10ºGrado

¿Te has preguntado alguna vez qué tiene que ver la parábola con cosas que ves todos los días?
Piensa en el chorro de agua que sale de una botella cuando la aprietas, en la trayectoria que hace un balón cuando lo pateas con un buen efecto, o en la forma curva de una lámpara que refleja la luz justo donde la necesitas. Aunque no lo notes, todas esas situaciones comparten la misma figura matemática.
Esa curva tan característica —suave, simétrica y fácil de reconocer— es la parábola. Conocerla te ayudará no solo en tus clases, sino también a entender por qué muchos objetos, diseños y movimientos del día a día tienen esa forma tan particular.

¿Qué es la parábola?

La parábola es el lugar geométrico de los puntos de un plano que mantienen la misma distancia a un punto fijo llamado foco (F) y de una recta fija denominada directriz.

En otras palabras la parábola es una curva cónica definida por la igualdad de distancia entre un punto fijo llamado foco (F) y una recta fija (directriz). Observa la imagen:

¿Es importante aprenderse la definición?

Si, cuando comprendes que cada punto de la parábola está a la misma distancia del foco y de la directriz, empiezas a ver que la curva no es un dibujo caprichoso: responde a una regla geométrica muy precisa. Esa idea te permite interpretar las ecuaciones, identificar una parábola en cualquier forma y resolver problemas con más seguridad, es decir ayuda a darle sentido geométrico y cuando comprendes el sentido los procedimientos dejan de ser complicados y comienza a tener lógica.

Compruébalo tú mismo la definición con este simulador interactivo

Mueve el punto P a lo largo de la curva y observa cómo siempre se mantiene la misma distancia al foco y a la directriz.

Es una forma sencilla y visual de entender que la definición no es solo teoría: realmente se cumple en cada punto de la curva. Mueve el punto y experimenta por ti mismo.

¿Para qué sirven las parábolas en la vida real?

La parábola aparece más seguido de lo que piensas. La ves en la forma de un reflector que concentra la luz en un punto, en las antenas parabólicas que reciben señales, en puentes colgantes, en chorros de agua, en la trayectoria de un balón e incluso en el diseño de lámparas o micrófonos.
Lo bonito es que entender la parábola no solo te sirve para resolver ejercicios: te ayuda a explicar por qué algunos objetos y movimientos del mundo funcionan de manera tan precisa.

¿Cómo puedes saber si una ecuación representa una parábola o no?

La pista más fácil es fijarte en los términos cuadrados.

• Si aparece solo un término cuadrado, por ejemplo:$$x^{2}\;\;o\;\;y^{2}$$ entonces es una parábola.
• Si aparecen dos términos cuadrados, ya puede ser una circunferencia, una elipse o una hipérbola, dependiendo de cómo estén.

Elementos de la parábola

En la definición conociste dos elementos muy relevantes como la directriz y el foco, aquí nuevamente los mencionaré agregándole otras más.

1. Foco

Es un punto fijo donde equidistan todos los puntos de la parábola.

2. Directriz

Es una recta fija respecto a la cual se mide la distancia de los puntos de la parábola.

3. Eje de simetría o eje focal

Es la recta que pasa por el foco y el vértice, partiendo en dos partes iguales a la parábola.

4. Vértice

Es un punto de intersección entre la parábola y el eje de simetría.

5. Lado recto

Es un segmento que pasa por el foco y cuyos dos extremos están sobre la curva cónica. Siempre es perpendicular al eje de simetría, formándose como una especia de puente que cruza la parábola.

Se calcula aplicando la siguiente expresión:$$Lr=|4\cdot p|$$

6. Parámetro

El parámetro de la curva cónica (2p) es la distancia del foco (F) a la directriz.

El semiparámetro es la distancia del foco al vértice denominado p y la distancia del vértice a la directriz también es p, es decir, que son las mismas distancias. Al sumarlas genera el parámetro de la parábola (2p)

Características relevantes del parámetro cuando la parábola posee eje de simetría vertical:

• Sí p > 0 La parábola es cóncava hacia arriba.
• Sí p < 0 La parábola es cóncava hacia abajo.

Características relevantes del parámetro cuando la parábola posee eje de simetría horizontal:

• Sí p > 0 La parábola abre a la derecha.
• Sí p < 0 La parábola abre a izquierda.

Ecuación canónica con vértice en (0,0) y eje vertical

La figura muestra una parábola con vértice en el origen del plano cartesiano y con eje de simetría en el eje «y». para obtener la ecuación canónica debes aplicar la definición:

1. Distancia entre los puntos P(x,y) y F(p,0)

$$\overline{PF}=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$$

Reemplazar los valores:

$$\overline{PF}=\sqrt{(x-0)^{2}+(y-p)^{2}}$$

2. Distancia entre el P(x,y) a la directriz: y=-p

$$\overline{PR}=\frac{\left | Ax+By+C\right |}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}$$

Sustituir el punto P y la recta: y + p = 0

$$\overline{PR}=y+p$$

3. Aplicar la definición:$$\overline{PF}=\overline{PR}$$

$$\sqrt{(x-0)^{2}+(y-p)^{2}}=y+p$$

Elevar al cuadrado ambos miembros de la ecuación para eliminar la raíz cuadrada:
$$\left (\sqrt{x^{2}+y^{2}-2py+p^{2}} \right )^{2}=(y+p)^{2}$$
$$x^{2}+y^{2}-2py+p^{2}=y^{2}+2py+p^{2}$$
$$x^{2}+\not y^{2}-\not y^{2}-2py-2py+\not p^{2}-\not p^{2}=0$$

Ecuación de la parábola:

$$x^{2}-4py=0$$

Ecuación canónica:

$$x^{2}=4py$$

$$x^{2}=4py$$

Foco y directriz

Ecuación canónica con vértice en (0,0) y eje horizontal

La figura muestra una parábola con vértice en (0,0) y con eje de simetría en el eje x, para obtener la ecuación canónica también debes aplicar también su definición:

1. Distancia entre el punto P(x,y) y F(p,0).

$$\sqrt{(x-p)^{2}+(y-0)^{2}}$$

2. Ecuación de la directriz. 

$$x+p=0$$

3. Distancia entre el punto P(x,y) a la directriz.

$$\overline{PR}=\frac{\left | Ax+By+C\right |}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}$$

Sustituir valores:

$$\frac{\left | x+p\right |}{\sqrt{1+0}}=x+p$$

4. Aplicar la definición de la parábola

$$\overline{PF}=\overline{PR}$$

Sustituyendo queda así:

$$\sqrt{(x-p)^{2}+(y-0)^{2}}=x+p$$
$$\left ( \sqrt{x^{2}-2px+p^{2}+y^{2}} \right )^{2}=(x+p)^{2}$$
$$x^{2}-2px+p^{2}+y^{2}=x^{2}+2px+p^{2}$$
$$\not x^{2}-2px+\not p^{2}+y^{2}-\not x^{2}-2px-\not p^{2}=0$$

Ecuación de la parábola:

$$y^{2}-4px=0$$

Ecuación canónica:

$$y^{2}=4px$$

$$y^{2}=4px$$

Foco y directriz

Ecuación canónica con vértice en (h,k) y eje de simetría paralelo al eje y

Para encontrar la ecuación canónica de una parábola con vértice (h,k) es conveniente efectuar una traslación de ejes, observa la imagen:

Esto es como trasladar la curva desde el origen del plano cartesiano a la posición (h, k). Quedando el sistema de coordenadas como x´- y´  y la ecuación de la misma así:$$x^{\prime 2} = 4p\,y^{\prime}$$

Luego:
$$x=x^{\prime }+h$$
$$y=y^{\prime}+k$$

Se tiene que:
$$x^{\prime}=x-h$$
$$y^{\prime}=y-k$$

Ecuación canónica:
$$(x-h)^{2}=4p(y-k)$$

$$(x-h)^{2}=4p(y-k)$$

Elementos

Explora la Parábola: mueve el vértice, cambia el foco y domina su ecuación

¿Quieres entender realmente qué es una parábola sin memorizar largas definiciones?
En este simulador interactivo podrás mover el vértice (h,k), modificar el parámetro  p ver cómo cambia el foco, la directriz y hasta la ecuación de la parábola… ¡todo en tiempo real!
Es una forma visual, dinámica y súper intuitiva de comprender cómo cada elemento afecta la forma y posición de la parábola. Solo arrastra, observa y deja que la gráfica te hable.

Ecuación canónica con vértice en (h,k) y eje de simetría paralelo al eje x

Para encontrar la ecuación canónica se trabaja de la misma manera como cuando su eje de simetría es paralelo al eje y.

Sistema de coordenadas: x´- y´

Ecuación:$$y^{\prime 2} = 4p\,x^{\prime}$$

Luego:
$$x=x^{\prime }+h$$
$$y=y^{\prime}+k$$

Se tiene:
$$x^{\prime}=x-h$$
$$y^{\prime}=y-k$$

Ecuación canónica:
$$(y-k)^{2}=4p(x-h)$$

$$(y-k)^{2}=4p(x-h)$$

Elementos

Ecuación general de la parábola

La ecuación general de la parábola es:

$$Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0$$

Esta ecuación incluye todas las parábolas como las cóncavas hacia arriba, cócavas hacia abajo, abiertas a la derecha, abiertas a la izquierda e incluso las que poseen ejes de simetría oblicuas o inclinadas. Observa la siguiente imagen de parábolas con ejes inclinados:

Características resaltantes

1. Cuando el término xy (B=0) no existe es porque la curva cónica posee eje de simetría vertical o horizontal la orientación depende de los coeficientes A y C. Observa la tabla:

2. Cuando existe el término xy (B≠0) la curva cónica posee un eje de simetría oblicua.

3. Cuando los coeficientes D, E o F posee valores diferentes de cero, la parábola deja de estar centrada en el origen y su vértice se desplaza a otro punto del plano cartesiano.

4. Para distinguir si la ecuación general corresponde a una parábola, debe cumplirse la siguiente condición:

$$B^{2}=4AC$$

Ecuación de la tangente a la parábola

La ecuación de la tangente a una parábola permite obtener la recta que toca la curva cónica en un solo punto sin cortarla, es muy importante determinarla ya que sirve para analizar pendientes, identificar máximos o mínimos y resolver problemas de geometría y física relacionados con la parábola. 

Ecuación de la tangente de pendiente m a la curva cónica

A continuación, te muestro la tabla donde se encuentran las ecuaciones de la tangente con pendiente m. 

Donde m≠0

Transformación de la función cuadrática a su forma canónica con vértice (h,k) eje vertical

Cuando la función cuadrática se expresa de la siguiente forma:$$y=ax^{2}+bx+c$$

Su eje de simetría es paralelo al eje «y».

Para transformar la función cuadrática a su forma canónica con vértice (h,k) debes utilizar el método de completar cuadrados.

A continuación, su procedimiento:

$$y=ax^{2}+bx+c$$

1. Factorizar para que el primer término cuadrático sea uno.

$$y=a(x^{2}+\frac{b}{a}x)+c$$

2. Escoger el coeficiente del término lineal dividirlo entre dos y elevarlo al cuadrado.

$$\left ( \frac{\frac{b}{a}}{2} \right )^{2}=\frac{b^{2}}{4a^{2}}$$

3. El resultado anterior debe sumarse y restarse dentro de la expresión.

$$y=a\left ( x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{b^{2}}{4a^{2}}-\frac{b^{2}}{4a^{2}} \right )+c$$

4. Expresión obtenida.

$$y=a\left ( x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{b^{2}}{4a^{2}}\right )-\frac{\not ab^{2}}{4a^{\not 2}}+c$$
$$y=a\left ( x+\frac{b}{2a} \right )^{2}+\left ( c-\frac{b^{2}}{4a} \right )$$

5. Despejar para obtener la ecuación canónica

$$a\left ( x+\frac{b}{2a} \right )^{2}=y-\left ( c-\frac{b^{2}}{4a} \right )$$
$$a\left ( x+\frac{b}{2a} \right )^{2}=y-\left ( \frac{4ac-b^{2}}{4a} \right )$$
$$a\left ( x+\frac{b}{2a} \right )^{2}=y+\left ( \frac{b^{2}-4ac}{4a} \right )$$
$$\left ( x+\frac{b}{2a} \right )^{2}=\frac{1}{a}\left ( y+\frac{b^{2}-4ac}{4a} \right )$$

6. Comparar la ecuación canónica obtenida y la ecuación canónica de vértice (h,k).

Se comparan para poder obtener el parámetro y el vértice.

7. Coordenas del vértice y parámetro.

8. Vértice.

$$V\left (-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b}{4a} \right )$$

9. Cóncavidad

Resumen general

A continuación, te presento dos tablas con un resumen práctico que te será útil para que puedas comprender con facilidad los cálculos en los ejercicios explicados paso a paso.

Tabla resumen con vértice en (0,0)

Tabla resumen con vértice en (h,k)

Ejercicios explicados paso a paso

A continuación, 10 ejercicios explicados con un lenguaje sencillo y realizado paso a paso.

Solución

1. Transformar la ecuación a canónica.

$$y^{2}=4x$$

Es una curva cónica con eje de simetría en el eje «x»

2. Cálculo del parámetro (p).

Igualar la ecuación canónica y la canónica dada

$$4px=4x$$

Despejar
$$p=\frac{4x}{4x}$$
$$p=1$$

Como:

$$p>0$$

Es cóncava hacia la derecha o abre hacia la derecha.

3. Coordenadas del foco (F).

$$F(p,0)$$

Reemplazando el valor de p.

$$F(1,0)$$

4. Ecuación de la directriz.

$$x=-p$$

Reemplazar p

$$x=-1$$

5. Lado recto.

$$Lr=|4\cdot p|$$

Reemplazar el valor de p

$$Lr=|4\cdot 1|$$
$$Lr=4$$

6. Eje de simetría.

$$y=0$$

7. Gráfica

Solución

1. Transformar la ecuación a canónica.

Despejar ecuación dada lo cual resulta:

$$x^{2}=2y$$

Es una curva cónica con eje de simetría en el eje «y»

2. Cálculo del parámetro (p).

Igualar la ecuación canónica y la canónica dada

$$4py=2y$$

Despejar
$$p=\frac{2x}{4x}$$
$$p=\frac{1}{2}$$

Como:

$$p>0$$

Es cóncava hacia arriba o abre hacia arriba.

3. Coordenadas del foco (F).

$$F(0,p)$$

Reemplazando el valor de p.

$$F\left ( 0,\frac{1}{2} \right )$$

4. Ecuación de la directriz.

$$y=-p$$

Reemplazar p

$$x=-\frac{1}{2}$$

5. Lado recto.

$$Lr=|4p|$$

Reemplazar el valor de p

$$Lr=\left | 4\cdot \frac{1}{2}\right |$$
$$Lr=2$$

6. Eje de simetría.

$$x=0$$

7. Gráfica

Solución:

1. Graficar el vértice, foco y trazado del eje de simetría

Nota: 

• El eje de simetría coincide con el eje «y».

• Ecuación del eje de simetría:$$x=0$$

• Como el eje de simetría coincide con el eje «y» se utiliza la ecuación:$$x^{2}=4py$$

2. Definición de parámetro

$$p=-5$$

Por ser negativo (p<0) la parábola es cóncava hacia abajo.

3. Hallar la longitud del lado recto

$$Lr=|4\cdot p|$$

$$Lr=|4\cdot (-5)|$$

$$Lr=20$$

4. Ecuaciones

Parábola

$$x^{2}=4py$$

$$x^{2}=4\cdot (-5)y$$

$$x^{2}+20y=0$$

Canónica

$$x^{2}=-20y$$

Directriz

$$y=-p$$

$$y=-(-5)$$

$$y=5$$

5. Gráfica

Solución

1. Graficar el vértice, directriz y eje de simetría

Nota: 

• El eje de simetría coincide con el eje «y».

