T” llamado periodo. Se cumple que cada valor de x que pertenece al dominio de la función es f (x) = f (x + T).

Las funciones trigonométricas en su mayoría son periódicas, mientras que las polinómicas, exponenciales y logarítmicas no lo son.

El periodo (T) de las siguientes funciones trigonométricas es 2π.

• seno,
• coseno,
• secante y
• cosecante.

Las funciones trigonométricas como la tangente y cotangente su periodo (T) es de .

La función$$f(x)=senx$$es un ejemplo perfecto de una función periódica. Su periodo es de 2π, lo que significa que la forma de onda se repite en intervalos de igual longitud, es decir, 2π. Observa la gráfica:

Practica con las funciones trigonométricas

Te presento un simulador bien interesante para que te familiarices con las características de las funciones periódicas.

Actividades

Determine los puntos de cortes en ambos ejes de coordenadas (x e y)

a.		b.		c.
d.		e.		f.
g.		h.		i.

Determine si las siguientes funciones son pares o impares

a.		b.		c.
d.		e.		f.
g.		h.		i.

Dibujar  sobre el plano cartesiano el siguiente planteamiento y responde si existen intervalos donde son crecientes, decrecientes o constante explique.

(∞,0] es la función f (x) = x³ 

(0,5) es la función f (x) = -2x

[5,∞) es la función f (x) = 4x-10

El movimiento de un péndulo en función al tiempo se representa en la siguiente gráfica:
a. ¿Se puede determinar la velocidad del péndulo a los 21 segundos?
b. ¿Cuál es la velocidad del péndulo a los t = 13,5s ?

Complete las curvas en cada gráfica, para que se cumpla cada condición

Par

Impar

Función par

Impar

Determinar los intervalos crecientes, decrecientes y constante

¿Sabes cómo determinar el rango de una función? Antes de la explicación de este tema, es necesario conocer su definición, también conocido con el nombre de recorrido, el cual se define como el conjunto de las imágenes de la función, el rango es el segundo valor de cada par ordenado, es decir, que gráficamente está localizado en el eje de las ordenadas o eje “y”. Se simboliza como Rgo f

Rango de una función gráficamente

A continuación, observa la siguiente imagen donde está graficada la función $$f(x)=x+1$$

Para poder representar gráficamente la recta de la fig#1, en primer lugar se sustituyen los valores arbitrarios de “x” en la función \(f(x)=x+1\) , estos valores son pertenecientes al dominio o al conjunto de partida, luego se obtiene las imágenes o rango es decir los valores de “y”.

El rango de toda función es la proyección de la recta o la curva graficada sobre el eje “y”,  el rango de la función \(f(x)=x+1\) proviene del – ∞ hacia el + ∞ esto quiere decir que el rango de esta función son todos los ℜ.

Métodos para determinar el rango

Para determinar el rango de una función, que es el conjunto de todos los valores de salida o valores de “y” posibles, se puede utilizar métodos analíticos y gráficos.

Método analítico

Se enfoca en la expresión matemática de la función. Existe dos enfoques principales: trata de despejar la variable “x” y determinar si existen o no restricciones en “y”

Despejando la variable “x”

El rango de la función y = f ( x ) es el dominio de su función inversa, x = f ^-1( y ) . Para determinar el rango debes cumplir con los siguientes pasos:

1. Reemplaza f ( x ) con y.
2. Despejar la variable x en términos de y.
3. Determina el dominio de la nueva función, que ahora está en términos de y. Este dominio es el rango de la función original.

Ejemplo:

Determina el rango de la siguiente función

$$f(x)=\frac{1}{x-4}$$

Solución:

$$y=\frac{1}{x-4}$$

$$y(x-4)=1\Rightarrow yx-4y=1\Rightarrow$$

$$yx=1+4y\Rightarrow $$

$$x=\frac{1+4y}{y}$$

Al observar la nueva función, la variable y no puede ser cero. Por lo tanto, el dominio de esta nueva función son todos los \(\mathbb{R}\) a excepción del cero.

El rango de la función original es:

$$R_{f}=\left ( -\infty ,0 \right )\cup \left ( 0,\infty \right )$$

Analizando la función

Esta modalidad es útil para funciones más simples como las cuadráticas, exponenciales y la trigonométricas.

Funciones cuadráticas

Para este tipo de funciones el rango depende del vértice, si:

• a > 0, la parábola es cóncava hacia arriba dónde el vértice es el valor mínimo y el rango es [ y_vértice , ∞ ).

• a < 0, la parábola es cóncava hacia abajo dónde el vértice es el valor mínimo y el rango es [ y_vértice , ∞ ).

Para determinar la coordenada “ y ” del vértice es a través de la siguiente expresión:

$$y_{vertice}=f\left ( -\frac{b}{2a} \right )$$

Funciones con raíces de índice par

Para funciones como \(f(x)=\sqrt{x-3}\), la cantidad subradical debe ser positiva, es decir, \(x-3\geq 0\). Por lo tanto, el rango es [ 0, ∞ ).

Método gráfico

Es un método visual y a menudo más intuitivo. Para determinar el rango, sólo debes proyectar verticalmente la gráfica en el eje “ y ”.

Ejemplos

Analice las funciones representadas en las siguientes gráficas, posteriormente determine dominio y rango.