• Ecuación del eje de simetría:$$x=0$$

• Para determinar ecuación se utiliza:$$x^{2}=4py$$

• Ecuación de la directriz:$$y=\frac{5}{2}$$

2. Definición del parámetro

$$p=-\frac{5}{2}$$

Es cóncava hacia abajo por$$p<0$$

3. Coordenadas del foco

$$F\left ( 0,-\frac{5}{2} \right )$$

4. Lado recto

$$Lr=\left | 4\cdot \left ( -\frac{5}{2} \right )\right |$$
$$Lr=10$$

5. Ecuación de la parábola y canónica

$$x^{2}=4py$$

Parábola

$$x^{2}=4\cdot \left ( -\frac{5}{2} \right )y$$
$$x^{2}+10y=0$$

Canónica

$$x^{2}=-10y$$

6. Gráfica

Solución

1. Cálculo del parámetro.

Como la ecuación de la directriz es:$$x+p=0$$

Se deduce que:

$$3x+4=0$$
$$3x=-4$$
$$x=-\frac{4}{3}$$
$$x+\frac{4}{3}=0$$

Por lo tanto el parámetro es:$$p=\frac{4}{3}$$

Cóncava hacia la derecha.

Con eje de simetría «x», entonces la forma de la ecuación es:$$y^{2}=4px$$

2. Cálculo de la ecuación.

$$y^{2}=4\cdot \frac{4}{3}x$$
$$y^{2}=\frac{16x}{3}$$

3. Foco.

$$F(p,0)$$
$$F\left ( \frac{4}{3},0 \right )$$

4. Lado recto.

$$Lr=\left | 4\cdot \left ( \frac{4}{3} \right )\right |$$
$$Lr=\frac{16}{3}$$

5. Gráfico

 Solución

• Según la ecuación dada el eje de simetría es horizontal.
• Antes de hallar la ecuación se comprueba que el punto está en la curva cónica.

1. Comprobación. Sustituir el punto en la ecuación dada

$$y^{2}=12x$$

$$(-6)^{2}=12\cdot 3$$
$$36=36$$

El punto se encuentra en la curva cónica.

2. Calculo del parámetro.

Se toma la ecuación dada y se iguala con la ecuación general canónica de una parábola.

$$y^{2}=12x$$
$$y^{2}=4px$$

$$12x=4px$$
$$p=3$$

3. Cáculo de la ecuación de la tangente:$$y\cdot y_1=2p(x + x_1)$$

Sustituir el punto (3,-6)

$$y\cdot (-6)=2\cdot 3(x + 3)$$
$$-6y=6(x + 3)$$
$$-6y=6x + 18$$
$$-6y-6x-18=0$$

Solución

• Según la ecuación dada el eje de simetría es vertical y con vértice en el origen.

1. Calculo del parámetro.

Se escoge la ecuación dada y se iguala con la ecuación general canónica de una parábola.

$$x^{2}=8y$$
$$y^{2}=4px$$

$$8y=4px$$
$$p=2$$

2. Calcular la ecuación tangente:$$y=mx+(k-mh-pm^{2})$$

Como el vértice está ubicado en el origen, la expresión se reduce a:$$y=mx+(-pm^{2})$$

Al sustituir los valores del parámetro y la pendiente dada, queda de esta forma:

$$y=-2x+(-2\cdot (-2)^{2})$$
$$y=-2x+(-8)$$
$$y=-2x-8$$

3. Gráfica

Solución

La expresión dada es la ecuación general de la parábola de la forma:$$Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0$$

Donde:$$A=0;\; C\neq 0;\; D\neq 0$$

Haz clic aquí características resaltantes para que veas datos clave como eje de simetría, coeficientes, entre otros que te ayudará a comprender y ver la situación mucho más fácil.

Las características resaltantes recopiladas es la siguiente:

• Eje de simetría es horizontal es decir, paralelo al eje «x».
• Los coeficientes D y E distintos a ceros, demuestran que el vértice esta ubicado fuera del origen del plano cartesiano.

1. Transformar la ecuación dada a la forma canónica completando cuadrados.

$$y^{2}+6x+6y=0$$
$$y^{2}+6y=-6x$$
$$y^{2}+6y+9=-6x+9$$
$$y^{2}+6y+9=-6x+9$$
$$(y+3)^{2}=-6\left ( x-\frac{3}{2} \right )$$

2. Comparar con la general.

$$(y-k)^{2}=4p(x-h)$$

$$-k=3\Rightarrow k=-3$$
$$-h=-\frac{3}{2}\Rightarrow h=\frac{3}{2}$$
$$4p=-6\ \Rightarrow p=-\frac{3}{2}$$

$$k=-3;\;h=\frac{3}{2};\;p=-\frac{3}{2}$$

3. Elementos.

Vértice.$$V(h,k)=V\left ( \frac{3}{2},-3 \right )$$

Eje de simetría. Como pasa por el vértice:$$y=-3$$

Foco. El foco siempre se encuentra en el mismo eje que el vértice, para hallar sus coordenadas se suma la coordenada «x» del vertice y p.

$$F\left ( \frac{3}{2}-\frac{3}{2},-3 \right )$$
$$F(0,-3)$$

Lado recto.
$$Lr=\left | 4p\right |$$
$$Lr=\left | 4\cdot \left ( -\frac{3}{2} \right )\right |$$
$$Lr=6$$

Directriz. Como el eje de simetría es horizontal su ecuación a utilizar es: $$x+p=0$$

$$x=h-p$$

$$x=\frac{3}{2}–\frac{3}{2}$$

$$x=3$$

4. Gráfica.

Solución

La expresión dada es una función cuadrática de la forma:$$y=ax^{2}+bx+c$$

Donde:

$$a=1;\;b=4;\;c=-6$$

$$h=-\frac{b}{2a};\;k=\frac{4ac-b}{4a}$$

1. Cálculo del vértice. 

$$V(h,k)$$
$$V\left ( -\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^{2}}{4a} \right )$$
$$V\left ( -\frac{4}{2\cdot 1},\frac{4\cdot 1\cdot (-6)-(4)^{2}}{4\cdot 1} \right )$$
$$V\left ( -2,\frac{-40}{4} \right )$$
$$V\left ( -2,-10 \right )$$

2. Eje de simetría.

El eje es una recta paralela al eje «y» según la función dada.

$$x=-2$$

3. Cálculo del parámetro.

$$p=\frac{1}{4a}$$

$$p=\frac{1}{4\cdot 1}$$
$$p=\frac{1}{4}$$

4. Foco.

$$ F(h,\ k+p) $$
$$ F(-2,-10+p) $$
$$F\left ( -2, -10+\frac{1}{4} \right )$$
$$F\left ( -2,-\frac{39}{4} \right )$$

5. Lado recto.

$$ Lr = \lvert 4p \rvert $$
$$ Lr =\left | 4\cdot \frac{1}{4}\right |$$
$$Lr=1$$

6. Ecuación de la directriz.

$$ y = k – p $$
$$ y = -10 – \frac{1}{4} $$
$$y=-\frac{41}{4}$$

7. Gráfico.

Solución:

1. Comparar la ecuación dada con las de vértice (h,k).

Haz clic aquí para que veas la tabla resumen del vértice con (h, k) y seguir el proceso de forma más clara.

Al realizar la comparación se observa que su eje de simetría es paralelo al eje «y».

2. Coordenadas (h,k).

$$-h=4\Rightarrow h=-4$$
$$-k=-6\Rightarrow k=6$$

3. Vértice.

$$V(-4,6)$$

4. Ecuación del eje de simetría.

$$x=-4$$

5. Parámetro.

Gracias a la comparación se puede igualar y hallar el valor de p:$$4p=-5\Rightarrow p=-\frac{5}{4}$$

Como:$$p<0$$

Es cóncava hacia abajo.

6. Foco.

$$ F(h,k+p) $$
$$ F\left ( -4,6+\left ( -\frac{5}{4} \right ) \right ) $$
$$ F\left ( -4,\frac{19}{4} \right ) $$

7. Lado recto.

$$ Lr = \lvert 4p \rvert $$
$$Lr=\left | 4\cdot \left ( -\frac{5}{4} \right )\right |$$
$$Lr=5$$

8. Ecuación de la directriz.

$$ y = k – p $$
$$y=6-\left ( -\frac{5}{4} \right )$$
$$y=\frac{29}{4}$$

9. Cálculo de los interceptos

Dale clic aquí interceptos y allí verás su procedimiento.

Intercepto en «y»

$$(0 + 4)^{2} = -5 (y – 6)$$
$$16=-5y+30$$
$$y=\frac{14}{5}$$

Intercepto en «x»

$$(x + 4)^{2} = -5 (0 – 6)$$
$$(x + 4)^{2} = 30$$
$$x+4=\pm \sqrt{30}$$
$$\boxed{x=-4\pm \sqrt{30}}$$
$$x\approx 1,5$$
$$x\approx -9,5$$

9. Gráfico.

Actividades

Modelación.

1. Determina la ecuación del lugar geométrico de todos los puntos del plano que equidistan del punto 𝑭(𝟎,𝟑) y de la recta 𝒚 + 𝟑 = 𝟎. Graficar.

2. Encuentra los elementos y grafica la parábola cuya ecuación es:$$y^{2}-8x=0$$

3. Hallar los elementos y construir la grafica cuya ecuación es:$$3x^{2}- 12y = 0$$

4. Hallar la ecuación de la parábola con vértice en el origen y directriz en la recta 𝒙 − 7 = 0. Graficar

5. Una parábola de vértice en el origen pasa por el punto (2,3) y su eje coincide con el eje «Y». Determine la ecuación y grafique.

6. Determinar los elementos de cada parábola y represéntalos gráficamente.

7. Determinar los elementos de cada parábola y grafícalas a partir de sus ecuaciones:

(y - 2)² = 8(x + 1)

(x + 3)² = 12(y - 1)

(y + 1)² = -16(x - 2)

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¿Estás buscando problemas resueltos de problemas resueltos de ángulos de Elevación y Depresión (paso a paso)? ¿Alguna vez te has preguntado cómo se calcula la altura de una montaña o la distancia a la que se encuentra un barco en el mar? La respuesta se encuentra en la trigonometría, específicamente en los conceptos de ángulo de elevación y depresión. Estos ángulos son esenciales en nuestra vida diaria, desde la construcción de edificios hasta la navegación. Por ejemplo, un topógrafo usa el ángulo de elevación para medir la altura de un rascacielos sin escalarlo, y un guardacostas en un faro utiliza el ángulo de depresión para determinar la distancia de un buque.

Para dominar este tema, es importante entender la teoría primero. Por eso, te invito a leer la parte teórica y luego poner a prueba tus conocimientos con los 20 problemas desarrollados paso a paso. Así, estarás preparado para resolver cualquier desafío que se te presente.

Ángulos de elevación y depresión?

Los ángulos de elevación y depresión surgen cuando un observador mira un objeto que no está al mismo nivel que él. Para definirlos, se utiliza una línea horizontal imaginaria que parte de los ojos del observador. En ambas situaciones se origina un triángulo rectángulo, lo que permite aplicar las razones trigonométricas para solucionar problemas de altura y distancia.

¿Qué es el ángulo de elevación?

Cuando el observador mira un objeto que está por encima de su línea horizontal de visión, el ángulo que se forma entre la línea de visión y esa horizontal se llama ángulo de elevación.

¿Qué es el ángulo de depresión?

Por el contrario, cuando el observador mira un objeto que está por debajo de su línea horizontal, el ángulo que se forma entre la línea de visión y la horizontal se conoce como ángulo de depresión.

Recomendaciones para solucionar problemas

Para solucionar distintas situaciones es necesario llevar a cabo una serie de pasos ordenados. Estos pasos son los siguientes:

1. Dibujar un diagrama para cada problema

Utiliza el triángulo rectángulo el cual es formado con la línea imaginaria horizontal. En esta figura especifica la altura del objeto (cateto opuesto), distancia del objeto (cateto adyacente), distancia del observador al objeto (hipotenusa) y el ángulo de elevación o depresión.

2. Identificar el tipo de ángulo

Si se mira hacia arriba es un ángulo de elevación y si es lo contrario es un ángulo de depresión. Existen casos donde el ángulo de elevación desde un punto es igual al ángulo de depresión desde otro punto, esto se debe a que son ángulos alternos internos entre líneas paralelas (la horizontal de cada observador).

3. Usar razones trigonométricas

Según el tipo de problema debes elegir la razón trigonométrica que relacione los datos dados y la incógnita que requieres determinar.

4. Identificar el tipo de altura

Identificar correctamente cada tipo de altura es fundamental para resolver los problemas con precisión.

Altura del observador: La línea de visión horizontal siempre se traza desde la altura de los ojos de la persona que observa.

Altura calculada: Es la parte de la altura que se obtiene al usar las razones trigonométricas. Esta mide la distancia vertical desde la línea de visión del observador hasta la punta del objeto.

Altura total: Para hallar la altura completa de un objeto, se debe sumar la altura calculada con la altura del observador.

Guía de 20 problemas resueltos

Esta guía de 20 problemas desarrollados paso a paso está diseñada para que apliques todo lo que has aprendido. Cada ejercicio te desafiará a usar los conceptos de elevación y depresión en diferentes escenarios, asegurando que adquieras la confianza necesaria para resolver cualquier problema de este tipo por tu cuenta.

Solución

1. Dibujar la situación.

2. Tipo de ángulo: elevación.

Solución:

1. Dibujar la situación.

2. Tipo de ángulo: elevación.

Solución:

1. Dibujar la situación.

2. Tipo de ángulo: elevación.

Solución:

Solución:

1. Dibujar la situación.

2. Tipo de ángulo: depresión.

Solución:

Solución:

Solución:

Solución:

Solución:

Solución:

Solución:

Solución:

 Solución:

Solución:

Solución:

Solución:

Solución:

Solución:

Solución:

Pon a prueba tu visión matemática: ¡Ingresa al Quiz de Ángulos de Elevación y Depresión!

¿Listo para descubrir qué tan bien interpretas las situaciones del mundo real usando la trigonometría? Este quiz interactivo no es solo un juego: es una forma práctica, rápida y divertida de comprobar tu dominio sobre los ángulos de elevación y depresión, esos mismos que aparecen cuando observas un avión, miras desde un balcón o calculas la altura de un objeto sin tocarlo.

Cada pregunta está diseñada para retarte de una manera clara y visual, y al final podrás conocer tu puntuación y saber exactamente en qué nivel estás.

Haz clic ahora para iniciar el quiz y sigue explorando recursos, ejercicios y actividades que harán tus estudios mucho más fáciles y entretenidos. ¡No te quedes con la duda, acepta el reto y sorpréndete con tu resultado!

Queremos escucharte

Ahora que has visto cómo aplicar la trigonometría en distintos escenarios, te invito a que nos cuentes: ¿Qué problema de la vida diaria crees que podría resolverse utilizando los ángulos de elevación y depresión? ¡Déjanos tu idea en los comentarios!

© LaProfeMatematik · Aprender con amor de Dios y mucha pasión

¿Estás listo para descubrir qué tan preparado estás para enfrentar un Quiz de: Ángulos de Elevación y Depresión lleno de situaciones reales?.
En este Quiz de Ángulos de Elevación y Depresión, podrás poner a prueba tus conocimientos de una forma práctica, visual y entretenida. Estos ángulos aparecen más seguido de lo que crees: cuando miras un dron elevándose, cuando observas un edificio desde la calle o incluso cuando calculas la trayectoria de un balón. Por eso es tan importante entenderlos y saber aplicarlos.
Este quiz está diseñado para ayudarte a reforzar la intuición geométrica y mejorar tu habilidad para interpretar situaciones desde diferentes puntos de vista. No importa si eres estudiante, docente o simplemente alguien curioso por la matemática cotidiana, aquí encontrarás un reto a tu medida.
Así que prepárate con todos tus conocimientos previos (razones trigonométricas, identidades trigonométricas, funciones…) porque cada reto es una oportunidad para descubrir cuánto has aprendido… y cuánto puedes mejorar.

Ahora cuéntame en los comentarios

Me encantaría saber cómo te fue en este Quiz de Ángulos de Elevación y Depresión. ¿Hubo alguna pregunta que te sorprendió? ¿Te resultó sencillo visualizar las situaciones o hubo algún ejercicio que te hizo pensar un poco más? Comparte qué aprendiste, qué parte te gustaría reforzar y si descubriste algo nuevo sobre estos ángulos tan presentes en la vida real. Además, cuéntame qué otros temas quieres que convierta en nuevos quizzes o actividades interactivas. ¡Tu opinión es clave para seguir creando contenido útil y divertido para ti!

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¿Quieres ver y aprender el procedimiento de 28 ecuaciones trigonométricas resueltas paso a paso?
En esta guía encontrarás cada ejercicio desarrollado con claridad: despejes ordenados, aplicación de identidades trigonométricas y comprobaciones finales para que no solo obtengas la respuesta, sino que entiendas por qué funciona. Ideal para reforzar clases, preparar exámenes o practicar con confianza. Sigue los pasos y transforma la resolución de ecuaciones trigonométricas en algo lógico y manejable.

Ecuaciones trigonométricas

Las ecuaciones trigonométricas son igualdades que poseen una o varias funciones trigonométricas donde la incógnita es el ángulo del cual depende la función.

¿Cómo resolver una ecuación trigonométrica?

Para resolver una ecuación trigonométrica debes transformar las funciones a una sola expresión, utilizando identidades trigonométricas. Una vez que la ecuación está en términos de una sola función, se aplican técnicas algebraicas para despejarla y, finalmente, resuelves la parte trigonométrica para encontrar el ángulo.

Aquí te presento los pasos generales a seguir:

1.Simplificar la ecuación:

1. Utilizar identidades trigonométricas para reescribir la ecuación de manera que contenga la menor cantidad de funciones trigonométricas diferentes posible, idealmente una sola.
2. Aplicar diferencia de cuadrados o factorización.
3. Si es necesario, sustituir la expresión trigonométrica con una variable simple (como x o u) para que la ecuación se asemeje a una ecuación algebraica (por ejemplo, una cuadrática).

2.Despejar la función trigonométrica para encontrar el valor del ángulo.

3.Como las funciones trigonométricas son periódicas, siempre habrá múltiples soluciones. Para determinar las soluciones es importante tener en cuenta el círculo unitario y los signos de las funciones en cada cuadrante para hallar todas las soluciones en el intervalo deseado (frecuentemente [0,2]).

Identidades de cofuncionalidad

Para resolver las ecuaciones trigonométricas también es aplicable las identidades de cofuncionalidad, ellas son:

$$\text{En grados sexagesimales:}$$

$$sin(90^\circ-x)=cosx$$

$$cos(90^\circ-x)=senx$$

$$tan(90^\circ-x)=cotx$$

$$cot(90^\circ-x)=tanx$$

$$sec(90^\circ-x)=cscx$$

$$csc(90^\circ-x)=secx$$

$$\text{O en radianes:}$$

$$sin\left(\frac{\pi}{2} – x\right)= cos x$$

$$cos\left(\frac{\pi}{2} – x\right)= sen x$$

$$tan\left(\frac{\pi}{2} – x\right)= cot x$$

$$cot\left(\frac{\pi}{2} – x\right)= tan x$$

$$sec\left(\frac{\pi}{2} – x\right)= csc x$$

$$csc\left(\frac{\pi}{2} – x\right)= sec x$$

Identidad trigonométrica de combinación lineal

Es la combinación lineal de senos y cosenos en una única función trigonométrica. Es una herramienta clave para la solución de ecuaciones trigonométricas.

Su forma es la siguiente:

$$a\cdot cosx+b\cdot senx$$

Al estar así puede ser transformado en una única función de seno o coseno.

La combinación lineal de seno y coseno se puede escribir así:

$$a\cdot cosx+b\cdot senx=R\cdot cos(x-\alpha )$$

$$a\cdot cosx+b\cdot senx=R\cdot sen(x+\beta )$$

Donde R representa la amplitud del coseno o seno, R es la longitud del vector resultante de las componentes a y b en el plano cartesiano.

Fórmulas

R: Magnitud de la combinación o amplitud resultante.

$$R=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$$

α y β = Ángulo de fase.

Para el coseno

$$tan\alpha =\frac{b}{a}$$

Se aplica:

$$a\cdot cosx+b\cdot senx=R\cdot cos(x-\alpha )$$

Para el seno

$$tan\beta =\frac{a}{b}$$

Se aplica:

$$a\cdot cosx+b\cdot senx=R\cdot sen(x+\beta )$$

Relación entre ángulos:

$$R\cdot cos(x-\alpha )=R\cdot sen(x+\beta )$$

$$\beta =90^{\circ }-\alpha $$

Guía de 28 ecuaciones trigonométricas resueltas paso a paso para fortalecer tus habilidades

A continuación, te presento 28 ecuaciones trigonométricas resueltas paso a paso. Te recomiendo que intentes resolver cada una por tu cuenta antes de mirar la solución. ¡Así es como realmente se aprende y se consolida el conocimiento! Con práctica y dedicación, te sorprenderá lo rápido que te conviertes en un experto en la resolución de estas ecuaciones esenciales.

Ejercicio 1:

$$\tan x – \sqrt{3} = 0$$
$$\tan x – \sqrt{3} = 0$$
$$\tan x = \sqrt{3}$$
$$x=tang^{-1}\sqrt{3}=60^{\circ }$$

Análisis: Como la tangente es positiva, la solución se encuentra en el cuadrante I y III.

Solución:

$$x = 60^\circ, 240^\circ$$

Ejercicio 2:

$$\tan x + \sqrt{3} = 0$$
$$\tan x = -\sqrt{3}$$
$$x = \tan^{-1}(-\sqrt{3}) = 120^\circ$$

Análisis: La tangente es negativa, por lo tanto la solución está en los cuadrantes II y IV

Solución:

$$x = 120^\circ, 300^\circ$$

Ejercicio 3:

$$\cot x – 1 = 0$$
$$\cot x = 1$$
$$x = \cot^{-1} 1 = 45^\circ$$

Análisis: La cotangente es positiva y su solución está en los cuadrantes I y III.

Solución:

$$x = 45^\circ, 225^\circ$$

Ejercicio 4:

$$\cot x + 1 = 0$$
$$\cot x = -1$$
$$x = \cot^{-1}(-1) = 135^\circ$$

Análisis: La cotangente es negativa y su solución está en los cuadrantes II y IV

Solución:

$$x = 135^\circ, 315^\circ$$

Ejercicio 5:

$$\sec x – 2 = 0$$
$$\sec x = 2$$
$$x = \sec^{-1} 2 = 60^\circ$$

Análisis: La secante es positiva, su solución es el cuadrante I y IV.

Solución:

$$x = 60^\circ, 300^\circ$$

Ejercicio 6:

$$\sec x + 2 = 0$$
$$\sec x = -2$$
$$\frac{1}{cosx}=-2$$
$$1=-2cosx$$
$$cosx=-\frac{1}{2}$$
$$x=cos^{-1}-\frac{1}{2}$$
$$x=120^{\circ }$$

Análisis: La secante es negativa, entonces su solución está en el cuadrante II y III.

Solución:

$$x = 120^\circ, 240^\circ$$

Ejercicio 7:

$$2sen x + \sqrt{1} = 0$$
$$2sen x + 1 = 0$$
$$sen x = -\frac{1}{2}$$

Solución:

$$x = 210^\circ, 330^\circ$$

Ejercicio 8:

$$2\cos x – \sqrt{12} = 0$$
$$\cos x = \frac{\sqrt{12}}{2} = \sqrt{3}$$

Solución:

$$\text{Sin solución (}\cos x = \sqrt{3} > 1\text{)}$$

Ejercicio 9:

$$8sen x + \sqrt{48} = 0$$
$$sen x = -\frac{\sqrt{48}}{8} = -\frac{4\sqrt{3}}{8} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Solución:

$$x = 240^\circ, 300^\circ$$

Ejercicio 10:

$$2\sec x – 6 = 0$$
$$\sec x = 3$$
$$\cos x = \frac{1}{3}$$

Solución:

$$x \approx 70.53^\circ, 289.47^\circ$$

Ejercicio 11:

$$2\cot x = 3$$
$$\cot x = \frac{3}{2}$$
$$x \approx 33.69^\circ, 213.69^\circ$$

Solución:

$$x \approx 33.69^\circ, 213.69^\circ$$

Ejercicio 12:

$$\sec x = \sqrt{2}$$
$$\cos x = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Solución:

$$x = 45^\circ, 315^\circ$$

Ejercicio 13:

$$\sqrt{3}\cot x = -1$$
$$\cot x = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$$
$$\tan x = -\sqrt{3}$$

Solución:

$$x = 120^\circ, 300^\circ$$

Ejercicio 14:

$$(2sen x – \sqrt{3})(2\cos x – \sqrt{2}) = 0$$

Se iguala ambos factores a cero.

Primera ecuación:

Segunda ecuación:

Solución:

$$x = 45^\circ, 60^\circ, 120^\circ, 315^\circ$$

Ejercicio 15:

$$2sen x – cos x = -sen x$$
$$3sen x = cos x$$
$$tan x = \frac{1}{3}$$

Solución:

$$x \approx 18.43^\circ, 198.43^\circ$$

Ejercicio 16:

$$(\tan x – \sqrt{3})(\tan^2 x – 1) = 0$$

Se igualan ambos factores a cero, quedando de la siguiente manera:

Primera ecuación:

$$\tan x = \sqrt{3} \Rightarrow x = 60^\circ, 240^\circ$$

Segunda ecuación:

Solución:

$$x = 45^\circ, 60^\circ, 135^\circ, 225^\circ, 240^\circ, 315^\circ$$

Ejercicio 17:

$$2sen^2 x + sen x = +1$$
$$2sen^2 x + sen x – 1 = 0$$

Resolver con la fórmula general:

$$senx=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$$

Donde:

$$a=2;b=1;c=-1$$

Solución:

$$sen x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = 30^\circ, 150^\circ$$
$$sen x = -1 \Rightarrow x = 270^\circ$$

Entonces:

$$x = 30^\circ, 150^\circ, 270^\circ$$

Ejercicio 18:

Se lleva todo a un lado de la ecuación:

$$3\tan^2 x – 2\sqrt{3}\tan x – 3 = 0$$

Fórmula general:

$$t=tanx$$

$$t= \frac{2\sqrt{3} \pm \sqrt{(-2\sqrt{3})^2 – 4(3)(-3)}}{2(3)}$$

$$t = \frac{6\sqrt{3}}{6} = \sqrt{3}, \quad t = \frac{-2\sqrt{3}}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$$

Entonces:

$$\tan x = \sqrt{3} \Rightarrow x = 60^\circ, 240^\circ$$
$$\tan x = -\frac{\sqrt{3}}{3} \Rightarrow x = 150^\circ, 330^\circ$$

Solución:

$$x = 60^\circ, 150^\circ, 240^\circ, 330^\circ$$

Ejercicio 19:

$$2\cos^2 x – 3\cos x – 2 = 0$$

$$2y^2 – 3y – 2 = 0$$

$$\text{Paso 3: Usar la fórmula general:}$$

$$y = \frac{3 \pm 5}{4}$$

$$y_2 = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} \quad (\text{válida})$$

$$\text{Paso 4: Volver a } \cos x: \quad \cos x = -\frac{1}{2}$$

Solución:

$$\boxed{x = 120^\circ,\ 240^\circ}$$

Ejercicio 20:

$$\Rightarrow \sin x = \cos x$$

$$\tan x = 1$$

Solución:

$$\boxed{x = 45^\circ,\ 225^\circ}$$

Ejercicio 21:

$$3\cos^2 x + sen^2 x = 3$$

Se aplica la identidad pitagórica:
$$sen^2 x = 1 – \cos^2 x$$

Sustitución:
$$3\cos^2 x + (1 – \cos^2 x) = 3$$
$$2\cos^2 x + 1 = 3 \Rightarrow 2\cos^2 x = 2$$
$$\cos^2 x = 1 \Rightarrow \cos x = \pm1$$

Solución:

$$x = 0^\circ, 180^\circ$$

Ejercicio 22:

$$sec x (2sen x + 1) – 2(2sen x + 1) = 0$$
Factor común:

$$(2sen x + 1)(sec x – 2) = 0$$

Caso 1:

Caso 2:

Solución:

$$x = 60^\circ, 210^\circ, 300^\circ, 330^\circ$$

Ejercicio 23:

$$2cos^2 x + 3sen x = 0$$

Aplicación de la identidad pitagórica: $$cos^2 x = 1 – sen^2 x$$

$$2(1 – sen^2 x) + 3sen x = 0$$
$$2 – 2sen^2 x + 3sen x = 0$$
Se multiplica por -1:

$$2sen^2 x – 3sen x – 2 = 0$$

Resolver con la fórmula general:

Solución:

$$x = 210^\circ, 330^\circ$$

Ejercicio 24:

$$4\cos x – 2 = 2\left( \frac{\sin x}{\cos x} \cdot \frac{\cos x}{\sin x} \right) – \frac{1}{\cos x}$$

Solución:

$$x= 60^\circ \quad \text{y} \quad x = 300^\circ$$

$$\boxed{x = 60^\circ \quad \text{y} \quad x = 300^\circ}$$

Ejercicio 25:

$$(2 – \sqrt{3})sen x + (2 – \sqrt{3}) = 2cos^2 x$$
Se aplica la identidad pitagórica para que todo quede expresado en función a senx
$$(2 – \sqrt{3})sen x + (2 – \sqrt{3}) = 2(1 – sen^2 x)$$
Propiedad distributiva en el segundo miembro de la ecuación:
$$(2 – \sqrt{3})sen x + (2 – \sqrt{3}) = 2 – 2sen^2 x$$
Se iguala a cero:

Ecuación de 2° grado en senx
$$2sen^2 x + (2 – \sqrt{3})sen x – \sqrt{3} = 0$$

Sustitución en la fórmula general:

Cálculo del discriminante:

$$(2 – \sqrt{3})^2 = 4 – 4\sqrt{3} + 3 = 7 – 4\sqrt{3}$$
$$4ac = 4(2)(-\sqrt{3}) = -8\sqrt{3}$$
Discriminante total:
$$7 – 4\sqrt{3} + 8\sqrt{3} = 7 + 4\sqrt{3}$$

Entonces:

$$sen x = \frac{-(2 – \sqrt{3}) \pm \sqrt{7 + 4\sqrt{3}}}{4}$$

Valor de:
$$sen x_1 \approx 0.866 \Rightarrow x = 60^\circ, 120^\circ$$
$$sen x_2 \approx -1 \Rightarrow x = 270^\circ$$

Solución:

$$\boxed{60^\circ, 120^\circ, 270^\circ}$$

Ejercicio 26:

$$\sqrt{2} cos x – \sqrt{2} sen x = -\sqrt{3}$$

$$a cos x + b sen x = R \cos(x – \alpha)$$

$$\textbf{2.1. Calculo de } R:$$

$$\textbf{2.2. Calcular del ángulo } \alpha:$$

$$\tan \alpha = \frac{b}{a} = \frac{-\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = -1$$

$$\textbf{Paso 3: Reescribir la ecuación}$$

$$\sqrt{2} cos x – \sqrt{2} sen x = 2 cos(x + 45^\circ)$$

$$2 \cos(x + 45^\circ) = -\sqrt{3}$$

$$\textbf{Paso 4: Despejar}$$

$$\cos(x + 45^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$

$$x + 45^\circ = 150^\circ \Rightarrow x = 105^\circ$$

$$x + 45^\circ = 210^\circ \Rightarrow x = 165^\circ$$

Solución

Ejercicio 27:

$$\frac{1}{\cot^2 x} + \sqrt{3} \tan x = 0$$
$$\frac{1}{\cot^2 x} = \tan^2 x$$
Entonces:

$$\tan^2 x + \sqrt{3}\tan x = 0$$
$$\tan x (\tan x + \sqrt{3}) = 0$$

$$\tan x = 0 \Rightarrow x = 0^\circ, 180^\circ$$
$$\tan x = -\sqrt{3} \Rightarrow x = 120^\circ, 300^\circ$$

Solución:

$$x = 0^\circ, 120^\circ, 180^\circ, 300^\circ$$

Ejercicio 28:

$$2cos\left( \frac{\pi}{4} – x \right) = 1$$

$$\text{Paso 1: Conversión a grados: } \frac{\pi}{4} = 45^\circ$$

$$\Rightarrow \cos(45^\circ – x) = \frac{1}{2}$$

$$\text{Paso 3: Se determina los valores de x:}$$

$$45^\circ-x=60^\circ$$

$$x=-15^\circ$$

$$45^\circ-x=300^\circ$$

$$x=-255^\circ$$

$$x=-15^\circ+360^\circ$$

$$x=345^\circ$$

$$x=-255^\circ+360^\circ$$

$$x=105^\circ$$

Solución

$$\boxed{x = 105^\circ,\ 345^\circ}$$

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© LaProfeMatematik · Aprender con amor de Dios y mucha pasión

¿Te has preguntado alguna vez cómo la circunferencia está presente en el diseño de pistas circulares que crean los ingenieros o en los logos perfectamente redondeados que elaboran los diseñadores gráficos?
Detrás de todas esas formas se encuentra la circunferencia, una figura fundamental en la geometría analítica que conecta el arte visual con el razonamiento matemático.
En este post aprenderás qué es la circunferencia, cómo se obtiene su ecuación y cómo aplicarla en contextos reales, de manera clara, práctica y paso a paso. 🧮

¿Qué es una circunferencia?