Dada la función:

$$f(x)=x^{2}-4$$

En el eje “x” está definida para todos los valores, es decir que el dominio es: $$D_{f}=\mathbb{R}$$

En el eje “y” está definida para valores mayores o iguales a: -4, es decir que el rango es:

$$R_{f}=[-4,\infty )$$

Gráfica

Dada la función:

$$f(x)=\frac{x-2}{x-1}$$

En el eje “x”  No está definida para x = 1, es decir que el dominio es :

$$D_{f}=(-\infty , 1)\cup (1,\infty )$$

En el eje “y”  El 1 No es imagen de ningún elemento de x, es decir que el rango es:

$$R_{f}=(-\infty , 1)\cup (1,\infty )$$

Gráfica

Ejercicio resuelto

Grafique y determine el dominio y rango de la siguiente función:

$$f(x)=\sqrt{5x-2}$$

Solución:

Como es una función radical de índice par la cantidad subradical debe ser positiva, entonces, los valores de “x ”deben ser:

$$\sqrt{5x-2}\geq 0$$
$$5x-2\geq 0$$
$$5x\geq 2$$
$$x\geq \frac{2}{5}$$

Por lo tanto el dominio de la función es:

$$D_{f}=\left [ \frac{2}{5},\infty \right )$$

Cálculo del rango

$$f(x)=\sqrt{5x-2}$$
$$y=\sqrt{5x-2}$$
$$y^{2}=5x-2$$
$$x=\frac{y^{2}+2}{5}$$

La nueva función no tiene restricciones para los valores de y. Pero la función original, \(f(x)=\sqrt{5x-2}\) es una raíz cuadrada de un número real que nunca puede ser negativo. Por lo tanto, el valor de y siempre debe ser ≥ 0.

Combinando la restricción de la función original y el resultado del despeje, el rango de la función es:

$$R_{f}=[ 0,\infty )$$

Todos los valores posibles de salida es cualquier número real no negativo.

Tabla de valores

El dominio inicia desde 2/5 es decir 0,4. Por lo tanto se crea la tabla de valores a partir de ese valor mínimo.

Gráfica

Actividades

Hacer el estudio de cada una de las siguientes funciones determinando:

1. Dominio
2. Rango
3. Gráfico

Resultados

Si estás buscando clasificación de funciones has llegado al lugar correcto, podrás ver cada una de las funciones y sus características. ¿Qué puede provocar las relaciones en las funciones? Según el tipo de relación que puede tener los elementos del conjunto de partida con respecto a los elementos del conjunto de llegada puede generar tres tipos de clasificación de funciones, llamadas: inyectiva, sobreyectiva y biyectiva.

Función Inyectiva

La función inyectiva es llamada también «uno a uno» por que cada elemento del conjunto de partida le corresponde imágenes distintas.

Determinar si es o no inyectiva en diagramas sagitales

En la figura # 1 , los elementos «x» y «y» del conjunto de partida comparten la misma imagen «b«, por lo tanto no es una función inyectiva.

En la figura # 2 , todos los elementos del conjunto de partida (1,2,3,4) poseen distintas imágenes (b,c,d,a) por lo tanto es una función inyectiva.

Determina si una función es inyectiva de forma geométrica

Es muy fácil, lo primero es realizar la representación gráfica y luego se aplica el criterio de la recta horizontal lo cual consiste en dibujar una serie de líneas paralelas al eje “x” , sí estas líneas interceptan a la curva de la función en un sólo punto entonces se concluye que la función es Inyectiva.

Ejemplo # 1: Determine si la función es inyectiva

$$f(x)=2x^{3}$$

Crear la tabla de valores

Graficar en el plano cartesiano

Trazar rectas paralelas
Observa que las rectas sólo corta a la curva en un punto, esto quiere decir que la función es Inyectiva.

Determinar analíticamente para conocer si es o no inyectiva

$$x_{1}; x_{2} \in \operatorname{Dom}(f)$$

$$f(x_{1}) = f(x_{2}) \Rightarrow x_{1} = x_{2}$$

Esta es la condición para saber si la expresión es una función afín.

Ejemplo # 1: Indique si las siguiente función es inyectiva.

$$f(x) = 5x + 3$$

$$f(x_{1}) = f(x_{2})$$

$$5x_{1} + 3 = 5x_{2} + 3$$

$$5x_{1} = 5x_{2}$$

$$x_{1}=x_{2}$$

Conclusión: como x₁=x₂  esta función es inyectiva.

Ejemplo # 2: Indica si la función es inyectiva.

$$f(x) = x^{2} + 4$$

$$f(x_{1}) = f(x_{2})$$

$$\left ( x_{1} \right )^{2}+4=\left ( x_{2} \right )^{2}+4$$

$$\left ( x_{1} \right )^{2}=\left ( x_{2} \right )^{2}$$

Se iguala a cero:  

$$x_{1}^{2} – x_{2}^{2} = 0$$

Factorizar por diferencia de cuadrados perfectos

$$(x_{1} + x_{2})(x_{1} – x_{2}) = 0$$

Igualar cada factor a cero

$$(x_{1} + x_{2}) = 0$$

$$(x_{1} – x_{2}) = 0$$

Despejando:

$$x_{1}=-x_{2}$$

$$x_{1}=x_{2}$$

Conclusión: como son dos resultados distintos, entonces esta función No es inyectiva.

Función Sobreyectiva

Una función es sobreyectiva cuando el rango es igual al conjunto de llegada. Es decir, que todos los elementos del conjunto de llegada sean imagen de por lo menos un elemento del conjunto de partida.

En la figura#3 es sobreyectiva, ya que el rango es el mismo conjunto de llegada, es decir todos los elementos del conjunto de llegada son imágenes, observe que el elemento «b» del conjunto de llegada es imagen de dos elementos distintos del conjunto de partida.

La figura#4 también es sobreyectiva, su rango es el mismo conjunto de llegada, aquí todos los elementos del conjunto de llegada es imagen de un elemento distinto del conjunto de partida.

La figura#5 no es sobreyectiva, por la simple razón que un elemento del conjunto de llegada no es imagen, este elemento es «g» del conjunto D.

Función Biyectiva

Una función cumple con ser Biyectiva cuando es Inyectiva y Sobreyectiva, esto quiere decir que la funciones biyectivas se cumple cuando todos los elementos del conjunto de llegada es imagen de un sólo elemento del conjunto de partida. Observa el siguiente diagrama sagital:

En la figura#6 cada elemento del conjunto de llegada es imagen de un elemento distinto del conjunto de partida entonces es una función Inyectiva. Todo el rango es el mismo conjunto de llegada es decir es una función Sobreyectiva, entonces al ser Inyectiva y sobreyectiva es finalmente una función Biyectiva.

Explicación fácil de función inyectiva y sobreyectiva

Ejercicios de clasificaciones de funciones

Determina cuáles de las siguientes funciones f son inyectivas

Ahora que conoces más acerca de la clasificación de funciones es momento que pongas en práctica los conocimientos aprendidos. No olvides compartir y suscribirte a nuestro sitio web.

¿Sabías que las funciones están presentes en muchos aspectos de nuestra vida diaria? Aunque no siempre nos demos cuenta, constantemente utilizamos relaciones que pueden expresarse como funciones.

• Cuando expresamos nuestras ideas o emociones, por ejemplo: “si estudio más, obtengo mejores resultados”, estamos estableciendo una relación causa–efecto, muy similar a una función.
• En el consultorio médico, cuando el doctor nos entrega un resultado de un estudio, ese valor depende directamente de una variable, como la presión arterial, la glucosa o la edad del paciente.
• Al viajar en carro, la cantidad de kilómetros que podemos recorrer está en función de la gasolina que se le agregue al tanque: más gasolina, más distancia.
• En la economía familiar también las usamos: el costo total de un producto depende del número de unidades compradas.
• Incluso en actividades sencillas, como preparar jugo, el tiempo que tardamos depende de la cantidad de frutas que tengamos que pelar o licuar.

En pocas palabras: cada vez que una cantidad depende de otra, estamos frente a una función.

Definición de funciones

Una magnitud “y” se llama función de la variable “x”, si a cada valor de “x” corresponde, a cierta ley de correspondencia, un único valor determinado de “y”. En este caso se dice que “y es función de x” y esto se puede expresar de la siguiente manera:

$$y=f(x)$$

Elementos de una función

En una función el conjunto de partida “X” es el dominio conocido también como las preimágenes y se escribe: Dom f.

Todo el conjunto de llegada “Y” es llamado codominio o contradominio y se escribe: Cod f.

El rango, también llamado recorrido, es el conjunto formado por todos los elementos del codominio que efectivamente son imágenes de algún valor del dominio.

El rango se escribe: Rg f

Ejemplo. 

Sean:

\(X = \{1, 2, 3\}\) y

\(  Y = \{a, b, c, d\}  \)

si  \(g:X \rightarrow Y\) es una función de \(X\) en \(Y\)

Identifica los siguientes elementos de la función g.

• Conjunto de partida (dominio).
• Conjunto de llegada (codominio).
• Elementos del conjunto de partida (preimágenes).
• Elementos del conjunto de llegada.
• Rango o imágenes.

Solución

Conjunto de partida:

\( Dom(g)=X \)

Conjunto de llegada:

\( Cod(g)=Y \)

Elementos del conjunto de partida:

\( X = \{ 1, 2, 3 \} \)

Elementos del conjunto de llegada:

\( Y = \{ a, b, c, d \} \)

Rango:

\(Rg(g)= \{ a, b, c \} \)

Diferentes maneras de expresar funciones

Una función f  de un conjunto “ X ” en otro conjunto “ Y ” es una correspondencia que asigna cada elemento \(x \in X\) un sólo elemento \(y \in Y\)

Los elementos  \(y \in Y\) son las imágenes de x bajo f

Las funciones generalmente se escriben con letras minúsculas como f, g, h, . . . y se expresan de la siguientes maneras:

\(f: X \rightarrow Y\)        \(x \rightarrow f(x)\)      \( X \overset{f}{\rightarrow} Y\)

Su significado indica que f manda x a y o que f  manda x a f (x) . La expresión f (x) significa la imagen de x.

Por ejemplo, f(x) = \(x^{2}\)

f manda x a x² , es decir, que cada pareja ordenada se expresa \((x, x^{2})\).

El valor de la función:

\(f(x)\) cuando \(x = 2\)  es  \(f(2) = 2^{2} = 4\)  y el par ordenado es \((2, 4)\).