En geometría analítica, la circunferencia es definida como el conjunto de todos los puntos de un plano situado a una misma distancia de un punto fijo, llamado centro. Esa distancia constante recibe el nombre de radio, y determina el tamaño de la circunferencia.

En otras palabras, si todos los puntos están exactamente a la misma distancia del centro, forman una figura perfectamente redonda: la circunferencia.

Donde:

C (h, k): Centro.

h y k : Coordenadas del centro.

P (x, y): Es el punto por donde pasa la circunferencia.

r : Radio.

Su ecuación más utilizada es llamada ecuación ordinaria:

$$\left (x-h  \right )^{2}+\left ( y-k \right )^{2}=r^{2}$$

Cuando el centro de la circunferencia está ubicado en el origen del plano cartesiano, su ecuación es: $$x^{2}+y^{2}=r^{2}$$

Ecuación ordinaria y ecuación general de la circunferencia

Al expandir la ecuación ordinaria, se obtiene la ecuación general de la circunferencia:

$$x^{2}+y^{2}+Dx+Ey+F=0$$

Cómo hallar el centro y el radio de una circunferencia en la ecuación general

A partir de la ecuación general$$x^{2}+y^{2}+Dx+Ey+F=0$$ Puedes obtener el centro y el radio, donde:

Entonces, para calcular el centro (C) y el radio (r) debes aplicar:

Aplicaciones de la circunferencia en la vida cotidiana

Las circunferencias no son solo figuras en la pizarra o en el cuaderno. En la vida cotidiana, aparecen en contextos que quizás no habías notado:

• Ingeniería civil: diseño de rotondas, túneles y estructuras circulares.
• Deportes: trazados en el campo de fútbol, análisis de trayectorias de pelotas o ruedas en movimiento.
• Astronomía: modelos de órbitas planetarias casi circulares.
• Diseño gráfico: construcción de logotipos y figuras simétricas.

Comprender esta figura plana te permite apreciar cómo las matemáticas está involucrada en muchas situaciones.

Ejercicios de la circunferencia resueltos paso a paso

Solución:

Fórmula ordinaria: $$x^{2}+y^{2}=r^{2}$$

Al reemplazar:

$$x^{2}+y^{2}=4^{2}$$

$$x^{2}+y^{2}=16$$

$$x^{2}+y^{2}-16=0$$

Solución:

Fórmula ordinaria: $$x^{2}+y^{2}=r^{2}$$

Al sustituir:

$$x^{2}+y^{2}=\left ( \frac{\sqrt{3}}{2} \right )^{2}$$

$$x^{2}+y^{2}=\frac{3}{4}$$

Se transforma la expresión en forma lineal

$$4x^{2}+4y^{2}=3$$

Ecuación:

$$4x^{2}+4y^{2}-3=0$$

Solución:

Fórmula ordinaria:

$$\left (x-h  \right )^{2}+\left ( y-k \right )^{2}=r^{2}$$

Sustitución:

$$\left (x-1  \right )^{2}+\left ( y+3 \right )^{2}=2^{2}$$

Desarrollo:

$$x^{2}-2x+1+y^{2}+6y+9=4$$

$$x^{2}+y^{2}-2x+6y+6=0$$

Ecuación de la circunferencia

$$x^{2}+y^{2}-2x+6y+6=0$$

Solución:

Fórmula ordinaria:

$$\left (x-h  \right )^{2}+\left ( y-k \right )^{2}=r^{2}$$

Al sustituir los valores queda así:

$$\left (x+\frac{1}{2}  \right )^{2}+\left ( y+\frac{5}{6} \right )^{2}=\left ( \frac{5}{6} \right )^{2}$$

Se aplica productos notables, potenciación y se iguala a cero:

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}+y^{2}+\frac{5y}{3}+\frac{25}{36}=\frac{25}{36}$$

$$x^{2}+y^{2}+x+\frac{5y}{3}+\frac{1}{4}=0$$

Se saca mínimo común múltiplo (m.c.m.) a los denominadores:

m.c.m.=12

$$\frac{12x^{2}+12y^{2}+12x+20y+3}{12}=0$$

Despeje:

$$12x^{2}+12y^{2}+12x+20y+3=0$$

Ecuación:

$$12x^{2}+12y^{2}+12x+20y+3=0$$

Solución:

Calculo del radio aplicando la fórmula de la distancia entre dos puntos:

$$d=r=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$$

Sustitución de las coordenadas del punto y centro:

$$d=r=\sqrt{(2-0)^{2}+(-3-0)^{2}}=\sqrt{13}$$

Cálculo de la ecuación:

$$x^{2}+y^{2}=r^{2}$$

$$x^{2}+y^{2}=\left ( \sqrt{13} \right )^{2}$$

$$x^{2}+y^{2}=13$$

$$x^{2}+y^{2}-13=0$$

Ecuación de la circunferencia:

$$x^{2}+y^{2}-13=0$$

Solución:

Punto medio del diámetro es igual al punto centro de la circunferencia:

$$C=\left ( \frac{x_{1}+x_{2}}{2},\frac{y_{1}+y_{2}}{2} \right )$$

Reemplazar las coordenadas de ambos puntos:

$$C=\left ( \frac{-4+6}{2},\frac{7-1}{2} \right )$$

Centro de la circunferencia:

$$C\left ( 1,3 \right )$$

Cálculo del radio:

B(6,-1); C(1,3)

$$r=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$$

Ecuación ordinaria:

$$\left (x-h  \right )^{2}+\left ( y-k \right )^{2}=r^{2}$$

Sustitución:

$$\left (x-1  \right )^{2}+\left ( y-3 \right )^{2}=(\sqrt{41})^{2}$$

$$(x-1)^{2}+(y-3)^{2}=41$$

$$x^{2}+y^{2}-2x-6y-31=0$$

Gráfica:

Ecuación de la circunferencia:

$$x^{2}+y^{2}-2x-6y-31=0$$

Solución:

Punto medio del diámetro es igual al punto centro de la circunferencia:

$$C=\left ( \frac{x_{1}+x_{2}}{2},\frac{y_{1}+y_{2}}{2} \right )$$

$$C=\left ( \frac{-3+7}{2},\frac{5-3}{2} \right )$$

$$C\left ( 2,1 \right )$$

Cálculo del radio:

A(−3,5); C(2,1)

$$r=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$$

Ecuación ordinaria:

$$\left (x-h  \right )^{2}+\left ( y-k \right )^{2}=r^{2}$$

Sustitución:

$$\left (x-2  \right )^{2}+\left ( y-1 \right )^{2}=(\sqrt{41})^{2}$$

$$\left ( x-2 \right )^{2}+\left ( y-1 \right )^{2}=41$$

$$x^{2}+y^{2}-4x-2y-36=0$$

Ecuación de la circunferencia:

$$x^{2}+y^{2}-4x-2y-36=0$$

Solución:

Se aplica la fórmula de la distancia entre dos puntos:

$$d=r=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$$

Ecuación ordinaria:

$$\left (x-h  \right )^{2}+\left ( y-k \right )^{2}=r^{2}$$

$$\left (x-1  \right )^{2}+\left ( y+3 \right )^{2}=\left ( 3\sqrt{5} \right )^{2}$$

$$(x-1)^{2}+(y+3)^{2}=45$$

$$x^{2}+y^{2}-2x+6y-35=0$$

Ecuación de la circunferencia:

$$x^{2}+y^{2}-2x+6y-35=0$$

Solución:

Se grafica el centro C(-1,-5)

Como es tangente al eje “y” su radio es:$$r=1$$

Como se tiene el radio y centro, se aplica la ecuación ordinaria:

$$\left (x-h  \right )^{2}+\left ( y-k \right )^{2}=r^{2}$$

$$\left (x+1  \right )^{2}+\left ( y+5 \right )^{2}=1$$

$$x^{2}+y^{2}+2x+10y+25=0$$

Ecuación de la circunferencia:

$$x^{2}+y^{2}+2x+10y+25=0$$

Gráfica:

Solución:

Se grafican los datos dados:

Cálculo del radio:

$$\left (x-h  \right )^{2}+\left ( y-k \right )^{2}=r^{2}$$

$$\left (0-5  \right )^{2}+\left ( 0+2 \right )^{2}=r^{2}$$

$$25+4=r^{2}$$

$$r=\sqrt{29}$$

Cálculo de la ecuación:

$$\left (x-h  \right )^{2}+\left ( y-k \right )^{2}=r^{2}$$

$$(x-5)^{2}+(y+2)^{2}=29$$

$$x^{2}+y^{2}-10x+4y=0$$

Ecuación de la circunferencia:

$$x^{2}+y^{2}-10x+4y=0$$

Solución:

Radio:

$$r=\frac{d}{2}=\frac{8}{2}=4$$

Cálculo de la ecuación aplicando la ecuación ordinaria:

$$\left (x-h  \right )^{2}+\left ( y-k \right )^{2}=r^{2}$$

$$\left (x+4  \right )^{2}+\left ( y-2 \right )^{2}=16$$

$$x^{2}+y^{2}+8x-4y+4=0$$

Ecuación de la circunferencia:

$$x^{2}+y^{2}+8x-4y+4=0$$

Solución:

Graficar los puntos dados:

Conclusión: Como es tangente a una recta y se tiene el centro A(0,-2), se calcula el radio que va desde el centro hasta el punto tangente a la recta, es decir se aplica la fórmula de la distancia entre un punto a una recta.

Cálculo del radio, aplicando la fórmula de la distancia de un punto a una recta.

$$d=r=\frac{\left | Ax_{1}+By_{1}+C\right |}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}$$

Cálculo de la ecuación:

$$x^{2}+(y+2)^{2}=4$$

$$x^{2}+y^{2}+4y=0$$

Ecuación:

$$x^{2}+y^{2}+4y=0$$

Solución:

Cálculo del radio aplicando la fórmula distancia de un punto a una recta:

$$d=r=\frac{\left | Ax_{1}+By_{1}+C\right |}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}$$

Cálculo de la ecuación aplicando la ecuación ordinaria:

$$(x-4)^{2}+(y+3)^{2}=4$$

$$x^{2}+y^{2}-8x+6y+21=0$$

Ecuación:

$$x^{2}+y^{2}-8x+6y+21=0$$

Solución:

Radio:

$$ r=\frac{\left | Ax_{1}+By_{1}+C\right |}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}$$

Ecuación:

$$(x+2)^{2}+(y-3)^{2}=25$$

$$x^{2}+y^{2}+4x-6y-12=0$$

Ecuación:

$$x^{2}+y^{2}+4x-6y-12=0$$

 Solución:

Como los tres puntos están en la circunferencia$$x^{2}+y^{2}+Dx+Ey+F=0$$Dicha ecuación se cumple para cada uno de los puntos.

Parte # 1

Sustitución de cada punto en la ecuación general:

D(3,4)

$$3^{2}+4^{2}+D(3)+E(4)+F=0$$
$$9+16+3D+4E+F=0$$
$$3D+4E+F=-25$$

C(11,4)

$$11^{2}+4^{2}+D(11)+E(4)+F=0$$
$$121+16+11D+4E+F=0$$
$$11D+4E+F=-137$$

B(7,-4)

$$7^{2}+(-4)^{2}+D(7)+E(-4)+F=0$$
$$49+16+7D-4E+F=0$$
$$7D-4E+F=-65$$

Parte # 2

Solución:

Para hallar la ecuación de la circunferencia, se requieren el centro (h, k) y el radio $(r)$. Dado que el centro equidista de los puntos de la circunferencia, este se sitúa sobre la mediatriz de cualquier segmento (cuerda) que una dos de esos puntos. La intersección de las mediatrices de dos cuerdas distintas define el centro de la circunferencia.

Se grafica y se unen los puntos A y B, B y C para comprender mejor la situación.

Calculo de la ecuación de la mediatriz  del segmento AB

Determinar el punto medio:

A(2,5); B(6,3)

$$M=\left ( \frac{x_{1}+x_{2}}{2},\frac{y_{1}+y_{2}}{2} \right )$$
$$M=\left ( \frac{6+2}{2},\frac{3+5}{2} \right )=(4,4)$$
$$M(4,4)$$

Cálculo de la pendiente de la recta de la mediatriz:

Pendiente del segmento AB:

A(2,5); B(6,3)

$$m_{1}=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$$

$$m_{1}=\frac{3-5}{6-2}=\frac{-2}{4}=-\frac{1}{2}$$

$$m_{1}=-\frac{1}{2}$$

Pendiente de la mediatriz:

$$m_{2}=-\frac{1}{m_{1}}=-\frac{1}{-\frac{1}{2}}=2$$

$$m_{2}=2$$

Ecuación punto-pendiente

$$M(4,4);m=2$$

$$y-y_{1}=m(x-x_{1})$$

$$y-4=2(x-4)$$

$$y=2x-8+4$$

Resultado:

$$y=2x-4$$

Calculo de la ecuación de la mediatriz  del segmento BC

Punto medio:

B(6,3); C(2,-5)

$$P=\left ( \frac{x_{1}+x_{2}}{2},\frac{y_{1}+y_{2}}{2} \right )$$
$$P=\left ( \frac{2+6}{2},\frac{-5+3}{2} \right )=(4,-1)$$
$$P(4,-1)$$

Pendiente de la mediatriz

Pendiente del segmento BC:

B(6,3); C(2,-5)

$$m_{1}=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$$

$$m_{1}=\frac{-5-3}{2-6}=\frac{-8}{-4}=2$$

$$m_{1}=2$$

Pendiente de la mediatriz:

$$m_{2}=-\frac{1}{m_{1}}=-\frac{1}{2}$$

$$m_{2}=-\frac{1}{2}$$

Ecuación punto-pendiente

$$P(4,-1);m=-\frac{1}{2}$$

$$y-y_{1}=m(x-x_{1})$$

$$y+1=-\frac{1}{2}(x-4)$$

$$y=-\frac{1}{2}x+2-1$$

$$y=-\frac{1}{2}x+1$$

Resultado:

$$y=-\frac{1}{2}x+1$$

Puntos medios graficados:

Establecer un sistema de ecuaciones para determinar el punto (centro de la circunferencia) donde se intersecan ambas mediatrices

Se aplica el método de reducción:

$$
\begin{array}{rl}
\!\!\!\!\!\!\!^{-1}\! &
\left\{
\begin{array}{l}
y = 2x – 4 \\
y = -\tfrac{1}{2}x + 1
\end{array}
\right.
\end{array}
$$

$$
\begin{array}{rcl}
-y &=& -2x + 4 \\[4pt]
\,y &=& -\tfrac{1}{2}x + 1 \\[4pt]
\hline
0 &=& -\tfrac{5}{2}x + 5
\end{array}
$$

$$\frac{5}{2}x=5$$

$$x=\frac{10}{5}$$

$$x=2$$

Reemplazar $$x=2$$En la primera ecuación y así obtener el valor de “y”

$$y=2(2)-4$$

$$y=0$$

Centro de la circunferencia$$I(2,0)$$

Cálculo del radio

$$I(2,0);C(2,-5)$$

$$r=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$$

$$r=\sqrt{(2-2)^{2}+(-5-0)^{2}}=\sqrt{25}=5$$

Ecuación de la circunferencia

$$r^{2}=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$$

$$5^{2}=\sqrt{(x-2)^{2}+(y-0)^{2}}$$

$$25=x^{2}-4x+4+y^{2}$$

$$x^{2}+y^{2}-4x+4-25=0$$

$$x^{2}+y^{2}-4x-21=0$$

Resultado:

$$x^{2}+y^{2}-4x-21=0$$

Gráfica:

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¿Te ha pasado que en clase de trigonometría te piden demostraciones de identidades trigonométricas y no sabes por dónde empezar? 😅
No estás solo. Entender las demostraciones de identidades trigonométricas no se trata solo de memorizar fórmulas, sino de razonar con lógica matemática. En este artículo descubrirás cómo convertir un problema complejo en una demostración sencilla, paso a paso, con ejemplos claros que podrás aplicar en tus próximos exámenes.