Es o no función

Una función es una regla que asigna cada elemento del conjunto de partida un elemento del conjunto de llegada, es decir que toda función es una relación, pero no toda relación es una función.

¿Cómo conocer si es una función?

Se debe tener en cuenta las siguientes condiciones:

1. Es función cuando cada elemento del conjunto de partida se relaciona únicamente con una imagen.
2. No es función, sí al menos un elemento del conjunto de partida no está relacionado.
3. No es función, cuando un elemento del conjunto de partida posee más de una imagen.

¿Cómo saber si es función en un diagrama sagital?

En la figura a continuación, la relación f  es función debido a que cada elemento del conjunto de partida A sólo se relaciona con un elemento del conjunto de llegada B.

La relación g , No es función ya que los elementos 5 y 7 del conjunto de partida A poseen más de una imagen en el conjunto de llegada B.

La relación h,  No es función debido que el elemento w del conjunto de partida A no posee imagen. 

¿Cómo saber si es función una expresión algebraica?

Para determinar si una expresión algebraica representa una función, primero se construye la tabla de valores y se elabora su gráfica. Luego se aplica la prueba de la línea vertical: si al trazar una línea vertical esta corta a la gráfica en un solo punto, se trata de una función; en caso contrario, no lo es.

Ejemplo: Es función la siguiente expresión

$$f(x) = \pm \sqrt{x+2}$$

Paso#1: Tabla de valores.

Paso#2: Gráfica y trazado de línea vertical.

Como conclusión la expresión dada \(f(x) = \pm \sqrt{x+2}\)
No es función ya que al aplicar la prueba de la línea vertical toca dos puntos en la curva.

Representación de funciones

Existen muchas formas para representar a las funciones, entre estas representaciones están las de:

1. Representación verbal. Se realiza por medio de una expresión explícita de la regla que asigna a cada elemento del conjunto de partida o dominio, con su correspondiente imagen. Por ejemplo «El doble de un número»
2. Representación algebraica. Es cuando se expresa a través de una fórmula. Por ejemplo f ( x ) = 2x
3. Representación en tabla de valores. Se refiere a dos filas o dos columnas, en la primera fila o la primera columna se distribuye los valores de la variable independiente “ x ”  y en la segunda fila o columna los valores de la variable dependiente “ y ”. A continuación una tabla de valores de dos columnas.
   
4. Representación gráfica. Es obtenida al ubicar en el plano cartesiano un par ordenado ( x , y ), proveniente de la tabla de valores, al representar cada par ordenado se obtiene la siguiente gráfica.

Ejemplo de funciones en la vida diaria

Un ejemplo muy fácil de funciones es cuando vamos a comprar cebollas al mercado por el precio de $1000 el kilogramo, entonces la ley que determina el valor de la cebolla es la siguiente expresión matemática:

$$y = 1000x$$

donde:    \(y = \text{costo}\) y \(x = \text{peso (kg)}\)

Ahora observe la compra que realizaron 6 personas, cada pago que efectuaron está en función a las cantidades de cebollas que seleccionaron, dicho en otras palabras cada costo de pago se ejecutó en función al peso.

La ley de correspondencia que determina el precio de las cebollas en función al peso en palabras sería de la siguiente manera:

«Para determinar el precio de las cebollas es necesario multiplicar el peso de las cebollas por el valor de la misma en este caso $ 1000»

Variables dependientes e independientes

Las variables dependientes dependen de los valores de las variables independientes, la variable independiente es conocida también como la Causa y la variable dependiente como Efecto. La variable independiente es “x” y la dependiente es “y”.

La variable independiente “x” es aquella que se controla o se elige libremente. Un ejemplo sencillo lo encontramos en una máquina exprimidora de caña de azúcar: la caña de azúcar representa la variable independiente, mientras que el jugo obtenido al exprimirla corresponde a la variable dependiente “y”. Observa la imagen:

Otro ejemplo se presenta al construir una tabla de valores: asignamos distintos valores a la variable independiente “x”, y en consecuencia, la variable dependiente “y” cambia de acuerdo con dichos valores.

Finalmente llamaremos a las variables de la siguiente manera:

x= variable

y= función

Función real de variable real

Se llaman así cuando la variable y la función están definidas en el conjunto de los números reales

la función:

f :  A  →  ℜ

Donde:

ℜ = Conjunto de los números reales

A ⊆ ℜ

Actividades

I.Dado el conjunto M=\(\{-2, 0, 2, 3, 4\}\) y la ley de correspondencia:

$$f(x)=x^{2}$$
Determine:

• El conjunto N.
• Escriba en pares ordenados cada relación.
• Represente en un diagrama sagital.
• Hallar el dominio, codominio y rango.

II.Grafique las siguientes funciones:

Y determinar:

• Dominio.
• Rango.
• Codominio.
• Si es o no función

III.Hallar los valores numéricos de cada función:

IV.Representar por medio de un diagrama sagital la siguiente función, a partir de sus pares ordenados:

V.Determine en cada caso si el conjunto de pares ordenados corresponde a una función del conjunto X en el conjunto Y

VI.Determine las imágenes \(f(1); \, f(-2); \, f(g+10)\) mediante la función \(f(x) = 5x – 3\)

¿Quieres aprender a dominar tus videojuegos favoritos sabiendo cómo reducir ángulos al primer cuadrante? Imagina que tienes que hacer un lanzamiento perfecto, pero el objetivo está en un ángulo de 300°. En lugar de memorizar todos los valores para cada ángulo, existe un «truco» matemático que simplifica ese 300° a un ángulo mucho más fácil de manejar: 60°. Con esta técnica, podrás descifrar cualquier ángulo, sin importar qué tan grande sea, ¡y subir de nivel en tus habilidades de cálculo!

Signos de las funciones trigonométricas

Según el cuadrante donde se ubique el ángulo las funciones trigonométricas puede ser positivas o negativas, por ejemplo si el ángulo es 150° este está ubicado en el segundo cuadrante por lo tanto la función trigonométrica del seno de 150° es positivo y la función trigonométrica del coseno de 150° es negativo.

$$\sin 150^{\circ} = \frac{1}{2}$$

$$\cos 150^{\circ} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Para los signos de la tangente debes dividir el signo del seno entre el signo del coseno.

Los signos de las funciones inversas son los mismos signos de sus funciones directas.

Cómo obtener los valores de las funciones trigonométricas sin calculadora

Para obtener los valores de las funciones trigonométricas (ejemplo: sin150°=1/2) de ángulos notables (30°, 45°, 60°, 120°, 135°, 150°, 210°, 225°, 240°, 300°, 315°, 330°) no hace falta que utilices la calculadora, solo debes hacer uso del siguiente truco matemático, observa la imagen:

Ejemplo # 1. Determine sen30°

Resultado: $$sen30^{\circ }=\frac{{1}}{2}$$

Ejemplo # 2. Calcular cos210°

Resultado: $$cos210^{\circ }=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Para conseguir los valores de la función tangente debes aplicar la razón trigonométrica:

$$tan\alpha=\frac{sen\alpha }{cos\alpha }$$

Por ejemplo, hallar el valor de la tan150°

$$tan150^{\circ }=\frac{\frac{1}{2} }{-\frac{\sqrt{3}}{2} }$$

$$tan150^{\circ }=-\frac{\sqrt{3}}{3}$$

Fórmulas para convertir ángulos del IV,III,II al I cuadrante

¿Cómo reducir ángulos al primer cuadrante? No te preocupes, a continuación, te muestro tres fórmulas sencillas que son el atajo que estabas buscando. Con ellas, podrás convertir de manera rápida y sin complicaciones cualquier ángulo del segundo, tercer o cuarto cuadrante a su valor equivalente en el primer cuadrante. Dominar esta herramienta es clave para simplificar tus cálculos y resolver cualquier problema de trigonometría.

Caso#1: Convertir ángulos del II cuadrante al I cuadrante

Ejemplo#1: Convertir el ángulo 120° al primer cuadrante y determinar todas las funciones trigonométricas y sus inversas

Solución#1:

1. Identificar el cuadrante del ángulo, en este caso el ángulo 120° se encuentra en el cuadrante II
2. Seleccionar la fórmula, por estar el ángulo (120°) en el II cuadrante se aplica la primera fórmula: $$\alpha = 180^{\circ} – \beta$$
3. Cálculo del ángulo en el primer cuadrante, se sustituye el valor del ángulo 120° en la fórmula: $$\alpha = 180^{\circ} – 120^{\circ} = 60^{\circ}$$
4. Ángulo coterminal = 60°

Solución#2:

1. Determinar todas las funciones trigonométricas. El ángulo de 120° es del II cuadrante por lo tanto el resultado de los signos de las funciones trigonométricas del seno es +, del coseno es -, y el de la tangente es -, y los signos de sus inversas son los mismos.

$$\sin 120^{\circ} = \sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

$$\cos 120^{\circ} = -\cos 60^{\circ} = -\frac{1}{2}$$

$$\tan 120^{\circ} = -\tan 60^{\circ} = -\sqrt{3}$$

$$\csc 120^{\circ} = \csc 60^{\circ} = \frac{2}{\sqrt{3}}$$

Por estar el radical en el denominador se racionaliza y su procedimiento es el siguiente:

$$\csc 120^{\circ} = \csc 60^{\circ} =$$
$$ =\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{(\sqrt{3})^{2}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$$

$$\sec 120^{\circ} = -\sec 60^{\circ} = -2$$

$$\cot 120^{\circ} = -\cot 60^{\circ} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$$

Caso#2: Convertir ángulos del III cuadrante al I cuadrante

Ejemplo#2: Convertir el ángulo 225° al primer cuadrante y determinar todas las funciones trigonométricas e inversas.