¿Qué significa las demostraciones de identidades trigonométricas?

Las demostraciones de identidades trigonométricas son un proceso matemático que busca comprobar que dos expresiones trigonométricas son equivalentes para cualquier valor del ángulo, el procedimiento es único según la identidad.

Estos tipos de ejercicios fortalecen tu razonamiento lógico y tu dominio de las propiedades del seno, coseno y otras funciones trigonométricas.

¿Qué son las identidades trigonométricas y para qué sirven?

Las identidades trigonométricas son igualdades entre funciones trigonométricas que se cumplen para cualquier valor del ángulo. Son esenciales porque permiten simplificar expresiones, resolver ecuaciones trigonométricas y analizar fenómenos periódicos en física e ingeniería.

Ejemplo:

$$sen^{2}\alpha +cos^{2}\alpha =1$$

Esta identidad puede comprobarse con el Teorema de Pitágoras aplicado a la Circunferencia trigonométrica.

Tipos principales de identidades trigonométricas

Ellas son:

• Recíprocas.
• Cociente.
• Pitagóricas.
• De cofunción y doble ángulo.

Observa la siguientes tabla:

¿Cómo demostrar identidades trigonométricas paso a paso?

Te daré 7 estrategias valiosas para que seas un experto demostrando identidades trigonométrica, ellas son las siguientes:

1. Memoriza bien las identidades trigonométricas básicas

Antes de comenzar, asegúrate de dominar las identidades recíprocas, pitagóricas y de cociente. Son los pilares fundamentales sobre los que se construyen todas las demostraciones. Tenerlas claras te dará una base sólida para cualquier transformación.

2. Elige el lado de la ecuación adecuada para iniciar

Por lo general, es más fácil comenzar trabajando con el lado más complejo de la identidad. Este lado suele ofrecer más oportunidades para aplicar identidades y simplificar expresiones hasta que coincida con el lado más sencillo. Sin embargo, no dudes en trabajar en ambos lados simultáneamente si el problema lo requiere, buscando un punto medio donde ambos se igualen.

3. Transforma a seno y coseno

Cuando te encuentres «atascado» o la expresión parezca demasiado complicada, un excelente primer paso es reescribir todas las funciones trigonométricas en términos de seno y coseno. Esto a menudo simplifica la expresión y te permite ver nuevas oportunidades para aplicar identidades o realizar operaciones algebraicas.

4. Visión algebraica

Las demostraciones de identidades trigonométricas también son un ejercicio de álgebra. No olvides aplicar tus habilidades en:

• Factorización (factores comunes o usar diferencias de cuadrados)
• Productos notables.
• Propiedad distributiva.
• Productos de binomios.
• Suma y Resta de Fracciones.
• Simplificación para cancelar términos o reducir expresiones.
• Racionalización.

5. Multiplicar por 1

En algunos momentos es clave multiplicar por 1  cuando necesitas crear un denominador o numerador específico. Por ejemplo:

$$\frac{1-senx}{cosx}\cdot \frac{1+senx}{1+senx}$$

6. Simplifica siempre que puedas

El objetivo final es llegar a una expresión idéntica en ambos lados. Después de cada paso, revisa si puedes simplificar la expresión resultante. Eliminar términos innecesarios te acercará a la solución y evitará que la demostración se complique más de lo necesario.

7. ¡La Práctica Hace al Maestro!

La habilidad para demostrar identidades trigonométricas se desarrolla con la práctica constante. No te desanimes si un ejercicio no sale a la primera; cada intento te enseña algo nuevo y fortalece tu intuición matemática. Disfruta el proceso de desentrañar cada problema.

35 ejercicios de demostraciones de Identidades Trigonométricas resueltos paso a paso

Te recomiendo que soluciones cada ejercicio por tu propia cuenta. Una vez que lo hayas intentado, o si te sientes atascado, entonces sí, compara tu procedimiento y resultado con nuestra guía. Si te encuentras con un bloqueo, esfuérzate un poquito más antes de mirar la solución; ese es el momento clave donde tu comprensión realmente se afianza. Si aún así no lo logras, no te preocupes, observa el procedimiento detallado. ¡Esta guía es una herramienta indispensable que te permitirá comprender, practicar y dominar las demostraciones, ganando habilidades matemáticas esenciales que te servirán en muchas otras situaciones!

Solución:

$$\frac{senx+tanx}{1+cosx}=tanx$$

$$\frac{senx+\frac{senx}{cosx}}{1+cosx}=tanx$$

$$\frac{\frac{senxcosx+senx}{cosx}}{1+cosx}=tanx$$

$$\frac{senxcosx+senx}{cosx(1+cosx)}=tanx$$

$$\frac{senx(cosx+1)}{cosx(cosx+1)}=tanx$$

$$\frac{senx}{cosx}=tanx$$

$$tanx=tanx$$

Solución:

$$\frac{1+tan^2 x}{csc^2 x}=tan^2 x$$

$$\frac{1+\frac{sen^2 x}{cos^2 x}}{\frac{1}{sen^2 x} x}=tan^2 x$$

$$\frac{sen^2 x(cos^2 x +sen^2 x)}{cos^2 x}=tan^2 x$$

$$\frac{sen^2 x}{cos^2 x}=tan^2 x$$

$$tan^2 x=tan^2 x$$

Solución:

$$\frac{1-cos^{2}x}{tan^{2}x}=cos^2 x$$

$$\frac{1-cos^{2}x}{\frac{sen^{2}x}{cos^{2}x}}=cos^{2}x$$

$$\frac{(1-cos^{2}x)\cdot cos^{2}x}{sen^{2}x}=cos^2x$$

$$\frac{sen^{2}x\cdot cos^{2}x}{sen^{2}x}=cos^2x$$

$$cos^{2}x=cos^2x$$

Solución:

$$sec^{2}x+csc^{2}x = sec^{2}x\cdot csc^{2}x$$

$$ \frac{1}{cos^{2}x}+\frac{1}{sen^{2}x}=sec^{2}x\cdot csc^{2}x $$

$$ \frac{sen^{2}x+cos^{2}x}{cos^{2}x\cdot sen^{2}x}=sec^{2}x\cdot csc^{2}x$$

$$ \frac{1}{cos^{2}x\cdot sen^{2}x}=sec^{2}x\cdot csc^{2}x$$

$$ sec^{2}x\cdot csc^{2}x=sec^{2}x\cdot csc^{2}x$$

Solución:

$$\frac{1+cosx}{senx}=\frac{senx}{1-cosx}$$

$$\frac{(1+cosx)\cdot (1-cosx)}{senx\cdot (1-cosx)}=\frac{senx}{1-cosx} $$

$$\frac{1-cos^{2}x}{sen(1-cosx)}=\frac{senx}{1-cosx} $$

$$\frac{1-(1-sen^{2}x)}{sen(1-cosx)}=\frac{senx}{1-cosx} $$

$$\frac{1-1+sen^{2}x}{sen(1-cosx)}=\frac{senx}{1-cosx} $$

$$\frac{sen^{2}x}{senx(1-cosx)}=\frac{senx}{1-cosx} $$

$$\frac{senx}{1-cosx}=\frac{senx}{1-cosx} $$

Solución:

$$\frac{1}{secx-1}+\frac{1}{secx+1}=2cotx\cdot cscx$$

$$\frac{(secx+1)+(secx-1)}{sec^{2}x-1}=2cotx\cdot cscx$$

$$\frac{secx+1+secx-1}{sec^{2}x-1}=2cotx\cdot cscx$$

$$\frac{2secx}{sec^{2}x-1}=2cotx\cdot cscx$$

$$\frac{2secx}{1+tan^{2}x-1}=2cotx\cdot cscx$$

$$\frac{2secx}{tan^{2}x}=2cotx\cdot cscx$$

$$\frac{2\frac{1}{cosx}}{\frac{sen^{2}x}{cos^{2}x}}=2cotx\cdot cscx$$

$$\frac{\frac{2}{cosx}}{\frac{sen^{2}x}{cos^{2}x}}=2cotx\cdot cscx$$

$$\frac{2cos^{2}x}{cosx\cdot sen^{2}x}=2cotx\cdot cscx$$

$$\frac{2cosx}{senx\cdot senx}=2cotx\cdot cscx$$

$$2cotx\cdot \frac{1}{senx}=2cotx\cdot cscx$$

$$2cotx\cdot cscx=2cotx\cdot cscx$$

Solución:

$$ \frac{2cosx-senx-1}{cos^{2}x}=\frac{2cosx-senx-1}{cos^{2}x}$$

Solución:

$$\frac{1+tanx}{1-tanx}=\frac{cotx+1}{cotx-1}$$

$$ \frac{1+\frac{1}{cotx}}{1-\frac{1}{cotx}}=\frac{cotx+1}{cotx-1}$$

$$ \frac{\frac{cotx+1}{cotx}}{\frac{cotx-1}{cotx}}=\frac{cotx+1}{cotx-1}$$

$$ \frac{cotx+1}{cotx-1}=\frac{cotx+1}{cotx-1}$$

Solución:

$$\frac{sen^{2}x+cos^{2}x}{tan^{2}x}=\frac{csc^{2}x}{sec^{2}x}$$

$$\frac{sen^{2}x\cdot cos^{2}x+cos^{4}x}{sen^{2}x}=\frac{csc^{2}x}{sec^{2}x}$$

$$\frac{sen^{2}x(1-sen^{2}x)+cos^{4}x}{sen^{2}x}=\frac{csc^{2}x}{sec^{2}x}$$

$$\frac{sen^{2}x-sen^{4}x+(cos^{2}x)^{2}}{sen^{2}x}=\frac{csc^{2}x}{sec^{2}x}$$

$$\frac{sen^{2}x-sen^{4}x+(1-sen^{2})^{2}}{sen^{2}x}=\frac{csc^{2}x}{sec^{2}x}$$

$$\frac{1-sen^{2}x}{sen^{2}x}=\frac{csc^{2}x}{sec^{2}x}$$

$$\frac{cos^{2}x}{sen^{2}x}=\frac{csc^{2}x}{sec^{2}x}$$

$$\frac{csc^{2}x}{sec^{2}x}=\frac{csc^{2}x}{sec^{2}x}$$

Solución:

$$secx-tanx=\frac{cosx}{1+senx}$$

$$\frac{1}{cosx}-\frac{senx}{cosx}=\frac{cosx}{1+senx}$$

$$\frac{1-senx}{cosx}=\frac{cosx}{1+senx}$$

$$\frac{1-sen^{2}x}{cosx(1+senx)}=\frac{cosx}{1+senx}$$

$$\frac{1-(1-cos^{2}x)}{cosx(1+senx)}=\frac{cosx}{1+senx}$$

$$\frac{1-1+cos^{2}x)}{cosx(1+senx)}=\frac{cosx}{1+senx}$$

$$\frac{cos^{2}x}{cosx(1+senx)}=\frac{cosx}{1+senx}$$

$$\frac{cosx}{1+senx}=\frac{cosx}{1+senx}$$

Solución:

$$\frac{2tanx}{1-tan^{2}x}=\frac{2}{cotx-tanx}$$

$$\frac{2tanx}{1-tan^{2}x}=\frac{2}{\frac{1}{tanx}-tanx}$$

$$\frac{2tanx}{1-tan^{2}x}=\frac{2}{\frac{1-tan^{2}x}{tanx}}$$

$$\frac{2tanx}{1-tan^{2}x}=\frac{2tanx}{1-tan^{2}x}$$

Solución:

$$cscx=\frac{secx+cscx}{1+tanx}$$

$$cscx=\frac{\frac{1}{cosx}+\frac{1}{senx}}{1+\frac{senx}{cosx}}$$

$$cscx=\frac{\frac{senx+cosx}{cosx\cdot senx}}{\frac{cosx+senx}{cosx}}$$

$$cscx=\frac{cosx}{cosx\cdot senx}$$

$$cscx=\frac{1}{senx}$$

$$cscx=cscx$$

Solución:

$$\frac{senx\cdot tanx}{cscx-cotx}-senx=tanx$$

$$\frac{senx\cdot tanx-senx(cscx-cotx)}{cscx-cotx}=tanx$$

$$\frac{senx(tanx-cscx+cotx)}{cscx-cotx}=tanx$$

$$\frac{senx(tanx+cotx-cscx)}{cscx-cotx}=tanx$$

$$\frac{senx(tanx+\frac{1}{tanx}-cscx)}{cscx-cotx}=tanx$$

$$\frac{senx(\frac{tan^{2}x+1}{tanx}-cscx)}{cscx-cotx}=tanx$$

$$\frac{senx(\frac{tan^{2}x+1-cscxtanx}{tanx})}{cscx-cotx}=tanx$$

$$\frac{senx(\frac{sec^{2}x-secx}{tanx})}{cscx-cotx}=tanx$$

$$\frac{cosx(sec^{2}x-secx)}{\frac{1}{senx}-\frac{cosx}{senx}}=tanx$$

$$\frac{cosx(sec^{2}x-secx)}{\frac{1-cosx}{senx}}=tanx$$

$$\frac{senx\cdot cosx(sec^{2}x-secx)}{1-cosx}=tanx$$

$$\frac{senx\cdot cosx(\frac{1}{cos^{2}x}-\frac{1}{cosx})}{1-cosx}=tanx$$

$$\frac{senx\cdot cosx(\frac{cosx-cos^{2}x}{cos^{3}x})}{1-cosx}=tanx$$

$$\frac{\frac{senx\cdot cosx}{cos^{3}x}(cosx-cos^{2}x)}{1-cosx}=tanx$$

$$\frac{\frac{senx}{cosx\cdot cosx}(cosx-cos^{2}x)}{1-cosx}=tanx$$

$$\frac{tanx\cdot secx[cosx(1-cosx)]}{1-cosx}=tanx$$

$$\frac{tanx\cdot secx\cdot cosx(1-cosx)}{1-cosx}=tanx$$

$$tanx\cdot \frac{1}{cosx}\cdot cosx=tanx$$

$$tanx=tanx$$

Solución:

$$(tanx+cotx)\cdot tanx=sec^{2}x$$

$$tan^{2}x+cot^{2}x\cdot tanx=sec^{2}x$$

$$tan^{2}x+\frac{cosx}{senx}\cdot \frac{senx}{cosx}=sec^{2}x$$

$$tan^{2}x+1=sec^{2}x$$

$$sec^{2}x-1+1=sec^{2}x$$

$$sec^{2}x=sec^{2}x$$

Solución:

$$\frac{1}{cscx-cotx}+\frac{1}{cscx+cotx}=2cscx$$

$$\frac{cscx+cotx+cscx-cotx}{csc^{2}x-cot^{2}x}=2cscx$$

$$\frac{2cscx}{csc^{2}x-cot^{2}x}=2cscx$$

$$\frac{2cscx}{csc^{2}x-(csc^{2}x-1)}=2cscx$$

$$\frac{2cscx}{csc^{2}x-csc^{2}x+1}=2cscx$$

$$2cscx=2cscx$$

Solución:

$$\frac{cosx}{1-senx}=secx+tanx$$

$$\frac{\frac{1}{secx}}{1-\frac{1}{cscx}}=secx+tanx$$

$$\frac{\frac{1}{secx}}{\frac{cscx-1}{cscx}}=secx+tanx$$

$$\frac{cscx}{secx(cscx-1)}=secx+tanx$$

$$\frac{cscx}{secx(\frac{1}{senx}-1)}=secx+tanx$$

$$\frac{cscx}{secx(\frac{1-senx}{senx})}=secx+tanx$$

$$\frac{\frac{1}{senx}}{\frac{secx(1-senx)}{senx}}=secx+tanx$$

$$\frac{senx}{senx\cdot secx(1-senx)}=secx+tanx$$

$$\frac{1}{secx(1-senx)}=secx+tanx$$

$$\frac{1}{secx-secx\cdot senx}=secx+tanx$$

$$\frac{1}{secx-\frac{1}{cosx}\cdot senx}=secx+tanx$$

$$\frac{1}{secx-tanx}=secx+tanx$$

$$\frac{1}{secx-tanx}\cdot \frac{secx+tanx}{secx+tanx}=secx+tanx$$

$$\frac{secx+tanx}{sec^{2}x-tan^{2}x}=secx+tanx$$

$$\frac{secx+tanx}{1+tan^{2}x-tan^{2}x}=secx+tanx$$

$$secx+tanx=secx+tanx$$

Solución:

$$tanx+cotx=secx+cscx$$

$$\frac{senx}{cosx}+\frac{cosx}{senx}=secx+cscx$$

$$\frac{sen^{2}x+cos^{2}x}{cosx\cdot senx}=secx+cscx$$

$$\frac{1}{cosx\cdot senx}=secx+cscx$$

$$secx+cscx=secx+cscx$$

Solución:

$$sec^{2}x+csc^{2}x=\frac{1}{sen^{2}x\cdot cos^{2}x}$$

$$\frac{1}{cos^{2}x}+\frac{1}{sen^{2}x}=\frac{1}{sen^{2}x\cdot cos^{2}x}$$

$$\frac{sen^{2}x+cos^{2}x}{cos^{2}x\cdot sen^{2}x}=\frac{1}{sen^{2}x\cdot cos^{2}x}$$

$$\frac{1}{sen^{2}x\cdot cos^{2}x}=\frac{1}{sen^{2}x\cdot cos^{2}x}$$

Solución:

$$\sqrt{(1-senx)\cdot (1+senx)}=\frac{1}{secx}$$

$$\sqrt{1-sen^{2}x}=\frac{1}{secx}$$

$$cosx=\frac{1}{secx}$$

$$\frac{1}{secx}=\frac{1}{secx}$$

Solución:

$$sen^{2}x\cdot cos^{2}x+cos^{4}x=cos^{2}x$$

$$(1-cos^{2}x)\cdot cos^{2}x+cos^{4}x=cos^{2}x$$

$$cos^{2}x-cos^{4}x+cos^{4}x=cos^{2}x$$

$$cos^{2}x=cos^{2}x$$

Solución:

$$2tanx\cdot secx=\frac{1}{1-senx}-\frac{1}{sen(x)+1}$$

$$2tanx\cdot secx=\frac{sen(x)+1-(1-senx)}{(1-senx)\cdot (1+senx)}$$

$$2tanx\cdot secx=\frac{senx+1-1+senx}{1-sen^{2}x}$$

$$2tanx\cdot secx=\frac{2senx}{1-sen^{2}x}$$

$$2tanx\cdot secx=\frac{2senx}{1-(1-cos^{2}x)}$$

$$2tanx\cdot secx=\frac{2senx}{1-1+cos^{2}x}$$

$$2tanx\cdot secx=\frac{2senx}{cos^{2}x}$$

$$2tanx\cdot secx=\frac{2senx}{cosx\cdot cosx}$$

$$2tanx\cdot secx=2tanx\cdot secx$$

Solución:

$$secx-tanx=\frac{1}{secx+tanx}$$

$$secx-tanx=\frac{1}{secx+tanx}\cdot \frac{secx-tanx}{secx-tanx}$$

$$secx-tanx=\frac{secx-tanx}{sec^{2}x-tan^{2}x}$$

$$secx-tanx=\frac{secx-tanx}{1+tan^{2}x-tanx}$$

$$secx-tanx=\frac{secx-tanx}{1}$$

$$secx-tanx=secx-tanx$$

Solución:

$$\frac{senx}{1-cosx}-cotx=cscx$$

$$\frac{senx}{1-cosx}-\frac{cosx}{senx}=cscx$$

$$\frac{sen^{2}x-cosx(1-cosx)}{senx(1-cosx)}=cscx$$

$$\frac{sen^{2}x-cosx+cos^{2}x}{senx(1-cosx)}=cscx$$

$$\frac{1-cos^{2}x-cosx+cos^{2}x}{senx(1-cosx)}=cscx$$

$$\frac{1-cosx}{senx(1-cosx)}=cscx$$

$$\frac{1}{senx}=cscx$$

$$cscx=cscx$$

Solución:

$$\frac{senx+cosx}{secx+cscx}=senx\cdot cosx$$

$$\frac{senx+cosx}{\frac{1}{cosx}+\frac{1}{senx}}=senx\cdot cosx$$

$$\frac{senx+cosx}{\frac{senx+cosx}{cosx\cdot senx}}=senx\cdot cosx$$

$$\frac{senx+cosx(senx\cdot cosx)}{senx+cosx}=senx\cdot cosx$$

$$senx\cdot cosx=senx\cdot cosx$$

Solución:

$$\frac{1-cosx}{senx}+\frac{senx}{1-cosx}=2cscx$$

$$\frac{(1-cosx)^{2}+sen^{2}x}{senx(1-cosx)}=2cscx$$

$$\frac{sen^{2}x+(1-2cosx+cos^{2}x)}{senx(1-cosx)}=2cscx$$

$$\frac{sen^{2}x+1-2cosx+cos^{2}x}{senx(1-cosx)}=2cscx$$

$$\frac{sen^{2}x+cos^{2}x+1-2cosx}{senx(1-cosx)}=2cscx$$

$$\frac{1+1-2cosx}{senx(1-cosx)}=2cscx$$

$$\frac{2-2cosx}{senx(1-cosx)}=2cscx$$

$$\frac{2(1-cosx)}{senx(1-cosx)}=2cscx$$

$$2cscx=2cscx$$

Solución:

$$\frac{senx}{cscx}+\frac{cosx}{secx}=1$$

$$\frac{senx\cdot secx+cosx\cdot cscx}{cscx\cdot secx}=1$$

$$\frac{senx\cdot \frac{1}{cosx}+cosx\cdot \frac{1}{sen}}{cscx\cdot secx}=1$$

$$\frac{\frac{senx}{cosx}+ \frac{cosx}{senx}}{\frac{1}{senx}\cdot \frac{1}{cosx}}=1$$

$$\frac{\frac{sen^{2}x+cos^{2}x}{cosx\cdot senx}}{\frac{1}{senx\cdot cosx}}=1$$

$$\frac{senx\cdot cosx}{cosx\cdot senx}=1$$

$$1=1$$

Solución:

$$sec^{2}x+csc^{2}x=sec^{2}x\cdot csc^{2}x$$

$$\frac{1}{cos^{2}x}+\frac{1}{sen^{2}x}=sec^{2}x\cdot csc^{2}x$$

$$\frac{sen^{2}x+cos^{2}x}{sen^{2}x\cdot cos^{2}x}=sec^{2}x\cdot csc^{2}x$$

$$\frac{1}{sen^{2}x\cdot cos^{2}x}=sec^{2}x\cdot csc^{2}x$$

$$sec^{2}x\cdot csc^{2}x=sec^{2}x\cdot csc^{2}x$$

Solución:

$$tanx+cotx=secx\cdot cscx$$

$$\frac{senx}{cosx}+\frac{cosx}{senx}=secx\cdot cscx$$

$$\frac{sen^{2}x+cos^{2}x}{cosx\cdot senx}=secx\cdot cscx$$

$$\frac{1}{cosx\cdot senx}=secx\cdot cscx$$

$$secx\cdot cscx=secx\cdot cscx$$

Solución:

$$(1+cot^{2}x)\cdot sen^{2}x=1$$

$$(1+(csc^{2}x-1)\cdot sen^{2}x=1$$

$$(1+csc^{2}x-1)\cdot sen^{2}x=1$$

$$csc^{2}x\cdot sen^{2}x=1$$

$$\frac{1}{sen^{2}x}\cdot sen^{2}x=1$$

$$1=1$$

Solución:

$$cos^{4}x-sen^{4}x-2cos^{2}x=-1$$

$$cos^{4}x-\left ( sen^{2}x \right )^{2}-2cos^{2}x=-1$$

$$cos^{4}x-\left ( 1-cos^{2}x \right )^{2}-2cos^{2}x=-1$$

$$cos^{4}x-1+2cos^{2}x-cos^{4}x-2cos^{2}x=-1$$

$$-1=-1$$

Solución:

$$sen^{3}x\cdot cosx+cos^{3}x\cdot senx=senx\cdot cosx$$

$$senx\cdot cosx=senx\cdot cosx$$

 Solución:

$$\frac{senx}{1+cosx}+\frac{1+cosx}{senx}=2cscx$$

$$\frac{sen^{2}x+(1+cosx)^{2}}{(1+cosx)\cdot senx}=2cscx$$

$$\frac{sen^{2}x+(1+2cosx+cos^{2}x)}{(1+cosx)\cdot senx}=2cscx$$

$$\frac{sen^{2}x+1+2cosx+cos^{2}x}{(1+cosx)\cdot senx}=2cscx$$

$$\frac{sen^{2}x+cos^{2}x+1+2cosx}{(1+cosx)\cdot senx}=2cscx$$

$$\frac{1+1+2cosx}{(1+cosx)\cdot senx}=2cscx$$

$$\frac{2+2cosx}{(1+cosx)\cdot senx}=2cscx$$

$$\frac{2(1+cosx)}{(1+cosx)\cdot senx}=2cscx$$

$$\frac{2}{senx}=2cscx$$

$$2cscx=2cscx$$

Solución:

$$\frac{senx}{1+cosx}+\frac{1+cosx}{senx}=2cscx$$

$$\frac{sen^{2}x+(1+cosx)^{2}}{(1+cosx)\cdot senx}=2cscx$$

$$\frac{sen^{2}x+(1+2cosx+cos^{2}x)}{(1+cosx)\cdot senx}=2cscx$$

$$\frac{sen^{2}x+1+2cosx+cos^{2}x}{(1+cosx)\cdot senx}=2cscx$$

$$\frac{sen^{2}x+cos^{2}x+1+2cosx}{(1+cosx)\cdot senx}=2cscx$$

$$\frac{1+1+2cosx}{(1+cosx)\cdot senx}=2cscx$$

$$\frac{2+2cosx}{(1+cosx)\cdot senx}=2cscx$$

$$\frac{2(1+cosx)}{(1+cosx)\cdot senx}=2cscx$$

$$\frac{2}{senx}=2cscx$$

$$2cscx=2cscx$$

Solución:

$$cotx+\frac{senx}{1+cosx}=cscx$$

$$\frac{cosx}{senx}+\frac{senx}{1+cosx}=cscx$$

$$\frac{cosx(1+cosx)+sen^{2}x}{senx(1+cosx)}=cscx$$

$$\frac{cosx+cos^{2}x+sen^{2}x}{senx(1+cosx)}=cscx$$

$$\frac{cosx+1}{senx(1+cosx)}=cscx$$

$$\frac{1}{senx}=cscx$$

$$cscx=cscx$$

Solución:

$$\frac{cosx}{1-tanx}+\frac{senx}{1-cotx}=senx+cosx$$

$$\frac{cosx}{1-\frac{senx}{cosx}}+\frac{senx}{1-\frac{cosx}{senx}}=senx+cosx$$

$$\frac{cosx}{\frac{cosx-senx}{cosx}}+\frac{senx}{\frac{senx-cosx}{senx}}=senx+cosx$$

$$senx+cosx=senx+cosx$$

¡Queremos saber tu opinión de esta guía de Demostraciones de Identidades Trigonométricas!

¿Cuál de estos 35 ejercicios te pareció más desafiante o te hizo pensar mucho? ¡Comparte tus experiencias, tus soluciones alternativas o cualquier duda que tengas en los comentarios! Tu perspectiva enriquece a toda la comunidad.

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¿Sabes cómo se aplican los vectores en la vida cotidiana? El juego de la cuerda establece que deben existir dos equipos con el mismo número de personas y una cuerda, ambos deben halar la cuerda en la misma dirección pero en sentidos contrarios y gana aquel que logre desplazar al otro equipo en su sentido de fuerza a una distancia definida.

¿Tienes algún conocimiento básico de vectores? ¿Será que existe la posibilidad de representar esa imagen por medio de vectores?

Existen dos magnitudes, una llamada magnitudes escalares, determinadas mediante un número, por ejemplo la edad, la altura de un edificio, etc., y la otra es conocida como magnitudes vectoriales, este tipo de magnitud requieren una medida llamada norma y una dirección que indica una orientación y se representan por medio de vectores.

Existen muchas situaciones en la vida diaria que pueden representarse con vectores, como por ejemplo la figura llamada vectores, allí se aprecia un personaje subiendo una pendiente a una velocidad de 80 km/k, con dirección inclinada y sentido noreste.

Definición de vectores

¿Cómo se representan?

Un vector puede representarse con cualquier letra minúscula ya sea “en negrita”, “no negrita” o simplemente con dos letras, veamos:

• Cuando se representa un vector con una letra minúscula “en negrita” solo se escribe la letra en negrita, por ejemplo:  a   se lee así: vector a.
• Cuando se escribe una letra minúscula “no negrita” para representar a un vector a esta se le coloca una flecha por encima de la misma, por ejemplo: , su norma se presenta entre dos barras .
• La otra forma de representar a un vector es usando dos letras mayúsculas y una flecha, la primera letra indica el origen, la segunda letra el extremo del mismo y la flecha se escribe arriba, ejemplo:   se lee así:  vector de origen A y extremo B

Características 

Observa la figura # 2, el vector está representado por letras mayúsculas A y B, el punto A es el origen y el punto B es el extremo encargado de indicar el sentido y se representa

Los vectores poseen 3 características llamados: módulo, dirección y sentido.

Características del vector

• El módulo o magnitud del vector es la distancia del vector o norma que se mide desde el punto de origen hasta el punto extremo del vector, aplicando el teorema de Pitágoras se puede obtener su valor:

• La dirección es el ángulo que forma el vector con respecto al eje “x” del plano cartesiano.
• El sentido es la orientación por donde se dirige el vector mediante la punta de la flecha ubicado en el extremo del mismo.

Componentes

El ángulo α permite descomponer el vector  en dos elementos llamados componentes rectangulares. Entonces el vector  se representa como: 

Sus componentes se definen de la siguiente forma:

Un vector está determinado por la magnitud y la dirección.

Para calcular el ángulo de dirección α del vector , se logra a través de sus componentes rectangulares, la fórmula es la siguiente:

Ejemplo: Determinar las componentes rectangulares representado en la figura cuya norma es   

Solución:

Componente “y” se aplica la razón del seno.

Componente “x” se aplica la razón del coseno .

Suma y resta de vectores

Los vectores se pueden trabajar de 3 formas:

1. Geométricamente (flechas).
2. Teniendo las coordenadas del punto del origen y de su extremo.
3. Conociendo sus componentes.

Forma geométrica

En forma geométrica existen dos métodos para la suma de vectores, ellos son llamados:

• Método del polígono.
• Método del triángulo.
• Método del paralelogramo.

El método del polígono se utiliza cuando se suman más de dos vectores y el método del triángulo y del paralelogramo cuando solo hay dos.

En necesario que tengas a la mano una regla y un cartabón para poner en practica ambos métodos.

Método del polígono: Consiste en dibujar uno a continuación del otro, nunca variando su dirección y sentido. Uniendo el origen del primero con el extremo del útimo para obtener el vector suma.