Solución#1:

1. Identificar el cuadrante del ángulo, el ángulo 225° se encuentra en el III cuadrante
2. Seleccionar la fórmula, se aplica la segunda fórmula \(\alpha = \beta – 180^{\circ}\)
3. Cálculo del ángulo, se sustituye el valor del ángulo 225° en la fórmula: $$\alpha = 225^{\circ} – 180^{\circ} = 45^{\circ}$$
4. Ángulo coterminal = 45°

Solución#2:

1. Determinar todas las funciones trigonométricas tomando en cuenta sus signos en el III cuadrante

$$\sin 225^{\circ} = -\sin 45^{\circ} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$

$$\cos 225^{\circ} = -\cos 45^{\circ} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$

$$\tan 225^{\circ} = \tan 45^{\circ} = 1$$

$$\tan 225^{\circ} = \tan 45^{\circ} = 1$$

$$\csc 225^{\circ} = -\csc 45^{\circ} = $$
$$=-\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = -\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = -\sqrt{2}$$

$$\sec 225^{\circ} = -\sec 45^{\circ} =$$
$$= -\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = -\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = -\sqrt{2}$$

$$\cot 225^{\circ} = \cot 45^{\circ} = 1$$

Caso#3: Convertir ángulos del IV cuadrante al I cuadrante

Ejemplo#3: Convertir el ángulo 330° al primer cuadrante y determinar todas las funciones trigonométricas e inversas

Solución#1:

1. Identificar el cuadrante del ángulo, el ángulo 330° se encuentra en el IV cuadrante
2. Seleccionar la fórmula, se aplica la tercera fórmula \(\alpha = 360^{\circ} – \beta\)
3. Cálculo del ángulo, sustituir el valor del ángulo 330° en la fórmula: $$\alpha = 360^{\circ} – 330^{\circ} = 30^{\circ}$$
4. Ángulo coterminal = 30°

Solución#2:

1. Determinar todas las funciones trigonométricas tomando en cuenta sus signos en el IV cuadrante

$$\sin 330^{\circ} = -\sin 30^{\circ} = -\frac{1}{2}$$

$$\cos 330^{\circ} = \cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

$$\tan 330^{\circ} = -\tan 30^{\circ} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$$

$$\csc 330^{\circ} = -\csc 30^{\circ} = -\frac{1}{\frac{1}{2}} = -2$$

$$\sec 330^{\circ} = \sec 30^{\circ} =$$
$$= \frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$$

$$\cot 330^{\circ} = -\cot 30^{\circ} =$$
$$= -\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{3}} = -\frac{3}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = -\sqrt{3}$$

Caso#4: Convertir ángulos mayores de 360° al I cuadrante

Cuando son ángulos mayores de 360° se realiza una división de ese ángulo entre 360° y se escoge el residuo.

Ejemplo#4: Determine el valor del seno de 2025°

Para determinar la reducción de este ángulo al I cuadrante debes cumplir con los siguientes pasos:

1. Dividir el ángulo 2025° entre 360°, se toma el resto como ángulo reducido
2. El ángulo 225° está en el III cuadrante, se aplica todos los 4 pasos de los casos anteriores para obtener el ángulo coterminal en el I cuadrante
3. \(\alpha = 225^{\circ} – 180^{\circ} = 45^{\circ}\)

$$\sin 2025^{\circ} = -\sin 225^{\circ} =$$
$$= -\sin 45^{\circ} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Actividades

1. Determine el valor de las funciones trigonométricas de 1590°
2. Calcular las funciones trigonométricas de 7410°
3. Calcular el valor de las funciones trigonométricas de 20115°
4. Calcular el valor de las funciones trigonométricas de 404505°
5. Explique paso a paso ¿Cómo reducir ángulos al primer cuadrante?

¿Alguna vez te has preguntado cómo los videojuegos logran que tus lanzamientos de granadas o tus tiros a distancia sean tan precisos?
Detrás de cada trayectoria perfecta en un videojuego, se esconde la matemática de los ángulos. Desde la precisión necesaria para un tiro en un simulador de francotirador hasta el ajuste del ángulo de un golpe de golf virtual, todo se basa en el sistema sexagesimal. Aprender a convertir y operar con grados, minutos y segundos no solo te hará mejor en geometría, sino que te dará una nueva perspectiva sobre la lógica que rige los mundos digitales que tanto nos gustan.

Medición de ángulos en el sistema sexagesimal

Al dividir una vuelta en 360 partes iguales, cada una de ellas tiene como medida un grado sexagesimal, es decir, la fracción 1/360 .

Si uno de dichos grados se divide en 60 partes iguales, cada una de las partes recibe el nombre de minuto. Es decir 1/60 de grado equivale a 1’, donde el símbolo ’ se lee minuto.

Al dividir cada minuto en 60 partes iguales, cada una de ellos recibe el nombre de segundo. Es decir, 1/60 de minuto equivale 1”, este símbolo se conoce como segundo.

Entonces, se concluye que: $$1^{\circ }=60’=3600^{\prime\prime}$$

Por lo tanto es muy importante que tengas siempre presente las siguientes relaciones:

$$1^{\circ }=60’$$

$$1^{\prime}=60^{\prime\prime}$$

$$1^{\circ }=3600^{\prime\prime}$$

Expresiones dentro del sistema sexagesimal

En el sistema sexagesimal, los ángulos pueden expresarse de dos maneras:

1. Grados decimales.
2. Grados, minutos y segundos.

Los grados decimales expresan una parte entera y otra decimal. Ejemplo: 62,35° y

Los grados sexagesimales tradicionales se representan en grados, minutos y segundos. Ejemplo: 62°21’0”

Transformación de grados decimales a grados, minutos y segundos

Transformar de grados decimales a grados, minutos y segundos es muy fácil, solo debes seguir el procedimiento paso a paso.

Ejemplo. Convertir 35,875° a grados, minutos y segundos.

Procedimiento

Primero. Igualar la medida del ángulo como la sumatoria de la parte entera y su parte decimal.
$$35,875^{\circ } = 35^{\circ } + 0,875^{\circ }$$

Segundo. Multiplicar la parte decimal por el factor \(\frac{60′}{1^{\circ }}\) para conseguir la cantidad de minutos.
$$35,875^{\circ } = 35^{\circ } + (0,875^{\circ } \cdot \frac{60′}{1^{\circ }})$$
$$35,875^{\circ } = 35^{\circ } + 52,5’$$

Si se obtiene una cantidad de minutos en decimales, nuevamente se expresa esa cantidad como la suma de su parte entera y su parte decimal multiplicándola por el factor \(\frac{60»}{1{‘}}\) .
$$35,875^{\circ } = 35^{\circ } + 52’+(0,5’\cdot \frac{60^{\prime\prime}}{1′})$$
$$35,875^{\circ } = 35^{\circ } + 52^{\prime}+30^{\prime\prime}$$

Finalmente, se concluye que la medida 35,875° = 35°52’30”.

Ejemplo. Expresar la medida del ángulo 15°12’25” en grados decimales.

Procedimiento

Primero. Descomponer la medida del ángulo como la suma de grados, minutos y segundos, convirtiendo cada uno en grados según su equivalencia.
$$15^{\circ }12^{\prime}25^{\prime\prime}=$$

Segundo. Realizar las operaciones indicadas, por lo que se obtiene:
$$15^{\circ }12^{\prime}25^{\prime\prime}= 15^{\circ } +0,2^{\circ }+0,006^{\circ }$$
$$15^{\circ }12^{\prime}25^{\prime\prime}= 15,206^{\circ }$$

Finalmente, se concluye que la medida angular 15°12’25” expresada en grados decimales es 15,206°.

Operaciones básicas

Las operaciones básicas en el sistema sexagesimal permiten sumar, restar, multiplicar y dividir ángulos expresados en grados, minutos y segundos. Para realizarlas correctamente, es necesario aplicar las siguientes equivalencias cuando superen su valor máximo.

$$1^{\circ }=60’$$

$$1^{\prime}=60^{\prime\prime}$$

$$1^{\circ }=3600^{\prime\prime}$$

Suma

Para poder llevar a cabo una suma de ángulos sexagesimales debes cumplir con los siguientes pasos:

1. Ordenar ambos valores.
2. Sumar.
3. Si el resultado de los segundos es ≥ 60” o los minutos es ≥ de 60’ debes aplicar las equivalencias respectivas.

Caso # 1 : Cuando los minutos y segundos son menores que 60.

Ejemplo: Sume los ángulos   α=15°12’25” y   β = 12°21’10”

Ordene y sume.

Explicación de suma de ángulos (video)

En este video de YouTube aprenderás cómo realizar la suma de ángulos sexagesimales paso a paso. Verás cómo se suman los grados, minutos y segundos de manera alineada, y qué hacer cuando los minutos o segundos superan los 60: transformarlos a la unidad superior. De esta forma comprenderás fácilmente cómo obtener el resultado correcto en el sistema sexagesimal.

Caso # 2 : Cuando los segundos son mayores o iguales a 60.

Este caso debes ordenar y sumar y si los segundos es mayor que 60” debes aplicar la equivalencia 1’ = 60”.

Ejemplo: Sume los siguientes ángulos  α=49°24’32” y   β = 63°21’42”

• Ordene y sume:

• Aplicar la relación 1´= 60´´

Como:

74´´= 60´´ + 14´´ . Se transforma 60´´ en  1´ , y queda 14´´.

Ese 1´ se suma con los 45´, dando 46´.

Caso # 3 : Cuando los minutos son mayores o iguales a 60.

Este caso debes ordenar y sumar y si los minutos es mayor que 60’ debes aplicar la equivalencia 1° = 60’ .

Ejemplo: Sume los siguientes ángulos  α = 87°56’36”  y   β = 129°85’5”.

• Ordenar y sumar

• Aplicar: 1° = 60´

Como 141´ = 60´ + 60´ +21´ . Se transforma 60´ +60´ = 120´ en 2° grado y quedan 21´.

Ese 2° se suma con los 216°, dando 218°.

Caso # 4 : Cuando los minutos y segundos son menores o iguales a 60.

Este caso se realiza la equivalencia de segundos a minutos y luego de minutos a grados.

Ejemplo: Sume los siguientes ángulos  α = 53°67’56” y   β = 39°85’45”

• Ordenar y sumar

• Aplicar la equivalencia

Como 101´ ´= 60´´ + 41´´ . Se transforma y queda así: 1´ con 41´´.

Ese 1´ se suma con los 152´, dando 153´.

• Transformar los minutos a grados. 1°=60´

153´ = 60´ + 60´ + 33´´. Al transformarse la expresión es: 1° + 1° +33´

Esos 2° se suma a los 92°, resultando 94°.

Resta

Para restar ángulos sexagesimales debes seguir estos pasos:

1. Ordena ambos ángulos en columnas (grados, minutos y segundos).
2. Realiza la resta correspondiente.
3. Si el resultado de los segundos es ≥ 60” o los minutos es ≥ de 60’ aplica las equivalencias necesarias para convertirlos correctamente.

Caso # 1 : Cuando los minutos y segundos son menores que 60.

Ejemplo: Reste los ángulos 32°45’52” y  15°32’43”

• Ordenar y restar

Caso # 2: Cuando el valor del ángulo menor posee segundos más elevados.