Método del triángulo: Se trata de trasladar un vector de tal forma que su origen coincida el con el extremo del otro vector, luego se traza un segmento cuyo origen sea el origen de un vector hasta el extremo del otro creándose el vector suma. La forma geométrica que se forma es la de un triángulo por eso es llamado método del triángulo.

Procedimiento del método del triángulo

Sume los vectores y

Alinear el cartabón con el vector a trasladar apoyado con la regla, en este ejemplo con el vector

Medir la longitud del vector que será trasladado, en este ejemplo se mide la longitud del vector .

Desplazar el cartabón hasta el extremo del otro vector y trazar la longitud del vector

Finalmente, se traza un segmento desde el origen del vector con el extremo del vector , para  obtener el vector suma .

Observa que al final se crea un triángulo.

Método del paralelogramo: Este método es usado cuando los vectores tiene el mismo punto de aplicación, el procedimiento consiste en trasladar un vector y coincidir su origen con el origen del otro, luego trazar una línea paralela a cada vector, esta línea debe ser segmentada y ubicada en los extremos de cada uno de ellos, obteniéndose un paralelogramo. El vector resultante o el vector suma tiene su origen en el origen común de los dos vectores y su extremo es el punto de intersección de las líneas paralelas.

Procedimiento del método del paralelogramo

Sume los vectores y

Medir la longitud del vector que será trasladado, en este ejemplo el vector

Alinear el cartabón con el vector

Desplazar el cartabón hasta el origen del otro vector y trazar la longitud del vector

Manteniendo alineado el cartabón con el vector desplazado , se desplaza la escuadra hasta el extremo del vector

Luego se traza una línea segmentada.

Alinear el cartabón con el vector

Manteniendo alineado el cartabón con el vector desplazado , desplazar la escuadra hasta el extremo del vector

Luego, trazar una línea segmentada.

Marcar un punto en la intersección de ambas líneas segmentadas.

Finalmente, trazar el vector suma desde los orígenes comunes de los vectores y hasta el punto de intersección.

Ejemplo de suma y resta de vectores

Ejemplo # 1: Dado los vectores y , calcula la norma, dirección y representarlo gráficamente.

Solución:

Sustitur los valores para obtener el vector suma

La norma del vector es:

La dirección se calcula de la siguiente manera:

Ejemplo # 2: Restar los vectores   y , calcula , la norma, dirección y representarlo gráficamente.

Solución

La norma del vector es:

El calculo de la dirección se realiza de la siguiente forma:

Ejemplo # 3: Hallar la norma de la suma de los vectores y cuyas medidas son 5 y 6 respectivamente.

Realizando la suma geométrica, el paralelogramo queda de la siguiente manera:

Donde el ángulo agudo del cuadrilátero se determinó aplicando la propiedad de los paralelogramos, al sumar dos ángulos consecutivos su resultado es un ángulo suplementario, es decir 180°.

Entonces:

180° = 142 + x

x = 180° – 142°

x = 38°

Para hallar la norma del vector se aplica la ley del coseno

Multiplicación de un escalar por un vector

Tres casos que puede presentarse cuando se multiplica un número real k por el vector

• Cuando k = 0 ⇒ k . = 0
• Cuando k > 0 ⇒ k .   es un vector de la misma dirección y sentido que  y con un módulo k veces el módulo de 
• Cuando k < 0 ⇒ k .   es un vector de la misma dirección que , con sentido opuesto y con un módulo k veces el módulo de 

Ejemplo: Dados los vectores y el número real k = -2 . Calcular  .

Solución

Sustituir valores:

Producto punto entre vectores

El producto punto o producto escalar de dos vectores   y , lo cual se expresa como: está definido como .

El producto escalar es un resultado numérico que nos informa hacia donde apunta dos vectores, el resultado puede ser positivo, negativo o cero.

Producto escalar positivo, si el resultado es positivo es porque el ángulo entre los dos vectores está comprendido entre 0° y 90°.

Producto escalar negativo, si el resultado es negativo es porque el ángulo está comprendido entre 90° y 180°.

Producto escalar cero, es porque el ángulo entre los dos vectores es de 90°

Ángulos entre vectores

Si α es el ángulo formado entre dos vectores y no nulos, entonces:

Ejemplo: Determina el producto escalar y el ángulo formado entre los vectores    y 

Solución

Primero, calcular el producto escalar entre los vectores.

Segundo, calcular la norma de cada vector.

Tercero, se determina el ángulo entre los dos vectores.

Actividades

Dados los puntos A(3,2) ; B(0,4) ; C(-3,3) y D(5,4) , representa geométricamente y analíticamente las siguientes operaciones con vectores

Calcula el producto escalar de los siguientes vectores

Hallar el ángulo comprendido entre los siguientes vectores

¿Sabes qué son los triángulos oblicuángulos y cuáles son las leyes para solucionarlos? Esas leyes se llaman Ley del Seno y Ley del Coseno los dúos dinámicos diseñados para solucionar triángulos oblicuángulos.

Estas leyes son mucho más que fórmulas; son la base para calcular distancias en topografía, determinar la posición de un barco en el mar o diseñar estructuras arquitectónicas complejas. Dominar su aplicación te abre las puertas a campos fascinantes, dándote la capacidad de encontrar medidas y ángulos que no pueden ser calculados de forma directa.

¿Qué son los triángulos oblicuángulos?

Es una familia de triángulos compuesta únicamente por los obtusángulos y acutángulos. Esto quiere decir que los triángulos rectángulos no pertenecen a esta gran familia.

Los triángulos rectángulos se solucionan aplicando tres métodos principales: el teorema de Pitágoras, razones trigonométricas y la propiedad de los ángulos complementarios ( α + β = 90° ).

Para solucionar los triángulos oblicuángulos debes determinar las medidas de sus tres lados y de sus tres ángulos internos. Para realizar esta gran hazaña debes adquirir unas herramientas súper poderosas llamadas: Ley del seno y Ley del coseno.

A continuación, te muestro a la honorable familia oblicuángulos:

Casos para la resolución de triángulos oblicuángulos

Para la resolución de triángulos oblicuángulos se considera las medidas consecutivas y conocidas, por esta razón se hace posible identificar la resolución de estos tipos de triángulos en los siguientes cuatro casos:

1. Ángulo-Lado-Ángulo (A-L-A) o Lado-Ángulo-Ángulo (L-A-A)

Cuando un triángulo se conocen la medida de un lado y dos de sus ángulos, puede aparecer de la siguiente forma:         

2. Lado-Lado-Ángulo (L-L-A)

Cuando un triángulo posee la medida de dos lados y un ángulo opuesto a algunos de ellos puede presentarse de la siguiente manera:

3. Lado-Ángulo-Lado (L-A-L)

Al conocer las dimensiones de dos lados y el ángulo comprendido entre ellos, los triángulos pueden presentarse de esta forma:

4. Lado-Lado-Lado (L-L-L)

Cuando se conocen las dimensiones de los tres lados del triángulo, solo aparece de esta manera:

Leyes para solucionar triángulos oblicuángulos

Para resolver los cuatro casos de triángulos oblicuángulos, es necesario aplicar dos leyes fundamentales: la Ley del Seno y la Ley del Coseno.

Ley del seno 

La ley del seno permite determinar triángulos oblicuángulos, usando los casos # 1, y # 2. Es decir (A-L-A)  (L-A-A) y (L-L-A)

Ejemplo. Resuelva el siguiente triángulo acutángulo.

Solución:

Datos:

Tipo de caso: (L-L-A)

Ley del seno.

Lado a = ?         → Ángulo opuesto α = ?

Lado b = 8cm. → Ángulo opuesto β = ?

Lado c = 6cm.  → Ángulo opuesto δ = 45°

Procedimiento:

Determinar el valor del ángulo β.

Con los ángulos  y , se determina el valor del ángulo α.

Se calcula el lado a

Problema.

Un estudiante diseñó un sistema biela-manivela para accionar un pistón. El largo de la manivela es de 2,2 in y 4,4 la longitud de la biela. Determine la distancia desde el centro (O) hasta el pistón (P). Ver la figura.

Solución:

Según la figura el triángulo formado es del tipo obtusángulo, los valores emitidos por el problema se ajusta a un tipo (L-A-L). Por lo tanto se aplica la ley del Seno.

$$\frac{a}{sen\alpha }=\frac{b}{sen\beta }=\frac{c}{sen\delta }$$

Datos:

$$a=2,2in$$

$$b=4,4in$$

$$\alpha = 24^{\circ }$$

I. Se determina el ángulo del centro (O) \(\beta\)

$$\frac{a}{sen\alpha }=\frac{b}{sen\beta }$$

$$sen\beta=\frac{b\cdot sen\alpha}{a}$$
$$sen\beta =\frac{4,4in\cdot sen24^{\circ }}{2,2in}$$
$$sen\approx 0,813$$

$$\beta =sen^{-1}\, 0,813\approx 54,39^{\circ }$$

Según la figura el ángulo opuesto del lado 4,4 in es del tipo obtuso, y el resultado obtenido es un ángulo agudo. Para este tipo de situaciones se determina su suplementario, quedando de la siguiente manera:

$$180^{\circ }=\beta+x\Rightarrow x=180^{\circ }-\beta$$

$$x=180^{\circ }-54,39^{\circ }=125,61^{\circ }$$

Por lo tanto el ángulo en el centro (O) es de \(125,61^{\circ }\)

II. Calculo de la distacia \(\overline{OP}\)

Aplicar la propiedad # 1 (suma de los ángulos internos) del triángulo para obtener el ángulo \(\delta\)

$$180^{\circ }=\alpha +\beta +\delta \Rightarrow$$
$$ \delta=180^{\circ }-\alpha -\beta$$

$$ \delta=180^{\circ }-24^{\circ } -125,61^{\circ }$$
$$\boxed{\delta= 30,39^{\circ }}$$

$$\frac{c}{sen\delta }=\frac{a}{sen\alpha }\Rightarrow $$
$$c=\frac{a\cdot sen\delta }{sen\alpha }$$
$$=\frac{2,2in\cdot sen30,39^{\circ }}{sen24^{\circ }}$$
$$\boxed{c\approx 2,7in}$$

La distancia del centro (O) hasta el pistón (P) es de 2,7 in.

Ley del coseno

La ley del coseno permite determinar triángulos oblicuángulos, usando únicamente los casos # 3 y # 4. Es decir (L-A-L) y (L-L-L).

Fórmulas

A continuación, las fórmulas para determinar los lados y ángulos:

Ejemplo. Resuelva el siguiente triángulo.

Solución

Datos

Obtusángulo.

Caso: (L-A-L).

Ley del coseno.

Lado a = 5cm   → Ángulo opuesto α = ?

Lado b = ?  → Ángulo opuesto β = 120°

Lado c = 10cm. → Ángulo opuesto δ = ?

Procedimiento:

Determinar el valor del lado b

Sustituir todos los valores de los lados en la fórmula y luego se determina el ángulo α.

Determinar el ángulo δ 

Actividades

Solucione los siguientes triángulos y ¿Qué ley debes aplicar?

Un avión partió de la ciudad «X» con destino a la ciudad «Z», que se encuentra a una distancia de 150 millas, y luego se dirige hacia la ciudad «Y», que está a 100 millas de distancia. Consulte la imagen adjunta.

• ¿Cuál es la distancia entre la ciudad «X» y la ciudad «Y»?
• ¿Qué dirección debe seguir el piloto del avión para volar de la ciudad «X» a la ciudad «Y»?

Respuestas:

235,5 millas.

15,8°.

¿Alguna vez te has preguntado cómo las razones trigonométricas se usan para calcular la altura de un edificio o la distancia a un objeto sin tener que medirlos directamente? La solución a este tipo de desafíos se encuentra en la trigonometría. El origen y el valor de estas razones se comprenden mejor al visualizar la circunferencia trigonométrica.

En este post no solo aprenderás a aplicar las razones trigonométricas de manera sencilla, sino que también te mostraremos los diferentes casos para resolver triángulos rectángulos con ejemplos prácticos.

Identificación de los catetos

Los ángulos en posición normal son aquellos que son utilizados en las razones trigonométricas.

Se tiene un ángulo α en posición normal, el punto de coordenada B(x,y) ubicado en el lado final del ángulo (I Cuadrante), el punto de coordenada A(0,x) ubicado en el lado inicial del ángulo, entonces el segmento es perpendicular al eje “x”, obteniéndose un triángulo rectángulo. Donde el segmento es la hipotenusa = r , el segmento es el cateto adyacente al ángulo α y el segmento es el cateto opuesto al ángulo α, la medida del cateto adyacente = x  y la medida del cateto opuesto = y .

Para darle el nombre a los catetos se debe tomar en cuenta su posición con respecto al ángulo α, el cateto adyacente es el lado del triángulo que está mas cerca al ángulo α y el cateto opuesto es el lado del triángulo que está al frente del ángulo α. Mira las imágenes de abajo el ángulo α se posiciona en dos vértices del triángulo por lo tanto los catetos opuesto y adyacente cambian de posición.

Razones trigonométricas en el triángulo rectángulo

A continuación, en el triángulo rectángulo se definen las 6 razones trigonométricas, tenga en cuenta que:

Cateto opuesto = y     Cateto adyacente = x     Hipotenusa = r

Ejemplo: Determinar los valores de las razones trigonométricas sen α, cos α y tan α en el triángulo

Solución:

Datos:

Se aplica Pitágoras para determinar el valor de la hipotenusa

Se calcula las razones trigonométricas del ángulo α

Razones trigonométricas para ángulos complementarios

Los ángulos α y β son complementarios, ya que . Esto quiere decir que α es el complemento de β y β es el complemento de α.

En el triángulo BAC, los ángulos α y β son complementarios y se cumple que:

sen α = cos β     tan α = cot β    sec α = csc β

sen β = cos α     tan β = cot α    sec β = csc α

Las relaciones entre este tipo de razones trigonométricas se conocen como cofuncionalidad.

Observa:

co = cateto opuesto

ca = cateto adyacente

h = hipotenusa

Razón trigonométrica α (Rtα) = Razón trigonométrica opuesta β (Rtoβ).

El cateto adyacente del ángulo α es el cateto opuesto del ángulo β y  el cateto opuesto del ángulo α es el cateto adyacente del ángulo β.

Esto quiere decir que el valor de una razón trigonométrica de un ángulo en un triángulo rectángulo es lo mismo que la razón trigonométrica opuesta del ángulo complementario.

Ejercicios prácticos

Primero. Mira las siguientes relaciones.

Segundo.  Dados dos ángulos complementarios, hallar las razones trigonométricas cuyo valores sean los mismos.

• El ángulo de α = 60° y  el ángulo de β = 30° son complementarios, el valor de$$sen30^{\circ }=cos60^{\circ }=\frac{1}{2}$$
• También los ángulos de β = 45° y α = 45° son complementarios, esto quiere decir que$$tan45^{\circ }=ctg45^{\circ }=1$$

Tercero: Determina, las razones trigonométricas del seno α, coseno δ del siguiente triángulo rectángulo.

Como los ángulos δ  y  α  son complementarios, el sen α = cos δ . Se tiene lo siguiente:

Sumando ambos ángulos para comprobar:

Se puede observar claramente que la sumatoria de los ángulos α  y  ð son complementarios.

Laboratorio de las razones trigonométricas

¡Ha llegado el momento de la verdad! Prepárate para poner a prueba todo lo que has aprendido. A continuación, encontrarás un simulador de razones trigonométricas, una herramienta fantástica para que aprendas jugando y fortalezcas tus conocimientos de una forma interactiva y divertida. ¡Es la oportunidad perfecta para llevar tus habilidades al siguiente nivel!

Casos para resolver triángulos rectángulos

Resolver un triángulo significa buscar todas sus dimensiones, es decir conocer las medidas de los tres lados y los tres ángulos.

Triángulos con dos lados conocidos

Existen dos formas para resolver este tipo de casos: aplicando el teorema de Pitágoras o las razones trigonométricas.

Teorema de Pitágoras

Para determinar el lado faltante debes aplicar el teorema de Pitágoras.

Ejemplo. Resolver el triángulo ABC cuyos valores de los catetos se muestran en la imagen.