Ejemplo: Reste los ángulos 89°15´26´´y  67°13´45´´

• Ordenar. Observa que los segundos del ángulo menor es mayor que los segundos del ángulo mayor.

• Se le resta 1 minuto al mayor ángulo 89°15’26”, ese minuto se transforma a segundos y luego se suma a los 26 segundos. El fin de este procedimiento es lograr que los segundos sea mayor que los segundos del ángulo menor. Observa ahora:

• Reste:

Explicación de resta de ángulos (video)

En este video de YouTube aprenderás a realizar la resta de ángulos sexagesimales de forma sencilla. Te mostraré cómo restar grados, minutos y segundos en columnas y qué hacer cuando no es posible restar directamente: pedir prestado un grado y convertirlo en 60 minutos, o un minuto y transformarlo en 60 segundos. Así, paso a paso, lograrás obtener el resultado correcto dentro del sistema sexagesimal.

Caso # 3: Cuando la cifra mayor no posee minutos y segundos.

Ejemplo: Reste los ángulos 45° y 33° 45´34´´

• Ordenar:

• Cuando un ángulo no presenta minutos ni segundos, se le resta 1° al valor de los grados. Ese grado se convierte en 60′. Luego, de esos 60′ se toma 1′ y se transforma en 60″ (1′ = 60″). De esta manera, el ángulo queda expresado con minutos y segundos suficientes para efectuar la resta. Observa:

• Restar

Multiplicación

La multiplicación de ángulos sexagesimales se aplica cuando un ángulo debe repetirse varias veces, lo que equivale a multiplicarlo por un número entero o decimal. El procedimiento consiste en multiplicar el ángulo completo y expresar el resultado en grados, minutos y segundos. Según el caso, si los minutos y segundos obtenidos son menores que 60, se dejan como están; pero si son iguales o mayores que 60, se convierten a la unidad superior correspondiente.

Caso # 1: Cuando en el resultado los minutos y los segundos son menores que 60

Ejemplo: Multiplicar 4 y 4° 12’9”

• Ordenar y multiplicar

Caso # 2: Cuando en el resultado los minutos o los segundos son mayores o iguales a 60

Ejemplo: Multiplicar 15  y  3°12’14”

• Ordenar y multiplicar

• Transformar los segundos y minutos que están fuera de su rango normal (≥ 60″ o ≥ 60′) a su equivalente en minutos y grados respectivamente, para expresar el ángulo de forma correcta.

210´´ =60´´ + 60´´ + 60´´ + 30´´ = 3´ + 30´´

3´ + 180´ = 183´

• Transformar los minutos a grados.

183´ = 60´ + 60´ + 60´ + 3´ = 3° + 3´

Observa que los minutos y segundos están por debajo de los 60.

División

La división de ángulos en el sistema sexagesimal consiste en repartir un ángulo dado en partes iguales. El procedimiento consiste en dividir entre el número indicado y, finalmente, transformar la parte decimal del resultado en minutos y segundos.

Ejemplo: Divida 42° 36´ 56´´ entre 4

• Dividir

• Transformación de grados decimales a minutos.

21°/2 = 10,5°
$$10,5^{\circ } = 10^{\circ } + 0,5^{\circ }$$
$$10,5^{\circ } = 10^{\circ } + (0,5^{\circ } \cdot \frac{60^{\prime}}{1^{\circ }})$$
$$10,5^{\circ } = 10^{\circ } + 30^{\prime}$$
$$10,5^{\circ } = 10^{\circ } 30^{\prime}$$

• Sumar los minutos y segundos resultantes

Resultado: 10°39’14”.

Ejemplo: Divida 156° 26´ entre 8

• Ordenar y dividir

• Transformación de grados decimales a minutos.

$$19,5^{\circ } = 19^{\circ } + 0,5^{\circ }$$
$$19,5^{\circ } = 19^{\circ } + (0,5^{\circ } \cdot \frac{60^{\prime}}{1^{\circ }})$$
$$19,5^{\circ } = 19^{\circ } + 30^{\prime}$$

• Sumar los 30 minutos.

• Transformación de minutos decimales a segundos

$$33.25^{\prime } = 33^{\prime}+0,25^{\prime }$$
$$33.25^{\prime } = 33^{\prime} + (0,25^{\prime} \cdot \frac{60^{\prime\prime}}{1^{\prime }})$$
$$63.35^{\prime } = 33^{\prime}+ 15^{\prime\prime}$$

• Sumar los minutos y segundos.

Resultado: 19°33’15”.

Actividades

Exprese cada ángulo decimales en grados, minutos y segundos sexagesimales.

Resuelva las siguientes operaciones.

45°3´56´´ +  69°25´36´´

45°3´56´´ –  69°25´36´´

45  x  69°25´36´´

5°3´6´´ +  4°

Diga si es verdadero o falso los siguientes planteamientos.

• 60° es equivalente a 36000´´
• El resultado de 3°65´98´´ + 1°3´9´´ es 5°9°46´´
• Pedro afirma que 1° = 60´ = 3600´´

Dos tubos de una estructura forma un ángulo de 52°17´33´´. La medida en grados de dicho ángulo es:

• 52,85°
• 53,34°
• 52,29°
• 53,17°