Solución: 

Observa que en el triángulo se desconoce el valor de la hipotenusa y de los ángulos α y β

Se aplica el teorema de Pitágoras para determinar la hipotenusa

Se aplica las razones trigonométricas para hallar los ángulos α y β.

Como α y β son complementarios se aplica:

Ejemplo: Resolver el triángulo usando solo las razones trigonométricas

Observa que en el triángulo se desconoce los valores de la hipotenusa y los ángulos del vértice A y C

Se posee dos catetos del triángulo, entonces la razón trigonométrica que se va aplicar es la tangente, haciendo uso del ángulo

Se aplica la inversa para obtener el valor del ángulo:

Como la sumatoria de los ángulos , por ser complementarios

Se calcula la hipotenusa aplicando la razón trigonométrica del del seno

Ejemplo. Resolver el triángulo compuesto usando solo las razones trigonométricas.

Los triángulos compuestos son triángulos rectángulos compuestos por dos o más triángulos.

Observa existen tres triángulos, en el triángulo se desconoce el valor del cateto adyacente del ángulo de 70°, entonces se aplica la razón trigonométrica de la tangente

En el triángulo su cateto adyacente al ángulo de 40° es el lado , entonces se aplica la razón de la tangente y así se relacionan el cateto del triángulo y el cateto del triángulo

Entonces se iguala los dos valores del lado obtenidos en ambos triángulos con el fin de determinar el valor de  cateto adyacente del triángulo

    y 

El valor del cateto adyacente del triángulo es

Se calcula el cateto opuesto del triángulo , aplicando la razón trigonométrica de la tangente

Se calcula la hipotenusa del triángulo , se puede aplicar la razón trigonométrica del seno o coseno, en este caso se aplica la del seno

Calcular el ángulo del vértice B es decir

La sumatoria interna de los ángulos de un triángulo es igual 180°

Actividades

Determina en los 6 triángulos los valores de las 6 razones trigonométricas

Construir un triángulo rectángulo, que cumpla con la condición dada para el ángulo β

Hallar el valor de las siguientes expresiones

Calcula las otras razones trigonométricas del ángulo θ, dado el valor de una razón en un triángulo rectángulo

Escribe la razón trigonométrica cuyo valor sea el mismo a la razón trigonométrica dado el ángulo complementario en cada caso.

Calcula las siguientes razones trigonométricas del triángulo

Determine aplicando el teorema de Pitágoras

Dibuja cada triángulo rectángulo y resuelve aplicando las razones trigonométricas considerando que a y b son las medidas de los catetos y c la medida de la hipotenusa

a = 6,4 cm y c = 11,7 cm

a = 4,5 cm y b = 4,5 cm

b = 7,3 cm y c = 13,6 cm

a = 12 cm y b = 10 cm

a = 2,5 cm y c = 5 cm

b = 9,6 cm y c = 14,5 cm

Determina los triángulos rectángulos 

Calcula el área de los siguientes triángulos, las longitudes de los lados cada uno de ellos deben expresarse en centímetros

¿Alguna vez te has preguntado cómo un robot sabe el ángulo exacto para extender su brazo y recoger un objeto, o cómo tu GPS calcula el ángulo de giro para llevarte a tu destino?

Detrás de estas acciones, hay una matemática fascinante: las funciones trigonométricas inversas. A diferencia de las funciones normales que usan un ángulo para darte un valor, estas funciones hacen lo opuesto: usan un valor para darte un ángulo. Son la clave para que un dron calcule su ángulo de aterrizaje, para que un personaje de videojuego apunte con precisión, o para que un brazo robótico se posicione. Dominar este tema te permitirá entender la ciencia que hace posible la tecnología que usamos a diario.

Funciones inversas

Una función es una regla de correspondencia que relaciona los elementos de dos conjuntos M y N. Cada elemento del conjunto M se relaciona únicamente con un elemento del conjunto N.

Se escribe de dos formas:

$$f: M\to N$$

o

$$f(x)=y$$

Donde:

“x” pertenece al conjunto M (dominio)

“y” pertenece al conjunto N (codominio)

Ahora si la función está definida como:$$g:N\to M$$

es una función inversa de: $$f: M\to N$$

Entonces f debe ser biyectiva.

Dicho de forma más simple, si una función  f  asocia cada valor de entrada (x) con un único valor de salida (y), la función inversa  f ^-1  hace lo opuesto, asociando (y) de vuelta a (x). Entonces, se cumple que:

$$f(f^{-1}(x))=x$$

y

$$f^{-1}(f(x))=x$$

¿Qué significado tiene esas funciones?

Imagínate una máquina con un avance a la derecha y el otro a la inversa.

f = Avance a la derecha.$$f(f^{-1}(x))=x$$

f ^-1 = Avance inverso.$$f^{-1}(f(x))=x$$

Cuando el operador desea avanzar la carga a la derecha desplaza la palanca a la derecha y cuando requiere a la inversa la mueve a la izquierda.

f  (avance a la derecha) : es “sumar 2”

f ^-1 (avance a la inversa) : es “restar 2”

Avance a la derecha ( f )

$$f(f^{-1}(x))=x$$

• Selecciona un número cualquiera, para este ejemplo, x = 8.
• Aplicar función inversa ( f ^-1 ) : 8 – 2 = 6.
• Aplica función original ( f ): 6 + 2 = 8.

Observa que regresó a su número original ( x = 8 ).

Avance a inversa ( f ^-1 )

$$f^{-1}(f(x))=x$$

• x = 8.
• f : 8 + 2 = 10
• f ^-1 : 10 – 2 = 8

Nuevamente regresó al número original ( x = 8 ).

¿Cómo se obtiene una función inversa?

Para obtener la función inversa debes aplicar los siguientes pasos:

Ejemplos prácticos

Ahora que has dominado la teoría, es momento de poner a prueba tus habilidades. A continuación, encontrarás una serie de ejercicios prácticos que te ayudarán a afianzar tus conocimientos sobre las funciones inversas y las restricciones de dominio. ¡Intenta resolverlos por tu cuenta antes de ver las respuestas!

Ejemplo#1. Hallar la función inversa de

$$f(x)=2x-3$$

Solución

Primero. Es una función afín por lo tanto es biyectiva.

Segundo. Igualar f ( x ) = y.

$$y=2x-3$$

Tercero. Despejar x.

$$y=2x-3$$
$$2x=3+y$$
$$x=\frac{3+y}{2}$$

Cuarto. Intercambiar x por y.

$$y=\frac{3+x}{2}$$

Quinto. Sustituir “y” por f ^-1( x ).

$$f^{-1}(x)=\frac{3+x}{2}$$

Ejemplo#2. Determinar la función inversa de

$$f(x)=e^{x}$$

Solución

Paso 1: Verificar si es biyectiva.

Se determina si la función es inyectiva

$$f(x_{1})=f(x_{2})$$
$$f(x)=e^{x}$$
$$e^{x_{1}}=e^{x_{2}}$$
$$ln(e^{x_{1}})=ln(e^{x_{2}})$$
$$x_{1}=x_{2}$$

La función es inyectiva.

No es sobreyectiva porque, al calcular el rango, se observa que no coincide con el codominio. Rango$$y> 0$$

Aquí el rango es un subconjunto del codominio.

Paso 2: Se restringe el codominio para que sea igual al rango.

codominio restringido: $$y> 0$$

Paso 3: f ( x ) = y

$$y=e^{x}$$

Paso 4: Despejar x.

$$x=ln(y)$$

Paso 5: Intercambio de x por y.

$$y=ln(x)$$

Paso 6: “y” por f ^-1( x )

$$f^{-1}(x)=ln(x)$$

Ejemplo#3. Consigue la función inversa de

$$f(x)=x^{2}$$

Solución

Uno. Verificar si es biyectiva.

Determinar analíticamente si la función es inyectiva.

$$f(x_{1})=f(x_{2})$$
$$f(x)=x^{2}$$
$$x_{1}^{2}=x_{2}^{2}$$
$$x_{1}=\sqrt{x_{2}^{2}}$$
$$x_{1}=\pm x_{2}$$

La función no es inyectiva porque dos valores de entrada distintos pueden dar el mismo valor de salida.

La función no es sobreyectiva ya al determinar el rango$$y\geq 0$$

Dos. Se aplica restricción al dominio.

Dominio restringido:$$x> 0$$

Tres. Restricción al codominio.

codominio restringido: $$y\geq 0$$

Para igualarlo al rango.

Cuatro.  f ( x ) = y

$$y=x^{2}$$

Quinto. Despejar x .

$$x=\sqrt{y}$$

Sexto. Intercambiar x por y.

$$y=\sqrt{x}$$

Séptimo. Cambiar “y” por f ^-1( x ).

$$f^{-1}(x)=\sqrt{x}$$

Funciones trigonométricas inversas

Las funciones trigonométricas no tienen una función inversa porque, al ser periódicas, sus valores se repiten. Esta característica impide que sean inyectivas (uno a uno) y, por lo tanto, no cumplen con el requisito fundamental para tener una función inversa.

Pero se le aplica restricciones en ciertos intervalos para que la función quede inyectiva, y en esos intervalos define una función inversa.

La imagen muestra la función$$f(x)=2x^{2}$$ restringida en el dominio (0,∞) y su inversa$$f^{-1}(x)=\sqrt{\frac{x}{2}}$$

Escritura y lectura de las funciones trigonométricas inversas

Leer y escribir las funciones trigonométricas inversas es sencillo, cuando trabajas con estos tipos de funciones, es relevante escribirlas correctamente para evitar confusiones. Hay dos maneras comunes de escribir y leerlas. A continuación, te muestro cada de ellas:

seno se escribe:$$sen^{-1}x$$Se lee: seno inverso de x$$arcsenx$$Lectura: arcoseno de x.

El mismo procedimiento se aplica para todas las demás.»

⚠️Cuidado con esta escritura

Se debe tener en cuenta que:

Recomendaciones para graficar funciones trigonométricas inversas

Las primeras recomendaciones es que te asegures que tu calculadora esté configurada en radianes, limita el dominio y el rango de la función original para que sea biyectiva. Al graficar su inversa, verás que los ejes se invierten: el dominio de la función original se convierte en el rango de la inversa y el rango se convierte en el dominio. Aquí tienes más recomendaciones que, espero, te sean de gran ayuda.

• Dibujar el plano cartesiano.
• Establecer en el eje “x” una escala 1:1.
• Establecer en el eje “y” los ángulos en radianes.
• Crear la tabla de valores.
• Graficar cada par ordenado y trazar la curva.

Inversa de la función seno

El dominio de la función del seno es el conjunto de los números reales y su rango está comprendido por el intervalo [-1,1].

Como se dijo anteriormente, las funciones trigonométricas son periódicas entonces no son inyectivas, pero quiero que veas que al aplicarle el criterio de la recta horizontal a la función seno se puede apreciar gráficamente que no es inyectiva ya que la recta toca en más de 1 punto.

Entonces no es biyectiva.

Al no ser biyectiva la función seno no permite inversa en todo el conjunto de los números reales.

Aquí es donde se aplica la restricción con la única intención que la función seno permita inversa, el intervalo a restringir es su nuevo dominio, y el rango se limita al intervalo [-1,1] es aquí donde la función seno es biyectiva, y por lo tanto, admite una función inversa llamada arcoseno. Ver la imagen de la gráfica de la función seno con la restricción.

Entonces la interpretación de la definición del arcoseno de un valor x como el ángulo y en el intervalo    tal que el seno del ángulo es x

Gráfica de la función arcoseno

Ha llegado el momento de graficar la función del arcoseno, Allí tienes la tabla de valores, te recuerdo que el dominio está comprendido en el intervalo [-1,1]

Observa que para x = 1/2

El ángulo obtenido en radianes es y en grados sexagesimales es 30°

Al graficar cada par ordenado generado por la tabla de valores, se obtiene la curva de la función arcoseno.

🔭Observación: Si tu profesor no te permite usar calculadora, es porque el ejercicio se resuelve con ángulos notables. Haz clic aquí y te mostraré un truco matemático que te permitirá resolverlos sin necesidad de calculadora.

Relación entre la función seno y la función arcoseno

La relación entre la función seno y la función arcoseno, es que la función seno toma un ángulo para dar un valor entre -1 y 1, el arcoseno hace lo contrario: toma un valor entre -1 y 1 para darte el ángulo correspondiente.

Por esta razón, el dominio del arcoseno es el rango del seno, y el rango del arcoseno es el dominio restringido del seno.

	Función seno con restricción	Función arcoseno
Intervalo en el dominio eje “x”
Intervalo en el rango eje “y”

Características de la función arcoseno

1. El dominio es el intervalo [ -1, 1]
2. El rango es el intervalo  [π/2, -π/2]
3. No es periódica
4. Es una función impar. Es decir, es simétrica respecto al origen del plano cartesiano.
5. Valor máximo es = π/2 (90°) cuando x = 1.
6. Valor mínimo = -π/2 (-90°) cuando x = -1.
7. Valor donde la función corta al eje x e y es en el origen del plano cartesiano. Es decir, x = 0; y = 0.

Inversa de la función coseno

La función del coseno su dominio es también el conjunto de los números reales   y el rango es el intervalo [-1,1].

La función coseno es periódica por lo tanto no es inyectiva y por ende  tampoco biyectiva.

Se aplica la restricción al dominio en el intervalo la cual le corresponde un rango de [-1,1], y el nombre de esta función inversa del coseno es llamada arcocoseno. Ver la gráfica de la función coseno con restricción en el dominio.

Relación entre la función coseno y la función arcocoseno

	Función coseno con restricción	Función arcocoseno
Intervalo en el dominio eje “x”
Intervalo en el rango eje “y”

Gráfica de la función arcocoseno

Al igual que la función arcoseno se realiza la tabla de valores y el dominio usado para la variable independiente es el intervalo [-1,1]. Observa la gráfica de la función arcocoseno.

Características de la función arcocoseno

1. El dominio es [ -1, 1].
2. El rango es el intervalo .
3. No es periódica.
4. No es una función par ni impar.
5. Valor máximo o altura máxima es π cuando x = -1.
6. Valor minino es 0 cuando x = 1.
7. La función corta al eje y en π/2, cuando x = 0.

Inversa de la función tangente

Para definir la función tangente inversa, se debe restringir el dominio de la función tangente al intervalo y su rango quedaría como el conjunto de los números reales Rgo . Observe la gráfica con restricción en el dominio.

Relación entre la función tangente y la función arcotangente

	Función tangente con restricción	Función arcotangente
Intervalo del dominio eje “x”
Intervalo del rango eje “y”

Gráfica de la función arcotangente

Para realizar el gráfico de la función arcotangente, lo primero es realizar la tabla de valores y el dominio usado para la variable independiente es el conjunto de los . Observe la gráfica

Características de la función arcotangente

1. El dominio es .
2. El rango es el intervalo
3. No es periódica.
4. Es una función impar.
5. No tiene valores máximos ni mínimos.

Actividades

I. Construye la gráfica de la función arcotangente, los ángulos de la tabla de valores debe estar expresada en radianes. Usa estos valores para la variable independiente

Recomendación: trabaja todo en grados sexagesimales, luego lo transforma a radianes.

II. Construya la gráfica del arcocoseno, los ángulos de la tabla de valores debe estar expresada en radianes. Los valores que vas a utilizar para la variable independiente son:

Recomendación: trabaja todo en grados sexagesimales, luego lo transforma a radianes.

III. Determina el valor exacto de cada ejercicio. Debes expresarlo en radianes y en grados sexagesimales

IV. Hallar el valor de x de las siguientes expresiones

V. Investiga las siguientes características de las funciones inversas:

¿Existen valores máximos y mínimos en la función del arcoseno? Si la respuesta es afirmativa indique las coordenadas?

¿La función arcoseno es biyectiva? y ¿Porqué?

¿Existen valores máximos y mínimos en la función del arcocoseno? Si la respuesta es afirmativa indica las coordenadas?

¿La función arcocoseno es sobreyectiva? y ¿Porqué?

¿Existen valores máximos y mínimos en la función del arcotangente? Si la respuesta es afirmativa indica las coordenadas?

¿La función arcotangente es sobreyectiva? y ¿Porqué?